Embed Size (px)
Citation preview
1 MATRICOS 1
1 Matricos
1.1 Pagrindiniai apibrėžimai
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
= ||aij ||m×n
matrica – skaičių lentelėm – eilučių skaičiusn – stulpelių skaičiusaij – matricos elementasi, j – elemento indeksaipavyzdys(
3 2 0−1
2π 0
)
m = 2, n = 3, a11 = 3, a12 = 2, a13 = 0, a21 = −12, a22 = π, a23 = 0.
1.1.1 Transponuota matrica
transponavimo operacija
A = ||aij ||m×n, AT = ||aji||n×m
pavyzdys(
3 2 0−1
2π 0
)T
=
3 −12
2 π
0 0
m = 1 – matrica eilutė (a1 a2 · · · an)
n = 1 – matrica stulpelis
a1a2· · ·am
(α β γ)T =
α
β
γ
,
α
β
γ
T
= (α β γ)
(AT )T = A
1 MATRICOS 2
1.1.2 Kvadratinė matrica
m = n – kvadratinė matrica (n-tosios eilės)
a11 a12 . . . a1,n−1 a1na21 a22 . . . a2,n−1 a2n. . . . . . . . . . . . . . .
an−1,1 an−1,2 . . . an−1,n−1 an−1,n
an1 an2 . . . an,n−1 ann
a11, a22, . . . , ann – kvadratinės matricos pagrindinė įstrižainėa1n, a2,n−1, . . . , an1 – kvadratinės matricos šalutinė įstrižainė
A - kvadratinė ir AT = A – simetrinė matrica;(1 22 3
)
– simetrinė matrica;
1 2 4−2 3 5−4 −5 0
– antisimetrinė matrica aij = −aji, foralli 6= j.
1.2 Operacijos su matricomis
1.2.1 Matricų sudėtis
Matricų A = ||aij||m×nir B = ||bij ||m×n
sudėtis A +B = ||aij + bij ||m×n(3 2 0−1
2π 0
)
+
(1 4 112
8 2
)
=
(4 6 10 π + 8 2
)
Matricų sudėties savybės:komutatyvumas A +B = B + A
asociatyvumas (A+B) + C = A+ (B + C)
Neutralusis elementas – nulinė matrica O =
0 0 · · · 00 0 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 0
A+O = O + A = A, ∀A
1 MATRICOS 3
1.2.2 Matricos daugyba iš skaičiaus
λ · A = ||λaij ||m×n
5 ·
(3 2 0−1
2π 0
)
=
(15 10 0−5
25π 0
)
asociatyvumas λ · (µA) = (λµ) ·Adistributyvumas:1) λ(A+B) = λA + λB
2) (λ+ µ)A = λA+ µA
Matricų skirtumas: A− B = A + (−1) · B
1.2.3 Matricų sandauga
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2nam1 am2 · · · amn
·
b11 b12 · · · b1kb21 b22 · · · b2kbn1 bb2 · · · bnk
= ||cij||m×k
cij =n∑
s=1
aisbsj , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n
(1 2 34 5 6
)
·
8 910 117 14
=
(1 · 8 + 2 · 10 + 3 · 7 1 · 9 + 2 · 11 + 3 · 144 · 8 + 5 · 10 + 6 · 7 4 · 9 + 5 · 11 + 6 · 14
)
=
(31 73124 175
)
Neutralusis elementas – vienetinė matrica
E2 =
(1 00 1
)
, E3 =
1 0 00 1 00 0 1
En = ||eij||n×n, eij = δij =
{
1, kai i = j
0, kai i 6= j
δij – Kronekerio simbolis
A · En = En ·A = A, ∀A – n-tosios eilės kvadratinė matrica
Matricų daugyba nėra komutatyvi: bendru atveju A · B 6= B · A:(
1 22 3
)
·
(3 22 3
)
=
(7 812 13
)
,
(3 22 3
)
·
(1 22 3
)
=
(7 128 13
)
1 MATRICOS 4
Matricų daugybos asociatyvumas:A(B · C) = (A · B) · C, Ak = A · A · · ·A
︸ ︷︷ ︸
k−kartų
distributyvumas:1) (A+B) · C = AC +BC
2) A · (B + C) = AB + AC
Sandaugos transponuota matrica (A · B)T = BT · AT .
