Álgebra. Mora, Clemente

Álgebra

Clemente Mora GonzálezJefe del Departamento de Fomento Editorial

Leticia Mejia GarcíaCoordinadora de Fomento Editorial

Miguel Antonio González VidalesGestión Administrativa

Ulises Ramírez HernándezCoordinador de Diseño Gráfico

DIRECCIÓN GENERALAv. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires.Col. Cuauhtémoc SurTels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08

Correo Electrónico: [email protected]ágina Web: www.cecytebc.edu.mx

CICLO ESCOLAR 2011-2Prohibida la reproducción total o parcialde esta obra incluido el diseño tipográficoy de portada por cualquier medio,electrónico o mecánico, sin el consentimientopor escrito del editor.

GESTIÓNDITORIAL

Nota:Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presentedocumento, le agradecemos hacernos llegar sus comentarios o aportacionesa los siguientes correos:

[email protected]@cecytebc.edu.mx

José Guadalupe Osuna MillánGobernador del Estado

de Baja California

Javier Santillán PérezSecretario de Educación

y Bienestar Social del Estado

CECYTE BC

Héctor Montenegro EspinozaDirector General

Olga Patricia Romero CázaresDirectora de Planeación

Argentina López BuenoDirectora de Vinculación

Jesús Gómez EspinozaDirector Académico

Ricardo Vargas RamírezDirector de Administración y Finanzas

Alberto Caro EspinoJefe del Departamento de Docencia

MUNICIPIO DE MEXICALI

Cristina de los Ángeles Cardona RamírezDirectora del Plantel Los Pinos

Carlos Zamora SerranoDirector del Plantel Bella Vista

Jesús Ramón Salazar TrillasDirector del Plantel Xochimilco

Rodolfo Rodríguez GuillénDirector del Plantel Compuertas

Humberto Ignacio Ibarra VelazcoDirector del Plantel Misiones

Francisco Javier Cabanillas GarcíaDirector del Plantel Vicente Guerrero

Cristopher Diaz RiveraDirector del Plantel San Felipe

MUNICIPIO DE TIJUANA

Martha Xóchitl López FélixDirectora del Plantel El Florido

María de los Ángeles Martínez VillegasDirectora del Plantel Las Águilas

Jorge Ernesto Torres MorenoDirector del Plantel Zona Río

Rigoberto Gerónimo González RamosDirector del Plantel Villa del Sol

Joel Chacón RodríguezDirector del Plantel El Pacífico

Efraín Castillo SarabiaDirector del Plantel El Niño

Benito Andrés Chagoya MorteraDirector del Plantel Cachanilla

Gabriel Valdéz ManjarrezDirector del Plantel Altiplano

Juan Martín Alcibia MartínezDirector del Plantel la Presa

MUNICIPIO DE ENSENADA

Alejandro Mungarro JacintoDirector del Plantel Ensenada

Emilio Rios MaciasDirector del Plantel San Quintín

MUNICIPIO DE ROSARITO

Manuel Ignacio Cota MezaDirector del Plantel Primo Tapia

Héctor Rafael Castillo BarbaDirector del Plantel Rosarito Bicentenario

MUNICIPIO DE TECATE

Oscar Ambríz SalinasDirector del Plantel Tecate

DIRECTORIO

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO

Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC:

La educación es un valuarte que deben apreciar durantesu estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicosdel Estado de Baja California, dado la formación y calidadeducativa que les ofrece la Institución y sus maestros.

Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estadohace para brindarles educación media superior, a fin de queen lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y seconviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso,con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional.

Esta administración tiene como objetivo crear espaciosy condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, elcampo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfilde la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por loque los invito a ser mejores en sus estudios, en su familiay en su comunidad.

En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación quecaracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacionalque habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.ComoGobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadoresde los futuros profesionistas técnicos que saldránde CECYTE BC.

Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos,para brindar y recibir una mejor educación en Baja California,ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial yeconómico, y factor importante del progreso de México.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN

Alumno de CECYTE BC:

La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades dedesarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidadesde progreso económico y social.

Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asumecon responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea decrear espacios educativos en el nivel medio superior y ofrecerlesprogramas de estudios tecnológicos, que les permitan integrarse concompetencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores.

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de BajaCalifornia, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de estaInstitución, los estudiantes pueden encontrar el camino de lasuperación y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan paraforjar su futuro.

Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de estematerial educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo deque lo utilices en beneficio de tus estudios.

La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridadesaducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Instituciónen un modelo para la formación de generaciones de profesionistastécnicos que demanda la indusdustria especializada que se asientaen la región.

Además de eso, el Colegio se ha destacado por alentar el acercamientode los padres de familia con la escuela, como una acción tendientea fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentesy administrativos en el proceso educativo, que es una responsabilidadcompartida.

Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel deCECYTE BC, y te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedada través de la Administración Estatal y utilices con pertinencia losmateriales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

Héctor Montenegro EspinozaDIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

Atentamente

PRESENTACIÓN

El libro que tienes en tus manos representa un importanteesfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos delEstado de Baja California, que a través de sus academias deprofesores te proporciona material de calidad para el estudio delas distintas asignaturas que cursarás en tu preparación comoBachiller Técnico.

Los contenidos corresponden a los programas establecidos paracada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integralde la educación media superior, y enriquecidos por lascompetencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato.

Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis yhabilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria,convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrecepara obtener una mejor formación académica.

Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a estaobra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado delColegio: sus Alumnos.

gradecimiento

Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos deCECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estasGuías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico.

El Colegio

• MANUAL DE QUÍMICA I

Mario Báez VázquezAPOYO INSTITUCIONAL DIRECCIÓNDE VINCULACIÓN

• ÁLGEBRA

Andrés Sarabia LeyCOORDINADOR DEL COMPONENTE PROPEUDÉUTICOKarla Grisel Duarte SarabiaCOLABORADORA

• INGLÉS I y V

Verónica Murillo EsquiviasDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASBlanca Belén Torres MedinaDOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOSAdriana Ceras MoralesDOCENTE GRUPO PORTALESArturo Sánchez MariscalDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAJoaquín Alberto Pineda MartínezDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAManuel Arvizu RuízDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTACésar Quintero HernándezDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• QUÍMICA I

Aidé Araceli Pedraza MendozaDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASJuana Ramírez RodríguezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOSaúl Torres AcuñaDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• TIC’s

Alma Delia Valenzuela MárquezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOMelchizedec Romero GonzálezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOOscar David Bustos TorresDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCORoberto Rosales ZepedaDOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

• CTSyV I

Diana Fernández SerranoDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADAOmar Romero RoblesDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADASusana Pérez CorreaDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADAJessica Melig NúñezDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

• LEOyE I

Cecilia Armida Ante NavarroDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASGabriela Órnelas BravoDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

• CÁLCULO INTEGRAL

Manuel Norberto Quiroz OrtegaDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTASilvia Elisa Inzunza OrnelasDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAEloisa Morales CollinDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASIsmael Castillo OrtízDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

• GEOMETRÍA ANALÍTICA

Emma Ayala RodríguezDOCENTE DEL PLANTEL MISIONESAntonio Caro EspinoDOCENTE GRUPO PORTALESMario Alberto Curiel PonceDOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

• INGLÉS III

Verónica Murillo EsquiviasDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASAdriana Cera MoralesDOCENTE GRUPO PORTALES

• BIOLOGÍA

Aidé Pedraza MendozaDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASClara Angélica Rodríguez SánchezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASEvelia Escalante GámezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• CTSyV II

Blanca Azucena Casillas CortézDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOBlanca Delia Román PalomaresDOCENTE DEL PLANTEL MISIONESMartha Celia Román PalomaresDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• FÍSICA II

Javier Iribe MendozaDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAMaría Del Carmen Equihua QuiñónezDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAGilberto Méndez FierrosDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASAlvaro Soto EscalanteDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAIsrael Cruz MuñozDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• CTSyV III

Clara Angélica Rodríguez SánchezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASMartha Moreno RamírezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASDavid A. Rodríguez CarrascoDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA

Maria Elena Padilla GodoyCOORDINADORA DE FORMACIÓN VALORALAlberto Caro EspinoJEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA

13

ÍNDICE

COMPETENCIA 1

Operaciones Fundamentales del Álgebra……………………………………

COMPETENCIA 2

Operaciones con Fracciones Algebraicas …………………………………..

COMPETENCIA 3

E xponentes y Radicales ………………………………………………………

COMPETENCIA 4

Ecuaciones Lineales o de Primer Grado ……………………………………

COMPETENCIA 5

Ecuaciones Lineales en Dos y Tres Variables……………………………….

COMPETENCIA 6

Ecuaciones Cuadráticas………………………………………………………..

ANEXO

Aprendiendo a Despejar ………………………………………………………

15

71

99

121

188

247

220

14

15

Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico Notación algebraica Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de monomios y polinomios

Leyes de los exponentes enteros positivos Multiplicación entre monomios Multiplicación de un monomio y un polinomio Multiplicación entre polinomios

División entre monomios División entre un polinomio y un monomio División entre polinomios

PRODUCTOS NOTABLES Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomio al cuadrado Binomio al cubo

Competencia

1 OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA

Explicar las Operaciones Fundamentales del Álgebra

Desarrollo de Productos Notables Factorización de polinomios

Saberes

1

2

4

3

16

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Por factor común Diferencia de cuadrados

Trinomio de la forma

Trinomio de la forma Trinomio cuadrado perfecto Suma y diferencia de cubos Por agrupación

1. A desarrollar suma de polinomios 2. A practicar la multiplicación de monomios y polinomios 3. A practicar la división entre monomios y polinomios 4. Todo mundo a desarrollar Productos Notables 5. Volviéndonos hábiles en la Factorización

Ejercicios

5

17

Definición de álgebra: Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El álgebra es una generalización de la aritmética. La aritmética emplea números para su estudio, pero el álgebra emplea letras y números.

NOTACIÓN Y TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA

LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las divide en:

LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un problema se representan par medio de literales.

INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones matemáticas.

Saberes

Nombre Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico

Notación algebraica Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de monomios y polinomios

No. 1

Instrucciones para el alumno

Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor

Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para encontrar el volor númerico de una expresión algebraica, además de desarrollar sumas y restas con expresiones algebraicas

Manera didáctica de lograrlos

Mediante exposición y

tareas

18

VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ".

Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS". De lo anterior hacemos la siguiente observación:

VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO:

Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y" cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo:

Sí x = 1 sí x = 2 sí x = 3

Y =2(1) Y = 2(2) Y = 2(3)

Y=2 y=4 y=6

CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un circulo al diámetro.

Traducción de expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico u viceversa.

Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera abstracta.

Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te dará confianza para iniciar nuestro estudio algebraico.

En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender.

19

EJEMPLOS:

LENGUAJE COMUN: LENGUAJE ALGEBRAICO:

I.- Tres objetos cualesquiera. x .y, z.

2.- La semisuma de dos números 2

a b

3.- La suma de dos veces un numero mas tres veces el mismo 2n + 3n = 5n

número es igual a cinco veces dicho número.

4.- El cubo de un numero menos el doble del mismo número w³ - 2w

LENGUAJE ALGEBRAICO: LENGUAJE COMUN:

Suma de los cuadrados de dos números

2 El doble producto de por el radio

2 ( u – v ) El doble de la diferencia de dos números

El área de un rectángulo es igual al producto

de su largo por su ancho

Identificación de los elementos de una expresión algebraica.

En la notación algebraica es el medio que nos permite conocer los elementos que conforman una representaci6n matemática; por ejemplo:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de literales y números que conforman una o más operaciones algebraicas.

, 7 ; 2 5 ; 2 3 ; ; .

En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-) reciben el nombre de Términos algebraicos.

20

El término esta formado por coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras), multiplicados entre sí, llamados factores.

Coeficiente Exponentes

7

Literales

Nombre Definición Ejemplo

Monomio (mono = uno) Expresión algebraica que consta de un solo término 5 ; 4 ;

3

Binomio (bi = dos) Expresión algebraica que

consta de dos términos

Trinomio ( tri = tres) Expresión algebraica que consta de tres términos

6 7

Polinomio (poli = muchos, en este caso más de dos)

Expresión algebraica que consta de dos o más términos. En este caso binomio y trinomio son polinomios

2 3 2

Clases de polinomios

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal,

por ejemplo:

2x³ + 7x – 8 , 8

3

53

52

xx

Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como denominadores, por ejemplo:

72

d

c

b

a

21

Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par

ejemplo:

2x² + 2xy + y²

Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por

Ejemplo:

823 yx

Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a exponente menor, los números constantes se escriben hasta lo último.

Ordenar el siguiente polinomio:

185

518

372

723223

232

yxx

xxyxyy

xyy

Grado de los polinomios

E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o

mas variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las

potencias de las variables.

Ejemplo:

Grado de un término en una sola variable:

6x³ 3er grado.

2x 1er grado.

3³x 1er grado.

-3 grado cero porque 3 3

Grado de un término en varias variables:

72 x³ y³ 6to grado

22

4 x² y³ 5to grado

√3 3er grado

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya que la incógnita tiene un valor específico. La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto de la expresión algebraica.

Si es de primer grado sólo tiene una solución. Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple.

Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente. Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores.

Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos el valor numérico.

Ejemplo 1: ¿Cuánto vale la siguiente expresión?

2 3 cuando 2 y 4

Solución: 2 2 3 4 2 4 12 8 12 20

Ejemplo 2: El valor numérico de 2 2 3 2 si 2, 3,

1, 2

Solución: 2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 3

2 2 2 6 6

2 12 24

: Puede observarse el uso de corchetes para llevar un mejor orden en el

cálculo.

23

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS:

En la aritmética, los números positivos se suman, pero en el álgebra la adición puede realizarse entre números tanto positivos como negativos. La adición en este sistema más amplio de números es llamada a veces adición algebraica.

Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes.

Los que se parecen (términos semejantes)

3 y Cada pareja de términos son semejantes ya que tanto las

4 8 letras como los exponentes son los mismos.

18 y 5

y

3 y 5 Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque las letras

2 y 5 son iguales, estas NO tienen el mismo exponente.

y Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque los

4 y 3 exponentes son iguales, las letras NO son las mismas.

Ejemplo 3: Combine los elementos semejantes

SUMANDO <‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐222 753 aaa =

215a ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ SUMA

24

Ejemplo 4: Sumar la expresión: .743253 22 babbababa

Solución: Puede agrupar los términos semejantes de la expresión, si usted desea de la siguiente manera:

3 3 5

2 7 4

5 4 8

Nota: También pude realizar la suma directamente, combinando elementos semejantes.

Ejemplo 5: Restar zyx 247 de .5911 zyx

MINUENDO ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ZYX 5911

SUSTRAENDO ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ )247( ZYX

11 9 5

7 4 2

ZYX 7134 ‐‐‐‐‐ RESULTADO

Ejemplo 6: Suma y resta con Bolitas

Polinomio Se representa con Círculos

3 3 2

2 1

1

1

1

25

Si queremos sumar los dos polinomios anteriores tenemos:

Suma de polinomios Se representa con Círculos

3 3 2

2 1

5 2 3

5 2 3

Símbolos de agrupación de agrupación

Los símbolos de agrupación los cuales son los paréntesis ( ), los corchetes [ ], y las llaves{ }, son usados para hacer que el significado de ciertas expresiones, sea claro y para indicar el orden en el que las operaciones son realizadas.

Con frecuencia es conveniente quitar los símbolos de agrupación de una expresión, y para este propósito se usan los axiomas y propiedades del sistema de los números reales. Se explica el procedimiento con un ejemplo.

Ejemplo 6: Elimine los símbolos de agrupación y combine los términos

semejantes

222222 3}4)](3)(5[3{3 yxyyxxyxxyxx

Se aplica primero el axioma distributivo a la expresión en los paréntesis para

obtener

222222 3}4]3355[3{3 yxyyxxyxxyxx

Combinando términos semejantes dentro de los corchetes

22222 3}4]352[3{3 yxyyxyxxyxx

1

1

1

26

Eliminando los corchetes

22222 3}43523{3 yxyyxyxxyxx

Combinando términos semejantes dentro de las llaves

2222 3}38{3 yyxyxx

Quitando las llaves

2222 3383 yyxyxx

Combinando términos semejantes nos da el resultado final xyx 82 2

27

I. Relaciona la columna de la izquierda con la columna de la derecha, escribiendo en el paréntesis el número que corresponda

1. 3 4

( ) 3

2. √3 √2 √5

( )

3. 20 18 3 4

( ) √5 0.2

4. 6 7 6 7

( )

5. √5 0.5 0.7

( ) √2 √3 √5

6. 0.3 0.5 0.7 0.1

( ) 11 12

7.

( ) √3 2 5

8. 3 6 9 15 8

( )

( ) 0.2 0.2

( )

( ) 3

( ) 11 12

Ejercicios

Nombre A desarrollar sumas de polinomios No. 1


Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.

Actitudes a formar

Orden Responsabilidad

Manera didáctica de lograrlas

Ejercicios y tareas sobre el tema

Competencias genéricas a desarrollar

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didácticas de lograrlas

Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

28

II. Completa las siguientes operaciones. Utiliza los espacios disponibles:

III. Escribe un polinomio que represente el perímetro de las siguientes figuras. Simplifica los polinomios reduciendo términos semejantes.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

a) b)

29

IV. Escribe un polinomio para cada arreglo de círculos, además encuentra la suma de polinomios.

V. Encuentre la suma indicada en los problemas siguientes:

a) )44()432()3( dcbdcbdcb Resp: dcb 68

b) )144()432()13( 222 xxxxxx

c) )32()23()22( rqprqprqp Resp: rqp 423

d) )36()32()32( yxwyxwyxw

a)

y

y

b)

y c)

30

VI. Sume las tres expresiones en cada uno de los siguientes ejercicios.

Sustraiga luego la tercera expresión de la suma de las dos primeras.

a) 7 3 11 ; 14 10 10 ;8 8 13a b c a b c a b c Resp: 15 34 ; 15 8a b c a b c

b) 3 4 ;2 4 7 ;3 5xy yz x x xy yz yz x xy

c) 2 3 7 ; 4 3 5 ;2 3 8r rs s s r rs rs s r Resp: 9 4 6 ;7r rs s r

VII. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos

semejantes

a) 4 ( 3) (3 1)x y x Resp: 4x y

b) )2(3)2(2 yxyxyx

c) )32(2)3(2 yxyxyx Resp: yx 25

d) )52(2)3(42 bababa

e) ( ) (2 3 ) ( )x y x y x y Resp: y

f) 1 2 (3 ) 3a b a

g) (3 ) (4 3 )x x x Resp: 3 1x

h) )2(4323 yxxyx

i) xyxxyx )52(3632 Resp: yx 9338

j) )51(34221 aaa

k) yzyzxyx 2)2(422 Resp: zyx 446

l) baabcabcba 532)(2323

31

e) 2 3 5 6 ( ) 5a ab b a ab b a b Resp: 567 baba

f) 10 ( 3) ( 6)x y x y

VIII. Evalúe las expresiones siguientes, dado que 2, 3, 1a b c y 2d

a) 2a b c b) 2a b d c) 6 5a b d

d) 2 3a b c d e) ( 2 )b c d f) 2 2(3 2 )c a b

g) a d

a d

h) 3ab cd

c

i)

3 2

4

b ad

a

Respuestas a algunos ejercicios: a) 9; c) 29; d) 1; f) ‐22; h) 0;

32

LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS

Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si mismo; por ejemplo:

a5 = (a) (a) (a) (a) (a)

La expresión a5 se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general es:

n- ésima potencia de a n Exponente (Entero positivo)

a Base

Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes enteros y positivos, dichas leyes son:

Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término de la misma base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias multiplicadas; Es decir:

Saberes

Nombre Leyes de los exponentes enteros positivos Multiplicación entre monomios Multiplicación de un monomio y un polinomio Multiplicación entre polinomios

No. 2



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar multiplicaciones entre monomios y polinomios


Mediante

exposición y tareas

33

( )m n mna a

( )m m mab a b

m m

m

a a

b b

Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los exponentes de las potencias divididas”; Es decir:

nm

n

m

aa

a (Si m > n) mnn

m

aa

a

1

(Si n>m)

10 aa

a

a nmn

m

(Si m = n)

Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un termino de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es decir:

Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente, su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto”;Es decir:

Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la división”; Es decir:

34

Ejemplo 1:

a) 53232 ))(( uuuu

b) 2242

4

mmm

m

c) 6)3)(2(32)( ccc

d) 6

3

)3)(2(

333

2

8.22

b

a

b

a

b

a

MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS

Regla

Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.

Ejemplos 2: a) Multiplicar .32 32 apora

53232 6)3)(2()3)(2( aaaa

b) Multiplicar 3 4

xbaxbaxabba 33211222 12)4)(3()4(3

c) Multiplicar 342 5 ymxporxy

553241342 55)5)(( ymxymxymxxy

d) Multiplicar 32 4 cbaporab nm

32132132 4)4)(1()4)(( cbacbacbaab nmnmnm

35

e) Efectuar la siguiente multiplicación 423222 )()3()2( bcbaab

844362422423222 )1()3()2()()3()2( cbbababcbaab

))()(()1()3()2( 843462432 cbbbaa

8118)1)(27)(4( cba

8118108 cba

f) Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas

23232234 )()3()()2( baabaab

))(27())(16()()3()()2( 646264423232234 baabababaabaab

610610 2716 baba

61043 ba

Multiplicación de Polinomios por Monomios

Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con sus propios signos. En otras palabras, se aplica la Ley Distributiva de la multiplicación.

Ejemplo 3: Multiplicar 3 6 7 4

)4(7)4(6)4(3)4)(763( 222222 axaxxaxxaxxx

234 282412 axaxax

36

2

2

4

763

ax

xx

La operación puede disponerse así 234 282412 axaxax

MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS

Regla para Multiplicar dos Polinomios Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.

Ejemplo 4: Multiplicar 4 3

Tendremos: 4 4

3 3

4 o sea 4

3 3 4 3 12

12

En el ejemplo siguiente se muestra otra forma de multiplicar.

Ejemplo 5: Multiplicar 4 3 2 5

4 3 5 2 4 5 4 2 3 5 3 2

20 8 15 6

20 23 6

37

Ejemplo 6: El siguiente rectángulo está seccionado y cada sección es el resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los polinomios que equivale al área total del rectángulo.

Solución: Primeramente, tenemos que buscar el valor de los lados de cada rectángulo pequeño para que coincida con el área de cada rectángulo pequeño. Por lo tanto:

4

6

Por lo tanto, los lados del rectángulo grande son 4 6 y 5 8

El área total será: 4 6 5 8 20 32 30 48

20

32

30

48

20

32

30

48

4

6

5 8

38

I. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:

1) ))(( 22 aba 2) ))(( 43 aab 3) ))(2( 32 yyx

4) 3 2( )( )a b b 5)

2 2 3( )( )a b a 6) 2 2(2 )(3 )x xy

7) 2 3 43 (2 )x y x y 8)

2 4 23 (4 )( )x x y x y 9) 3 2 3 2(3 )( )x y x y x

10) )2)(4)(7( 23 yxyyx 11) )2)(( 4323 yxzyzx 12) )3)((6 2332 xzyzyx

13) )5)(4)(( 322 yxxyx 14) )25)(3(2 323 baba 15) )5)(4(3 2xyxy

16) 2 2 3 33 (4 )( 9 )a b ab a b 17)

2 3 2( )a b ab 18) 2 2 26 (2 )a b ab

19) 2 2 2 3( ) (2 )a b ab 20)

2 2 3(4 ) ( )ab ab 21) 2 3 3 2( ) ( 8 )x y x y

22) 2 3 2 2 2 3( ) (2 ) ( 5 )xy x yz xz 23)

2 2 3 2 2 4 5 4( ) (8 ) ( 3 )a b abc b c

Ejercicios

Nombre A practicar las multiplicación de monomios y polinomios No. 2Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar






Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Manera didácticas de lograrlas


39

24) 4323222 ))(3()2( cabaab 25)

5243223 )()9()2( bcacaab

26) 2 2 2 32 ( ) ( )a b a b 27)

2 2 2( 2 ) ( ) ( )ax a x 28) 2 2 2 22 ( ) (4 )( )a b a b

Respuesta para algunos de los ejercicios anteriores:

4) 3 3a b ; 5)

5 2a b ; 6) 3 26x y ; 7)

6 46x y ; 8) 7 312x y ; 9)

7 43x y ;

16) 6 6108a b ; 17)

4 7a b ; 18) 4 524a b ; 19)

7 88a b ; 21)12 564x y ;

22) 78820 zyx 23)

8 24 245184a b c ; 26) 2 2 2 32a b a b ; 27)

2 25a x ; 28) 2 22a b

II. Efectué la siguiente multiplicación entre un polinomio y un monomio.

(1) xporxx 23 23 Resp: 4 36 2x x

(2) 322 238 axporyyx

(3) xporxx 2342 Resp: 3 22 8 6x x x

(4) aaa 64 23 por ab3

III. Efectúe las multiplicaciones indicadas. Simplifique cuando sea

necesario.

1) 6( 7)x 2) 7( 4)x 3) ( 3)x y

4) 5 (2 3)x y 5) 4 ( 3)x y 6) 22 (3 2 )x x x

7) 26 ( 4 )x x x 8)

23 (3 5 )x x x 9) 3 22 (3 5)x x x

10) 2 22 ( 3 )ab a ab b 11)

2 3 2 2 42 ( 5 3 )a b a a b b

12) 3 2 25 ( 4 )a b ab b a 13)

3 2 22 (2 3 2)ab a b

14) 2 (5 6) 3 ( 4)x x x x 15) 4 ( 4) 2 (2 3)x x x x

40

16) 2 22 (3 4 6) ( 8)x x x x x 17)

2 2 3 2(2 3 4) ( 3 4 )x x x x x x x

Respuestas a los impares: 1) 6 42x ; 3) 3xy x ; 5) 4 12xy x ; 7) 3 26 24x x ;

9) 5 4 36 2 10x x x ; 11)

5 4 3 2 52 10 6a b a b a b ; 13) 3 3 5 34 6 4a b ab ab ; 15) 10x ;

17) 4x

IV. Efectué la siguiente multiplicación entre polinomios.

1. 1..3 apora Resp: 2 2 3a a

2. xyporyx 2..28

3. yxporxy 23..54 Resp: 2 215 22 8x xy y

4. abporba 84..

V. Efectué las operaciones con polinomios y simplifique:

1) ( 7)( 4)x x 9) 2( 1)((2 2 3)x x x

2) ( 6)( 6)x x 10) 2( 2)( 2 4)x x x

3) ( 1)( 6)x x 11) 2(2 1)(4 2 1)x x x

4) (3 1)(4 3)x x 12) 2 2( 2 )( 2 4 )x y x xy y

5) (3 2 )(3 4 )x x 13) 2 2( 2 1)( 2 1)x x x x

6) (7 3 )(8 5 )x x 14) ( 1)( 3) ( 4)x x x x

7) ( 4 )(3 4 )x y x y 15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3)

8) ( 3)( 4)xy xy 16) ( 2)( 4) ( 2)x x x x

Respuestas a los impares: 1) 2 3 28x x ; 3) 2 7 6x x ; 5) 29 6 8x x ;

7) 2 23 16 16x xy y ; 9) 32 3x x ; 11) 38 1x ; 13) 4 24 4 1x x x ;15) 23 2x

41

VI. Los siguientes rectángulos están seccionados y cada sección es el resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los polinomios que equivale al área total de cada rectángulo. (Ver ejemplo 6 resuelto de esta sección).

