Algebra i Bim

ALGEBRA. I BIM.

TRILCE PRIMARIA

LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616

ALGEBRA.

Í n d i c ePág.

...............................................Simbología algebraica 41

...........................................Expresiones algebraicas 45

..........Términos semejantes con coeficiente natural 49

.. .Términos semejantes con coeficiente fraccionario 51

......................................................................Repaso 53

.......Reducción de términos semejantes con signos

...........................................................de agrupación 55

.Operaciones combinadas con términos semejantes 57

COLEGIO TRILCE Página 2

ALGEBRA.

Aquí tienes algunos ejemplos:

1. P(x;y)

= x2 + y2 + 25

- Las variables son: x, y

- El polinomio tiene 3 términos algebraicos.- P

(x;y) es una notación matemática.

2. M(x)

= 5x2

- La variable es "x"

- El coeficiente es 5.- M

(x) es una notación matemática.


SÍMBOLO SIGNIFICADO

× ; • ; ( )

( ) ; [ ] ; { }

M (x;y) = 2xy2

P(x) = x + 2x + 12

x

Operadores de la m ultip licación.

Operadores de la d ivisión.

Operador radical.

S ignos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves respectivam ente.

M onom io de variables "x" e "y".

Polinom io de variable "x".

Variable, es decir letra que puede tom ar variosvalores.

ALGEBRA.

EL ÁLGEBRA SEGÚN ISAAC NEWTON

Isaac Newton (1 642 - 1 727) consideraba al Álgebra como una extensión de la

Aritmética. Esta rama de la Matemática como expresión simbólica y de gran

perfección operativa tiene sus orígenes en el siglo XVII d.C.

EL ÁLGEBRA PARA GAUSS

Niels Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en Álgebra siendo

muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la

ecuación: xn - 1 = 0 y la división de la circunferencia en partes iguales. Tres

años más tarde demostraba el teorema fundamental del Álgebra, dando en

1815; 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones. Recordemos que la primera

formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes. Para la

demostración de este teorema necesitó construir los campos de desarrollo de

los polinomios.

REGLA DE LA COSADurante muchos siglos el Álgebra se llamó "Regla de la Cosa", y quiénes la cultivaban recibieron el nombre de "Cosistas".

Hace cerca de 4 000 años ya se daban problemas que nosotros resolveríamos ahora por medio de una ecuación algebraica; es así como en el Papiro de Rhind

se encuentra el siguiente problema: "MONTON, sus dos tercios, su mitad, su séptima parte, total 33". En este problema MONTON se refiere a la incógnita

(×), es decir, al número que satisface las condiciones del problema.


ALGEBRA.

Historia del ÁlgebraEs la parte de la Matemática que estudia las cantidades de la forma más

general posible.

En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética, más

tarde se separó de ella. Ésta es la razón por la que en gran parte de la

literatura científica a la hora de estudiar ambas ramas se hace de una manera

conjunta.

El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de

contar objetos.

¿En qué se diferencia el Álgebra de la Aritmética?

El Álgebra y la Aritmética se diferencian en que la Aritmética se representa por números, mientras que el Álgebra está representada por letras además de números.

Las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo fueron hacer marcas en troncos de los árboles, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían. El origen del Álgebra es posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara un concepto básico de Álgebra.

Así el Álgebra fue expandiéndose por todo el mundo, ahora conoceremos algunas escuelas donde difundieron el Álgebra.

1. La Escuela de Bagdad

Los árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra. A fines del

siglo VIII floreció la Escuela de Bagdad, a la que pertenecían: Al Juarismi; Al

Batani y Omar Khayyan. Al Juarismi, persa del siglo IX escribió el primer

libro del Álgebra, y le dio nombre a esta ciencia. Al Batani sirio (858 - 929),

aplicó el Álgebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan, persa del

siglo XII, conocido por sus poemas escritos en "rubayat", escribió un

Tratado del Álgebra.

2. El Álgebra en el antiguo Egipto


ALGEBRA.

En Egipto, encontramos los primeros vestigios de desarrollo de una ciencia

matemática que debido a las inundaciones del río Nilo no llegaron a

perfeccionar el Álgebra.

En el papiro de Rhind, existe el más antiguo y valioso documento

matemático que presenta problemas y soluciones de ecuaciones de

segundo grado.