2 DETERMINANTAI 5
2 Determinantai
2.1 Antrosios ir trečiosios eilės determinantai
2.1.1 Antrosios eilės determinantas∣∣∣∣
a11 a12a21 a22
∣∣∣∣= a11a22 − a12a21
∣∣∣∣
2 34 7
∣∣∣∣= 2 · 7− 3 · 4 = 14− 12 = 2
2.1.2 Trečiosios eilės determinantas∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
=
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
∣∣∣∣∣∣
1 2 30 4 75 6 8
∣∣∣∣∣∣
= 1 · 4 · 8 + 2 · 7 · 5 + 3 · 0 · 6− 3 · 4 · 5− 2 · 0 · 8− 1 · 7 · 6 =
32 + 70 + 0− 60− 0− 42 = 0
2 DETERMINANTAI 6
2.2 Perstatos
Persatata vadinama aibės {1, 2, . . . , n} bijekcija f (abipus vienareikšmis at-vaizdis) į save. T.y. perstatą galima apibrėžti lentele
f =
(1 2 · · · n
f(1) f(2) · · · f(n)
)
Čia f(j) ∈ {1, 2, . . . , n}. Tą pačią perstatą f galima užrašyti n! skirtingaisbūdais, sukeitus vietomis lentelės stulpelius
(1 2 3 42 3 4 1
)
=
(2 1 4 33 2 1 4
)
=
(2 4 1 33 1 2 4
)
Kai pirmoje lentelės eilutėje yra kėlinys 1, 2, . . . , n lentelė yra vadinamaskeitinio standartine išraiška.
2.2.1 Perstatų transpozicijos
Dviejų perstatų (f(1), f(2), . . . , f(n)) elementų f(i) ir f(j) sukeitimas vi-etomis vadinamas jų transpozicija. Bet kurį kėlinį (j1, j2, . . . , jn) galima gautiiš bet kurio kito tų pačių elementų {1, 2, . . . , n} kėlinio (i1, i2, . . . , in), atlikusbaigtinį skaičių transpozicijų. Pavyzdžiui,
(1, 2, 3, 4, 5) → (5, 2, 3, 4, 1) → (5, 4, 3, 2, 1)
2.2.2 Kėlinių inversijos
Skaičiai f(i) ir f(j) sudaro kėlinio (f(1), f(2), . . . , f(n)) inversiją (netvarką),jei f(i) > f(j) ir i < j.
Pavyzdžiui, kėlinio (1, 2, 3, 5, 4) inversiją sudaro skaičiai 5 ir 4. Kitų inversijųšis kėlinys neturi. Kėlinys (1, 3, 5, 2, 4) turi tris inversijas: (3,2), (5,2), (5,4).
Kėlinys, turintis lyginį (nelyginį) inversijų skaičių, vadinamas lyginiu (nely-
giniu).
Teiginys. Atlikus vieną kėlinio transpoziją, iš lyginio kėlinio gausime nelyginįir atvirkščiai.Įrodymas. Kai skaičiai i ir j yra gretimi, sukeitus juos vietomis gausime
2 DETERMINANTAI 7
arba panaikinsime vieną inversiją. Taigi šiuo atveju teiginys yra teisingas.Tarkime, kad turime (. . . , i, k1, k2, . . . , ks, j, . . .). Tada atliekant 2s+1 trans-pozicijų tik su gretimais elementais, gausime kėlinį (. . . , j, k1, k2, . . . , ks, i, . . .).Kadangi 2s+ 1 yra nelyginis skaičius, kėlinio lyginumas pasikeis.
Pavyzdys(1, 3, 5, 2, 4) → (1, 3, 5, 4, 2). Buvo trys inversijos, dabar yra keturios:(3,2), (5,2), (5,4), (4,2).
Iš n elementų {1, 2, . . . , n} galima sudaryti n!2
lyginių ir tiek pat nelyginiųkėlinių.
2.2.3 Perstatų lyginumas
Keitinys vadinamas lyginiu (nelyginiu), kai jo eilučių inversijų suma yra ly-ginė (nelyginė).
Perstatos
(1 2 3 42 3 4 1
)
pirmoji eilutė inversijų neturi, o antroji – turi tris
(2,1), (3,1), (4,1). Taigi ši perstata yra nelyginė: 0+3 = 3. Ta pati perstata,
užrašyta tokiu būdu
(2 1 4 33 2 1 4
)
irgi yra nelyginė: 2 + 3 = 5. Jei ji
išreikšta taip
(2 4 1 33 1 2 4
)
, eilučių inversijų suma yra 3 + 2 = 5.