1.

2.

3.

5

5

5

3

24

15

40

25

42

DIVISIÓN DE MONOMIOS

Ejemplos: (1) Dividir 4 2

2

(2) Dividir 5

= 5

(3) Dividir 20 4

= 5

Saberes

Nombre División entre monomios División entre un polinomio y un monomio División entre polinomios

No. 3



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar divisiones entre monomios y polinomios

Manera didáctica

de lograrlos

Mediante


43

Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión:

34

2

2

6

x yz

xy

Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el

exponente exterior.

3 34 3 9 3 9 3

2 3 3 3

2

6 3 3 27

x yz x z x z x z

xy y y y

DIVISIÓN DE POLINOMIOS ENTRE MONOMIOS.

Regla para dividir un polinomio por un monomio. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos.

Ejemplo 1) Dividir 3 2 23 6 9a a b ab entre 3a.

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 6 9 3 6 9(3 6 9 ) 3

3 3 3 3

a a b ab a a b aba a b ab a

a a a a

Resultado: 2 22 3a ab b

Ejemplo 2) Dividir 3 2 23 2a a b ab

ab

Solución: 3 2 2 3 2 2 23 2 3 2 3

2a a b ab a ab ab a

a bab ab ab ab b

Ejemplo 3) Dividir 2(3 ) (3 )

(3 )

x a a x a

x a

y simplificar

2(3 ) (3 )

(3 )

x a a x a

x a

= 2(3 ) (3 )

(3 ) 3 3(3 ) (3 )

x a a x ax a a x a a x

x a x a

44

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división de polinomios respeta la siguiente serie de pasos:

1. Ordenamos los términos de ambos polinomios según las potencias de mayor a menor, o viceversa, de una de las letras comunes a los dos polinomios.

2. Dividimos el primer término del dividendo entre el primero del divisor, con esto obtenemos el primer término del cociente.

3. Multiplicamos el término del cociente del paso anterior por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.

4. Con lo obtenido en el paso anterior se repiten las operaciones de los pasos 2 y 3 hasta que obtenemos un residuo igual a cero o una expresión algebraica de grado menor que el del dividendo.

5. El resultado se expresa de la siguiente manera:

Ejemplo 1: Dividir 2 31 35 entre 2 7

3 5 cociente

Divisor 2 7 2 31 35 Dividendo

2 7

6 31 35

6 21

10 35

10 35

0 Residuo

El resultado es: 3 5

45

Ejemplo 2: Dividir 2 3 2 entre 3 2

2 3 6

3 2 2 3 2

2 6 4

3 3 2

3 9 6

6 5 2

6 18 12

13 14

El resultado lo expresamos de la siguiente manera:

2 3 6

46

I. Ejercicios: Efectuar la siguiente división entre monomios

(1) 243 214 abentreba Resp: 2 27a b

(2) 4343 baentrecba

(3) nmentrenm 225 Resp: 5

(4) 3232 88 xaentrexa

II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.

1) 5

2

a

a 2)

3x

x 3)

6

12

a

a 4)

2

8

x

x 5)

10

10

x

x 6)

10

6

b

b 7)

8

10

( )a

a

8) 7

7

( )a

a

9) 8

4

( 1)

( 1)

x

x

10) 6

9

( )

( )

x y

x y

11) 3

3

bx

b 12)

6 4

3 2

x y

x y 13)

2 5

6 10

9

36

a b

a b 14)

8 7

4 9

6

18

a b

a b

15) 3

6

)( a

a

16)

6

2

)(

)(

yx

yx

17) xy

yx3

18) yx

yx2

33

19) 82

62

ba

ba 20)

ca

ba9

25

70

42

Ejercicios

Nombre A practicar las división entre monomios y polinomios No. 3Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









47

21) 85

23

66

44

ba

ba 22)

63

25

8

32

ba

ba

23)

312

96

5

25

ba

ba

24) 4

6

33

a

a 25)

2

2

2

ab

ba

26) 62

5

2a

a

27) 32 5

6

2

4

x y

xy

28) 34 2 7

3 4 72

x y z

x y z

29) 43 2 4

2 3

12

18

x y z

xy z

Respuestas para algunos ejercicios:

1) 3a ; 2) 2x ; 3) 6

1

a; 4)

6

1

x; 5) 1 ; 6) 4b ; 7)

2

1

a ; 8) 1 ; 9) 4( 1)x ; 10)

3

1

( )x y; 11) x ; 12) 3 2x y ; 13)

4 5

1

4a b; 14)

4

23

a

b ; 26)

18

64

a

27) 3

38

x

y; 28)

3

68

x

y ; 29)

8 416

81

x z

III. Efectué las operaciones entre un polinomio y un monomio y

simplifique.

1) 2 2

2

x 2) 10 5

5

x 3) 26 3

3

x x

x

4)

3 23x x x

x

5) 6 3

3

ax a

a

6) 3 2

2

7 14

7

x x

x

7)

2 3

2

10 15

5

x y x

x

8) 5 4 3

3

12 18 6

6

x x x

x

9) 3 2 2 3

2 2

36 24

12

x y x y

x y

10) 3 2

2

4 6 8

2

x x x

x

11)

6 4 2 2 4

3 3

2 3

3

x x y x y

x y

12) 26( ) 3( )

3( )

x a x a

x a

13) 2(2 ) (2 )

(2 )

x a x x a

x a

14) 3 2(2 ) (2 )

(2 )

x a x a

x a

48

Respuestas a los impares: 1) 1x ; 3) 2 1x ; 5) 2 1x ; 7) 2 3y x ; 9) 3 2x y ;

11) 3

3

2

3 3

x x y

y y x ; 13) x a

IV. Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes:

1) 2 3 2

1

x x

x

2) 2 6

2

x x

x

3) 2 14 48

8

x x

x

4) 28 16 6

2 1

x x

x

5) 29 6 1

3 1

x x

x

6) 212 25 12

4 3

x x

x

7) 216 8 1

4 1

x x

x

8) 222 8 21

4 3

x x

x

9) 3 2

2

4 2 8

4

x x x

x

10) 4 3 2

2

3 2 6 3 2

2

x x x x

x x

11) 3 23 4 6

2 3

x x x

x

12) 3 24 7 21 9

4 3

x x x

x

13) 3 26 11 14 2

2 5

x x x

x

14) 4 2

2

2 11 39 15

3 5

x x x

x x

15) 4 3 2 2 3 4

2 2

2 3 3 5 3

2

x x y x y xy y

x xy y

16) 23

1249 2

x

xx 17)

65

281215 2

x

xx

18) 168

6448122

23

xx

xxx 19)

12

2862

234

xx

xxxx 20)

162

835122

24

xx

xxx

21) )3()73522( 22322344 yxyxxyyxyxyx

Respuestas para algunos ejercicios:

1) 2x ; 2) 3x ; 3) 6x ; 4) 4 6x ; 5) 3 1x ; 6) 3 4x ; 7) 4 1x

8) 2 7x ; 9) 2x ; 10) 23 1x x ; 11) 2 42 1

3 2x x

x

; 12) 2 9

64 3

x xx

13) 2 123 2 2

2 5x x

x

; 14) 22 6 3x x ; 15) 2 22 3x xy y

49

BINOMIOS CONJUGADOS

Si tenemos la multiplicación ¿cómo la resolverías?

Una forma de hacerlo es multiplicando Todos vs. Todos:

Aunque este método nos gusta mucho no es el más rápido, para esto estamos aprendiendo la multiplicación de binomios conjugados. El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un producto notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de diferencia de cuadrados.

Saberes

Nombre PRODUCTOS NOTABLES Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomio al cuadrado Binomio al cubo

No. 4



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar productos notables por inspección

Manera didáctica

de lograrlos

Mediante


50

Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados

2 2a b a b a b

Los binomios conjugados son iguales a:

El cuadrado del primer término del binomio

Menos

El cuadrado del segundo término del binomio.

Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados:

1. 8 3 8 3 8 3 8 3 64 9

2. 5 6 5 6 5 6 25 36

3.

2 22 25 3 5 3 5 3 25 9

9 4 9 4 9 4 81 16m n m n m n m n

Producto de trinomios que se pueden resolver como un binomio conjugado

4. 5 5 5 5 25

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CUALESQUIERA

Los términos correspondientes de los binomios byax y dycx son

semejantes. Su producto se obtiene por el procedimiento que se describe aquí

en donde se aplica la propiedad distributiva.

)()())(( dycxbydycxaxdycxbyax

22 bdybcxyadxyacx por distributividad y conmutividad

22 )( bdyxybcadacx ya que adxy+bcaxy = (ad+bc)xy

Por tanto, se tiene

Producto de dos binomios 22 )())(( bdyxybcadacxdycxbyax

Al observar el producto de la derecha, se ve que se tiene el producto de dos

binomios con términos semejantes correspondientes al ejecutar los pasos

siguientes:

51

1) Multiplíquense los primeros términos de los binomios para obtener el primer término del producto.

2) Súmense los productos obtenidos al multiplicar el primer término en cada binomio por el segundo en el otro. Esto da el segundo término en el producto.

3) Multiplíquense los segundos términos en los binomios para obtener el tercer término del producto.

Por lo general, el procedimiento requerido para efectuar esos tres pasos es mental, y el resultado puede escribirse sin necesidad de indicar los pasos intermedios. Esto se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Obtenga el producto de yx 52 y yx 34

22 15148)34)(52( yxyxyxyx

Obténgase los productos mentalmente

1. xx 42

2. xyxyxxyx 206)45()32(

3. yy 35

El ejemplo anterior está dada en dos variables, pero se aplica también si se

considera que 1y . De hecho, viene siendo bdxbcadacxdcxbax )())(( 2

Ejemplo 2

Encuentre ).53)(2( xx

103)5)(2()]3)(2()5)(1[())(3)(1()53)(2( 22 xxxxxx

52

BINOMIO AL CUADRADO

Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el

proceso para obtener su resultado.

El cuadrado de la suma de dos términos es igual: 2 2 2( ) 2a b a ab b

Cuadrado del primer término más

Doble producto del primero por el segundo, más

El cuadrado del segundo término.

La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre

de trinomio cuadrado perfecto.

Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo

término del trinomio.

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: 2 2 2( ) 2a b a ab b

Cuadrado del primer término, menos

Doble producto del primero por el segundo, más

El cuadrado del segundo término.

Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado

1. 3 8 3 2 3 8 8 9 48 64

2. 3 5 3 2 3 5 5

9 25

3. 32

53

32

232

53

53

94

5 259

53

4. 4 2 3 4 2 3 4 2 2 4 2 3 3

16 16 4 24 12 9

BINOMIO AL CUBO

Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo tres veces:

3a b a b a b a b

Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la multiplicación debemos realizarla por partes:

2 2 22a b a b a b a ab b .

Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio:

2 2 3 2 2 32 3 3a ab b a b a a b ab b

Binomio al cubo = Cubo perfecto

3a b = 3 2 2 33 3a a b ab b

El cubo de un binomio es igual a:

Cubo del primer termino más

El triple producto del cuadrado del

primer termino por el segundo mas

El triple producto del Primer termino

por el cuadrado del segundo mas

Cubo del segundo termino.

54

Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría:

3a b = 3 2 2 33 3a a b ab b

Ejemplos:

1. 2 5 2 3 2 5 3 2 5 5

8 60 150 125

2. 3 2 3 3 3 2 3 3 2 2

27 54 36 8

55

I. Realice los siguientes binomios conjugados:

1. 4 4 2. 7 7 3. 3 2 3 2 4. 6 8 6 8

5. 2 3 2 3 6. 7. 6 4 6 4

8. 4 7 4 7 9. 10.

11. 6 10 6 10 12. 5 3 5 3

13. 7 5 7 5 14. 4 4

Ejercicios

Nombre Todo mundo a desarrollar Productos Notables No. 4Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









56

II. Completa la siguiente tabla:

Binomios conjugados Diferencia de cuadrados

a)

b) 9 25

c) 1 1

d) 4 10 4 10

e) 41

25

f) 9

16254

g) 2 0.2 2 0.2

h) 5 6 5 6

i) 2 3

j) 3 3

k) √2 √3 √2 √3

III. Realice los siguientes ejercicios usando el modelo para el producto de dos binomios cualesquiera.

1. )3)(1( xx 2. )4)(2( xx 3. )2)(3( xx 4. )23)(32( xx

5. )5)(43( xx 6. )32)(14( xx 7. )3)(2( yxyx 8. )32)(53( yxyx

9. )52)(116( dcdc 10. )59)(38( mkmk 11. )74)(103( baba

IV. Completa la siguiente tabla:

Multiplicación de dos binomios cualesquiera con un termino común

Resultados

a) 5 4

b) 15 17 30

c) 5 3

d) √5 6 √5 2

e) √2 1 √2 2 2 3√2

57

V. Obtenga el binomio al cuadrado de las siguientes expresiones:

1. 2)2( x 2. 2)3( x 3. 2)9( x 4. 2)( yx 5. 2)8( yx

6. 2)2( ba 7. 2)32( x 8. 2)54( x 9. 2)510( x 10. 2)25( nm

11. 2)4( m 12. 2)32( yx 13. 2)76( ba 14. 233 )( ba 15. 222 )23( xyyx

16. 2323 )54( abba 17. 2)232( zyx 18. 2)343( cba 19. 255 )( yx

VI. Completa la siguiente tabla:

Binomio elevado al cuadrado Polinomio

a) 3

b) 2 4 4

c) 7 16

d)

VII. Desarrollo los siguientes binomios al cubo:

1. 3)2( ba 2. 2)23( x 3. 3)15( x 4. 3)72( yx 5. 3)64( ba

6. 3)31( y 7. 32)2( y 8. 332 )32( qp 9. 323 )45( nm 10. 3

3

4

3

2

ba

VIII. Completa el desarrollo de los siguientes binomios al cubo

a) 5 2 3 3

___________________________________________________________

b) 3 2 3 3

___________________________________________________________

c) 3 3

___________________________________________________________

58

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Cada uno de los números que se multiplican entre sí para obtener un producto, se llama factor. Algunas veces es deseable escribir un polinomio como el producto de varios de sus factores. Este proceso se llama factorización. En particular, nos ocuparemos de factorizar polinomios con coeficientes enteros. Se dice que un polinomio está factorizado completamente si se expresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la expresión se puede ya escribir como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros. A continuación, consideramos la factorización de algunos polinomios especiales.

I. Factor común. En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la propiedad distributiva. Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. El factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un polinomio.

Saberes

Nombre FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Por factor común Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma Trinomio de la forma Trinomio cuadrado perfecto Suma y diferencia de cubos Por agrupación

No. 5



Saberes a adquirir El alumno conocerá los distintos tipos de factorización de polinomios.

Manera didáctica

de lograrlos

Mediante


59

Ejemplos:

1) 5 5 5( )x y x y

El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y

los factores son 5 y (x + y).

2) ( )ax bx cx x a b c

Pude ver que la es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor

común, y los factores son x y (a – b + c).

3) 24 8 2x y xy y = 22 (2 4 1)y x x

El numero 2 y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por

lo tanto, son comunes, es decir, 2y. Para encontrar el otro factor dividimos el

termino común y la expresión original 24 8 2x y xy y entre 2y, dando como

resultado, 22 4 1x x que representa al segundo factor.

4) Factorizar el polinomio 3 2 2 2 26 12 24x y x y xy

Solución: El máximo factor común es 26xy .

3 2 2 2 2

3 2 2 2 2 22 2 2

6 12 246 12 24 6

6 6 6

x y x y xyx y x y xy xy

xy xy xy

= 2 26 ( 2 4)xy x x

II. Diferencia de cuadrados

El producto de los factores ( )a b y ( )a b es 2 2a b , es decir, la diferencia de

dos términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de

cuadrados son la suma y diferencia de raíces cuadradas respectivas de

dichos cuadrados.

Ejemplo 1) Factorizar 29 4a .

Solución: La raíz cuadrada de 29a es 3a y la de 4 es 2.

60

Por consiguiente, 29 4 (3 2)(3 2)a a a

Ejemplo 2) Factorizar completamente 4 481x y .

Solución: 4 4 2 2 2 281 ( 9 )( 9 )x y x y x y

2 2( 9 )( 3 )( 3 )x y x y x y

Ejemplo 3) Factorizar completamente 46 6x .

Solución: 4 46 6 6( 1)x x

2 26( 1)( 1)x x

26( 1)( 1)( 1)x x x

Ejemplo 4) Factorizar completamente 2 24( 3)x y

Solución: 2 24( 3) [ 2( 3)][ 2( 3)]x y x y x y

( 2 6)( 2 6)x y x y

III. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c.

Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos

como resultado un trinomio de la forma x2 + bx + c. Para factorizar el trinomio,

tenemos que encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente

procedimiento:

1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer

término.

2. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones:

Dos números que multiplicados den el valor del tercer termino del

trinomio (c).

Y sumados deben ser igual al coeficiente del segundo término del

trinomio (b).

61

Ejemplo: x2 + 5x + 6.

Dos números que multiplicados nos den x2, es decir, 2x ;. (x ) (x ).

Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos

den el coeficiente del segundo termino (5). (x + 3) (x + 2).

Entonces la factorización del trinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2).

Ejemplo: a2 + 9a + 20.

Dos números que multiplicados nos den a2, es decir, 2a ;. (a ) (a ).

Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (20) y sumados

nos den el coeficiente del segundo termino (9). (a + 5) (a + 4).

Entonces la factorización del trinomio a2 + 9a + 20 = (a + 5) (a + 4).

IV. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c.

Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, aplicamos la siguiente regla: El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquellos que multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado; los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercer termino del trinomio, pero que el producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores, al sumarse algebraicamente den como resultado el termino central del trinomio.

Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax2 + bx + c.

a) 3x2 + 14x + 8 = Se determinan los primeros términos de los factores

binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (3x2) el primer termino

del trinomio, dichos términos son (3x)(x); los segundos términos de los

binomios son aquellos que multiplicados den (8) el tercer termino del

trinomio, dichos términos pueden ser (1)(8) y (2)(4), siendo la ultima

proposición la que cumple la condición de que la suma algebraica del

producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores

resulte (14x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización

es:

3x2 + 14x + 8 = (3x + 2) (x + 4)

62

b) 5x2 - 11x - 36 = Se determinan los primeros términos de los factores

binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (5x2) el primer termino

del trinomio, dichos términos son (5x)(x); los segundos términos de los

binomios son aquellos que multiplicados den (-36) el tercer termino del

trinomio, dichos términos pueden ser (-36)(1), (-18)(2), (-12)(3), (-9)(4), (-

6,6), (36)(-1), (18)(-2), (12)(-3), (6)(-6) y (9)(-4), siendo la ultima proposición

la que cumple la condición de que la suma algebraica del producto de los

términos extremos e interiores de los binomios factores resulte (-11x) el

termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización es:

5x2 - 11x - 36 = (5x + 9) (x - 4)

V. El Tri perfecto (trinomio cuadrado perfecto)

Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres

condiciones:

1. Debe tener tres términos.

2. Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término.

3. La doble multiplicación de la raíz del primer por el tercer término es el segundo término del trinomio original.

Ejemplo: Factoriza: 25 70 49

Primer paso: Verifica que éste sea un trinomio cuadrado perfecto (checando las condiciones).

Sí es un trinomio: 25 70 49

Sí tienen raíz cuadrada exacta el primer y el tercer términos: 5 7

Sí es el mismo resultado del segundo término del trinomio original

70x y la doble multiplicación de la primera raíz y la tercera raíz

2(5x)(7) = 70x

Segundo paso: Coloca el resultado

25 70 49 5 7 Se toma el signo que contiene el segundo

término del trinomio original.

63

VI. Suma y diferencia de cubos

La suma o diferencia de cubos es el resultado de la multiplicación de un binomio por un trinomio.

Suma y diferencia de cubos factores

Identificamos como suma de cubos a un binomio cuyos términos son cubos perfectos y tienen signos positivos; cuando poseen signos diferentes se trata de una diferencia de cubos. Los binomios y son suma y diferencia de cubos, respectivamente, debido a que ambos términos son cubos perfectos por tener raíz cúbica:

√ y

Ejemplo 1 Factorizar

Solución: El binomio es una suma de cubos porque ambos términos tienen raíz cúbica y signo positivo. Las raíces son: √8 2 y 27 3

Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el

modelo escrito arriba, el binomio es: 2 3 .

El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del binomio

y

El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga

Con signo contrario resulta

El trinomio factor es:

Finalmente, la factorización es:

64

Ejemplo 2 Factorizar

Solución: El binomio es una diferencia de cubos porque ambos términos tienen raíz cúbica y signos diferentes. Las raíces son: √27 3 y √1 1

Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el

modelo escrito arriba, el binomio es: 3 1 .

El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del binomio

y

El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga

Con signo contrario resulta 3

El trinomio factor es:

Finalmente, la factorización es:

VII. Factorización por agrupación.

Con frecuencia, es posible agrupar los términos de un polinomio de tal manera que cada grupo tenga un factor común, entonces el método de factores comunes es aplicable. Se utiliza este método en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 1 Factorice byaybxax

Solución: Obsérvese que los dos primeros términos tienen el factor común x , y el tercero

y el cuarto tienen el factor común y . Por tanto, los términos se agrupan como a

continuación se indica )()( byaybxax y se procede como sigue:

)()( byaybxaxbyaybxax con x como factor común del primer

)()( baybax grupo con y como factor común del

))(( yxba segundo grupo y con ba como factor

Común de )( bax y )( bay .

65

Ejemplo 2 Factorice yxyxx 5102 2

Solución: )5(2102 2 xxxx y )5(5 xyyxy así que

)5()5(25102 2 xyxxyxyxx

)2)(5( yxx

Ejemplo 3 Factorice bababa 222 22

Solución: Ya que ))2(2 22 babababa y )(222 baba

Se procede como está indicado a continuación:

)22()2(222 2222 babababababa

)(2))(2( bababa

)22)(( baba

Ejemplo 4 Factorice 222 24 babac

Solución: )2(424 222222 babacbabac

22 )()2( bac

)](2)][(2[ bacbac

)2)(2( bacbac

Ejemplo 5 Factoriza 25 3 10 6a ax a x .

Asociando 2 25 3 10 6 5 10 3 6a ax a x a a ax x .

Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer término de un polinomio debe

ser positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces

aplicamos la propiedad conmutativa.

25 10 3 6a a ax x

23 6 5 10ax x a a

Factorizando: 3 2 5 2x a a a

Y de nuevo factorizando: 2 3 5a x a

66

Ejemplo 6 Factorizar 12 20 9 15ax bx ay by

12 20 9 15 (12 20 ) (9 15 )ax bx ay by ax bx ay by

12 20 9 15 4 (3 5 ) 3 (3 5 )ax bx ay by x a b y a b

(3 5 )(4 3 )a b x y

I. Factorizar por factor común

1) 4 4x 2) 12 6x 3) 18 27x 4) 3 29 6x x 5) 3 3bx b

6) yzxzxy 826 7) 22 1555 yxyx 8) aa 23 9) ababba 9123 22

10) 2 2xy x y 11) 2 24 8xy x y 12) 2 2 24 12x y x y 13) 2 26 4 10x y xy xy

14) 3 2 32x x y xy 15) 3 2 2 3 2 24 2 6x y x y x y 16) ( ) ( )x a b y a b

17) 3( 3) ( 3)a x a 18) )12()12(4 xxx 19) )()(3 baxba

Ejercicios

Nombre Volviéndonos hábiles en la Factorización No. 5Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









67

II. Factorice completamente por diferencia de cuadrados:

1) 2 16x 2) 2 36x 3) 29 25x 4) 281 x 5) 236 1x

6) 24 81x 7) 22 169 yx 8) 2 49 4x y 9) 4 2 24 9a b c 10) 6 4a b

11) 24 649 yx 12) 46 4981 dc 13) 612 4121 th 14) 64100 64100 yx

15) 2 2 49x y y 16) 8 12 1036 9a b c 17) 4 416 81x y 18) 2 2( 1)x y

19) 4)3( 2 ba 20) 22 )( zyx

III. Completa la siguiente tabla:

Diferencia de cuadrados Binomios conjugados

1.

2. 9 81 3 9 3. 121 144 4. 25 16 5 4

5. 625 529 6. 7. √ √ 8. 3 2 √3 √2

IV. Factorizar los trinomios de la forma siguientes:

1) 2 3 2x x 2) 2 7 12x x 3) 2 8 15x x 4) 2 9 20x x

5) 1892 xx 6) 1072 xx 7) 32122 xx 8) 30132 xx

9) 2 4 21x x 10) 2 12 45x x 11) 2 3 18x x 12) 2 8 12x x

13) 22 3212 yxyx 14) 22 96 yxyx 15) 22 2712 yxyx

16) 2 29 14x xy y 17) 2 211 28x xy y 18) 4 23 10x x 19) 4 27 8x x

20) 8118 24 xx 21) 2)(3)( 2 yxyx 22) 18)3(9)3( 2 yxyx

68

V. Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos siguientes. Encuentra también el perímetro de cada rectángulo:

1. 2.

VI. Factorizar los trinomios de la forma siguientes

a) 22 3 1x x b) 23 7 2x x c) 22 7 6x x d) 22 11 5x x

e) 23 4 1x x f)

24 9 2x x g) 22 5 2x x h) 23 11 6x x

i) 24 8 6x x j) 22 15 8x x k) 23 7 6x x l) 24 5 6x x

m) 22 7 4x x n) 24 15 4x x ñ) 24 19 12x x o) 26 5 4x x

p) 26 23 18x x q) 26 7 2x x r) 26 11 4x x s) 26 31 18x x

t) 2 23 16 12x xy y u) 2 23 7 6x xy y v) 2 24 8 5x xy y w) 2 26 5 6x xy y

x) 4 25 8 4x x y) 4 22 5 12x x z) 4 28 29 12x x

VII. Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos siguientes. Halla también el perímetro de cada rectángulo:

1. 2.

3 2

7 10

3 8 3

12 17 6

69

VIII. Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

1. 14 49 8. 64 112 49

2. 16 64 9. 16 64 3. 2 1 10. 26 169 4. 4 4 11. 16 8 1 5. 6 9 12. 9 12 4 6. 8 16 13. 18 81 (primero factorice por factor común)

7. 14 49 14. 24 144

IX. Si el área de cada cuadrado está representada por el trinomio cuadrado perfecto correspondiente, determina el lado y el perímetro de los cuadrados siguientes.

1. 2. 3.

