Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
Aibės sąvoka ir pavyzdžiai
Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai ma-
tematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadina-
mi aibės elementais. Kai elementas a priklauso aibei A
rašome: a ∈ A. Jei b nėra (nepriklauso) aibei A, rašome
b /∈ A. Pavyzdžiui, 1 ∈ {0,1,3,5} ir 2 /∈ {0,1,3,5}.
Paminėkime gerai žinomas matematikoje skaičių aibes
N = {1,2,3, . . .} – natūralieji skaičiai,
Z = {. . . ,−2,−1,0,1,2,3, . . .} – sveikieji skaičiai,
Q = {m
n, m ∈ Z, n ∈ N} – racionalieji skaičiai,
R – realieji skaičiai.
Realieji skaičiai gali būti pavaizduoti tiesėje: bet kurį realųjį
skaičių atitinka vienintelis tiesės taškas ir atvirksčiai – bet
kurį tiesės tašką atitinka vienintelis realusis skaičius.
Aibės poaibis
Apibrėžimas. Jei visi aibės A elementai yra ir aibės B
elementai, sakome, kad A yra aibės B poaibis ir rašomeA ⊂ B.
Pavyzdžiui,
{1,2,3} ⊂ {−1,0,1,√
2,2,3, π} ⊂ R
Pastebėkime, kad skaičių aibės
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Iš poaibio apibrėžimo išplaukia, kad A ⊂ A, t. y. kiekvienaaibė yra savo poabis.
2
Skaičių intervalai
Intervalai – aibės R poaibiai[a, b] – uždarasis intervalas (atkarpa) –aibė {x ∈ R : a 6 x 6 b};(a, b) – atvirasis intervalas –aibė {x ∈ R : a < x < b};(a, b] – pusiau atvirasis intervalas –aibė {x ∈ R : a < x 6 b};[a, b) – pusiau atvirasis intervalas –aibė {x ∈ R : a 6 x < b}.
Begaliniai intervalai:(−∞, a] – aibė {x ∈ R : x 6 a};(−∞, a) – aibė {x ∈ R : x < a};(b,+∞) – aibė {x ∈ R : x > b};[b,+∞) – aibė {x ∈ R : x > b}.
Pastebėkime, kad (−∞,+∞) = R.
3
Aibių sąjunga ir sankirta
Apibrėžimas. Aibių A ir B sąjunga vadiname aibę(žymime A∪B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso bentvienai iš aibių A, B (t. y. iš elementų, kurie priklauso arbaaibei A, arba aibei B, arba abiems aibėms A ir B).
Pavyzdžiui,
{1,2,5} ∪ {0,1,3,4,5,6} = {0,1,2,3,4,5,6}
Pastebėkime, kad tų pačių elementų du kartus nerašome.Dar susitarkime, kad nėra svarbi aibės elementų tvarka.
Apibrėžimas. Aibių A ir B sankirta vadiname aibę(žymime A ∩ B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso iraibei A, ir aibei B (t. y. iš elementų, kurie priklauso abiemsaibėms A ir B).
Pavyzdžiui,
{1,2,5} ∩ {0,1,3,4,5,6} = {1,5}
4
Tuščioji aibė
Kai aibės A ir B neturi bendrų elementų, jų sankirta irgi
neturi elementų ir vadinama tuščiąja aibe (žymime ∅).
Pavyzdžiui,
{1,2} ∩ {3,4,5} = ∅
(0,1) ∩ (1,1) = ∅
{x ∈ R : x2 + 1 = 0} = ∅
Teorema. Jei A yra bet kuri aibė,
∅ ⊂ A
5
Aibių skirtumas
Aibių A ir B skirtumu (žymime A \ B) vadinama aibė,
sudaryta iš tų aibės A elementų, kurie nėra (nepriklauso)
aibės B elementai.
Pavyzdžiai
{1,2,3}\{2,3,4} = {1}, {2,3,4}\{1,2,3} = {4}
{x ∈ R : |x| > 0} = R, {x ∈ R : |x| > 0} = R\{0}
{x ∈ R : |x| > 0} = ∅
6
Veiksmai su skaičių intervalais
(−∞, a) ∪ [a,+∞) = R
(−∞, a) ∪ (a,+∞) = R \ {a}
(−∞, a) ∩ [a,+∞) = ∅
(−∞, a] ∩ [a,+∞) = {a}
Tarkime, kad a < b. Tada
(−∞, b] ∩ [a,+∞) = [a, b]
(−∞, b) ∩ (a,+∞) = (a, b)
(−∞, a] ∩ [b,+∞) = ∅
8
Funkcijos apibrėžimas
Tarkime, kad f yra taisyklė, kuri kiekvienam aibės A ele-
mentui, priskiria kurį nors vieną aibės B elementą. Rašome
f : A → B. Pavyzdžiui, A = {Jonas,Petras,Birutė} – fir-mos darbuotojų aibė, B = {vadovas,pavaduotojas,referentas}– pareigų aibė. Taisyklė f , kuri nurodo darbuotojo parei-
gas:
f :Jonas → vadovasPetras → pavaduotojasBirutė → referentas
yra funkcija.