Perstatos f eilučių inversijų sumą žymėsime I(f).
2.3 n-tosios eilės determinantai
n-tosios eilės kvadratinės matricos A = ||aij ||n×ndeterminantu (žymėsime
detA arba |A|) vadinamas skaičius
d =∑
(j1,j2,...,jn)
(−1)I(j1,j2,...,jn)a1j1a2j2 · · ·anjn
Sandaugos a1j1a2j2 · · · anjn yra vadinamos determinanto nariais.
Kai n = 1 turime tik vieną keitinį
(11
)
, kurio antroji eilutė inversijų neturi.
2 DETERMINANTAI 8
Todėl det(a11) = (−1)0a11 = a11. T. y. skaičiaus determinantas yra patsskaičius.
Kai n = 2 turime du skirtingus keitinius
(1 21 2
)
,
(1 22 1
)
ir determinanto∣∣∣∣
a11 a12a21 a22
∣∣∣∣
nariai a11a22, a12a21 įeina į sumą su pliusu ir minusu atitinkamai.
Ketvirtosios eilės determinantas
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣
turi 4! = 24 narius a1j1a2j2a3j3a4j4 ; iš jų 12 įeina į sumą su ženklu (+) ir tiekpat – su (−). Pavyzdžiui, narys a13a24a31a42 imamas su ženklu "pliusas":(−1)I(3,4,1,2) = (−1)4 = 1 .
2.3.1 Determinantų savybės
1. detAT = detAPastaba. Visos determinanto savybės, kurios galioja eilutėms, galioja irstulpeliams.
2. Tarkime, kad kvadratinė matrica B gauta iš kvadratinės matricos A,sukeitus vietomis dvi jos eilutes. Tada detB = − detA, t. y. šie du deter-minantai skiriasi tik ženklu.Išvada. Determinantas, turintis dvi vienodas eilutes, lygus nuliui. (Turime|A| = −|A| ⇒ |A| = 0).
3.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n. . . . . . . . . . . .
λai1 λai2 . . . λain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 . . . ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Išvada. Determinantas, turintis dvi proporcingas eilutes, lygus nuliui.
2 DETERMINANTAI 9
4.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n. . . . . . . . . . . .
a(1)i1 + a
(2)i1 a
(1)i2 + a
(2)i2 . . . a
(1)in + a
(2)in
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n. . . . . . . . . . . .
a(1)i1 a
(1)i2 . . . a
(1)in
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n. . . . . . . . . . . .
a(2)i1 a
(2)i2 . . . a
(2)in
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Išvada. Determinantas nesikeičia, jei prie vienos jo eilutės pridėti kitą joeilutę.
2.3.2 Determinanto minorai ir adjunktai
Tarkime, kad 1 6 i1 6 i2 6 · · · 6 ik 6 n ir 1 6 j1 6 j2 6 · · · 6 jk 6 n.Pasirinksime k (1 6 k < n) n-tosios eilės determinanto eilučių i1, i2, . . . , ik irk stulpelių: j1, j2, . . . , jk. Šių eilučių ir stulpelių sankirtoje gausime k-tosioseilės determinantą, kurį vadinsime minoru ir žymėsime
M = M(i1, i2, . . . , ik; j1, j2, . . . , jk) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
ai1j1 ai1j2 · · · ai1jkai2j1 ai2j2 · · · ai2jk· · · · · · · · · · · ·aikj1 aikj2 · · · aikjk
∣∣∣∣∣∣∣∣
Pavyzdys
determinanto |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 20 3 54 6 8
∣∣∣∣∣∣
minorai
M(1, 2; 1, 2) =
∣∣∣∣
1 −10 3
∣∣∣∣, M(1, 2; 2, 3) =
∣∣∣∣
−1 23 5
∣∣∣∣, M(2, 3; 1, 2) =
∣∣∣∣
0 34 6
∣∣∣∣
Išbraukus kvadratinės matricos A i1, i2, . . . , ik eilutes bei j1, j2, . . . , jk stulpelius,gausime n − k-tosios eilės kvadratinę matricą. Jos determinantą vadinsimeminoro M papildomuoju minoru ir žymėsime M ′ = M ′(i1, i2, . . . , ik; j1, j2, . . . , jk).Determinanto |A| minoro M(i1, i2, . . . , ik; j1, j2, . . . , jk) adjunktu vadinsimesandauga
