Alkalmazott Matematikai Lapok 26 (2009), 223-254. · 2013. 10. 4. · Alkalmazott Matematikai Lapok 26 (2009), 223-254. ELLIPSZIS PÁLYÁN MOZGÓ HENGER KÖRŰLI KIS REYNOLDS SZÁMÚ

--~

Alkalmazott Matematikai Lapok 26 (2009) 223-254

ELLIPSZIS PAacuteLYAacuteN MOZGOacute HENGER KOumlRŰLI KIS REYNOLDS SZAacuteMUacute AacuteRAMLAacuteS NUMERIKUS VIZSGAacuteLATA

BARANYI LAacuteSZLOacute

Ez a dolgozat a paacuterhuzamos AramlAsba helyezett ellipszis paacutelyaacuten mozgoacute koumlrshyhenger koumlruumll kialakuloacute kis Reynolds-szAmuacute oumlsszenyomhatalan folyadeacutekaacuteramlAs keacutetdishymenzioacutes numerikus szimulaacutecioacutejaacuteval foglalkozik A felhajtoacuteer6-teacutenyez6 az ellenaacutellAsshyteacutenyez6 eacutes a hitsoacute nyomAsteacutenyez6 (base pressure coefficient) id6aacutetlagaacutet eacutes 1mS eacuterteacuteshykeacutet valamint a henger eacutes a folyadeacutek koumlzoumltti energiacsereacutere jellemztiacute energiaaacutetadAsi teacutenyewt a paacutelya ellipticitAsa fuumlggveacutenyeacuteben aacutebraacutezolva azok eacuterteacutekeiben ugrAsszeriacutel vaacuteltozAsok tapasztalhatoacutek Egy ugrAs eltiacutett eacutes utaacuten hataacuterciklus analiacutezist veacutegeztuumlnk idtiacutebeli faacutezisszoumlg eacutes aacuteramkeacutep vaacuteltozAsokat vizsgaacuteltunk A vizsgaacutelat ok azt mutatjaacutek hogy az ellipticitAs nagy hatAssal lehet eacutel mechanikusan mozgatott henger eacutes folyadeacutek koumlzoumltti energiaaacutetadAsra eacutes hogy a transzverzaacutelis mozgAs amplituacutedoacutejaacutenak kis meacutershyteacutekiacutel megvaacuteltoztatAsa ertiacutesen befolyAsolhatja az er6teacutenyeztiacuteket A felhajtoacuteer6-teacutenyez6 eacutes a henger transzverzaacutelis elmozdulAsa koumlzoumltti faacutezisszoumlg az ugrAson aacutethaladva 1800 -ot vaacuteltozik Ezeket a vaacuteltozAsokat az okozhatja hogy ennek a nemlineaacuteris rendszernek valoacutesziacuteniileg keacutet attraktora van eacutes hogy megoldAs ezek melyikeacutehez vonzoacutedik az a probleacutema parameacutetereinek eacuterteacutekeitől fuumlgg

l Bevezeteacutes

A levegő- vagy folyadeacutekaacuteramlaacutesba helyezett nem aacuteramvonalas vagy maacutes neacuteven tompa testekrőllevaacuteloacute oumlrveacutenyek gyakran a szerkezet meghibaacutesodaacutesaacutet okozzaacutek Joacute peacutelda erre a Tacoma Narrows fuumlgg6hiacuted (USA) amely oumlrveacutenylevaacutelaacutes aacuteltal keltett csavaroacutelengeacutes miatt omlott oumlssze 1940-ben Egy maacutesik eset a Japaacuten-beli Monju atomerőmIlben toumlrteacutent ahol az aacuteramloacute folyadeacutekba helyezett mil anyag Mmeacuterőtok a roacutela levaacuteloacute oumlrveacutenyek miatt kifaacuteradt eacutes megrepedt a repedeacutesen keresztuumll pedig primer htltőfolyadeacutek jutott ki a rendszerből Az erőmIlvet 1995-oumls leaacutellftaacutesa oacuteta nem indiacutetottaacutek uacutejra A szeacutelnek kitettmiddot magas karcsuacute eacutepuumlletekr61 siloacutekroacutel gyaacuterkeacuteshymeacutenyekrőllevaacuteloacute oumlrveacutenyek az eacutepiacutetmeacuteny nagy amplituacutedoacutejuacute rezgeacuteseacutehez vezethetnek ha annak sajaacutetfrekvenciaacuteja koumlzel esik az oumlrveacutenylevaacutelaacutesi frekvenciaacutehoz eacutes ugyanakkor a szerkezet csillapiacutetaacutesa kicsi A Mcsereacutel6kben leacutev6 cs6koumltegekr61levaacuteloacute oumlrveacutenyek a hőcsereacutelő rezgeacuteseacutehez eacutes kellemetlen zajos uumlzemeacutehez vezethetnek

A koumlrhenger koumlruumlli aacuteramlaacutest annak gyakorlati fontossaacutega miatt igen sok kutatoacute vizsgaacutelja napjainkban is mind elmeacuteleti mind kiacuteseacuterleti eacutes numerikus eszkoumlzoumlkkel

Alkalmazott Matematikai Lapok (2009)

224 BARANYI LAacuteSZLOacute

A koumlrhenger moumlgoumltti teacuter igen gazdag aacuteramlaacutestani jelenseacutegekben az oumlrveacutenylevaacuteshylaacutes szerkezete nagyon sok teacutenyez6t6l fuumlgg Sok kutatoacute foglalkozik a paacuterhuzamos aacuteramlaacutesba helyezett aacutelloacute eacutes rezg6 koumlrhenger koumlruumlli aacuteramlaacutes vizsgaacutelataacuteval Kuumlloumlnoumlshysen sok tanulmaacuteny talaacutelhatoacute aacutelloacute henger eseteacutere laacutesd peacuteldaacuteul [15] [31] eacutes [39] de sokan foglalkoznak a henger transzverzaacutelis rezg6mozgaacutesaacuteval laacutesd [16] eacutes [38] eacutes a longitudinaacutelis iraacutenyban rezg6 henger eseteacutevel is laacutesd peacuteldaacuteul [28] A paacuterhuzamos aacuteramlaacutesba helyezett elliptikus mozgaacutest veacutegz6 hengerek koumlruumlli esettel kevesebben foglalkoznak (laacutesd peacuteldaacuteul [35]) annak elleneacutere hogy ez a hullaacutemokban mozgoacute henger koumlruumlli aacuteramlaacutes modelljeacutenek tekinthetigt

A dolgozat koumlvetkező fejezeteiben roumlviden ismertetuumlnk egy eljaacuteraacutest az oumlsszeshynyomhatatlan newtoni koumlzeg homogeacuten paacuterhuzamos aacuteramlaacutesaacuteba helyezett ellipszis paacutelya menteacuten kering6 koumlrhenger koumlruumlli keacutet-dimenzioacutes instacionaacuterius kis Reynoldsshyszaacutemuacute aacuteramlaacutes szaacutemiacutetaacutesaacutera A tanulmaacuteny az ellipszis paacutelyaacuten kering6 henger eseteacuten a mechanikai energiaaacutetadaacutesi teacutenyez6 a faacutezisszoumlg a haacuterom erőteacutenyez6 (felhajtoacuteerőshyteacutenyező ellenaacutellaacutes-teacutenyez6 eacutes haacutetsoacute nyomaacutesteacutenyez6) id6aacutetlagaacutet eacutes rrns (root-meanshysquare) eacuterteacutekeacutet vizsgaacutelja egy eddig ismeretlen jelenseacuteggel kapcsolatban hirtelen ugraacutesok leacutepnek fel az er6teacutenyez6k időaacutetlagaacuteban eacutes rrns eacuterteacutekeacuteben amikor a paacutelya ellipticitaacutesa fuumlggveacuteny ben rajzoljuk fel azokat

Jeloumlleacutesjegyzeacutek SO a henger gyorsulaacutesvektora U2 d-vel dimenuacuteoacutetlaniacutetva AJy a rezgeacutes amplituacutedoacuteja x vagy y iraacutenyokban d-vel dimenzioacutetlaniacutetva

CD ellenaacutellaacutes-teacutenyező 2FD (pU2d) CL felhajtoacuteer6-teacutenyez6 2FL (pU2d) Cph haacutetsoacute nyomaacutesteacutenyez6 (base pressure coefficient) l2p (pU2 ) J eo d hengeraacutetmeacuter6 hosszleacutepteacutek [ml D sebesseacuteg divergenciaacuteja Ud-vel dimenzioacutetlaniacutetva e ellipticitaacutes Ay Am E mechanikai energiaaacutetadaacutesi teacutenyez6 pU2d 2-vel dimenzioacutetlaniacutetva f henger rezgeacutesi frekvenciaacuteja U d-vel dimenzioacutetlaniacutetva F egyseacutegnyi hosszuacute hengerre hatoacute erő FDi + FzJ FD egyseacutegnyi hosszuacute hangerre hatoacute ellenaacutellaacutes [N lm] FL egyseacutegnyi hosszuacute hengerre hatoacute felhajtoacuteer6 [Nm] i j x y iraacutenyuacute egyseacutegvektorok p folyadeacuteknyomaacutes pU2-el dimenzioacutetlaniacutetva R sugaacuter d-vel dimenzioacutetlaniacutetva Re Reynolds-szaacutem Udv St Strouhal-szaacutem oumlrveacutenylevaacutelaacutesi frekvencia Uld -vel dimenzioacutetlaniacutetva t id6 dlU -val dimenzioacutetlaniacutetva T oumlrveacutenylevaacutelaacutesi perioacutedus dlU -val dimenzioacutetlaniacutetva U paacuterhuzamos aacuteramlaacutes sebesseacutege sebesseacutegleacutepteacutek [mis]


KIS REYNOLDS SZAacuteMUacute AacuteRAMLAacuteS NUMERIKUS VIZSGAacuteLATA 225

U V x y iraacutenyuacute sebesseacutegkomponensek U-val wmenzioacutetlaniacutetva Vo henger sebesseacutegvektora U-val dimenzioacutetlaniacutetva x y Descartes-feacutele dereacutekszoumlgll koordinaacutetaacutek d-vel dimenzioacutetlaniacutetva tP faacutezisszoumlg v kinematikai viszkozitaacutesi teacutenyező [m2s] p folyadeacutek sűrűseacutege [kgm3]

e polaacuterszoumlg ~1 a szaacutemiacutetaacutesi siacutekon leacutevő koordinaacutetaacutek

Indexek L felhajtoacuteerő

D ellenaacutellaacutes rrns rms (root-mean-square) eacuterteacutek x y x vagy y iraacutenyuacute komponens 12 energiaaacutetadaacutes y eacutes x iraacutenyokban a henger feluumlleteacuten ill a tartomaacuteny

kuumllső peremeacuten O a hengermozgaacutes elmozdulaacutesaacutera sebesseacutegeacutere gyorsulaacutesaacutera

2 Alapegyenletek

Vizsgaacutelatunk soraacuten egy oumlsszenyomhatatlan aacutellandoacute anyagjellemzőjll newtoni folyadeacutek keacutetdimenzioacutes (2D) aacuteramlaacutesaacutet teacutetelezzuumlk fel Az alapegyenleteink a NaviershyStokes-e~enletek keacutet komponenseacuteboacutel eacutes a kontinuitaacutesi egyenlet boacutel aacutellnak amelyek dimenzioacutetlan alakjai a tetszőleges ao gyorsulaacutessal mozgoacute hengerhez koumltoumltt koordishynaacutetarendszerben a koumlvetkező moacutedon iacuterhatoacutek fel

au au au ap 1 2 - + u- + v- = -- + -7 u - aox at ax ay ax Re

av av av ap 1 2 - + u- + v- = -- + -7 v - ao o t ox oy oy Re y

D=au av=O ax+oy

(1)

(2)

(3)

Baacuter az (1)-(3) egyenletek elvileg alkalmasak az u v sebesseacutegek eacutes a p nyoshymaacutes meghataacuterozaacutesaacutera de azok időbeli vaacuteltozaacutesaacutenak pontos megoldaacutesi lehetőseacutegeacutet jelent6sen megneheziacuteti az a teacuteny hogy a (3) kontinuitaacutesi egyenlet nem tartalmazza explicite az idő szerinti derivaacuteltat A probleacutema aacutethidalhatoacute ha egy kuumlloumln egyenieshytet szaacutermaztatunk a nyomaacutesra Az (1) egyenlet x szerinti eacutes a (2) egyenlet y szeshyrinti derivaacutelt jait oumlsszeadva (azaz keacutepezve a Navier-Stokes-egyenlet divergenciaacutejaacutet) a D sebesseacutegdivergenciaacutet tartalmazoacute tagok koumlzuumll csak annak idő szerinti parciaacutelis

Alkalmazott Matematikai Lapok (B009)


derivaacutelt jaacutet meghagyva neacutemi aacutetrendezeacutes utaacuten adoacutedik a nyomaacutesra vonatkozoacute Poissonshyegyenlet (laacutesd [23])

Pp + 82p = 2 [8 u 8 v _ 8 u 8 vJ _ 8 D

8x2 8y2 8x 8y 8y 8x 8t (4)

Mivel a henger ao gyorsulaacutesa csak az id6t61 fuumlgg iacutegy annak divergenciaacuteja zeacuterus ezeacutert termeacuteszetesen nem jelenik meg a (4) egyenletben A fenti egyenletben a D a (3) egyenlet alapjaacuten ugyan zeacuterus de a fenti leiacuteraacutesmoacutedot veacuteges differenciaacutek moacutedszereacutevel egyuumltt alkalmazva nem eleacutegiacuteti ki egzakt moacutedon a kontinuitaacutest Ezeacutert a numerikus hibahalmozoacutedaacutes eacutes az instabilitaacutes elkeruumlleacutese eacuterdekeacuteben ceacutelszeriacutei a (4) egyenletben a D id6 szerinti parciaacutelis derivaacutelt jaacutet meghagyni (laacutesd [23]) Baranyi eacutes Shirakashi [3] a veacuteges differenciaacutek moacutedszereacuten alapuloacute numerikus vizsgaacutelata meger6-siacutetette hogy a (4) utolsoacute tagjaacutenak elhagyaacutesa drasztikus hataacutessal van a megoldaacutesra ugyanakkor az egyenletb61 elhagyott egyeacuteb D-t tartalmazoacute tagok csak elhanyagolshyhatoacute meacuterteacutekben befolyaacutesoljaacutek a megoldaacutest

Ezekben az egyenletekben u v az x eacutes y iraacutenyuacute sebesseacutegkomponens p a neheacutezseacutegi er6teacuter potenciaacuteljaacuteval kib6viacutetett nyomaacutes D a sebesseacuteg divergenciaacuteja Re az U aacuteramlaacutesi sebesseacuteg a d hengeraacutetmeacuterő eacutes a folyadeacutek v kinematikai viszshykozitaacutesi teacutenyezőjeacuteboacutel szaacutemiacutethatoacute Reynolds-szaacutem Baacuter a (3) egyenlet alapjaacuten a D divergencia elmeacuteletileg zeacuterus annak idő szerinti derivaacutelt jaacutet meacutegis meghagy juk a (4) egyenletben a numerikus hibahalmozoacutedaacutes elkeruumlleacutese eacuterdekeacuteben (laacutesd [23])

