Algebra IV Bim

ALGEBRA IV BIM.

TRILCE PRIMARIA

LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616

ALGEBRA

Í n d i c e

Pág.

å Multiplicación de un monomio por un polinomio55

å División de un polinomio entre un monomio....59

å Notación polinómica - Valor numérico de un polinomio.....................................................63

å Resolución de ecuaciones con coeficiente entero67

å Resolución de ecuaciones con coeficientefraccionario......................................................71

å Repaso de ecuaciones I....................................73

åRepaso de ecuaciones II 75

COLEGIO TRILCE Página 2

ALGEBRA

Para poder reducir o simplificar expresiones de la forma: a . (b + c)

se hace uso de la Propiedad Distributiva:

a(b + c) = ab + ac

además de considerar:Ley de S ignos:

(+ )

(+ )

( - )

( - )

.

.

.

.

(+ )

( - )

( - )

(+ )

=

=

=

=

+

-

+

-

• Ejemplos

Efectuar cada caso:

1. 2x(x + 2y)

2x ( x + 2y )1 1 1 1=

2x + 4xy2 =

Recuerda que: x

tiene características: x + 1 1

2. -3x y (x - y)2 3 3

-3x y ( x - y )2 3 31 1 1=

-3x y + 3x y5 3 2 4=

Recuerda : x .x = x

(busca bases iguales)

( - ) . ( - ) = +

a b a + b

Ahora con tu ayuda:

3.

2x ( x - 3x - 2) = 2x ( x - 3x - 2 )4 5 2 4 5 2

= x - x - x 4


Conclusión:

* Si se multiplica dos expresiones del

mismo signo se obtiene siempre "+".

* Si se multiplica dos expresiones de signos contrarios, se obtiene siempre "-"

ALGEBRA

4.

-3x (2x - 5x + 1) = -3x (2x - 5x + 1)4 5 4 5

= - x + x - x

5.

x y z (xyz - 2x y z) = x y z (x y z - 2x y z )4 2 3 2 4 4 4 2 3 2 4 2

= x y z - x y z

AHORA HAZLO TU

I. Efectúa cada uno de los casos en tu cuaderno, si es posible simplifica cada

expresión:

1. 4(5x + 3) 8. 4xy3(x7 + 2x4 - 3x7 + x4)

2. -3(5xy - 2) 9. -x4y(x4 - 5x3 + y3 + 2x4)

3. 7x(x2 - yx2) 10. 3x2y3(x3 - z4 + x3)

4. -3x2y3(x3 - y2) 11. 2x2y2(x2 + x2 + y2)

5. 4x2(x3 - x7 + 2x4) 12. -5xy(xy - 3xy + 5x2y)

6. -3xy2(x - y + 2xy) 13. 2x2y3(3x3y - 2x4y3)

7. 5(x + 2y - 3z) 14. -5x4(2x2 - 3x3 + 5x3)

II. Reduce en cada caso en el cuaderno:

1. P(x) = 2x(x2 + 1) - 2x3

2. G(x) = 3x2(x - 1) + 3x2

3. F(x) = -5x(2 - 3x) + x(10 - 6x)

4. E(x) = 7x3(x2 - x4) + x4(7x3 + x)

5. M(x) = 3x4 - 5x(x2 + x3) + (3 + 2x4)

III. Desafíos

1. Simplifica: Q(x) = 3x(x2 + 2x) + 5x(5x - 3x2)

2. Simplifica:


ALGEBRA

Q(x) = x(7x - 5) + 7x2(8 + 3x) + 5x

3. Simplifica y luego halla: P(x) + Q(x)

si: P(x) = 3x(6x - 8) + 4x(9 - 2x) y Q(x) = 5x2 + 8(3x2 - 2x)

4. Calcula: P(x) - Q(x)

si: P(x) = 3x3 + 7(x2 + 5x3) y Q(x) = 10x2(5 - 3x)

5. Si: R(x) = 7x3(5x3 - 3) + 4(2x6 - x3)

halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.