AM = (−1)i1+i2+...+ik+j1+j2+...+jkM ′(i1, i2, . . . , ik; j1, j2, . . . , jk)
2 DETERMINANTAI 10
determinanto |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 20 3 54 6 8
∣∣∣∣∣∣
minoro M(1, 2; 1, 2) =
∣∣∣∣
1 −10 3
∣∣∣∣
papildomasis minoras M ′(1, 2; 1, 2) = 8, adjunktas AM = (−1)1+2+1+28 = 8.Teorema. Kiekvienos determinanto |A| sandaugos
AM ·M(i1, i2, . . . , ik; j1, j2, . . . , jk) ženklas sutampa su to pačio narioai′
1j′1ai′
2j′2· · ·ai′
n−kj′n−k
ai1j1ai2j2 · · · aikjk ženklu.Laplaso teorema. Jei pasirinkti k determinanto eilučių ir sudaryti visus
galimus k-tosios eilės minorus M(i1, i2, . . . , ik; j1, j2, . . . , jk), tai∑
16j16j26···6jk6n
AMM(i1, i2, . . . , ik; j1, j2, . . . , jk) = detA
determinanto |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 20 3 54 6 8
∣∣∣∣∣∣
= 24 + (−20) + 0 − 24 − 0 − 30 = −50
antrosios bei trečiosios eilučių minorai bei adjunktai yra
M(2, 3; 1, 2) =
∣∣∣∣
0 34 6
∣∣∣∣= −12, A(2, 3; 1, 2) = (−1)2+3+1+22 = 2,
M(2, 3; 1, 3) =
∣∣∣∣
0 54 8
∣∣∣∣= −20, A(2, 3; 1, 3) = (−1)2+3+1+3(−1) = 1,
M(2, 3; 2, 3) =
∣∣∣∣
3 56 8
∣∣∣∣= −6, A(2, 3; 2, 3) = (−1)2+3+2+31 = 1.
Taigi A(2, 3; 1, 2)M(2, 3; 1, 2)+A(2, 3; 1, 3)M(2, 3; 1, 3)+A(2, 3; 2, 3)M(2, 3; 2, 3) =2 · (−12) + 1 · (−20) + 1 · (−6) = −50
2.3.3 Determinanto skleidimo formulės
Paimkime Laplaso teoremoje k = 1. Tai reiškia pasirinkti kurią nors vienąeilutę (arba sulpelį). Minorai M(i; j) sutampa su determinanto elementaisaij . Jų adjunktus žymėsime Aij . Iš Laplaso teoremos gauname
detA =n∑
j=1
aijAij =n∑
i=1
aijAij
Šios formulės yra vadinamos determinanto skleidiniais i-tosios eilutės ir j-tojostulpelio elementais.
Pastaba. Jei determinanto skleidimo formulėje paimti kurio nors stulpelio
2 DETERMINANTAI 11
(eilutės) elementus ir kito sulpelio (eilutės) adjunktus, suma bus lygi nuliui.Įrodymas. Sudarykime tokį determinantą
|A|j =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 · · · a1,j−1 b1 a1,j+1 · · · a1na21 · · · a2,j−1 b2 a2,j+1 · · · a2n· · · · · · · · · · · · · · · · · ·an1 · · · an,j−1 bn an,j+1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣
Šis determinantas yra lygus |A|j =n∑
i=1
biAij . Paimkime vietoje elementų
b1, b2, . . . , bn k-tojo stulpelio (k 6= j elementus. Šis determinantas turės duvienodus stulpelius ir todėl jis lygus nuliui. Taigi
n∑
j=1
aijAkj = 0, i 6= k,
n∑
i=1
aijAik = 0, j 6= k
2.3.4 Determinantų skaičiavimas
1. Skleidimo formulės taikymas∣∣∣∣∣∣
1 −1 20 3 54 6 8
∣∣∣∣∣∣
=
1 · (−1)1+1 ·
∣∣∣∣
3 56 8
∣∣∣∣+ (−1) · (−1)1+2 ·
∣∣∣∣
0 54 8
∣∣∣∣+ 2 · (−1)1+3 ·
∣∣∣∣
0 34 6
∣∣∣∣=
−6− 20− 24 = −50
2. Deteminanto savybių taikymasAtimkime iš determinanto antrojo stulpelio pirmąjį stulpelį, padaugintą iš 2:
D =
∣∣∣∣∣∣
1 −1 22 4 54 8 8
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
1 −3 22 0 54 0 8
∣∣∣∣∣∣
Dabar skeidžiame determinantą antrojo stulpelio elementais:
D = (−3) · (−1)1+2
∣∣∣∣
2 54 8
∣∣∣∣= 3(16− 20) = −12
3. Laplaso teoremos taikymas
2 DETERMINANTAI 12
Iš determinanto D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −1 0 0−2 −2 0 01 2 2 43 5 1 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣
pirmųjų dviejų eilučių elementų
galima sudaryti tik vieną nelygų nuliui minorą M =
∣∣∣∣
0 −1−2 −2
∣∣∣∣= −2. Taigi
D = M ·AM = −2(−1)1+2+1+2
∣∣∣∣
2 41 −3
∣∣∣∣= −2 · (−6− 4) = 20.