Peremfelteacutetelek eacutes kezdeti felteacutetelek A v lebesseacutegre eacutes a p nyomaacutesra vonatkozoacute peremfelteacutetelek az Rl sugaruacute koumlrshy

henger feluumlleteacuten valamint a szaacutemiacutetaacutesi tartomaacuteny kuumllső peremeacutet jellemző a koumlrhenshygerrel azonos koumlzeacuteppontuacute R2 sugaruacute koumlr menteacuten az alaacutebbi moacutedon adhat6k meg (laacutesd 1 aacutebra) (Rd hengerfeluumllet

u=v=o (5)

8p 1 2 8 n = Re V Vn - aOn middot (6)

(R2 ) kuumllső perem u = upot uo v = vpot - VO (7)

(8)

Az (5) egyenletből laacutethatoacute hogy a henger feluumlleteacuten az u v sebesseacutegkomposhynensek eltiacuteinnek miacuteg a p nyomaacutesra az (1) eacutes (2) egyenletek felhasznaacutelaacutesaacuteval a (6) Neumann-tiacutepusuacute peremfelteacutetelt szaacutermaztat juk A (6) egyenletben az n index a goumlrbe kuumllső normaacutelisa iraacutenyaacuteban vett komponensre utal A henger feluumlleteacuten kishyalakuloacute nyomaacuteseloszlaacutes - valamint a test eacutes a folyadeacutek koumlzoumltt felleacutepő erő - pontos meghataacuterozaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges (6) oumlsszefuumlggeacutesben szerepel a sebesseacutegkomponensek

Alkalmazott Matematikai Lapok (ft009)


feluumlleti normaacutelis iraacutenyuacute henger feluumlleteacuten vett derivaacutelt jai amelyeket a Taylor-sor felhasznaacutelaacutesaacuteval nyert harmadrendű feacuteloldalas differenciaseacutema segiacutetseacutegeacutevel szaacutershymaztatunk A hengertől taacutevoli zavartalan aacuteramlaacutest jellemz6 R2 sugaacuter menteacuten poshytenciaacutelaacuteramlaacutest teacutetelezuumlnk fel Erre utal a (7) eacutes (8) egyenletekben szereplő pot index Megjegyezzuumlk hogy a potenciaacutelaacuteramlaacutes felteacutetelezeacutese a tartomaacuteny kuumllső peshyremeacuten joacute koumlzeliacuteteacutest jelent a henger moumlgoumltti veacutekony holtteacutertől eltekintve A kuumllső perem igen messze van a hengertől iacutegy nem meglepő az a szaacutemiacutetaacutesi tapasztalat (laacutesd [3]) hogy e felteveacutes mindoumlssze a holtteacuter kuumllső tartomaacutenyhataacutera koumlrnyezeteacuteben torziacutetja el kis meacuterteacutekben a sebesseacutegteret A henger ao gyorsulaacutesa eacutes Vo sebesseacutege (eltekintve termeacuteszetesen a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutest61) tetszőleges lehet

A dimenzioacutetlan sebesseacuteg- eacutes nyomaacuteseloszlaacutesaacutesra vonatkozoacute kezdeti felteacutetelkeacutent a szaacutemiacutetaacutesok soraacuten a koumlrhenger koumlruumlli potenciaacutelaacuteramlaacutes sebesseacuteg- eacutes nyomaacuteseloszshylaacutesaacutet hasznaacuteljuk amelyek az Uvo = U (vox (t) i + vOy (t)j) sebesseacuteggel mozgoacute henshygerhez koumltoumltt rendszerben a dimenzioacutetlan x y koordinaacutetaacutek segiacutetseacutegeacutevel a koumlvetkező alakban iacuterhatoacutek fel

R~ (x2 _ y2) U (x Y t = O) = 1 - 2 - VOx (t = O) ha x2 + y2 gt R~ (9)

(X2 + y2)

R~xy v (x Y t = O) = -2 2 - vOy (t = O) ha x2 + y2 gt R~ (10)

(X2 + y2)

( ) R~ (2 2 R~) p x y t = O = POO + 2 X - Y - -2 (x2 + y2)

(11)

ahol RI = 05 a koumlrhenger d aacutetmeacuterőjeacutevel dimenzioacutetlaniacutetott sugara Poo a hengert ől taacutevoli zavartalan aacuteramlaacutesban eacuterveacutenyes dimenzioacutetlan nyomaacutes Az (5) peremfelteacutetel alapjaacuten a henger feluumlleteacuten a t = O időpontban is előiacuterj uk az

u (x Y t = O) = v (x Y t = O) = O ha X2 + y2 = R~ (12)

felteacutetelt is A szaacutemiacutetaacutesokat a t = O időpillanatban a hirtelen mozgaacutesba hozott hengerhez

tartozoacute kezdeti felteacutetelek eseteacutere is elveacutegeztuumlk amelyek az alaacutebbi moacutedon adhatoacutek meg

u (x Y t = O) = U - VOx (t = O) ha x2 + y2 gt R~

v (x y t = O) = -voy (t = O) ha x2 + y2 gt R~ (13)

(14)

p (x Y t = O) = Poo (15)

tovaacutebbaacute itt is el6iacuterjuk a (12) felteacutetelt A szerző (9)-(12) valamint a (13)-(15) kezdeti felteacutetelek alapjaacuten nyert szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyei elhanyagolhatoacute meacuterteacutekben kuumlloumlnboumlznek egymaacutestoacutel

Termeacuteszetesen az (1)-(4) alapegyenletek (5)-(8) peremfelteacutetelek eacutes a fenti kezshydeti felteacutetelek aacutelloacute hengerre is eacuterveacutenyesek maradnak az an = O eacutes Vo = O helyetteshysiacuteteacutesekkel



3 A tartomaacuteny eacutes az alapegyenletek transzformaacutecioacuteja

Azeacutert hogyadiszkretizaacutecioacutehoz hasznaacutelandoacute veacuteges differenciaacutek moacutedszereacutenek alkalmazaacutesa soraacuten a peremfelteacuteteleket pontosan ki tudjuk eleacutegiacuteteni eacutes elkeruumllhessuumlk a szaacutemiacutetaacutesi pontossaacutegot rontoacute interpolaacutecioacutet peremre illesztett koordinaacutetaacutekat haszshynaacutelunk A fizikai siacutek szaacutemiacutetaacutesi siacutekra valoacute lekeacutepzeacuteseacutet az 1 aacutebra mutatja

y

~D x JII11~Jlllrumtllii~I~ml~ ( ~=All=l r

l aacutebra A fizikai eacutes szaacutemiacutetaacutesi siacutekok

A fizikai siacutek (x y) eacutes a szaacutemiacutetaacutesi siacutek (e I) koordinaacutetaacutei koumlzti kapcsolatot az

alakban vesszuumlk fel ahol

x (e 1]) = R (1]) cos [g (e)] y (e 1]) = -R (1]) sin [g (e)]

(16)

(17)

Az Rt eacutes R2 sugaruacute hengerfeluumlleteknek - ahol az (5)-(8) peremfelteacuteteleketki kell eleacutegiacuteteni a szaacutemiacutetaacutesi siacutekon az I = O ill az I = TJmax egyenesek felelnek meg A e eacutes I koordinaacutetaacutekat egeacutesz szaacutemokra vaacutelasztottuk amelyek egyben a diszkretizaacuteshydoacutes pontok keruumlleti- ill sugaacuteriraacutenyuacute sorszaacutemainak vagy indexeinek is felfoghatoacutek Figyelembe veacuteve meacuteg a (16) eacutes (17) egyenleteket is koumlnnyen belaacutethatoacute hogya szaacuteshymiacutetaacutesi siacutekon ortogonaacutelis egyenkoumlzll haacuteloacutet nyeruumlnk amely azeacutert is el6nyoumls mert a differenciaseacutemaacutek toumlbbseacutege erre az esetre van kidolgozva eacutes azok aacuteltalaacuteban ilyenkor magasabb rendll koumlzeliacuteteacutest jelentenek mint nem egyenkoumlzű haacuteloacute eseteacuten

Baacuter toumlbbfeacutele f (T) eacutes g (~) fuumlggveacutenyt kiproacutebaacuteltunk ebben a dolgozatban az egyszeru

g (f) e 27r-t-

max

Alkalmazott MatematiJcai Lapok (2009)

I (R2) f(TJ) = -ln -R TJmax 1

(18)


lineaacuteris lekeacuteprofuumlggveacuteny alkalmazaacutesaacuteval nyert eredmeacutenyeket mutatjuk be Az f (17) eacutes g (~) fuumlggveacutenyek ilyen megvaacutelasztaacutesa is biztosiacutetja hogy a henger koumlzeleacuteben - ahol a sebesseacuteg erősen vaacuteltozik - a haacuteloacute sűrű attoacutel taacutevolodva pedig egyre ritkaacutebb legyen A (16)-(18) lekeacutepzeacutes koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű mert a J Jacobi-feacutele determinaacutens

(19)

tetszőleges ~ eacutes 17 eacuterteacutekekre pozitiacutev eacuterteacuteket ad A (19) egyenletben a ~ eacutes 17 indexek differenciaacutelaacutest jeloumllnek

A fizikai siacutekon (laacutesd 1 aacutebra) a goumlrbe vonaluacute haacuteloacute egy elemi neacutegyszoumlge keacutet oldalaacutenak a haacutenyadosa - az uacuten raacutecsviszony - [22] alapjaacuten a koumlvetkező alakban iacuterhatoacute fel

(20)

ahol gl1 eacutes 922 a metrikus tenzor elemei eacutes az egyenletben a e eacutes l] indexek most is differenciaacutelaacutest jeloumllnek A (20) egyenletboacutellaacutethatoacute hogy a raacutecsviszony a (18) lineaacuteshyris lekeacutepzőfuumlggveacutenyek eseteacuten az egeacutesz fizikai tartomaacutenyon aacutellandoacute A keacutet egymaacutesra merőleges iraacutenyban vett raacutecspontok szaacutemaacutenak (~max 17max) eacutes a vizsgaacutelt tartomaacuteny meacutereteacutere jellemző R2 RI sugaacuterviszony megfelelő vaacutelasztaacutesaacuteval eleacuterhető hogy az AR eacuterteacuteke pontosan l legyen iacutegy megvaloacutesiacutethatoacute az előnyoumls szaacutemiacutetaacutesi tulajdonsaacuteshygokkal rendelkező konformis lekeacutepzeacutes A moacutedszer előnye hogy a (16)-(18) lekeacutepzeacutes biztosiacutetja hogya metrikus tenzor melleacutekaacutetloacuteiban leacutev6 elemek nullaacutek legyenek azaz g12 g21 = O Igy az (1) (2) eacutes (4) egyenletekben szereplő Laplace-derivaacuteltak transzformaacutelaacutesakor a vegyes maacutesodrendű derivaacutelt ak eltűnnek A (18) lekeacutepzőshyfuumlggveacutenyek lineaacuteris volta miatt tovaacutebbi egyszerűsoumldeacutest jelent az hogy a Laplaceshyderivaacuteltak transzformaacutelaacutesakor az elsőrendű derivaacutelt ak is kiesnek laacutesd (5] Mivel a lekeacutepzeacutes zaacutert alakban elemi fuumlggveacutenyekkel van megadva a metrikus parameacuteterek eacutes a koordinaacuteta-derivaacuteltak szinteacuten zaacutert alakban szaacutemiacutethatoacutek iacutegy nincs szuumlkseacuteg a szaacutemiacutetaacutesi hibaacutet okozoacute numerikus differenciaacutelaacutesra

A (16)-(18) lekeacutepzeacutes felhasznaacutelaacutesaacuteval az (1)-(4) alapegyenleteket az (5)-(8) peremfelteacuteteleket eacutes a (9)-(12) kezdeti felteacuteteleket lekeacutepezzuumlk a szaacutemiacutetaacutesi siacutekra Az (l) eacutes (2) Navier-Stokes-egyenletek transzformaacutelt megfelellSi a koumlvetkez()k

(21)

(22)

Alkalmazott Matematika Lapok (2009)


A D sebesseacutegdivergencia transzformaacutecioacutejaacutera a koumlvetkezőt kapjuk

D= (8y 8u _ 8y8u + 8x8v _ 8x8v) =0 J 8fJ 8e 8e 8fJ 8e 8fJ 8fJ 8e

(23)

A nyomaacutesra vonatkozoacute Poisson-egyenlet transzformaacutelt ja pedig a

(24)

alakot oumllti Az egyenletekhez hasonloacutean az (5)-(8) peremfelteacuteteleket is lekeacutepezzuumlk a szaacuteshy

miacutetaacutesi siacutekra A (16)-(18) Iekeacutepzeacutes alkalmazaacutesa utaacuten a nyomaacutesra vonatkozoacute (6) eacutes (8) peremfelteacutetelek a koumlvetkező alakokba mennek aacutet

(25)

ha R = R2 (26)

A sebesseacutegre vonatkozoacute peremfelteacutetelek eacutes a kezdeti felteacutetelek transzformaacutecioacute j aacutenak bemutataacutesaacutetoacutel eltekintuumlnk A (21) (22) (24) eacutes (25) egyenletekben szereplő metshyrikus tenzor főaacutetloacutejaacuteban leacutevő 91b ill 922 elemei a koumlvetkező alakuacuteak

(8x)2 (8y)2

911 = 8e + 8e

A transzformaacutecioacute (16) (11) alakuacute megvaacutelasztaacutesa tetszlgtleges f (fJ) eacutes 9 (~) fuumlggshyveacutenyek eseteacuten biztosiacutetja hogy a metrikus tenzor főaacutetloacuten kiacutevuumlli elemei nullaacutek legyenek azaz 912 = 921 = O Ezeacutert hiaacutenyoznak a vegyes maacutesodrendű derivaacutelshytak a (21) (22) eacutes (24) egyenletekben szereplő Laplace-derivaacuteltakboacutel A (18) lekeacutepzőfuumlggveacutenyek lineaacuteris megvaacutelasztaacutesa egyben azt is biztosiacutetja hogy az előbb emliacutetett Laplace-derivaacuteltak transzformaacutelt alakjaiboacutel az elsőrendű derivaacuteltak is kishyessenek (laacutesd [5]) Mivel az f (fJ) eacutes 9 (e) lekeacutepz6fuumlggveacutenyek elemi fuumlggveacutenyekkel adottak a szaacutemiacutetaacuteshoz szuumlkseacuteges metrikus parameacuteterek eacutes a koordinaacuteta-derivaacuteltak zaacutert alakban szaacutermaztathatoacutek iacutegy nincs szuumlkseacuteg a szaacutemiacutetaacutesi hibaacutehoz vezető numeshyrikus differenciaacutelaacutesra Mint maacuter emliacutetettuumlk mind a szaacutemiacutetaacutesi siacutekon nyert egyenkoumlzű haacuteloacute mind a fizikai siacutekon az AR raacutecsviszony egyseacutegnyire vaacutelasztaacutesaacuteval nyerhető konshyformis lekeacutepzeacutes el6nyoumls szaacutemiacutetaacutestechnikai szempontboacutel Tovaacutebbi el6ny hogy mivel a szaacutemiacutetaacutesi haacuteloacutet a mozgoacute hengerhez roumlgziacutetjuumlk eacutes a szaacutemiacutetaacutesok soraacuten nem vaacuteltozshytatjuk ezeacutert nincs szuumlkseacuteg minden egyes időleacutepcsőben uacutej haacuteloacutet leacutetrehozni eleacuteg a haacuteloacutegeneraacutelaacutest egyszer a szaacutemiacutetaacutesok előtt elveacutegezni Ennek tovaacutebbi előnye az hogy a transzformaacutecioacutes egyenleteink egyszerűbbek mivel nem szerepelnek benne a haacuteloacute deformaacutecioacutejaacutera jellemz6 tagok Laacutethatoacute tehaacutet hogy ez a szaacutemiacutetaacutesi eljaacuteraacutes toumlbb szempontboacutel is optimalizaacutelt



