Agnostyczny Je w LesieSemantycznym
Jerzy PogonowskiZakad Logiki Stosowanej UAM
www.logic.amu.edu.pl
Izabela Bondecka-KrzykowskaZakad Logiki Matematycznej UAM
www.logika.amu.edu.pl
Pan Profesor Witold Marciszewski jest autorem szeregu
znakomitychpomocy dydaktycznych do nauczania logiki. Niniejszy
tekst powi-camy pewnym reeksjom dotyczcym wanie nauczania logiki.1
Wszczeglnoci, staramy si zwrci uwag na zalety posikowania siMDS
(Metod Drzew Semantycznych) w wykadzie Klasycznego Ra-chunku
Predykatw, ktra to metoda o ile wiemy naley dolubianych przez
Profesora technik. Niektre z przytoczonych w tek-cie przykadw
zaczerpnito z przygotowywanego skryptu Metodadrzew semantycznych w
klasycznym rachunku logicznym.2
1. Uwagi wstpne
Terminy: tablice semantyczne, tablice analityczne, drzewa
semantyczne, itp.znane s kademu, kto logik mg studiowa lub chce (bd
musi) jej naucza.Zwizane s one z technikami badania czy zachodzi
wynikanie logiczne, usta-laniem czy dane formuy s prawami logiki,
rozpoznawaniem spenialnoci (se-mantycznej niesprzecznoci) zbiorw
formu, itd., a wic z centralnymi zadania-mi, ktrych rozwizania
oczekujemy od logiki na jej elementarnym poziomie.Istota rozwaanej
metody to postpowanie apagogiczne, nakierowane na wyk-luczanie
zajcia pewnych sytuacji. Nadto, drug charakterystyczn cech tej
1Tekst opublikowany w: K. Trzsicki (ed.) Ratione et Studio.
Profesorowi WitoldowiMarciszewskiemu w darze. Wydawnictwo
Uniwersytetu w Biaymstoku, Biaystok, 191234.
2Autorzy dzikuj: Panu Profesorowi Romanowi Murawskiemu oraz Panu
DoktorowiTomaszowi Poacikowi za yczliwe rady i trafne uwagi
krytyczne dotyczce niniejszego tekstu.
1
metody jest odwoywanie si jedynie do podformu rozpatrywanych
formu. Drze-wowe reprezentacje zastosowa tej metody s, w cile
okrelonym sensie, dualnedo drzewowych reprezentacji dowodw
prowadzonych na sposb hilbertiaskilub gentzenowski.
Wspomniane wyej terminy pojawiaj si w literaturze logicznej okoo
pwieku temu, mona jednak ich histori prenataln, a take drogi
prowadzce dosamego momentu poczcia metody je wykorzystujcej wiza z
o wiele wcze-niejszymi rezultatami uzyskanymi w logice i
metalogice.
Informacje historyczne, wraz ze stosownymi eksplikacjami znale
monanp. w monograi Marciszewski-Murawski 1995. Autorzy wymieniaj
Everta W.Betha, Jaakko Hintikk oraz Karla Schtte'go jako prekursorw
omawianej tumetody, nawizujcych do wczeniejszych klasycznych prac
Gerharda Gentzena.Wskazuj te na dalsze rozwinicia tej metody,
przede wszystkim przez StephenaKleene'go, Saula Kripke'go, Raymonda
Smullyana oraz Paula Lorenzena.3
W literaturze polskiej konstrukcje rozwaanego typu (lub bardzo
im bliskie)rwnie pojawiy si stosunkowo wczenie. Do waniejszych
naley zaliczy m.in.propozycje Heleny Rasiowej i Romana Sikorskiego
(np. Rasiowa-Sikorski 1963),prace Zdzisawa Pawlaka (np. Pawlak
1965), wany artyku Zbigniewa Lisa (Lis1960; zoony w redakcji Studia
Logica 3 marca 1959 i zawierajcy propozycje,ktre zyskay spor
popularno dziki pniejszym, acz niezalenym pracomRaymonda
Smullyana).4
Jest wiele podrcznikw wykorzystujcych omawian metod.
Najwikszpopularnoci cieszyy si bodaj: Smullyana First Order Logic,
Jereya For-mal Logic: Its Scope and Limits, Bella i Machovera A
Course in MathematicalLogic, Hodgesa Logic. Piszcy te sowa ceni
sobie np. przystpnie napisanepodrczniki: Elementary formal logic
(Georgacarakos-Smith 1979) oraz Logikamatematyczna w informatyce
(Ben-Ari 2005). W literaturze polskiej metoda tajest konsekwentnie
stosowana w podrcznikach Magorzaty Porbskiej i Woj-ciecha Suchonia
(zob. np. Porbska-Sucho 1991), a ostatnio rwnie w dostp-nych w
Internecie opracowaniach Witolda Marciszewskiego.5
Cele niniejszego krtkiego artykuu s dwa. Pierwszym jest
oczywicie skrom-ne wyraenie wdzicznoci Profesorowi Witoldowi
Marciszewskiemu za moli-wo obcowania z jego nieprzecitn osobowoci,
oraz z jego dokonaniaminaukowymi, z ktrych staralimy si korzysta
wysilajc nasze skromniutkiemoce intelektualne, za okazywan nam
wszystkim bezinteresown yczliwo ipomoc. Drugim, ktry uwaa mona za
nieskromny (ale chyba nie cakiemnikczemny), jest autoreklama
przygotowywanego przez piszcych te sowa po-
3Zobacz prace wymienionych autorw zamieszczone w odnonikach
bibliogracznych.4Nie jest naszym zadaniem podawanie w tym miejscu
wyczerpujcych, skrupulatnych in-
formacji o historii rozwoju omawianej metody. Zwize, acz bardzo
treciwe informacje za-wiera monumentalny Handbook of Tableau
Methods 1999. Krtk prezentacj historii rozwojumetody podaje take
np. artyku Annelis 1990.
5Zobacz Lectorium Profesora, gdzie znajdujemy wci nowe teksty
dotyczce nauczanialogiki i jej zastosowa. Odnoniki do innych stron
w domenie calculemus.org take prowadzdo wielu artykuw Witolda
Marciszewskiego. Cakiem powanie, bez przypisywanej namzwykle przez
otoczenie wesokowatoci cytujemy point starego artu: Mniej jedzi,
wicejczyta, towarzysze! Warto.
2
drcznika Metoda drzew semantycznych w klasycznym rachunku
logicznym. Ma-my nadziej, e efekt kocowy tego przedsiwzicia sprawi
Profesorowi przyjem-no, jako e po czci inspirowany jest jego wanie
zapaem w propagowaniumetody drzew semantycznych (w rnych jej
odmianach) w dydaktyce logiki.Moe dostarczy te minimalnych choby
poytkw studiujcym dobrowolnie,samowolnie bd tylko regulaminowo
logik elementarn.
Tych z ewentualnych czytelnikw tego tekstu, ktrzy nie znajd w
nim ab-solutnie nic dla nich nowego upraszamy o wyrozumiae
przypomnienie sobiedeklaracji estetycznej in. Mamonia z Rejsu, ktry
lubi tylko te piosenki, ktreju kiedy sysza.
W dalszym cigu tekstu skrt MDS zastpuje okrelenie metoda drzew
se-mantycznych, natomiast KRZ oraz KRP s powszechnie uywanymi
skrtamidla klasycznego rachunku zda oraz klasycznego rachunku
predykatw, odpowied-nio. FOL jest uywanym w literaturze skrtem dla
logika pierwszego rzdu.6
2. MDS i Humanistki
Ze wzgldu na liczne zastosowania w zautomatyzowanym
przetwarzaniu in-formacji (np. w automatycznym dowodzeniu twierdze)
MDS jest atrakcyjnadla informatykw.7 To cakiem zrozumiae dostpne
rodki techniczne swystarczajce, aby w stosunkowo krtkim czasie (a
zatem take niedrogo) zbu-dowa myk-myk drzewo semantyczne dla formu
o sporej nawet zoonoci.
Przy caym szacunku dla potgi bezmylnoci nieprawdopodobnie
szybkichmaszyn matematycznych warto moe pamita o tym, e twrczy
charakterpracy w naukach formalnych zakada, i w gr wchodz rnorakie
aspektynatury pragmatycznej. Przywoajmy w tym miejscu sowa napisane
prawie pwieku temu:
Wyobramy sobie, e matematyk chce sprawdzi, czy jakie wyrae-nie
jest twierdzeniem badanej przez niego teorii. Dowd tego
twier-dzenia wymaga jednak milionw bd miliardw operacji, tak
ewykonanie ich przez czowieka jest praktycznie niemoliwe. A wic
otwierdzeniu tym nie mona orzec czy jest ono prawdziwe czy nie.
Za-stosowanie w tym przypadku maszyny pozwoli przeprowadzi
dowd;powstaje jednak pytanie, czy dowd ten moe by przez
czowiekarozumiany? W dotychczasowym sensie chyba nie. Jeeli nie,to
za pomoc maszyn matematycznych mona dowodzi twierdze,ktrych nie
mona zrozumie, ewentualnie pojcie zrozumienia wy-maga innej
interpretacji.
Pawlak 1965, 66Ewentualny skrt polski le nam si
kojarzy.7Literatura dotyczca zastosowa (rnych odmian) MDS jest
ogromna np. pytania o
terminy i techniki z ni zwizane zadawane wyszukiwarkom
internetowym podaj setki tysicyodpowiedzi.
3
Tworzenie teorii przez matematyka nie sprowadza si do
kolejnegowypisywania twierdze i ich dowodw; teorie te s budowane
wcelach poznawczych. A wic twierdzenia teorii musz by zrozumia-e,
musz da si czyta przez czowieka ze zrozumieniem. Wiadomoza, e
zdolnoci recepcyjne czowieka s ograniczone. Zbyt dugiecigi symboli
nie mog by przez czowieka rozpoznawane i czytaneze
zrozumieniem.
Pawlak 1965, 25
Zamy, e kryterium takie [kryterium ciekawoci twierdzenia IBK,
JP] udao si znale i e maszyna produkuje rzeczywicieciekawe
twierdzenia. Przy dzisiejszej szybkoci liczenia maszynamatematyczna
moe w krtkim czasie wyprodukowa kilkaset tysicytwierdze teorii.
Pojawia si wic pytanie, kto bdzie mg te twier-dzenia czyta, rozumie
i wykorzystywa? Waciwie naleaobyzapyta, czy w jakiejkolwiek teorii
moe by rzeczywicie sto tysicyinteresujcych twierdze?
Pawlak 1965, 1418
Zadumanie si nad powyszymi cytatami prowadzi, jak nam si wydaje,
dotakich samych wnioskw dzi, jak i p wieku temu. A to, e konkluzje
te spodobne, powinno zachca do (Humanistycznej, a jake)
metakonkluzji.9
Boolos podaje ciekawy przykad ilustrujcy pragmatyczne
ograniczenia wzastosowaniach logiki pierwszego rzdu i jednoczenie
wskazujcy, e logikadrugiego rzdu (do ktrej penego zaufania mie nie
mona, ze wzgldu naniezachodzenie twierdzenia o penoci) jest
bardziej ludzka, a nawet chcia-oby si nieco humorystycznie rzec
bardziej Humanistyczna; zob. Boo-los 1987. Streszczajc wynik
Boolosa: dostarcza on przykadu wnioskowania,ktrego zapis formalny w
logice pierwszego rzdu nie mieci si w istniej-cym Wszechwiecie, a
ktre stosunkowo atwo przeledzi w formalizmie logikidrugiego
rzdu.
Planowany przez piszcych te sowa skrypt ma by prezentacj
wybranejmetody (MDS), a nie podrcznikiem logiki. Poowa z nas uczy
logiki od trzy-dziestu lat, uywajc w tym celu przernych metod; MDS
stosowana jest wtej posudze dydaktycznej (przede wszystkim dla
Humanistek) od lat prawiedwudziestu. Gdy ma si prowadzi wykad z
logiki, to jak (chyba bez
8Czytelnik zechce wybaczy, e przywoujemy przydugie cytaty.
Czciowym usprawiedli-wieniem niech bdzie tematyka poruszana w 4.4.
poniej.