2.4 Atvirkštinė matrica
Apibrėžimas. Atvirkštine kvadratinei matricai A vadiname tokią matricąA−1, kad
A · A−1 = A−1 · A = E
Kvadratinė matrica gali turėti tik vieną atvirkštinę matricą.Įrodymas. Tarkime, kad A′ kita atvirkštinė matrica. Tada A′ = A′E =A′(AA−1) = (A′A)A−1 = EA−1 = A−1.
Tarkime, kad detA = |A| 6= 0. Tada
A−1 =1
|A|
A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2
· · · · · · · · · · · ·A1n A2n · · · Ann
Čia Aij matricos A elementų adjunktai. Jie surašyti taip, kaip transponuotosmatricos elementai.Įrodymas išplaukia is Laplaso teoremos.
Jei detA = 0 atvirkštinė matrica A−1 neegzistuoja.Lema. det(AB) = detA detBĮrodymas. Tarkime, kad detA = 0 ir A−1 egzistuoja. Tada detE = 1 =detA detA−1 = 0 ir gavome prieštarą.
Raskime atvirkštinę matricą matricai
1 2 00 1 10 1 3
2 DETERMINANTAI 13
∣∣∣∣∣∣
1 2 00 1 10 1 3
∣∣∣∣∣∣
= 2,
A11 = (−1)1+1
∣∣∣∣
1 11 3
∣∣∣∣= 2, A21 = (−1)2+1
∣∣∣∣
2 01 3
∣∣∣∣= −6, A31 = (−1)3+1
∣∣∣∣
2 01 1
∣∣∣∣= 2,
A12 = (−1)1+2
∣∣∣∣
0 10 3
∣∣∣∣= 0, A22 = (−1)2+2
∣∣∣∣
1 00 3
∣∣∣∣= 3, A32 = (−1)3+2
∣∣∣∣
1 00 1
∣∣∣∣= −1,
A13 = (−1)1+3
∣∣∣∣
0 10 1
∣∣∣∣= 0, A23 = (−1)2+3
∣∣∣∣
1 20 1
∣∣∣∣= −1, A33 = (−1)3+3
∣∣∣∣
1 20 1
∣∣∣∣= 1,
A−1 =
A11
|A|A21
|A|A31
|A|A12
|A|A22
|A|A32
|A|A13
|A|A23
|A|A33
|A|
=
22
−62
22
02
32
−12
02
−12
12
=
1 −3 10 3
2−1
2
0 −12
12
2.4.1 Matricinės lygtys
AX = B, X = ATB, XA = B, X = BAT
Išspręskime matricines lygtis
AX =
(1 2
−2 3
)
, Y A =
(1 2
−2 3
)
, kai A =
(1 22 0
)
.
A−1 =
(0 1
212
−14
)
, X = A−1
(1 2
−2 3
)
=
(−1 3
2
1 14
)
,
Y =
(1 2
−2 3
)
A−1 =
(1 032
−74
)
3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 14
3 Tiesinių lygčių sistemos
3.1 Apibrėžimai
Tiesinių (pirmosios eilės) algebrinių m lygčių sistema su n nežinomaisiais x1,x2, . . ., xn
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
am1x1 + am2x2 + · · ·+ am2nxn = bm
sistemos matrica A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn
,
nežinomųjų matrica stulpelis (vektorius) X =
x1
x2
· · ·xn
, dešinės pusės koefi-
centų vektorius (matrica stulpelis) B =
x1
x2
· · ·xn
sistemos matricinis pavidalas AX = B
sistema sistemasuderintoji nesuderintoji
turi bent vieną sprendinį neturi nė vieno sprendiniosistema sistema
apibrėžtoji neapibrėžtoji
turi lygiai turi daugiau,vieną sprendinį kaip vieną
sprendinį(visada be galo daug)
3.2 Sistema su kvadratine matrica
n = m, A = ||aij ||n×n, D = detA = |A|.