4 Numerikus moacutedszer eacutes szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyek

Az egyenletek megoldaacutesaacutera a veacuteges differenciaacutek moacutedszereacutet hasznaacuteljuk A teacuterbeli derivaacuteltakat a tartomaacuteny belsejeacuteben negyedrendű centraacutelis differenciaacutekkal koumlzeliacutetshyjuumlk a tartomaacuteny szeacutelei koumlzeleacuteben ugyancsak negyedrendű de nem centraacutelis diffeshyrenciaacutekat hasznaacutelunk a konvektiacutev derivaacuteltak koumlzeliacuteteacuteseacutere a [24] aacuteltal kidolgozott harmadrendű moacutedosiacutetott upwind seacutemaacutet alkalmazzuk Az időbeli diszkretizaacutecioacuteshyhoz els6rendű haladoacute differenciaacutekat hasznaacutelunk A moacutedszer reacuteszletesebb leiacuteraacutesa a [31 eacutes [5] dolgozatokban talaacutelhatoacute A sebesseacuteget a (21) (22) egyenletek koumlzvetlen integraacutelaacutesaacuteval kapjuk mikoumlzben minden időleacutepcs6ben kieleacutegiacutetjuumlk a (23) kontinuitaacutesi egyenletet A nyomaacuteselosztaacutest a (24) Poisson-egyenletből a szukszcessziacutev tuacutelrelashyxaacutelaacutes moacutedszereacutenek segiacutetseacutegeacutevel hataacuterozzuk meg minden id61eacutepcsőben A relaxaacutecioacutes parameacuteter eacuterteacutekeacutet 1 8-ra vaacutelasztva viszonylag gyors konvergenciaacutet tapasztaltunk A relatiacutev hibakorlaacutet W-6-re ill W-6-ra vaacutelasztaacutesa gyakorlatilag elhanyagolhatoacute kuumlloumlnbseacuteget jelentett a megoldaacutesban Ugyan a szerző tudataacuteban van annak hogy enneacutel modernebb eacutes hateacutekonyabb szaacutemiacutetaacutesi eljaacuteraacutesok is leacuteteznek de mivel a jelen moacutedszer alkalmazaacutesaacuteval a szakirodalomban talaacutelhatoacute kiacuteseacuterleti eredmeacutenyekkel joacutel egyező eredmeacutenyeket kapott elfogadhatoacute szaacutemiacutetaacutesi idő mellett iacutegy nem tekintette elsődleges szempontnak a modernebb eljaacuteraacutes alkalmazaacutesaacutet A numerikus diszkretishyzaacutecioacute soraacuten a (24) egyenletben a D divergencia n időleacutepcsőben eacuterveacutenyes id6 szerinti parciaacutelis derivaacutelt jaacutet a

(27)

oumlsszefuumlggeacutessel koumlzeliacutetjuumlk amely soraacuten a divergencia Dn+1 uacutej eacuterteacutekeacutet nullaacutenak vaacutelasztj uk Az elveacutegzett numerikus vizsgaacutelataink azt mutatjaacutek hogy ily moacutedon a Dn divergencia-teacuterben eacutes id6ben is egy igen kis eacuterteacutek alatt tarthatoacute (amely mint tudjuk a (3) eacutes (23) egyenletek alapjaacuten elmeacuteletileg nulla)

A koumlrhenger feluumlleteacuten leacutevő nyomaacuteseloszlaacutest amely rendkivuumll fontos a koumlrhenshyger eacutes folyadeacutek koumlzoumltt felleacutep ő erő meghataacuterozaacutesaacutehoz - a koumlvetkez6 harmadrendű formula segiacutetseacutegeacutevel szaacutermaztattuk a Taylor-sor felhasznaacutelaacutesaacuteval figyelembe veacuteve hogy flT = 10

-Pi3 + 4Pi2 [2~] Pil = ---------~

3 (28)

A (28) egyenletben az első (i) index a keruumlleti a maacutesodik index pedig a sugaacuteriraacutenyuacute koordinaacutetaacutera utal (a maacutesodik index 1 eacuterteacuteke a koumlrhenger feluumlleteacuten leacutevő jellemzőkre vonatkozik) Az egyenletben szerepel a nyomaacutes feluumlleti normaacutelis iraacutenyaacuteban vett (T szerinti) derivaacutelt ja is amely a (6) ill (25) peremfelteacutetellel van megadva Ezt a nyomaacutesderivaacuteltat minden időleacutepcs6ben a koumlrhenger koumlrnyezeteacuteben leacutevő sebesseacutegeloszlaacutes eacutes a henger ao gyorsulaacutesaacutenak felhasznaacutelaacutesaacuteval hataacuterozzuk meg A (25) egyenletben a 911 metrikus tenzorelem eacutes az x eacutes y koordinaacutetaacutek e eacutes T szeshyrinti derivaacutelt jai analitikus alakban szaacutermaztathatoacutek valamint a henger gyorsulaacutes aoxeacutes aoy komponenseinek időbeli vaacuteltozaacutesa is ismert iacutegy csak az u eacutes v sebesseacutegshykomponensek fal menti 1] szerinti maacutesodik derivaacutelt ja igeacutenyel komolyabb figyelmet



amelyre a Taylor-sor alkalmazaacutesaacuteval kapjuk a koumlvetkező harmadrendű formulaacutet

[02~] = --3P_Uil __ 1O_4_ui=2_+_11_4_ui~3 _-_5_6_ui4 _+_1_1_u~i~5 OT il 12 (~T)2

(29)

Az (5) peremfelteacutetel alapjaacuten a falon a sebesseacuteg eltűnik iacutegy Uil 0 maacutesreacuteszt ~T = 10 iacutegy a (29) oumlsszefuumlggeacutes tovaacutebb egyszerűsoumldik

Az alternaacuteloacute jelek spektrumaacutet a gyors Fourier-transzformaacutecioacuteval (FFT) kapjuk amelyekből meghataacuterozhatoacute az oumlrveacutenylevaacutelaacutes frekvenciaacuteja

A koumlvetkezőkben bemutatandoacute neacutehaacuteny szaacutemiacutetaacutesi eredmeacuteny toumlbbseacutege eseteacuteben R21Rl = 40 a dimenzioacutetlan időleacutepcső ~t =00005 raacutecspontok szaacutema 301x177 de kiproacutebaacuteltuk a ~t =000025 eacutes 481x288 eacuterteacutekeket is Tapasztalatunk az hogy ilyen haacuteloacute eseteacuten a megoldaacutesok gyakorlatilag maacuter haacuteloacutefuumlggetlen-nek tekinthetők A 2 aacutebra (laacutesd a [13] dolgozatot is) egy a főaacuteramIaacuteshoz keacutepest merőleges iraacutenyshyban rezgő hengerre (Re = 185 Ax = O Ay = 02 ISto 08 Sto 0195) vonatkozoacute a tehetetlenseacutegi erőt nem tartalmazoacute (laacutesd [8]) felhajtoacuteerő-teacutenyez6 id6-beli vaacuteltozaacutesaacutet mutatja a fent emliacutetett keacutet haacuteloacute eacutesid6leacutepcs6 kombinaacutecioacutera A pontvonal a durvaacutebb (301x177 ~t = 00005) a folytonos vonal a finomabb (481x288 ~t = 000025) haacuteloacutehoz tartozik Mivel a keacutet megoldaacutes gyakorlatilag egybeesik ezeacutert a szaacutemiacutetaacutesok toumlbbseacutegeacutet a kisebb szaacutemiacutetaacutesi id6t igeacutenyl6 durvaacutebb haacuteloacuten veacutegeztuumlk

Megjegyezzuumlk hogy a raacutecspontok szaacutemaacutet uacutegy vaacutelasztottuk meg hogy a (20) egyenlettel definiaacutelt AR raacutecsviszony koumlzeliacutet6leg egyseacutegnyi legyen (amely a R21 Rt sugaacuterviszony vaacuteltoztataacutesaacuteval pontosan egyseacutegnyi eacuterteacutekűre is beaacutellfthatoacute) A nyert sebesseacuteg- eacutes nyomaacuteseloszlaacutes ismereteacuteben szaacutemos maacutes jellemző is kiszaacutemiacutethatoacute peacuteldaacuteul az aacuteram- eacutes oumlrveacutenyvonal eloszlaacutes fejhajtoacuteer6- eacutes ellenaacutellaacutes-teacutenyező nyoshymaacutesteacutenyez6 nyomateacutekteacutenyez6 időbeli vaacuteltozaacutesa a torloacutepont eacutes a levaacutelaacutesi pontok időbeli vaacutendorlaacutesa eacutes egyeacuteb jellemz6k

Egy tetsz61eges periodikus fuumlggveacuteny id6aacutetlagaacutet eacutes rms rrns (root-meanshysquare) eacuterteacutekeacutet az

frms l l h+

mT

= -T f(t)dt m tl

1 l h+

mT

mT [f(t) tl

oumlsszefuumlggeacutesekből numerikus integraacutelaacutes felhasznaacutelaacutesaacuteval szaacutemiacutetottuk ahol tl az integraacutelaacutes alsoacute hataacutera T egy oumlrveacutenylevaacutelaacutesi ciklus (amely soraacuten a henger fels6 eacutes alsoacute feluumlleteacuten is levaacutelik egy-egy oumlrveacuteny) eacutes m a szaacuterniacutetaacuteshoz alapul vett ciklushysok szaacutema Mind az rms eacuterteacutekeket mind az id6aacutetlagokat toumlbb m eacuterteacutek eseteacutere meghataacuteroztuk a pontossaacuteg fokozaacutesa ceacuteljaacuteboacutel A periodikussaacute vaacutelt er6teacutenyezők id6-aacutetlagaacutet eacutes rms eacuterteacutekeacutet aacuteltalaacuteban 80-100 oumlrveacutenylevaacutelaacutesi ciklus alapjaacuten hataacuteroztuk meg de veacutegeztuumlnk 2000 perioacutedusra vonatkozoacute szaacutemiacutetaacutesokat is A hosszuacute eacutes roumlvid szaacutemiacutetaacutesokon alapuloacute eredmeacutenyek aacutetlaga eacutes rms eacuterteacuteke gyakorlatilag egybeesett

Mint ismeretes (laacutesd pl [2] [22]) az explicit moacutedszer eseteacuten az id6leacutepcsőt eleacuteg kicsire kell vaacutelasztani ahhoz Courant-Friedrichs-Levy (CFL) stabilitaacutesi felteacuteshytel teljesuumlljoumln Mivel a nagy pontossaacuteg eleacutereacuteseacutehez egyeacutebkeacutent is kis időleacutepcsőre van


KIS REYNOLDS SZAacuteMU AacuteRAMLAacuteS NUMERIKUS VIZSGAacuteLATA 233

02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02

Re=185 Ax=O Ay=O2 f=085tO=O156 fine mesh (-) coarser mesh (1

~

I I ~

I

2 aacutebra A tehetetlenseacutegi erőtől mentes felhajtoacuteer6-teacutenyező időbeli vaacuteltozaacutesa keacutet szaacutemiacutetaacutesi haacuteloacute eacutes időleacutepcső kombinaacutecioacutera (pontvonal 301x1776 = 00005 folytltr nos vonal 481x283 6t = 000025) a főaacuteramiaacutesra merőleges iraacutenyban rezgő henger eseteacuten (Re = 185 Ax = Oj Ay = 02 f = O 8Sto Sto 0195)

szuumlkseacuteg szaacutemiacutetaacutesaink soraacuten mindoumlssze igen kis Reynolds-szaacutemoknaacutel (Re ~ 5) forshydult elő instabilitaacutesi probleacutema amely az időleacutepcső tovaacutebbi csoumlkkenteacuteseacutevel mindig elkeruumllhető volt Mivel a jelen dolgozat az oumlrveacutenylevaacutelaacutesos tartomaacutenyra koncentshyraacutel (Re gt 47) iacutegy az adott vizsgaacutelatok soraacuten CFL stabilitaacutesi felteacutetel semmilyen korlaacutetozaacutest nem jelentett

41 Oumlsszehasonliacutetaacutes meacutereacutesi eacutes szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyekkel

E probleacutema megoldaacutesaacutera a szerző aacuteltal kidolgozott szaacutemiacutetoacutegeacutepes eljaacuteraacutes hibashykorlaacutet jaacutenak meghataacuterozaacutesa igen bonyolult lenne E helyett a szaacutemiacutetaacutesi haacuteloacute eacutes az időleacutepcső vaacuteltoztataacutesa hataacutesaacutenak vizsgaacutelataacuten tuacutel fontos eszkoumlz lehet a szakirltr dalomban rendelkezeacutesre aacutelloacute kiacuteseacuterleti eacutes szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyekkel toumlrteacutenő oumlsszehashysonliacutetaacutes A paacuterhuzamos aacuteramlaacutesba helyezett aacutelloacute koumlrhengerekre vonatkozoacutean nagy szaacutemuacute megbiacutezhatoacute meacutereacutesi eredmeacuteny talaacutelhatoacute a szakirodalomban amely sajnos nem mondhatoacute el a gyorsuloacute mozgaacutest veacutegző hengerek eseteacutere Ezeacutert strateacutegiaacutenk az hogy az aacutelloacute hengerre vonatkozoacute szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyek kiacuteseacuterleti eredmeacutenyekkel valoacute egyezeacutese utaacuten terjesztjuumlk ki a szaacutemiacutetaacutesi eljaacuteraacutest a bonyolultabb gyorsuloacute mozgaacutest veacutegző henger eseteacutere



A szakirodalomban talaacutelhatoacute koumlvetkez6 mennyiseacutegekre vonatkozoacute meacutereacutesi eredshymeacutenyekkel hasonliacutetottuk oumlssze a szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyeinket St(Re) Oumln (Re) Oumlpb(Re) CLrms(Re) Nu(Re) aacuteramlaacutes megjeleniacuteteacutes Itt Nu az aacutellandoacute h6meacutershyseacutekleten tartott fűtoumltt hengerre vonatkozoacute dimenzioacutetlan h6aacutetadaacutesi teacutenyező vagy Nusselt-szaacutem amelyet uacutegy nyertuumlnk hogy az alapegyenlet-rendszeruumlnket kiegeacutesziacuteshytettuumlk egy energiaegyenlettel (laacutesd [5]) Minden mennyiseacuteg tekinteteacuteben joacute egyezeacutest tapasztaltunk a kiacuteseacuterleti eacutes szaacutemiacutetott eredmeacutenyek koumlzoumltt Ezek koumlzuumll itt most csak neacutehaacutenyat mutatunk be