9Poowa z piszcych te sowa pamita wykad inauguracyjny Profesora
AndrzejaMostowskiego wygoszony podczas otwarciaMidzynarodowego
Centrum Matematycznego im.Stefana Banacha w Warszawie w 1973 roku.
Prelegent mwi wtedy m.in. o tym, jak wane (ijednoczenie
beznadziejnie trudne) byoby scharakteryzowanie co to znaczy, e
jakie twierdze-nie matematyczne jest interesujce, ciekawe, itp.
Pamitamy te wyraz (chyba) skupienia,malujcy si na twarzy Pierwszego
Sekretarza Komitetu Wojewdzkiego Polskiej ZjednoczonejPartii
Robotniczej, subowo obecnego podczas tego otwarcia Wyj przed
wykadem, czypoczeka? Moe bdzie potem poczstunek?
4
przekory) pisa James McCawley atwiej jest napisa podrcznik do
swoichwykadw, ni go nie napisa.10
Daleko nie wszystkie Humanistki11 lubi najstarsz dyscyplin
humanisty-czn, jak jest logika. Std, zdarza si usysze (dla nas
zabawne) wypowiedzirodzaju: Po co mi logika? Jestem Humanistk! Jak
wykadowca moe prbowasobie dawa rad w takiej sytuacji, bez
masochistycznej emigracji wewntrznej(kryjc si za tarcz programu
studiw) i jednoczenie bez apodyktycznegosadyzmu (by nie rzec:
molestowania) intelektualnego wobec niewinych, ufnychprzede
wszystkim w Eufoni Sowa, Humanistek, zaley od jego umiejtnoci
dy-daktycznych, dowiadczenia, a take od otwartoci intelektualnej
audytorium.W tym miejscu zwrmy uwag na cztery sprawy:
Humanistki (cho oczywicie nie tylko one) w miar atwo
przyswajaj(kapralsko)-wojskowe podejcie do przetwarzania
informacji. Bezmylnewykonywanie rozkazw (postpowanie wedug jasno
okrelonego algorytmu)pozwala zaoszczdzi moce intelektualne, ktre
mona przeznaczy chobyna zrozumiae u modziey fantazjowanie na tematy
gromko przezWatykan potpiane. Przymus postpowania wedug zalece
algorytmuzwalnia od przykrego obowizku ponoszenia jakiejkolwiek
odpowiedzial-noci za minimalne choby wasne inicjatywy intelektualne
(a modziejest wraliwa bardzo przeywa wszelkie karcce uwagi, ktre
mogybyj rzekomo spotka w przypadku takich inicjatyw). Last but not
least, al-gorytmy to przecie odmiana wicze logiczno-gimnastycznych
dostpnychkademu (powyej pewnego minimalnego progu umiejtnoci
komunikowa-nia spoecznego): gdy wspomnisz, e logika to co w rodzaju
aerobicumylowego, to przytomne w danym momencie zaj suchaczki mog
sizainteresowa ni o wiele bardziej, ni gdy dugo i dobitnie
przekonywaje bdziesz, e to wanie dziki logice i racjonalizmowi
kultura Zachoduuzyskaa sporo cakiem niegupich osigni.
Humanistki (cho oczywicie nie tylko one) chyba lubi przekor w
myle-niu. Apagogiczny charakter MDS odzwierciedla, jak mniemamy,
jakcz takiej przekory. Moe za nieprzyzwoite uznane zostanie
przyznawaniesi do nikczemnego manipulowania modymi umysami, ale
stwierdzamy (zrozbawieniem), e baamutnie wskazujc na rzekome zwizki
metod apago-gicznych z obmierzym nam postmodernizmem czujemy si po
trosze jak,nie przymierzajc Konrad Wallenrod, jak jaka pita kolumna
logicznadosypujca trucizn racjonalizmu do obcie tryskajcych rde
postmo-dernizmu, jak advocatus diaboli. . .
10I didn't really want to write this book, but I decided in 1974
that it would be easier forme to write it than to not write it,
assuming, that is, that I was going to continue teachingcourses on
logic for linguists regularly. McCawley 1981, ix.
11Uywany passim w tym tekcie termin Humanistka nie ma w naszej
intencji wydwiku pejoratywnego. Zaczlimy go uywa na sugesti samych
nauczanych.Posug dydaktyczn staramy si wykonywa rzetelnie, pomni
zoonej przysigi doktorskiej.Nauczanie Humanistek (rudymentw) logiki
to zajcie i trudne i ciekawe.
5
Humanistki dzisiejsze (cho oczywicie nie tylko one) nale do
pokole-nia obrazkowego, atwiej przetwarzajcego informacj podan w
postacidiagramw, ikon, rysuneczkw, itp. ni tak sam informacj
poddawanobrbce na mod, powiedzmy, algebraiczn. Istnieje ju spora
literaturana temat tego, jak skutecznie wykorzystywa w dydaktyce
takie wanienastawienie nauczanych.
Humanistki oswojone s (dokadniej: powinny by) z rnego typu
drze-wami szczeglnie dotyczy to tych, ktre maj kontakt z
analizamilingwistycznymi, w ktrych rozmaicie znakowane drzewa s na
porzdkudziennym. W ostatecznoci, jeli z ich pamici umkny wiadomoci
doty-czce gramatyk generatywno-transformacyjnych, gramatyk
kategorialnych,gramatyk dependencji, HPSG, itp., to zawsze mona
odwoa si np. dodrzew genealogicznych (te z Humanistek, ktre ledz
uwanie, powiedzmyperypetie generacji bohaterek ukazane w kilkuset
odcinkach telenoweliKb dz nie bd miay najmniejszej trudnoci w
operowaniu reprezen-tacjami drzewowymi).
Piszcy te sowa czuj wewntrzn potrzeb zoenia krtkiej
deklaracji.Wszelkie podawane dalej przykady wykorzystujce jzyk
naturalny (polski) sczcz jedynie igraszk. Moglibymy ograniczy si do
rozwaania jedynie for-mu jzyka rachunku predykatw (bo tego jzyka
dotyczy w istocie omawianametoda!). Wierzymy, e formuy jzyka
rachunku predykatw mona prbowaodczytywa w jzyku naturalnym; czasami
odczytania takie maj nawet odrobinsensu. Nie wierzymy, e przekad w
drug stron jest jako wyranie zdeter-minowany, tj. nie wierzymy w
moliwo bezporedniej, adekwatnej reprezen-tacji dowolnych wyrae
jzyka naturalnego w jzyku KRP. To Szema
Israellogiczno-lingwistyczne jest jednak tematem na osobn ksik.12
Wniektrych zrozwaanych niej przykadw wskazujemy na ad hoc wybrane
kopoty z takimiprzekadami. Zachcamy te do lektury wnikliwych analiz
przeprowadzanychprzez Witolda Marciszewskiego (w jego wspomnianym
ju wyej Lectorium)konkretnych przykadw wnioskowa.
3. Przypomnienie podstawowych poj zwizanychz MDS
Podamy teraz w najwikszym skrcie pewne ustalenia denicyjne
orazpropozycje notacji. Uywamy notacji eklektycznej i nieco
nadmiarowej; jakdotd, do dobrze sprawdzaa si ona w praktyce
dydaktycznej.
By moe, Czytelnik mia ju jak styczno z ktr z wersji MDS (np.
ztablicami Smullyana). Istota metody polega, jak wiadomo, na
szukaniu kontr-przykadw. Gdy udaje si np. pokaza, e dana formua A
nie jest faszywa
12Zatrwoonego naszym gadulstwem Czytelnika spieszymy uspokoi:
osobicie nie czujemypotrzeby jej napisania.
6
w adnej interpretacji (przez dojcie do sprzecznoci przy
przypuszczeniu, ew co najmniej jednej interpretacji A jest
faszywa), to wykazana zostaje tymsamym prawdziwo A we wszystkich
interpretacjach. Gdy za (przy takimsamym przypuszczeniu) do
sprzecznoci nie dochodzimy, to moliwe jest skon-struowanie
kontrprzykadu, tj. interpretacji, w ktrej formua A jest
faszywa.
Przeprowadzana analiza semantyczna polega na ustalaniu wartoci
logicznejpodformu formuy o danej wartoci logicznej. Sprowadza si
ona zatem doeliminowania staych logicznych. W wyniku zastosowania
tej procedury otrzy-mujemy drzewo (binarne), ktrego wierzchoki
znakowane s podformuami oraznegacjami podformu rozwaanej
formuy.
Naley oczywicie pamita m.in. o nastpujcych sprawach:
W dydaktyce uywajcej MDS pokaza trzeba poprawno tej metody,
jejtrafno (soundness) oraz peno (completeness), tj. udowodni, e
for-muy jzyka KRP, ktre s tautologiami wedle MDS s dokadnie
tautolo-giami KRP w standardowym rozumieniu. Przedstawianie tego
typu meta-logicznych rozwaa w usugowym kursie logiki dla Humanistek
wymagaostronoci, nie jest przecie celem dydaktycznym wykazywanie, i
logikazajmuje si przede wszystkim sama sob. Nie potramy odmwi
sobieprzytoczenia w tym miejscu przypomnianej nam niedawno przez
PanaProfesora Jana Zygmunta fraszki Tadeusza Kotarbiskiego:
Gdziekolwiek myl signiesz, tkwi bdu odyga.Logiko, karcicielko,
po badylach migaj!Na chwasty moja praca pniej si rozpostrze.A teraz
czym si trudzisz? Sama siebie ostrz.
W praktyce dydaktycznej posugujemy si pewnymi wygodnymi
uprosz-czeniami (drzewo ronie, ga przeduamy bd zamykamy, itp.).Za
tymi metaforycznie sformuowanymi zaleceniami postpowania stojjednak
porzdne, poprawne denicje odnonych procedur. Z punktu wi-dzenia
efektywnoci nauczania logiki dla Humanistek owe uproszczenia schyba
podane.
W logicznej posudze dydaktycznej dla Humanistek naley chyba
zachowapewien umiar. Obiektywnie rzecz ujmujc, pene zalety MDS staj
siwidoczne, gdy ukae si zwizki tej metody np. z programowaniem
wlogice, regu rezolucji, procedurami unikacji, itp. Nie zgadzamy si
jed-nak z postulatami tych dydaktykw, ktrzy gosz, i logika
powinnabudzi groz. Cho wyznajemy pesymistyczny racjonalizm jako
postawyciow (z wczeniem do tej postawy akceptowanej perspektywy
episte-mologicznej), to uwaamy, e logika powinna dostarcza
radoci.
Zakadamy, e pojcia dotyczce drzew (np.: ga, korze, li, itp.)
orazreprezentacji formu w postaci drzew s Czytelnikowi znane.
7
Ga drzewa nazywamy zamknit, jeli wystpuje na niej paraformu
postaci A, A. W przeciwnym przypadku ga nazywamyotwart. Drzewo,
ktrego wszystkie gazie s zamknite, nazy-wamy drzewem zamknitym.
Umowa notacyjna 1. Ga zamknit drzewa koczy bdziemy liciem z
sym-bolem opatrzonym indeksami wskazujcymi numery formu z tej gazi,
ktrepozwalaj j zamkn, tj. ktre s wzajem sprzeczne.
Gazie otwarte drzew zaznacza bdziemy liciem z symbolem . W
niek-trych przypadkach uywa te bdziemy symbolu z indeksami, lub
specjalniedobranych symboli (np. , , itp.) gdy bdzie to przydatne w
odwoywaniusi do takiej gazi w tekcie.
Gdy wszystkie gazie drzewa semantycznego formuy A s zamknite,
tonie istnieje interpretacja, w ktrej formua ta jest speniona. Gdy
ktra gadrzewa semantycznego formuy A jest otwarta, to ga taka
odpowiada inter-pretacjom, w ktrych A jest speniona, tj. biorc pod
uwag wszystkie for-muy (atomowe) wystpujce na tej gazi mona poda
interpretacje, w ktrejwszystkie formuy tej gazi (a wic take formua
stanowica korze drzewa)s prawdziwe.
Formuy, ktre s tautologiami KRP maj skoczone drzewa
semantyczne.13Metoda sprawdzania przy pomocy drzew semantycznych,
czy dana formua
jzyka KRP jest tautologi KRP, ma charakter apagogiczny
wykluczeniemoliwoci, e A jest prawdziwa w jakiej interpretacji (a
wic zamkniciewszystkich gazi drzewa semantycznego formuy A) pozwala
stwierdzi, eformua A jest tautologi KRP.