3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 15
3.2.1 Atvirkštinės matricos metodas
detA 6= 0, AX = B, X = A−1B
Sistema turi vienintelį sprendinį (apibrėžta), kadangi atvirkštinė matrica yravienintelė.{
x+ y = 2
x− y = 0(
1 11 −1
)
·
(x
y
)
=
(20
)
, A =
(1 11 −1
)
, X =
(x
y
)
, B =
(20
)
A−1 =
(12
12
12
−12
)
, X =
(x
y
)
=
(12
12
12
−12
)
·
(20
)
=
(11
)
Taigi x = 1, y = 1.
3.2.2 Kramerio formulės
X = A−1B = 1|A|
n∑
s=1
As1bs
n∑
s=1
As2bs
· · ·n∑
s=1
Asnbs
, xj =A1jb1+A2jb2+···+Anjbn
detA
xj =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 · · · a1,j−1 b1 a1,j+1 · · · a1na21 a22 · · · a2,j−1 b2 a2,j+1 · · · a2n· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · an,j−1 bn an,j+1 · · · ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
detA=
Dj
D
{
x+ y = 2
x− y = 0
A =
(1 11 −1
)
, D = −2, D1 =
∣∣∣∣
2 10 −1
∣∣∣∣= −2, x = D1
D= −2
−2= 1
D2 =
∣∣∣∣
1 21 0
∣∣∣∣= −2, y = D2
D= −2
−2= 1
3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 16
3.3 Sistemos elementarieji pertvarkiai
Ekvivalenčios sistemos – sistemos su tais pačiais kintamaisiais ir turinčios taspačias sprendinių aibes.
{
x+ y = 2
x− y = 0⇔
x+ y = 2
x− y = 0
2x = 2 ( sudėtos lygtys )
2y = 2 ( iš pirmosios lygties atimta antroji )
1) lygčių keitimas vietomis;2) lygties abiejų pusių dauginimas iš nelygaus nuliui skaičiaus;3) lygties keitimas jos bei kitos lygties suma.
Elementariais pertvarkiais gaunama ekvivalenti sistema.
3.4 Gauso metodas
Trapecinė sistema
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1rxr + · · ·+ a1nxn = b1
a22x2 + · · ·+ a2rxr + · · ·+ a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
arrxr + · · ·+ arnxn = br
0 = br+1
· · ·
0 = bm
Bet kuri tiesinių lygčių sistema yra ekvivelenti tam tikrai trapecinei sistemai.
3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 17
Kai r = m = n turime trapecinės sistemos atskirą atvejį – trikampinę sistemą
a11x1 + a12x2 + a13x3 · · · · · ·+ a1rxr = b1
a22x2 + a13x3 · · · · · ·+ a2rxr = b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ar−1,r−1xr−1 + ar−1,rxr = br−1
arrxr = br
Tarkime, kad arr 6= 0. Tada iš paskutinės lygties gauname xr = brarr
. Jei
ar−1,r−1xr−1 6= 0 iš priešpaskutinės lygties randame xr−1 =br−1−ar−1,r
brarr
ar−1,r−1ir
t. t. (Gauso metodo atvirkštinė eiga). Taigi kai visi pagrindinės įstrižainėskoeficientai aii 6= 0, sistema turi vienintelį sprendinį (apibrėžtoji).Tarkime, kad arr = 0. Jei br 6= 0 sistema neturi sprendinių (nesuderintoji).Taigi jei trapecinėje sistemoje bent vienas koeficientas br+1, br+2, · · · , bmnelygus nuliui, sistema yra nesuderinta.Tarkime, kad arr = br = 0. Tai atitinka trapecinę sistemą su lygtimisar−1,r−1xr−1 + ar−1,rxr = br−1 ir 0 = br.Tokia sistema gali turėti be galo daug sprendinių (arba visai jų neturi, jeiar−1,r−1 = ar−1,r = 0 ir br−1 6= 0).Gauso metodo idėja – elementariais pervarkiais suvesti sistemą prie trikamp-inės (trapecinės).Gauso metodo pirmas žingsnis (a11 6= 0, priešingu atveju galima sukeistivietomis lygtis (matricos eilutes)).