A szaacutemiacutetott eacutes meacutert ellenaacutellaacutes-teacutenyező időaacutetlagaacutenak oumlsszehasonliacutetaacutesaacutet mutatja a Reynolds-szaacutem fuumlggveacutenyeacuteben a 3 aacutebra amelynek eredetije peacuteldaacuteul a [34] koumlnyvshyben talaacutelhatoacute A koumlr alakuacute jelek a meacutereacutesi a kereszt alakuacute jelek pedig a jelen szerző szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyeit mutatjaacutek Laacutethatoacute hogy az 10 lt Re lt 200 tartoshymaacutenyban joacute az egyezeacutes Re gt 200 eseteacuten pedig a 2D szaacutemiacutetaacutesi eljaacuteraacutes feluumllbecsuumlli a teacutenyleges ellenaacutellaacutes-teacutenyezőt Ez oumlsszhangban van [14] eredmeacutenyeivel akik a Floquet-anaIiacutezis segiacutetseacutegeacutevel igazoltAk hogy koumlruumllbeluumll Re 190-neacutel haacuterom-dimenshyzioacutes (3D) instabilitaacutesok jelennek meg a koumlrhenger koumlruumlli suacuterloacutedaacutesos aacuteramIaacutesban eacutes iacutegy e Reynolds-szaacutem foacuteloumltt aacutelloacute henger eseteacuten maacuter 3D numerikus szimulaacutecioacutes eljaacuteshyraacutest kell hasznaacutelni Mint maacuter emliacutetettuumlk az ellenaacutellaacutes-teacutenyező mellett szaacutemos maacutes jellemzőt is oumlsszehasonliacutetottunk a Reynolds-szaacutem fuumlggveacutenyeacuteben adott meacutereacutesi eredshymeacutenyekkel iacutegy a haacutetsoacute nyomaacutesteacutenyező id6aacutetlagaacutet a dimenzioacutetlan oumlrveacutenylevaacutelaacutesi frekvenciaacutet vagy Strouhal-szaacutemot eacutes a felhajtoacuteerő teacutenyez6 rrns eacuterteacutekeacutet Ezeken tuacutel az alapegyenleteket egy energiaegyenlettel kiegeacutesziacutetve meghataacuteroztuk a paacuterhuzashymos aacuteramlaacutesba helyezett aacutelloacute aacutellandoacute feluumlleti h6meacuterseacutekletuacute koumlrhenger dimenzioacutetlan h6aacutetadaacutesi teacutenyezőjeacutet az uacuten Nusselt-szaacutemot amelynek id6aacutetlagaacutet szinteacuten oumlssze

I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II

3 aacutebra Az ellenaacutellaacutes-teacutenyező id6aacutetlaga a Reynolds-szaacutem fuumlggveacutenyeacuteben


KIS REYNOLDS SZAMUacute ARAMLAs NUMERIKUS VIZSGALATA 235

tudtuk hasonliacutetani a szakirodalomban rendelkezeacutesre aacutelloacute meacutereacutesi eredmeacutenyekkel Az oumlsszes felsorolt esetben joacute egyezeacutest talaacuteltunk A hely hiaacutenya miatt ezek koumlzuumll csak a Cph haacutetsoacute nyomaacutesteacutenyez6 id6aacutetlagaacutenak kiacuteseacuterleti eredmeacutenyekkel (laacutesd [33]) toumlrteacuten6 oumlsszehasonliacutetaacutesaacutet mutatjuk be (laacutesd 4 aacutebra) Az aacutebraacuten joacute egyezeacutes laacutethatoacute eltekintve az Re = 180 eacuterteacutekhez tartozoacute Cpb eacuterteacutekeacutet61 Ebben a pontban a meacutereacutesneacutel jelenlev6 zavaraacutesok feler6siacutetik a haacuterom-dimenzioacutes hataacutesokat valoacutesziacutemlleg ez okozhatja e pontban a nagyobb elteacutereacutest Az aacutebra tartalmazza meacuteg a Cpb rrns eacuterteacutekeacutenek Reynolds-szaacutemtoacutel valoacute fuumlggeacuteseacutet is

10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----

4 aacutebra A Cpb id6aacutetlaga eacutes rms eacuterteacuteke a Reynolds-szaacutem fuumlggveacutenyeacuteben

Mint peacuteldaacuteul a [36] dolgozatboacutel ismeretes a paacuterhuzamos aacuteramlaacutesba helyezett aacutelloacute koumlrhenger eseteacuten 47 alatti Reynolds-szaacutemoknaacutel az aacuteramlaacutes stacionaacuterius eacutes a koumlrhenger moumlgoumltt keacutet aacutelloacute ikeroumlrveacuteny helyezkedik el amelyek nem vaacutelnak le a henshygerr61 Az Re = 47 koumlrnyezeteacuteben a Hopf-bifurkaacutecioacute miatt megindul a henger keacutet oldalaacuten a periodikus oumlrveacuteny levaacutelaacutes eacutes enneacutel nagyobb Re eacuterteacutek eseteacuten az aacuteramlaacutes instacionaacuteriussaacute vaacutelik Sok szerz6 veacutegzett mind a stacionaacuterius mind az instacioshynaacuterius aacuteramlaacutesi tartomaacutenyban aacuteramlaacutes-megjelenfteacuteses kiacuteseacuterleteket az eredmeacutenyek gazdag taacuterhaacuteza a [20] koumlnyv A jelen szerz6 szerz6taacutersaacuteval (laacutesd [37]) szaacutemos koumlrhenger koumlruumlli stacionaacuterius aacuteramlaacutesra kiszaacutemiacutetotta az aacuteramkeacutepeket eacutes oumlsszeshyhasonliacutetva azokat aacuteramlaacutes-megjeleniacuteteacuteses fotoacutekkal igen joacute egyezeacutest tapasztalt Itt a helyhiaacuteny miatt csak egy ilyen esetet mutatunk be (laacutesd a 5 aacutebra) A vizsshygaacutelt esetben Re = 26 A bal oldali aacutebra az alumiacutenium porral toumlrteacuten6 kiacuteseacuterleti aacuteramlaacutes~megjeleniacuteteacutest mutatja amelyet Taneda keacutesziacutetett 1956-ban eacutes a [20] koumlnyvshyben talaacutelhatoacute a jobb oldalon pedig a szaacutemiacutetott aacuteramkeacutep talaacutelhatoacute Laacutethatoacute hogy az egyezeacutes igen joacute


236 BARANYI LASZLOacute

5 aacutebra Koumlrhenger koumlruumlli aacuteramlaacutes Re 26 eseteacuten Baloldal kiacuteseacuterleti jobb oldal szaacutemiacutetott

A kiacuteseacuterleti oumlsszehasonliacutetaacutes mellett a szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyeket maacutes szaacutemiacutetaacutesi moacutedszerekkel nyert eredmeacutenyekkel is oumlsszehasonliacutetottuk Az egyik ilyen volt a spektraacutelis elem moacutedszer amely soraacuten S Sherwin (Department of Aeronautictl Imperial College of Science Technology and Medicine London UK) nem pubshylikaacutelt eredmeacutenyeivel hasonliacutetottuk oumlssze sajaacutet szaacutemiacutetaacutesainkat amelyről a [4]-ben szaacutemoltunk be Egy maacutesik oumlsszehasonliacutetaacutest a feluumlleti oumlrveacutenyek moacutedszereacutevel nyert eredmeacutenyekkel tettuumlk eacuteS igen joacute egyezeacutest talaacuteltunk amelyről a [9]-ben szaacutemoltunk be Ugyancsak kivaacuteloacute egyezeacutest tapasztaltunk maacutes szerzők szaacutemiacutetott eredmeacutenyei ve l az ellenaacutellaacutes-teacutenyező falsuacuterloacutedaacutesboacutel szaacutermazoacute reacuteszeacutenek tekinteteacuteben is (laacutesd [13])

Az aacutelloacute hengerre vonatkozoacute oumlsszehasonliacutetaacutesok mellett szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyeink hossz- illetve keresztiraacutenyuacute rezgeacutest valamint koumlrmozgaacutes t veacutegz5 hengerekre vonatshykozoacutean maacutes szerzők szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyeivel is oumlsszehasonliacutetottuk (laacutesd [13]) ameshylyek koumlzuumll csak egyet kiacutevaacutenunk itt bemutatni A 6(a) eacutes 6(b) aacutebraacutekon a tehetetlen-

erőt nem tartalmazoacute (laacutesd [8]) CD ellenaacutellaacutes-teacutenyező eacutes a CL felhajtoacuteerő-teacutenyező

időbeli vaacuteltozaacutesai laacutethatoacutek keresztiraacutenyban rezgő henger eseteacuten A 6(a) aacutebra a szelz5 sajaacutet szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyeit mutatja a durvaacutebb haacuteloacute eacutes időleacutepcső (301x177 Jt = 00005 laacutesd tovaacutebbaacute a 2 aacutebraacutet mindkeacutet haacuteloacute eseteacutere) a 6(b) aacutebra pedig Lu eacutes Dalton [26) ugyanerre az esetre vonatkozoacute eredmeacutenyeit mutatja egy finomabb eacutes egy durvaacutebb haacuteloacute eseteacutere Laacutethatoacute hogy a keacutet szaacutemiacutetaacutes eredmeacutenye igen hasonloacute a 126]-ban mindkeacutet szaacutemiacutetaacutesi haacuteloacute eset eacuten CD = 125 ill CLrms = O 18 eacuterteacuteket adnak meg a jelen szaacutemiacutetaacutesok pedig finom haacuteloacute eseteacuten CD 1244 ill CLrms 0185 durva haacuteloacute eseteacuten pedig CD 1243 ill CLrms = 0185 eacuterteacutekeket szolgaacuteltattak A 6(a) eacutes 6(b) aacutebra viacutezszintes tengelyein leacutevő eacuterteacutekek kuumlloumlnboumlzőseacutege az id5 dimenzioacutetlaniacutetaacutesaacutenak kuumlloumlnboumlző voltaacuteboacutel szaacutermazik

Hasonloacutean joacute egyezeacutest nyertuumlnk akkor is amikor eredmeacutenyeinket AI-Mdallal eacutes szerzőtaacutersai (1) aacuteltal a főaacuteramlaacutes iraacutenyaacuteban rezgőmozgaacutest veacutegző henger ill a koumlrpaacutelyaacuten keringő henger (laacutesd [19]) koumlruumlli aacuterarnlaacutesra vonatkozoacute eredmeacutenyeivel hashysonliacutetottuk őssze (laacutesd [13]) Miutaacuten meggyoumlződtuumlnk roacutela hogy a paacuterhuzamos aacuteramiaacutesba helyezett aacutelloacute hossz- eacutes keresztiraacutenyban rezg5 valamint a koumlrpaacutelyaacuten kering5 henger koumlruumlli aacuteramlaacutesra joacutel műkoumldik a kifejlesztett szaacutemiacutetaacutesi eljaacuteraacutes raacuteshyteacutertuumlnk a paacuterhuzamos aacuteramiaacutesba helyezett ellipszis paacutelyaacuten keringő henger koumlruumlli

Alkalmazott M atematiacutekai Laljok (2009)

237 KIS REYNOLDS SZAMU ARAMLAs NUMERIKUS VIZSGALATA

U~ I

i---f-A

I

tf ai poundJ J f ( -- ~jJjV

~1 ~--~--n~r-middotmiddotmiddot-middot~n----rNMWM yen-O~~-M-1M

n_m$liIlt

6 abra A tehetetlensegi er6toI mentes felhajt6er6- es ellenAllas-tlmyezo idobeli vAltozasa (a) a szerz6 es (b) Lu ea Dalton [26] szamitasai alapjAn (Re 185 Ax = OJ Ay = 02 f = 0 8rms Sto Sto = 0195)

aramlas vizsgAlatara A gyakorlatban eI6fordul hogy a henger nemcsak keresztshyvagy hosszirAnyban hanem mindket irAnyban rezeg A vizsgaland6 ellipszis palya a henger hossz- es keresztirAnyft rezgesenek szuperpozici6jakent Allithat6 elo

5 A henger ellipszis palyan torteuromo mozgasa

A 7 abrAn az ellipszis pAlyAn mozg6 korhengerre vonatkoz6 elrendezea lathat6 Az ellipszispAlyat ket azonos frekvenciaju harrnonikus rezgomozgas eredojeklmt kapjuk Az egysegnyi atmer6ju henger (minden hosszusagot a d hengeratmer6vel dimenzi6tlanitunk) xo Yo kozeppontjanak mozgasa a kovetkero m6don frhat6le

yo (t) = Ay sin (2IIJyt) (30)

ahol az UId-vel dimenzi6tlanitott frekvenciAk azonosak fx = III = f az AJ Ay az ellipszis dimenzi6tlan nagy- ea kistengelye A (30) egyenletet at dimenzi6tlan id6 szerint egyszer vagy ketszer derivAlva megkapjuk a henger vo sebessegenek es ao gyorsulasAnak komponenseit Termeszetesen ebben az esetben mivel a henger forg6mozgast nem vegez minden pontjAnak azonos a sebessege Ha az Ax es Ay is nullat61 klilonbOzo akkor a (30) egyenletb61 ellipszist kapunk (szaggatott vonal jelzi a 7 abrAn) amelynek az e = AylAx ellipticitasa az All noveleaevel (rogzitett AJ mellett) no Az e = 0 eseten a henger kozeppontja csak longitudinAlis rezgest vegez mig e = 1 eseten korpAlyAn mozog A (30) egyenlet 6ramutat6 jarasaval elshylentetes hengermozgast eredmenyezj az yo e16jelenek megvAltoztatasaval6ramutat6 jarasaval egyez6 bolyg6mozgast kapunk

Minden egyes szamitasi sorozat eseteben az Re Reynolds-szamot a rezgeaek Ax amplitud6jat valamint az f dimenzi6tlan frekvenciajat rogzftett erteken tart-


238 BARANYI LAsZL6

juk es az All amplitud6t (s ezzel az e ellipticitAst) valtoztatjuk Az f erteket ugy valasztjuk meg hogy az kozel essen az adott Reynolds-szamu alI6 hengerr61 leshyval6 orvenyek Sto dimenzi6tlan orvenylevalAsi frekvenciajAhoz es hogy a szinkronishyzal6dAs (az angol szakirodalomban Iock-in-nak nevezett jelenseg) a teljes vizsgalt All ill e tartomanyban fennalIjon A lock-in alIapot jellemz6je hogy az orvenyshylevaIAs frekvenciaja megegyezik (szinkronizal6dik) a henger rezgesenek frekvencishyajaval A vizsgalatainkat a jeIen tanulmanyban 110 lt Re lt 190 Reynolds-szam tartomanyban vegeztiik Re lt 110 eseten altalaban nem jelentkeztek azok az ugrAsok amelyek tanulmanyunk vizsgalatanak tArgyai SzamitAsi tapasztalatunk azt mutatja hogy egy bizonyos Reynolds-szam kiiszob alatt nem alakul ki ez a jelenseg Mivel a [25] es [32] dolgozatokban bebizonyitottAk bogy a rezges er6shysiti az AramIAs ketdimenzi6s voltat fgy ott a hArom-dimenzi6s jelensegek nagyobb Reynolds-szamnal jelentkeznek mint a116 korhenger eseten EzaltaI biztosftott hogy az adott Re tartomanyban az aramlAs ketdimenzi6s es igy a szamftAsi eljArAsunk ezekre az esetekre megbfzhat6an hasznalhat6 Ezt tamasztja ala a [11] dolgozatunk is amelyben az Re S 300 Reynolds-szam tartomanyban vegzett vizsshygalataink soran az itt bemutatottakhoz hasonl6 eredmlmyekre jutottunk

