11
La invención de la geometría Deja que el hombre se dedique al arte que conoce. CICERÓN, Disputaciones tusculanas, I, XVIII à Los geómetras de la Grecia antigua L a geometría encarna una forma de racionalidad que se encuentra en diversos aspectos de la civilización griega antigua, como el urbanismo, las artes o las teorías políticas. No obstante, es una disci- plina relativamente reciente; no tiene ni dios, ni musa. En este univer- so, el estudio de las figuras, de su construcción y de su medida, ha seguido un camino original desde el siglo V antes de nuestra era. Su evolución es indisociable con la ciudad de Alejandría, cuyas institucio- nes eruditas, como fueron su museo y su Biblioteca, han determinado lo que ha llegado hasta nosotros: algunos tratados y una tradición de problemas que, por su rigor y riqueza, suscitan aún hoy día la curiosi- dad del lector. Estas son algunas de las frases con las que Bernard Vitrac, investigador del CNRS francés, prologa un extenso capítulo dedicado a la invención de la geometría por los griegos y su posterior evolución. Prof. Dr. Félix García Merayo Vicepresidente de ACTA AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS 77 La geometría suministra el primer ejemplo histórico de la presen- tación axiomática de una disciplina matemática. Ahora bien, el con- junto clásico de postulados sobre el que Euclides fundamentó su siste- ma ha resultado insuficiente para la deducción de los conocidos teoremas de la llamada geometría euclídea, por eso, y como veremos más adelante, ha sido revisado y completado, e incluso cambiado como nos muestran las geometrías no euclídeas, en tiempos recientes. Hoy día disponemos de varios sistemas adecuados de postulados tanto para la geometría euclídea como para las no euclídeas. El más relacionado con el sistema de Euclides es probablemente el de Hilbert.

ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

  • Upload
    others

  • View
    14

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

������������������� ������

�������������� ����������������� ����������������������������������������������������

���������������� ��������������

�������� ������� �������� ������ ������������������������� ���� ���� ��� �������� ��� ��� ������������� � ����� ��������� ��� ��

� ������������� ����������� �������������������������������������������� ������������� ������� ��������������������������!������������ ������� ���������� ���� ���� ������� ������� �������"���� ���������������������������� ���������������������# �������������� ��� ���$�����������������������������������������%������ ������"������������������ �������������� ����������"����&����������������� ���������������������������� �'��������� ������"������ ����������� ������������� ���� �� �"� ������������������(��"���������� �������� ���� ���� �� ��� �� ���� ���� �� ��� � �� �� ���� ���� � �� ���� ���� ����� ��� �������� ���� ���� ����� �� ������ ������ � ��� �������� � � ��������� ��� �� ��������!������ ����"��� �����������������#��������������������!�$

�������������� ����������������������������������

����� !��" #�$�"��%�&�#"��!�'�����&�"��!

��

% ����"��� ���"������ �������"����&�"����'���!��������� �������(� ��!�� ���")��� ������ ���������� �" ��")��� $�*'�� �+�����������(&�������)�������������� ������+����������������������� "���!���������(" � ' � ������ ��� ������������� � � � � � �������!�� ��� ���� ��������������" ������ ��� " � ����"��� ����� �� �����������#���"������"��")�� ��� ����� ' � ����� ����� ��� #� ��"���� ���� �� �������� � "+� ����"������"����� ��� �����"��� ��������� �� ���������"�������������$,�#� � � �������"��� ��� � ����� �����" �� ���� ���� ��� ������ ���� ����� � �� ����"��� ����� �� ���"��� � �� ��������� �� �$����")���� ���� ���������������" �������������������+ +��"�����������,��+���$

Page 2: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

- � ��+�� �����������"��� ������� ��������!������� ����" ��")������#� �������!"��� ��� � ���"����������(��� ���� �������"���������� �������� "��� ���"��. ���� +����������������"������� ��������� ������ ������+� ������������������������ "��� �"�����' �� ����(� �� ��������������������� ��� ��!���� � ���������������������� ���� ����"��� "+�������� ������ $

% � )���� � ������ + �� � ���� ������� ����� �� #� �� ���������� ������� ��� $���"���. ������ ����������!��������/������0� "���������112� $�$�#���� ��. ������ ����� � ��� " ��' � ��� � �� �����" �� ��"���)��� �� ��*��� ������ � �� �� +�������� �������3456(462� $�$7$*��� ����� ������������,�"�����,�� �����*�������+��������������������������������, ����8���������������!���� "+������������ �����"������� # -��.� ��8������ � � ������� � � ��� �� #� ������ ��� �� ��� � ��"����������� ����3' �� �496� $�$7$