X. Completa los espacios en blanco que llevan a la factorización de las expresiones indicadas:

1. 64

Ya que √ ________________ y √64 _____________

La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como:

64 (______________) (____________________________)

2. 8 216

Ya que √8 ________________ y 216 _____________


2 1

6 9

10 25

70

8 216 (______________) (____________________________)

3. 27 125

Ya que 27 ________________ y √125 _____________


27 125 (______________) (____________________________)

4. 343 8

Ya que √343 ________________ y √8 _____________


343 8 (______________) (____________________________)

5. 2 27

Ya que 2 ________________ y 27 _____________


2 27 (______________) (____________________________)

XI. Factorizar por agrupación los siguientes polinomios:

1) ayaxyx 33 2) cycxayax 22 3) bybxayax 4) yxyx 2222

5) byaybxax 6) bybxayax 22 7) bybxayax 362

8) zyxazayax 9) bbybxaayax 666333

10) azzyxayax 63242 11) yxyxx 5252 2 12) yxyxx 4123 2

13) 222 aabba 14) 332 xxx 15) 242 2 xxx

16) 123 xxx 17) 632 23 xxx 18) xxxx 22 234

71

1. Simplificación de fracciones algebraicas 2. Suma y resta de fracciones algebraicas 3. Multiplicación y división de fracciones algebraicas

1. A simplificar fracciones algebraicas 2. A sumar y restar fracciones algebraicas 3. Operaciones con multiplicación y división de fracciones.

Competencia

2 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Simplificación de fracciones algebraicas Suma y resta de fracciones algebraicas Multiplicación y división de fracciones algebraicas Fracciones complejas algebraicas

Saberes

Ejercicios

72

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Se dice que una fracción está en términos mínimos o en su forma más simple si el numerador y el denominador no tienen factor común. Así podemos determinar si una fracción está en sus términos mínimos expresando el numerador y el denominador como productos de sus factores primos. Cualquier factor que aparezca tanto en el numerador como en el denominador, puede entonces ser

removido por división. Esto es,

Nota: Los números a y c en la expresión bc

ac son factores del numerador, no

términos como en a + c. También los números b y c son factores del denominador, no términos.

La fracción cb

ca

no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es

igual a b

a ni a 1

1

b

a. Análogamente,

6

5

6

5 b

a

ba

Pero

a

b

a

b

a

a

a

ba

66

5

66

5

6

5

Saberes

Nombre Simplificación de fracciones algebraicas No. 1Instrucciones para

el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor

Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una fracción algebraica


Mediante exposición y

tareas

73

Para encontrar el máximo factor común, M.F.C., de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores comunes, cada uno con el mínimo exponente con que aparece en los polinomios dados.

Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador y denominador son monomios, se dividen tanto el denominador entre su máximo factor común.

Ejemplo 1:

Reducir 3

23

54

36

abc

cba a sus términos mínimos.

Solución. El máximo factor común de los monomios cba 2336 y 354abc es abc18 .

Dividiendo numerador y denominador entre 18abc, se obtiene.2

2

3

23

3

2

54

36

c

ba

abc

cba .

Ejemplo 2: Reducir a su mínima expresión. 42

63

220

236

xxy

xyx.

Solución. El máximo factor común es 24 2 xxy .

Al dividir el numerador y denominador entre 24 2 xxy , obtenemos

3

42

42

63

25

9

220

236

x

yx

xxy

xyx

Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador o denominador o ambos son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor común y luego se dividen por este.

Ejemplo 3: Reducir 22

232

12

1830

yx

xyyx a sus términos mínimos.

74

Solución. 22

232

12

1830

yx

xyyx 22

2

12

356

yx

xyxy

Dividiendo el numerador y denominador por 26xy , se obtiene

22

232

12

1830

yx

xyyx 22

2

12

356

yx

xyxy

x

xy

2

35 .

Ejemplo 4: Reducir yxyx

yx423

3

4836

24

a su mínima expresión.

Solución. yxyx

yx423

3

4836

24

xyyx

yx

4312

243

3

Se dividen numerador y denominador entre 12x3 y para obtener

yxyx

yx423

3

4836

24

xyyx

yx

4312

243

3

xy 43

2

.


322

2

x

xx a su mínima expresión.

Solución. Al factorizar el numerador y denominador, obtenemos

1

322

2

x

xx 11

132

xx

xx

Dividiendo el numerador y el denominador, entre su máximo factor común, 1x ,

1

resulta 1

322

2

x

xx

11

132

xx

xx

2 3

1

x

x

1

75

Nota La fracción 1

32

x

x esta reducida; el numerador y el denominador no

poseen ningún factor común.

Notas:

1. ababba

2. 222 ababba 3. 333 ababba

Ejemplo 6:

1

ab

ab

ab

ba

Hay que observar también que b

a

b

a

b

a

.


2

472

3148

xx

xx

.

Solución. 2

2

472

3148

xx

xx

2

32

412

3241

412

3214

x

x

xx

xx

xx

xx

xx 4114

76

I. Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:

1. 3

6

x

x 2.

7

2

x

x 3.

2

5

12

8

x

x 4.

6

3

24

9

x

x

5. 252

34

63

54

cba

cba 6.

386

548

80

64

zyx

zyx 7.

ba

abc2

3

15

20

8.

44 5

73

a b

ab

9. 222

33

6

2

ba

ba 10.

23

32

6

3

ab

ba 11.

2

33

6

3

bax

bax

12. 3

22

216

212

xx

xx

13. 42

223

21

14

yxxy

yxyx

14. 32

2

3216

168

xx

xx

15. baa

abba23

22

44

22

16. 2

22

)3(

9

ba

ba

17. 34

12

2

xx

x 18.

96

24112

2

xx

xx 19.

43

24102

2

xx

xx 20.

94

121122

2

x

xx

21. 143

122

2

xx

xx 22.

3114

2742

2

xx

xx

Ejercicios

Nombre A simplificar fracciones algebraicas No. 1Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









77

Respuestas a los ejercicios anteriores

1. 3x ; 3.

3

2 3x; 5.

cb

a2

2

7

6; 7.

a

c

3

4 3

; 9. b

a

9

2 5

11.

2

)(2 bax ; 13.

2

2

)(3

2

yx

x

; 15.

a

b

2;

17. 3

1

x

x; 19.

1

6

x

x; 21.

13

12

x

x

II. Señalar la respuesta correcta de las siguientes preguntas:

1. Al simplificar la fracción la respuesta correcta es:

a) b) c) d)

2. Al simplificar la fracción el resultado es:

a) b) c) d)

3. La simplificación de la fracción algebraica

es:

a) b) c) d)

78

ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.

La adicción de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas. Empezaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales, y luego, extenderemos el análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos.

FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES.

Se define la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la

relación.

c

ba

c

b

c

a

Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es

una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador

es el denominador común.

Ejemplo 1: Efectuar xx

23

Saberes

Nombre Suma y resta de fracciones algebraicas No. 2



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar una suma y resta de fracciones algebraicas y simplificarlas


Mediante


79

Solución. xx

23

xx

523

Observación. Para evitar errores al sumar los numeradores, es necesario encerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar operaciones.

Después de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos semejantes y la nueva fracción a su mínima expresión.

Ejemplo 2: Efectuar

Solución.

xx

x

x

xx

x

xx 1

2

2

2

33

2

33222

Ejemplo Efectuar 2

2

2

4

x

x

x

Solución. 2

2

2

4

x

x

x

2

2

22

2

24

x

x

x

x.

Ejemplo 3: Efectuar 2

2

2

22

2

2

2

xx

xx

xx

x

Solución.

2

2

2

22

2

2

2

xx

xx

xx

x 2

22

2

22

2

2222

22

2

22

xx

x

xx

xxx

xx

xxx

2

2

12

12

xxx

x.

Ejemplo 4: Efectuar 3114

35

3114

92

2

2

2

xx

xx

xx

xx

80

Solución. 3114

35

3114

92

2

2

2

xx

xx

xx

xx 3114

359

3114

3592

22

2

22

xx

xxxx

xx

xxxx

14

4

314

34

314

34

3114

4122

2

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx.

Observación. La regla para sumar fracciones se puede extender a cualquier número de ellas.

c

a

c

a

c

a 321 c

a

c

a

c

aa

c

an

321 c

aaaa n 321

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS.

Para obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se descomponen éstos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos. Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor.

Definición. Un polinomio p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un conjunto de polinomios, si:

1. Cada polinomio del conjunto divide a p y

2. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también

divisible por p.

Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia que aparezca en los polinomios dados.

Ejemplo 1 Determinar el m.c.m. de x2y, xy3 y y2z.

Solución. Los factores literales son x, y y z. La potencia máxima de x es 2, la

de y es 3, y la de z es 1. Por consiguiente, m.c.m. = x2y3z.

Ejemplo 2 Hallar el m.c.m. de 60x3, 72y2 y 80xy.

Solución. 53260 2

81

23 3272

5280 4

Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = .720532 24

El m.c.m. de los monomios 23720 yx .

Ejemplo 3 Determinar el m.c.m. de x(-2), (x-3)(x-2) y (x-2)2.

Solución. Los factores distintos son x, (x-2) y (x-3).

La mayor potencia de x es 1, la de (x-2) es 2, y la de (x-3) es 1.

Por consiguiente, m.c.m. = x(x-2)2 (x-3).

Obsérvese que el m.c.m. de (x-3) y (x-5) es (x-3)(x-5).

Ejemplo 4 Encontrar el m.c.m. de x2-x y x2-1.

Solución. Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.

12 xxxx

1112 xxx

Por lo tanto, m.c.m. = 11 xxx .

Ejemplo 5 Hallar el m.c.m. de 2x2 + 3x-2 y 2x2-7x+3.

82

Solución.

212232 2 xxxx

312372 2 xxxx

Entonces, m.c.m. = 3212 xxx .

Ejemplo 6 Obtener el m.c.m. 132 2 xx , 21 x y 12 2 xx .

Solución.

112132 2 xxxx

11212

1112

2

xxxx

xxx

Puesto que 11 xx , podemos escribir x1 como 1 x o bien, 1x

como x 1 .

Reacuérdese que .11 xx

Por lo tanto, 112132 2 xxxx

111 2 xxx

A si que, m.c.m. 1112 xxx .

11212 2 xxxx

83

FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS.

Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si los denominadores no lo son, se obtienen su mínimo común múltiplo, llamado mínimo común denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor). Se cambia cada fracción a una equivalente que

tenga el m.c.d. Como denominador mediante la regla, bc

ac

b

a y luego se

efectúan operaciones. La suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los denominadores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común denominador (m.c.d.). La fracción final debe conducirse a sus términos mínimos.

Ejemplo 1 Efectuar xxx 3

26

2

72

Solución. El m.c.d. =6x2.

Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x2 y luego se realizan

operaciones.

xxx 3

26

2

72

xx

x

xxx

x

23

22

6

66

32

372

222 6

22

6

66

6

37

x

x

xx

x

222 6

3617

6

43621

6

226637

x

x

x

xx

x

x

.

Ejemplo 2 Efectuar la operación y simplificar 2

2

3

xx

x

Solución. El m.c.d. = 23 xx .

Al escribir fracciones equivalentes con denominador 23 xx y efectuar luego

la suma, obtenemos.

2

2

3

xx

x

32

32

23

2

xx

x

xx

xx

23

622

23

322 2

xx

xxx

xx

xxx

23

6

xx

x.

84

En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d. y luego combinar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fracción con el m.c.d. como denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego se multiplica el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la primera expresión del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se relaciona con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes.

Ejemplo 3

234

13642092

23

136

34

209

xxx

xxxx

xx

x

xx

x

El numerador no se encuentra factorizado; así no es posible efectuar reducción.

Hay que asegurarse de poner el producto entre paréntesis procedió por el signo

adecuado.

234

521164029 22

xxx

xxxx

234

521164029 22

xxx

xxxx

234

343

234

12133 2

xxx

xx

xxx

xx

24

43

xx

x.

85

Ejemplo 4 Efectuar la operación y simplificar.

222 34

5

492

23

12

2

xxxx

x

xx

x

Solución.

222 34

5

492

23

12

2

xxxx

x

xx

x

xxxx

x

xx

x

14

5

412

23

112

2

Tomamos el m.c.d. 4112 xxx

xxxx

x

xx

x

14

5

412

23

112

2

xxxx

x

xx

x

14

5

412

23

112

2

4112

12523124

xxx

xxxxx

4112

51025386 22

xxx

xxxxx

4112

51025386 22

xxx

xxxxx

4112

121

4112

21 2

xxx

xx

xxx

xx

4

1

4112

121

xxxx

xx.

86

I. Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas:

1. Al sumar las fracciones algebraicas el resultado es:

a) b) c) d)

2. Al restar las fracciones el resultado es:

a) b) c) d) 0

3. Al sumar y simplificar las fracciones el resultado es:

a) b) c) 250 d)

Ejercicios

Nombre A sumar y restar fracciones algebraicas No. 2 Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar






Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didácticas de lograrlas


87

4. Al efectuar la simplificación de las fracciones

resulta:

a) b) c) d)

5. Al sumar y simplificar las fracciones resulta:

a) b) c) d)

II. Realizar las siguientes sumas con fracciones con igual denominador:

1. xxx

526 2.

xxx 2

1

2

3

2

7 3.

222

51520

xxx

4. 53

5

53

2

xx

x 5.

22

1

x

x

x

x 6.

32

2

32

23

x

x

x

x

7. 27

27

27

14

x

x

x

x 8.

1

2

1

2

xx

x 9.

2525

34 22

x

xx

x

xx

10. 24

1

24

13

x

x

x

x 11.

52

6

52

43

x

x

x

x 12.

xx

x

xx

x

84

4

84

422

13. 43

3

43

1222

xxxx

x 14.

352352

222

2

xx

x

xx

x

15. 6112

3

6112

322

2

2

2

xx

xx

xx

xx 16.

2323

32

2

2

2

xx

xx

xx

xx

88

Respuesta a los ejercicios impares anteriores

1. x

3; 3. 0 ; 5.

2

1

x; 7. 1; 9. x ; 11. 2 ; 13.

4

2

x; 15.

12 x

x ;

III. Reducir a una sola fracción y simplificar:

1. xxx 5

6

2

73 2.

y

x

y

x

y

x

5

2

2

3 3.

xxx 5

64

3

22 4.

22 2

1

3

133

xxx

5. x

x

x

x

2

2

5

13

6.

x

x

x

x

10

5

4

2

7.

x

x

x

x

7

3

14

67

8.

25

15

3

3

x

x

x

x

9. 2

54

xx 10.

4

5

3

3

xx 11.

32

3

2

xx

x 12.

2

1

32

xx

x

13. 1

1

32

2

xx 14.

1

1

12

2

xx

x 15.

39

62

x

x

x

x 16.

22

32

x

x

xx

x

17. 12

2

472

832

xxx

x 18.

9

18

12

722

xxx

x 19.

45

2

43

2322

xx

x

xx

x

20. 2

4

2

3

4

442

xxx

x 21.

4

1

152

11

127

7222

xxx

x

xx

x


1. x10

7; 3.

215

6028

x

x ; 5.

x

x

10

811 ; 7.

14

5; 9.

2

)1)(3(

x

xx; 11.

)32)(2(

62 2

xx

x;

13. )1)(32(

5

xx; 15.

3x

x; 17.

)4)(12( xx

x

89

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.

El producto de las fracciones b

a y d

c se define como bd

ac ; o sea bd

ac

d

c

b

a .

Así que el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el

producto de los numeradores, y cuyo denominador es de los denominadores. En

general,

n

n

n

n

b

a

b

a

b

a

bb

aa

b

a

b

a

b

a

b

a

4

4

3

3

21

21

3

3

2

2

1

1

n

n

b

a

b

a

bbb

aaa

4

4

321

321

n

n

bbbb

aaaa

321

321

Nota: Redúzcase siempre la fracción resultante a sus mínimos términos.

Saberes

Nombre Multiplicación y división de fracciones algebraicas No. 3Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar una multiplicación o división con fracciones algebraicas


Mediante


90

Ejemplo 1 Encontrar el producto yx

ba2

23

8

27 y

22

2

81

16

ba

yx.

Solución. b

ax

byax

yxba

ba

yx

yx

ba

3

2

818

1627

81

16

8

27322

323

32

3

2

23

Nota: Es más fácil reducir 818

1627

que 648

432, que es el resultado de los productos

de los coeficientes.

Es decir, no se puede multiplicar los números hasta que la fracción haya sido

simplificada.

Ejemplo 2 Simplificar

333

223

2323

3422

9

4

2

3

yx

yx

yx

yx

.

Solución.

333

223

2323

3422

9

4

2

3

yx

yx

yx

yx

3332

2232

2323

3422

3

2

2

3

yx

yx

yx

yx

.

996

464

646

1266

3

2

2

3

yx

yx

yx

yx

·

·

Para multiplicar fracciones cuyos numeradores o denominadores son polinomios, primeramente se factorizan estos completamente. Se consideran las fracciones como una sola, y se dividen los numeradores y denominadores por su máximo factor común para obtener una fracción equivalente ya reducida.

91

Ejemplo 3 Simplificar 3103

16

5112

32

2

2

2

xx

xx

xx

xx.

1 1 1

Solución. 3103

16

5112

32

2

2

2

xx

xx

xx

xx

5133

1213

512

3

x

x

xx

xx

xx

xx.

1 1 1

DIVISIÓN DE FRACCIONES

De la definición de división de fracciones, tenemos que:

a c a d

b d b c .

El resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en una multiplicación de fracciones.

Las fracciones d

c y c

d se llaman inversas multiplicativas o reciprocas.

Nota: La reciproca de la expresión a + b es ba

1 , no ba

11 .

La reciproca de ba

11 es

ba

111

o en forma simplificada,

ab

ab

.

ab

ab

baba

111

111

ab

ab

b

ab

a

abab

ba

abab

11

1

Ejemplo 1 Simplificar b

a

b

a

20

9

5

3 2

2

3

.

Solución. b

a

b

a

20

9

5

3 2

2

3

3

2 2

3 20 4

5 9 3

a b a

b a b

92

Nota: Obsérvese la diferencia entre

bcf

ade

f

e

c

d

b

a

f

e

d

c

b

a y

bce

adf

ce

df

b

a

df

ce

b

a

f

e

d

c

b

a

.

Ejemplo 2 Simplificar 35376

72012

15174

3282

2

2

2

xx

xx

xx

xx.

Solución. 35376

72012

15174

3282

2

2

2

xx

xx

xx

xx

765

7612

534

3412

xx

xx

xx

xx

Poniéndolo como un producto:

1 1 1 1

2 1 4 3 ( 5) 6 71

4 3 5 (2 1) 6 7

x x x x

x x x x

1 1 1 1

Ejemplo 3

2 2 2

2 2 2

24 49 40 36 63 88 72 18 77

54 51 14 27 30 8 8 37 20

x x x x x x

x x x x x x

Solución:

2 2 2

2 2 2

24 49 40 36 63 88 72 18 77

54 51 14 27 30 8 8 37 20

x x x x x x

x x x x x x

Es mejor ponerla toda como un producto

(8 5)(3 8) (3 4)(9 2) (6 7)(12 11)

(6 7)(9 2) (12 11)(3 8) (8 5)( 4)

x x x x x x

x x x x x x

3 4

4

x

x

93

OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS.

En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, así como su multiplicación y división. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en forma reducida. En esta sección se usaran las cuatro operaciones en un solo problema y también se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida.

Cuando no hay símbolos de agrupación en el problema, primero se efectuaran las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que todas las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sustracciones.

Ejemplo 1 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

132

352

34

62

12

52

2

2

xx

xx

xx

x

x

Solución.

132

352

34

62

12

52

2

2

xx

xx

xx

x

x

112

312

13

32

12

5

xx

xx

xx

x

x

1 1 1

·

1 1 1

312

12235

3

2

12

5

xx

xx

xx 312

17

312

24155

xx

x

xx

xx.

Cuando hay símbolos de agrupación, como en el problema

2

123

2

4

xx

xx

94

se tiene la opción de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de

los términos, dentro de los paréntesis. Este último es mas sencillo como se ilustra

en los ejemplos siguientes:

Ejemplo 2 Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

2

123

2

4

xx

xx

Solución.

2

123

2

4

xx

xx

2

1263

2

42

2

1223

)2(

42 2

x

x

x

xxx

x

x

x

xxx

x

x

x

x

xx

x

x

x

xx3

2

23

2

2

2

63

2

22

.

Ejemplo 3 Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

92

9

32

9

xx

xx

Solución.

92

9

32

9

xx

xx

92

992

32

932

x

xx

x

xx

332

923

332

92

32

332

92

992

32

932 22

xx

xx

xx

x

x

xx

x

xx

x

xx

Nota: Puesto que dcba se puede escribir como dc

ba

, podemos expresar

22

443

6113

xxxx en la forma

2

2

443

6113

xx

xx

la cual se llama fracción compleja.

95

Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en forma de

fracción, o escribirlo en forma de división, y simplificar. A veces puede simplificarse fácilmente

una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el mínimo común múltiplo

de todos los denominadores que intervienen.


18

11

12

78

3

9

4

.

Solución.

2

5

2

5

4442

2732

18

11

12

7

1

728

3

9

4

1

72

18

11

12

78

3

9

4


53

1223

13

135

xx

xx

Solución.

53

1223

13

135

xx

xx

12235313

1351353

53

1223

1

531313

135

1

5313

xxx

xxx

xx

xxx

xxx

1313

453

132313

42353

29913

814353

12109913

135143532

2

2

2

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

96

I. Efectué las siguientes multiplicaciones y simplifique:

1. 27

20

32

39

65

36 2.

128

15

125

58

87

64 3.

x

y

y

x 2

3

2 2

4

9

4. 63

82

42

32 7

21

4

ba

yx

yx

ba 5.

27

8

68

35

3

3

28

16

60

26

39

35

ba

xy

yx

ba

ba

yx 6.

2

3

3

2

2

x

y

y

x

7.

33

332

32

22

2

3

9

4

yx

yx

xy

yx 8.

432

22

24

323

3

5

10

6

yx

xy

xy

yx 9.

204

3

26

3062

2

2

3

x

xx

xx

xx

10. 32

122

42

34

2

xx

yx

yx

xx 11.

158

209

127

962

2

2

2

xx

xx

xx

xx

12. 152

1610

149

21102

2

2

2

xx

xx

xx

xx 13.

xx

xx

xx

xx

1128

1342

1340

9202

2

2

2

Ejercicios

Nombre Operaciones con multiplicación y división con fracciones No. 3Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









97

14. 22

22

22

22

20193

673

3207

5367

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx


1. 2

1; 3.

y

x

2

9; 5.

45

3

9

2

xa

y; 7.

27

4 3xy

9.

4

3x; 11. 1 ; 13.

8

6

x

x;

II. Efectuar las siguientes divisiones con fracciones:

1. 15 45

26 39 2.

56 63 27

38 57 16 3.

2 3

2

10 4

9 27

x x

y y 4.

2 3 3

2 4

17 51

26 13

a b a b

x x

5.

2 3 4

2 6 3

6 15

8 12

a b a b

x y xy 6.

2 4 4 9

4 2 3 6

4 8

9 27

a b a b

x y x y 7.

3 4 3 2

2 2 2 2

x y a b b

a b x y y

8. 2 2 6

3 3

14 4

25 10

a b b

b a a 9.

3 2

2 2 2

4

3 3

x x

x xy x y

10.

3 3 2

2 2 2 1

x x x x

x x x x

11.

2 2

2 2

9 6 27

2 3 10 9

x x x

x x x x

12.

2 2

2 2

2 8 4 4

3 4 6 8

x x x x

x x x x

13.

2 2

2 2

4 12 10 6

7 6 7 8

x x x x

x x x x

14.

2 2

2 2

3 2 6 16

5 4 20

x x x x

x x x x

15.

2 2 2

2 2 2

12 35 18 6 23 18 4 19 12

2 17 36 6 19 36 12 11 36

x x x x x x

x x x x x x

Respuesta e los ejercicios impares anteriores

1. 1

2; 3.

15

2

y

x; 5.

2

2 3

3

5

b

a xy; 7.

2a xy ; 9. 4( )

3

x y; 11.

2

2

9

( 3)

x

x

; 13. 1;

15. (3 2)(4 3)

(2 9)(3 2)

x x

x x

98

III. Efectuar las siguientes fracciones complejas:

1. 1

2

82

33

3

22

2

2

x

xx

xx

x

x 2.

86

168

124

123

32 22

xx

xx

xx

x

x

x

3. 1

11

2

x

x

x 4.

19

26

2

x

x

x 5.

13

11

13

xx

6.

2

21

4

xxx 7.

23

2

3

43

x

xx

xx 8.

12

1

12

1

xx

xx

9.

2

952

1

31

xx

xx 10.

4

1

4

14

4 xxx

x

11.

12

97

12

32

xx 12.

32

33103

32

1143

xx

xx

13.

3

21

2

1

4

3

14.

18

1

36

14

3

8

7

15.

2

2

3114

1112

xx

xx

Respuesta a los ejercicios impares anteriores:

1. 5 1

( 3)( 4)

x

x x

; 3. 1

1x ; 5. 3 ; 7. (3 2)x x ; 9. ( 2)(2 1)x x

11. 4 1

14 2

x

x

; 13. 3

4; 15.

4

4 1

x

x

99

1. Exponentes enteros, negativos y cero 2. Exponentes fraccionarios 3. Operaciones con radicales

1. A practicar los exponentes positivos, cero y negativos 2. A practicar los exponentes fraccionarios 3. A practicar los radicales

Competencia

3 EXPONENTES Y RADICALES

Exponentes positivos, cero y negativos Exponentes fraccionarios Simplificación de radicales Adición y sustracción de radicales Multiplicación y división de radicales

Saberes

Ejercicios

100

EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS, CERO Y NEGATIVOS

LEYES DE LOS EXPONENTES

Sea an = a . a . a … a ( n factores)

La cantidad an es llamada la n-ésima potencia de la base a, y n es llamado el exponente.

En este capitulo extenderemos la definición de exponentes para incluir a todos los números racionales. Antes de pasar a nuevos exponentes, sin embargo recordaremos cinco leyes de los exponentes que son validas para los exponentes enteros positivos. La base a y b en el enunciado de las leyes pueden ser cualquier números reales para los cuales no se anule ninguno de los denominadores en consideración.

LEY I

LEY II si Ley III

si Ley IV

Saberes

Nombre Exponentes enteros, negativos y cero No. 1Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga exponentes enteros, negativos y cero


Mediante


101

si Ley V 0

Ahora determinaremos qué significado hay que darle al símbolo a0. Si la Ley II ha de ser válida cuando m = n, tenemos

Esta división nos dará, de acuerdo con la Ley II, un exponente nulo. Pero cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo tiene como cociente a 1. Esto nos conduce a definir el exponente cero de la siguiente manera:

Ley VI

Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por an, tenemos

Ley VII

Miscelánea de problemas resueltos

Ejemplo 1: 3 · 3 3 3 243 Ejempo 2: 3 3 3 729

Ejemplo 3: 4 · 5 20 1 Ejemplo 4: 3 3

Ejemplo 5: 3 3 3 3 1

Ejemplo 6:

Ejemplo 7: 4 2 16 8 128

Ejemplo 8:

0aaa

a nnn

n

0a

102

Ejemplo 9:

Ejemplo 10:

Ejemplo 11:

103

I. Encuentre el valor de cada una de las expresiones, usando las leyes de

los exponentes.

1. 22 . 23 2. (23)2 3. 4‐1

4. (‐ 4)0 5. (2a)0 6. 3‐3

7. 52 . 5‐3 8. (52)‐2 9. (2 . 3)‐2

10. (4‐2)‐2 11. (‐3)‐2 12. (3 . 8)0

13.