)(

7 libra Henger ellipszis palyan torten6 keringese

Erdekes jelenseget tapasztaltunk amikor homogen pArhuzamos AramlAsba helyezett ellipszis palyan mozg6 korhenger eseten a CL felhajt6er6-tenyez6 a CD ellenallAs-tenyez6 es a Cpo hats6 nyomAsteuromyez6 (base pressure coefficient) id6shyatlagat es az oszcillaI6 jel amplitUd6jara jellemz6 effektfv kozeperteket (rms ertek) vizsgAltuk rogzftett Re Ax es f ertekek eseten A jellemz6ket az e ellipticitAs fiiggvenyeben felrajzolva azok mindegyikeben ugyanazon az e ertekeknel hirtelen ugrasszenl valtozAst tapasztaltunk lasd [6] [7] [10] es [13] Egy tipikus peldat mushytat erre az 6ramutat6 jArAsaval ellentetes iranyban (aclw) kering6 henger eseteurom a 8 abra ahol Re = 140 Ax = 04 f 09Sto (Sto = 0 1821) parameterek mellett a CL id6atlagat abrazoljuk az e ellipticitAs fiiggvenyeben Az abran hArom ugrAs lathat6 Mind az als6 mind a fels6 gorbe menten - nevezziik 6ket a tovabbiakban


239 KIS REYNOLDS SZAMU ARAMLAS NUMERIKUS VIZSGALATA

allapotgorbe1mek - a fiiggveny erteke kozel lineArisan csokken e novekedesevel az iranytangensiik is kozeI azonos fgy a ket gorbe kozti tavoIsag is kozel alland6 Tershymeszetesen a fels6 gorben nagyobb a felhajt6er() id6atlaga mint az als6 gorben A jelen szerwa [6] es [7] dolgozataiban megmutatta hogy a CL felhajt6er()-tenyez6 id()beli valtozasa az ugras el6tti es utani e ellipticitas ertekek eseten jelent6sen kiilonbOzik egymast61 amely az orvenylevalas szerkezetenek megvaItozasAra utal

015

005

i -005

5 U -015

-025

-035

Re1l140 Ax-Q4 t-O9Sfo-G16389

bull- I f2~ ~ -

8 abra A felhajt6er6-tEmyez6 id6atlaga az ellipticitas fiiggvenyeben

Vizsgalataink azt mutatjak hogy amikor a fenti hArom mennyiseg rms erteket ill a CD es a Cpb mennyisegek id6atlagat abrazoljuk az e fiiggv(myeben akkor mind az ot esetben a 8 abran bemutatott esett61 kiilonboz() de egymashoz abban hasonshyIft6 gorbeket kapunk hogy a ket allapotgorbe az e =0 erteknel metszi egymast es e ertekenek novekedesevel a ket allapotgorbe egyre jobban eltavolodik egymast61 Tehat amennyiben a henger csak longitudinalis rezgest vegez (e = 0) akkor e elemi novelesevel a ket allapotgorbe kozti kiilonbseg is elemi marad szemben a 8 abran bemutatottakt61 Termeszetesen e gt 0 esetben elemi kis e vaItozashoz a fiigg6 valtoz6 veges nagysagu megvaItozasa tartozhat Mivel az emlitett 5 jellemz6 valtozasa egymashoz hason16 gy koziiliik itt csak egy tipikus - a 9 abran lathat6 esetet a CLrms(e) fiiggvenyt mutatjuk be amely ugyanazon parameterertekekhez tartozik mint a 8 abra Ez az eredmeny is azt az elgondolast tamogatja hogy a vizsgalt e tartomanyban ket fajta orvenylevalas fordulhat e16 ea ezert a CL(t) CD(t) es Cpb(t) fiiggvenyek mindegyikenek ket megoldasa lehet Megjegyezziik hogy mind a 6 emlitett esetben azonos szamu ugrast talaltunk es az ugrasok helye is azonos volt


240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12

9 abra A felhajt6erotenyez6 rms erteke az ellipticitas fiiggv(myeben

6 Mechanikai energiaatadas a folyadek es a henger kozott

A parhuzamos aramlas iranyara merolegesen rezgo henger es a folyadek kozti mechanikai energiaatadast Blackburn es Henderson [16] vizsgalta eioszor Az 0 elmeletiiket terjesztjiik itt ki a henger 2D mozgasara Az ellipszis palyan kering6 henger eseten a folyadek es henger kozott longitudinalis es transzverzaIis iranyban is van mechanikai energiaatadas Az E fajlagos mechanikai energiaatshyadasi tenyezo erteket akkor vizsgaIjuk amikor az aramlas mar periodikus igy a dimenzi6tlan Xo (t) Yo (t) hengerelmozdulas koordinataib61 es a hengerre jellemzo CL (t) es CD (t) er6tenyezokbOl a (yO (t) CL (t)) ea (Xo (t) CD (t)) hatarciklusok kepezhetOk Az energiacseret akkor tekintjiik pozitfvnak ha a hengeren tortenik a munkavegzes azaz ha a folyadek energiat ad at a hengernek es negatfvnak ha a henger ad at energiat a folyadeknak

Terjessziik most ki most a [16] egy T orvenylevalasi peri6dusra vonatkoztatott E mechanikai energiaatadasi tenyezojenek definfci6jat ellipszis paIyan mozg6 henshyger egysegnyi hosszusagu szelvenyere Legyen

2 T _2 11 shyE = pU2d2 0 Fmiddot voUdt pU2d2 10 (FDVOx + FLVOll ) dt =

(31)

= loT (CDXO + CLiJo) dt = E2 + El

teMt

El = lT CL (t) YO (t) dt E2 = lT CD (t) xo (t) dt (32)



Megjegyezzuumlk hogy a (31) egyenletben az 1 eacutes 2 egyenl6seacutegjel utaacuteni mennyiseacuteshygek mind dimenzioacutes fizikai mennyiseacutegek miacuteg a 3 eacutes 4 egyen16seacutegjel utaacuten maacuter csak dimenzioacutetlan mennyiseacutegek szerepelnek Az egyenletben p a folyadeacutek sl1rl1seacutege U a paacuterhuzamos aacuteramlaacutes sebesseacutege d a henger aacutetmeacuter6je F FDi + Fd az egyseacutegnyi hosszuacutesaacuteguacute hengerre hatoacute er6vektor amelynek komponensei a paacuterhuzamos aacuteramlaacutes iraacutenyaacuteban hatoacute FD ellenaacutellaacutes eacutes az arra mer6leges FL felhajt6er6 i j az x y iraacutenyba mutat6 egyseacutegvektorok Vo = voxi+voyj a henger koumlzeacuteppontjaacutenak sebesseacutegvektora i [s] az idő T [s] az oumlrveacutenylevaacutelaacutes peri6dusideje miacuteg a nekik megfelelő t eacutes T mennyishyseacutegek a djU mennyiseacuteggel vannak dimenzioacutetlaniacutetva A (31) egyenletben szerepl6 CL eacutes CD a Jeloumlleacutesjegyzeacutekben definiaacutelt felhajtoacuteerő-teacutenyező ill ellenaacutellaacutes-teacutenyez6 Xo eacutes Yo pedig a henger koumlzeacuteppontjaacutenak U-val dimenzioacutetlaniacutetott x ill y iraacutenyuacute sebesseacutegkomponense Az egyenletb6llaacutethatoacute hogy az energiaaacutetadaacutes az (x y) iraacuteshynyokban vett energiacsereacutek oumlsszegekeacutent aacutelliacutethatoacute elő El + E2 Az E mechanikai energiaaacutetadaacutesi teacutenyez6 (31) definiacutecioacuteja abban a hataacutereset ben amikor a henger csak keresztiraacutenyuacute vagy transzverzaacutelis (y) rezgeacutest veacutegez eacuteppen a [16] aacuteltal bevezetett energiaaacutetadaacutesi teacutenyez6 oumlsszefuumlggeacuteseacutet szolgaacuteltatja E = El Csak longitudinaacutelis (x iraacutenyuacute) rezgeacutest veacutegz6 henger eseteacuten E E2 adoacutedik Az El eacutes E2 eacuterteacutekeit a (32) egyenletek alapjaacuten szaacutemiacutetjuk a t dimenzioacutetlan időben egyenkoumlzl1 osztaacutesban diszkreacutet pontokban adott fuumlggveacutenyek numerikus integraacutelaacutesa segiacutetseacutegeacutevel

A Stokes-teacutetel siacutekbeli esetre vonatkoz6 speciaacutelis alakja a Green-teacutetel (laacutesd peacutelshydaacuteul [21] eacutes [30] koumlnyveket) felhasznaacutelaacutesaacuteval az El eacutes E2 energiaaacutetadaacutesi teacutenyezőknek geometriai jelenteacutest is tulajdoniacutethatunk A Green-teacutetel alkalmazaacutesaacuteval (amely toumlbshybek koumlzoumltt siacutekidomok teruumlleteacutenek vonalintegraacutellal toumlrteacuten6 kiszaacutemiacutetaacutesaacutera is hasznaacutelshyhatoacute) az El aacutetalakiacutethatoacute

El = loT Cdt) Yo (t) dt = 1 CLdyo

= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)

ahol a vonallntegraacutelokat az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval egyező iraacutenyban kell elveacutegezni a (Vo CL) hataacuterciklust jelentő zaacutert goumlrbe menteacuten Ehhez hasonloacutean az x iraacutenyuacute energiaaacutetadaacutesi teacutenyez6 oumlsszefuumlggeacutese is aacutetalakiacutethatoacute

E2 = loT CD (t) Xo (t) dt = 1 CDdxo = - 1 XOdCD

= ~ (1 CDdxO l XOdYD )

(34)

A vonalintegraacutelokat itt is az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval egyezeacuteS iraacutenyban kell elveacutegezni az (xo CD) hataacuterciklust jelentő zaacutert goumlrbe menteacuten

Az El eacutes E2 mennyiseacutegek geometriai jelenteacutese az (Yo CL) ill (xo CD) hataacutershyciklusok aacuteltal hataacuterolt e16jelhelyes teruumllet Baacutermely mennyiseacuteg akkor pozitiacutev ha a hozzaacute tartozoacute hataacuterciklus goumlrbeacuteje az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval megegyez6 iraacutenyiacutetaacutesuacute



Baacuter az El eacutes E2 eacuterteacutekeit a (32) egyenletek alapjaacuten ceacutelszerű meghataacuterozni a (33) eacutes (34) egyenletek szemleacuteletes geometriai jelenteacutest adnak e mennyiseacutegeknek A (31) egyenlet alapjaacuten a koumlrhenger eacutes a folyadeacutek koumlzti teljes energiaaacutetadaacutesi teacutenyező

7 Szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyek eacutes diszkusszioacute

A vizsgaacutelatok elveacutegzeacuteseacutehez igen nagy szaacutemuacute esetet vettuumlnk figyelembe A henshyger dimenzioacutetlan I = lx = ly rezgeacutesi frekvenciaacutejaacutet a O 7Sto lt I lt 1 ISto koumlzoumltt fj1 = 005Sto leacutepcsőzeacutessel vaacuteltoztattuk ahol Sto az adott Reynolds-szaacutemhoz tarshytozoacute aacutelloacute henger dimenzioacutetlan oumlrveacutenylevaacutelaacutesi frekvenciaacuteja Meacuteg egy adott frekvenshyciaacutehoz tartozoacutean is sok szaacutemiacutetaacutest veacutegeztuumlnk Peacuteldaacuteul az I = 09Sto frekvenciaacutenaacutel 5 kuumlloumlnboumlző szaacutemiacutetaacutesi sorozatot eacuterteacutekeltuumlnk ki Re = 120-naacutel eacutes Re = 140-neacutel Ax = 04 Re = 160-naacutel Ax = 02 eacutes Ax = 03 Re = 180-naacutel Ax = 03 Az emshyliacutetett oumltből itt most csak egy esetet mutatunk be mivel a toumlbbi is hasonloacute jellegű eredmeacutenyeket adott

71 Energiaaacutetadaacutesra vonatkozoacute eredmeacutenyek

A bemutatott szaacutemiacutetaacutesi esetet az

Re = 160 Ax = 03 eacutes I = O 9Sto = O 16938

parameacuteterek jellemzik A szaacutemiacutetaacutesokat mind oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval egyező (cl w) mind azzal ellenteacutetes (aclw) iraacutenyban keringő henger eseteacutere elveacutegeztuumlk Az e ellipticitaacutes eacuterteacuteke egy szaacutemiacutetaacuteson beluumll roumlgziacutetett Az e eacuterteacutekeit a O (tisztaacuten lonshygitudinaacutelis rezgeacutes) eacuterteacutektől az 12 eacuterteacutekig (koumlrpaacutelyaacuten tuacutel) uacutegy vaacutelasztottuk hogy viszonylag egyenletesen eacutes sűrűn lefedje a vizsgaacutelt tartomaacutenyt eacutes iacutegy minden ugraacutest ki tudjunk mutatni Amikor egy ugraacutest talaacuteltunk akkor annak mindkeacutet oldalaacuten szaacuteshymos uacutejabb szaacutemiacutetaacutest veacutegeztuumlnk az ugraacutes helyeacutenek lokalizaacutelaacutesa ceacuteljaacuteboacutel A kezdeti felteacutetelt mindkeacutet iraacutenyuacute keringeacutes eseteacuten azonosra vaacutelasztottuk Xo (t = O) = Ax

Yo (t = O) = o A nagy szaacutemuacute szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyből itt csak egy jellemző peacuteldaacutet mutatunk be

A 10-12 aacutebraacutek a fajlagos mechanikai energiaaacutetadaacutesi teacutenyezők (El E2 E) vaacutelshytozaacutesaacutet mutatjaacutek az e ellipticitaacutes fuumlggveacutenyeacuteben a fent emliacutetett parameacuteterek mellett mind az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval azonos mind azzal ellenteacutetes iraacutenyban keringő henger eseteacuten A 10 aacutebra a henger transzverzaacutelis mozgaacutesoumlsszetevőjeacuteből szaacutermazoacute folyadeacutek eacutes test koumlzoumltti El energiaaacutetadaacutesi teacutenyezőt mutatja Az uumlres neacutegyzet jelek az oacuterashymutatoacute jaacuteraacutesaacuteval egyező (az aacutebraacuten clw-veljeloumllve) a toumlmoumlr haacuteromszoumlgek pedig az azzal ellenteacutetes (az aacutebraacuten aclw-vel jeloumllve) iraacutenyuacute keringeacuteshez tartozoacute szaacutemiacutetaacutesi eredmeacutenyeket mutatjaacutek Mindkeacutet keringeacutesi iraacutenyhoz egy paacuter burkoloacutegoumlrbe vagy aacutellapotgoumlrbe tartozik amelyek e = O eacuterteacutekneacutel metszik egymaacutest eacutes ez a keacutet paacuter


-- --


burkol6gorbe vonalvastagsagon beliil megegyezik egymassal Az abrar61 az is latshyhat6 hogy az ugrasok helye is azonos a ket keringesi irany eseten Vegyiik eszre hogy a felso allapotgorben El gt 0 ami azt jelenti hogy a folyadek energiat ad at a hengernek Ugyanakkor az als6 allapotgorben El lt 0 ilyenkor az energiaatadas forditott iranyu es ez a henger mozgasat fekezni igyekszik

fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~

10 abra Az El energiaatadasi tenyezo erteke az ellipticitas fiiggvenyeben

fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074

11 abra Az E2 energiaatadasi tenyezo erteke az ellipticitas fiiggvenyeben


244 BARANYI LAsZLO

A 11 abra a henger longitudinalis iranyu mozgasosszetev6jeb61 szarmaz6 folyadek es test kozotti E2 energiaatadasi tlmyez6t mritatja az e fiiggv(myeben A gorbek reszben hason16ak a 10 AbrAn bemutatottakhoz (kat pAr egybees6 burkoshy16gorbe azonos helyen Iev6 ugrasok) ugyanakkor megfigyelhet6 hogy az E2 erMkek mindket burko16gorben negativak Ez azt jelenti hogy a folyadek energiat nyer a hengert61 es fekezni igyekszik annak mozgasat