6. Dado: A(x) = (2x2 - 3x3)7x y B(x) = (5x3 - 4x2)8x

calcula: A(x) + B(x)

7. Halla el grado absoluto (GA) del polinomio simplificado, si:

P(x) = 7x2(5x3 + 8x4) + 8x5(x2 - 3x3)

8. Calcula el grado relativo con respecto a "y" del polinomio simplificado

en:P(x,y) = 4x2y3(y2 - 2x2y5 - 8x) + 7y8x4

9. Dado el polinomio: P(x;y;z) definido como:

P(x;y;z) = 8a3b4x3y4z5 - 4b4a3z5x3y4

encuentra:

a. GA = b. GR(x) = c. GR(y) =

d. GR(z) = e. Coeficientes =

10. Halla el valor numérico (V.N:) de P(2); si: P(x) = 7x(x2 - 3x) - 4x3 + 21x2

+ 5x(2x - 3x2)

(Sugerencia: primero reduce el polinomio)

11. Representa algebraicamente el perímetro (P) de cada figura que se muestra a continuación:

a.


4x + 8

12x - 5

3x + 4

P = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

ALGEBRA

b.

P = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2x + 5

2x + 5

c.

P = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 + 3x

2 + 3x

5x - 1

12. Halla la expresión algebraica que represente el área (A) de cada figura:

a.

A = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2x

2x

b.

A = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4x

3xy

c.

A = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

4x

3x2


ALGEBRA

d.

A = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

10xy

12xy

9xy

4xy

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del

polinomio entre el monomio. Además se debe considerar:L e y d e S i g n o s :

( + )

( + )

( - )

( - )

( + )

( - )

( - )

( + )

=

=

=

=

+

-

+

-

* Ejemplos

Efectuar cada caso:

1.

4484

8

xxx

x

Recuerda que:

mnm

n

xx

x

2.

356

9

3

8

63

98yx6

y

y.

x

x.

424

yx4

yx24

(Se trabaja con los que tienen la misma variable)

3.

651

7

1

676

yx8y

y.

x

x.

432

xy4yx32

4.104

7

8

4

4

5

9

745

849

zyx5z

z.

y

y.

x

x.

420

zyx4

zyx20

(Recuerda que: y0 = 1) î -5x4z


Conclusión:

* Si se dividen dos expresiones del

mismo signo, el resultado siempre es

"+"

* Si se dividen dos expresiones de signos contrarios, el resultado siempre es "-"

ALGEBRA

5.

(32x - 4x - 12x ) (4x ) = 8x - x - 3x8 6 5 4 4 2

6.55

58

55

56

55

75

55

85675

yx12

yx24

yx12

yx12

yx12

yx36

yx12

5yx24yx12yx36

= 3y2 - x - 2x3

AHORA HAZLO TU

I. Reduce cada uno de los siguientes casos en tu cuaderno, si es posible simplifica cada expresión.

1.54

87

yx8

yx16

3.64

8576

yx4

yx32yx12

2.26

39

yx3

yx15

4. (16x6y6 - 36x9y5) (4x5y5)

5.810

8109141013

yx3

yx9yx3yx12

6.985

108591061098

zyx100

zyx300zyx300zyx200

7.85

146

35

96

yx8

yx32

yx12

yx24

8. (16x4y9 - 32x6y9) (4x3y8)

9. (324x9y8 - 42x6y10) (-6x5y8)

10.85

85968596

yx2

yx50yx2yx44yx20

II. Desafíos


ALGEBRA

1. Simplifica: x2)x3x(x3)x3x5(x5 22

2. Simplifica: x5x5

x7)x38(x7

7)7x7(x 2

3. Halla el grado absoluto del polinomio simplificado.

2

4332

)x(x2

)x5x7(2)x2x3(x4P

4. Si: x2xy30yx2xy36yx18

P242242

)y;x(

calcula: P(3;2)

5. Indica la suma de coeficientes del polinomio simplificado, si:

222

433866433

)z;y;x(zyx3

zyx6)zyx3zyx(3P

6. Calcula "A(x) + B(x)", si:

2

322

)x(x4

)x5x3x4(x8A

3

3245

)x(x3

)xx2x4(x6x3B

7. Halla el Valor Numérico (V.N.) de P(1;0); si:

55

10106886

)y;x(yx6

yx6yx36yx18P

8. Dado el polinomio P(x;y;z) definido como:

x3x7)xx(3

zyx60zyx100yx50P

22

10101068844

)z;y;x(

calcula:

a. GA = b. GR(z) = c. GR(y) =

d. GR(x) = e. Suma de coeficientes =

9. Calcula el grado relativo respecto de "x", del polinomio simplificado, si:


ALGEBRA

2

242343

)x(x4

x16x8)x2x3x(8x16P

10. Si: )x5x5x10(x15

)xx5(4)3x5(x7R

2222

3633

)x(

halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.