Tarkime, kad a ∈ A, b ∈ B. Tada funkciją galima api-
brėžti jos reikšmėmis f(a) = b. Pažymėkime, JJ – Jonas
Jonaitis, PP – Petras Petraitis, JP – Jonas Petraitis, PJ –Petras Jonaitis, v – vadovas, p – patarėjas, r – referentas.
Taisyklė g:
g (JJ) = v, g (JP) = p, g (PJ) = p, g (PP) = r
irgi yra funkcija.
9
Funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritys
Aibė A vadinama funkcijos f : A → B apibrėžimo sriti-
mi, visų reikšmių f(a) aibė vadinama funkcijos reikšmių
sritimi. Paveiksle pavaizduota funkcija
f : A → B, A = {a, b, c, d}, B = {α, β, γ, δ}.
Jos reikšmių aibė yra {α, β, δ} ⊂ B.
10
Funkcijų pavyzdžiai
Dolerio kursas
Surašykime į lentelę Lietuvos banko nustatytus JAV dolerio
kursus [Lt]:
data 2008-11-03 2008-11-09 2008-11-13Lt už $ 2.61480 2.68440 2.73960
data 2008-11-17 2008-11-22Lt už $ 2.71690 2.76050
Turime funkciją L : D → R.
D – datų aibė, R – realiųjų skaičių aibė.
Pateikta lentelėje informacija leidžia sužinoti dienos d dole-
rio kursą k = L(d). Kintamasis d vadinamas nepriklau-
somu kintamuoju, o funkcijos reikšmė k – priklauso-
mu kintamuoju.
11
Funkcijų pavyzdžiai
Paprastųjų palūkanų skaičiavimas
Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) paprastųjų pa-
lūkanų per metus ir pradinis įnašas į banką S0[Lt]. Tada
sukaupta po n metų suma
Sp (n) = S0
(
1 +r
100· n
)
.
Sudėtinių palūkanų skaičiavimas
Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) sudėtinių pa-
lūkanų per metus ir pradinis įnašas į banką S0[Lt]. Tada
sukaupta po n metų suma
Ss (n) = S0
(
1 +r
100
)n.
Taigi abiem atvejais Sp,s : N → R.
12
Funkcijos grafikas
Nagrinėsime skaičių funkcijas, t. y. f : A → B,A ⊂ R, B ⊂ R. Tarkime, kad A yra baigtinis ar-ba begalinis intervalas. Tada aibę A galima pavaizduo-ti skaičių tiesėje 0x (abscisių ašyje), o funkcijos reikšmesy = f(x) vaizduojame vertikalioje (ordinačių) ašyje 0y.Taigi plokštumos taškai, kurių Dekarto koordinėtės (x, y),sudaro kreivę – funkcijos grafiką.
Paveiksle pavaizduotos funkcijų y = x + 1 ir y = x2
grafikai.
13
Kvadratinė funkcija
y = ax2 + bx + c
Diskriminantas D = b2 − 4ac.Lygties y = 0 šaknys (egzistuoja, kai D > 0)
x1,2 =−b ±
√D
2a.
Paveiksle pavaizduotos parabolėsy = x2, y = 2x2, y = −2x3 + 4.
15
Logaritminė funkcija
y = logax, x > 0, a > 0, a 6= 1.
alogax = x
Žymime log10x = lgx, logex = ln x, e = 2,71828 . . ..
Paveiksle pavaizduoti funkcijųy = log2x – (1), y = lnx – (2), y = lg x – (3)grafikai.
18
Funkcijų reiškimas keliomis formulėmis
Tarkime, kad funkcijos f(x) aibrėžimo sritis yra aibė D ir
A ⊂ D. Jei funkcija f(x) reiškiama formule f1(x), kai
x ∈ A ir formule f2(x) priešingu atveju. Tada rašome
f(x) =
{
f1(x), kai x ∈ A,f2(x), kai x ∈ D \ A.
Pavyzdys. Tarkime, kad tam tikra paslauga buvo pasiū-
lyta laiko momentų t1, o laiko momentu t2 ja naudojosi
100% visų vartotojų. Funkcija
L(t) =
0, kai t 6 t1,
100t−t1t2−t1
, kai t1 < t < t2,
100, kai t > t2
gali būti tokios paslaugos tiekimo lygio matematinis mode-
lis.