Gdy formua A nie jest tautologi KRP, to drzewo semantyczne dla A
moeby nieskoczone.14 W takim przypadku omawiana metoda uzupeniona
moeby pewnymi reguami heurystycznymi.
Drzewa semantyczne budujemy take dla skoczonych zbiorw
formu.15Na przykad pytanie, czy zbir formu {A1, A2, . . . , An}
jest semantycznie nie-sprzeczny (spenialny) sprowadza si do
rozstrzygnicia, czy istnieje co najmniejjedna interpretacja, w
ktrej wszystkie te formuy s jednoczenie prawdziwe;gdy tak jest, to
zbir w jest semantycznie niesprzeczny, a gdy nie istnieje
inter-pretacja, w ktrej {A1, A2, . . . , An} s wszystkie prawdziwe,
to zbir ten jest se-mantycznie sprzeczny (niespenialny). Gdy wic
rozpoczniemy budow drzewasemantycznego od pnia16 zoonego z formu
A1, A2, . . . , An i wszystkie jegogazie bd zamknite, to wykluczona
zostanie moliwo, aby formuy te byyprawdziwe w jakiej wsplnej
interpretacji, a to oznacza, i {A1, A2, . . . , An}jest
semantycznie sprzeczny. Gdy natomiast drzewo, w ktrego pniu
znaj-duj si formuy A1, A2, . . . , An ma co najmniej jedn ga
otwart, to zbir{A1, A2, . . . , An} jest semantycznie niesprzeczny
interpretacje, w ktrych
13To stwierdzenie wymaga oczywicie uzasadnienia. Zob. np.
Smullyan 1968, Ben-Ari 2005.14Take to stwierdzenie wymaga
uzasadnienia. Zob. np. j.w.15MDS moe by te odpowiednio stosowana w
przypadku przeliczalnych zbiorw formu,
ze wzgldu na zachodzenie w KRP twierdzenia o zwartoci.16Pie
drzewa to cz wsplna wszystkich gazi tego drzewa.
8
wszystkie formuy A1, A2, . . . , An s jednoczenie prawdziwe
odtworzy monaz informacji zawartych na teje wanie otwartej
gazi.
W przypadku badania metod drzew semantycznych, czy ze zbioru
formu{A1, A2, . . . , An} wynika logicznie formua B budujemy
drzewo, w ktrego pniuumieszczamy wszystkie formuy A1, A2, . . . ,
An oraz formu B. Jeli wszys-tkie gazie tego drzewa s zamknite, to B
wynika logicznie z {A1, A2, . . . , An},jako i wykluczone zostaje
istnienie interpretacji, w ktrej prawdziwe byybywszystkie formuy
A1, A2, . . . , An oraz formua B, czyli interpretacji, w
ktrejprawdziwe byyby wszystkie formuy A1, A2, . . . , An oraz
faszywa byaby for-mua B. Gdy za drzewo takie ma co najmniej jedn ga
otwart, to dostar-cza ona przykadw interpretacji, w ktrych
wszystkie formuy A1, A2, . . . , Ans prawdziwe, a formua B jest
faszywa (bo B wtedy prawdziwa) a tooznacza, e B nie wynika
logicznie z {A1, A2, . . . , An}.
Poniej, w punktach 3.1. oraz 3.2. wyliczamy reguy MDS dla KRP z
iden-tycznoci. Bierzemy pod uwag najbardziej chyba popularny zestaw
staychlogicznych uywanych w posudze dydaktycznej dla Humanistek,
tj. spjnikinegacji, koniunkcji, implikacji materialnej, alternatywy
niewykluczajcej, rw-nowanoci materialnej, kwantykator
egzystencjalny oraz kwantykator gene-ralny. W KRP z identycznoci
predykat identycznoci traktowany jest jakostaa logiczna i
charakteryzowany, jak wiadomo, stosownymi aksjomatami.17
3.1. Reguy MDS dla KRZ
Rozumienie dziaania regu MDS dotyczcych spjnikw zdaniowych,
czyliregu przeduania gazi drzewa semantycznego analizowanej formuy
nie po-winno nastrcza trudnoci.
Koniunkcja jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy oba jej czony
sprawdziwe. Dlatego te jeeli dana formua ma posta koniunkcji, to
obajej czony umieszczamy na tej samej gazi drzewa, zapisujc je
jeden poddrugim.
R()A B
A
B
Jeeli formua jest alternatyw, to w drzewie tworzymy
rozgazienie,a czony alternatywy umieszczamy na oddzielnych gaziach,
poniewaalternatywa jest prawdziwa, gdy przynajmniej jeden z jej
czonw jestprawdziwy.
17We wspomnianym ju Handbook of Tableau Methods znajdujemy
przegld rnych wersjiMDS, nie tylko dla poszczeglnych systemw
logicznych, ale take dla systemw z pewnymiwyrnionymi predykatami.
Zob. te np. Priest 2001, Toledo 1975, McAllester-Givan 1993.
9
R()A B
HHA B
Implikacja jest prawdziwa, gdy zachodzi co najmniej jeden z
warunkw: jejpoprzednik jest faszywy lub nastpnik jest prawdziwy.
Dlatego dokonujcrozkadu formuy w postaci implikacji umieszczamy
negacj jej poprzed-nika na jednej gazi drzewa a nastpnik na
drugiej.
R()A B
HHHA B
Rwnowano jest prawdziwa wtedy, gdy oba jej czony maj t samwarto
logiczn. Zatem drzewo dla takiej formuy musi rozdziela sina dwie
gazie: na jednej umieszczamy oba czony rwnowanoci bezznaku negacji
(co odpowiada przypadkowi, gdy s one oba prawdziwe),na drugiej oba
czony z negacj (co odpowiada przypadkowi, gdy s oneoba
faszywe).
R()A B
HHA
B
A
B
Reguy dla formu jzyka KRZ, w ktrych spjnikiem gwnym jest
negacjamaj posta nastpujc:
Warto logiczna formuy A oraz formuy A jest taka sama, dlatego
tena gazi zawierajcej formu postaci A umieszczamy formu A,
cozapisujemy jako:
R() A
A
Koniunkcja jest faszywa wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej
czonwjest faszywy, dlatego podczas rozkadu formuy bdcej
zaprzeczeniemkoniunkcji naley umieci negacje jej czonw na
oddzielnych gaziachdrzewa (co spowoduje powstanie rozgazienia).
R() (A B) HHHA B
10
Gdy w procesie tworzenia drzewa napotkamy na formu bdc
negacjalternatywy, to na tej samej gazi drzewa umieszczamy negacje
obu jejczonw, poniewa alternatywa jest faszywa tylko wtedy, gdy oba
jejczony s faszywe.
R() (A B)
A
B
Implikacja jest faszywa tylko w jednym przypadku, gdy jej
poprzednik jestprawdziwy a nastpnik faszywy; dlatego na jednej gazi
umieszczamy jejpoprzednik i negacj nastpnika.
R( ) (A B)
A
B
Rwnowano jest faszywa, gdy jej czony maj rne wartoci
logiczne.Dlatego chcc rozoy formu w postaci negacji rwnowanoci
dokonu-jemy rozgazienia i na jednej z gazi umieszczamy jej lewy
czon i negacjprawego a na drugiej negacj lewego czonu i czon
prawy.
R( ) (A B) HHH
A
B
A
B
W przypadku, gdy rozwaamy np. KRZ w postaci
implikacyjno-negacyjnej,wystarczaj oczywicie tylko niektre z
powyszych regu; zob. np. Bell-Machover 1977. W najoglniejszej
postaci, stosowa mona te wygodne kon-wencje proponowane przez
Smullyana (, , , wyraenia zob. np. Smullyan1968).
3.2. Reguy MDS dla KRP (z identycznoci)
Formu otrzyman w wyniku podstawienia za wszystkie wolne
wystpie-nia zmiennej x w formule A(x) staej idywiduowej a oznacza
bdziemy przezA(a/x); a gdy bdzie bezdyskusyjnie jasne o jakie
podstawienie chodzi, poprostu przez A(a).
Przypomnijmy podstawow intuicj semantyczn:
11
Gdy za prawdziwe (w ustalonej interpretacji) uznajemy zdanie
postacixA(x), to uznamy te za prawdziwe zdanie postaci A(a), gdzie
a jeststa indywiduow, oznaczajc jaki obiekt w uniwersum tej
intepretacji.
Gdy za prawdziwe (w ustalonej interpretacji) uznajemy zdanie
postacixA(x), to uznamy te za prawdziwe wszystkie zdania postaci
A(a), dladowolnej staej indywiduowej oznaczajcej jaki obiekt z
uniwersum tejeinterpretacji.18
Reguy rozkadu formu dotyczce kwantykatorw maj posta
nastpu-jc:
Regua dla formu generalnie skwantykowanych:
R() x A(x)
A(a/x)
dla kadej staej indywiduowej a wystpujcej na rozwaanej gazi.
Regua dla formu egzystencjalnie skwantykowanych:
R() x A(x)
A(a/x)
dla nowej staej indywiduowej a nie wystpujcej dotd na
rozwaanejgazi.
Regua dla negacji formu generalnie skwantykowanych:
R() x A(x)
A(a/x)
dla nowej staej indywiduowej a nie wystpujcej dotd na
rozwaanejgazi.
Regua dla negacji formu egzystencjalnie skwantykowanych:
R() x A(x)
A(a/x)18Dowiadczenia zwizane z nauczaniem Humanistek
tarskiaskiej semantyki dla KRP by-
waj traumatyczne. Uniwersa Herbranda, zwizane z MDS, prezentowa
naley temu audy-torium rwnie z delikatnoci.
12
dla kadej staej indywiduowej a wystpujcej na rozwaanej gazi.
Reguy R() oraz R() s wzmocnione dodatkowym warunkiem: jeli
nagazi, ktrej dotyczy ich zastosowanie nie ma jeszcze adnej staej
indywidu-owej, to posugujemy si jak z gry ustalon sta.Umowa
notacyjna 2. Stosowa bdziemy nastpujc umow notacyjn w gra-cznych
reprezentacjach drzew semantycznych:
a oznacza opuszczenie kwantykatora egzystencjalnego (bd
negacjikwantykatora generalnego) i wprowadzenie w formule za tym
kwanty-katorem (odpowiednio, w negacji formuy) nowej staej
indywiduowej aw miejsce zmiennej wizanej przez ten kwantykator;
?a oznacza zastpienie formuy generalnie skwantykowanej (lub
negacjiformuy egzystencjalnie skwantykowanej) przez formu bez
kwantyka-tora generalnego (odpowiednio, negacj formuy), ze sta
indywiduow awstawion w miejsce zmiennej wizanej przez ten
kwantykator;
numery (z kropk) umieszczane (w grnej frakcji) po prawej stronie
for-mu informuj o kolejnoci wykonywanych dziaa; po kropce
wystpujesymbol spjnika (bd negacji spjnika) do ktrego stosujemy
stosownregu (z regu budowania drzew semantycznych w KRZ) lub
symbole
albo ? wraz ze sta indywiduow, ktrych dotycz;
numery (w nawiasach) po lewej stronie formu informuj o wynikach
wy-konywanych dziaa; formuy z pnia drzewa, ktre nie powstay w
wynikustosowania adnych regu otrzymuj domylne (nie wypisywane bez
wy-ranej potrzeby) numery 0.1, 0.2, 0.3,. . . ; indeksy dolne przy
numerachformu w przypadkach, gdy wicej ni jedn formu dopisujemy do
gaziw rezultacie wykonania kroku o numerze n. s jednej z trzech
postaci:a) ukad (ng), (nd) (dla regu nie dajcych rozgazie), b) ukad
(nl), (np)(dla regu dajcych rozgazienie), oraz c) ukad (nlg),
(nld), (npg), (npd)(dla regu dotyczcych rwnowanoci oraz zanegowanej
rwnowanoci).
Tak wic, symbol
dotyczy zastosowa regu R() oraz R(), natomiastsymbol ? zastosowa
regu R() oraz R().
