RAVNINA. PRAVAC I RAVNINA. zadaci 1 od 2

)

1. Zapišite jednadžbu neke ravnine. 2. Nađite jednadžbu ravnine

a) koja prolazi točkom ( i okomita je na vektor 2,3,6 { }5,1,2− , b) koja prolazi točkom ( i ima vektor normale )3,0,4 − kj

rr2−

==

,

c) koja prolazi točkom i okomita je na pravac ( ,8,2− )10−

+=

ttt

34 2

1

3zyx

2

,

d) koja prolazi točkom ishodište i paralelna je ravnini 01=−+− zyx , e) koja prolazi točkom ( i paralelna je s ravninom )5,6,1 −− 0=2+++ zyx , f) koja prolazi točkom ( )3,2,4 − i paralelna je s ravninom 0=1273 −− zx ,

g) koja sadrži pravac i paralelna je s ravninom

−==+=

zty

x

8

3

t

2t017 =8 −+42 + zyx ,

h) koja prolazi kroz točke i ( )1 ,,1,0 ( )1,0,1 ( )0,1,1 , i) koja prolazi kroz ishodište, ( ) i 6,4,2 − ( )3,1,5 , j) koja prolazi kroz točke ( ),2,1,3 − ( )4,2,8 i ( )3,2,1 −−− .

3. Nađite sjecište pravca i ravnine (probodište)

a) ,

==+=

tztytx

32

101=−++ zyx b)

=−=

=

tzty

x

24

5, 052 =−+− zyx

c) ,

=−=+=

tzy

tx121

052 =+−+ zyx d)

==

+

−=

ttt

1

1

zyx

, 0=21 +−= yxz .

4. Nađite vektor smjera pravca koji je presječnica ravnina

=+=−++

001

zxzyx

.

5. Nađite kosinus kuta između ravnina 0=++ zyx i 132 =++ zyx . 6. Točke , , , ( )0,5,2A ( )2,6,1B ( )1,4,1−C ( )3,4,1D određuju tetraedar. Odredite kut između

njegovih strana ABC i ABD .

7. Nađite kanonski oblik jednadžbe pravca koji je presječnica ravnina

=−+−=−−+

0654302

zyxzyx

.

Koliki je kut između tih ravnina?

8. Nađite kanonski oblik jednadžbe pravca koji je presječnica ravnina

=−++=−+−

012012

zyxzyx

.

Koliki je kut između tih ravnina? 9. Nađite parametarski oblik jednadžbe pravca koji je presječnica ravnina

.

=−−−+=

0152

zyxyxz

RAVNINA. PRAVAC I RAVNINA. zadaci 2 od 2 10. Nađite parametarski oblik jednadžbe pravca koji je presječnica ravnina

.

=++−=++

023 0352

zyxzx

11. Nađite jednadžbe ravnina koje se sastoje od svih točaka koje su jednako udaljene od i . ( )0,1,1 ( )1,1,0

12. Nađite jednadžbe ravnina koje se sastoje od svih točaka koje su jednako udaljene od i . ( )1,2,4− ( )3,4,2 −

13. Nađite parametarsku jednadžbu pravca koji prolazi kroz ( )2,1,0 , paralelan je s ravninom

02 =−++ zyx i okomit je na pravac

=−=+=

tztytx

211

.

14. Nađite parametarsku jednadžbu pravca koji prolazi kroz ( )2,1,0 , okomit je na pravac

i siječe ga.

=−=+=

tztytx

2 1

1

15. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkom ( )1,3,2 −A , okomit je na pravac

35

13

23 −

=−+

=− zyx

i siječe ga.

16. Kolika je udaljenost točke ( od ravnine )3,4,1 −− 01632 =++− zyx ? 17. Kolika je udaljenost paralelnih ravnina 12 ++= yxz i 3 0436 =−−+ zyx ? 18. Kolika je udaljenost paralelnih ravnina 0132 =−−+ zyx i 3 0496 =−−+ zyx ?

r19. Kako glasi jednadžba pravca koji prolazi točkom ( )3,2,1 −−M , okomit je na { }3,2,6 −−=a i

siječe 5

32

13

1 −=

+=

− zyx?

20. Odredite kut između pravca

=−−+=−++

01202

zyxzyx

i ravnine koja prolazi točkama ( ),1,3,2 −A

i . ( )0,1,1B ( )1,2,0 −C

21. Odredite ortogonalnu projekciju točke ( )8,2,1T na pravac

=+=−+0

012zyyx

.

22. Za koju vrijednost parametra A je ravnina 0153 =+−+ zyAx paralelna s pravcem

zyx =+=−3

14

1? Odredite ortogonalnu projekciju pravca na tu ravninu.

( )23. Odredite točku N koja je simetrična točki 2,0,1M s obzirom na pravac

11+

532

==− zyx

.

( )24. Odredite točku P′ koja je simetrična točki 1,1,3 −P s obzirom na ravninu kroz točke , ( )1,1,21 −−−T ( )5,1,22 −T , ( )0,1,43 −−T .

25. Izračunajte visinu tetraedra spuštenu iz vrha C tetraedra ABCD s vrhovima ( )1,3,1 −−A , , C , . (uputa: koristite formulu za udaljenost točke od ravnine) ( )8,3,5B ( )5,3,1 −− ( 4,1,2 −D )