PRÁCTICA Nº 1

I. Completar correctamente:

1. P(x;y) = 7x9y6 2. M(y;z) = 3x9y4z3

Variables: ______ Variables: ______

3. P(a;x) = ax2 + a2x + a3 4. N(x) = a2b3x4

Variables: ______ Variables: ______

5. La operación de multiplicación se puede representar de tres formas que son:

× se llama __________________; ejemplo: _______ × _______• se llama __________________; ejemplo: _______ . _______

( ) se llama __________________; ejemplo: ( ) ( )

6. Los signos de agrupación son:

( ) se llama _____________________[ ] se llama _____________________{ }se llama _____________________

II. a. ¿Cuál es el número que aumentado en 3 resulta 8?

En el enunciado anterior la incógnita es el: ___________________

b. La edad de María disminuido en 4 es 6.

En el enunciado anterior la incógnita es la: _______________

c. Si 4 kilogramos de azúcar cuesta 10 nuevos soles, ¿cuánto costará un kilogramo de azúcar?

En el enunciado anterior la incógnita es: _______________________


ALGEBRA.

d. Determinar el tiempo que demora un auto en recorrer 20 kilómetros, si se sabe que su velocidad es de 10 kilómetros por hora.

En el enunciado anterior la incógnita es: ___________________

La incógn ita se puede reem plazar porcualqu ier variab le ( letra, com o por ejem plo "x")

CARACTERÍSTICAS FÍSICAS:

Notación: Es la representación que nos indica las variables de la expresión matemática.

R (x) = -3x6

notación

Variable: x

R (x; y) = - 3x y z4 5 4

notación

Variables: x, y

Ejemplos:

• F(x;y;z) = 4x9y7 + x8z4 • R(m;n;p) = am2 + bn2 + cp3

variables: ______________ variables: ______________

• H(a;b) = ax3 + bx2 + ab

variables: ______________

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es el conjunto de números y letras que se encuentran relacionados por los

signos operativos de multiplicación, división, potenciación y radicación.

• Partes de un término algebraico


ALGEBRA.

M (x) = - 5 x4

signo

partenum érica

(coeficiente)

parteliteral

exponente

variab le

Completar:

• M(x;y) = -7x3y4 Parte literal: __________

Parte numérica: __________

Variables: __________

Exponentes: __________

• R(x;y) = -4x6y11 Parte literal: __________Parte numérica: __________Variables: __________Exponentes: __________

CLASIFICACIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOSEl término algebraico se clasifica en:

1. Término racional: Es cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros y pueden ser:

a. Término Racional Entero: Es cuando todos los exponentes de sus variables son enteros no negativos.

b. Término Racional Fraccionario:Es cuando al menos un exponente de sus variables es entero negativo.

2. Término irracional: Es cuando al menos un exponente de una de sus variables es fraccionario.

Ejemplos: Clasificar los siguientes términos algebraicos:

• P(x;y) = 4x4y3 ______________________________

• F(x;y;z) = 3x9y6z-2 ______________________________

• R(x;y) = -4x1/2y-3 ______________________________

• A(a;b) = ______________________________

• B(m;n) = ______________________________


ALGEBRA.

Recuerda: ¡En teros no negativos sign ifica

m ayo r o igual a cero !

EXPRESIÓN ALGEBRAICAEs el conjunto de números y letras, relacionados por los signos operativos de adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Ejemplo: • P(x;y) = 3x2 + 4y3 + 2xy tiene 3 términos

•42 x

31

x2x3)x(R tiene ____ términos

• P(x;y;z) = 932 xz5yx3 tiene ____ términos

Ejemplo: P(x;y) = 3xy + 2x + 6

En esta operación algebraica existen tres términos algebraicos, donde:

• "3xy" : es el primer término, siendo "3xy" el producto de la constante 3

con las variables "x" e "y".

• "+ 2x" : es el segundo término, siendo "+ 2x" el producto de la constante

+ 2 por la variable "x".

• "+ 6" : es el tercer término, siendo "+ 6" una constante.

• Además P(x;y) es la notación matemática.


ALGEBRA.

O bservaciones:

1. Recordar que:

1x = x

1x y = x y2 3 2 3

S i algún térm ino no está prece-

d ido por n ingún s igno se supone

que tiene el s igno ( + )

2.