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn
∼
a11 a12 · · · a1n0 a′22 · · · a′2n· · · · · · · · · · · ·0 a′m2 · · · a′mn
a′2j = a2j − a1ja21a11
, a′3j = a3j − a1ja31a11
, · · · , a′mj = amj − a1jam1
a11.
Gauso metodo antrame žingsnyje nagrinėjame matricą
a′22 · · · a′2n· · · · · · · · ·a′m2 · · · a′mn
,
kuri turi viena eilute mažiau. Taigi po m žingsnių gausime trapecinę (trikamp-inę) matricą.
3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 18
3.5 Matricos rangas
Sudarykime visus matricos A =
a11 · · · a1n· · · · · · · · ·am1 · · · amn
r-tosios eilės minorus
Mr = M(i1, i2, · · · , ir; j1, j2, · · · , jr) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
ai1j1 ai1j2 · · · ai1jrai2j1 ai2j2 · · · ai2jr· · · · · · · · · · · ·airj1 airj2 · · · airjr
∣∣∣∣∣∣∣∣
. Pastebėkime,
kad r 6 min{m,n}. Nagrinėsime visus nenlygius nuliui minorus Mr 6= 0.Didžiausias skaičius r (minoro eilė) yra vadinamas matricos rangu:
rang A = maxMr 6=0
r
Matrica A =
1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
turi keturis trečiosios eilės minorus. Jie
visi yra lygūs nuliui:
∣∣∣∣∣∣
1 2 35 6 79 10 11
∣∣∣∣∣∣
= 0,
∣∣∣∣∣∣
1 2 45 6 89 10 12
∣∣∣∣∣∣
= 0,
∣∣∣∣∣∣
1 3 45 7 89 11 12
∣∣∣∣∣∣
=
0,
∣∣∣∣∣∣
2 3 46 7 810 11 12
∣∣∣∣∣∣
= 0. Todėl rang A < 3. Matrica A turi C24C
34 = 24
antrosios eilės minorus. Kadangi ne visi jie yra lygūs nuliui (pavyzdžiui,
M(1, 1; 1, 1) =
∣∣∣∣
1 25 6
∣∣∣∣= −4 6= 0), rang A = 2.
Matricos A ir B, gaunamos viena iš kitos elementariaisiais pertvarkiais, yravadinamos ekvivalenčiomis. Žymime A ∼ B.Ekvivalenčiųjų matricų rangai yra lygūs.Įrodymas. Jei rang A tai egzistuoja matricos A r-tosiosM(i1, i2, · · · , ir; j1, j2, · · · , jr) 6= 0, o visi r+1-osios (ir aukštesnės) eilės mino-rai lygūs nuliui. Kadangi bet kuris matricos minoras, atliekant elementariuspertvarkius lieka lygus (arba nelygus, jei toks buvo) nuliui, tai rang B = r.
Pastebėkime, kad visus elementarius pervarkius galima atlikti ne tik su ma-tricos eilutėmis (tai atitinka tiesinių lygčių sistemos pertvarkius), bet ir sustulpelius (kadangi determinantas nesikeičia transponuojant matricą). Darpastebėkime, kad galima šalinti matricos nulines eilutes bei stulpelius.
3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 19
Bet kuri matrica A, rang A = r yra ekvivalenti r − tosios eilės vienetineimatricai: A ∼ Er.