Az El es E2 energiaAtadasi tenyez6k E osszeget a 12 Abra mutatja A ket burkol6gorbe alakja az El alakjAhoz hason16 de az E ertekek - az E2 ertekekhez hason16an mindket burko16gorben negativak tgy egy kering6 mozgast vegz6 henger es az Aram16 folyadek kozott a meehanikai energiacsere mindig negativ azaz a henger ad At energiAt a folyadeknak a keringes iranyat61 fiiggetleniil a teljes vizsgAlt e tartomanyban Egy orvenylevAIAsi ciklus esetlm tehAt a mozg6 henger vegez munkat a folyadekon es a folyadek egyfajta ellenAllast gyakorol a henger mozgasaval szemben

Re1l160 AxlIiIO3 -055

-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~

12 Abra Az E = El +E2 energiaatadasi tenyez6 erteke az ellipticitas fiiggvenye ben

Itt szeretnenk megjegyezni hogy bar a 10-12 Abrakon bemutatott er6tlmyeshyz6k (es az osszes t5bbi 9 abran bemutatott tipusu Allapotgorbek is) ket kerinshygesi irAnyhoz tartoz6 gorbei szimmetria okok miatt egybeesnek ez nines fgy azon tipusu hatArgorbek esetlm amelyek kozel pArhuzamosak egymassal (lAsd 9 Abra) A 13 Abra a CL felhajt6er6-tenyez6 vAltozasAt mutatja az e ellipticitAs fiiggshyvenyeben A jelek az 6ramutat6 jArAsAval ellentetes (aclw) aD jelek pedig azzal megegyez6 iranyitasu (clw) bolyg6mozgas esetere vonatkoznak Az aclw esethez tartoz6 Allapotgorbek in1nytangense most is negativ (mint azt a 8 Abran is lAtshytuk) az 6ramutat6 jArasAhoz (clw) tartoz6an viszont pozitiv iranytangenst kapunk Vegyiik eszre hogy mindket mozgAshoz egy-egy pAr Allapotgorbe tartozik amelyek



most is paronklmt kozel parhuzamosak egymassal Az abrat kozelebbrOl megvizsshygaIva feltunik hogy a ket gorbe a vfzszintes tengelyre vett tiikorkepe egymasnak Az hogy a ket keringesi iranyhoz tartoz6 felbajt6er6nek kiiIonbOznie kell egymasshyt61 konnyen belathat6 A clw esetben amikor a henger a paIyaja legmagasabb (0 Ay) ill legalacsonyabb (0 -Ay) pontjaban van akkor a henger x irAnyfi maxishymaIis sebessege (uo max = 21rfAxj lasd a (30) egyenlet t szerinti derivaItjat) hozzashyad6dik az U megfuvasi sebesseghez ill kivon6dik abb6l Az ellenkez6 keringesi irany (aclw) eseten ez eppen fordftva van A kiiIonbOz6 sebessegek miatt mas a test mentEm kialakul6 nyomas es a nyir6fesziiItseg amely a mozgas szimmetriajat is tekintve testre hat6 fiiggOleges er6k kiiIonbOz6segehez vezet A 10-13 abrakr61 lathat6 hogy a forgasirany megvaItoztatasa nem vaItoztatja meg az ugrasok helyet es szamat

Szemben a hengermozgas iranyitasanak megvaltoztatasaval a henger mozgashysara vonatkoz6 kezdeti feltatelben (amely peldaul egy szoggel jellemezhet6 jelOlshyjiik e-val) tOrten6 vaItoztatas megvaItoztathatja azokat az e ellipticitas ertekeket amelyeknel az orvlmystruktura ugrasszeruen valtozik meg Ennek a vizsgaIataval is foglalkoztunk a [13] dolgozatban de erre itt most nem kivanunk kitemi Az e ellipshyticitas (as egyeb parameterek) kis megvaItozasa eseten bizonyos esetekben fellep6 ugrasszeru megvaltozas egy megkozelitese az hogy a vizsgaIt nemlinearis probleshymahoz val6szinuleg kat periodikus attraktor (attractor) tartozik egy-egy vonzasi tartomannyal (basin of attraction) Az e ellipticitasi parameter ertekenek megshyvaltoztatasaval az attraktorokat elvaIaszt6 hatar (basin boundary) masik oldalara keriilhet a rendszer a megoldas a masik attraktorhoz vonz6dik es ezaltal ugrasshyszeruen megvaltozhat az orvenyszerkezet (Iasd a [18] [27] as [29] konyveket) A gonshydolatot kiterjesztve azt mondhatjuk hogy a parhuzamos aramlasba helyezett ellip-

Re-1SO Ax-eJ3 t~StO-O138 05

0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~

13 libra A keringes iranyAnak hatasa a felhajt6er6-tenyez6 id6atlagara

Alkalmazott Matematikai Lapolc (2009)


szis paacutelyaacuten mozgoacute henger koumlruumlli aacuteramlaacutest jellemz6 5 elemll (Re Az e f eacutes 8) parashymeacuteter-rendszer egy vagy toumlbb elemeacutenek megvaacuteltoztataacutesa megvaacuteltoztathatja azt hogy a megoldaacutes a nemlineaacuteris rendszer melyik attraktoraacutehoz vonzoacutedik (laacutesd [12])

A koumlvetkez6kben az ugraacutesokat kiacutevaacutenjuk vizsgaacutelatunk taacutergyaacutevaacute tenni A jelen szerző a [6J-ban a CL felhajtoacuteer6-teacutenyez6 időbeli vaacuteltozaacutesaacutet vizsgaacutelva azt talaacutelta hogy koumlzvetlenuumll az ugraacutes el6tti eacutes utaacuteni e eacuterteacutekekhez tartozoacute CL(t) fuumlggveacutenyek jelentősen kuumlloumlnboumlztek egymaacutestoacutel amelyek a jelek kuumlloumlnboumlző időaacutetlagaacutet eacutes rms eacuterteacutekeacutet eredmeacutenyezteacutek Itt a henger oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval egyez6 iraacutenyban toumlrteacutenő keringeacutese eseteacuten az ugraacutes el6tti eacutes utaacuteni hataacuterciklusokat vizsgaacuteljuk a jelen alfejeshyzet elejeacuten definiaacutelt parameacuteterek eseteacuten A vizsgaacutelt ugraacutes helye e ~ 01435 (laacutesd a 10 aacutebraacutet) A 14 aacutebra keacutet (Yo CL) hataacuterciklust mutat amely egy ellipszis paacuteshylyaacuten mozgoacute henger transzverzaacutelis mozgaacutesiraacutenyaacutera vonatkozik A veacutekony vonal az ugraacutes előtti e eacuterteacutekhez (e = 0143 Ay = 00429) a vastag vonal pedig az ugraacutes utaacuteni e eacuterteacutekhez (e = 0144 Ay = 00432) tartozoacute hataacuterciklust mutatja Baacuter a keacutet e eacuterteacutek majdnem azonos a keacutet hataacuterciklus goumlrbe jelentősen kuumlloumlnboumlzik egymaacutesshytoacutel A goumlrbeacutek koumlzel egymaacutes tuumlkoumlrkeacutepei eacutes iraacutenyiacutetaacutesuk is ellenteacutetes Ez azt jelenti hogy a keacutet esetben az energiaaacutetadaacutes előjele kuumlloumlnboumlző e O 143 eseteacuten negatiacutev (El = -00521) eacutes az e 0144 eseteacuten pozitiacutev (ElO 0491) Ez az eredmeacuteny hasonloacute ahhoz amit [16] eacutes [17] a paacuterhuzamos aacuteramlaacutesba helyezett transzverzaacutelis iraacutenyban vaacuteltozoacute frekvenciaacuteval rezgő henger eseteacuteben tapasztalt Ezekben a tanulshymaacutenyokban azt talaacuteltaacutek hogy egy kritikus frekvencia eacuterteacuteken aacutethaladva a hataacutershyciklus goumlrbeacutek iraacutenJCIacutetaacutesa ellenteacutetesseacute vaacutelik amely kuumlloumlnboumlz6 el6jelll energiacsereacutet jelent

A 15 aacutebra keacutet (xo CD) hataacuterciklust mutat amely az ellipszis paacutelyaacuten mozgoacute henger longitudinaacutelis mozgaacutesaacutera vonatkozik Itt is ugyanahhoz a keacutet e eacuterteacutekhez tartozoacute hataacuterciklusokat aacutebraacutezoljuk mint a 14 aacutebraacuten Az aacutebraacuteroacutel laacutethatoacute hogy -szemben a 14 aacutebraacuten bemutatott goumlrbeacutekkel - a keacutet kuumlloumlnboumlző e eacuterteacutekhez tartozoacute hataacuterciklus goumlrbeacutei koumlzel azonosak eacutes mindkett6 az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval ellenteacuteshytes iraacutenyiacutetaacutesuacute Ez az iraacutenyiacutetaacutes negatiacutevenergiacsereacutet jelent e = O 143 eseteacuten E2 = -06947 eacutes e = 0144 eseteacuten E2 = -07663 Laacutethatoacute hogy az E2 abszoshyluacutet eacuterteacuteke sokkal nagyobb mint az ugyanahhoz az e eacuterteacutekhez tartozoacute El abszoluacutet eacuterteacuteke iacutegy a teljes E mechanikai energiaaacutetadaacutesi teacutenyező negatiacutev lesz mindkeacutet vizsshygaacutelt e ellipticitaacutes eacuterteacutek eseteacuteben

Azt talaacuteltuk hogy az ellipszis paacutelyaacuten mozgoacute henger eseteacuten az e ellipticitaacutes egy kis meacuterteacutekll megvaacuteltoztataacutesa a transzverzaacutelis elmozdulaacutes-komponenshez tartozoacute hataacuterciklus goumlrbe jelent6s meacuterteacutekll megvaacuteltozaacutesaacutet okozhatja miacuteg a longitudinaacutelis elmozdulaacutes-komponenshez tartozoacute hataacuterciklust alig befolyaacutesolja Ez azt jelenti hogy a transzverzaacutelis iraacutenyuacute elmozdulaacutes-erő (Yo CL) hataacuterciklus sokkal eacuterzeacutekenyebb arra a jelenseacutegre amely a koraacutebban emliacutetett ugraacutest okozza mint a longitudinaacutelis iraacutenyuacute elmozdulaacutes-erő (xo CD) hataacuterciklus Ez azt sugallja hogy a felhajtoacuteerő eacutes ellenaacutellaacutes maacutes jellemz6kre iacutegy peacuteldaacuteul a faacutezisszoumlgre is kuumlloumlnboumlz6 hataacutest gyakorol



1A5

1

011

d 0

-1

_~~I1iO -03 A)-00421i1 (-I y2-o043~ (_) lIIocfyaO1eeM - t ------~r-------------------

14 abra Az (Yo CL) hatarciklus gorbek az ugras e16tti es utani ellipticitas ertek eseten

8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0

15 abra Az (xo CD) hatarciklus gorbek az ugras elOtti es utani ellipticitas ertekek eseten



72 Faacutezisszoumlggel kapcsolatos eredmeacutenyek

Toumlbb tanulmaacuteny iacutegy peacuteldaacuteul [16] [17] eacutes [26] kimutatta hogya paacuterhuzashymos aacuteramlaacutesba helyezett transzverzaacutelis iraacutenyban rezg6 koumlrhenger szinkronizaacuteloacutedott aacuteramlaacutesi aacutellapotaacuteban (lock-in) a CL (t) felhajtoacuteer6-teacutenyező eacutes Yo (t) transzverzaacutelis henger~elmozdulaacutes koumlzoumltt meacuterhető tIgt L faacutezisszoumlgben hirtelen ugraacutes leacutephet foacutel amikor a henger rezgeacutesi frekvenciaacuteja koumlzel esik a koraacutebban emliacutetett Sto frekvenciaacutejaacutehoz Ezek alapjaacuten ceacutelszerűnek laacutetszik hogy az ellipszis paacutelyaacuten keringő koumlrhenger eseteacuteshyben is megvizsgaacuteljuk a felhajtoacuteerő eacutes a keresztiraacutenyuacute elmozdulaacutes koumlzoumltt meacuterhető tIgt L faacutezisszoumlget

Neacutezzuumlk meg most is ugyanannak az ugraacutesnak (el = 0143 e2 = 0144) a koumlrnyezeteacutet amelyet a 71 alfejezetben is vizsgaacuteltunk (laacutesd meacuteg lD-13 aacutebraacutekat) A 16 aacutebra a dimenzioacutetlan idő fuumlggveacutenyeacuteben mutatja a CL vaacuteltozaacutesaacutet az e 0143 (Ay = 00429 pontvonal) eacutes az e 0144 (Ali 00432 + jelekből alkotott vonal) eacuterteacutekekneacutel Az aacutebraacuten folytonos vonallal feltuumlntettuumlk meacuteg a henger keresztiraacutenyuacute elmozdulaacutesaacutet reprezentaacuteloacute 15 amplituacutedoacutejuacute szinusz fuumlggveacutenyt is Ez az amplituacutedoacute a valoacutesaacutegban joacuteval kisebb azeacutert nagyiacutetottuk fel hogy az iacutegy jobban hasznaacutelhatoacute legyen a tIgtL faacutezisszoumlg vizsgaacutelatakor Az aacutebraacuten laacutethatoacute hogy miacuteg az ugraacutes előtti ellipticitaacutes eacuterteacutekhez (e 0143) tartozoacute CL gyakorlatilag faacutezisban van a hengerelshymozdulaacutessal addig az ugraacutes utaacuteni (e = 0144) eacuterteacutekhez tartozoacute CL koumlzeliacutetőleg ellenshyfaacutezisban van a hengerelmozdulaacutessal iacutegy tehaacutet a hengerelmozdulaacutes eacutes felhajtoacuteerőshyteacutenyező koumlzoumltti tIgtL faacutezis szoumlg mintegy 180deg-os vaacuteltozaacutest szenvedett mikoumlzben az ugraacuteson aacutethaladva az e eacuterteacutek minimaacutelisan vaacuteltozott

16 aacutebra A CL időbeli vaacuteltozaacutesa az ugraacutes előtti eacutes utaacuteni ellipticitaacutes eacuterteacutekekre

A 17 aacutebra tanuacutesaacutega szerint a henger longitudinaacutelis Xo (t) elmozdulaacutesa eacutes a CD (t) ellenaacutellaacutes-teacutenyező koumlzoumltt meacuterhető faacutezisszoumlg elhanyagolhatoacute meacuterteacutekben vaacutelshytozik az ugraacutes hataacutesaacutera Most is folytonos vonal jelzi a henger Xo (t) longitudi-



naacutelis elmozdulaacutesaacutet A keacutet maacutesik - alig megkuumlloumlnboumlztethető - goumlrbe az ugraacutes előtti (e = 0143 pontvonal) eacutes utaacuteni (e = 0144 + jelekből alkotott vastag vonal) e eacuterteacutekekhez tartozik Termeacuteszetesen a 15 aacutebra eredmeacutenyeit tekintve a keacutet goumlrbe koumlzoumltti kis elteacutereacutes nem meglepő eredmeacuteny