19
Atkarpomis tiesinė funkcija
Funkcija L(t) vadinama atkarpomis tiesinė funkcija. Josgrafikas pavaizduotas paveiksle.
Uždavinys. Nustatykime laiko momentą, kai paslauganaudojosi 30% visų vartotojų.Sprendžiame lygtį:
L(t) = 100t − t1t2 − t1
= 30
⇒ t = t1 + 0,3 (t2 − t1) = 0,7t1 + 0,3t2.
20
Tiesės lygtis
Tarkime, kad žinomos dvi tiesinės funkcijos y(x) = kx+b
reikšmės y(
x1
)
= y1, y(
x2
)
= y2. Tiesė eina per
taškus A1
(
x1, y1
)
ir A2
(
x2, y2
)
. Tada
x − x1
x2 − x1
=y − y1
y2 − y1
arba
y =y2 − y1
x2 − x1
x − y2 − y1
x2 − x1
x1 + y1.
Taigi
k =y2 − y1
x2 − x1
, b = −y2 − y1
x2 − x1
x1 + y1.
Pavyzdys. Užrašykime tiesės, einančios per taškus A(1,2)
ir B(2,1) lygtį.
Taikome formulę:
x − 1
2 − 1=
y − 2
1 − 2⇒ x − 1 = −y + 2
arba y = −x + 3.
21
Pavyzdys
Akcijos kaina didėjo nuo sausio 7 (12Lt) iki vasario 11 (20Lt),po to mažėjo iki vasario 28 (15Lt). Sudarykime atkarpomistiesinę kainos funkciją k(t). Laiką t matuosime dienų skai-čiais nuo metų pradžios: sausio 7 pažymėkime t1 = 7,vasario 11: t2 = 42 ir vasario 28: t3 = 59. Tada, kait ∈
[
t1, t2
]
, turime tiesės einančios per taškus (7,12) ir
(42,20) atkarpą. Kai t ∈[
t2, t3
]
– per taškus (42,20)
ir (59,15). Taigi pirmuoju atveju
k − 12
20 − 12=
t − 7
42 − 7,
o antruoju –
k − 20
15 − 20=
t − 42
59 − 42.
Užrašome
k(t) =
835 t + 52
5 kai 7 6 t 6 42
≈ 0,2286t + 10,40
− 517 t + 550
17 kai 42 6 t 6 59
≈ −0,2941t + 32,35
22
Apskaičiuokime akcijos kainą sausio 17 ir vasario 21 dieno-
mis.
Sausio 17 yra 17-oji metų diena. Kadangi 17 ∈ [7,42],
gauname
k(17) ≈ 0,2286 · 17 + 10,40 = 14,29[Lt]
Vasario 21 yra 31 + 21 = 52-oji metų diena. Turime
52 ∈ [42,59] ir
k(52) ≈ −0,2941 · 52 + 32,35 = 17,06[Lt]
23
Interpoliacija
Raskime einančią per tris žinomus taškus parabolę
y = ax2 + bx + c.
Tarkime, kad žinomi taškai A1
(
x1, y1
)
, A2
(
x2, y2
)
,
A3
(
x3, y3
)
ir x1 6= x2, x1 6= x3, x2 6= x3. Tada
kvadratinį trinarį galima užrašyti taip:
y(x) = y1
(
x − x2
) (
x − x3
)
(
x1 − x2
) (
x1 − x3
)+
+y2
(
x − x1
) (
x − x3
)
(
x2 − x1
) (
x2 − x3
)+
+y3
(
x − x1
) (
x − x2
)
(
x3 − x1
) (
x3 − x2
),
kuris vadinamas Lagranžo interpoliaciniu daugianariu (po-
linomu).
24
Pavyzdys
Raskime, einančią per taškus (7,12), (42,20) ir (59,15),
parabolę
k(t) =12 (t − 42)(t − 59)
(7 − 42)(7 − 59)+20
(t − 7)(t − 59)
(42 − 7)(42 − 59)+
+15(t − 7)(t − 42)
(59 − 7)(59 − 42)=
=12(t2 − 101t + 2478)
1820−20(t2 − 68t + 413)
595+
+15(t2 − 49t + 294)
884=
= − 311
30940t2 +
22311
30940t +
16453
2210
25
Apskaičiuokime k(17) ir k(52). Turime
k(t) ≈ −0,0101 t2 + 0,7211 t + 7,444
ir
k(17) ≈ −0,0101 · 172 +0,7211 · 17 +7,444 ≈
≈ 16,80,
k(52) ≈ −0,0101 · 522 +0,7211 · 52 +7,444 ≈
≈ 17,76.
26