Budujc drzewa semantyczne w KRP najpierw rozwaamy formuy
egzys-tencjalnie skwantykowane (lub negacje formu generalnie
skwantykowanych)i wprowadzamy nowe stae indywiduowe, nastpnie dla
wszystkich formu ge-neralnie skwantykowanych umieszczamy na danej
gazi odpowiednie formuyotrzymane poprzez opuszczenie kwantykatora
generalnego (lub negacji kwan-tykatora egzystencjalnego) i
zastpienie wizanej przeze zmiennej kad staindywiduow wystpujc na
tej gazi. Jeli nie mamy do dyspozycji adnejformuy egzystencjalnie
skwantykowanej ani negacji formuy generalnie skwan-tykowanej, a
mamy jakie formuy generalnie skwantykowane (lub
negacjeegzystencjalnie skwantykowanych), to wprowadzamy nowe stae
indywiduowe
13
przez rozwinicie dowolnej formuy generalnie skwantykowanej (lub
negacjiegzystencjalnie skwantykowanej). Jeli w formule dla ktrej
zaczynamy bu-dowa drzewo wystpuj ju jakie stae indywiduowe, to
oczywicie obowizujdla nich reguy R() oraz R().
Reguy dotyczce predykatu identycznoci w metodzie drzew
semantycznychmona sprowadzi do nastpujcych dwch:
Jeli t1 oraz t2 s dowolnymi termami, A zawiera jakie wystpienia
termut1, to ga drzewa zawierajc formuy A oraz t1 = t2 przeduamy
do-dajc formu A(t2//t1):
R12(=)A
t1 = t2
A(t2//t1)
gdzie A(t2//t1) jest formu powstajc z A poprzez zastpienie
pewnychwystpie termu t1 wystpieniami termu t2.
Jeli t1 oraz t2 s dowolnymi termami, A zawiera jakie wystpienia
termut1, to ga drzewa zawierajc formuy A oraz t2 = t1 przeduamy
do-dajc formu A(t2//t1):
R21(=)A
t2 = t1
A(t2//t1)
gdzie A(t2//t1) jest formu powstajc z A poprzez zastpienie
pewnychwystpie termu t1 wystpieniami termu t2.
Umowa notacyjna 3. Zastosowanie reguy Rij(=) w kroku n. do
formuy onumerze (m) z wykorzystaniem identycznoci termw t1 oraz t2
wyraonej wformule o numerze (k) zaznacza bdziemy umieszczonym z
prawej strony for-muy o numerze (m) komentarzem: n.k,t2//t1 .
Regu zamykania gazi w KRP z identycznoci rozszerzamy wsposb
nastpujcy: ga uznajemy za zamknit, jeli wystpujena niej para formu
postaci A, A bd formua postaci t = t,gdzie t jest dowolnym
termem.19
19W podanych niej przykadach jedynymi rozwaanymi termami bd
zmienne oraz staeindywiduowe.
14
4. Cz artystyczna: gar przykadw ilustruj-cych wykorzystanie
MDS
Podamy kilka przykadw ilustrujcych dziaanie MDS. S one
prociutkie,niewyszukane, wzite z posugi dydaktycznej dla
Humanistek, ktrym przy-trao si przey Przygod Edukacyjn w
Uniwersytecie im. Adama Mickie-wicza w Poznaniu. Dydaktyka logiki
na tych specjalnociach kierunku neolo-logia, na ktrych jeszcze nie
skrelono owego przedmiotu z programu studiw,ma charakter prawie
wycznie usugowy. Prby wykadu logiki jako dyscy-pliny naukowej nie
spotykaj si z aplauzem ze strony ani nauczanych, aniZwierzchnoci.
Pozostaje wic ograniczanie si do wykadu rudymentw logicautens:
znajdowania przekadw nieskomplikowanych wyrae jzyka natural-nego na
formuy jzyka KRZ lub KRP, oceny wypreparowanych
rozumowaprzeprowadzanych w jzyku naturalnym pod wzgldem ich
poprawnoci de-dukcyjnej, ustalania, czy dany tekst jest wewntrznie
sprzeczny, itp. Prosimynie traktowa poprzedniego zdania jako
przejawu zarozumiaego nadmiaru am-bicji. Po prostu, troch smuci
administracyjne marginalizowanie uniwersytec-kiej dydaktyki logiki.
W przedmowie do podrcznika Porbska-Sucho 1991na stronie 5 czytamy:
Osignicia logiki formalnej najwaniejszego i cigledynamicznie
rozwijajcego si dziau logiki s na og nieznane szerokim kr-gom ludzi
wyksztaconych, zwaszcza humanistycznie. A w cakiem
niedawnozamieszczonym w Tygodniku Powszechnym licie Logika a
degradacja wiata au-torstwa Panw Profesorw Andrzeja Grzegorczyka
oraz Jana Woleskiego czy-tamy m.in.: Baaganiarskie wzory
postmodernistycznego mylenia, jak populisty-czne (demagogiczne)
argumentowanie, stanowi powane zagroenie dla prawdyi czsto
przyczyniaj si do zlekcewaenia najcenniejszych rozumnych
rozwizawanych problemw. Rygorystyczna konsekwencja logicznego
mylenia jest pod-staw waciwego wypeniania swoich obowizkw,
codziennej uczciwoci, jak inp. waciwego wypeniania misji mediw,
instytucji pastwowych czy organi-zacji pozarzdowych. [. . . ]
Logika nie zbawi wiata, ale moe uczestniczy wprzeciwdziaaniu jego
degradacji.20
Wpodanych niej przykadach wystpi jedynie predykaty jedno- lub
dwuar-gumentowe.
4.1. Kto si czubi. . .
Pokaemy, e nie istnieje interpretacja, w ktrej prawdziwe byyby
jed-noczenie nastpujce trzy formuy:
20http://tygodnik.onet.pl/1580,1212573,dzial.html
15
xy (xPy xQy)xy yPxxy yQx
W pniu budowanego drzewa semantycznego umieszczamy powysze
formuyi stosujemy do nich reguy MDS:
xy (xPy xQy) 5.?b
xy yPx 2.?a
xy yQx 1.
a
(1) y yQa 4.?b
(2) y yPa 3.
b
(3) bPa
(4) bQa
(5) y (bPy bQy) 6.?a
(6) bPa bQa 7.
HHHH
H
(7l) bPa
3,7l
(7p) bQa
4,7p
Wszystkie gazie drzewa s zamknite, a wic badany zbir formu
jestsemantycznie sprzeczny. Nie ma interpretacji, w ktrej te trzy
formuy byybyjednoczenie prawdziwe; nikt: ani wite Ocjum, ani
Sherlock Holmes, aninajwytrawniejsza komisja ledcza interpretacji
takiej nie znajdzie.
Gdy zinterpretujemy jako predykaty P oraz Q, to moemy otrzyma
adny,zwizy, absolutnie nikomu niepotrzebny, semantycznie sprzeczny
tekst. Celowo,tendencyjnie wybierzmy ilustracj kontrowersyjn:
xPy bdzie interpretowane jako x lubi y; xQy bdzie interpretowane
jako x czubi si z y.
Wtedy trzy podane na pocztku tego przykadu formuy otrzymuj
nastpu-jcy przekad:
Kto si lubi, ten si czubi. Kady jest przez kogo lubiany.
Nieprawda,e ze wszystkimi kto si czubi.
16
Brzmi moe i dobrze, a sensu adnego.Mona (susznie!) zgasza
przerne zastrzeenia dotyczce trafnoci tego
przekadu. Np., czy pasywizacja w jzyku naturalnym odpowiada
braniukonwersu relacji w KRP? Czy w przypadku przekadu (z powrotem)
trzechpowyszych zda polskich na jzyk KRP otrzymamy dokadnie formuy
wy-mienione na pocztku tego przykadu? W szczeglnoci, czy czubi si
odda-ne miaoby zosta jako predykat dwuargumentowy, w jednym zdaniu,
czy tewymagane byoby zaznaczenie symetrycznoci rozwaanej relacji? A
moe sytu-acja polegajca na tym, e np. Agata czubi si z Beat nie
jest reprezentowanaprzez jedno zdanie atomowe, lecz raczej w jaki
bardziej zoony sposb? Jakijest najbardziej waciwy szyk wyrae
negacji i kwantykacji w polskim? Odjakich informacji gramatycznych
(a wic obligatoryjnych w wypowiedzi) monaw takich przekadach
abstrahowa; dlaczego przyjmuje si taki, a nie innywybr np. liczby
gramatycznej, rodzaju gramatycznego, itp.? Prawie w kadymprzypadku
igraszek ze znajdowaniem przekadw midzy wyraeniami jzykwnaturalnych
a formuami jzykw logiki napotykamy, jak wiadomo, na wielepodobnych
problemw.
4.2. Troska i zaufanie
Przyjrzyjmy si nastpujcej regule wnioskowania, w ktrej wystpuj
pre-dykaty dwuargumentowe P oraz Q, a take staa indywiduowa a:
x aPx yz (yQz aQy)xy xQy
x xPx x xQx
A teraz zbudujmy drzewo o pniu zoonym z obu przesanek reguy
orazjej zaprzeczonego wniosku. Jeli drzewo to bdzie miao ga otwart,
torozwaana regua jest zawodna: z takiej gazi otwartej odtworzymy
interpre-tacje, w ktrych zarwno przesanki reguy, jak i zaprzeczenie
jej wniosku bdprawdziwe. A w takich interpretacjach przesanki reguy
s prawdziwe, za jejwniosek faszywy, wic istnienie co najmniej
jednej takowej interpretacji wiad-czy o zawodnoci reguy.
17
x aPx yz (yQz aQy) 3.
xy xQy 5.?a 6.?b 18.?c
(x xPx x xQx) 1.
(1g) x xPx 2.
(1d) x xQx 7.?a 8.?b
(2) x xPx 9.?a 10.?b
HHHH
HHHH
(3l) x aPx 4.
b
(4) aPb
(5) yaQy 11.?a 12.?b
(6) ybQy 13.?a 14.?b
(7) aQa
(8) bQb
(9) aPa
(10) bPb
(11) aQa
(12) aQb
(13) bQa
(14) bQb
(3p) yz (yQz aQy) 15.
c
(15) z (cQz aQc) 16.
d
(16) cQd aQc 17.
(17g) cQd
(17d) aQc
(18) y cQy 19.?d
(19) cQd
17g,19
Drzewo zawiera ga otwart, zakoczon liciem , a wic regua
jestzawodna, wniosek nie wynika logicznie z przesanek. Informacja
zawarta natej gazi otwartej pozwala na skonstruowanie takiej
interpretacji, w ktrejprzesanki s prawdziwe, a wniosek faszywy.
Konstrukcja ta polega na po-daniu uniwersum oraz denotacji w nim
predykatw P oraz Q. Potrzebne uni-wersum jest dwuelementowe (zoone
z denotacji staych indywiduowych a orazb), relacje bdce denotacjami
predykatw podane s w poniszych tabelkach;znak + na przeciciu danego
wiersza i danej kolumny oznacza, e relacja za-
18
chodzi midzy elementem z tego wiersza a elementem z tej kolumny,
znak ,e nie zachodzi. Jeli informacja, czy relacja zachodzi, czy
nie zachodzi midzydanymi elementami nie znalaza si w rozwaanej gazi
otwartej, to na przeci-ciu stosownego wiersza i kolumny umieszczamy
znak ? (oznacza to, e moe wtakim miejscu wystpi zarwno +, jak i ).
Zatem dokadniej rzecz ujmujc,informacja zawarta w gazi zakoczonej
liciem wyznacza dwie interpretacje:w jednej z nich prawdziwe jest
bPa, a w drugiej prawdziwe jest bPa (i w obutych interpretacjach
warto logiczna wszystkich pozostaych zda atomowychjest ustalona
zgodnie z poniszymi tabelkami).21
P a ba + b ? +
Q a ba b
Zauwamy jeszcze, e prac na prawej gazi (formua o numerze (3p) i
for-muy pod ni) udao si zakoczy do sprawnie, zamykajc t ga. W
MDSmamy do dyspozycji rne, nie tylko czysto heurystyczne, techniki
pozwalajcena takie usprawnienia.