~100 Alt=O3 YoooeS1OcO1efllt YO (1 co yOOO0428 (l YO~ (+) 3 _- bull I

o

middot1

i20~~~121-~V~22 1-23_Vv124mm125-~m12oumlvU7----U8 130 dmensIacutelOfd4M ~

17 aacutebra A CD időbeli vaacuteltozaacutesa az ugraacutes előtti eacutes utaacuteni ellipticitaacutes eacuterteacutekekre

Ezek az eredmeacutenyek azt sugalljaacutek hogy a tovaacutebbiakban a henger keresztiraacutenyuacute elmozdulaacutesa eacutes a felhajtoacuteerő-teacutenyező koumlzoumltt meacuterhető PL faacutezisszoumlgre eacuterdemes konshycentraacutelni Ezeacutert a 71 eacutes jelen alfejezetekben reacuteszletesen bemutatott esetre vonatshykozoacutean meghataacuteroztuk a PL vaacuteltozaacutesaacutet az e ellipticitaacutes fuumlggveacutenyeacuteben (18 aacutebra) mind az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval egyező (clw uumlres neacutegyzet) eacutes azzal ellenteacutetes (aclw toumlltoumltt haacuteromszoumlg) iraacutenyban keringő henger eseteacuten Ezen az aacutebraacuten is ugyanazoknaacutel az e ellipticitaacutes eacuterteacutekekneacutel vannak az ugraacutesok mint a 10-12 aacutebraacutekon Az ugraacuteshysokon keresztuumll haladva gyakorlatilag 180deg-os faacutezisszoumlg vaacuteltozaacutes lIiacutethatoacute a 18 aacutebraacuten Megnyugtatoacute hogy a keacutet keringeacutesi iraacutenyhoz tartozoacute egymaacutestoacutel fuumlggetlenuumll nyert faacutezisszoumlg eacuterteacutekek teljesen egybeesnek (laacutesd [13]) A 10 eacutes 18 aacutebraacutekra tekintve laacutethatoacute hogy az El teacutenyező előjele meghataacuterozza a PL faacutezisszoumlg eacuterteacutekeacutet El gt O eseteacuten P L ~ 180deg miacuteg El lt O eseteacuten P L ~ 0deg Ezek az eredmeacutenyek oumlsszhangban vannak [16] [17] eacutes [26] paacuterhuzamos aacuteramlaacutesba helyezett keresztiraacutenyban rezgetett henger faacutezisszoumlgeacutere vonatkozoacute eredmeacutenyeivel

A [16] eacutes [17] a paacuterhuzamos aacuteramIaacutesba helyezett transzverzaacutelis iraacutenyban rezshygetett henger koumlruumlli aacuteramlaacutesra vonatkozoacute egy hipoteacutezise az hogy aacuteramlaacutes struktuacuteshyraacutejaacutenak ugraacutesokhoz vezető megvaacuteltozaacutesaacutet keacutet kuumlloumlnboumlző oumlrveacuteny termelő mechanizshymus koumlzoumltti egyensuacutely megvaacuteltozaacutesa okozza Ezt a hipoteacutezist a vizsgaacutelataik soraacuten nyert eredmeacutenyeikkel taacutemasztjaacutek alaacute eacutes uacutegy tűnik hogy a paacuterhuzamos aacuteramlaacutesba helyezett keringő mozgaacutest veacutegző henger eseteacuteben ugyanez lehet a koraacutebban emliacutetett ugraacutesokat előideacutező jelenseacuteg moumlgoumltt A Iga eacutes 19b aacutebraacutek a numerikus eredmeacutenyekből szaacutermaztatott a hengerhez koumltoumltt rendszerben eacutertelmezett aacuteramvonalakat mutat-


250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael

18 libra A PL fAzisszog valtozasa az ellipticitas fiiggvenyeben 6ramutat6 jArasashyval egyezo (clw) es azzal ellentetes (aclw) iranyban keringo henger esetlm

a

b

19 libra Azonos idopontbeli aramkepek a e = 0 143 b e 0 144

Alkalmazott Matematiklli Lllpok (2009)


jaacutek a koraacutebban vizsgaacutelt ugraacutes el6tti (e = 0143) eacutes ugraacutes utaacuteni (e = 0144) ellipticishytaacutes eacuterteacutekek eseteacuten Mindkeacutet aacuteramkeacutep ugyanahhoz az id6ponthoz tartozik (a henger egy fels6 transzverzaacutelis holtpont jaacutehoz tartozoacute id6) Ez a keacutet aacutebra is joacutel illusztraacutelja hogy az e ellipticitaacutes kis meacuterteacutekű megvaacuteltozaacutesa az oumlrveacutenylevaacutelaacutes mechanizmusaacutenak milyen markaacutens megvaacuteltozaacutesaacutet okozhatja Az aacutebraacutekon feltuumlntetett esetben a keacutet aacuteramkeacutep koumlzel egymaacutes tuumlkoumlrkeacutepe s ez oumlsszhangban van a koraacutebban vizsgaacutelt ifiL

faacutezisszoumlg 180deg-os ugraacutesszerű megvaacuteltozaacutesaacuteval A paacuterhuzamos aacuteramlaacutesba helyezett keresztiraacutenyban rezgetett henger eseteacuteben az aacuteramkeacutepre vonatkozoacutean hasonloacute eredshymeacutenyre jutott [17] is

8 Oumlsszefoglalaacutes

Ebben a dolgozatban kiterjesztettuumlk Blackbum-Henderson [16] a paacuterhuzashymos aacuteramlaacutesba helyezett transzverzaacutelis iraacutenyban rezg6mozgaacutest veacutegz6 koumlrhenger eacutes folyadeacutek koumlzoumltt eacutertelmezett E mechanikai energiaaacutetadaacutesi teacutenyez6jeacutet az elliptikus paacutelyaacuten mozgoacute koumlrhenger eseteacutere Ebben az esetben az E az El eacutes az E2 eacuterteacutekekb61 tev6dik oumlssze amelyek a transzverzaacutelis (El) ill a longitudinaacutelis (E2 ) mozgaacutes- eacutes er6komponensekből szaacutermaznak A dolgozatban megvizsgaacuteltuk hogyan fuumlggnek az El E2 eacutes E El + E2 mennyiseacutegek az e ellipticitaacutestoacutel Keacutet burkoloacutegoumlrbeacutet ill aacutellapotgoumlrbeacutet talaacuteltunk amelyek koumlzoumltt a megoldaacutesok ugraacutesszerűen vaacuteltoznak Az El eacuterteacutekek pozitiacutev eacutes negatiacutev eacuterteacutekeket is felvesznek miacuteg az E2 mindig negashytiacutev Ugyancsak mindig negatiacutev az E El + E2 eredő mechanikai energiaaacutetadaacutesi teacutenyez6 is Az (Yo CL) eacutes (XO CD) hataacuterciklusokat megvizsgaacuteltuk egy-egy koumlzvetshylenuumll az ugraacutes el6tti eacutes utaacuteni egymaacutestoacutel alig kuumlloumlnboumlz6 e eacuterteacutekneacutel Az (yo CL) hataacuterciklusroacutel azt talaacuteltuk hogy a keacutet e eacuterteacutekhez egymaacutestoacutel teljesen kuumlloumlnboumlző keacutet goumlrbe tartozik eacutes meacuteg a goumlrbe iraacutenyitaacutesa is megvaacuteltozik amely az El teacutenyező előshyjeIeacutet is megvaacuteltoztatja Ugyanakkor az (xo CD) hataacuterciklus goumlrbeacutei alig vaacuteltoznak e kis meacuterteacutekű megvaacuteltoztataacutesaacutenak hataacutesaacutera Az itt emliacutetett e eacuterteacutekekre ugyanabban az id6pontban felrajzoltuk a szaacutemiacutetott aacuteramkeacutepeket is Az aacuteramkeacutepek kuumlloumlnboumlzőshyseacutege joacutel illusztraacutelja azt a teacutenyt hogy az e ellipticitaacutes kis meacuterteacutekű megvaacuteltozaacutesa az oumlrveacutenylevaacutelaacutes mechanizmusaacutenak milyen markaacutens megvaacuteltozaacutesaacutet okozhatja

A CL (t) felhajtoacuteerő-teacutenyez6 eacutes az Yo (t) transzverzaacutelis iraacutenyuacute hengerelmozdulaacutes koumlzoumltti PL faacutezisszoumlg vizsgaacutelata azt mutatta hogy minden egyes ugraacuteson aacutethaladva a faacutezisszoumlg mintegy 180deg-os vaacuteltozaacutest szenved Azt talaacuteltuk hogy az El teacutenyez6 előjele meghataacuterozza a PL faacuteziSszoumlg eacuterteacutekeacutet El gt O eseteacuten ifiL ~ 180deg miacuteg El lt O eseteacutenP L ~ 0deg Ugyanakkor nincs faacutezisszoumlg eltoloacutedaacutes a C D (t) eacutes Xo (t) jelek koumlzoumltt az ugraacuteshoz tartozoacute e eacuterteacuteken toumlrteacuten6 aacutethaladaacuteskor

Ezek az eredmeacutenyek annak a jelenseacutegnek a leacutetezeacuteseacutet taacutemasztjaacutek alaacute amelyek a kis Reynolds-szaacutemuacute ellipszis paacutelyaacuten mozgoacute koumlr henger eseteacuten bizonyos jellemz6k ugraacutesszerű megvaacuteltozaacutesaacutet ideacutezik elő Valoacutesziacutenűleg a vizsgaacutelt nemlineaacuteris probleacuteshymaacutehoz keacutet periodikus attraktor tartozik egy-egy vonzaacutesi tartomaacutennyal Az e ellipshyticitaacutesi parameacuteter eacuterteacutekeacutenek megvaacuteltoztataacutesaacuteval az attraktorokat elvaacutelasztoacute hataacuter



maacutesik oldalaacutera keruumllhet a rendszer a megoldaacutes a maacutesik attraktorhoz vonzoacutedik eacutes ezaacuteltal ugraacutesszert1en megvaacuteltozhat az oumlrveacutenyszerkezet Az eredmeacutenyek a felhajtoacuteerőshyteacutenyező időtől valoacute fuumlggeacuteseacutet a hataacuterciklusokat a mechanikai energiaaacutetadaacutesi teacutenyeshyzőt faacutezisszoumlget eacutes aacuteramkeacutepeket is magukba foglalnak

9 Koumlszoumlnetnyilvaacuteniacutetaacutes

A szerző koumlszoumlnetet mond a jelen kutataacuteshoz kapott OTKA (projekt szaacutem T 042961) taacutemogataacuteseacutert eacutes Uj vaacuterosi Saacutendor uacuternak a kutataacuteshoz nyuacutejtott segiacutetseacuteshygeacuteeacutert

Hivatkozaacutesok

[1] AL-MDALLAL QM LAWRENCE KP AND KOCABIYIK S Forced streamwise oscillashytions ol a circular cylinder Locked-on modes and resulting fluid lorces Journal of Fluids and Structures 28(5 (2007) 681-701

[2] ANDERSON JD JR Computational Fluid Dynamics (McGraw-Hill New York 1995)

[3] BARANYI L AND SHIRAKASHI M Numericai solution lor laminar unsteady flow about fixed and osceacutellating cylinders Journal of Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences 6 (1999) 263-277

[4) BARANYI L Numericai analysis ol unsteOdy ttiscous flow around heat exchanger elements Acta Mechanica Slovaca 22002 (2002) 485-490

[5] BARANYI L Computation of unlJteady momentum and heat transfer from a ficed circular cylinder in laminar flow Journal of Computational and Applied Mechanics 4(1) (2003) 13-25

[6] BARANYI L NumericaI simulation of flow past a cylinder in orbita motion Journal of Computational and Applied Mechanics 5(2) (2004) 209-222

[7] BARANYI L Sudden jumps in time-mean vaues of lift coefficient for acircuar cylinder in orbital motion in a uniform flow in Proe 8th International Conference oacuten Flow-Indueed Vibration Paris Vol 2 (2004) pp 93-98

(8] BARANYI L Lift and drag evaluation in transating and rotating non-inertia systems Journal of Fluids and Structures 20(1) (2005) 25-34

[9) BARANYI L AND LEWIS RI Comparison of a grid-based CFD method and ttortex dynamics predictions of low Reynods number cylinder flows The Aeronautical Journal 110(1103) (2006) 63-71

[lOJ BARANYI L Energy transfer between an orbiting cylinder and moving fluid in Proe PVP2006-ICPVT-ll ASME Preljsure Vessels and Piping Division Conference Van-couver Canada (2006) on CD ROM pp 1-10

[ll) BARANYI L Orbiting cylinder at low Reynolds numbers in Proe IUTAM Symposium on Unsteady Separated Flows and Their Control Corfu Greeee (2007) on CD ROM pp 1-5

[12] BARANYI L Mozgoacute henger koumlruumlli laminaacuteris aacuteramaacutes vizsgaacutelata (Habilitaacutecioacutes teacutezisfuumlzet Miskolci Egyetem Miskolc 2007)



[13] BARANYJ L Numericai simulation of flow around an orbiting cylinder at different ellipshytidty values Journal of Fluids and Structures 24 (2008) 833-906

[14] BARKLEY D AND HENDERSON RD Three-dimensional Floquet stabiity analysis of the wake of a drcular cylinder Journal of Fluid Mechanics 322 (1996) 215-241

[15] BEARMAN P W Developments in the unaerstarnling of bluff body flows in Proe JSME Centennial Grand Congress International Conference on Fluid Engineering Vol 1 (1997) pp 53-61

[16] BLACKBURN HM AND HENDERSON RD A study of two-dimensional flow past an oscillating cylinder Journal of Fluid Mechanics 385 (1999) 255-286

[17J BLACKBURN HM Computational bluff body fluid dynamics and aeroelasticity in Coupshying of Fluids Structures and Waves Problems in Aeronautics Notes on NumericaI Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design (NNFM) Vol 85 Eds Barton NG and Periaux J (Springer Berlin 2003) 10-23

[18] BRONSTEJN IN SZEMENGYAJEV KA MUSJOL G ts MOHLIG H Matematikai Keacuteshyzikoumlnyv (8 kiadaacutes TypoTEX Kiadoacute Budapest 2002)

[19] DIDIER E AND BORGES ARJ Numericai predictions of low Reynolds number flow over an 08cillating circular cylinder Journal of Computational and Applied Mecbanics (in press)

[20] DYKE MV An Album of Fluid Motion (The ParaboHc Press Stanford 1982)

[21] FARKAS M Matematikai Kisle3ikon (Műszaki Koumlnyvkiadoacute Budapest 1979)

[22) FLETCHER CAJ Computational Techniques for Fluid Dynamics Vol 2 (Springer Bershylin 1997)

[23] HARLow FH AND WELCH JE Numericai calculation of time-dependent VisCOU8 inshycompressible flow of fluid with free surface Physics of Fluids 8 (1965) 2182-2189

[24) KAwAMuRA T AND KUWAHARA K Computation of high Reynolds number flow around a circular cylinder with surface roughness in Proc 22nd Aerospace Sci Meeting AIAA-84-0340 (1984) pp l-ll

[25] KOlDE M TOMlDA S TAKAHASHI T BARAacuteNYI L AND SHIRAKASHI M Influence of cross-sectional configuration on the synchronization of Kaacutermaacuten vortex shedding with the cylinder osdlaUon JSME International Journal Series B 45(2) (2002) 249-258