1

7

1

14.

1

3

2

15. (2 . 70)‐4

Ejercicios

Nombre A practicar los exponentes positivos, cero y negativos No. 1Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









104

II. Simplifique cada expresión realizando las operaciones indicadas y dejando el resultado sin exponentes negativos o nulos.

16. (2xy)‐2(3xy3) 17. (x2y‐2)‐1(x3y0)2 18. (a b‐3)(a‐1b‐1)‐1

19. 22

12

ba

ba 20.

ba

ba41

221

2

3

21.201

322

10

5

ba

ba

22.

2

2

23

73

7

x

z

yz

x 23.

363

354

4

8

yx

yx 24.

32

23

5

10

yx

xy

25.

2

10

23

2

r

qp 26.

3

1

42

pq

qp 27.

1

2

03

r

qp

28. 1

11

2

32

29.

11

11

12

12

30. 1

11

3

53

31.

2 2

1 1

x y

x y

32.

2

2 2

y

x y

33.

2 2

2( )

x y

xy

Solución a los ejercicios impares anteriores:

1. 32 ; 3. 1

4; 5. 1 ; 7. 1

5; 9.

1

36; 11.

1

9; 13. 7 ; 15.

1

16; 17.

4 2x y

19. b ; 21. 2 52

5

a b ; 23.

3

3

8x

y; 25.

6 4

2

p q

r; 27.

2

3

r

p; 29. 3 ; 31.

2 2

1

xy x y

33. 2 2x y

105

EXPONENTES FRACCIONARIOS

En esta sección vamos a extender la idea de exponentes para incluir todos los números racionales. Sin embargo, antes de introducir los exponentes fraccionarios, necesitamos considerar la siguiente definición.

Definición. Si a y b son dos números tales que la n-ésima potencia de a

(siendo n un entero positivo) es igual a b, entonces a es llamada la n-

ésima raíz de b.

De acuerdo con esta definición, las ecuaciones

22 = 4, (-2)2 = 4, 33 = 27, (-3)3 = -27

muestran que +2 y - 2 son raíces cuadradas de 4, que 3 es una raíz cúbica de 27. Puesto que cuatro tiene dos raíces cuadradas, podría uno preguntarse cuántas raíces n-ésimas tiene un número. Aunque la demostración aparece posteriormente, enunciamos ahora que todo número no nulo tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, a y así sucesivamente. Pero algunas de estas raíces se refieren a un nuevo sistema numérico. Este nuevo sistema numérico, que introduciremos después, no es naturalmente el sistema de los números reales. Vemos de inmediato que un numero negativo no tiene raíz real de orden par (cuadrada, cuarta, sexta y así sucesivamente). Esto es cierto porque cualquier potencia par de un nuecero positivo o negativo es número positivo. ahora deseamos concentrar nuestra atención solamente en los

Saberes

Nombre Exponentes fraccionarios No. 2Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga exponentes fracciopnarios


Mediante


106

números reales. Diferiremos para después, por tanto, la consideración de números y raíces de números que son reales.

En lo que se refiere a las raíces de los números, escribimos los siguientes enunciados, pero sin demostración:

1. Un numero positivo tiene exactamente dos raíces pares reales, siendo una

de ellas positiva y la otra negativa.

2. Un número positivo o negativo tiene exactamente una raíz de orden impar,

siendo el signo de la raíz igual al signo del número.

3. Un número negativo no tiene raíces reales de orden par.

Si n es un número entero positivo, par, la raíz positiva n-ésima principal de a. Cuando n es impar, la raíz n-ésima real de un numero positivo o negativo a es llamada la raíz n-ésima principal. La raíz n-ésima principal de un numero se

denota por .n a El símbolo n a es llamado un radical, a es llamado el radicando y n es llamado el índice, u orden del radical. Estamos excluyendo de nuestra consideración el caso en que el radicando es negativo y el índice es un número par.

Tenemos a continuación algunos ejemplos de raíces principales

,636 ,283 ,3814 2325

Observamos que -6 es raíz cuadrada de 36 y de -3 es una raíz cuarta de 81, pero

ninguna es raíz principal. El negativo de la n-ésima raíz principal de un numero

a se denota por n a . Por tanto, 3814 .

Estamos ahora en posición de de considerar exponentes de la forma m/n, donde m es un entero positivo o negativo y n es un entero positivo. Tomamos en primer lugar m = 1 y buscamos una interpretación de .1 na Si la Ley III ha de ser valida, tenemos

107

En esta ecuación muestra la n-ésima potencia de de na1 es igual a a, o bien,

que na1 es una n-ésima raíz de a. Especificando esta raíz como la n-ésima

raíz principal de a, tenemos por definición / √

En esta definición a puede ser cualquier numero real cuando n es impar, pero excluimos los valores negativos de cuando n es par.

Aplicando la Ley III nuevamente, con el entero m 1, tenemos

√

y, además,

√

Resumiendo, tenemos la siguiente definición:

Si m/n es un número racional con n positivo, entonces

√ √

La forma n ma significa la n-ésima raíz principal de am, y la forma mn a significa la m-ésima potencia de la raíz n-ésima principal de a. En cada forma el denominador n del exponente indica una raíz y el numerador m indica una potencia. Sin embargo, nuevamente notamos, que n representa aquí a cualquier entero positivo y m representa a cualquier entero positivo o negativo.

Iniciamos nuestro estudio de exponentes definiendo exponentes enteros positivos y estableciendo las cinco leyes de operación. Extendemos entonces las definiciones para incluir a todos los números racionales. Aunque demostraciones completas de las leyes de los exponentes se hicieron tan solo para los exponentes enteros de positivos, es puede demostrar que las leyes son validas para todos los exponentes racionales.

Suponiendo que la Ley III es valida para los exponentes racionales, podemos demostrar que un exponente fraccionario puede reducirse a términos mínimos. Así si m, n y c son enteros, n y c son no nulos, tenemos

108

Ejemplo 1. 4288 22332 o también 8 √8 √64 4

Ejemplo 2.

27

1

3

1

81

181

334

43 .

Ejemplo 3.

823232 33553 .

Ejemplo 4.

224543313545314335 yxyxyxyx .

Ejemplo 5.

c

ba

cb

a

cb

a

2

44 3132

31

322121

232

34

.

109

I. Encuentre el valor de cada expresión.

1. 2116 2. 254 3.

3164

4.

32

27

8

5.

23

9

4

6.

41

81

16

7. 5432 8. 4415 9. 4415

II. Simplifique cada expresión, dejando los resultados sin exponentes

negativos o nulos.

10. 3432 xx 11.

5354 xx 12. 3432 xx

13. 3223 55 14.

6141 xx 15. 112 yx

Ejercicios

Nombre A practicar los exponentes fraccionarios No. 2Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









110

16. 4852y 17. 4431 yx 18.

3/ 2 1 3/ 2

5/ 2 5/ 2 1/ 2

9

4

a b

a b

19. 214121

324331

16

27

ba

ba

20.

51 2 3 5

0 2 5

x y

x y

21. 353131

322123

8

4

yx

yx


1. 1

4; 3.

1

4 ; 5.

27

8; 7. 16 ; 9. 5 ; 11.

1/5x ; 13. 5/65 ; 15.

2

y

x;

17. 4 3x y ; 19.

1/ 63

4

ab ; 21.

5/64x

y

LEYES DE LOS RADICALES

De los reyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de radicales. Damos aquí una lista de 6 leyes para radicales que son consecuencia inmediata de las leyes correspondientes para exponentes, que aparecen en la columna de la derecha. en estas formulas imponemos la restricción de que c, m y n sean enteros positivos, e imponemos la restricción d que a y b, sean tales que

Saberes

Nombre Operaciones con radicales No. 3Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga radicales, además de realizar operaciones con radicales.


Mediante


111

no se anule dominador alguno y tales que ningún radical de orden par tenga radicándoos positivos.

I. aaan

nn n aaannnn 11

II. nnn baab nnn baab 111

III. n

n

n

b

a

b

a

n

nn

b

a

b

a1

11

IV. n mcn cm aa

nmcncm aa

V. nmn m aa mnnm aa 111

VI. nq npmqq pn m aaa

nqnpmqqpnm aaa /

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Estas leyes pueden emplearse para hacer cambios necesarios en los radicales, de los cuales los más comunes son:

1. Remover factores del radicando.

2. Remover el denominador de un radicando.

3. Expresar un radical dentro de un signo radical.

4. Incluir a un factor dentro de un signo radical.

Un radical se dice que esta en su forma más simple cuando se han llevado a cabo, y hasta donde es posible, las operaciones 1,2 y 3. La operación 2 es llamada racionalizando el denominador.

112

En los ejemplos ilustrativos y ejercicios siguientes, supondremos que todos los números literales son positivos.

Ejemplo 1. Simplifiquemos los radicales 2375 ba y 73 8 yx .

Solución,

aabaabababa 353532575 22223

323 633 7 228 yxyxyxyxyx .

Ejemplo 2. Racionalicemos los denominadores de

5

2 y 3

22x

b

105

1

5

10

25

10

25

10

5

2

33

3 3

3

33

32

42

1

2

4

8

4

8

4

2bx

xx

bx

x

bx

x

bx

x

b .

Ejemplo 3. Reduzcamos el orden de los radicales

4 225a y 6 938 yx

Solución,

aaa 5525 4 24 2

xyyxyxyyx 2228 36 336 93 .

113

Ejemplo 4. Incluyamos el coeficiente de

24

112

xx ,

con la potencia apropiada, dentro del signo radical.

Solución.

144

114

4

112 2

22

2

x

xx

xx .

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES

Radicales del mismo orden y mismo radicando son llamados radicales semejantes. Una suma algebraica de radicales semejantes puede ser expresada como un radical sencillo usando la ley distributiva. Radicales no semejantes se transforman en radicales equivalentes que son semejantes mediante las simplificaciones pertinentes. Radicales que no se pueden expresar como radicales semejantes pueden sumarse interponiendo entre ellos un signo de ( + ), pero su suma no puede escribirse como un radical único.

Ejemplo 1. √20 √45 √80 4 5 9 5 16 5

2√5 3√5 4√5 √5

Ejemplo 2.

2√18 6 √4 2 9 2 6 √2

22326

24 .

114

Ejemplo 3.

√2 3√16 √2 √2 – 6 √2 √2

6 √2 √2

Los radicales no semejantes 3 2a y a2 no pueden combinarse en un

radical único.

Ejemplo 4.

abab

aba

abba

b

b

a

1111.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES.

Para multiplicar radicales de órdenes distintos, es necesario explicarlos como radicales equivalentes del mismo orden. El orden de los nuevos radicales deberá ser el M.C.M. de los órdenes de los radicales originales. El orden de un radical puede elevarse (formula IV. Sec. 7-4) multiplicando el orden del radical y el exponente del radicando por el mismo entero positivo mayor que 1.

Ejemplo 1. Multipliquemos 2 √2 por 5 √3

Solución.

33 33 23 6106103522 bababaa .

Ejemplo 2. Encontremos el producto 5345332 .

Solución. Los binomios tienen cantidades semejantes, y multiplicamos de la

manera usual.

2√3 3√5 4√3 √5 8√9 2√15 12√15 3√25

115

8 3 10√15 3 5

15109 .

Ejemplo 3. Encontramos el producto de 35 y 3 26 .

Solución. Expresamos primero cada radical como un radical de orden 6, que es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los radicales dados. Así,

66 236 26 33 10830233023302635

En la multiplicación, los radicales de dos órdenes distintos deben ser primero convertidos en radicales del mismo orden. Consideramos la división de dos radicales como completa cuando el cociente no tenga radicales en el denominador y el radical del numerador, si lo hay, esta expresado en su forma más simple. El proceso de quitar radicales de un denominador es llamado racionalización del denominador.

Ejemplo 4. Encontremos el cociente de √6 entre √5 .

Solución.

305

1

55

56

5

6

5

6

,

o, alternativamente,

305

1

5

30

5

5

5

6 .

Ejemplo 5. Encontramos el cociente de 6 √5 dividido por 22 .

Solución.

. 66 36 233

2002

3

4

256

2

2

22

56

22

56

116

De otro modo, convirtiendo a exponentes fraccionarios, tenemos

66 326362

2121

2131

21

31

2002

325

2

3

4

256

222

256

22

56

.

Cuando el divisor es un binomio que contiene un radical de segundo orden en uno o ambos términos, racionalizamos el denominador multiplicando el dividendo y divisor por expresión adecuadamente elegida. Para este propósito, observamos

que el producto de ba y ba es una expresión radical a – b. Por tanto, un factor de racionalización del tipo en consideración se obtiene cambiando el signo de uno de los términos del divisor.

Ejemplo 6. Dividamos 3223 por 3324 .

Solución.

5

66

2732

18624

3324

3324

3324

3223

3324

3223

117

I. Exprese cada uno de los siguientes radicales en su forma más

simple.

1. 12 2. 3 16 3. 2420 ba

4. 3 4248 yx 5. 3 5464 yx 6. 54 432 yx

7. 3

2 8.

a5

3 9. 3

9

8

10. 3

4

3 11. 4

27

2 12. 33

2

x

13. 3

3

2

y

x 14. 3

4

4

9

2

y

x 15. 4

34

b

c

Ejercicios

Nombre A practicar con los radicales No. 3Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









118

16. 43

3

8a 17. 4 9 18. 44 81x

19. 6 96 8x y 20.

8 46 81x y 21. 42

9

x

II. Dando el coeficiente el exponente apropiado, inclúyalo dentro del

signo radical.

23. 2 3 24. 2x y 25. 2

42

4

xx

x

26. 5

2

3 2

9

a x

x a ; 27.

33a b

b a 28. 2

1 12

4a

a

III. Emplee las leyes de radicales adecuadas para expresar cada uno de los radicales repetidos como un radical único.

29. 3 3 30.

3 3a 31.32 16


1. 2 3 ; 3. 22 5a b ; 5.

234xy xy ; 7. 1

63

; 9. 323

3; 11. 41

63

;

13. 23118

3xy

y; 15. 41

42

bcc

; 17. 3 ; 19. 2xy y ; 21. 1

3xx

23. 12 ; 25. 4 x ; 27. 3ab ; 29. 6 3 ; 31. 62 2

IV. Simplifique los radicales en cada uno de los siguientes problemas y combine entonces todos los radicales semejantes.

1. 183250 2. 122775 3. 28 3 63 112

4. 12475220 5. 286350 6. 8

122

2

1

119

7. 1227

13

3

1 8. 60

5

35

3

53 9. 3 3 32 16 54 50

10. 333 548116 11. xxx 21838 3

12. xyyxxy 33 164 13. 3642 753123 yxyxyx

14. 3 443 43 16542 baabab 15. 3 623 353 2 81243 babaa

16. 3 43 316 54 24a a a 17. 3 3 32 4 2 52 2 16ab a b ab

18. 2 34 25 20 5a a a 19. 62 2 343 9 27a a a

20. 66 343 2 4 4 6 8a a a 21. 1 2

2 2

x

x x


1. 4 2 ; 3. 7 7 ; 5. 5 2 5 7 ; 7. 2 3 ; 9. 3 37 2 50 ; 11. (2 8) 2x x

13. 2 3(2 15 ) 3x x x y y ; 15. 32 2(1 2 3 ) 3ab b a ; 17.

3 2(1 2 ) 2a b ab

19. 3a ; 21. 3

22

xx

x

V. Multiplique como se indica y simplifique el resultado.

1. 72 2. 2872 3. 3053

4. 32 218 xyyx 5. 33 96 6. 3 23 43 aa

7. 33 2 416 aba 8. 3 23 9. 3 32

10. 4 82 11. 43 xxx 12. 33 322

120

13. 43 432 14. 332432 15. aa 33

16. Encuentre el valor de 762 xx si 23x

17. Encuentre el valor de 12 2 xx si 12 x

18. Encuentre el valor de 52 xx si 23

VI.. Efectué las divisiones y exprese cada resultado en su forma más

simple.

19. 763 20. 3311 21. xx 287 2

22. aa 315 4 23. 35220 xx 24. 33 4108

25. 3 23 272 aa 26. 33 4 415 xx 27. 3 33

28. 393 29. 3 22 baab

30.5

3515 31.

53

1

32.

23

1

33.

25

2

34. 57

57

35. 532

354

36. 2372

2273


1. 14 ; 3. 15 2 ; 5. 33 2 ; 7. 34a b ; 9. 6 72 ; 11. 12x x 13.

32 3 ;

15. 9 a ; 17. 6 3 2 ; 19. 3 ; 21. 1

2x ; 23.

1

x 25. 3 21

28aa

27. 6 3 ; 29. 6 5 41a b

a; 31.

3 5

4

; 33.

5 2 2

23

35.

9 15 26

7

121

1. Resolución de ecuaciones lineales en una variable

2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal

1. A practicar las ecuaciones lineales

2. A resolver problemas en palabras por medio de una ecuación lineal

Competencia

4 ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Explicar los algoritmos necesarios para resolver una ecuación lineal

Problemas en palabras que se resuelven por medio de una ecuación lineal o de primer grado

Saberes

Ejercicios

122

ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE

ECUACIÓN. El enunciado en que dos cantidades son iguales es llamado una ecuación. La manera acostumbrada de escribir una ecuación es la de colocar el símbolo (que se lee “es igual a”) entre las dos cantidades iguales. Una ecuación tiene, entonces dos miembros, el izquierdo y el derecho. Las ecuaciones comprenden usualmente una o más letras que son vistas como variables o incógnitas. Los números que al sustituir a las variables hacen iguales a los dos miembros de la ecuación se dice que satisfacen a, o que son una solución de, la ecuación. La totalidad de las soluciones es llamada el conjunto de soluciones.

Esto es una ecuación:

2x – 5 = x + 3

Primer miembro Segundo miembro

Ejemplo de raíz o solución de una ecuación

Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación.

Así la raíz de 3x – 9 = 5x – 23 es x = 7

Porque: 3(7) – 9 = 5(7) – 23

12 = 12

Saberes

Nombre Resolución de ecuaciones lineales en una variable No. 1Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno comprenderá los algoritmos necesarios para resolver una ecuación de primer grado o lineal.


Mediante


123

De igual manera las raíces de 7 10 0 son 2 y 5

porque: 2 7 2 10 0 5 7 5 10 0

4 – 14 + 10 = 0 25 – 35 + 10 = 0

- 14 + 14 = 0 - 35 + 35 = 0

0 = 0 0 = 0

Ecuación Identidad

Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la literal (o literales); es una igualdad absoluta.

Por ejemplo: 4 6 10 (para cualquier valor de se cumple la

igualdad).

Ecuación Literal

Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están

representadas por letras.

Por ejemplo: 0.

OPERACIONES CON ECUACIONES

1.- Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la ecuación sigue siendo cierta.

2.- Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo numero, la ecuación sigue siendo cierta.

3.- Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo numero (excepto cero) la ecuación sigue siendo cierta.

En esta sección resolveremos ecuaciones de la forma, o que son reducibles a la forma 0 donde representa a cualquier número y a cualquier número distinto de cero. Esta ecuación es de primer grado en y es llamada una ecuación lineal.

124

Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación 4 10 1 2 .

4 10 1 2 Ecuación dada

4 10 2 10 1 2 2 10 sumando 2 10

6 9 reuniendo términos

ó 1.5 dividiendo por 6

Verificación: Sustituimos 1.5 por en cada miembro de la ecuación dada y encontramos,

4 1.5 10 1 2 1.5

6 10 1 3

4 4

Ejemplo 2. Resolver: 4 13

Multiplicamos por 2 ambos lados 2 4 2 13

5 8 2 26

Sumando 2 8 a ambos lados 5 8 2 8 2 26 2 8

3 18

Dividiendo entre 3 6

Verificación: 4 6 13

15 4 6 13

19 19

125

Transposición de términos

Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimir un término cualquiera en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico.

Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro respetando la siguiente regla:

Si el término esta sumando pasa restando

Si el término esta restando pasa sumando

Si el término multiplicando pasa dividiendo

Si el término esta dividiendo pasa multiplicando

A esto se le llama transposición de términos.

Intercambio de miembros

Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre en el primer miembro de la ecuación:

Así, las ecuaciones 25 = 3x ‐ 4 y 12 = 2x + 3

Conviene escríbirlas 3x – 4 = 35 y 12x + 3 = 12

+ ‐

‐ +

X

÷ X

÷

126

Cambio de signo

En una ocasión cualquiera se puede cambiar los signos de todos sus

términos, lo que equivale a multiplicarlos por (- 1), con lo cual la igualdad no se

altera. Esto es de gran utilidad según se ve continuación:

Forma original Forma preferible

‐2x + 5 = ‐ 25 2x – 5 = 25

‐ 8x ‐ 3 = x – 6 8x + 3 = ‐x + 6

Ejemplo 3.

Comprobación:

7x – 5 = 3x – 25 7(‐5) ‐5 = 3(‐5) ‐25

7x – 3x = ‐25 + 5 ‐35 ‐5 = ‐15 ‐ 25

4x = ‐20 ‐40 = ‐40

20

4x

Ejemplo 4.

Resuelve: Comprobación:

16x – 192 = 0 16 (12) – 192 = 0

16x = 192 192 ‐ 192 = 0

192

16x 0 = 0

x = ‐5

x = 12

127

Ejemplo 5.


X = 300+11x (‐30) = 300 + 11 (‐30)

X ‐ 11x =300 ‐30 = 300 ‐ 330

‐10x = 300 ‐30 = ‐30

10x = ‐300

300

10x

X= ‐30

Ejemplo 6.

Resuelve: comprobación:

2z + 96 = 15z – 8 ‐ 5z 2(13) + 96 = 15 (13) – 8 – 5 (13)

2z + 96 = 10z – 8 26 + 96 = 195 – 8 ‐ 65

2z ‐ 10z= ‐8 – 96 122 = 122

‐8z = ‐104

8z = 104

104

8z

Z = 13

128

Ejemplo 7.


5c – 9 + c = 2c – 73 5(‐16) – 9 + (‐16) = 2(‐16) ‐73

6c – 9 = 2c – 73 ‐80 – 9 – 16 = ‐32 ‐ 73

6c ‐ 2c = ‐ 73 + 9 105 = 105

4c = ‐64

64

4c

C = ‐16

Ejemplo 8.


y – 2 = ‐5(39 ‐ y)‐ 3 49 ‐ 2 = ‐5 (39‐49) ‐3

y – 2 = ‐195 + 5y ‐ 3 47 = ‐5 (‐10) ‐3

y – 2 = ‐ 198 + 5y 47 = 50 ‐ 3

y‐ 5y = ‐ 198 + 2 47 = 47

‐4y = ‐196

4y = 196

196

4y

y=49

129

Ejemplo 9.


84 ‐ 19y = ‐ 7 (60 + y) 84 – 19 (42) = ‐7 (60+42)

84 ‐ 19y = ‐ 420 ‐ 7y 84 – 798 = ‐7 (102)

‐19y + 7y = ‐ 420 – 84 ‐714 = ‐714

‐12y = 504

504

12y

y = 42

Ejemplo 10.


5(4x ‐ 7) ‐ (3x ‐ 1) 2 = ‐5 5 (4 (2) – 7) ‐ (3 (2 ) – 1) 2 = ‐5

20x – 35 ‐ 6x + 2 = ‐5 5 (8 – 7) – (6 – 1) 2 = ‐5

14x – 33 = ‐5 5(1) – 2(5) = ‐5

14x = 28 5 ‐ 10 = ‐5

‐5 = ‐5

2

130

ECUACIONES QUE CONTIENEN QUEBRADOS

Cuando una ecuación contiene quebrados, se transforman en otra equivalencia que tenga forma entera, multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.

Ejemplo 11. Resuelve la siguiente ecuación:

3 335 100

4 5

x x m.c.m. de 4 y 5 = 20

3 320 35 20 100

4 5

x x Comprobación:

15x – 700 = 2000 – 12x 3*100 3*100

35 1004 5

15x + 12x = 2000 + 700 75 – 35 = 100 ‐60

27x = 2700 40 40

Ejemplo 12. Resolver la siguiente ecuación:

5 354

2 7 4

x x x m.c.m. de 2,7 y 4 = 28

5 3

28 28 542 7 4

x x x Comprobación:

14x – 20x = ‐1512 + 21x 56 5*56 3*56

542 7 4

15x ‐ 20x ‐ 21x = ‐1512 28 – 40 = ‐54 + 42

‐27x = ‐1512 ‐12 ‐12

X= ‐1512/‐27

X = 56

X = 100

131

Ejemplo 13. Resolver la ecuación

El m.c.m. de 5, 4 y 2 es 20

20 20 que resulta,

4 3 2 5 2 1 10

12 8 10 5 10

2 7 7/2

Ejemplo 14. Resolvamos la ecuación para para .

3 2 5 4 reuniendo términos

3 2 5 4 factorizando

Ejemplo 15. Resolver la ecuación: 3 2 3 4 3 2 6

Solución: 9 12 6 8 9 12 4 6 Desarrollando productos

9 6 8 9 12 4 6 Quitando paréntesis

18 18 Simplificando términos

1

132

I. Resuelve las siguientes ecuaciones y compruébala cada una.

1. 8 8 4 5 2. 720 2157

3. 3 4 4. 4 3

5. 3 7 5 9 6. 3 15 8

7. 23 3 3 7 8. 7 11 2

9. 8 2 1 2 5 10. 10 5 2 4 4 3

11. 7 2 9 6 4 3 12. 12 22 3 2 13

13. 2 7 8 7 2 26 14. 5 2 1 25 3 3

15. 3 7 2 11 4 2 3 16. 9 1 7 3 38 0

17. 5 8 3 3 2 4 3 18. 6 17 13 1 4

Ejercicios

Nombre A practicar con las ecuaciones lineales No. 1Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









133

19. (5 )(2 ) ( 3) 0x x x x 20. 4(4 3) 3(7 6 ) 16x x x

21. 3 1 2 2

2 6 3 3

x x 22.

1 1

3 4 3 4

x x

23. 3 4 1

4 3 2 3

x x 24.

5 1 2 1

4 12 3 2

x x

25. 3 1 2

66 3

x x 26.

51

4 8

x x

27. 3 1 2 3

12 3

x x 28.

4 2 3 1

3 4 12

x x

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 3 38. 2

39. 1 40.

41. 42.