E jem plo : 3x

6xy

7x y

ab c

3 2

2 3

+ 3x

+ 6xy

+ 7x y

+ ab c

3 2

2 3

AHORA HAZLO TÚ

1. En cada una de las siguientes expresiones algebraicas señale su respectiva parte literal:

• x2y • 3xy2z3 • 5z8

• x3y4z5 • 100400

x

2. En las siguientes expresiones algebraicas, diga cuáles son los exponentes de cada una de sus variables:

• x2 • y3 • x3y4

• 5x4z5 • z8 • 7xyz2

• 100x15z

3. En cada una de las siguientes expresiones, indique el significado de sus

respectivos coeficientes:

Ejemplo: 3a2 = a2 + a2 + a2

• 2x • 4y2 • 3xy

• 5x2y3 • 6z • 7x5y6

• 6xy3

4. En cada una de las siguientes expresiones, indique el significado de sus

respectivos exponentes:


ALGEBRA.

Ejemplo: x2y3 = x.x.y.y.y

• x3 • x4y3z5 • x5yz

• z3y3x3 • z7 • x6y6

• 83x4y3

5. En cada uno de los siguientes términos algebraicos señale sus elementos:

• + 7x3 • - 8y5 • - z4 • x

6. Clasifica los siguientes términos:

- P(x;y) = -4x7y-3 ______________________________________

- R(x;y;z) = -5x9z4 ______________________________________

- F(x;y) = 7x1/2y4 ______________________________________

- Q(x;y) = 3x9y-2z1/2 ______________________________________

- H(x;y) = 4x3y4z-2 ______________________________________

COEFICIENTE NATURAL

Se dice que dos o más términos son semejantes con coeficiente natural cuando

tienen las mismas partes literales (las mismas variables afectadas a los

mismos exponentes).

Ejemplo:

a) 3a2b3x5 ; 5a2b3x5 ; 2a2b3x5

b) 9x2m4 ; 6m4x2 ; 3m4x2

c) 5x4 ; 7x4 ; x4 ; 4x4

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES


ALGEBRA.

Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos

mediante un solo término, mediante la adición o sustracción.

Ejemplo:

a) 2a + 5a = 7a

b) 8b - 3b = 5b

c) 5x2 - 2x2 = 3x2

R ecuerda:* Cantidades del m ism o signo se sum an y se po ne e l

m ism o s igno.E j .: -7 - 4 = -11

* Cantidades de signos co ntrarios se restan y se pone el signo del m ayor.E j .: -9 + 7 = -2

AHORA HAZLO TU

A. Reducir los siguientes términos semejantes:

1. x0 + x0 + x0 + x0 11. x5y3 + 2x5y3 + 4x5y3

2. x + x + x + x + x 12. 7ab + 6ab + 3ab

3. 2x0 + 3x0 + 5x0 + x0 13. 8nb2 + 15nb2 + 6nb2

4. 3x + 7x + 2x + x 14. 9q2t + 6q2t + 5q2t

5. +3x + 5x + 10x + 50x 15. 8xy + 2xy + xy

6. +x2 + 2x2 + 3x2 + x2 16. 8y2z4 + 2y2z4 + 5y2z4

7. +5x3 + x3 + x3 + x3 + 3x3 17. 30ab + ab + ab + 8ab

8. x5 + 3x5 + x5 + 7x5 18. 7xy2 + 18xy2 + xy2


ALGEBRA.

9. 100x6 + 200x6 + x6 + 2x6 19. 2a2b2 + a2b2 + 7a2b2 + a2b2

10. 8m + 16m + 7m 20. 28nb + 7nb + 12nb + nb

B. Reducir los siguientes términos semejantes:

1. x + 2x - x + 3x - 3x 11. 3q + 5a + 10a - 2q - 3a

2. 3x - 3x + x - 3x 12. 17ab - 3ab + 5ab + 3x + aq

3. 2x2 + 5x2 - 4x2 - x2 13. 28nb + 7nb - 12nb - 3nb

4. 5x2 - 4x2 + 7x2 - 6x2 14. 2b2a - b2a + 3x2y - x2y

5. 6x3 - 6x3 + 13x3 - 2x3 15. 7x + 2pq + 3pq - 7x

6. 5x + 3x2 - 3x2 + 3x 16. 4x2 + 3y2 + 5x2 + x2 - 3y2

7. 7x3 + 3x + 7x - 3x3 - x3 17. z4 + z3 + 2z4 + 3z3 - z3

8. 10x4 - 3x4 + 3x + x4 - x 18. 30x0 + 3x - 26x0 + 3x - x0

9. 6x - 3x + 2x2 +3x + x2 19. axy + 3axy + 3xyz - axy

10. 3m + 2p + m + 2p - m 20. x2y2z2 + 3x2y2z2 + 3x - 2x

Lee y completa:

COEFICIENTE FRACCIONARIO

• Reducción

Para reducir términos semejantes de coeficiente fraccionario se sigue el

mismo procedimiento que para reducir términos semejantes de coeficiente

natural.

Ejemplos: Reducir:


ALGEBRA.

a.x

21

x23

x21

b.

222 x52

x51

x53

luego los 3 términos son semejantes: luego los 3 términos son semejantes

12

+32

+12

x

52

x

35

+15

-25

x2

25

x2

c.x

31

x21

d.

22 x51

x21

12

+ 13

x3 + 2

6x

12

- 15

x2 5 - 210

x2

x

65

2x103

AHORA HAZLO TÚ

A. Reducir los siguientes términos semejantes:

1.x

23

x21

6.

333 x96

x95

x91

2.x

105

x101

x103

7.

4444 x61

x63

x61

x62

3.222 x

51

x57

x54

8.

4444 x103

x101

x101

x102

4.222 x

71

x72

x73

9.

x111

x113

x112

x115


ALGEBRA.

5.555 x

87

x83

x8

16

10.2222 x

123

x127

x127

x121


1.x

31

x21

6.

22 x41

x83

2.x

41

x21

7.

33 x43

x27

3.x

61

x51

8.

33 x91

x35

4.22 x

41

x81

9.

33 x62

x105

5.22 x

101

x53

10.

44 x83

x72

Afina tu destreza a través de estos ejercicios propuestos.

A. Reducir:

1. 5x2 + 3x - 3x2 - x 6.

222 x21

x23

x21

2. 2x2 + 7x - 2x2 - 7x 7.x

47

x41

x43


ALGEBRA.

3. 16x + 3x2 - 8x - 3x + x2 8.x

51

x52

x51

x53

4. 5x3 - 3x3 + 7x2 - 3x2 - 2x3 9.

222 x106

x103

x107

5. 36x0 + 24x - 16x0 - x0 + x 10.333 x

102

x103

x108


1.x

31

x21

6.

22 x51

x108

2.x

21

x53

7.

22 x81

x43

3.x

51

x43

8.

22 x31

x27

4.x

21

x107

9.

33 x41

x103

5.x

41

x62

10.

33 x63

x75

C. Problemas:

1. Si son términos semejantes: xay7 ; x5yb

hallar: b - a

2. Si los términos:

P(x;y) = axa - 1y7

Q(x;y) = bx6yb + 2

son semejantes, calcular la suma de coeficientes.

3. Dados: 3xa + by6 ; 2x10yb + 4

si son términos semejantes, hallar "a"

4. Si se cumple: bx5 + 2xa = 7xc


ALGEBRA.

calcular: a + b + c

CRUCIGRAMA

I. Complete el siguiente divertigrama:

1. Es una de las partes de la Matemática que estudia a las cantidades haciendo uso de números y letras a la vez.

2. Las ....................... se emplean para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas.

3. Términos ................................., son aquellos que tienen la misma parte literal, afectado de los mismos exponentes.

4. Son signos de colección o agrupación:

a) ....................................................b) ....................................................c) ....................................................

Recomendaciones:

* Primero se recomienda suprimir los signos de agrupación.

* En segundo lugar se procede a reducir los términos semejantes.

• Ejemplo 1Reducir:


1 2

4c

3

4a

4b

ALGEBRA.