Oto przykad (zawodnego!) wnioskowania zbudowanego wedle
powyszejreguy przy nastpujcej interpretacji predykatw P oraz Q i
staej indywidu-owej a:
xPy interpretujemy jako x z trosk przejmuje si losem y; xQy
interpretujemy jako x ufa y; staa indywiduowa a denotuje Jzefa
Stalina.22
Jeli Jzef Stalin z trosk przejmuje si losem wszystkich, to
pewnemuobywatelowi, ktry komu ufa, towarzysz Stalin nie ufa, oj nie
ufa.Tak naprawd, to nikt nikomu nie ufa. Zatem nie kady przej-muje
si z trosk wasnym losem lub co najmniej jeden obywatelufa samemu
sobie.
Przekad jest, jak wida, zgrzebny stylistycznie. Sowo obywatel
inter-pretujmy yczliwie jako odpowiadajce predykatowi
uniwersalnemu. Prosimyjeszcze zauway, e na mocy znanego prawa KRZ
wniosek powyszy jest rw-nowany stwierdzeniu: Jeli kady z trosk
przejmuje si swoim losem, to ktoufa sobie samemu.
21W niektrych wersjach MDS otrzymalibymy w analizie tego
przykadu dwie gazie ot-warte, odpowiadajce wanie tym
interpretacjom.
22Mamy szczcie y w wiecie, w ktrym denotacja tej staej jest ju
truchem. Nie kadyzdy to o sobie powiedzie.
19
Interpretacje wyznaczone przez ga otwart powyszego drzewa
(wskazu-jce, i rozwaana regua wnioskowania jest zawodna) maj
uniwersum zoonez Jzefa Stalina oraz pewnego innego obywatela,
ktrego denotuje staa indy-widuowa b i w ktrych:
po pierwsze, nikt nikomu nie ufa; po drugie, kady z trosk
przejmuje si swoim wasnym losem; po trzecie, towarzysz Stalin
bynajmniej nie wykazuje troski o los obywatela
oznaczanego przez b;
po czwarte, jest dokadnie obojtne, czy w skromny obywatel
ukrywajcysi pod nazw b troszczy si o los Wielkiego Jzykoznawcy, czy
te nie.
Towarzysz Lenin pono mawia dobrotliwie mniej wicej tak: Ufa
dobrze,kontrolowa lepiej. Nie wiemy, czy myl t koczy jakim
superlatywem.
4.3. Lustereczko, powiedz. . .
Pokaemy, e nastpujca formua nie jest tautologi rachunku
predykatwz identycznoci:
Pa x (Px x = a).Budujemy drzewo semantyczne dla negacji tej
formuy:
(Pa x (Px x = a)) 1.
HHHH
HHHH
HH
(1lg) Pa
(1ld) x (Px x = a) 2.
b
(2) (Pb b = a) 3.
HHHH
HH
(3lg) Pb
(3ld) b = a
(3pg) Pb 4.3pd,a//b
(3pd) b = a
(4) Pa
1lg,4
(1pg) Pa
(1pd) x (Pa x = a) 5.?a
(5) Pa a = a 6.
HHHH
H
(6lg) Pa
(6ld) a = a
1pg,6lg
(6pg) Pa
(6pd) a = a
6pd
20
Drzewo ma jedn ga otwart (i do adnej z formu na tej gazi nie
monaju zastosowa adnej z regu), a zatem formua umieszczona w jego
korzeniujest prawdziwa w co najmniej jednej interpretacji. Std,
rozwaana na pocztkutego przykadu formua jest w teje interpretacji
faszywa, a wic jako faszywaw co najmniej jednej interpretacji nie
jest tautologi rachunku predykatw zidentycznoci.
Z budowy tego drzewa wida, e implikacja:
x (Px x = a) Pa
jest tautologi, natomiast implikacja:
Pa x (Px x = a)
tautologi nie jest.Nastpujca, ad hoc wymylona interpretacja
predykatu P oraz staej indy-
widuowej a:
Px interpretujemy jako x jest warta grzechu; staa indywiduowa a
denotuje. . . no tak, jest tu pewien problem natury
estetycznej; ale niech bdzie z gustami si nie dyskutuje niech
adenotuje Miss Podkarpacia 2000
pozwala odczyta implikacj:
Pa x (Px x = a)
np. tak:
Jeli Miss Podkarpacia 2000 jest warta grzechu, to dokadnie
tylkoona jest warta grzechu.
Suymy licznymi przykadami ukazujcymi, i nastpnik tej implikacji
jestfaszywy, cho jej poprzednik pozostaje (!) prawdziwy.23 Wierzymy
zreszt, ekada z uroczych Czytelniczek tego tekstu, od Tatr do
Batyku i od Freund-schaftsgrenze na Odrze do granic wschodnich
chwilowo zjednoczonej Europy,sama gotowa jest, za pomoc zwykego
lustereczka, przekona si o powyszym.
23Powtrzmy, modulo gusta. By moe, za, powiedzmy, 15, 115 lub
1115 lat yczliwyCzytelnik uaktualni wybr denotacji dla tej staej.
Moich (JP) prochw to ju nie ucieszy, alenic-to. Ciekawym problemem
pozalogicznym jest, czy kogokolwiek bdzie si wtedy jeszczeuczy
logiki. Czyje bdzie Podkarpacie nie jest dla mnie (JP) tak ciekawe.
Daj wiarKsidzu Profesorowi Jzefowi Tischnerowi, ktry w jednym ze
swych felietonw pisze: ABartek Koszarek z Bukowiny, co na Gsiej Syi
by i sytkiego wysucho, jakimsi takim wiremporwany, wsto na nogi,
przecignn sie, coby kociska wyproci, i zawnioskowo: wiatjest boski,
a dziewcta nase. I pose dou na Mae Ciche.
21
4.4. Drzewa nieskoczone
Klasyczny rachunek predykatw jest, jak prawie wszystkim wiadomo,
nie-rozstrzygalny. Jest jednak prozstrzygalny, co ustali mona m.in.
za pomocMDS (oraz pamitajc o poprawnoci tej metody). Jeli jaka
formua jzykaKRP jest tautologi KRP, to drzewo semantyczne jej
negacji jest zamknite.Jeli za formua A tautologi KRP nie jest, to
budowa drzewa semantycznegojej negacji moe by w skoczonej liczbie
krokw niewykonalna.
4.4.1. Czy wykraczanie poza FOL zmusza do logicznego
agnosty-cyzmu?
Dzie bez odrobiny mistycyzmu to dla Humanistki dzie szary,
nijaki, niewarty przeycia, co w rodzaju 32 grudnia. Zobligowani
czujemy si wic aby dydaktyka logiki odbierana bya przez Humanistki
jako nie-bez-duszna do ubogacania jej, na dostpne nam sposoby.
Prosimy np. przenie si w(przepastnej u Humanistek) wyobrani z
pomieszcze wykadowych w dawnejfabryce czogw HCP Cegielski24 do
0-gwiazdkowego Hotelu Hilberta i epatu-jemy dziewczta prb
semantycznej analizy powiedzmy nastpujcego zdania:
O ile za kad liczb naturaln nastpuje niemniejsza od niej
liczbanaturalna, to Jedyna Tajna Liczba Naturalna Kodujca
Niepoznawal-ne Imi Dobrego Pana Naszego JHWH jest niemniejsza od
wszyst-kich liczb naturalnych.
Powinnimy pomin w tym miejscu szereg szczerych, spontanicznych
wy-powiedzi Humanistek w reakcji na wysuchanie tego zdania (np.:
wyraaniesympatii dla liczb 36 oraz 69, a chodu emocjonalnego dla
liczb 96 oraz 666).Rozwamy natomiast formu jzyka KRP odpowiadajc mu
skadniowo:
() xy yRx x aRx
(predykat R nazywa tu relacj niemniejszoci, a staa indywiduowa a
jest skrom-nym symbolem dla Jedynej25 Tajnej Liczby Naturalnej
Kodujcej NiepoznawalneImi Dobrego Pana Naszego JHWH; to, czy
kodowanie podlega reguom znanymCadykowi z Leajska, Jego witobliwoci
Dalajlamie, synnemu ze swojej do-ciekliwoci Ignacemu Loyoli, czy
jakiemukolwiek godnemu sawy Praatowi, niema tu oczywicie
znaczenia).
Profesor Witold Marciszewski wykorzysta formu o takiej budowie
skad-niowej jak formua powysza w artykule On going beyond the
rst-order logicin testing the validity of its formulas. A case
study. (Marciszewski 2002) dla
24UAM dzierawi tam pomieszczenia, miejmy nadziej, e bez strat
dla potgi militarnejRzeczpospolitej Polskiej. Zreszt, oszukalimy:
HCP produkowaa silniczki do deczek.
25Przykad ten mona na rne sposoby komplikowa, m.in. wykorzystujc
MDS wzboga-con o reguy dla operatora deskrypcyjnego podane np. w
artykule Lis 1960.
22
poczynienia interesujcych reeksji o naturze intuicji
matematycznej. Przy-toczmy najpierw, za Autorem, drzewo semantyczne
dla negacji tej formuy:
(xy yRx x aRx) 1.
(1g) xy yRx 3.?a 4.?b 7.?c 8.?d . . .
(1d) x aRx 2.
b
(2) aRb
(3) y yRa 5.
c
(4) y yRb 5.
d
(5) cRa
(6) dRb
(7) y yRc 9.
e
(8) y yRd 10.
f
...
Budowy tego drzewa zakoczy nie mona, co powinno by wyranie
widocz-ne po przeledzeniu kilku pierwszych krokw w powyszej
konstrukcji. Rozwaa-na na pocztku tego przykadu formua nie jest
tautologi KRP. Algorytm MDSnie daje odpowiedzi w skoczonej liczbie
krokw. Moemy poda interpretacje,w ktrych formua () jest prawdziwa
(drzewo semantyczne dla () jest sko-czone i ma dwie gazie otwarte,
jak atwo sprawdzi) interpretacj tak jestnp. uniwersum
jednoelementowe zoone z denotacji staej indywiduowej a, gdyrelacja
denotowana przez R zachodzi midzy tym jedynym elementem a nimsamym.
Moemy te jednak, zauwaajc regularno w konstruowaniu corazto
wikszych fragmentw drzewa semantycznego dla negacji formuy (),
podainterpretacj nieskoczon, w ktrej negacja () jest prawdziwa. Nie
upowanianas do tego sam algorytm kierujemy si zatem intuicjami
(wychodzcymipoza logik pierwszego rzdu).
Witold Marciszewski sytuacj t komentuje nastpujco:
This situation will be interpreted in dierent ways by a
compution-alist and by someone believing that in some cases human
intuitionalone is able to solve a problem unsolvable for
algorithms. Let thelatter be called intuitionist (in a special, ad
hoc coined, meaning).The intuitionist's comment runs as follows.
The process will neverstop, hence the problem is unsolvable for the
algorithm, while in-
23
tuitively we can be certain of two things. First, that the
formulais not valid, since there is a lot of counterexamples
supplied by ourknowledge, both mathematical and empirical. Second,
that the pro-cess never stops. The latter judgment derives from the
observationthat the loops must innitely be generated by the
structure of theformulas in question. When a new individual is
being introducedby the lastly occurring existential quantier, the
universal formulahas to be once more tested against the existence
of that individual,and according to the same formula, its existence
generates the nextindividual, and so on in innity. The clause `and
so on, in innity'is what no algorithm can arrive at, while with
humans it expresses asimple observation of regular recurrence for
which there is no reasonto halt.The computionalist, on the other
hand, would argue as follows. Theobservation concerning the innite
series of recurring loops may bewrong. We cannot be sure of it,
because only an algorithm cangrant us certainty. Should it be true,
it would result from a hiddenalgorithm of which the person
reasoning is not aware of. Such analgorithm is, presumably, encoded
in a language of neural system.
Marciszewski 2002, 23
Marciszewski podaje take przykad interpretacji skoczonej
(czteroelemen-towego zbioru uporzdkowanego liniowo przez jak relacj
R), w ktrej faszywajest formua
() xy xNy yx xNygdzie N jest predykatem denotujcym relacj
zachodzc midzy x oraz y wtedyi tylko wtedy, gdy jeden z tych
elementw jest bezporednim R-poprzednikiemlub bezporednim
R-nastpnikiem drugiego. Jeli xNy, to mwmy, e x oraz ys ssiadami.