43. 0.08 (x + 20) – 0.03x = 2.4 44. 0.08x – 0.03(21,000 –x) = 800

45. 0.07 12,000 0.08 600 46. 0.06 60,000 0.08 520

47. 0.25 0.1 12,000 375 48. 0.05 0.06 20,000 1080

49. 2 3 2 5 2 1 0 50. 3 4 4 3 3 2 5 19

51. 2 4 1 2 3 8 52. 2 3 2 3 6

134

Respuesta a los ejercicios impares: 1 3; 3 2; 5 1; 7

9 ; 11 ; 13 4; 15 1; 17 ; 19 ;

21 1; 23 4; 25 5; 27 3; 29 5; 31 2

33 6; 35 2; 37 ; 39 7; 41 5

43) 16; 45) 1600; 47 4500; 49) 2; 51 1

II. Subraya la respuesta de cada una de las siguientes preguntas:

1. El valor de al resolver la ecuación 5 6 31 es:

A) 5 B) 4 C) 5 D) 6

2. Al resolver la ecuación 11 6 6 20 8 el valor de es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

3. El valor de en la ecuación 13 3 4 3 8 es:

A) 1 B) 3 C) 2 D) 1

4. La solución de la ecuación 2 3 1 11 8 es:

A) 1 B) 5 C) 2 D) 3

135

5. La solución de la ecuación 10 5 18 7 5 3 es:

A) 2 B) C) 3 D)

6. El valor de en la ecuación 4 3 3 2 6 7 2 5 2

A) 1 B) C) 1 D)

7. El valor de en la ecuación 9 1 13 es:

A) 3 B) 1 C) 6 D) 4

8. El valor de en la ecuación

A) 1/2 B) 3/4 C) 8/5 D) 5/3

9. Resuélvase la siguiente ecuación para " " :

A) 1/8 B) 2/3 C) 1/4 D) 2/3

10. Resuélvase para " " la siguiente ecuación:

A) 3/2 B) 2/3 C) 1/2 D) 3/2

136

III. rucigrama algebraico

Aquí encontrarás un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendrás que resolver 17 ecuaciones de primer grado.

¡Anímate!

Verticales Horizontales

1) 3x + 2 = 32 3) 7x – 4 = 171 2) x/5 = 16 4) 8x – 920 = 7,080 3) 2x + 8 = 440 6) ½ x + 8 = 88 5) 2x - 9 = x + 18 7) 5x = 35,745 8) 9x + 9 = 900 10) 4x – 4 = 3x + 6 9) ¼ x - 2 = 250 11) 5/2 x + 40 = 500 13) x/3 - 11 = x - 233 12) x/9 – 43 = 1,000 15) x + 5 = 2x - 80 14) x/7 – 5 = 0

16) 5x – 4x + 3x + 8 = 8

¿Qué tal, resultó divertido?

137

IV. Con el perímetro dado, encontrar el valor de la incógnita.

i. Hallar el valor de si el perímetro del rectángulo es 38 cm

3 1

ii. Si el perímetro del cuadrado es 68 cm, hallar el valor de .

4 1

iii. Si el perímetro del triángulo isósceles es de 29 cm, hallar el valor de .

3 2

2 1

138

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN PALABRAS CON EL USO DE ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

Los problemas planteados con palabras son enunciados que exprersan relaciones entre cantidades numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresión del problema a una ecuación algebraica que pueda resolverse por medios conocidos.

Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue:

1. Se determina la cantidad incógnita y se le representa con una variable. 2. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en términos de

la misma variable. 3. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una

ecuación algebraica. 4. Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego se encuentran las otras

cantidades requeridas. 5. Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras,

no en la ecuación.

Las siguientes son ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales y sus equivalentes algebraicos:

1. Un número aumentado en 5.

Saberes

Nombre Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal

No. 2



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para plantear una ecuación lineal que resuelva un problema práctico en un contexto determinado.


Mediante


139

2. Un número disminuido en 7

7

3. Un número supera en 4 a otro

Primer número segundo número

4

4. Un número es 2 unidades menor que otro


2

5. La suma de dos números es 30


30

6. Tres enteros consecutivos

Primer número segundo número tercer número

1 2

7. Tres enteros impares consecutivos


2 4

8. Tres enteros pares consecutivos


2 4

9. Un número es la mitad de un segundo número


140

10. Un número es el triple del otro

Primer número Segundo número

3

11. Un número es cuatro unidades menos que el doble de un segundo número


2 4

12. Un número supera en 6 al triple de un segundo número


3 6

13. El número supera en 6 al número b.

6 o bien 6

14. El número es 10 unidades menor que el número b

10 o bien 10

15. Un 6% de impuesto sobre dolares.

Impuesto = 6% 6 o

16. Un descuento se 15% sobre dolares

15% 15 o bien

17. El valor en dólares de billetes de cinco dólares:

Valor = 5 $5

18. La cantidad de plata contenida en libras de una aleación de plata al 6%.

Cantidad de plata = 6% libras

19. La cantidad de alcohol en 5 galones de una solución de alcohol al

80%.

141

Cantidad de alcohol = 80% 5 galones

20. Si Roberto puede caminar millas por hora, ¿qué distancia recorrerá en 3

horas?

En problemas de velocidad usaremos la fórmula que al despejar

la distancia

nos dá , por lo tanto el problema queda:

millas

21. Si Lorena conduce a 55 millas por hora, ¿Qué distancia puede recorrer en

horas?

Distancia =

22. Rafael puede viajar en su bicicleta a una velocidad promedio de 15 millas

por hora ¿Cuánto demorará en recorrer millas?

Tiempo =

23. La anchura de un rectángulo es de pies. ¿Cuál es el perímetro si la

longitud es el doble de su anchura?

Anchura Longitud

Perímetro = 2 veces el ancho + 2 veces el largo

Perímetro =2 2 2 2 4

142

24. La anchura de un rectángulo es de pies. ¿Cuál es el área del rectángulo

si su longitud mide 4 pies más que su anchura?

Anchura Longitud

pies 4 pies

Área = 4 pies cuadrados

EJEMPLO 1

Pedro tiene un trabajo en donde gana $150,000 anuales, que incluye un bono de $12,000 al final del año. Si recibe un pago quincenal, ¿Cuál es el ingreso bruto en cada cheque?

Con palabras

Ingreso por año= 24 pagos + bono

¿Qué conoces?

Ingreso por año= $150,000

Bono = $12,000

¿Qué quieres?

Cantidad en cada cheque = x

Ecuación

150,000 = 24x + 12,000

150,000 12,00024

$5,750.

Solución

Despejamos el valor de x de la ecuación

anterior,

El ingreso por cada cheque es de $5,750

143

EJEMPLO 2

Enrique invitó al Cinépolis a su esposa y durante la función compraron dos refrescos del mismo precio y dos bolsas de palomitas de $25 cada una. Si Roberto gastó $90 en total, ¿cuánto costó cada refresco?

Con palabras

Gasto total = 2 bolsas de palomitas de $25

cada una + 2 refrescos

¿Qué conoces?

Gasto total = $90

Costo de las palomitas = (2)($25) = $50

¿Qué quieres?

Precio de cada refresco = x

Ecuación

$90 = $50 + 2x

90 502

$20.00

Solución

Despejando x, tenemos:

Cada refresco costo $20.00

144

EJEMPLO 3

Karla invierte $120,000 en dos cuentas diferentes, de forma que en una de ellas le pagan el 6% y en la otra 5% anual de interés simple. Si el interés total es de $6,800 al año, ¿cuánto dinero esta invertido en cada una de las cuentas?

Con palabras

Interés total generado por $120,000 dividido

en dos cuentas.

¿Qué conoces?

Dinero invertido = $120,000 Tasa de interés de una cuenta = 6% Tasa de interés de la otra cuenta = 5% Interés total recibido = $6,800

¿Qué quieres?

Cantidad invertida al 6% = x Cantidad invertida al 5% = $120,000 ‐‐ x

Ecuación

0.06x + 0.05 (120,000 – x) = 6,800

0.06 6000 0.05 6800

0.01 6000 6800

0.01 6800 6000 800

8000.01

80,000

120,000 120,000 80,000 40,000

Solución

Silvia ha invertido $80,000 al 6% y $40,000 al

5%.

145

EJEMPLO 4

Un albañil puede hacer una obra en 4 días y otro en 5 días, ¿en cuánto tiempo terminaran la obra juntos?

Con palabras

Tiempo total de la obra = Tiempo empleado

por los albañiles trabajando juntos.

¿Qué conoces?

Tiempo del albañil 1 = 4 días

Tiempo del albañil 2 = 5 días

¿Qué quieres?

Tiempo total de la obra = x

4 51

Ecuación

El ritmo de trabajo de un albañil es de y el

del otro , por lo tanto, entre ambos

terminan el 100% de la obra en

4 51

5 4 20

Solución

2.222 días

El tiempo total para terminar la obra entre

ambos albañiles es de 2.222 días.

146

EJEMPLO 5

Un automóvil recorre una distancia del D.F. a Acapulco a una velocidad promedio de 120 Km/hr y de regreso viaja a una velocidad promedio de 90 Km/hr. Si todo el recorrido tomo 7horas. ¿cuál es la distancia del D.F. a Acapulco?

Con palabras

Tiempo total del viaje = Tiempo de ida +

tiempo de regreso

¿Qué conoces?

Velocidad promedio de ida = 120 Km/hr Velocidad promedio de regreso = 90 Km/hr Tiempo total del viaje = 7 hrs

¿Qué quieres?

Distancia del D.F. a Acapulco = x

120 907

Ecuación

La relación de velocidad es , entonces el

tiempo t es , luego, el tiempo de ida es

y el de regreso . Por lo tanto,

120 907

90 120 75,600

75,600210

360 .

Solución

La distancia del D.F. a Acapulco es de 360

Kms.

147

MÁS PROBLEMAS RESUELTOS

Problemas que se refieren a números

1. Cuales son los tres números consecutivos cuya suma es igual a 48?

Primer número: x

Segundo numero: x + 1

Tercer número: x + 2

Condición: (x) + (x+1) + (x+2) = 48

x + x + 1 + x + 2 = 48

3x + 3 = 48 Los tres números

3x = 48 – 3 son 15, 16 y 17.

3x = 45

x = 45 / 3

x = 15

2. Cuál es el número que aumentando en 20 se triplica? Número pedido a

condición:

X + 20 = 3x

X – 3x = -20

-2x = -20

2x = 20 por lo tanto x = 10

148

3. La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él.

Encontrar el número.

Solución Sea el número =

7

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 6, obtenemos

2 42 3

42 El número es 42.

4. Un número es el quíntuplo de otro. La suma de ambos es 90. Determinar

los dos números.

Solución primer némero segundo número

5

5 90

6 90 Primer número = 5 15 75

15 Segundo número = 15

5. Hallar dos números cuya suma sea 27 y que el séxtuplo del menor supere

en 9 unidades al triple del mayor.

Solución: Número menor Número mayor

27

6 3 27 9

6 81 3 9

9 90 Número menor = 10

10 Número mayor = 27-10 = 17

149

6. Encontrar dos enteros pares consecutivos tales que el cuádruplo del mayor

sea 8 unidades menos que el quíntuplo del menor.

Solución primer entero par segundo entero par

2

4 2 8 5

4 8 8 5 Primer entero par = 16

16 Segundo entero par = 16 + 2 = 18

7. La suma de tres números es 63. El segundo número es el doble del primero

y el tercero supera en tres al segundo. Encontrar los números.

Solución Primer número Segundo número Tercer número

2 2 3

2 2 3 63

5 3 63 Primer número = 12

5 60 Segundo número = 2 12 24

12 Tercer número = 24 + 3 = 27

150

Problemas de porcentaje

A veces la relación entre dos números se expresa como un porcentaje. Tanto por ciento significa “por cada cien” y se representa por el símbolo %. De esta manera

45% 45 100 45

2 % 2 100

300% 300 100 300

Para determinar qué tanto por ciento es un número de otro, se divide el

primer número entre el segundo, se multiplica el cociente por 100% y se

simplifica.

Obsérvese que 100 % = 100 100 1.

1. ¿Qué tanto por ciento es 24 de 40?

Solución 100% % 60%

2. ¿Qué tanto por ciento es 238 de 350?

Solución 100% % 68%

Para expresar un número como tanto por ciento, se multiplica el número por

100% y se simplifica.

151

3. Escribir 4 como un tanto por ciento

4 4 100% 400%

4. Expresar como un tanto por ciento.

Solución 100% % 64 % 64.04%

Para obtener un porcentaje de cualquier número, se cambia el símbolo de

tanto por ciento a , luego se multiplica pór el número y se simplifica.

5. ¿Cuál es el 70% de 48 ?

Solución 70% 48 70 48 33.6

6. ¿A qué es igual el 9 % 360 ?

Solución 9 % 360 9 360 360 33.3

La mayoría de los problemas de negocios y mezclas se relacionan con

porcentajes. En esta sección tratamos problemas de negocios.

Cuando se realizan depósitos de dinero en un banco, la cantidad que se

deposita se llama capital o principal y se denota por P.

La tasa de interés anual se denota por .

El interés que se recibe está representado por .

El interés recibido al cabo de un año es el producto del capital y la tasa de

interés.

La fórmula anterior es útil en la solución de problemas de tanto por ciento.

152

7. El precio de venta al menudeo de una máquina de coser es de $360

dólares. Si se ofrece en venta de $297, ¿cuál es el porcentaje de

reducción?

Solución Reducción de precio = 360 – 297 = 63.

Porcentaje de reducción = 100% % 17.5%

8. ¿A qué es igual el impuesto sobre un artículo que costó $540 si la tasa de

impuesto es de 6 % ?

Solución Impuesto = 6 % 540 540 $35.10

9. ¿En cuánto se venderá un refrigerador si el precio marcado es de $760 y la

tienda ofrece un 12% de descuento?

Solución Descuento = 12% 760 $91.20

Precio de venta = 760 – 91.20 = $668.80

10. Al Sr. Noble le costó $17,466 comprar un coche, incluido un 6.5% de

impuesto de venta. ¿Cuál era el precio de venta del coche antes de agregar

el impuesto?

Solución Sea el precio de venta del coche sin impuesto =

Impuesto = 6.5%

Precio de venta sin impuesto más impuesto igual a precio de venta total

6.5% 17,466

17,466

1000 65 17,466,000 (Se multiplica por 1000)

1065 17,466,000

16,400 Precio de venta sin impuesto $16,400

153

11. El precio de venta de una caja fuerte es de $350 luego de aplicar un 30%

de descuento. ¿Cuál es el precio regular de la caja fuerte?

Solución Sea el precio regular =

Descuento = 30%

El precio de venta es igual al precio regular menos el descuento

30% 350

350 (Se multiplica por 100)

100 30 35,000

70 35,000

500

Precio regular de la caja fuerte = $500

Definición Margen de utilidad es la cantidad que se agrega al costo de un

artículo para determinar el precio de venta de tal artículo. El margen de utilidad se

expresa normalmente como un tanto por ciento del costo o del precio de venta.

12. Un radio costó $80. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es

del 20% de dicho precio?

Solución Sea el costo cuando el margen de utilidad se calculo sobre el

costo, pero si dicho margen se calcula sobre el precio de venta, éste se

denota por .

Sea el precio de venta =

Margen de utilidad = 20%

El precio de venta menos el margen de utilidad es igual al costo.

20% 80

80 (Se multiplica por 100)

100 20 8000

80 8000

100 Precio de venta $100

154

13. El precio de venta de un equipo de tiro es de $584. ¿Cuál es el costo si la

utilidad es del 25% del mismo?

Solución Sea el costo =

Utilidad = 25%

Costo más utilidad sobre el costo es igual al precio de venta.

25% 584

584 (Se multiplicac por 100)

100 25 58,400

125 58,400

467.20

Costo = $467.20

14. Dos sumas de dinero que totalizan $20,000 ganan, respectivamentye, 5% y

6% de interés anual. Encontrar las cantidades si juntas ganan $1080.

Solución Primera cantidad Segunda cantidad

Capital 20,000

Tasa 5% 6%

Interés 5% 6%

5% 6% 20,000 1080

20,000 1080 (Se multiplica por 100)

5 6 20,000 108,000

5 120,000 6 108,000

12,000

Cantidad invertida al 5% = $12,000

Cantidad invertida al 6% = $8,000

155

15. Una persona realizó dos inversiones de un total de $10,000. En una de las

inversiones obtuvo un 10% de utilidad, pero en la otra tuvo una pérdida de

12%. Si la pérdida neta fue de $540, ¿Qué cantidad tenía en cada

inversión?

Solución Primera inversión Segunda inversión

10,000

Ganancia de 10% Pérdida de 12%

Cantidad ganada = 10%

Cantidad perdida = 12% 10,000

Cantidad perdida menos cantidad ganada igual a perdida neta.

12% 10,000 10% 540

10,000 540 (Se multiplica por 100)

12 10,000 10 54,000

120,000 12 10 54,000

3000

Primera inversión = $3000

Segunda inversión = $7000

16. El interés anual producido por $24,000 supera en $156 al producido por

$17,000 con una tasa anual de interés 1.8% mayor. ¿Cuál es la tasa anual

de interés aplicada a cada cantidad?

Solución Capital $24,000 $17,000

Tasa % 1.8%

24,000 % 17,000 1.8 % 156 (Se multiplica por 100)

156

24,000 17,000 1.8 15,600

24,000 17,000 30,600 15,600

7000 46,200

6.6

Las tasas de interés son 6.6% y 8.4%

Prolemas de mezclas

1. ¿Cuántos litros de agua deben agregarse a 6 litros de una solución de

sal al 8% y agua, para producir otra solución al 5% de sal?

Solución Una solución de sal al 8% significa que el 8% es ésta es

sal y el 92% agua.

Dicha cantidad en la solución original más la cantidad en el agua

agregada debe ser igual a la cantidad de sal en la solución final.

Cantidad original Cantidad agregada Cantidad final

6 litros 6

8% 0% 5%

8% 6 0% 5% 6

6 6 (Se multiplica por 100)

8 6 0 5 6

48 0 5 30

5 18

3.6 Deben agregarse 3.6 litros

157

2. ¿Cuantos litros de un líquido que contiene 74% de alcohol se debe

mezclar con 5 litros de otro liquido que contiene 90% de alcohol, se

desea una mezcla de 84% de alcohol?

Numero de litros de la solución de 74% de alcohol que debe emplearse = x

Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 74% = 0.74x

Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 90% = 0.90 (5)=4.5

Numero de litros en la mezcla = x + 5

Numero de litros de alcohol en la mezcla = 0.84(x+5)

0.74x + 4.5 = 0.84( x+5)

0.74x + 4.5 = 0.84x + 4.2

0.74x – 0.84 = 4.2 – 4.5

- 0.10x = -0.3

0.3

0.10x x = 3 litros.

3. Un hombre mezcló 48 onzas de una solución de yodo al 4% con 40

onzas de una solución al 15% de la misma sustancia. ¿Cuál es el

porcentaje de yodo en la mezcla.

Solución Consideremos la cantidad de yodo en la solución

Primera solución Segunda solución Mezcla

48 onzas 40 onzas 88 onzas

4% de yodo 15% de yodo % de yodo

4% 48 15% 40 % 88

158

48 40 (88) (Se multiplica por 100)

4 48 15 40 88

192 600 88

792 88

9

La mezcla es una solución al 9% de yodo

4. Carlos mezcló una aleación de aluminio al 48% contra otra al 72% para

producir una aleación de aluminio al 57%. Si hay 20 libras más de la

aleación al 48% que de la aleación al 72%, ¿Cuántas libras hay en la

aleación total?

Solución 20 2 20

48% 72% 57%

48% 20 72% 57% 2 20 (Se multiplica por 100)

48 20 72 57 2 20

48 960 72 114 1140

6 180

30

El peso de la mezcla total = 2(30) + 20 = 80 libras

159

Problemas de valor monetario

1. Elena tiene $4.45 en monedas de 10¢ y 25¢. Si dispone en total de 28

monedas, ¿Cuántas tiene de cada clase?

Solución Monedas de 10¢ Monedas de 25¢

monedas

La suma de los valores de las monedas es igual a la cantidad total de

dinero

(Nota: 445, no 4.45)

Número de monedas de = 17

Número de monedas de

2. Ramona compró $10.60 dólares de estampillas de con un

total de 52 estampillas. Si la cantidad de estampillas de que compró es

el cuádruplo de la de , ¿Cuántas estampillas de cada clase compró?

160

Solución 10¢ 15¢ 25¢

52 5 estampillas 4

La suma de los valores de las clases individuales de estampillas es igual a

la cantidad total.

10 15 52 5 25 4 1060 (Nota: 1060, no

10.60)

10 780 75 100 1060

35 280

8

Número de estampillas de 10¢ = 8

Número de estampillas de 15¢ = 52 – 5(8) = 12

Número de estampillsa de 25¢ = 4(8) = 32

3. Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de 189¢ la libra y otra

de 129¢. Si la combinación pesa 450 libras y se vende a 145¢ cada una,

¿Cuántas libras de cada clase forman la mezcla?

Solución 189¢ por libra 129¢ por libra 145¢ por libra

libras libras

La suma de los precios de las clases individuales es igual al precio de la

mezcla

189 129 450 450 145

189 58,050 129 62,250

60 7200

120

Número de libras a 189¢ 120

Número de libras a 129¢ 330

161

Problemas de Movimiento

La distancia recorrida, en kilómetros, es igual al producto de la velocidad, en

kilómetros por hora, por el tiempo, en horas. En símbolos,

1. Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 375 km entre sí y

cuyas velocidades difieren en 5 km por hora, se dirigen el uno hacia el otro.

Se encontrarán dentro de 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada

automóvil?

Solución Primer auto Segundo auto

Velocidad / 5 /

Tiempo 3 3

Distancia 3 3 5

Las sumas de las distancias recorridas es igual a 375 kilómetros

3 3 5 375

3 3 15 375

6 360

60

Velocidad del primer auto 60 / ; velocidad segundo auto 65 /

162

2. Dos automóviles parten de un mismo lugar y viajan en direcciones

opuestas. El primer automóvil hace un promedio de 55 km por hora,

mientras el segundo tiene uno de 65 km por hora. ¿En cuántas horas se

encontrarán a 720 kilómetros entre sí?

Solución Primer auto Segundo auto

Velocidad 55 km/h 65 km/h

Tiempo x hr x hr

Distancia 55 65

La suma de las distancias recorridas es igual a 720 kilómetros.

55 65 720

120 720

6

Tiempo en el que los autos estarán a una distancia de 720 kms entre sí 6

3. Un avión de reacción que vuela a una velocidad de 650 kms por hora va a

alcanzar a otro que lleva una delantera de 4 horas y está volando a una

velocidad de 400 kms por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar

el segundo?

Solución Primer avión Segundo avión

Velocidad 650 400

Tiempo 4

Distancia 650 400 4

El primer avión alcamzará al segundo cuando ambos hayan recorrido la misma

distancia

650 400 4

650 400 1600

163

250 1600 6

El tiempo requerido es 6 , o 6 , 24

Problemas de Geometría

El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro veces la longitud de su lado.

El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitus de su lado.

El perímetro de un rectángulo es igual al doble de su base más el doble de su altura.

El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

El área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura.

Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90°.

Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180°.

1. La base de un rectángulo es 3 pies menor que el doble de la altura, y el

perímetro es de 42 pies. Obtener las dimensiones del rectángulo.

Solución Véase la figura de este problema

Altura Base 2 3

2 3

2 2 2 3 42

2 4 6 42

6 48

8

Altura del rectángulo = 8 pies; Base del rectángulo 2 8 3 13 pies

164

2. La base de una pintura rectangular es 8 pulgadas menor que el doble se

su altura. Si el marco tiene 4 pulgadas de ancho y un área de 816 pulgadas

cuadradas, hallar las dimensiones de la pintura sin el marco.

Solución Véase la figura de este problema.

Altura Base Área

Sin marco . 2 8 . 2 8

Con marco 8 . 2 2 8

x x+8

2x-8

2x

El área de la pintura incluyendo el marco, menos el área de la pintura sin

este último,

es igual al área del marco.

2 8 2 8 816

2 16 2 8 816

24 816

34

Altura de la pintura = 34 pulgada

Base de la pintura = 2(34) – 8 = 60 pulgadas

165

3. La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pies. Encontrar el área

del triángulo si su base es 8 pies menos que el doble de su altura.

Solución Base Altura

2 8

2 8 28

2 8 28

3 36

12

2 12 8 16

12

Á 16 12 96

Problemas en donde se realiza un trabajo

1. La persona A puede hacer cierto trabajo en 8 hr, la persona B en 10 hr,

y la persona C en 12 hr. ¿Cuánto tiempo tomará efectuar el trabajo si A

y B se ponen a trabajar durante 1 hr y A y C terminan después?

Solución: Las partes del trabajo que realizan en una hora A, B y C son

18 , 1

10 , 112, respectivamente. La contribución de cada trabajador

es la parte que hace en una hora multiplicada por el número de horas

que trabaja. Si designamos con el número total de horas requeridas

166

para hacer el trabajo, entonces A trabaja horas, B trabaja 1 hora y C

trabaja 1 hr. Por tanto,

= parte del trabajo hecho por A

= Parte del trabajo hecho por B

= Parte del trabajo hecha por C

El trabajo total se completa sumando estas partes y, por tanto;

1

15 12 10 10 120

25 118

4 hr.

Por lo tanto, requerido es 4 hr.

2. Un recipiente, alimentado por 3 llaves, puede ser llenado en 30 minutos

por la primera, en 20 minutos por la segunda y en 40 minutos por la

tercera, ¿en cuánto tiempo llenarán el recipiente las 3 llaves juntas?

Tiempo que tardan las 3 llaves juntas: x

La primera llena en x minutos: 1

30* (x) =

30

x

La segunda llena en x minutos 1

20 *(x) =

20

x

La tercera llena en x minutos: 1

40*(x) =

40

x

167

Condición: 30

x + 20

x + 40

x = 1 (Se iguala a 1 porque se realiza un

trabajo)

4x + 6x + 3x = 120

13x = 120

9.23

168

RALACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON LA FUNCIÓN LINEAL

Hay ecuaciones lineales que únicamente depende de una incógnita; se les conoce como ecuaciones lineales con una incógnita 2 5 2 y con tres 3 5 11 .

LLaass eeccuuaacciioonneess ddee pprriimmeerr ggrraaddoo ttiieenneenn iinnccóóggnniittaass eelleevvaaddaass aa llaa ppootteenncciiaa 11 yy nnoo ssee

mmuullttiipplliiccaann ppoorr ffaaccttoorr;; ssii ssuucceeddiieerraa eessttoo ssee ccoonnvveerrttiirrííaann eenn eeccuuaacciioonneess ddee sseegguunnddoo

ggrraaddoo..

EEJJEEMMPPLLOO Una compañía de telefonía móvil define un costo de $4 por minuto de llamada. Establezcamos una expresión matemática para esta situación.

SSOOLLUUCCIIÓÓNN

aa.. Datos

Costo de la llamada: $4 por minuto. El siguiente cuadro presenta pares ordenados y puedes reconocer que los minutos están relacionados con el incremento del costo.

Referencia Minutos (x) Costo (y)

Al minuto 0 el costo es $0. 0 4(0)= 0


Al minuto 2 es costo es $8. 2 4(2)= 8


… … …

Al minuto x el costo se representa con la ecuación: y=4x. x 4x

bb.. Análisis

La ecuación 4 muestra dos variables: y es el costo total y x es el número de

minutos. La combinación de ambas describe la relación existente entre el costo y el tiempo en minutos cuando se habla por el teléfono móvil. Su representación gráfica se muestra a continuación.