HABILIDAD OPERATIVAReemplaza para cada caso: x = 5; y = 2; z = 3 y obtén el valor mentalmente:

a. 2zyx

î Rpta.: _______________

b. 2x - 3y - z î Rpta.: _______________

c. x2 - y4 î Rpta.: _______________

d.z2y

4 î Rpta.: _______________

e. x2 + y2 + z2 î Rpta.: _______________

f.2

22

y

zx

î Rpta.: _______________

g. 6yz

10xy

î Rpta.: _______________

h. 2x + 5y - 3xy î Rpta.: _______________


ALGEBRA

i. 5x2

13yz 22

î Rpta.: _______________

NOTACIÓN POLINÓMICA

Un polinomio cuya única variable es "x" puede ser representado así: P(x)

Se lee: "P de x" o "P en x"

Significa: Polinomio cuya única variable es "x"

Por lo tanto:1. M(x;y) = -2x4y5

será un monomio de variables: "x" e "y"

2. P(x;y;z) = 3a2bx4y5z3

será un monomio de variables: "x", "y", "z"

Nota: "a" y "b" se llaman constantes y forman parte del coeficiente del monomio.

3. P(x) = 3x4 + 2x3 - 2x2 + x - 7

será un polinomio de cinco términos, cuya variable es "x".

4. P(x,y) = -x2 + y3x4 - 7x2y7 - m

será un polinomio de cuatro términos cuyas variables son "x" e "y"

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO (V.N.)

Se llama así al número que se obtiene al reemplazar su variable o variables,

por los valores numéricos que se dan.

Ejemplo:

a. Si: P(x) = 3x2 + 1; hallar P(2)

Resolución: como: P(x) = 3x2 + 1

entonces: P(2) = 3.(2)2 + 1 = 13


ALGEBRA

b. Si: P(x;y) = -x2y + 3x; hallar P(1;2)

Resolución: como: P(x;y) = -x2y + 3x

entonces: P(1;2) = -(1)2(2) + 3(1) = 1

c. Si: M(x) = 7b2x3; hallar: M(5)

Resolución: como: M(x) = 7b2x3

entonces: M(5) = 7b2(5)3 = 875b2

AHORA HAZLO TU

1. Sean los polinomios:

P(x) = 2x2 - x + 1

Q(x) = x + 3

H(x) = 2x - 3x2

calcula cada caso:

a. P(2) = b. Q(-1) =

c. H(2) = d. A = P(1) + Q(1)

e. B = Q(6) - H(3)

Ahora en el cuaderno:

2. Si: P(x) = 3x - 4; halla: P(0) + P(2) + P(4)

3. Conocido: F(x) = 5x - 3; calcula: F(3) + F(1)

4. Si: Q(x;y) = 2xy - y2, calcula: Q(3;2)

5. Sabiendo que: M(x) = 3x2 - x + 1 y N(x) = 5x - x2 + 3, calcula: M(3) + N(4)


ALGEBRA

6. Si: P(x) = 3x2 - x - 3 y Q(x) = x2 - x + 1; calcula: P(3) + P(1) - Q(3)

7. Sabiendo que: G(x;y) = 2x + xy - y2

calcula: G(0;1) + G(1;2) + G(-1;-1)

8. Si se sabe que: P(x) = 2x - 3 y G(x) = 3x + 2

calcula: M(P(1) + P(2)), donde: M(x) = x

9. Dado: H(x) = 3x - (x - 2)2; halla: H(4) - H(12)

10. Para qué valor de "n" se cumple que: F(0;3) = n + G(2;5)

donde: F(x;y) = x10 + y; G(x;y) = 3x - 5y

11. Sabiendo que el monomio: M(x;y) = 3xn + 1ym + 2

tiene grado relativo respecto de "x" igual a 6 y grado relativo respecto de

"y" igual a 9. Halla "m + n"

12. Se sabe que el monomio: N(x;z) = 25xa + 2z2a - 1

es de grado relativo respecto de "x" igual a 12. Halla el grado relativo

respecto de "z".