Autor zauwaa, e np. zbir liczb naturalnych {1, 2, 3, 4} wraz
zezwykym porzdkiem (i w wyej podany sposb okrelon relacj
ssiedztwa)jest wanie kontrmodelem dla (). Dodajmy, e rwnie np. zbir
postaci{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} z relacj denotujc predykat
N okrelony nastpu-jco:
(x, y)N(u, v) wtedy i tylko wtedy, gdy x = u lub y = v
take jest kontrmodelem dla ().Nie jestemy natomiast pewni, czy
dobrze rozumiemy ponisze uwagi Witolda
Marciszewskiego koczce punkt 3 omawianego tekstu (konkretnie,
wyrnioneprzez nas kursyw zdania z poniszego cytatu):
However, it is not necessary to mention denite objects, as
num-bers or other ones. The counterexample can be produced in a
moreabstract way as concerned with any objects linked with one
an-other by relations whose formal properties are dened in logical
andset-theoretical terms alone.
24
The relation to order the set in question is dened as
transitive,asymmetric and connected in that set, while the
neighbourhood re-lation as symmetric and non-transitive in the same
set. The otherassumption is to the eect that the domain consists of
exactly fourindividuals. Its wording requires no more than the
language of FOLwith identity. When dening the formal properties of
relations, onehas to use the concept of set and membership, hence a
set-theoreticallanguage. Since set theory can be replaced by
higher-order logics, thecounterexample in question may be regarded
as stated in sole logicalterms (without any extralogical concepts)
but going beyond the limitsof rst-order logic.Once having such a
counterexample, we draw the metalogical con-clusion that there is a
domain in which the denial of CC [tj. formuy() w przyjtych tu
oznaczeniach IBK, JP] holds, hence CC isno universally valid
formula. And so the case is solved, owing tothat small step towards
a stronger system.
Marciszewski 2002, 34
Zauwamy dwie rzeczy:1) Niech R bdzie relacj spjn, asymetryczn i
przechodni, N niech
bdzie sum R R2 i konwersu R R2 (a wic relacj ssiedztwa w
takimrozumieniu, jak podaje wyej Marciszewski), uniwersum niech
zawiera dokad-nie cztery elementy i niech zachodzi poprzednik
formuy () oraz zaprzeczeniejej nastpnika. Wtedy gazie otwarte
drzewa semantycznego, w ktrego pniuumiecimy te wszystkie warunki s
wszystkie nieskoczone. Oto bowiem tewarunki:26
xy (xRy yRx)xyz (xRy yRz xRz)xy (x = y (xRy yRx))x1x2x3x4 ((x1 =
x2 . . . x3 = x4) y (y = x1 . . . y = x4))xy [xNy ((xRy z (xRz
zRy)) (yRx z (yRz zRx)))]xy xNyyx xNy
Poniewa dwa ostatnie z nich bd, po kadym zastosowaniu reguy
R()lub R() wprowadzay formuy: egzystencjalnie skwantykowan oraz
negacjgeneralnie skwantykowanej, wic w kadej gazi otwartej
budowanego drzewarozwaa naleaoby coraz to nowe stae indywiduowe, a
w konsekwencji, adnaz takich gazi nie bdzie skoczona. Z konstrukcji
samego drzewa nie jest wicwidoczny sposb znalezienia skoczonej
interpretacji falsykujcej () (przydodatkowych zaoeniach
poczynionych o R i N). Wszystkie warunki wyraone
26R oraz N s w nich predykatami denotujcymi rozwaane relacje;
uywanie w tym przy-padku takich samych symboli dla predykatu i jego
denotacji jest powszechnie przyjt prak-tyk.
25
zostay w jzyku rachunku predykatw pierwszego rzdu nie ma
koniecznoci,gdy mwimy o wasnociach relacji, odwoywania si do
terminw teoriomno-gociowych.
2) Jeli udao nam si zrozumie cytowany fragment artykuu Witolda
Mar-ciszewskiego, to przypuszczamy, e Autorowi chodzio w powyszym
cytacie owyraenie przede wszystkim czego innego, jak zreszt mona
sdzi z uwagw czci 4 omawianego artykuu. Ot kontrmodele dla () (a
take kontr-modele dla ()) wyszukujemy podrujc w klasie wszystkich
moliwych inter-pretacji (okrelonej sygnatury). Jestemy wic na
terenie metajzyka, w nimbowiem mwimy o tych interpretacjach. W
metajzyku uywamy, zgoda, pojteoriomnogociowych.27 W tym sensie
wspomaganie MDS obserwacjami meta-logicznymi jest wychodzeniem poza
FOL. Moemy mie szczcie i odnalestosowne interpretacje skoczone,
moemy te dopomc szczciu wyobranii ekstrapolowa dostrzeone na
pocztkowym fragmencie gazi nieskoczonejregularnoci dla wskazania
interpretacji nieskoczonej o danych wasnociach.
Witold Marciszewski powouje si w czci 4 swojego artykuu na
wypowiedziGdla (Gdel 1936), Turinga i komentarze Hodgesa dotyczce
moliwoci roz-strzygania zda nierozstrzygalnych w danym systemie
logicznym w systemieode silniejszym (cigi coraz mocniejszych
systemw dedukcyjnych, cigi corazmocniejszych maszyn Turinga, itp.).
Problematyka ta badana jest intensywnieod kilkudziesiciu lat, wie
si z subtelnymi rozwaaniami w teorii dowodu,uoglnieniami klasycznej
teorii rekursji, itd. Nie nam maluczkim gos w tychsprawach zabiera,
bo oprcz wspomnie z wykadw, nie mamy do powiedzenianic nowego. Moe
zwrmy jedynie uwag na ciekawy jak si zdaje faktz historii logiki.
Ot w latach trzydziestych XX wieku projekty logiki inni-tarnej
przedstawia Ernst Zermelo (zob. np. Zermelo 1932, 1935; por. te
np.Moore 1995, Taylor 2002). Systemy te wzorowane byy na wizji
wiata teoriimnogoci przedstawionej w artykule Zermelo 1930. Pomysy
Zermela nie miaywwczas szans na precyzacj i rozwj, z rnych, nie
tylko stricte matematy-cznych powodw. Zainteresowanie i
systematyczne badania logik innitarnychoywione zostay dopiero po
dwch dekadach, m.in. za spraw prac Tarskiego,Mostowskiego, Henkina,
Scotta, Karp, Nowikowa, Robinsona, i in. Nie nawi-zyway one jednak
do pomysw Zermela i miay nieco inne motywacje (m.in.algebraiczne).
Chyba dopiero rozwijana z inspiracji Barwise'a teoria zbiorw
do-puszczalnych (i rekursji na takich zbiorach) jest precyzyjnym
matematycznymodpowiednikiem p-formalnych propozycji Zermela (zob.
np. Barwise 1975).Wspominamy tu o tym m.in. dlatego, e Zermelo take
rozwaa hierarchiecoraz to silniejszych systemw dowodowych, wierzy
jednak w rozstrzygalno(w okrelonym sensie) wszelkich zda
matematycznych; nie trzeba dodawa, eowo Zermelowskie rozumienie
rozstrzygalnoci nie pokrywao si z rozumieniemzwycisko propagowanym
wczenie przez Gdla i innych.
W podrcznikach logiki jako przykad falsykujcy formu o budowie
skad-27Osobn jest spraw, jakie przyjmuje si ograniczenia
metalogiczne: dlaczego np. uywanie
rodkw tak silnych, jak, powiedzmy, lemat Kniga lub aksjomat
wyboru w, dajmy na to,dowodzie twierdzenia o penoci, nie sprawia, e
tracimy ufno w efektywn prawomocnosamego dowodu.
26
niowej takiej, jak formua () podaje si czsto interpretacj zoon
ze zbioruliczb naturalnych wraz z relacj niewikszoci. Zadufan pych
i akomstwointelektualne tych niewdzicznikw, ktrym boski rzekomo
podarunek liczb na-turalnych wydaje si zbyt ubogi, zadowol moe inne
interpretacje falsykujceformu o budowie takiej jak formua (). Dla
przykadu, zbiory:
{n : n }
{in : n }ze stosownie okrelonymi porzdkami, s tego typu
interpretacjami.
4.4.2. Uniwersalny lubienik
Mona z atwoci wskazywa skoczone interpretacje falsykujce formuyo
budowie takiej, jak formua (), co pokazujemy poniej.
Uznajmy, e przekadem zdania Jeli kady kogo kocha, to kto jest
kochanyprzez wszystkich na jzyk KRP jest nastpujca formua:
( ) xy xKy yx xKy
Czy jest ona prawdziwa w jakiej interpretacji? Budujemy drzewo
semanty-czne dla tej formuy:
xy xKy yx xKy 1.
HHHH
HHH
(1l) xy xKy 2.
a
(2) y aKy 3.?a
(3) aKa
(1p) yx xKy 4
a
(4) x xKa 5.?a
(5) aKa
Do adnej z formu, na adnej z gazi tego drzewa, nie mona ju
zas-tosowa adnej z regu. Obie gazie drzewa s otwarte. Formua ta
jest zatemprawdziwa np. w wiecie, w ktrym zaywa istnienia
narcystyczny samolub, atake w wiecie, w ktrym toczy swj ywot
brzydzcy si sob niesamolub.
Wiemy, e ( ) nie jest tautologi KRP: jej budowa skadniowa jest
takasama, jak (), a widzielimy, i () tautologi KRP nie jest (to, e
predykatN deniowany by w pewien sposb w 4.4.1. nie jest przy tym
istotne).
Spjrzmy jednak na drzewo semantyczne negacji formuy (). Bdzie
ono,podobnie jak drzewo semantyczne negacji formuy () nieskoczone.
Czytelnikzauway rzecz jasna rnice skadniowe midzy () oraz ( ). Ze
wzgldu
27
na nie, interpretacje nieskoczone, ktre odgadujemy ze stosownych
gazi ot-wartych w drzewach negacji () oraz negacji () bd
strukturalnie rne.28
(xy xKy yx xKy) 1.
(1g) xy xKy 2.
a 5.?b 8.?c
(1d) yx xKy 3.?a 6.?b 9.?c
(2) y aKy 4.
b
(3) x xKa
(4) aKb
(5) y bKy 7.
c
(6) x xKb
(7) bKc
(8) y cKy 10.
d
(9) x xKc
(10) cKd
...
Drzewo jest nieskoczone, tzn. nie mona zakoczy budowy tego
drzewaw skoczonej liczbie krokw. Na pocztku wprowadzilimy now sta
indy-widuow a rozwijajc zdanie generalnie skwantykowane o numerze
(1g) (napocztku niniejszego artykuu tumaczylimy, kiedy wykonujemy
taki krok).Przez stosowanie reguy R() do formuy o numerze (1d), dla
kadej nowo-wprowadzonej staej, uzyskujemy coraz to nowe zdania
egzystencjalnie skwan-tykowane: (2), (5), (8). Nadto, take formuy o
numerach (3), (6) oraz (9)stanowi podstaw do wprowadzania nowych
staych indywiduowych.
Skoczone interpretacje, w ktrych poprzednik rozwaanej implikacji
( )jest prawdziwy, a jej nastpnik faszywy poda nietrudno. Wyobramy
sobienp., e Ludzko skada si tylko z dwojga osobnikw, powiedzmy
Adama iChawy, Adam kocha Chaw, siebie samego nie kocha (bo np. ma
wstrt doautoerotyzmu), a Chawa kocha tylko siebie, taka ju jest. W
takim wiecie niema Istoty, ktra kocha wszystkich: Adama nie kocha
nikt. Pozostawmy tenwiat swemu losowi.
28Zachcamy Czytelnika do zabawy w znalezienie odnonych
interpretacji.
28
Take np. w wiecie, w ktrym yj jedynie Adam i Chawa, kochajcysi
nawzajem (i nikogo poza tym, a wic bez adnego narcyzmu)
poprzednikpowyszej implikacji jest prawdziwy, a nastpnik faszywy.
Na marginesie za-uwamy, e w wiecie takim nie ma miejsca dla pontnej
Lilith. . .
4.4.3. Drzewa i jee
W artykule Lis 1960 analizuje si proces konstrukcji drzewa
semantycznegodla formuy podanej przez Schtte'go:29
(F) (x)[ R(x, x)&(Ey){R(x, y)&(z)[R(z, x) R(z, y)]}]Lis
odwouje si do pracy Beth 1955, w ktrej formua ta zostaa
wymieniona.