% �)������.������������� #�� �������������� ��� ��������� ������ �������� ��������&����������� ��������� �������:;;�#�:;:����� ��. ��������������#����������������*��& ������-����"���#���������3962� $�$7$�<�������� ��� ������� ��"���� ��3:;6(:1;7�#�� �����-�����(�����3:95(:6:7$������������� �� �����������!������- �(���!�$����9;;�������������������#�"����������!�� (���� 3:16(9;;7$� ��� ��� ������ ��� *��& ����� = ���3992(9>97�#����� ����� ��!������ ����� �����*��& �(�� $���������� ����������������������� ��� ���� ����*��(� ���������� ����������� ����� ������ ����� ��!������ *� ��"� ����-� �!�� 39?17����� � ������� ������� ���@��!�� ��� *��� �� 3�$� 956� $�$7� #� ��� � � ������ � ���" ��������������� "+�������*��� ��39627$�������� (�� �� ��� ��� � ���� �� ,��)������ ��� A������ /����� ��!��������� �����,��!�� ��������������� ���!��"��+���

���%������������!"��� �0���� ��������1����*����!� (����� ����+��� ����� ��� ��"��� ��� *������ �� %������!��2����1��� #� ��� ���� ����� ")�� �"���� ���� ��-������� % ��������� ��� ��� ��� � 39?:(9>>7�� � "+�������� ��������� �*� ��"� ��� �!��� $

-����������3��������� ���+��������-���"��

%��� "��� � � �� �)������������������������������ #��������� ��� ���� �� � �������� ���� ������ � !�������$��"���. � ���� � � ���� �� ��!�� ���� ������� ���� ��������������*� ��������-��� "�����������)������������ ������� B��>1� $�$���� ����������������������������� �������� ���" � �#�0�� ���� ���� ����� ��������%������$����>1>� $�$����� ��. �� ��������� ����� �C� ��C��(�� �����������" ���8����������� ��� ������� ��-D��� ��� ���" ������� ��� �����������" �������>5>8�������� ���� ��!������� ��� ��+�+������ ����-��� "������ ���� � � ��� *��& ��� 8� ���������!�� ��� � �� ��� #� ���������8�C���� � � + ��������������������� �������(�� ���" � ����5:28�������� ������" ���%����������(������� ������" �� ����������������3??(1;78�������������(� �������= ����<����������!��3562(:97������� B��44 $�$���������������� �������� �����#��� ������" ��$�����������������' �� �966� $�$����������� ��� � � ����!��������!������� ����")��� "������� ����� +�������*��(& ��� �� !�������$� *� ����� � � �+� � ��� #�� ����� ��% ������� �$ ������� �� �������� ����� E����+�+�����(� �������*��& ��� ����!�� ���#�" ��")�����! ���������� ��� ������8� ��� ������ " ��")����� % �������� ����� ��� � 3�$�>?1(>5>78�%���� ������ ������������ 3�$�5667�� ������������� �������� ������"�� � ��������8�%���� ���-��� �3>66(5;47��������� �� ��� �� � ��� ��+��� � �� �!��� �8� 0��� �� ��� ���� � 3�$

��������������������������� ������

��

���!����������%�������4������+����#�������

Page 3: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

5?6(5>47�� ��������������+�������� ����������� � ����(��" ��� ���� ��� 8���������316(5;7�������!�� �����'��(���� ���� ������� ���� +!�� ��� *" �# � 3�$� 29(5;7� #� ������ �� �����-�+����0������� �!��3:9(517$

%������+����������� �����+������������ ����������������D"���$�, ������������� �")��"����� ������(��� �"����� ���� ����� F��� ������ �� ���� �����!� � ��� ��!������������D"����#������� ���� ��� �������� �������� � �$�-��������� ����������� ��� ���������")���"����� ���� � ����� ��� ������� ���� ������"��� ������� �������� + �� � �� "����� ��"�� ����������� � � ����� ����������������� �������������� � ������� ���#��� �����. ���� ��� ���� �� �� ��� � �������� ��� ������� ������� � ����� �������� '�#� � � #� ��� ���������" ��� D�� ������� "��$� ��� � +�� ��� � ���� ��� ���������������� ����������� ����� + �����"������ ��(�� ����������������������� ���������+�������������� ��� ����� ������ �� ��� ��� ")�� �"�� +��� � � � � ���� $�-��������������+��������� ��� ����')+����$�����+�������������������������'���!���������� ����" ��!�������������# ����������������� ��� � �������&�"���� ���� ���������� ���� ����������)���+� ��� ����������������������������� �� ����"��� $������� ����������(����������������!"��� ����"��C ��������# ����%�+ (�'���G�

��������� ���������� ����"��� �����+���� ������������� ����������� � ��� ���� �������" ��!���������� ("����� ������"��� �� �� ���� ���� '�"��� ��������� � ��"������ �)��������� ������ ������� �" ��")��� $�% ���"��� � � ��!� �� ���� ��� ����� ������� �� ��)���� ������ 8������&�"������������ �������������� � ����� +��(���� ��� "�&�� "������ ��� � �� ����� �� �������� ��� � ����� ��!�� ��� ' ��� ")�� ��� �� ���� "��� B��� �� ���'�� �� ������ �� �������������������"����������� �!��� ��� ��"���� �"�����"�$� < "+���� ��� =������ "� ���)�� ����� �+����� �� �� � ���� �� ������ ��� ����"��������� ���� ��������$�-������"�� ��������� +������� �����)�������������� ����������"����)�������������� ������������� ��� ��������������������� �� ������� ����� ���.������������������������������������ �!���������� ���������������������� ����� �������������������

�� ���� ����"��� ��� ��� ����� ���� � � C���� � ���(�� ����������� �����������#������ #�� ����� ��������#������+ �����������#�� ������#� ��� ������� �� � �������������+��"�������")����"��������� ����"��� $�-��("����< ����#���������-��)��� ���������������� &��� ������������������� ���+����� ������ ������������� �� �(�������� ����� ��")����"������' �������� � ������� +�(�� ��������������������� �� ��)������#�����������$�H��(�������� ������������������������� �����+ ��������� �� ����������"��� ���"�����" ��")��� �$���������" ��� -��)��� �� ��� ������� � ��"�� �� � ��� � +����� (

"��������� ����� �'������ ����� �'�" ��� �������������� ���������� ������� ���� ����� ���������������� ����"��� ������� ������.�������"����������#���#������� �$

-��.� ������!����������%������

��������!�����<�+� ��F ��.����" ������ � �������+� �!���(�� �� ������������ ������������5������������������� ������ ���� ������� ����������� ����������������� ���� ����������- ������� �������6���� ��� �� ��� ������ �.�� ���� ����� ������������������������������������� �� �� ���������������������� ����� ����������������� ���� .����"�������������� ��������"������ ������������� ���������� ������ ���"����������"������������������ ������� ���������������������� �7�

�������������������������������

*��� �����' + ���������������������������������")���"���� �������������� ����������� ��" ��")��� �$, + � �� �. ��� �� � ������!�� ��� ����"������ � ��������������������� $�$�������������� ��������� ����= � �!��#�� � "�� ������ ��������������������������� ��������� �$�% ����� �������������!�����!������������(���� ��� ����� #� ��"���� ��� ����� � "+���� ��� ��� ��������������� ������"�����������$��������!��������� ����������#�����0�����#�"��'�������������� �� ��")����� (+����" ��")������#� ���!��"��$��������������,��!�� (�����-� �!����������#�=����"�$

������������������� ������

��

Page 4: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

����������� �� ������� � ������������ ����������� �� ������������ ����������������������� ��� �� ��� ����� �������� �� ������ �������� ��� ���� �!�� �����������"� #�$����#����%����&�����'�� ����(����� ����������������� ���)�� $������������ ��� �� �� ��)� ��� '� ��� ������������ ��� ����������� *��� +��������� ����� ����� �� ��� �� �� �& ���������#��,�,���������)���-. ������ �� ���#�������������� ������� ��������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ��� ������� ����� ��� �������� �� �� � ������������� ������ ������� ����� �������� �������� ����������� �� ���������������������� �� ���� �� �������� �� �� �������� ��� ��� ��������������� ��������������������� ���������� � ������ ��������� ���� �� #�� �� ����� �� ����������&������(�������������������������������'� ��� � �������� ��� ��)������ � � �������� ����� ���� ����������������������� �������������������� ��� ��� �!� ����� ����" �� ������� ��������� +���������������#�� ������������������� �����������������������

/��� ��������������������$��� �#����������� ����� �� ����� ���� ����)��0� �� ���� & ��������12��133��������#��������)������%�������4������� ��������� ����������������, �������)������������������������������5�#�����������������$��������������������������������������%��� ������������������������&������������ ��� ��� ������"� ��� ������� �� ��� ������ ���� ��������������������������������������������������������'�"�������������������������������� !�� �'� ������� #�� & �������� #���� ���� ��� ���������� ������"������6��������)��-. ��� ������� ������ ���� ������� ��������� �� ,���)�� ����'����)�� ��'���� �������� � ���$���+� �� ���� � �����4������� � � ��� ����� ���� �� �� ���������������#����������� ���������4���������� �� ����#�����4������������ ����,�,������ )������ �� ��������������� ��������� )�� ��0� ������� ������� � �������������)� ����)����������� �� ������� ��� ����"�����&��7���� ���+����)� ���������� ����������������, �����

-����#�$����� ����� � �����4������ ����,������� �� ���� � ������ ����� ��� �� �� ���� �������#������������������ �����!�����������&���������������) �)����8��������$��������� �������� ��� ��� �� ��� )��� �� ���� ����� �� ��� ����������������������9����&��������$���������������� ���� ���������� �� ��� ������� �� � ������ ��������� ��������8���������������'�����:�����,������������5���������������� ����������%

��������������������������������������������$��(����� ;��� ��������������$��������� �$����� ���������<���������$��#���� ���� � ���� ��,�� � ����� ���� #�� �� ,����� ��� ������ ������������7�����������������&������:���� ������ ���� ����� ������� �� ���� ������������������� ���������7���� ������� )���'���������6�'�� ��������� �����������#����� �������������������$�����, ����������������/����� ) ����� ��������� �� = ���� �� ����� ���� ������)�������� �������8����

#����������

-��,������������ ������� ���� ���#������4������ ����� ����������� ����������)������ � ��� ���� �������)�%����'�����4���� ���� ����������)��������� � � ��� � ������� ��������������������� �� � ���������������������7������,�������������������'�������������$��

����� ���� ��� ����4�� �� � � �� �� ����� �����)������������������� � ��������'��� �)���������� ������ ��#��� �)>�� ����� ����� ���� ���������� ������������������)� � $������� �������)������� ��!��������!���������#������������ ������ + ����� �� /����� ��)��� - �� ���� �� ��� �>����� ) ��� ��������� ) �)�� #�� ,�,��� �� ��� � ���%���?���������5�#����������������������� ����������������������� �����*���+��������������������� ��������������������,)�������-� !�� ������ ����4�� �����$�� ���������� )�4� ����� �������������)�����) ���������������4������� �����,����� ���) �������+� ��� ���� ����� ����� ���� ��������4����������������#����� �9�����

��������������������������� ������

��

Page 5: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

)�� ��������� ����������� �"��" ������ �� .!���������� �� �������������)"������� ����������)������� ��!�"�#������� ������ ��!�"�� �π :$�����������������!� � ���� ������������� �������� ���� ��� � ������ ��"�� ��� "������������� ���������� ��������������������������� �"��"��#���#���D"�������� ���� �"��� ���������� ("����$��������������#��������"����&�"���������)������2������� ���2������$

�������������� �������������������

% �'������ ����� �������� ��#����� �������� �����+���������������������������� �������� �������������"���(.����' �� ���� ��� ������������$�< ����������������'��(���� ������ ��"�� ���� ������� ��� � � �� ���� �� ��"���������� �!������� #� ��� ������� ������ �������� �� ������� ��������� ��� � � ������ � #� ��� ���� �����+��"����������� ������������"�����& ��� "�������"���� ��������������� "�� ������� ����������� �������. ��!�$�% �����(���� '�" � � ��� � � �����. � ���� ��� " ��������� ��� � � ����� #� ��� � �� ������ ��� ���������� �� ��"�� ���)�� �� �" ��#����� & �������������������������� ��" ������������ "+����������������#������� ����� $�*�������� (������ �"����� � �� ������������ ��� + �� ���"���� ��� (���� � �������� �������� �����������'�����������. (����� ��� ��������� '���!����� ��+��� � � ������ � ���� � ' �� " ��� �� ������� ����������+��� ��� ��� � �+��� ����������$�1������������"�������%����;�������������� � ��� C��"+���� ��� ��� ,������ � ��� C���� �� ������������� ��$�����!����+���������������� ����.����2��������������������� ��� ���)��������� ������������������������������������������ ����"��)������������������������� �������"$