13. Sabiendo que el polinomio: P(x) = 2xn + 3 + xn + 2 + x

es de grado absoluto igual a 5, calcula el valor de "n".

14. Halla el valor de "a + b" si: GR(x) = 8 y GR(y) = 6, si:

P(x;y) = 2xa + 2 + 3xy3 + b

15. Si el polinomio: P(x) = 3(x2)3(2xn)

es de grado relativo respecto a "x" igual a 13, halla: 2n + 6.


ALGEBRA

* Ecuación

Es una igualdad condicional que presenta una o más incógnitas.

Solución: Valor que verifica a toda la ecuación.

* Ejemplo:

Sabiendo que la solución de la ecuación en "x" es 3, calcular "a"

2(2a + x) = -[-(3a - x)] + 4

Resolución:Del dato: x = 3, ahora reemplazamos en la ecuación:

2(2a + 3)

4a + 6

4a - 3a

a

=

=

=

=

-[ - ( 3a - 3) ] + 4

3a - 3 + 4

-3 + 4 - 6

-5

* Ahora para resolver una ecuación se trabaja:

- Primer paso

Se trabajan los paréntesis, llaves, corchetes.

- Segundo paso

Se transponen términos (hacia el mayor)

- Tercer Paso

Se reducen términos semejantes.

- Cuarto Paso

Se despeja la incógnita.

AHORA HAZLO TU

I. Resuelve en tu cuaderno

1. 3x + (5 - 2x) + 4 = 6


ALGEBRA

2. 4x - (5 - 7x) - 6 = 11

3. -3x + 2 - (x + 3) = -5x + 4

4. 4 + 5x - (3 - 3x) = 6x - 7

5. 8 - 5x + 3(2 + x) = -(x + 6)

6. 9 - 3x + 2(3 - x) = -5(x + 4) - x

7. 5 - (3y - 6y - 8) - 7y = 2y + 16 - 9

8. 3(y - 4) = (3y - 5 - 4y) - (2 - 5y + 10)

9. 2m - (3 - 9m + 8) = 35 - (3m - 62 + 4m)

10. 8 - (7m - 4) - 36 = -5m - [4m - (8 - 2m)]

11. 3(x + 1) - 5(x + 5) = 4(1 - 2x) - 2(x - 3)

12. 5z - 7(z - 1) = -{2(z - 3) + z}

13. 3(x + 6) + 3 = 3 + 5(x - 4)

14. 11 + [3(x + 2) + 4] = [6(-2x - 2) + 1] - 13

15. 4 + 12(2x + 1) = 2 + 3(-2x + 8)

II. Resuelve los siguientes problemas:

1. Si: x = 3; es la solución de la ecuación: 3(x + a) - (5x + 2a) = 8

calcular "a"

2. La solución de la ecuación en "x": 2x - a + (5x - a) = 3x - a; es 1

calcular "a"

3. Hallar "a", si la solución de la ecuación en "x": 4 - (5x - 3a) = 3 - 4(x +

a)

es -2

4. Calcular "m" si la ecuación en "x": 3(x - 4m) + 4m = 6x - 7m

tiene como solución: x = 4

III. En cada caso calcular "x"


ALGEBRA

1. 1x1x4

8

x26x5

x4

31x4

8

x26x5

x4

î x = __________

2. x94x5

x4

x36

3x4x5

x4

6x3

î x = __________

3. x5

4x7

1x38

x4

x5

4x7

1x31x7

x4

î x = __________

4. !Desafío!

1

6x3

x28

20x5

1x)4x(5

x2

6x3

î x = __________

recuerda que:

ab

ba

1

Para resolver este nuevo tipo de problemas se trabajará:

â Primer pasoSe calcula el m.c.m. de los denominadores.