PRECIO DE LAS LLAMADAS

169

Como puedes ver en la grafica de la página anterior se define una recta creciente, y esto quiere decir que cuanto más hable el usuario, mayor será el costo. En la gráfica se nota que existe el conjunto de números en y el conjunto de números en . A la variable , denominada dependiente, la podemos representar con , es decir

. A cada elemento del conjunto de números en le corresponde uno y sólo uno del conjunto de números en . Cuando una relación de pares ordenados se rige por estas condiciones se conoce como función. Comprueba qué efecto tendría la gráfica si un elemento estuviera relacionado al mismo tiempo con dos o más números. Al primer conjunto (minutos) lo denominamos dominio de la función. Cada uno de los elementos del dominio de la función tiene una imagen en el segundo conjunto (costo). Al conjunto de todas las imágenes se le llama rango o contradominio de la función.

cc.. Síntesis Interpretativa En este caso se formaron las parejas: (0, 0), (1, 4), (2, 8), (3, 12),…, , . La variable es cualquier número natural que represente el número de minutos, y es cualquier número natural que represente el costo. Veamos una representación gráfica de esta correspondencia.

170

UUnnaa ffuunncciióónn eess uunnaa ccoorrrreessppoonnddeenncciiaa eennttrree ddooss ccoonnjjuunnttooss ddee nnúúmmeerrooss,, ddee mmaanneerraa qquuee aa ccaaddaa

vvaalloorr ddeell pprriimmeerr ccoonnjjuunnttoo oo ddoommiinniioo llee ccoorrrreessppoonnddee uunn úúnniiccoo vvaalloorr ddeell sseegguunnddoo ccoonnjjuunnttoo ((oo

nniinngguunnoo)),, qquuee llllaammaammooss iimmaaggeenn oo ccoonnttrraaddoommiinniioo..

Una forma de interpretar una función es como si fuera una fábrica: la materia prima es el dominio que pasa a través de la fábrica y entrega un producto (rango).

Si consideramos la correspondencia de los pares ordenados (5, 25), (‐3, 2), (5, 0), (1/2,

2 , (√2, ½), podemos reconocer que un valor del dominio se relaciona más de una vez

con elementos del contradominio (5, 25) y (5, 0). En estas condiciones no se habla de

función, sino de relación.

3

0

1

2

3

0

1

2

Dominio Imagen o contradominio

3

5

0

2

√2

25

12

√2 12

171

Resolver los siguientes problemas en palabras:

A) Problemas que se refieren a números

1. Si a un número se le suma 15, el resultado es 21. Determine el número

2. Cuando se resta 11 de cierto número, el resultado es 52. Obtenga el

número.

3. Si al doble de un número se le aumenta 7, resulta 35. Halle el número.

4. El triple de un número disminuido en 19 es 53. Determine el número.

5. Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces el mismo.

Encuentre el número.

6. Si a siete tantos de un número se le suma 6, resulta el número

aumentado en 24. Obtenga el número.

7. El tercio de un número, sumado con su cuarta parte da 35, ¿Cuál será el

número?

Ejercicios

Nombre A resolver problemas en palabras por medio de una ecuación lineal

No. 2



Actitudes a formar









172

8. Dos terceras partes de un número exceden a la mitad de él en tres

unidades. Encuentre el número.

9. La suma de dos números es 24. Uno de ellos es el triple del otro.

Obtenga ambos.

10. Un número supera en 7 a otro número. Determine los dos si su suma es

29.

11. Un número es 40 unidades menor que otro. Obtenga ambos si su suma

es 280.

12. Un número es de otro número y la suma de ambos es 126. Encuentre

los números.

13. Un número es de otro y la suma de ambos es 230. Hállelos.

14. La suma de dos números es 48. El cuádruplo del menor es igual al

doble del mayor. Encuentre los números.

15. Un número es 3 unidades menor que otro. Determine ambos si el

cuádruplo del menor es una unidad menos que el triple del mayor.

16. La mitad de un entero es igual a dos quintos de otro. Obtenga los dos si

su suma es 27.

17. Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del menor

es igual a un quinto del mayor.

18. La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero, y el

tercero es 4 menos que el primero. Hállelos.

19. La suma de tres números es 78. El segundo es el doble del primero, y el

tercero es el triple del primero. Obtenga los números.

20. Halle tres enteros consecutivos tales que la suma del primero y el

segundo supere en 20 al tercero.

21. Encuentre tres enteros consecutivos tales que la suma del segundo y el

tercero sea 9 unidades menor que el triple del primero.

Respuesta de los impares: 1) 6 ; 3) 14; 5) 15; 7) 60; 9) 18,6; 11) 120,160

13)92,138 15) 8,11; 17) 20,16; 19) 13,26,39; 21) 12,13,14

173

B) Problemas de porcentaje

1. Cierto automóvil se vendió en $16,000 dólares hace dos años. El mismo

modelo se vende este año en $18,000. ¿Cuál es el porcentaje de

aumento en el precio de compra?

2. Margarita obtiene en sus exámenes un total de 240 puntos de 320

posibles. ¿Cuál es su calificación porcentual?

3. El precio por libra de cierto corte de carne es $2.52 dólares en el año

presente. Si el precio correspondiente fue de $2.40 el año pasado, ¿cuál

es el porcentaje de aumento del precio por libra?

4. Si se asignan 8.4 millones de barriles de petróleo diarios para el

consumo de cierto país y solamente se utilizan 6.3 millones, ¿qué

porcentaje de la asignación no se consume?

5. Mirna gasta $75 dólares a la semana en alimentos. ¿Cuánto deberá

gastar a la semana si su precio aumenta 8%?

6. Mauricio gana $2100 dólares al mes. ¿Cuánto ganará mensualmente si

su salario se incrementa 6%?

7. El ingreso bruto de una empresa es de $450,000. ¿Cuál es el nuevo

ingreso si las ventas aumentan 12%?

8. Una casa se vendió en $168,500 dólares. ¿Cuánto recibe el propietario

si el corredor de bienes raíces tiene una comisión del 6% sobre el precio

de venta?

9. Este año, la depreciación de un automóvil es de $2260.8 dólares en

base a una tasa de depreciación del 12%. ¿Cual era el precio del auto?

10. Un corredor de bienes raíces recibió una comisión de $31,440 por la

venta de una casa en Los Ángeles. ¿En cuanto se vendió la casa si el

corredor cobró un 6% del precio de la venta?

11. El descuento aplicado a un equipo estereofónico fue de $1164.6 en

base a una tasa del 18%. ¿Cuál era el precio normal del equipo?

12. Paty compró un abrigo de pieles con un impuesto del 6.5% incluido, en

$8903. ¿Cuál fue el precio del abrigo sin impuesto?

174

13. El señor Eduardo compró un televisor a color con un impuesto del 6.5%

incluido, en $788.1. ¿Cuál es el precio de venta del televisor antes de

aplicar el impuesto?

14. ¿En cuanto se venderá un sofá si su precio normal es de $840 y la

tienda ofrece un 15% de descuento?

15. Un equipo de aire acondicionado fue vendido en $345 luego de aplicar

un 25% de descuento. ¿Cuál era el precio normal del equipo?

16. ¿Cuál es el precio normal de un traje si se ha vendido en $245 luego de

aplicar un 12.5% de descuento?

17. El costo de un alimentador para aves es de $45 y su precio de venta es

de $63. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el costo?

18. El costo de una botella de licor es $19.25 y su precio de venta es de

$25. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el precio de venta?

19. El precio de venta de un reloj es de $126. ¿Cuál es el costo si el margen

de utilidad es de 40% del costo?

20. El precio de venta de una estufa eléctrica es de $756. ¿Cuál es el costo

si la ganancia es el 35% del costo?

21. El costo de una alfombra es de $581. ¿Cuál es el precio de venta si el

margen de utilidad es es 30% del precio de venta?

22. El costo de un automóvil es de $7320. ¿Cuál es el precio de venta si el

margen de utilidad es el 25% del precio de venta?

23. Dos sumas de dinero que totalizan $30,000 ganan, respectivamente, 6%

y 9% de interés anual. Encuentre ambas cantidades si, en conjunto,

producen una ganancia de $2,340.

24. Dos sumas de dinero que totalizan $45,000 ganan, respectivamente,

6.8% y 8.4% de interés anual. Halle ambas cantidades si juntas dan una

ganancia de $3,524.

25. Ines tiene $10,000 invertidos al 6%. ¿Cuánto debe invertir al 7.5% para

que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $2,400?

26. Juan tiene $9,000 invertidos al 7%. ¿Cuánto debe invertir al 9.2% para

que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $4,862?

175

27. La Sra. López invirtió dos sumas iguales de dinero, una de 5.25% y la

otra de 7.75%. ¿Cuánto invirtió en total si su ingreso por interés fue de

$1040?

28. El Sr.Rico realizó dos inversiones cuiya diferencia es de $18,000. La

inversión menor es al 7.8% y la mayor al 8.6%. determine las cantidades

invertidas si el ingreso anual total por intereses es de $2,860.

29. El Sr. Braulio invirtió una parte de $40,000 al 6.2% y el resto al 7.4%. Si

su ingreso por la inversión al 7.4% fue de $1,328 más que el de la

inversión al 6.2%, ¿qué tanto estaba invertido en cada tasa?

Respuesta a los problemas impares: 1) 12.5%; 3) 5%; 5) $81; 7) $504,000;

9) $18,840; 11) $6,470; 13) $740; 15) $460; 17) 40%; 19) $90; 21) $830

23) $12,000 a 6%; $18,000 a 9%; 25) $24,000; 27) $16,000;

29) $12,000 a 6.2%; $28,000 a 7.4%

C) Problemas de mezclas

1. ¿Cuántos galones de agua deben agregarse a 2 galones de una solución

de sal al 10% y agua, para producir una solución al 4%?

2. ¿Cuántas onzas de alcohol deben añadirse a 100 onzas de una solución al

12% de yodo en alcohol para obtener una solución al 8% de yodo?

3. ¿Cuántos litros de una solución de sal al 30% deben agregarse a 10 litros

de igual solución al 16% para producir una al 20%?

4. ¿Cuántas onzas de una solución de yodo al 16% deben añadirse a 60

onzas del mismo tipo de solución al 3% para obtener una al 8%?

5. ¿Cuántas pintas de una solución con desinfectante al 4% deben agregarse

a 20 pintas de otra igual al 30% para obtener una al 12%?

6. ¿Cuántos litros de una solución de ácido al 80% deben añadirse a 15 litros

de igual solución al 6% para hacer una al 20%?

176

7. Un hombre mezcló 100 libras de una aleación de cobre al 90% con 150

libras del mismo tipo de aleación al 60%. ¿Cuál es el porcentaje de cobre

en la mezcla?

8. Un platero mezcló 20 kilogramos de una aleación de plata al 70% con 55

kilogramos de la misma aleación al 40%. ¿Cuál es el porcentaje de plata en

la mezcla?

9. Susana mezcló 800 gramos de una solución de yodo al 6% con 700 gramos

de una solución del yodo al 9%. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la

mezcla?

10. Jaime mezcló 45 litros del mismo tipo de solución al 18% con 60 litros de

una al 32%. ¿Cuál es el porcentaje de ácido en la mezcla?

11. Rodrigo mezcló 60 libras de una aleación de aluminio al 30% con 140 libras

de la misma aleación. ¿Cuál es el porcentaje de aluminio en la segunda

aleación si la mezcla es de 65% de aluminio?

12. Un químico mezcló 200 gramos de una solución de yodo al 30% con 500

gramos de otra solución de yodo. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la

segunda solución si la mezcla es de 20% de yodo?

13. Margarita mezcló 30 litros de una solución desinfectante al 46% con 55

litros de otra. ¿Cuál es el porcentaje de desinfectante en la segunda si la

mezcla contiene 24% de desinfectante?

14. René mezcló 42 kilogramos de una aleación de cobre al 80% con 78

kilogramos de otra aleación. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la segunda

aleación si la mezcla es de 57.25% de cobre?

15. Julia mezcló una aleación de plata al 40% con otra, al 90%, para hacer una

al 75%. Si hay 20 onzas más de la aleación al 90% que la de 40%,

¿Cuántas onzas hay en la mezcla total?

16. Un agricultor mezcló un fertilizante que contiene 20% de nitrógeno con otro

de 60% para hacer un fertilizante con 34% de nitrógeno. Si hay 36 kg

menos del fertilizante de 60% que del de 20%, ¿Cuántos kilogramos hay en

la mezcla total?

177

17. Una planta procesadora de alimentos desea producir 1020 litros de salsa de

tomate con 30% de azúcar. Si tienen una salsa con 16% de azúcar y otra

con 50%, ¿Qué cantidad de cada clase de salsa deben de emplear?

Respuesta a los problemas impares: 1) 3 galones; 3) 4 litros; 5) 45 pintas; 7) 72%;

9) 7.4%; 11) 80%; 13) 12%; 15) 50 onzas; 17) 600 litros al 16%; 420 litros al 50%

D) Problemas de valor monetario

1. Pedro tiene $3.40 en monedas de 5¢ y 10¢. Si dispone en total de 47

monedas, ¿cuántas de cada clase posee?

2. Rosa tiene $4 en monedas de 5¢ y 25¢. Si posee un total de 32 monedas,

¿cuántas tiene de cada clase?

3. Raymundo tiene $7.60 en monedas de 10¢ y 25¢. Si en total dispone de 40

monedas, ¿cuántas de cada clase posee?

4. Leonor tiene 6 monedas más de 25¢ que de 10¢. Si el valor total es de

$9.20, ¿cuántas tiene de cada clase?

5. Raquel posee 8 monedas más de 5¢ que de 10¢. Si el valor total es de

$3.10, ¿cuántas monedas de cada clase posee?

6. Gerardo compró $8.7 dólares de estampillas de 15¢ y 25¢. Si adquirió 42

de éstas en total, ¿cuántas de cada clase compró?

7. Ramiro tiene 99 dólares en billetes de $1, $5 y $10. Hay 26 de ellos en total

y la cantidad de billetes de $1 es el doble de la de $5. ¿cuántas tiene de

cada clase?

8. Alma tiene $13 dólares en monedas en monedas de 5¢, 10¢ y 25¢. Si en

total posee 92 monedas y el número de éstas de 10¢ es el doble del de 5¢,

¿cuántas posee de cada clase?

178

9. Nora tiene el doble de monedas de 25¢ que de 5¢ y tiene 3 más de 5¢ que

de 10¢. Si el valor total de las monedas es $8.15, ¿cuántas tiene de cada

clase?

10. Naty compró $9.20 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de

50. Si la cantidad de las de 25¢ que compró es el doble de la

correspondiente a las de 15¢, cuántas estampillas adquiró de cada clase?

11. Eduardo compró $5.75 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un

total de 39. Si la cantidad de estampillas de 15¢ es el triple de las de 10¢,

¿cuántas consiguió de cada clase?

12. Doroteo compró 11 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total

de 58. Si la cantidad de 25¢ es el cuádruplo de las de 15¢, ¿cuántas obtuvo

de cada clase?

13. Un abarrotero mezclal 2 clases de nuez, una vale $2.59 la libra y, la otra,

$3.99. Si la mezcla pesa 84 libras y vale $3.09 la libra, ¿cuántas libras de

cada clase utiliza?

14. Un tendero mezcla 2 clases de grano de café, uno vale $2.79 la libra y el

otro $3.09. Si la mezcla pesa 400 libras y se vende $3.09 la libra, ¿cuántas

libras de cada clase de grano emplea?

15. Un confitero mezcla caramelo que vale 139¢ la libra con otro a 84¢ la libra.

Si la mezcla pesa 240 libras y se vende a 177¢ la libra, ¿cuántas libras de

cada clase de caramelo usa?

16. ¿Cuántas libras de té de $4.59 la libra deben mezclarse con 27 libras de un

té de $3.79 la libra para producir una mezcla con un precio de $3.99 la

libra?

17. Micaela compró $13.55 de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de

62. Si hay 2 estampillas más de 15¢ que el doble de las de 10¢, ¿cuántas

adquirió de cada clase?

18. Roque compró $10.70 de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de 53.

Si el número de las de 25¢ es 4 menos que el quíntuplo de las de 10¢,

¿cuántas consiguió de cada clase?

179

19. Soila Jhonson tien $7 dólares en monedas de 5¢, 10¢ y 25¢. Si posee 39

en total y hay 5 más de 25¢ que el doble de las de 10¢, ¿cuántas monedas

de cada clase hay?

20. Bruno dispone de $20 dólares en monedas de 10¢, 25¢ y 50¢. Si en total

tiene 110 y hay 2 menos de 10¢ que el séxtuplo de las de 50¢, ¿cuántas

posee de cada clase?

21. La recaudación por la venta de 35,000 boletos para un partido de futbol

americano fue de $305,500.00. Si se vendieron a $8 y $11, ¿cuántas de

cada clase fueron vendidos?

Respuesta a los problemas impares:

1) 26 monedas de 5¢; 21 de 10¢ 13) 54 libras a $2.59 y 30 libras a $3.99

3) 16 monedsa de 10¢; 24 de 5¢ 15) 144 libras a 139¢; 96 libras a 84¢

5) 26 monedas de 5¢; 18 de 10¢ 17) 5 de 10¢; 12 de 15¢; 45 de 25¢

7) 14 de $1; 7 de $5; 5 de $10 19) 7 de 5¢; 9 de 10¢, 23 de 25¢

9) 13 monedas de 5¢; 10 de 10¢; 26 de 25¢ 21) 26,500 a $8; $8,500 a $11

11) 8 de 5¢; 24 de 15¢; 7 de 25¢

E) Problemas de Movimiento

1. Dos grupos de boy scouts que se hallan a 25 millas entre sí, decidieron

acampar juntos en cierto punto intermedio. Si uno de los grupos camina

1/3 de milla por hora más aprisa que el otro y se encuentran en 3 horas,

¿cuál es la velocidad de cada grupo?

2. Dos automóviles que están a una distancia de 464 millas entre sí y

cuyas velocidades difieren en 8 mph, se dirigen el uno hacia el otro. Se

encontrarán dentro de 4 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada

automóvil?

180

3. Dos automóviles parten del mismo lugar y viajan en direcciones

opuestas. El primer auto hace un promedio de 45 mph y el segundo,

tiene uno de 50 mph. ¿En cuántas horas se encontrarán a 570 millas

entre sí?

4. Dos coches parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Uno de

ellos hace un promedio de 6 mph más que el otro. Determine las

velocidades de ambos sí al cabo de 5 horas se encuentran a 528 millas

entre sí.

5. Un avión a reacción que vuela a una velocidad de 750 mph va a

alcanzar a otro que partió dos horas antes y que vuela a una velocidad

de 500 mph. ¿A qué distancia del punto de partida encontrará el primer

avión al segundo?

6. Un automóvil parte a una velocidad de 50 mph. Un segundo sale 3

horas más tarde a una velocidad de 65 mph para alcanzar al primero.

¿En cuántas horas alcanzará el segundo auto al primero?

7. Un hombre cabalgó de ida a una velocidad de 30 mph y de regreso a

una velocidad de 35 mph. Su viaje redondo duró 6 horas. ¿Qué

distancia recorrió?

8. Bertha condujo su automóvil 48 minutos a cierta velocidad. Una

descompostura la obligó a reducirla en 30 mph por el resto del viaje. Si

la distancia total recorrida fue de 65 millas y le tomó 2 horas y 3 minutos,

¿qué distancia manejó a la velocidad baja?

9. Enrique manejó 40 millas. En las primeras 20 hizo un promedio de 60

mph y condujo las restantes 20 a una velocidad promedio de 40 mph.

¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total?

10. Un hombre manejó 20 millas a una velocidad media de 30 mph y las

siguientes 80 a la de 60 mph. ¿Cuál fue la velocidad promedio del

recorrido total?

11. Samuel viajó en autobús a una ciudad a 60 millas de distancia y regresó

a casa en su bicicleta. El autobús viajó al doble de la velocidad de la

181

bicicleta y el viaje redondo duró 4 horas. ¿A qué velocidad viajó

Samuel en su bicicleta?

Respuesta a los problemas impares: 1) 4 ; 4 ; 3) 6 h; 5) 3,000 millas;

7) 105 millas; 9) 48 mph; 11) 20 mph

F) Problemas de Geometría

1. La base de un rectángulo mide 6 pies más que su altura y el perímetro

es de 96 pies. Encuentre las dimensiones del rectángulo.

2. La altura de un rectángulo mide 8 pies menos que la base. Si el

perímetro del rectángulo es de 60 pies, halle las dimensiones de éste.

3. La base de un rectángulo es el triple de la altura, y el perímetro es de

256 pies. Obtenga las dimensiones del rectángulo.

4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de la altura, y el

perímetro es de 146 pies. Determine las dimensiones del rectángulo.

5. La base de un rectángulo mide 7 pies menos que el doble de la longitud,

y el perímetro es de 58 pies. Encuentre el área del rectángulo.

6. La base de un rectángulo mide 10 pies más que el doble de su altura y

el perímetro es de 170 pies. Halle el área del rectángulo.

7. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 3 pulgadas

cada uno y los otro dos disminuyen 2 cada uno, el área aumenta en 8

pulgadas cuadradas. Encuentre el lado del cuadrado.

8. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 5 pulgadas cada uno y

los otros dos disminuyen 3 cada uno, el área se incrementa en 33

pulgadas cuadradas. Obtenga el lado del cuadrado.

182

9. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 6 pulgadas

cada uno y los otros dos lados disminuyen 4 cada uno, el área

permanece constante. Determine el lado del cuadrado.

10. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 10 pulgadas cada uno

y los otros dos disminuyen 8 cada uno, el área decrece 20 pulgadas

cuadradas. Hallar el lado del cuadrado.

11. La base de un cuadrado sin marco mide el doble de su altura. Si el

marco tiene 2 pulgadas de ancho y su área es de 208 pulgadas

cuadradas, encuentre las dimensiones del cuadrado sin marco.

12. La base de una pintura sin marco es 3 pulgadas menos que el doble de

su altura. Si el marco tiene 1 pulgada de ancho y su área es de 34

pulgadas cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones de la pintura sin

marco?

13. Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 30 pies

menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea el edificio tien

10 pies de anchura y un área de 4,600 pies cuadrados. ¿Cuáles son las

dimensiones del terreno que ocupa el edificio?

14. Una construcción se asienta en un terreno rectangular que mide de

largo 10 pies menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea

la construcción tiene 8 pies de anchura y su área es de 2,496 pies

cuadrados. Determine las dimensiones del terreno de la construcción.

15. La longitud de un edificio es de 20 pies menos que el doble de su

anchura. El alero de la azotea es de 2 pies de ancho en todos los lados

del edificio y su área es de 536 pies cuadrados. Si el costo del techo por

pie cuadrado es de $3.60, determine el costo total del techo.

16. La longitud de un cuarto es de 9 pies menos que el doble de su anchura.

La alfombra del cuarto está a 1.5 pies de las paredes. El área de la parte

descubierta del piso es de 99 pies cuadrados. Si el costo de una yarda

cuadrada de la alfombra es de $162, obtenga el costo total de la

alfombra. (1 yarda = 3 pies)

183

17. Un lado de un triángulo mide el doble de otro. El tercer lado ed de 6

pulgadas y el perímetro es de 18. Encuentre la longitud de cada uno de

los lados.

18. La suma de la base y la altura de un triángulo es 35 pies. Encuentre el

área del triángulo si su base mide 10 píes menos que el doble de su

altura.

19. La suma de la base y la altura de un triángulo es 62 pies. Encuentre el

área del triángulo si su altura mide 22 pies menos que el doble de su

base.

Respuesta a los problemas impares: 1) 21 pies, 27 pies; 3) 32 pies, 96 pies; 5) 204 pies

cuadrados; 7) 14 pulgadas; 9) 12 pulgadas; 11) 32 pulgadas, 16 pulgadas; 13) 130 pies, 80 pies; 15)

$16,329.60; 17) 4 pulg, 6 pulg, 8 pulg; 19) 476 pies cuadrados.

G) Problemas donde se realiza un trabajo

1. Una llave llenaría un tanque en 10 horas, y otra llave lo llenaría en 15

horas. Estando el tanque vació, ¿en cuanto tiempo se llenara, si se abren

las dos llaves a la vez?

Resp: 6 horas

2. Un hombre puede hacer cierto trabajo en 21 hr, otro hombre puede hacer el

trabajo en 28 hr, y un muchaco puede hacer el trabajo en 48 hr. Encuentre

cunto tiempo necesitaría para hacer el trabajo si los tres trabajaran juntos.

3. LA persona A puede pintar una casa en 10 días y la persona B puede pintar

una casa en 12 días. ¿Cuánto tiempo tomaría pintar la casa trabajando los

dos hombres conjuntamente?

4. Un trabajador voluntario requirió 2 horas para escribir la dirección de un

grupo de sobres para un fondo de cariadad, mientras que el segundo

trabajador requirió tres horas para el mismo grupo de sobres, ¿cuánto

184

tiempo tomaron los 2 trabajadores para escribir la dirección a un grupo

similar de sobres?

5. Un trabajador de mantenimiento necesitó 8 horas para lavar las ventanas

de cierto edificio. El mes siguiente su ayudante tomó 10 horas para lavar las

ventanas. Si los dos trabajadores lo hicieran juntos, ¿cuánto tiempo tomaría

en lavar las ventanas?

6. Un tanque puede llenarse con u tubo en 9 hr y con otro tubo en 12 hr. Si el

tanque está vacío al empezar, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque de

agua sí está saliendo el agua por un tercer tubo a una razón de 16 de la

capacidad del tanque por hora?

7. Una persona A puede hacer cierto trabajo en 4 hr, B puede hacer la tarea

en 6 hr, y C puede hacer la tarea en 8 hr. ¿Cuánto tiempo llevaría hacer la

tarea si A y B trabajan una hora y después B y C terminan el trabajo?

Respuesta a los problemas impares: 1) 6 hr; 3) 5 días; 5) 4 horas; 7) 3 hrs

185

H) En cada una de las siguientes situaciones completa los datos que faltan en la tabla para encontrar la solución.

1. Las medidas de un cartel. Un anuncio tiene impresa su parte central con forma rectangular, que mide 100 por 140 centímetros y está enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es 1.5 veces el del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la banda, y cuáles son las dimensiones del cartel?

Imagen del problema

Datos

Perímetro del área impresa = (2)(100) + (2)(140) = 480

Perímetro del cartel = 1.5 veces el perímetro del

área impresa = 720

Lo que se pide

Ancho de la banda = x

Dimensiones del cartel = (100 + 2x)(140 + 2x)

Perímetro = 2(100 + 2x) + 2(140 + 2x)

Ecuación

Solución

Ancho de la banda =

Dimensiones del cartel =

186

2. Que tan alto es el edificio. Se desea calcular la altura de un edificio y, para tal fin, una persona de 1.80 m mide la sombra que proyecta el edificio y ésta resulta ser de 10 m, mientras que su propia sombra es de 1 m. ¿Cuál es la altura h del edificio?

3.

Imagen del problema

Datos

Sombra del edificio =

Sombra de la persona =

Altura de la persona =

Lo que se pide

Altura del edificio =

101.80

1

Ecuación

Considerando las razones entre triángulos

Solución

Altura del edificio =

187

II)) AACCTTIIVVIIDDAADD GGRRUUPPAALL Formen grupos de trabajo de cuatro a cinco estudiantes y desarrollen los siguientes cálculos. Respondan en una hoja aparte y presente su información al grupo.

1. En un café internet el costo por utilización del servicio es $0.20 por minuto. aa.. Expresen mediante una función entre el costo y el tiempo, y grafiquen la función. bb.. ¿Cuál es el costo por hora de servicio? cc.. Si el dueño del establecimiento tiene 5 computadoras para el servicio y abre 9 horas al día, ¿Cuánto es el máximo que obtendría de ganancia por día?