% �� ���� ���� ����� �� ���" + �� �� � ������. ��!�������������� � ����� ����� �������� ������������ ���������������������������#�+ +����������� ������ � �� C���� �#�������"�&�� � ������������� ���$��&�"������������ ���� ����"������ � ��������� ������������ ����������������������� � ������" ����#����������� �+ +�(�!����$�<������������������" �� ��������� ��!��"����(� $��������������������� ������������� ����"��� ��� ������ ��!�� ���� ������ ��� �"����� ")�� ������� ����������� ��������'������ �����������,�����������, ��(� �� ��������������� �������������� ��� $������ �� ������ ����������������#����� ������������������� � ����(���+���� �������"+����#�� ��������������������������+���$������ �<<��!��� �������)����� �� ��� ��������#����(������ � � "����!�� ")�� ����� � ��� � � � � +� � ����� ����� �� ����� ������&!����������������"��� ������,�������$�%���� ����������������������� ���� �,���(�������� ���������� ������������ ��#��������������� ����

� �� � ��� ��� ��+��� 3��" ��� ��� ,��������� 0��� ���%�+���� �(���� ��+������ � ��)��� � C������� �� �����!�� ��� �������'� ���7E

��� ���� ����� �����)�� ��� ���� �� ���� ���� �"� ��� ��������������� ����������������������������� �� ����� ��������� ��� ���� ���� ������ ����2������������ �� �"������ ��������������� ���������������������� ������������� �������������� ������������% �������������� ������������� ������������� ������������������������������������� �"�"�����2����������������� ���������������� ���� �������� �� �������� �� ����� �� ���������� � "���� ���������������������������� �������� ���� ������������������������� �������� ���� � ������������ ��������������=���������������� ������������� �������������������� �������������������, ������-�������5��7�����5����7�"����������������������������� �������� ��������� ����� ����������������

,�������� B ��������� �� �������������������������������� � ������� �"���� ���� ���� ������"������ � ��� �$�-�������� ����.������������ ������!���������"������� ��� ���" ���������� �!����< ���$

��"��'�"����������,���������"��� ����������(������!��� �� � +� ������ ����γεωµετρ α������������ ������������&�������������γηζ �� ��� ��� ���#��������+����� ��µετρεLωE������������� ��� ��� �$���������� ��(")���������� ���� ��������� ����"��� �' �� �������� � ���"����� $�F �������� ������� ����"����� �� "(+����� �����' +����������. �������������� � �"������ ���� ����� �C� �����)"������������ ������������������(�������������������� ���� ��!�������� �������� ����"�(�� �#�� ������"�� ��!���������� �������� ��� ���� ���(��+���$�- �������������< ����������"���!�� � ���� ����� ���)"���� ��� �������� � ���� ��#� *" ���$� � +��� ��� ��������������� ��� � ��.� # � ��� ���� �������$� *����!� ��������+��� ���� � �!"���� ���������� ��� ��� �+� � �������������������� ����"��� �������������������������� �� ��������� �� ��� ��� �����3� �� �� �� ���� ������ ���"������� �����������������

% ��� ����!������� � ����� ���� ���� ���� ������� ���� �� ������ "+������ "!���� �������������������(��� &�����"��*� ��" ��������=�������������� ������������� ��� ��#�,�����������+��� ���� � �����"�� �� �� �� &!��� �� ���� =����� ��+���� � � �� ��"���� �� # �+��� �� �� ��"��� �� ���� ������ �$� *� � ����� ��� �� ���� �����������������" ������������� �������� ��������� � � ���"��� E� �� �� ������ ����B ���� ��� "��������������"� ������� � ���"����� ����� ������"���� ��!���� � �� �������� �������")��������� ��� ����� � � �����(" ��!����+��� � �� ��� ��. ����"�� � ���������� ����("����� ��������"����� ����������!��#�� �� �����"����

������������������� ������

��

Page 6: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

' +�� ��$�% ���"+� ������� ���+���� ��� ����' ����(���� ���' �� ����������� �$

-���������!����������%������

������ ������-'�������������������,��!�� ����' ������ ���������*��� ���#���������� $�����$��# ��������(B + �� ����"��� $����� +�"�������� "������!"���� �� ����������!������������������������������"�� ������.���� ��� -� �!�� ������ ��� ����� � � �!�� ���� #� � ���" ��")���������"����������� �,��� �����A����#�<��������� �������� ��!"��� � �����"���)���� ��� ,��!�� ���$����� �������� ����� �����B �. ������� ����� ������ (��� ����� � �������������������#��������"��������� ����(����������������� ������� ������������ ��"���$