A =
1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
∼
1 2 3 44 4 4 44 4 4 4
∼
1 2 3 41 1 1 10 0 0 0
∼
(1 2 3 41 1 1 1
)
∼
(1 1 2 31 0 0 0
)
∼
(1 1 1 11 1 0 0
)
∼
(1 1 0 01 0 0 0
)
∼
(1 11 0
)
∼
(0 11 0
)
∼
(1 00 1
)
3.6 Bazinio minoro metodas
Tarkime, kad tiesinių lygčių sistemos
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
am1x1 + am2x2 + · · ·+ am2nxn = bm
matricos A = ||aij ||m×nrang A = r. Tai reiškia, kad egzistuoja r-tosios eilės
minoras Mr 6= 0. (Šį minorą vadiname baziniu). Tarkime, kadM(1, 2, . . . , r; 1, 2, . . . , r) 6= 0. (Priešingu atveju galima sukeisti vietomissistemos lygtis bei pakeisti kintamųjų x1, x2, · · · , xn numerius. Jei r < m –sistemoje yra lygčių, kurios gali būti eliminuotos (pašalintos) elementariaispertvarkiais. Todėl paliekame sistemoje r lygčių. (Vėliau parodysime, kadtai padaryti visada galima, jei sistema yra suderintoji). Jei n = r turimesistemą su kvadratine matrica ir detA 6= 0. Tokia sistema turi vienintelįsprendinį, kurį galima rasti Kramerio metodu. Išnagrinėkime atvejį, kai n >
r ir perrašykime sistemą taip:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1rxr = b1 − a1,r+1xr+1 − · · · a1nxn,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2rxr = b2 − a2,r+1xr+1 − · · · a2nxn,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ar1x1 + ar2x2 + · · ·+ ar2nxr = br − ar,r+1xr+1 − · · · arnxn
Kintamuosius xr+1, xr+2, · · · , xn vadiname laisvaisias, o x1, x2, · · · , xr –baziniais. Taigi bazinių kintamųjų yra r = rang A, o laisvųjų kintamųjų
3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 20
yra n − r. Pažymėkime δj = bj −n∑
s=r+1
ajsxs. Kadangi Mr 6= 0, sistemą
sprendžiame, taikydami Kramerio formules
xj =1
Mr
∣∣∣∣∣∣
a11 · · · δ1 · · · air· · · · · · · · · · · · · · ·ar1 · · · δr · · · arr
∣∣∣∣∣∣
, j = 1, 2, . . . , r.
Skleisdami šiuos determinantus j-tojo stulpelio elementais, gauname bendrojo
sprendinio formules:
xj = γ0j + γr+1
j xr+1 + · · ·+ γnj xn, j = 1, 2, . . . , r.
Čia γij, i = r + 1, r + 2, . . . , n – prikalauso tik nuo koeficientų aij, o γ0
j darir nuo b1, b2, · · · , br. Kai laisvieji kintamieji xr+1, · · · , xn įgyja konkrečiasreikšmes, gauname sistemos atskirąjį sprendinį. Taigi kai bent vienas koefi-cientas γi
j 6= 0 sistema turi be galo daug sprendinių.{
x+ y + z − w = 2,
x− y − z + w = 0{
x+ y = 2− z + w,
x− y = z − w
x =
∣∣∣∣
2− z + w 1z − w −1
∣∣∣∣
∣∣∣∣
1 11 −1
∣∣∣∣
= 1
y =
∣∣∣∣
1 2− z + w
1 z − w
∣∣∣∣
∣∣∣∣
1 11 −1
∣∣∣∣
= 1− z + w
Bendrasis sprendinys
x
y
z
w
=
11− α+ β
α
β
;
atskirieji sprendiniai
1100
,
1010
,
1201
.
3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 21
3.7 Homogogeninė lygčių sisteman∑
j=1
aijxj = 0, i = 1, 2, . . . , m.
Homogeninė sistema visada suderinta (turi nulinį (trivialų) sprendinį).r = rang A, bendrasis sprendinysxj = δr+1
j xr+1 + δr+2j xr+2 + · · ·+ δnj , j = 1, 2, . . . , r.
Fundamentalioji sprendinių sistema
δr+11
δr+12
0· · ·δr+1r
100· · ·00
,
δr+21
δr+22
0· · ·δr+2r
010· · ·00
,
δr+31
δr+32
0· · ·δr+3r
001· · ·00
, · · · ,
δn−11
δn−12
0· · ·δn−1r
000· · ·10
,
δn1δn20· · ·δnr000· · ·01
Pažymėję šiuos atskiruosius sprendinius H1, H2, · · · , Hn−r, bet kurį ho-mogeninės sistemos sprendinį galime užrašyti taip(x1 x2 · · · xn)
T = C1H1 + C2H2 + · · ·+ Cn−rHn−r,Cj – konstantos. Taigi homogeninė sistema turi vienintelį nulinį sprendinįtada ir tik tada, kai rang A = n.
3.8 Kronekerio ir Kapelio teoreman∑
j=1
aijxj = bi, i = 1, 2, . . . , m.
Sistemos matrica A = ||aij||m×n, išplėstoji matrica (A|B) =
a11 · · · a1n b1a21 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·am1 · · · amn bm
.
Teorema. Tiesinių lygčių sistema yra suderinta tada ir tik tada, kai rang A =rang (A|B).
3 TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS 22
Sistema yra apibrėžta, kai rang A = n.Bendrojo sprendinio struktūra
Nehomogeninės Homogeninės Nehomogeninėslygties lygties lygties
bendrasis = bendrasis + atskirasissprendinys sprendinys sprendinys