2. En un billar el costo por jugar en una mesa es de $35 por hora. aa.. ¿Cuál es el costo por jugar t horas? bb.. ¿Cuál es la utilidad máxima que obtendría el dueño, del establecimiento por esa mesa, si abre 12 horas diarias. cc.. ¿Cuál es la utilidad que obtendría el dueño, si tiene 10 mesas? dd.. Si 2 jugadores ocupan la mesa y pagaron $180, ¿Cuánto tiempo jugaron?

188

1. Ecuaciones lineales en dos y tres variables Método Gráfico Método por Suma y Resta Método por Igualación Método por Sustitución Método por Determinantes

2. Problemas en palabras que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales.

1. A resolver ecuaciones lineales en dos y tres variables 2. A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un sistema de ecuaciones

lineales.

Competencia

5 ECUACIONES LINEALES EN DOS Y TRES VARIABLES

Explicar los distintos métodos que existen para resolver una ecuación lineal en dos o tres variables.

Resolución de problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal en dos o tres variables.

Saberes

Ejercicios

189

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables

Los elementos del conjunto solución de una ecuación lineal constituyen una cantidad infinita de parejas ordenadas que pueden representarse gráficamente con una línea recta.

Cuando de dibujan las gráficas de dos ecuaciones lineales en dos variables en un sistema de coordenadas cartesianas surge una de las siguientes posibilidades:

1. Las dos rectas coinciden 2. Las rectas no se intersecan; en tal caso se llaman rectas paralelas 3. Las rectas se intersecan precisamente en un punto.

Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables

Muchas veces se requiere encontrar la solución común, o conjunto solución común de dos o más ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones.

DEFINICIÓN: El conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables que tienen la forma y es el conjunto de todas las parejas ordenadas de números que constituyen soluciones comunes a las dos ecuaciones. Es la intersección del conjunto solución de una de las ecuaciones con el de la otra.

Saberes

Nombre Ecuaciones lineales en dos y tres variavles No. 1Instrucciones para


Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga exponentes fraccionarios


Mediante


190

1. Cuando las dos rectas se intersecan exactamente en un punto, el conjunto solución del sistema es la pareja ordenada formada por las coordenadas del punto de intersección.

2. Cuando las dos rectas coinciden, lo cual significa que al dibujarlas una recta queda sobre la otra, el conjunto solución del sistema es el de cualquiera de las ecuaciones.

3. Cuando las dos rectas no se intersecan, el conjunto solución del sistema es el conjunto vacio .

Algunos de los métodos de solución son los siguientes:

1. Solución Gráfica

2. Solución por Suma y Resta

3. Solución por igualación

4. Solución por Sustitución

5. Solución por Determinantes

I. Solución grafica

Ejemplo 1 Resolver el siguiente sistema:

2x + y = 16………………..1

x + y = 10………………..2

Se procede como sigue:

En la ecuación (1) despejamos el valor de (y), colocando esta incógnita es

función de (x) como a continuación se indica:

y = 16 – 2x

Ahora efectuamos una tabulación (damos valores a x y vemos que valores adopta

y).

191

En la ecuación (2) también despejamos a (y) y tabulamos:

Tabulaciones

A continuación, graficamos ambas ecuaciones (ambos lugares geométricos) en un

sistema de ejes coordenados:

La solución grafica del sistema de ecuaciones simultaneas esta dada por el

punto de intersección entre ambas rectas.

Solución: x = 6 y = 4

Comprobación: 2(6) + (4) = 16

192

II. Solución por suma o resta

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de

eliminación por suma o resta, se aplica el siguiente procedimiento:

1. Multiplicamos los dos miembros de una ecuación, o de ambas, por factores

tales que igualen los coeficientes de una misma incógnita.

2. Sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y las

restamos si son del mismo signo.

3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior, con lo cual obtenemos el

valor de una incógnita.

4. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos

para la otra incógnita.

Ejemplo 2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y = 4 ecuación 1

+ x – y = 2 ecuación 2

Sumamos ambas ecuaciones

2x = 6 3

Sustituimos en 1: Podemos hacer la comprobación

(3) + y = 4 x + y = 4 3 + 1 = 4

y = 4 – 3 x – y = 2 3 – 1 = 2

y = 1 Solución: x = 3, y = 1

193

Ejemplo 3 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:

X + 2y = 5………………….1

X + y = 4………………….2

Multiplicamos la ecuación 2 por (- 1) y la sumamos a la ecuación 1. Nota: Usted tiene la libertad de eliminar cualquiera de las variables, según sea su preferencia.

X + 2y = 5 Sustituyendo y = 1 en ec. (2) Comprobación:

‐x –y = ‐4 1 4 Ecuación (1): 3 2 1 5

y = 1 4 1 3 5 5

Solución: , Ecuación (2): 3 1 4

4 4

Ejemplo 4 Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas:

15 20 10 ………………….1

25 30 80 …………………..2

Multiplicamos la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por 2 y luego las sumamos:

45 60 30

50 60 160

95 190

2

Sustituimos en ecuación 1 (porque es mi elección, pudiera ser la ecuación 2)

15 2 20 10

20 10 30

20 20 por lo tanto 1

194

III. Solución por igualación

Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultaneas, eliminando por el

método de igualación, aplicamos el siguiente procedimiento:

1. Despejamos en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar.

2. Igualamos las dos expresiones del paso anterior.

3. Resolvemos la ecuación resultante de la igualación, con lo cual obtenemos el

valor de una de las incógnitas.

4. Sustituimos el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor

de la otra incógnita y resolvemos para ella.

Ejemplo 5. Resuelve:

X + y = 12 (1

X – y = 8 (2

Despejamos a x en ambas ecuaciones e igualamos:

De 1: x = 12 – y de 2: x = 8 +y

Por lo tanto: Como: 12 Comprobación

12 –y = 8 + y 12 2 (10) + (2) = 12

‐y –y = 8 – 12 10 12 = 12

‐2y = ‐ 4 (10) – ( 2) = 8

2y = 4 8 = 8

y = 2

195

Ejemplo 6 Resolver el sistema: 3 2 12 ecuación 1

5 3 1 ecuación 2

Aunque pudiera despejar la x , elijo despejar la “ y “ por ilustración al alumno:

De ecuación (1): 2 12 3 De ecuación (2): 3 1 5

(Se multiplicó por -1) 3 5 1

Igualamos:

Multiplicamos por el m.c.m. = 6 6 6

Lo cual nos da: 3 12 3 2 5 1 Al sustituir x = 2 en la

36 9 10 2 ecuación (1) despejada:

38 19 3

2 Solución: ,

196

IV. Solución por sustitución:

El procedimiento es el siguiente:

1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Sustituimos la ecuación que representa su valor en la otra ecuación.

3. Resolvemos la nueva ecuación con lo cual se obtiene el valor de la incógnita

no eliminada.

4. Sustituimos el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la

otra incógnita, y resolvemos la ecuación resultante.

Ejemplo 7 Resuelve: x + y = 23………………… (1

x – y = 7………………… (2

Despejamos el valor de y en la ecuación 1:

y = 23 – x …………………… (3

El valor de y obtenido en la ecuación 3 se sustituye en la ecuación 2:

x – (23 – x) = 7

x – 23 + x = 7 Sustituimos x = 15 en ecuación (3)

2x = 7 + 23 23 15 8

2x = 30 x = 15 Solución: ,

197

Ejemplo 8 Resolver por sustitución el sistema:

4 9 12 ……………….. 1

2 6 1 ……………….. 2

De la primera ecuación, y la sustituimos en la segunda ecuación:

2 6 1

6 1

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por 2, obtenemos

9 12 12 2

21 14

Sustituyendo en resulta:

Solución : y

198

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON MÁS DE DOS

INCÓGNITAS

Para resolver estos sistemas se pueden escoger cualquiera de los métodos vistos anteriormente.

Ejemplo 9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

2x – 6y – 5z = ‐11…………………. (1

10x + 9y – 3z = 50………………… (2

4x – 8y + z = 15…………………. (3

Elijo eliminar a (y) de las ecuaciones 1 y 2, multiplicamos la ecuación 1 por 9 y la

ecuación 2 por 6 y sumamos ambas expresiones:

+ 18x – 54y – 45z = ‐ 99

60x + 54y – 18z = 300

78x ‐ 63z = 201…………….. (4

Ahora multiplicamos la ecuación 2 por 8 y la ecuación 3 por 9 y las sumamos:

80x + 72y – 24z = 400

+ 36x – 72y + 9z = 135

116x ‐ 15z = 535 ………. (5

Ahora hagamos simultáneas las ecuaciones 4 y 5. Eliminemos a z multiplicando la ecuación 4 por (- 15) y la ecuación 5 por 63 y luego sumemos:

‐1170x + 945z = ‐ 3015

7308x – 945z = 33705

6138x = 30690

199

30690

6138x por lo tanto 5

Sustituimos en 5: Sustituimos en 1:

116(5) –15z = 535 2(5) – 6y – 5(3) = ‐11

580 – 15z = 535 10 – 6y – 15 = ‐ 11

‐15z = 535 – 580 ‐6y ‐5 = ‐11

‐15z = ‐ 45 ‐6y = ‐11+5

15z = 45 ‐6y = ‐6

z = 3 y = 1

Solución: , ,

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR DETERMINANTES (Regla de Cramer)

Antes de entrar a la resolución de ecuaciones simultaneas por determinantes,

veamos que es un determinante y como se resuelve.

Determinante de segundo orden. Es la ordenación cuadricular de 4 números

y se desarrolla de la manera siguiente.

Calcula el valor del siguiente determinante:

3 52 7

3 7 5 2 21 10 31

200

Determinante del tercer orden. Es una ordenación cuadricular de números, que consta de 3 columnas y 3 renglones .

El desarrollo de un determinante de tercer orden es el siguiente: (Se repiten las dos primeras columnas)

- - - + + +

Calcula el valor del siguiente determinante:

2 6 5

10 9 34 8 1

2 6 5

10 9 34 8 1

2 6

10 94 8

2 9 1 6 3 4 5 10 8

5 9 4 2 3 8 6 10 1

2 9 1 6 3 1 5 10 8 5 9 4 2 3 8 6 10 1

18 72 400 180 48 60 682

El determinante vale

201

Veamos ahora la aplicación de los determinantes a la resolución de sistemas de

ecuaciones simultáneas. El procedimiento es el siguiente:

1. Se ordenan las ecuaciones de tal modo que las constantes aparezcan en el

miembro de la derecha y las variables en el de la izquierda.

2. Calculamos el valor del determinante formado por la ordenación cuadricular de

los coeficientes de las incógnitas; a dicho determinante le llamaremos ∆ (delta).

3. En el determinante ∆ sustituimos la primer columna (correspondiente a los

coeficientes de la primer incógnita por la columna de las constantes de las

ecuaciones y calculamos el valor de este nuevo determinante al cual le

llamaremos ∆x (delta equis).

Si sustituimos la segunda columna en delta por la columna de las constantes,

entonces tendremos a ∆y (delta ye) y así sucesivamente

Aplicando la siguiente formula (regla de Cramer)

∆

∆,

∆

∆,

∆

∆

Nota: Si en lugar de x, y, z las incógnitas tuvieran otras literales, únicamente

haremos las modificaciones pertinentes.

Ejemplo 10 Resuelve por determinantes el sistema siguiente:

2X + 3Y = 8

3X ‐ Y = 1

∆ 2 33 1

2 1 3 3 2 9 11

∆ 8 31 1

8 1 3 1 11

202

∆ 2 83 1

2 1 3 8 22

11

111

xx

222

11

yy

Ejemplo 11 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas por determinantes:

2x – 6y – 5z = ‐11…………………. (1

10x + 9y – 3z = 50………………… (2

4x – 8y + z = 15…………………. (3

∆2 6 5

10 9 34 8 1

682 Nota: El alumno debe verificar el valor de los determinantes

Por lo tanto, la solución es:

∆11 6 5

50 9 315 8 1

3410 ∆

5

∆2 11 5

10 50 34 15 1

682 ∆

1

∆2 6 11

10 9 504 8 15

2046 ∆

3

X = 1

Y = 2

203

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES QUE

CONTIENEN SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Y FRACCIONES

Cuando alguna o ambas ecuaciones contienen símbolos de agrupación, se aplica la ley distributiva para eliminarlos. Se escriben ecuaciones equivalentes de la forma

y, luego, se resuelve.

Ejemplo 12 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3 2 4 13 y 5 2 3 19

Solución: Se simplifican ambas ecuaciones separadamente:

3 2 4 13 5 2 3 19

3 3 2 8 13 10 5 3 19

11 13 ……………. Ec. (1) 7 5 19 ………………Ec. (2)

Resolvemos ahora el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2)

7 77 91 Ec. (1) multiplicada por 7

7 5 19

72 72

1

Sustituyendo 1 en la ecuación (1) tenemos,

11 1 13

2

El resultado es ,

204

Ejemplo 13 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

7 ; 13

Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 4, y la segunda por 12, lo cuál da:

2 3 28 10 20 30 280

9 10 156 3 27 30 468

47 188

4

Sustituyendo 4 en cualquier ecuación da:

2 4 3 28 12

205

EJERCICIOS

I. Resuelve por método grafico los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:

1. 4

2

x y

x y

2. 3

1

x y

x y

3. 5

1

x y

x y

4. 3 2 7

3 5

x y

x y

5. 3 4

3 2

x y

x y

II. Resuelve por el método de eliminación por suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:

6. 2

2 1

x y

x y

7. 4 6

3 1

x y

x y

8. 2 6

3 8

x y

x y

9. 6 7 10

8 13 6

x y

x y

10. 2 3

3 2 8

x y

x y

11. 3 2

3 5 6

x y

x y

12. 2 7 26

5 9

x y

x y

13. 5 2 3

7 3 10

x y

x y

14. 4 3 6

3 5 19

x y

x y

Ejercicios

Nombre A resolver ecuaciones lineales en dos y trtes variables No. 1Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









206

III. Resuelve por método de eliminación por igualación los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:

15. 5 1

3 7

x y

x y

16. 2 2

3 7

x y

x y

17. 5

4 10

x y

x y

18. 4 5 2

5 3 21

x y

x y

19. 2 11 67

2 5 20

y x

x y

20. 3 7 2

7 8 2

x y

x y

21. 4 3 5

3 2 3

x y

x y

22. 2 3 5

3 4 18

x y

x y

IV. Resuelve por el método de eliminación por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:

23. 3 0

2 5

x y

x y

24. 4 5

3 4 17

x y

x y

25. 5 7

5 3 3 2

y x

x y x

26. 3 2

3 5 6

x y

x y

27. 7 6 17

3 18

x y

x y

28. 37

2 3 31 13

x y

x y x y

29. 2 6

2 4 3

x y y

x y y

V. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los

métodos de eliminación:

30.

12

2 2 2 3

3 7

x y z

x y z

x y z

31.

2 4 2 0

3 5 3 4

7 2 7

x y z

x y z

x y z

32.

3 2 9

4 3 19

2 8

x y z

x y z

x y z

33.

7

1

3

x y z

x y z

y z x

34. 2 9

5 2 6

x y z

x z y

x y z

35.

14

6

(4 )

x y z

x y z

y x z

VI. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por el

método de determinantes.

36. 2 4

3 4 1

x y

x y

37. 3 5

2 3 7

x y

x y

38. 4 3 2

4 0

x y

x y

39.

3 2 4 1

4 5 2

2 3 6

x y z

x y z

x y Z

207

VII. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos que usted quiera.

40 2 3 3 2 4 0 41. 3 2 3 2

4 1 4 3 2 2 4

42. 4 1 3 2 19 43. 3 2 7 2

5 4 3 9 4 6 7 26

44. 3 2 2 3 4 45. 2 3 4 3 2 7 35

7 2 4 17 2 3 7

46. 3 2 2 2 26 47. 3 2 2 3 4

2 3 2 22 4 3 2 2

48. 3 2 3 4 3 11 49. 5 3 2 2 5 21

6 4 21 2 2 9

50. 51.

52. 53.

VIII. Aquí tienes más ecuaciones para que practiques por el método que

gustes:

54. 3 0 55. 4 5 56. 4 3 57. 3 1

2 5 3 4 17 2 3 2 7

208

58. 2 3 59. 2 12 60. 2 4 61. 3 1

3 3 9 6 19 3 2 27 2 3

62. 2 3 12 63. 7 6 17 64. 3 1 65. 5 1

4 5 20 3 18 7 6 11 4 1

66. 2 2 67. 1 68. 4 6 7 69. 15 9 5

6 7 8 2 3 5 3 5 6 8 7

70. 8 3 8 83 71. – 2 2 1 72. 2 5 18

7 5 7 126 5 4 16 7 5 5 83

4 4 3 17 8 4 2 10 9 5 7 99

73. – 3 5 9 61 74. – 5 5 67 75. – 3 3 7 33

5 4 7 64 2 9 9 21 4 9 9 128

6 8 15 8 9 8 96 3 5 5 45

Solución a los ejercicios impares anteriores:

1. 3, 1x y ; 3. 3, 2x y ; 5. 1, 1x y ; 7. 1, 2x y ; 9. 4, 2x y

11. 2, 0x y ; 13. 1, 1x y ; 15. 1, 4x y ; 17. 2, 3x y ;

19. 5, 6x y ; 21. 1, 3x y ; 23. 1, 3x y ; 25. 2, 1x y ;

27. 5, 3x y ; 29. 3, 0x y ; 31. 1, 2, 3x y z ; 33. 4, 2, 5x y z

35. 10, 5, 1x y z ; 37. 2, 1x y ; 39. 1, 3, 1x y z

41. 2, 4; 43. 4, 2; 45. 1, 2; 47. 2, 2;

49. 1, 4; 51. 8, 3; 53. 15, 15 55. 3, 2

57. 1, 2 59. 2, 7; 61. , 63. 5, 3

65. , 67. , 69. , ; 71. 1, 2, 3;

73. 6, 5, 2; 75. 5, 9, 3

209

PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS O MÁS INCÓGNITAS

Muchos problemas con enunciado contienen más de una cantidad desconocida; con frecuencia la ecuación que se plantea en la resolución del problema resulta ser más sencilla si se introduce más de una incógnita. Sin embargo, antes de que el problema esté completamente resuelto, el número de ecuaciones originadas tiene que se igual al número de incógnitas empleadas.

1. Un arrendatario recibió $ 1,200 de alquiler de dos residencias en 1 año; el

precio del alquiler de una de ellas era de $10 por mes más que la otra.

¿Cuánto recibió el arrendatario por mes por cada una si la casa más cara

estuvo desocupada 2 meses?

Solución: Sea,

el alquiler mensual de la casa más cara,

el alquiler mensual de la otra, entonces

Saberes

Nombre Problemas en palabras que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales

No. 2



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para resolver un problemas cotidiano empleando una ecuación lineal en dos o tres variables.


Mediante


210

10 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (1)

ya que una tenía un costo de $10 por mes más que la otra. Además, ya que la primera casa fue alquilada durante 10 meses y la otra por 12 meses, se sabe que 10 12 es la cantidad total recibida. De aquí que,

10 12 1200 ‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (2)

Ahora, se tienen las ecuaciones (1) y (2) con las incógnitas y ; se

resolverán simultáneamente por eliminación de y. El resultado es como sigue:

12 12 120 ecuación (1) por 12

10 12 1200

22 1320 Sustituyendo 60 por x en ecuación (1) da:

De este modo 60 60 10 50 50

Por tanto, la renta mensual fue de $60 y $50, respectivamente.

2. Un comerciante de tabaco mezcló un grado de tabaco que vale $1.40 por libra con otro que vale $1.80 por libra a fin de obtener 50 libras de una mezcla que vendió a $1.56 por libra. ¿Qué peso de cada calidad fue empleado?

Solución: Sea,

el número de libras del de $1.40 empleado

el número de libras del de $1.80 empleado

Entonces

50 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (1)

Ya que había 50 libras en la mezcla. Asimismo, 1.40 es el valor en dólares con la

primera calidad, 1.80 es el valor en dólares con la segunda calidad y también

tenemos que 1.56 50 78 es el valor en dólares de la mezcla. Por tanto,

1.40 1.80 78 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (2)

211

Ya que (1) y (2) son las ecuaciones requeridas, podemos resolverlas como sigue:

1.40 1.40 70 ecuación (1) por 1.40

1.40 1.80 78

0.40 8

.

20

Sustituyendo 20 por en la ecuación (1), se obtiene 20 50 30

Por lo tanto, el comerciante utilizó 30 libras de $1.40 y 20 libras de $1.80 en la mezcla.

3. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces

el segundo excede en 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos.

Solución: Primer número Segundo número

2 3 9 2 3 9 ecuación (1)

12 7 12 7 12 12 ecuación (2)

Resolviendo el sistema tenemos que,

8 12 36 ecuación (1) por 4

7 12 12

48

48

Al sustituir x por 48 en cualquier ecuación resulta 29

Los números son 48 y 29

212

4. Catalina invirtió parte de su dinero al 8% y el resto al 12%. El ingreso obtenido por ambas inversiones totalizó $2,240. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso hubiera totalizado $2,760. ¿Qué cantidad de dinero había en cada inversión?

Solución: Inversiones originales Inversiones intercambiadas

x al 8% ; y al 12% x al 12% ; y al 8%

0.08 0.12 2240 0.12 0.08 2760

8 12 244,000 12 8 276,000

2 3 61,000 …….. (1) 3 2 69,000 ………..(2)

Al resolver las ecuaciones (1) y (2) tenemos,

4 6 122,000 ecuación (1) por 2

9 6 207,000 ecuación (2) por 3

5x = 85,000

x = 17,000

Sustituyendo x por 17,000, se obtiene 9,000

Las inversiones son $17,000 y $9,000

213

5. Si la base de un rectángulo disminuye 2 pulgadas y la altura aumenta 2, su

área se incrementa en 16 pulgadas cuadradas. Si la base aumenta 5

pulgadas y la altura disminuye 3, el área aumenta 15 pulgadas cuadradas.

Encontrar el área del rectángulo original.

Solución: Sea la altura del rectángulo en pulgadas = x

Sea la base del rectángulo en pulgadas = y

Primero: Segundo:

2 2 16 5 3 15

2 2 4 16 5 3 15 15

2 2 20 5 3 30 ……… ec. (2)

10 …… ec. (1)

Resolviendo las ecuaciones obtenidas,

3 3 30 ec. (1) por 3

5 3 30

2 60

30

Sustituyendo x por 30 obtenemos y = 40

Por consiguiente, el área del rectángulo original 30 40 1200

6. Si una solución de glicerina al 40% se agrega a otra al 60%, la mezcla resulta al 54%. Si hubiera 10 partes más de la solución al 60%, la mezcla sería al 55% de glicerina. ¿Cuántas partes de cada solución se tienen?

Solución: Primero : Sean

40% 60% 54%

40% 60% 54%

214

40 60 54

14 6 0 que al dividirla entre 2

7 3 0 Ecuación 1

Segundo: Sean 10 10

40% 60% 55%

40% 60% 10 55% 10

40 60 10 55 10

40 60 600 55 55 550

15 5 50

3 10 Ecuación 2

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos:

7 3 0 7 3 0

3 10 x (‐3) 9 3 30

Sumando resulta 2 30

15

Al sustituir por 15, obtenemos 35

Las partes correspondientes a las soluciones de glicerina son 15 y 35

7. Una caja registradora contiene $50 en monedas de 5 centavos, de diez centavos y 25 centavos. En total son 802 monedas, siendo 10 veces mayor el número de las de 5 centavos que el de las de 10 centavos. Encontrar cuantas monedas hay de cada valor.

Numero de monedas de 5¢ = x

Numero de monedas de 10¢ = y

Numero de monedas de 25¢ = z

215

Condiciones:

.05x + .1y + .25z = 50 ………………. Ecuación (1)

x + y + z = 802 ……………… Ecuación (2)

x = 10y ……………… ecuación (3)

En esta ocasión decidimos resolver el sistemas por determinantes:

15.205.25.5.21.0

101

11

1.05.

0101

111

25.1.05.

150505000200500

100

1802

1.50

0100

11802

25.1.50

x

Por lo tanto, 70015.2

1505

x

x

Sustituimos en 3: 10y = 700 y = 70

Sustituimos en 2: (700) + (70) + z = 802 z = 32

700 monedas de 5¢

70 monedas de 10¢

32 monedas de 25¢

216

I. RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA LINEAL EN DOS VARIABLES

1. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces el segundo excede En 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos.

2. El doble de un número es 4 unidades menor que otro, mientras que el quíntuplo del primero es 3 unidades menor que el doble del segundo. Halle los dos números.

3. El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades menor que el doble del segundo.. Encuentre ambos números.

4. Marcos invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. El ingreso por

ambas inversiones totalizó $3000. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $2940. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?

5. El precio del boleto de avión México-Guadalajara es de $850 para adulto y de

$500 para niño. Si se vendieron un total de 50 boletos y se obruvieron ingresos por $36,900, ¿cuántos adultos y cuántos niños viajaron en el avión?

Ejercicios

Nombre A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales.

No. 2



Actitudes a formar









217

6. El restaurante Los Comales paga a sus camateros $500 a la semana más las

propinas que promedian $100 por mesa. El restaurante Las Cacerolas paga $1,000 a la semana pero las propinas promedian sólo $50 por mesa. ¿Cuántas mesas " " tendría que atender un mesero de modo que su salario semanal " " fuera el mismo en ambos restaurantes?

7. Una notaria cobra $3500 por elaborar un título de propiedad y $2000 por el

acta constitutiva de una empresa. En un mes realizó un total de 22 operaciones que representaron un ingreso de $53,000 por estos conceptos, pero en sus registros no se anotó cuántos títulos de propiedad y cuántas actas constitutivas se elaboraron y ahora se requiere conocer esos datos; Obténlos a partir de la información requerida.

8. Si 6 libras de naranjas y 5 libras de manzanas cuestan $4.19 dólares, mientras que 5 libras de naranjas y 7 de manzanas cuestan $4.88 dólares, determina el presio por libra de cada fruta.

9. Si 5 libras de almendras y 4 de nueces cuestan $30.30 dólares, mientras que 8

libras de almendras y 6 de nueces cuestan $47.20 dólares, determinar el precio por libra de cada producto.

10. Si 12 libras de papas y 6 de arroz cuestan $7.32 dólares, mientras que 9 libras

de papas y 13 de arroz cuestan $9.23 dólares, ¿cuál es el precio por libra de cada producto?

11. Si 10 paquetes de maíz y 7 de chícharos cuestan $12.53, mientras que 7 de

maíz y 9 de chícharos cuestan $12.52 dólares, halle el precio por paquete de cada producto.

12. Si la longitud de un lote rectangular disminuye 10 pies y la ancura aumenta 10, el área del lote se incrementa en 400 pies cusdrados. Si la longitud aumenta 10 pies y la anchura disminuye 5, el área del lote permanece constante. Halle el área del lote original.

13. Si la base de un rectángulo aumenta 2 pulgadas y la altura disminuye 2, el área disminuye 16 pulgadas cuadradas. Si la base disminuye 1 pulgada y la altura aumenta 2, el área se incrementa en 20 pulgadas cuadradas. Determine el área original del rectángulo.