% ����"��� � ������!������� ���������������� ����� ���"�� �"�� ������������� $�����$�<����� +���� ������(��������� ����� � ����������� ������ ����������+ ����+��������� ����������������� ������� �������� ��� ���" ��")��� ������������� ����" ��!������� �E���������(����������!��� �#��� �������� �����������!�� �����/���(������� ������������ ��#�����������#�-� �!�8���������D���("���� ���� ������ ��� �!�� ���$� ��� ����� ��+ ���� � ���������� ��"������ � ������")����������� ��������� ���"��� ��� � ������" �#�� � ���"���� $�- � ���!�� (����� � �� " ��")��� �� ��+ �� ���� ������ � �� ���� ���&!����������������� �������"� �� ���������� �8�/���(����������� �� �� �����!�� ��������� + ����������+ � ���������!���� ��" ��")��� ������� �� ��� � �� ���� 8-� �!���������� �� ��" ��")��� ����������� +����� � ���� ��������� ���� � ������� ��� � � ������� � ���� ��� �����+��� ���� �� ��� ��� �� �"���� ���� ��� � � ���" ��!�$= ��")��� ��������� ���������� ��2��������$

��� � ��������" ��")����� ��")��F�$�- ���M ���������' ���& ����������E����� �����������������������������������������������.�����������������)�������������������"�����������������.�� ��������������������������������� �"������������8���9�!������������� ����� ��� �����.����� ��� � ��� ��� ��� ���� �������"���������.�������������� ��������������� .��������� ��� ���� ������ ��� ������� .������ ��� ��� �� ��� �����)������ �����������������������������������������-����������� ���� �������� ��������� ����������%����������������������� ���'�5����������������������,���� ������ ������������7�

J������� "��������)�-� �!�����������"����)��������" ���� ��. ���+ � �������� ���������� ��� ���E� � ���"���� ��� ����"��� ��� � ������" �#�� � �"!��(� �� ��� ������� � � ���� � " ��")��� � ��� ���� ������ ���"���� ���$�%��� ����������� �*����N�� �� ���+�#����� �� ������ �������� ���� ��. ��!�� �� ������� ���� (�!��� ��������������������������������"+����������� ������ ������ ��$� -��� ���� ��"+��� ' � ������� ���������������' �� �� ��� ��=��� $

F�� ���������������������" ��� �������.����� ���� ����� �� ��� ���� ������ ���� ������ �� ���� O��)����P3"�������7�� #� ��� �������� ���� �� � �� ���� O��)���P3" ������7$�*������.��� ��������� ���������������������� 3���� 7������ �� ���)�������� �������� 3������ ��!�������� 7������ ��(����$�-���D���"���� ��������� �������������������������� ������ ������������������� ���� �����$� ��� � ��� ��. ��!�� ��� � � ����B �. � ����� �� ��� ��!���������"�������$�%������ �!������������� (���� ���� "��� �"�������� � � ���"���� �#���� � ����("��� ��������������������D"���������� �����������������" � �� ���� ������� #� ��� ���� ��� ������ ��"�� + ��� � � ���" ������������������������� ������������� �� �� ����������� ����� ������������ ����������� ����������������������� ���")������������������ #�������� "(

��������������������������� ������

��

!��5���� ���������.� ��7'�� ���)����������� �����(�����"���� �����

Page 7: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

+���� ��� ��� ��� �� ����� �� ������ � #� ��� �������� $�-������� �����-��)��� ��#������������������� ���(�� ����� ����� ����� ������� ���������� �������� ���$

% �������������!����������%������

*����!������ ������!� ��� �����" � ��� �!������ ������(+������")����"��������"��"�����&����������������� ����������������� ���� ��!����������� �E� ���"���� �����("��� ���������"��� ��������� �� ������" �� �"!��(� ��!���� �#�"��)��� $�*B ��������*����!������������(� ��������������� ������D��� +���' + �������� ��� ������"��� ��" ��")��� �$�������� "���������� +���� � ���� ������ ����"��� ��� ������������ B���996#�9>6��� ���������� ���"���� ������������ � ������� ��(� ��" ��")��� �������������� $

-��)��� ���'�&����� � � ���D+��� ������ ����� "���� ����� ������������� B��416� $�$��������������� ������ � ���+ +��"������ ��� ������!� "�#� ��"�� ��� ������������������ �����������-'������ ��#�*� ��" �(�������=������������ �� ���!��"��#����� ��������< �������� ��#�� �����&�� ��� �� �� �!� � ������$� ��� <�+ �� �=������� �!�� ����� B���#������������� �����#���� (�������� &����������*�� �=�����������!���������� ���� ��� ��� "����������������"+ �����������������!� ���� � ������� �� �)�������������" ����#�������� ��(��� � ������ � #� ��� �� � ��"��� � "����� � ������ ������� ��!��� �������������� �� ������������ "����� ("���������+�������������� ���=�����������������������������!�����������$����� �!�����<'� ����� �'�& ������ ������!�$