Nie jest ona tautologi KRP drzewo semantyczne jej negacji jest
skoczonei zawiera gazie otwarte.
W artykule Lis 1960 pokazuje si, e formua (F) nie jest
kontrtautologi.Jej drzewo semantyczne jest nieskoczone:30
Stosujc dla tej formuy regu (iv), wprowadzamy element nk+1
+.R(nk, nk+1)&(z)[R(z, nk) R(z, y)]i tak dalej w
nieskoczono.Wida std jasno31, e uniwersum modelu dla formuy
Schttegojest mocy 0. Natomiast relacja R zachowuje si w sposb
nastpu-jcy:
dla kadego k (k = 1, 2, . . . , n, . . .): R(nk, nk).dla kadych
k, l takich, e k > l (k, l = 1, 2, . . . , n, . . .): R(nk,
nl).dla kadych k, l takich, e k < l (k, l = 1, 2, . . . , n, . .
.): R(nk, nl).
Na podstawie tych rozwaa mona ju zbudowa model, w ktrymspeniona
bdzie, wbrew przypuszczeniu, formua Schttego: zbir{n1, n2, . . . ,
n, . . .} bdzie zbiorem liczb naturalnychN = {1, 2, 3, . . . , n, .
. .}, za relacja R relacj mniejszoci.
Lis 1960, 46.
W dalszej czci swego artykuu Lis pisze, e budowanie kontrmodeli
nie-skoczonych jest uzasadnione lematem Kniga. W tym wic sensie
rwnieLis wychodzi poza FOL w zastosowaniach MDS. Jest to jednak
odwoaniesi do rozwaa metalogicznych, a nie do np. logik z
innitarnymi reguamiwnioskowania.
29Nie objaniamy uywanej notacji, sdzc, e domylny Czytelnik da
sobie z ni rad.30Wyrysowanie pocztkowego fragmentu (powiedzmy,
pierwszych trzech kilometrw, drob-
nym pismem) tego drzewa polecamy osobom odsiadujcym wyroki np.
za lekcewaenie prawlogiki niech odo gazety lub czasopisma i rysuj.
. .
31Wyrnienie nasze IBK, JP.
29
W drzewach semantycznych budowanych w pewien okrelony sposb (w
tzw.
systematycznych tabelach semantycznych) formuy znajdujce si na
danej gaziotwartej tworz zbir Hintikki. Na mocy lematu Hintikki,
kady taki zbirjest spenialny (ma model). Nie oznacza to jednak, e
algorytm systematy-cznego tworzenia tabel semantycznych (zob. np.
Ben-Ari 2005, 130131) jestjednoczenie generatorem interpretacji
speniajcych dan formu:
Naley zaznaczy, e przedstawiony algorytm nie jest
algorytmemznajdujcym interpretacj speniajc podan formu, gdy pewnaga
moe by rozbudowywana w nieskoczono. Metoda tabel se-mantycznych dla
rachunku predykatw umoliwia jedynie dowodze-nie prawdziwoci formu
przez wykazanie domknitoci tabeli dlanegacji badanej formuy.
Poniewa w tabeli domknitej wszystkiegazie s domknite, wic kolejno
stosowania regu nie ma zna-czenia. Systematyczne tworzenie tabeli
jest niezbdne do uzyskaniapenoci.
Ben-Ari 2005, 131Smullyan zwraca uwag na pewn szczegln klas
formu, wysoce odpornych
na zastosowania MDS:We thus see how tableaux not only can be
used to show certainformulas to be unsatisable (or equivalently to
show certain formulasto be valid), but also can sometimes be used
to show certain formulasto be satisable (when these formulas happen
to be satisable in anite domain). The real mystery class consists
of those formulaswhich are neither unsatisable nor satisable in any
nite domain.If we construct a tableau even a systematic one for any
suchformula, the tableau will run on innitely, and at no nite
stagewill we ever know that the formula is or is not satisable.
Thereare formulas which are satisable but not in any nite domain
(cf.exercise below). However, the demonstration of their
satisabilitycannot be accomplished within the framework of analytic
tableaux.
Smullyan 1968, 63Przykady formu, o ktrych wspomina Smullyan w
przedostatnim z cy-
towanych zda nietrudno poda: taka jest np. formua (F), a take
formuajzyka KRP z identycznoci i symbolem funkcyjnym, powiedzmy f ,
wyraajcafakt, e f denotuje injekcj, ktra nie jest surjekcj.
Drzewo semantyczne formuy (F) ma gazie nieskoczone, ale drzewo
ne-gacji (F) jest skoczone. Czy istnieje formua taka, e zarwno jej
drzewosemantyczne, jak i drzewo jej negacji maj gazie nieskoczone?
Oczywicietak; aby poda przykad wystarczy np. podsucha nastpujc
rozmow wjakim polskim barze:32
32Rozmowa stylizowana. Wulgaryzmy zastpiono wykropkowaniem w
nawiasach kwadra-towych.
30
Zenek: Sam [. . . ] widzisz, Wacek, jak to u nas [. . . ] jest:
niedo, e mamy [. . . ] bezrobocie, to [. . . ] kady jest u kogo [.
. . ]zaduony.
Wacek: Szkoda [. . . ] gada, Zenek, zodziej [. . . ] na
zodziejui zodziejem [. . . ] pogania! Ale jeli kady jest przez kogo
[. . . ]okradany, to ten [. . . ] [. . . ] [. . . ] Balcerowicz
wszystkich nas [. . . ]okrada. Mnie, ciebie, nasz urocz Pann Jadzi,
wszystkich, [. . . ].To co, jeszcze po jednym? Panno Jadziu,
Krlewno nasza! Jeszczedwa prosimy!
Struktura skadniowa wypowiedzi Zenka odpowiada formule :
x Bx xy xZy.Formua , odpowiadajca strukturze skadniowej
wypowiedzi Wacka, jest
zbudowana tak samo, jak rozwaana wczeniej formua ():
xy yOx x aOx.Wystpujce tu predykaty czytamy:
Bx x jest bezrobotny;
xZy x jest zaduony u y;
xOy x okrada y.
Staa indywiduowa a denotuje Profesora Leszka Balcerowicza.
Urocza PannaJadwiga pozostaje poza analiz logiczn.
Formuy oraz maj drzewa skoczone, natomiast formuy oraz maj
drzewa nieskoczone. W konsekwencji, zarwno alternatywa jak i
jejnegacja, tj. () maj drzewa nieskoczone. Jednak zarwno drzewo tej
al-ternatywy, jak i drzewo jej negacji zawieraj take skoczenie
wiele skoczonychgazi otwartych.
Innym (z nieskoczenie wielu) tego typu przykadw jest formua
x (y yRx xRx) y x yRx.
Jej drzewo semantyczne ma skoczon ga otwart oraz ga
nieskoczon.Natomiast drzewo semantyczne jej negacji ma nieskoczenie
wiele skoczonychgazi otwartych (odpowiadajcych modelom skoczonym o
coraz wikszej licz-bie elementw) oraz ga nieskoczon.
W podrczniku Hedman 2004 znajdujemy na stronie 94 wiczenie 2.15.
(a),polegajce na podaniu przykadu formuy takiej, e zarwno , jak i
maj modele skoczone dowolnie duych mocy, a przy tym jest prawdziwaw
kadym grae spjnym. Zauwamy, e na mocy twierdzenia o zwartoci
dlaKRP, zarwno , jak i musz mie wtedy take modele nieskoczone,
a
31
zatem drzewa semantyczne oraz maj nieskoczenie wiele
skoczonychgazi otwartych, a take gazie nieskoczone.
Z MDS zwizanych jest wiele wynikw z klasycznej teorii modeli, a
takenp. z intensywnie rozwijanej od pewnego czasu teorii modeli
skoczonych (zob.np. Ebbinghaus, Flum 1999).
Na koniec powyszych, by moe bardzo naiwnych, uwag o
nieskoczonychdrzewach semantycznych podajmy jeszcze jeden
przykad:
(FF) x a1Rx x y (a1Rx a1Ry).Pocztkowy fragment drzewa
semantycznego tej formuy wyglda nastpu-
jco:
32
x a1Rx x y (a1Rx a1Ry) 1.
(1g) x a1Rx 2.?a1 5.?a2 8.?a3 11.?a4 14.?a5
(1d) x y (a1Rx a1Ry) 3.?a1 6.?a2 9.?a3 12.?a4 15.?a5
(2) a1Ra1
(3) y (a1Ra1 a1Ry) 4.
a2
(4) a1Ra1 a1Ra2(5) a1Ra2
(6) y (a1Ra2 a1Ry) 7.
a3
(7) a1Ra2 a1Ra3(8) a1Ra3
(9) y (a1Ra3 a1Ry) 10.
a4
(10) a1Ra3 a1Ra4(11) a1Ra4
(12) y (a1Ra4 a1Ry) 13.
a5
(13) a1Ra4 a1Ra5(14) a1Ra5
(15) y (a1Ra5 a1Ry)...
To drzewo ma nieskoczenie wiele gazi zamknitych oraz ga
niesko-czon. Na podstawie informacji zawartej w gazi nieskoczonej
tego drzewabudujemy nieskoczony model dla formuy (FF) tak oto:
1) uniwersum stanowi nieskoczony zbir A = {a1, a2, a3, . . .}2)
relacja R denotujca predykat R okrelona jest na tym zbiorze
warunkiem:
a1Rai dla i > 1.
Czytelnik zechce wyobrazi sobie nieskoczonego 0-jea
odpowiadajcegotej interpretacji. To skromne Zwierz odpowiedzialne
jest za tytu niniejszegoartykuu. Uwaamy za interesujce, z
dydaktycznego punktu widzenia, take
33
takie zadania wykorzystujce MDS, w ktrych dla z gry zadanej
struktury rela-cyjnej (np. grafu okrelonej postaci) znale trzeba
formuy, dla ktrych gazieotwarte ich drzew semantycznych nios
informacj o wybranej strukturze. For-mua (FF) zostaa poczta w ten
wanie sposb przez powyszego jea.
Gdy wychodzimy poza klasyczny rachunek logiczny (poza FOL), to
moemy
liczy na przygody zarwno mie, jak i niemie (z pragmatycznego
punktu wi-dzenia). Z jednej strony, moemy uzyska wiksz moc wyraania
(np. charak-teryzowa pojcie nieskoczonoci formu jzyka
przedmiotowego, wyrazi za-sad domknicia, uzyskiwa kategoryczne
opisy badanych struktur matematy-cznych, itd.). Z drugiej strony,
moemy utraci pewne wasnoci metalogiczne,do ktrych jestemy nie tylko
przywizani tradycj, ale ktrych gotowi jestemydogmatycznie (?) broni
jak . . . racjonalizmu chyba jest tak z np. peno-ci uywanego
systemu logiki.33 W pewnym sensie, najwikszymi
dokonaniamilogicznymi ubiegego stulecia byy te rezultaty, ktre
pozwoliy na uwiadomie-nie sobie niemoliwoci osignicia jednoczenie
pewnych, podanych kadyz osobna, ideaw metodologicznych (np.
kategorycznoci i penoci). Dopieropo uzyskaniu tej wiadomoci
metodologicznej dyskusja na temat samej naturylogiki (np. spory wok
Tezy Pierwszego Rzdu) nabraa nowego, peniejszegoznaczenia (zob.
np.: Barwise-Feferman 1985, Shapiro 1996, Tennant 2000).
Pozostawiamy decyzji Czytelnika, kogo z dwch niej wymienionych
bybyskonny nazywa agnostykiem logicznym:
kogo, kto wyklucza moliwo, aby uywany przeze system logiki
poz-bawiony by penoci, godzc si jednoczenie z tym, e nie moe w
tymsystemie w sposb kategoryczny opisa struktur, ktre bada;
kogo, kto woli dysponowa systemem logicznym na tyle bogatym
(wrodki wyraania), aby mona w nim byo w sposb kategoryczny
opisywainterpretacje, ale kto wtedy wyraa zgod na to, e uywana
aparatura in-ferencyjna nie daje gwarancji dotarcia do wszystkich
tautologii stosowanejlogiki.