218

14. Un ganadero ha vendido 60 terneras y 240 ovejas a un comprador por $17,160 dólares, y con los mismos precios ha vendido 40 terneras y 180 ovejas por $12,240. Encuentre los precios por cabeza de cada una de las especies de animales vendidos.

15. Un hombre tiene dos inversiones, una que le deja anualmente un interés de 3% y otra de 4%. El ingreso anual total causado por las inversiones es $170. Si se intercambiaran las razones de interés, el interés total anual sería de $180. Encuentre el monto de cada inversión.

16. Si una aleación de plata al 8% se combinara con otra al 20%, la mezcla contendría 10.4% de plata. Si hubiera 10 libras menos de la aleación al 8% y 10 más de la aleación al 20%, la mezcla resultaría al 12.8% de plata. ¿Cuántas libras de cada aleación se tienen.

17. Si una solución de ácido al 20% se agrega a otra al 50%, resulta una mezcla al 38%. Si hubiera 10 galones más de la solución al 50%, la nueva mezcla resultaría al 40% de ácido. ¿Cuántos galones se tiene de cada solución?

18. Una empresa constructora cobra $350 por elaborar un plano y $600 por un diseño. En un año registró haber efectuado 420 operaciones que representaron un ingreso de $207,000, ¿cuántos planos elaboró?

19. El precio de entrada a un espectáculo es $40 por adulto y $10 por niño. Si se vendieron en total 450 boletos y se obtienen ganancias por $9000, ¿cuántos niños entraron al espectáculo?

II. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA LINEAL EN TRES VARIABLES

20. Encuentre tres números tales que la suma del primero y segundo es 67, la suma del primero y tercero es 80, y la suma del segundo y el tercero es 91.

21. La suma de tres ángulos de un triángulo es 180°. La suma de dos de los ángulos es igual al tercer ángulo y la diferencia de los dos ángulos es igual a 2/3 del tercer ángulo. Encuentre los ángulos.

219

22. Un hombre realiza tres inversiones de un total de $24,000 con razones de interés de 6%, 7% y 8% anual. El ingreso tatal anual es de $720 y el ingreso de la inversión al 7% es $40 menos que el ingreso combinado de las otras dos inversiones. Encuentre el monto total de cada inversión.

23. La biblioteca de una escuela gastó $895 en la compra de 40 libros en total,

correspopndientes al las asignaturas de matemáticas, geografía e inglés. En la “Librería Cristal” los precios son: $28 cada libro de matemáticas, $25 de geografía y $15 el de inglés. Si los hubiera comprado en la “Librería Quijote” habría gastado $915 en la adquisición del mismo número de libros, pero a un precio de $31 cada libro de matemáticas, $24 de geografía y $14 el de inglés. ¿Cuántos libros de matemáticas, geografía e inglés se adquirieron?

24. Armando ha pagado en el supermercado un total de 1560 pesos por 240 litros

de leche, 60 kg de azúcar y 120 litros de aceite. Calcula el precio de cada artículo, sabiendo que 10 litros de aceite cuestan el triple de 10 litros de leche y que 10 kg de azúcar cuestan igual que 40 litros de aceite más 40 litros de leche.

25. En la caja fuerte del abuelo hay 50,000 pesos en billetes de $50, $100 y $200.

En total son 802 billetes, siendo 10 veces mayor el número de los de cincuenta que los de cien pesos. Ayuda a mi abuelo a descifrar cuántos billetes hay en cada denominación.

Respuesta a los problemas impares anteriores:

1) Los números son 48 y 29; 3) 6 y 17; 5) 34 adultos, 16 niños; 7) 6 titulos de

propiedad, 16 actas contitutivas; 9) Almendras a $3.50, nueces a $3.20;

11) Maiz a 63¢, chícharos a 89¢; 13) 160 pulgadas cuadradas; 15) $3000 al 3%, $2000 al

4%; 17) 20 galones, 30 galones, 19) 300 niños; 21) 15°, 75°, 90°;

23) 15 de matemáticas, 10 de geografía y 15 de inglés; 25) 690 de $50, 69 de $100, 43 de

$200 pesos.

220

1. Métodos de solución de una ecuación cuadrática o de segundo grado Métodos de solución:

Gráfico Factorización Completando el trinomio cuadrado perfecto Fórmula General

Ecuaciones con radicales Ecuaciones reducibles a una de segundo grado Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadráticas

2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación cuadrática.

1. A resolver ecuaciones en forma cuadráticas 2. A resolver problemas en palabras por medio de ecuaciones de segundo

grado

Competencia

6 ECUACIONES CUADRÁTICAS

Métodos de solución de una ecuación cuadrática Ecuaciones que se reducen a una ecuación

cuadrática Problemas en palabras que se resuelven con una

ecuación cuadrática

Saberes

Ejercicios

221

ECUACIONES CUADRÁTICAS.

Definición

Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática cuando después de reducida a su más simple expresión, el más alto grado de la incógnita es 2.

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Toda ecuación de segundo grado con una incógnita puede reducirse en

forma general:

En donde a es el coeficiente de la incógnita al cuadrado, b es el coeficiente de la incógnita a la primera potencia y c es el termino independiente.

Ecuación cuadrática completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando consta de 3 términos: uno en que aparece la incógnita al cuadrado, en otro en que aparece la incógnita a la primera potencia y en un término independiente.

Saberes

Nombre Métodos de solución de una Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado

No. 1



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para resolver una ecuación cuadrática por cualquier método.


Mediante


ax2 + bx + c = 0

222

Ecuación cuadrática incompleta:

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando carece del término independiente o del término con la incógnita a la primera potencia.

Cuadráticas puras y cuadráticas mixtas

Es cuadrática pura ax2 + c = 0

ax2 + bx = 0

Son cuadráticas mixtas

ax2 + bx + c = 0

RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS

En todas las cuadráticas puras, la incógnita es igual a más menos la raíz cuadrada del cociente del término independiente cambiado de signo entre el coeficiente de x2 .

Ejemplo 1:

Resuelve la siguiente ecuación:

2x2 + 7 = 194

5 2

x

8x2+ 28 = 5x2 + 76 (se multiplicó la ecuación anterior por 4)

8x2‐ 5x2 + 28 – 76 = 0

3x2‐48 = 0

√16 4

La solución es 4 ; 4

223

RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS INCOMPLETA

La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente tiene una raíz nula (igual a cero), y la otra es igual al cociente formado por el coeficiente del termino en x con signo contrario entre el coeficiente de x2.

ax2 + bx = 0 0

x(ax + b) = 0 Esta es otra solución

Esta es una solución

Ejemplo 2:


x2 – 9x = 0 Igualamos cada factor a cero

x(x – 9) = 0 0 9 0

9

RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS COMPLETAS.

Métodos para resolver cuadráticas mixtas incompletas

Método

Gráfico

Factorización

Completando

el cuadrado

Por Fórmula

General

0

224

Resolución de cuadráticas mixtas completas por el método grafico

Procedimiento:

1. Igualamos la cuadrática a una nueva variable (y)

2. Tabulamos: dando valores a x calculamos los valores que adopta y.

3. Graficamos.

4. Los valores de x para los cuales y vale cero, serán las raíces solución

de la ecuación.

Ejemplo 3: Resolver por el método gráfico 2 8 0

1. Sea 2 8

2. Se hace hace una tabla de valores de que corresponden a los valores asignados de conforme se muestra en la siguiente tabla:

3. Usar los pares de valores que aparecen en la tabla como coordenadas de los puntos en el sistema de coordenadas rectangulares.

4. Dibujar la curva a través de estos puntos. La gráfica resultante es una parábola. Ver la figura.

Las soluciones o raíces de la ecuación son los puntos en donde 0, ya que esto conduce a la ecuación original 2 8 0 . En la tabla podemos ver que las raíces son:

y

225

Resolución de cuadráticas mixtas completas por factorización

Procedimiento:

1. Factorizamos la ecuación.

2. Igualamos cada sector a cero y resolviendo para la incógnita en cada

caso obtenemos las raíces de la ecuación.

Ejemplo 4: Podemos comprobar el resultado de la ecuación anterior,

resolviéndola por factorización.

2 8 0

4 2 0

4 0 2 0

4 2

4 2

Ejemplo 5:


0352 2 xx

(x – 3) (2x + 1) = 0 31 x

x – 3 = 0 2

12 x

2x + 1 = 0

226

Resolución de cuadráticas mixtas completando el cuadro

Ejemplo 6:


x2 + 6x – 16 = 0

1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:

x2 + 6x = 16

2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado (la mitad de 6 es 3, que el cuadrado de 9, por lo tanto,

x2 + 6x + 9 = 16 + 9

x2 + 6x + 9 = 25

3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado:

2( 3) 25x

4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos:

3 5

3 5

Por lo tanto las raíces son:

3 5

3 5

227

Ejemplo 7:


2x2 + 9x – 5 = 0

En este caso, primero dividimos la ecuación entre 2 para que el coeficiente de x2

sea la unidad.

0

1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:

2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al

cudrado: (la mitad de es /

/ que al elevarlo al cuadrado da .

3. Como el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado:

4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos

Por lo tanto las raíces son:

5

228

Resolución de cuadráticas mixtas completas por formula general

Deducción de la formula general. La formula general se deduce al resolver la

ecuación literal.

2 0ax bx c

Por el método de completar cuadrado:

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

bac

a

bx

a

b

a

c

a

bx

a

bx

a

cx

a

bx

a

cx

a

bx

2

4

2

2

4

2

4

4

2

4

4

2

44

0

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

Formula general

a

acbbx

2

42

229

La naturaleza de las raíces puede deducirse a partir del valor numérico del

radicando (b2- 4ac), también llamado discriminante, de acuerdo con las siguientes

reglas:

1. Si (b2 -4ac) > 0. y además cuadrado perfecto, acb 42

Es racional: las raíces son reales, desiguales y racionales.

2. Si b2 -4ac)> 0, ser cuadrado perfecto, acb 42

Es irracional; las raíces son reales, desiguales e irracionales

3. Si (b2 -4ac) = 0, las raíces son reales e iguales y cada raíz vale –

b/2a.

4. Si (b2 – 4ac) < 0, entonces acb 42 es imaginario: las raíces son

complejas.

Ejemplo 8:

x2 – 8x + 15 = 0

X = a

acbb

2

42

h

; ;

X = )1(2

)15)(1(4)8()8( 2

2

282

48

2

60648

x

x

x

32

6

52

10

2

1

x

x

230

Ejemplo 9: Resolver la ecuación cuadrática siguiente:

5x2 – 24x -5 = 0

10

10057624

)5(2

)5)(5(4)24()24( 2

x

x

5

ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES DE SEGUNDO ORDEN

Ejemplo 10: Resuelve la siguiente ecuación

032122 2 xxx

Cambiamos el segundo miembro de la ecuación a los términos que no tienen

radical.

122 2 xx = 2x -3

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

2x2- 2x +1 = (2x -3)2

2x2 -2x +1 = 4x2 -12x +9

2x2- 2x +1 - 4x2 +12x -9 = 0

- 2x2 +10x -8 = 0 multiplicando por -1 y dividiendo entre 2

x2-5x +4 = 0

102624

1067624

x

x

231

(x-4)(x-1) = 0

x -4 = 0 x = 4 x-1=0 x = 1

¡Muy importante!

Los valores obtenidos no significan que sean las soluciones pedidas. Tenemos

que comprobar estos valores sustituyéndolos en la ecuación original, debido a que

se pudieron ver introducido raíces extrañas.

Comprobación:

Al sustituir el valor de x = 4 en la ecuación original nos da:

22(4) 2(4) 1 2(4) 3 0

32 8 1 8 3 0

25 5 0

0 0

Podemos ver que si se cumple la igualdad, por lo tanto x = 4 si es solución.

Al sustituir el valor de x = 1 en la ecuación original nos da:

22(1) 2(1) 1 2(1) 3 0

2 2 1 2 3 0

1 1 0

2 0

Podemos ver que obtenemos un absurdo, por lo tanto x = 1 no es solución.

232

ECUACIONES REDUCIBLES A UNA DE SEGUNDO GRADO

Ejemplo 11: Resuelve

3x4 = 2x2 + 1

Hacemos la sustitución z = x2 quedando:

3z2 = 2z + 1

3z2 - 2z – 1 = 0

z = 6

1242

)3(2

)1)(3(4)2()2( 2

1 z2 = 3

1

Pero, x2 = z, por lo tanto: 1

1 Son cuatro soluciones.

Ejemplo 12: Resuelve

8x6 = 19x3 +27

Sustitución: x3 = z

8z2 = 19z +27

8z2 -19z – 27 = 0

19 19 4 8 27

2 819 √361 864

1619 35

16

19 3516

5415

278

19 3516

1616

1

233

Pero como tenemos:

; sacando raíz cúbica a ambos lados da: primera solución

1; sacando raíz cúbica a ambos lados da: √ 1 1 segunda solución

ECUACIONES QUE DAN LUGAR A ECUACIONES CUADRATICAS

Cuando una ecuación contiene fracciones puede escribirse en una forma más simple si ambos miembros de la ecuación se multiplican por el mínimo común denominador (m.c.d.) de las fracciones presentes en la ecuación.

Si una ecuación se multiplica por un polinomio en la variable, la ecuación resultante podría no ser equivalente a la original. Esto significa que la ecuación resultante puede poseer raíces que no satisfacen la ecuación original. Los valores obtenidos para la variable que satisfagan la ecuación original, son las raíces de esta. En otras palabras tenemos que comprobar los resultados obtenidos sustituyendo en la ecuación original.

EJEMPLO 13.

Resolver la ecuación 6 4 .

Solución: Se multiplican ambos miembros de la ecuación por 3 .

6 3 15 4 3

6 18 15 4 12

6 12 0

3 4 2 3 0

3 4 0, esto es, y también 2 3 0, esto es,

234

Al comprobar en la ecuación original,

Para 6 4 Para 6 4

8 12 4 9 5 4

4 4 4 4

Por lo tanto el conjunto solución es: ,

EJEMPLO 14. Resolver

Solución: Primeramente factorizamos los denominadores

Se multiplican ambos miembros por 2 3 4 y nos queda,

10 4 3 3 12 2

Que al hacer las operaciones y simplificar 10 25 15 0

2 5 3 0 Se dividió la ecuación anterior 5

2 3 1 0

2 3 0, es decir o bien 1 0, es decir 1

El conjunto solución es: , 1

La comprobación se deja como ejercicio.

235

I. Resuelve para x las siguientes ecuaciones por el método de factorización:

1. 0 2. 3 0 3. 2 0 4. 7 0

5. 4 0 6. 5 0 7. 2 3 0 8. 3 2 0

9. 3 6 0 10. 2 4 0 11. 10 15 0 12. 6 4 0

13. 1 0 14. 4 0 15. 9 0 16. 36 0

17. 2 0 18. 12 0 19. 4 3 0 20. 9 2 0

21. 0 22. 0 23. 4 0

24. 2 9 0 25. 7 12 0 26. 5 4 0

27. 6 8 0 28. 2 15 0 29. 5 36

30. 10 24 31. 9 18 32. 4 4 0

33. 6 9 0 34. 8 16 0 35. 10 25 0

36. 2 1 0 37. 2 6 8 0 38. 4 4 8 0

Ejercicios

Nombre A resolver ecuaciones en forma cuadrática No. 1Instrucciones para el alumno


Actitudes a formar









236

39. 3 12 9 0 40. 2 3 2 0 41. 3 5 2

42. 4 3 1 43. 4 4 3 44. 3 8 3

45. 6 1 46. 6 35 6 47. 3 12 5

48. 6 12 49. 9 4 12 50. 4 12 9 0

51. 9 6 1 0 52. 2 3 0 53. 9 18 0

54. 2 6 0 55. 2 7 4 0 56. 6 11 3 0

II. Resuelva para las siguientes ecuaciones completando el cuadrado:

1. 2 3 0 2. 7 6 0 3. 3 10 0

4. 12 0 5. 7 30 0 6. 3 18 0

7. 14 15 8. 4 21 9. 14 24

10. 72 11. 4 4 12. 6 9

13. 6 8 0 14. 2 15 0 15. 5 36

16. 8 4 17. 0 18. 2 3 0

19. 3 5 0 20. 2 7 21. 2 3 1 0

22. 2 1 23. 2 5 2 24. 4 1 5

25. 3 32 20 26. 3 8 14 27. 5 13 6 0

28. 4 24 35 29. 4 3 8 30. 9 2 3

31. 4 9 12 0 32. 1 2 0 33. 3 2 0


1) 3,1 3) 2,5 5) 3,10 7) 1,14 9) 12,2 11) 2, 2

13) 4,2 15) 9, 4 17) 1,0 19) , 0 21) 1, 23) 2,

25) , 8 27) 2, 29) , 31) , 33) √

237

III. Resuelve las siguientes ecuaciones mediante la fórmula cuadrática:

1. 2 0 2. 3 0 3. 3 5 0 4. 8 3 0

5. 6 0 6. 4 3 0 7. 4 0 8. 36 0

9. 2 0 10. 8 0 11. 12 0 12. 18 0

13. 4 1 0 14. 9 25 0 15. 2 3 0 16. 3 1 0

17. 5 6 0 18. 3 7 0 19. 2 9 0 20. 25 4 0

21. 4 9 0 22. 8 7 0 23. 3 4 0

24. 5 24 0 25. 7 12 0 26. 6 0

27. 9 20 0 28. 6 16 0 29. 2 8 0

30. 4 32 31. 3 18 32. 2 2

33. 2 4 34. 4 4 35. 2 3

36. 4 4 37. 6 9 0 38. 36 12

39. 6 10 19 40. 18 27 4 0 41. 6 2 0

42. 8 14 15 43. 9 3 20 44. 2 17 36

45. 12 9 31 46. 10 9 9 0 47. 24 21 65

48. 8 30 27 49. 3 10 6 0 50. 2 4 3 0

51. 3 6 2 0 52. 5 9 3 0 53. 9 1 6 0

54. √2 5 55. √3 4 56. √5 2

57. √7 5 58. 2√3 1 59. 3√2 8

238

Respuestas a los problemas impares anteriores:

1) 2,0 3) 0, 5) , 0 7) 2, 2 9) √2, √2

11) 2√3, 2√3 13) , 15) √ , √

Se racionalizó el denominador

17) √ , √

Se racionalizó 19) √ , √

Se racionalizó 21) ,

23) 4,1 25) 4, 3 27) 4,5 29) 2,4 31) 3,6

33) 1 √5, 1 √5 35) √ , √

37) 3, 3 39) ,

41) , 43) , 45) , 47) , 49) √ , √

51) √ , √

53) , 55) √ √ , √

57) √ √ , √ √

59) 4√2, √2

IV. Contesta cada una de las siguientes preguntas:

1. Si el área del triangulo siguiente es 48 , ¿Cuál valor de " " ?

4

239

2. Si se sabe que el perímetro del triángulo mostrado es de 74 unidades, ¿cuál de las

opciones es un valor de que satisface la condición del problema?

2 5

2 13 7 2 1

A) B) C) 2 D)

3. Si la resta de las áreas de los rectángulos es de 816 , ¿cuánto vale ?

60

20

V. Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique el resultado.

1. √ 5 3 2. √ 7 2 3. √6 8 4. √5 6 2

5 . √4 4 6. √3 2 5 7. √ 3 √ 1 3

8. √2 13 √ 10 1 9. √ 2 √ 5 1 10. √2 11 √ 2 2

240

10 . 4 5 1 0 11. 10 9 0 12. 3 5 12 0

13 . 7 12 0 14. 4 10 2 0 15. 2 7 4 0

Solución a los problemas de número impar: 1) 2; 3) 2,4; 5) 4; 7) No hay solución; 9) 6

11 . 1, 3 ; 13. √3 , 2 ; 15. 2, tiene solo dos soluciones reales.

VI. Resuelva las siguientes ecuaciones que dan lugar a una ecuación cuadrática:

1. 2 2. 3 4 3. 6 5

4. 12 8 0 5. 1 6. 3

7. 4 5 8. 2 1 9. 5 6

10. 2 1 11. 1 12. 6

13. 5 14. 5 15. 3

16. 1 17.

18. 19.

20. 21.

22. 23.

241

24.

25.

Respuesta a los ejercicios con número impar:

1. 2,4 3. , 5. 1 √3, 1 √3 7. , 3 9. 2,4

11. 1 √2, 1 √2 13. , 1 15. 2,5 17. 1,2 19. 3, 2

21. 2 √6, 2 √6 23. 2,3 25. 1,2

242

Ejemplo 1. La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al producto de los números. Encontrar ambos números.

Solución: Primer número Segundo número

48

Planteamiento: 48 36 48

2304 96 36 48

48 2340 0

78 30 0

78 0, esto es, 78

O bien 30 0, es decir, 30

Los números son 30 y 48 30 18.

Se elimina ‐78 porque no es un número natural.

Saberes

Nombre Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación cuadrática

No. 2



Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para plantear un problema cotidiano que lleve a su solución por medio de una ecuación cuadrática.


Mediante


243

Ejemplo 2. La diferencia de dos números naturales es 8 y la diferencia de sus

recíprocos es . Hallar los números.

Solución Primer número Segundo número

8

Planteamiento: Nota:

77 8 77 2 8

77 616 77 2 16

2 16 616 0

8 308 0

22 14 0

22 0, esto es, 22

14 0, o sea, 14

Los números son 14 y 14 8 22

Se elimina 22, puesto que no es número natural

Ejemplo 3. Una persona realizó un trabajo por $192 dólares. El trabajoEl trabajo le llevó 4 horas más de lo que suponía y entonces ganó $2.40 menos por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que llevaría a cabo ese trabajo?

Solución: Sea horas el tiempo esperado para efectuar el trabajo.

Razonamiento: La tarifa horaria que esperaba recibir, menos $2.40 es igual a la tarifa horaria

real que ganó la persona.

Planteamiento: 2.40

192 4 2.4 4 192

192 768 2.4 9.6 192

2.4 9.6 768 0

4 320 0

244

20 16 0

20 0, es decir, 20

O bien 16 0, o sea, 16

El tiempo esperado para realizar el trabajo es 16 horas. Se elimina 20 porque carece de sentido.

Ejemplo 4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su altura. El área del rectángulo es de 448 pies cuadrados. Encontrar las dimensiones del rectángulo.

Solución:

Altura Base

2 4

Planteamiento: 2 4 448

2 4 448 0

2 224 0

16 14 0

16 0, esto es, 16

O bien 14 0, es decir, 14

La altura del rectángulo es 14 pies y su base es 2 14 4 32 pies.

245

Resuelve los siguientes problemas en palabras que llevan al planteamiento de una ecuación de segundo grado para su solución.

1. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del siguiente número consecutivo. Encuentre los dos primeros números.

2. El producto de dos números pares consecutivos es 10 unidades menor que 13 veces el siguiente número par. Halle los dos números.

3. La suma de dos números es 21 y de sus cuadrados es 225. Obtenga los dos números.

4. La suma de dos números es 25 y la de sus cuadrados es 317. Encuentre los números.

5. La diferencia de dos números naturales es 8 y la suma de sus cuadrados es 194. Halle los números.

6. La diferencia de dos números naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es 305. Obtenga los números.

7. La suma de dos números naturales es 17. La diferencia de sus cuadrados supera en 19 al producto de los números. Determine dichos números

Ejercicios

Nombre A resolver problemas con palabras por medio de ecuaciones de segundo grado

No. 2



Actitudes a formar









246

8. La suma de dos números es 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el triple del producto de los números. Halle los números.

9. La suma de dos números es 14 y la de sus recíprocos es . Obtenga los

números. 10. La diferencia de dos números naturales es 4 y la suma de sus recíprocos es

. Obtenga los números.

11. La diferencia de dos números naturales es 6 y la de sus recíprocos es .

Halle los números. 12. Una excursión geológica costó $120 dólares. Si hubieran ido 3 estudiantes

más, el costo por estudiante habría sido $2 dólares menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión?

13. Una excursión a esquiar costó $300 dólares. Si hubieran sido 3 miembros menos en el club, el costó por persona habría sido $5 dólares más. ¿Cuántos miembros hay en el club?

14. Un hombre pintó su casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas menos de lo que se suponía y entonces ganó $2 dólares más por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que pintaría la casa?

15. Una persona realizó un trabajo por $90 dólares. Empleó 3 horas más de lo que se suponía y entonces gano $5 dólares menos por hora de lo que esperaba. ¿En cuánto tiempo se suponía que llevaría a cabo el trabajo?

16. La base de un rectángulo mide 4 pies más que su altura y el área es de 192 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo.

17. La base de un rectángulo mide 3 pies más que el doble de su altura y el área es de 189 pies cuadrados. Halle las dimensiones del ractángulo.

18. Un hombre desea construir una caja metálica abierta. Las caja debe tener una base cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5,184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja.

19. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo resultante supera en 32 pies cuadrados al área del rectángulo original. Encuentre la longitus del área del cuadrado.

20. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se incrementa 5 pulgadas más que el doble del lado del cuadrado, y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye en 7 pulgadas, el área del rectángulo resultante supera en 55 pulgadas cuadradas al área del cuadrado inicial. Halle la longitus del lado del cuadrado.

247

Respuesta a los problemas de número impar:

1) 7;8 3) 9;12 5) 5;13 7) 6;11 9) 6;8 11) 12;18 13) 15 miembros 15) 6 hrs.

17) a = 9 pies, b = 21 pies 19) 8 pies

248

ANEXO

A P R E N D I E N D O A D E S P E J A R

I. Resuélvase las ecuaciones siguientes para la variable indicada.

1) Despéjese a

3

3

3

3

3

2) Despéjese r

1

1

1

249

3) Despéjese b

2

2

2

2

4) Despéjese s

5) Despéjese r

3 4

34

34

250

6) Despéjese r

4

4

4

4 4

4 4

4 4

4 4

4

2

7) De la ecuación de la constante universal de los gases (R); despejar la presión (P):

8) De la formula de fuerza gravitacional (F), despejar masa m

′

′

′

251

′

9) De la formula de distancia (d), despejar aceleración (a):

12

12

2

2

10) De la formula de fuerza recuperadora de un Movimiento Armónico Simple (MAR), despejar T:

4

4

4

4

Simplificando:

2

252

EJERCICIOS

a) De la formula de aceleración (a) , despejar v

b) De la ecuación de dilatación lineal; Longitud final L es igual a longitud inicial L mas el coeficiente de dilatación térmica (α) por el diferencial de temperatura t t ; despejar la temperatura final t :

c) De la ley de Coulomb, despejar la distancia r:

′

d) De la relación de resistencia en paralelo, despejar la resistencia 1 1 1

e) El área de un cilindro está dada por 2 . Resuelva para h y r.

f) El nivel de energía de un objeto es . Resuelva para la

variable m.

g) La fórmula que mida la velocidad de oscilación de una masa en un resorte es:

Donde k, es la constante del resorte. A es la amplitud o desplazamiento máximo de la masa, x es la distancia a la masa que se mueve. Despejar A.

h) La formula , aparece en el estudio de la mecánica de

fluidos. Despeje para la variable r y .

Documents

Álgebra. Mora, Clemente