[26J Lu XY AND DALTON C Calculation of the timing of vortex formation from an osdlshylating cylinder Journal of Fluids and Structures 10 (1996) 527-541

[27J MOON Fe Chaotic and Fractal Dynamics (Wiley New York 1992)

[28) MUREJTHI NW COTOI I AND RODRIGUEZ M Response of the Karman wake to external periodic forcin9 and implications for vortex shedding control in Proceedings of the 8th International Conference on Flow-Induced Vibration Vol 1 (2004) pp 87-92

[29] NAYFEH AH AND BALACHANDRAN B Applied Nonlinear Dynamics (Wiley New York 1995)

[30] NICOLSKY SM A Course of Matematical Analysis Vol 2 (Mir Publishers Moscow 1987)



[31] NORBERG C Fluctuating lift on a circular cylinder remew and new measurements Jourshynal of Fluids and Structures 1T (2003) 57-96

[32] PONCET P Vanishing 0 B mode in the wake behind a rotationally 08cillating cylinder Physics of Fluids 14 (2002) 2021-2023

[33] RoSHIltO A Perspectives on bluff body aerodynamics Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics 49 (1993) 79-100

[34] SCHLICHTllolG H Boundary-Layer Theory (McGraw-Hill New York 1979)

[35] STANSBY PK AND RAINEY RCT On the orbital response 0 a rotating cylinder in a current Journal of Fluid Mechanics 439 (2001) 87-108

[36] THOMPSON MC AND P LE GAL The Stuart-Landau model applied ta wake transition revisited European Journal of Mechanics BFluids 23 (2004) 219-228

[37] UJVAacuteROSI S AND BARANYI L Numericalvisualisatian of cylinder faws in Proc MicroshyCAD 2006 International Computer Science Conference Miskolc Section E (2006) pp 67-72

[38] WILLIAMSON CHK ANO ROSHllto A Vartez orrnatian in the wake 0 an oscillating cylinder Journal of Fluids and Structures 2 (1988) 355-381

[39] WILLIAMSON CHK Vortez dynamics in the cylinder wake Annual Review of Fluid Mechanics 28 (1996) 477-539


Miskolci Egyetem

Aacuteramlaacutes- eacutes H6technikai geacutepek Tanszeacuteke

3515 Miskolc-Egyetemvaacuteros

E-mail arambluni-miskolchu

NUMERICAL SIMULATION OF LOW REYNOLDS

NUMBER FLOW AROUND AN ORBITING CYLINDER

LAacuteSZLoacute BARANYI

This paper deals with the 2D numerical simulation of low Reynolds number incompressible fluid flow around a ciacutercular cylinder in orbital motion placed in an otherwise uniform stream Sudden changes (jumps) in state are found when time-mean or rrns values of force coefficients lift drag and base pressure coefficients - or energy transfer are plotted against ellipticity of the cylinder path Pre- and post-jump analysis was carried out by investigating limit cycles time histories phase angles and flow patterns These investigations revealed that ellipticity can have a large effect on the energy transfer between the fluid and a cylinder forced to follow an orbital path and that small changes in the ampIiacutetude of transverse motion can have a major effect on the force coefficients Phase angle between lift and transverse displacement changed by about 1800

with the jumps What triggers these changes is uncertainj probably there are two attractors each with its basin of attraction of this nonlinear system and the solution is attracted to one or the other of the attractors depending on the values of the parameters



A koumlrhenger moumlgoumltti teacuter igen gazdag aacuteramlaacutestani jelenseacutegekben az oumlrveacutenylevaacuteshylaacutes szerkezete nagyon sok teacutenyez6t6l fuumlgg Sok kutatoacute foglalkozik a paacuterhuzamos aacuteramlaacutesba helyezett aacutelloacute eacutes rezg6 koumlrhenger koumlruumlli aacuteramlaacutes vizsgaacutelataacuteval Kuumlloumlnoumlshysen sok tanulmaacuteny talaacutelhatoacute aacutelloacute henger eseteacutere laacutesd peacuteldaacuteul [15] [31] eacutes [39] de sokan foglalkoznak a henger transzverzaacutelis rezg6mozgaacutesaacuteval laacutesd [16] eacutes [38] eacutes a longitudinaacutelis iraacutenyban rezg6 henger eseteacutevel is laacutesd peacuteldaacuteul [28] A paacuterhuzamos aacuteramlaacutesba helyezett elliptikus mozgaacutest veacutegz6 hengerek koumlruumlli esettel kevesebben foglalkoznak (laacutesd peacuteldaacuteul [35]) annak elleneacutere hogy ez a hullaacutemokban mozgoacute henger koumlruumlli aacuteramlaacutes modelljeacutenek tekinthetigt

A dolgozat koumlvetkező fejezeteiben roumlviden ismertetuumlnk egy eljaacuteraacutest az oumlsszeshynyomhatatlan newtoni koumlzeg homogeacuten paacuterhuzamos aacuteramlaacutesaacuteba helyezett ellipszis paacutelya menteacuten kering6 koumlrhenger koumlruumlli keacutet-dimenzioacutes instacionaacuterius kis Reynoldsshyszaacutemuacute aacuteramlaacutes szaacutemiacutetaacutesaacutera A tanulmaacuteny az ellipszis paacutelyaacuten kering6 henger eseteacuten a mechanikai energiaaacutetadaacutesi teacutenyez6 a faacutezisszoumlg a haacuterom erőteacutenyez6 (felhajtoacuteerőshyteacutenyező ellenaacutellaacutes-teacutenyez6 eacutes haacutetsoacute nyomaacutesteacutenyez6) id6aacutetlagaacutet eacutes rrns (root-meanshysquare) eacuterteacutekeacutet vizsgaacutelja egy eddig ismeretlen jelenseacuteggel kapcsolatban hirtelen ugraacutesok leacutepnek fel az er6teacutenyez6k időaacutetlagaacuteban eacutes rrns eacuterteacutekeacuteben amikor a paacutelya ellipticitaacutesa fuumlggveacuteny ben rajzoljuk fel azokat

Jeloumlleacutesjegyzeacutek SO a henger gyorsulaacutesvektora U2 d-vel dimenuacuteoacutetlaniacutetva AJy a rezgeacutes amplituacutedoacuteja x vagy y iraacutenyokban d-vel dimenzioacutetlaniacutetva

CD ellenaacutellaacutes-teacutenyező 2FD (pU2d) CL felhajtoacuteer6-teacutenyez6 2FL (pU2d) Cph haacutetsoacute nyomaacutesteacutenyez6 (base pressure coefficient) l2p (pU2 ) J eo d hengeraacutetmeacuter6 hosszleacutepteacutek [ml D sebesseacuteg divergenciaacuteja Ud-vel dimenzioacutetlaniacutetva e ellipticitaacutes Ay Am E mechanikai energiaaacutetadaacutesi teacutenyez6 pU2d 2-vel dimenzioacutetlaniacutetva f henger rezgeacutesi frekvenciaacuteja U d-vel dimenzioacutetlaniacutetva F egyseacutegnyi hosszuacute hengerre hatoacute erő FDi + FzJ FD egyseacutegnyi hosszuacute hangerre hatoacute ellenaacutellaacutes [N lm] FL egyseacutegnyi hosszuacute hengerre hatoacute felhajtoacuteer6 [Nm] i j x y iraacutenyuacute egyseacutegvektorok p folyadeacuteknyomaacutes pU2-el dimenzioacutetlaniacutetva R sugaacuter d-vel dimenzioacutetlaniacutetva Re Reynolds-szaacutem Udv St Strouhal-szaacutem oumlrveacutenylevaacutelaacutesi frekvencia Uld -vel dimenzioacutetlaniacutetva t id6 dlU -val dimenzioacutetlaniacutetva T oumlrveacutenylevaacutelaacutesi perioacutedus dlU -val dimenzioacutetlaniacutetva U paacuterhuzamos aacuteramlaacutes sebesseacutege sebesseacutegleacutepteacutek [mis]








2 Alapegyenletek




D=au av=O ax+oy

(1)

(2)

(3)





Pp + 82p = 2 [8 u 8 v _ 8 u 8 vJ _ 8 D

8x2 8y2 8x 8y 8y 8x 8t (4)





u=v=o (5)



(8)







(X2 + y2)


(X2 + y2)

( ) R~ (2 2 R~) p x y t = O = POO + 2 X - Y - -2 (x2 + y2)

(11)







(14)

p (x Y t = O) = Poo (15)







y






(16)

(17)



g (f) e 27r-t-

max



(18)



(19)



(20)



(21)

(22)





(23)


(24)



(25)

ha R = R2 (26)


(8x)2 (8y)2

911 = 8e + 8e






(27)



-Pi3 + 4Pi2 [2~] Pil = ---------~

3 (28)






(29)






frms l l h+

mT

= -T f(t)dt m tl

1 l h+

mT

mT [f(t) tl





02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02


~

I I ~

I









I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem
















2 Alapegyenletek




D=au av=O ax+oy

(1)

(2)

(3)





Pp + 82p = 2 [8 u 8 v _ 8 u 8 vJ _ 8 D

8x2 8y2 8x 8y 8y 8x 8t (4)





u=v=o (5)



(8)







(X2 + y2)


(X2 + y2)

( ) R~ (2 2 R~) p x y t = O = POO + 2 X - Y - -2 (x2 + y2)

(11)







(14)

p (x Y t = O) = Poo (15)







y






(16)

(17)



g (f) e 27r-t-

max



(18)



(19)



(20)



(21)

(22)





(23)


(24)



(25)

ha R = R2 (26)


(8x)2 (8y)2

911 = 8e + 8e






(27)



-Pi3 + 4Pi2 [2~] Pil = ---------~

3 (28)






(29)






frms l l h+

mT

= -T f(t)dt m tl

1 l h+

mT

mT [f(t) tl





02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02


~

I I ~

I









I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem












Pp + 82p = 2 [8 u 8 v _ 8 u 8 vJ _ 8 D

8x2 8y2 8x 8y 8y 8x 8t (4)





u=v=o (5)



(8)







(X2 + y2)


(X2 + y2)

( ) R~ (2 2 R~) p x y t = O = POO + 2 X - Y - -2 (x2 + y2)

(11)







(14)

p (x Y t = O) = Poo (15)







y






(16)

(17)



g (f) e 27r-t-

max



(18)



(19)



(20)



(21)

(22)





(23)


(24)



(25)

ha R = R2 (26)


(8x)2 (8y)2

911 = 8e + 8e






(27)



-Pi3 + 4Pi2 [2~] Pil = ---------~

3 (28)






(29)






frms l l h+

mT

= -T f(t)dt m tl

1 l h+

mT

mT [f(t) tl





02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02


~

I I ~

I









I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem














(X2 + y2)


(X2 + y2)

( ) R~ (2 2 R~) p x y t = O = POO + 2 X - Y - -2 (x2 + y2)

(11)







(14)

p (x Y t = O) = Poo (15)







y






(16)

(17)



g (f) e 27r-t-

max



(18)



(19)



(20)



(21)

(22)





(23)


(24)



(25)

ha R = R2 (26)


(8x)2 (8y)2

911 = 8e + 8e






(27)



-Pi3 + 4Pi2 [2~] Pil = ---------~

3 (28)






(29)






frms l l h+

mT

= -T f(t)dt m tl

1 l h+

mT

mT [f(t) tl





02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02


~

I I ~

I









I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem













y






(16)

(17)



g (f) e 27r-t-

max



(18)



(19)



(20)



(21)

(22)





(23)


(24)



(25)

ha R = R2 (26)


(8x)2 (8y)2

911 = 8e + 8e






(27)



-Pi3 + 4Pi2 [2~] Pil = ---------~

3 (28)






(29)






frms l l h+

mT

= -T f(t)dt m tl

1 l h+

mT

mT [f(t) tl





02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02


~

I I ~

I









I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem












(19)



(20)



(21)

(22)





(23)


(24)



(25)

ha R = R2 (26)


(8x)2 (8y)2

911 = 8e + 8e






(27)



-Pi3 + 4Pi2 [2~] Pil = ---------~

3 (28)






(29)






frms l l h+

mT

= -T f(t)dt m tl

1 l h+

mT

mT [f(t) tl





02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02


~

I I ~

I









I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem













(23)


(24)



(25)

ha R = R2 (26)


(8x)2 (8y)2

911 = 8e + 8e






(27)



-Pi3 + 4Pi2 [2~] Pil = ---------~

3 (28)






(29)






frms l l h+

mT

= -T f(t)dt m tl

1 l h+

mT

mT [f(t) tl





02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02


~

I I ~

I









I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem













(27)



-Pi3 + 4Pi2 [2~] Pil = ---------~

3 (28)






(29)






frms l l h+

mT

= -T f(t)dt m tl

1 l h+

mT

mT [f(t) tl





02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02


~

I I ~

I









I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem













(29)






frms l l h+

mT

= -T f(t)dt m tl

1 l h+

mT

mT [f(t) tl





02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02


~

I I ~

I









I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem











02

01

~ i O ~ d

-01 fmiddot i

-02


~

I I ~

I









I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem













I r-r-~H-~~~-+-+++~~~~~

t~~HH~+-~rH~~~~-+-~~~~r

J~ltt=aa=Em ~~~~~~~~~

~-+~~-+n+-+-hH+shy

N~~~~~~~~~~+-~ II





10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem












10 r-r------------------

o 60 80 100 120 140 160 180 Re ----













U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem



















U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem











U~ I

i---f-A

I



n_m$liIlt









238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem










238 BARANYI LAsZL6


)(






015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem












015

005

i -005

5 U -015

-025

-035


bull- I f2~ ~ -




240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem










240 BARANYI LAsZLO

08

01

~ 06

d 05

OA

03

~ ~

o 02

ri

~ 04

-~ 06

e=AyAx

~

1 12






(31)


teMt







= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem














= ~ (I CLdyo

1 yodCL =

1 YOdCL)

(33)




(34)















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem





















-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem










-- --



fte=160 AxllO3

-06

02

01 o -01 --

~ shy

I shy tI 11 4 2

W -02

-03

-04 -05

~1shy-

I-o-O9SWCIW --09~


fte=160 AxllO3

-059 02 04 06 08 ~ 1 it

1shyL1 -064

~shy l_ shy _ -1111 -069

shy --shy-074



244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem










244 BARANYI LAsZLO




-065

-075

~ -085

n olaI 06 1

i~ tt 2

w -095

-105

-115

la ~ ~








0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem














0 03

02

I 0 a01

middot02

-03 -04

-05

-shy I

-

I I I -1IlI

I ~ ~










1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem

















1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem











1A5

1

011

d 0

-1



8

~~3------~~2~----~~~~-----O~----~~~1------0~2~----~O3 0













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem




















o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem













o

middot1






250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem










250 BARANYI LAsZLO

180

160 _ 1lt10

1120t100

I 80

i 60

40

20

o

I

o 02

bull_C -

- S i j

t i 1

1

1

C 1

04 015

1middotow--ael


a

b















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem






















Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem














Hivatkozaacutesok













































Miskolci Egyetem









































Miskolci Egyetem





















Miskolci Egyetem










Documents

Alkalmazott Matematikai Lapok 26 (2009), 223-254. · 2013. 10. 4. · Alkalmazott Matematikai Lapok 26 (2009), 223-254. ELLIPSZIS PÁLYÁN MOZGÓ HENGER KÖRŰLI KIS REYNOLDS SZÁMÚ