â Segundo pasoSe multiplica a cada uno de los términos por el m.c.m.

â Tercer Paso


ALGEBRA

Se reducen términos semejantes (transponiendo términos).

â Cuarto PasoSe despeja la incógnita.

AHORA HAZLO TU

I. Hallar el valor de "x" en cada caso:

1.1

4x

25

6x

2. 67

2x

3x2

3.1x

34

3x

21

2x

4.x2

41

4x3

31

3x2

5.5

51

5x2

6.x

42x

31

3x

7. 41

2x3

21

3x4

8.0

41

21x3

9. 41

12x

45

x

10.2

61x

41x

11.x2

3x

61x6

12.0

47x5

33x4

13. 47

41

22x

1x

14.0

48x

36x

15. 310x2

32

6)4x(5

3x

16. 4x313

32x

29x2

17. 310x4

612x5

27x3

18. 45

3x4

43

3x2

19. 37x2

24x3

9x2


ALGEBRA

Resolver cada caso en tu cuaderno:1. 3 - (x + 4) + x = 2x - 3

2. 16 - (3x + 9) + 4x = 36

3. 3x - 3(x - 4) = 5 - x

4. 16 - 8x + 4(x - 6) = -(2x - 3) + [ - (x + 1) + 6]

5. 12x - 14(x - 1) = -6(2x + 3) + 9x

6. 4(x - 1) + x - 3 = -2(x + 4) + 6(x - 1)

7. 3(2x - 1) - 2(3x - 1) = x - 16

8. 2(3 - x) + 5 = 7(5 - x) + 4x

9. 10x - {2x - (4x + 6)} = 7(6 + x) + 4x

10. 3(x - 4) + 5(3 - x) + x = 24

11. 2(x - 6) - 3(x - 4) = 4x - 25

12. x - 2(x - 3) + 3(x - 4) = 4(5 - x) + 10

13. 4x - 11 + 2(x - 3) - 6x = 3x - 2

14. x + (x + 1) + 2(x + 1) + 3(x + 1) = 6x + 14

15. -13x + 6 + 4(x - 1) = 3 - (x - 4) - 8x

16. 12x - 12(x - 4) + 3(2x - 6) - x = 0

17. 5x - 6(x - 4) - 2(x + 1) + 5 = 0

18. - {x - 2(2x - 4) + 3(x - 3)} = 1 + x

19. 10x - {4x - (5 - x)} + 3 = x - 16

20. 3x - 6 + 4(x - 2) + 5 = -(x - 4) + 23

21. El doble de mi edad aumentado en 32 es igual a restar 98 de 16.


ALGEBRA

22. El número de monedas que tengo es igual al doble de las que tuve ayer. Si

entre los dos días tuve 48 monedas, ¿cuántas tengo hoy?

23. Alfredo posee 32 láminas menos que Lucho pero Pepe el triple de Lucho. Si

entre los tres tienen 320 láminas, ¿cuánto tiene cada uno?

24. Si: x = 1; es la solución de la ecuación en "x":

3x - (2x + a) + 3a = 2a + 5x

calcular "a"

25. Sabiendo que: x = 8; es la solución de la ecuación en "x":6x - 4a + (3 - 2a) = 5(x - a)

26. Calcular "x".

4x3

12

3x6

80x3

4x3

12

3x6

x13

î x = __________

27. Resolver: 4x3

12

3x6

80x3

4x3

12

3x6

x13

î x = __________

28. Hallar "x".

x784

x412

x36x4

x6

x784

x2

x36x4

x6

î x = __________

Resolver cada ejercicio en tu cuaderno:


ALGEBRA

1. 32

31

2x

11.

35

x62

x5

2. 21

2x

2x3 12.

25x

41x3

3. 3x

21

6x

13. 2

3x5

32x

4.

15x

3x1

14. 21x

32

3x

5.

x14

x28

15.

x23

4x

6. 32

131

3x2

16.

x32

1x3

7.

x2x

215

17.

2x3

1x2

8. 32x

36x2

18.

x16

1x5


ALGEBRA

9.

25x

72x

19. 43

4x

32

23x

10.

3x3

1x2

20.06

32

x43

51

5x2


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Algebra IV Bim