Bodaj wikszo wspczesnych logikw uznaje, e to wanie cecha
penocijest fundamentalna dla badanych systemw. Kategoryczno (we
wszelakich jejodmianach) to cecha przynalena bardziej sferze bada
matematycznych nilogicznych.
Zacytujmy jeszcze dwa zdania koczce przywoywany ju wyej
artykuMarciszewski 2002; myl zawarta w drugim z nich ma, z pewnoci
nie tylko wnaszej opinii, niezwykle gboki sens lozoczny:
A computing machine can solve very complex problems owing tosome
software and data based on strong assumptions due to the
33Nadrzdn cech metalogiczn jest niesprzeczno. Mona z sukcesem
rozwija rnesystemy logik parakonsystentnych, ale parakonsystentna
metalogika wydaje si by post-modernistyczn fantasmagori.
34
bold Platonian approach. To opt for such an approach, going
veryfar beyond the mundane realm of rst-order logic, it is a
humanaair and human responsibility.
Marciszewski 2002, 5
5. Kilka uwag kocowych
Na zakoczenie par sw o treci przygotowywanego podrcznika. Jak
juwspomniano, nie jest to wykad logiki, a jedynie prezentacja
jednej z metod, amianowicie MDS. Pokazujemy, w kilkudziesiciu
zanalizowanych przykadach,jej dziaanie w KRZ oraz KRP. Przytaczamy
dowd poprawnoci metody. Po-dajemy twierdzenia metalogiczne, z
ktrymi jest zwizana MDS. Informujemyo historii MDS (na szerszym tle
historii rozwoju metalogiki) oraz o pewnych jejzastosowaniach, np.
w automatycznym dowodzeniu twierdze oraz w badaniupoprawnoci
programw. Zadania zamieszczone w podrczniku pogrupowanes w zestawy
jednorodne tematycznie; wikszo zada zaopatrzona jest wrozwizania bd
wskazwki. Kompozycja tekstu umoliwia przeprowadzeniena jego
podstawie dwch typw zaj: 1) propedeutycznego wykadu dla Hu-manistek
oraz 2) uzupeniajcego wykadu dla studentw matematyki i
infor-matyki.
Poda podrcznikw logiki znacznie przewysza w Rzeczpospolitej
Polskiejpopyt na nie, co moe dobrze wiadczy o talentach
dydaktycznych rodowiskaakademickiego i jako tam wiadczy o rzeszach
obywatelek i obywateli, ktrzyraczej skpo daj zarobi autorom
podrcznikw.
Przystpny, przyjazny dla Czytelnika podrcznik, jak wiadomo, musi
spe-nia wiele warunkw, np.:
nie moe szkodzi zawiera informacji faszywych, baamutnych
pseu-dowyjanie, niewykonalnych polece, itp.
nie moe odstrcza od przedmiotu a wic (jeli adresowany jest do
szer-szego grona, to) nie powinien by chyba wysoce zaawansowanym,
mono-gracznym ujciem dyscypliny; w adnym wypadku nie moe by
nudny;
powinien by w miar nowoczesny, uwzgldnia cho odrobin wicej,
nizawiera tradycja Arystotelesa i Stoikw;
powinien nie tylko zachca do dalszych lektur, ale rwnie chyba
draniintelektualnie wprowadzanie napicia poznawczego to przecie
jeden zpodstawowych celw posugi dydaktycznej;
itd., itd.Mnoy dobre rady jest o wiele atwiej ni dobry (lub
chocia nieszkodliwy)
podrcznik napisa.W doborze treci, twierdze, metod, przykadw,
zada, itd. przygotowy-
wanego podrcznika staramy si m.in. o realizacj nastpujcych
celw:
35
uwiadomienie rnic pomidzy wnioskowaniami ugruntowanymi na
wyni-kaniu logicznym, a rnego typu uzasadnieniami akceptowanymi w
jzykunaturalnym; ci z Czytelnikw, ktrzy mieli przykro obcowa z
ludmipowanie fundujcymi swoje przekonania o wiecie na np.
przysowiach,metaforach, logice uznaniowej, itp. wiedz, o co
chodzi;
nie stronienie od przykadw wykorzystujcych perswazj i
manipulacj,z pokazaniem, gdzie kocz si zastosowania logiki
elementarnej;
analiza, z wyczerpujcym komentarzem, przykadw mniej lub
bardziejdraliwych dla logiki elementarnej: np. presupozycje,
implikatury, od-dzielanie zalenoci prawdziwociowych od pozostaych
(np. uwarunkowa-nych kontekstowo), wskazywanie na rnice
typologiczne jzykw natural-nych i ich wpyw na ew. przekady na jzyk
KRP;
wyprowadzanie Humanistek z ociaej homeostazy intelektualnej
poprzez,m.in., niepoprawno polityczn, wykorzystywanie (w miar
monoci zsubtelnoci) tego, co nam wydaje si komiczne, przykady
prowokacyjnesemantycznie i pragmatycznie (w granicach prawa
Rzeczpospolitej Pol-skiej oraz Unii Europejskiej, a take z
uszanowaniem kulturowych normjudeochrzecijaskich i
euroatlantyckich).
Kierujemy si mottem, ktre przyjlimy od Pana Profesora Piotra
Wojty-laka: Po prostu rb. Najwyej si nie uda.
36
Odnoniki bibliograczne
Annelis, I.A. 1990. From Semantic Tableaux to Smullyan Trees: A
Historyof the Development of the Falsiability Tree Method. Modern
Logic 1,3669.
Barwise, J. 1975. Admissible Sets and Structures. An Approach to
DenabilityTheory. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York.
Barwise, J., Feferman, S. (Eds.) 1985. Model-Theoretic Logics.
SpringerVerlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo.
Bell, J.L., Machover, M. 1977. A Course in Mathematical Logic.
North-Holland Publishing Company, Amsterdam New York Oxford.
Ben-Ari, M. 2005. Logika matematyczna w informatyce. Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, Warszawa.
Beth, E.W. 1995. Semantic Entailment and Formal Derivability.
Mededelin-gen der Koninklijke Nederlandse Akademie van
wetenschapen, afd. let-terkunde, new series, vol. 18, no. 13,
Amsterdam.
Boolos, G. 1987. A Curious Inference. Journal of Philosophical
Logic, 16,112.
Ebbinghaus, H-D., Flum, J. 1999. Finite Model Theory. Springer
Verlag,Berlin Heidelberg New York.
Fitting, M. 1990. First-Order Logic and Automated Theorem
Proving. SpringerVerlag, New York Berlin Heidelberg London Paris
Tokyo Hong Kong.
Gentzen, G. 1935. Untersuchungen ber das logische Schliessen.
Mathemati-sche Zeitschrift 39, 176210, 405431.
Georgacarakos, G.N., Smith, R. 1979. Elementary Formal Logic.
McGraw-HillBook Company.
Gdel, K. 1936. ber Lnge der Beweisen. Ergebnisse eines
mathematischenKolloquiums, Heft 7, Franz Deuticke, Leipzig und
Wien. Przedruk w:Kurt Gdel Collected Works Volume I, Publications
19291936, (Editedby Solomon Feferman, John W. Dawson, Jr., Stephen
C. Kleene, GregoryH. Moore, Robert M. Solovay, Jean van
Heijenoort), Oxford UniversityPress, New York; Clarendon Press,
Oxford, 1986, 396399.
Handbook of Tableau Methods. 1999. Edited by: D'Agostino, M.,
Gabbay,D.M., Hhnle, R., Posegga, J., Kluwer Academic Publishers,
DordrechtBoston London.
37
Hedman, S. 2004. A First Course in Logic. An Introduction to
Model Theory,Proof Theory, Computability, and Complexity. Oxford
University Press.
Hintikka, J. 1955. Form and Content in Quantication Theory. Acta
Philo-sophica Fennica 8, 755.
Hodges, W. 1977. Logic. Pelican Books.
Jerey, R. 1991. Formal Logic: Its Scope and Limits. McGraw-Hill,
New York.
Kleene, S.C. 1967. Mathematical Logic. John Wiley & Sons,
Inc. New YorkLondon Sydney.
Kripke, S. 1959. A Completeness Theorem in Modal Logic. Journal
of Sym-bolic Logic 24, 114.
Lis, Z. 1960. Wynikanie semantyczne a wynikanie formalne. Studia
Logica X,3960.
Lorenzen, P. 1960. Logik und Agon. Atti del XII Congresso
Internationale diFilosoa vol. IV, Firenze.
Marciszewski, W. (red.) 1987. Logika formalna. Zarys
encyklopedyczny zzastosowaniem do informatyki i lingwistyki.
Pastwowe WydawnictwoNaukowe, Warszawa.
Marciszewski, W. (red.) 19882. Maa Encyklopedia Logiki. Zakad
Narodowyimienia Ossoliskich Wydawnictwo, Wrocaw Warszawa Krakw
Gdaskd.
Marciszewski, W. 2002. On going beyond the rst-order logic in
testing thevalidity of its formulas. A case study. Mathesis
Universalis, nr 11: Onthe Decidability of First Order
Logic.www.calculemus.org/MathUniversalis/NS/11/Beyond.pdf
Marciszewski, W. 20042005. Logika 2004/2005. Teksty wykadw
zamiesz-czone na
stronie:www.calculemus.org/lect/logika04-05/index.html
Marciszewski, W., Murawski, R. 1995. Mechanization of Reasoning
in a His-torical Perspective. Rodopi, Amsterdam Atlanta.
McAllester, D., Givan, R. 1993. Taxonomic Syntax for First Order
Languages.JACM vol. 40, no. 2.
McCawley, J. 1981. Everything that Linguists have always Wanted
to Knowabout Logic (but were ashamed to ask). Basil Blackwell,
Oxford.
38
Moore, G.H. 1995. The prehistory of innitary logic: 18851955. W:
MariaLuisa Dalla Chiara, Kees Doets, Daniele Mundici, Johan van
Benthem(eds.) Structures and norms in science. Volume two of the
Tenth In-ternational Congress of Logic, Methodology and Philosophy
of Science,Florence, August 1995, Kluwer Academic Publishers,
105123.
Pawlak, Z. 1965. Automatyczne dowodzenie twierdze. Pastwowe
ZakadyWydawnictw Szkolnych, Warszawa (seria: Biblioteczka
Matematyczna, 19).
Porbska, M., Sucho, W. 1991. Elementarne wprowadzenie w logik
formaln.Pastwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.
Priest, G. 2001. An Introduction to Non-Classical Logic.
Cambridge UniversityPress.
Quine, W.V. 1955. A proof procedure for quantication theory. The
Journalof Symbolic Logic Volume 20, Number 2, 191149.
Rasiowa, H., Sikorski, R. 1963. The Mathematics of
Metamathematics. Past-wowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.
Shapiro, S. (ed.) 1996. The limits of logic: higher-order logic
and the Lwenheim-Skolem theorem. Dartmouth Publishing Company,
Aldershot.
Smullyan, R. 1968. First-Order Logic. Springer Verlag,
Berlin.
Schtte, K. 1956. Ein System des verknpfenden Schliessens. Archiv
fr ma-thematische Logik und Grundlagenforschungen 2, 5667.
Taylor, R.G. 2002. Zermelo's Cantorian theory of systems of
innitely longpropositions. The Bulletin of Symbolic Logic Volume 8,
Number 4, 478515.
Tennant, N. 2000. Deductive versus Expressive Power: a
Pre-Gdelian Predica-ment. Journal of Philosophy, 97, 257277.
Toledo, S. 1975. Tableau Systems for First Order Number Theory
and CertainHigher Order Theories. Lecture Notes in Mathematics vol.
447, SpringerVerlag, Berlin.
Wang, H. 1960. Toward Mechanical Mathematics. IBM Journal
Research andDevelopment 4, 222.
Zermelo, E. 1930. ber Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue
Untersuchun-gen ber die Grundlagen der Mengenlehre. Fundamenta
Mathematicae 16,2947.
Zermelo, E. 1932. ber Stufen der Quantikation und die Logik des
Un-endlichen. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
41,8592.
39
Zermelo, E. 1935. Grundlagen einer allgemeinen Theorie der
mathematischenSatzsysteme (Erste Mitteilung). Fundamenta
Mathematicae 25, 135146.
40