3x + 5x + ( 7x - 3x - x) [Com o delante del paréntesis hay un signo (+ ) , el

paréntesis se suprim e y los térm inos de su in terio r

conservan su respectivo s igno]

3x + 5x + 7x - 3x - x [Se reduce los térm inos sem ejantes]

11x

• Ejemplo 2Simplificar:

4x + 7x - (4x + 2x - 6x - x) [Com o de lante de l paréntesis hay un s igno ( - ) , el

paréntesis se suprim e y lo s térm inos de su in terio r

cam bian su signo ]

4x + 7x - 4x - 2x + 6x + x [Se reduce los térm inos sem ejantes]

12x

AHORA HAZLO TÚ

1. 2x + 4x + (8x + 3x - 10x) 11. 4a + 3a + (2a - 9a)

2. [3x + 10x - (5x + 2x)] 12. 14b + (21b - 10b)

3. 6x - 3x - (2x + 5x) + x 13. [3c - 2c ] - c + c

4. 15x - 2x - (13x + 10x) 14. 6b3 + [5b3 + 7b3]

5. -(-3x - 5x - 10x) - 12x 15. 6m - (-8m - 3m - m)


ALGEBRA.

6. -(-2x2 - 3x2 - x2) - (-2x2 - 5x2) 16. -(-m - 2m - 8m) - (-4m - m)

7. -(7x2 - x2 - x2) - (-3x2 - 10x2) 17. 18y + (7y - 5y - 2y) - 18y

8. -{-[-(-2x - 5x)]} 18. 7a + (3a - 2a + 5a) - 6a

9. -{-[-(-18x2 - 3x2 - x2)]} 19. 5p3 + 3p3 - [-3p3 - 2p3 + 5p3]

10. +(7x3 - 4x3) - (7x3 - 4x3) 20. 3z - 2z - [-z + 6z]

A. Resolver las siguientes operaciones combinadas:

1. 60 - (8 + 7 + 5)

2. (9 + 5 + 3) + 8

3. 150 - (14 - 6)

4. (8 - 6) + (7 - 4)


ALGEBRA.

5. (8 + 4 + 3) + (6 + 5 + 11)

6. (8 + 7 + 4) - (3 + 9 - 2)

7. 500 - {14 - [7 - (6 - 5 + 4)]}Rpta. 488

8. 856 + {19 - 3 - [6 + (5 - 3) - (2 + 1) + (5 - 3)]}Rpta. 865

9. [8 + (4 - 2)] + [9 - (3 + 1)]Rpta. 15

10. [(6 - 4) - (3 - 2)] - [(9 - 7) - (6 - 5)]Rpta. 0


1. 250x - [(6x + 4x) - (3x - x) + 2x] + {16x - [(18x + 3x) - (12x - 10x)]}

Rpta. 237x

2. 8x + [9x - {6x - (5x - 4x)}] + 14x - {11x - [7x - (3x - 2x)]} Rpta. 21x

3. [(6x - 4x) - (3x - 2x)] - [(9x - 7x) - (6x - 5x)] Rpta. 0x = 0

4. 40y + [25y - (3y + 2y)] Rpta. 60y

5. 60y + [(4y + 2y) - 5y] Rpta. 61y

6. 150y - [(5y - y) - (4y - 3y)]Rpta. 147

7. 250a + [(7a - 2a) + (4a - a) + (3a - 2a)]Rpta. 259a

8. 450a - [6a + {4a - (3a - a)}]Rpta. 442a

9. 520a + [8a - 3a + {9a - (4a + 2a - a)}]Rpta. 529a

10. (150b - 5b) - {14b + (9b - 6b + 3b)}Rpta. 125b

11. 500b - {6b + [(14b - 6b) - (7b - 2b) + (4b - b)]}Rpta. 488b


ALGEBRA.

12. 500x2 - {14x2 - [7x2 - (6x2 - 5x2 + 4x2)]}Rpta. 488x2

13. 856x3 + {19x3 - 3x3 - [6x3 + (5x3 - 3x3) - (2x3 + 1x3) + (5x3 - 3x3)]}

Rpta. 865x3

14. [8x2y + (4x2y - 2x2y)] + [9x2y - (3x2y + x2y)]Rpta. 15x2y

15. a2 + (2a2 - 4a2) - (4a2 - 5a2)

16. -m3 - 2m3 + [3m3 + 5m3 - (2m3 + m3) - 5m3]

17. 2a5 - [8b2 + 5b2 - 4a5 - (2b2 + 3b2)] - (3a5 - 8b2)

18. -3z - [-2z + 8x - 3z] - (4x - 5x + 2z)

19. {2x2y3 - [(3x3y4 - 4x3y4) + (x2y3 - 3x2y3)] - x2y3}

20. -{-3[-6a + 6x + (a - 5x)] - [15a + 10x - 6a - (7x - 6a)]}


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