% ����"��� �' ����������������"������ ������� ����������������� �����"��������������� ��")����"(

� � � ����� �E������ ���� � � � ���" �������� � � ���"�(& �. 8������ ���� �� �" ����������"� � ������������)�� �8������ ���� �� �������!����� � ����� ������ �������� �������� ��"�� ��������� �� ������������$� ��� ���� !�������� �����������������������"��� �������� �������� ��� ��� ��������� ���� ���� ������� ���"����� ���������+&�����#�� �� �������� �������+&����$

������������������������� ������������ ������������������� � ����

, �� ���� ��������������� $�$��� ������� �" ��")(��� � �"���!� ��� C���� � � ������$� *��& ����� = ���' + ��������� ������"��������������������������� �#� �����+�!� � � ��� � ��� ��� �� ��� �� �� �"�����$� -���"���!�&�����39>9� $�$7�� ����������� �#������ B��$�F�� B��� �����' + ����� ������� ������������ � ��������� ����� �����*��& ��� ������ � ������������ ���������(� �� ���� ���� � ���� ������ ���� �� ���� ��� ��������!� ��� � ")���"���� ��������"�����"�������)���$�- �!� ��������������������������"����������������� ��*� +� �#� � ���� � #� �����)��� "����� �� � ��� ��� �� ��� �����!� ���� ��� � � � ��������� &�� ��� #� )� +��$� *��& ��� �������!������ �����+�+������ �����")�� �"�� +������ �������� ������ 8�������������� ����� ��" ��")��� �8��� ������ ��������� �� ��� ���� �������� ����!� ��� ���� ����������������"�� ���������&�� ��8������ ��.!�� ��� ���(��!������*�������<��� "����$�% ����� �����" ����!����� ������������ B��� #� ��� ���� ����!� ��� ��� B�� 2:>�$�$���� ����� #!����" ��������� ��� �0" �$

% � ���������!�� ������ �� ")�� ����+��� ��� *��& ��� ���� ��� ��+������ $� , + � ����� ���� � � ' �� � ��� B�966� $�$�����-����"������!�������#�����������#�����(�������*��& ��������������"������ ���� ���$�������������� ��� ��� � ��� '������ ���� ��")�� � ��� C��"+���E���������� ����5�.�� ��������� 7����������� ��� ��� �������%� ���� ������������ ����������������������� ���������� ��������� ���* ����������� �������������������� ���������������� ���� ����������� ��������� ��������� �� ���� �������������������� ������������������������������������, ��������������������"���������� � ����������� ������������������� ������ �������� ������������ ��� ��� �������.������ ��� � �� �� +�+������ �� ��� ��# � ���� ��!�� �����#!F�"������H �����������' + ������������ ������*��(� ��������961�������!����������������166$666����D"�(����������� "�����" ���������8������������� ���������������������� B��:1� $�$�� ��"������������� ���� �����������"������ ����� �� ������� � �� ������ ����/�������� �$

������������������� ������

��

Page 8: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

0�� ��"���� �������������!���������=����������������� � � � � ����� � � � � �� =�� �$� ��� + � ������ � � ������#� ��# �� ���� �� + &������ ������������� �������(�� ������������������������#�-����"��$�������������� +�+������ ����*��& ��� ������' +�������������� "��(���� �����=����$

%��� ��& ����������������� �� ����� �������� �� ��������� ������")������ � �������������"��$�F�� �����������������!�������������������������� ������"�����#����������"������������������������ �# ���������� �� ��������� " ��")������ ")�� �� ����� ��� � � *����N�� �E����������*��� "�����#�*�������$

�������������������"����� ����� ������� � ��& ����(� $�������������+����"�����'�"+��� � ��+���#�"���(� �������������+��� ������� ����������� �������������������� � ' ���� "�&�� �� � �� " ��")��� �8� ����"��'����������#���������"��������������������������(��������������" ������������!����"������ �����"��������+��������+� �$��������������� �"�#����� ���' �� ������ ���� �� + &��� ���� �� ��. + � #� ��� ���� ������ ������� �� �. + ������ �����" ��������������"���)����#�������������� ��� ������� ��!�� ������ �� ��'�"+��������� �����+� $�*� ���� ����' +� + ������������������ + ���� �����"��' ��"���'�#�� ����������� + (&���#�� �����������������!���������#���������������(����� +��$� ����������� � ��� ��=��� ���� ����!� �")�����)������� ���������"������� ������ ���������� ����'�"+��E�� ��� �����������������'�+��� �������$

!�����������!����������%������

������"��������" ��")����������� ��"����������� +��� �������������� �" ��� ��������'�.������������ ����� �� �������������"������$�*� �������&�"������������ ��������"�35?69(5?447�������� ���� ��� �������)���+� � #� ���� � ��� �D"������ #� ���� ���� �������� ���"���� ���������" ���� ����� �� ������������ ���+� �(

� �� ��������� # � ��� ���� ��� ��� � ���� ��� ��"+��� ���� �������$�� ��������������D���"��� B���#���� �(���� �������� ���������������������� �������� ������(� �E� % ��� ��3 ���� �������� �� ��� ����� �� �����"���� ����������� ��������� $�F���������������� '�+��� � ������� ���� �� �� � " ������ ��!�� ��"�(& ���E� ��� "������ �� ���� � � ��� ������ �������+��� #� � ")��" ������ ��!������� ������� ������"��� ��' +� ������� ���� ������������ ������'��'���������� + &��$

����+� ���"+��������!������������� ���������D���"��� �������-�������������������������������������"������.������������"������������ ������� ���������� �� ���� ���� ������� ��� ���� ���������� ������������ ������� � �����. + ����������������� � � �����" ��. ��!�$� *� ����� "��"�� ���������� ��� % �� ���������8>9��� ���� ������ ����������� ��!���������� ��������� � ��� ���� ��������� ������������ ����� ������ ������������������������������ ���������2��� ���������

���������������+&������' +� ������ ��+� ���������(����")�� ��)���������� ���� �������� ����"��� $��!������B ���� ����� �� ��+������" �����$���� �� � ���!�������� �����������������������������������" ��")��(���� �������� ")�� ����"������$� K��� ��� ���� "������")�� ��� +���� ���� ��"�� ����� ������ ��������� ��� � �+� ������' +���������+������ �" ���� ����������� ��� ������� ���� ����� ���������� "�#� �����"�� ����� ��(")�����' +�������� �������� ���������� ��������� ��� �$�%��� ������ �������)�� ���� ������� �����!�������� �+&����� � ���� ���� ��� �������$� ��� ����������� ������ ����� ��+���&�����E� ���� %�+���� ��� � � ����� ��������� ���� %�+���� ��� � � � ���)���� #� ���� %�+���� ��� � ���� ���� ��$�<�������������� ��� �������������� �����(� ��� � �������D"����#����� ������ ��!��� $

��� ��� ����� ��!��������"�������������� ���� �� �� ������� ��")����"��������"�������������)���������� (

��������������������������� ������

��

-��� �������<��<<��������� �������������� ��������?�������� �<<����!��������

Page 9: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

�� ���������)������������� � ������ "���#������ ��������� ����%�+���� ��#� ��8����� ������#� �������"������������%�+������8�������� ����������� ��������������������������(��������� �������������� ��������%�+��� �$���"�& ���������+���!��' ���� � �� ������� ���!��� �$

-�������������������!������������E����������" ����� + & ������� �� ��� � ��� �$�J������������ ���� �� ����� ������!�$�-����������������� ���� �� � �����������������������!�����+��������"����������� ���" ��� ���+�������� � ��� �� � � � ��"���� �� ����� � ������� �� ��� � �� �� �� � � ��� �� ���� � �� �$� =��'��� ��� ���� ���������������� �� + ���� ����� �� �� � � � ���� ���"�������� �� � ���� ���� �������� �� � .�� +��"����� ���� ���(��"����������� �$�-����������� ������� ��� �� ��� � ��� ���"��.!�������� ����������� +�� �������������"����"�� �������������� ������ ������E� ��� �� � � �� � ���� ���� � ������ �� ������ �����" ��� �������������)������������������������ ���" ��������"��"�� � ��������"��")���������)����������������� ��� �� ������ ��������� (� ��������� "������������ �)�� �� �� �� �������� ����������������)�����������"���������������)�������������$

F�& ���������������"���� ���#����+ ��������� ��(� �������� �������������������������� ����� �����#� ���� � ����$� ������� ���� ���� �� ������ ��� �� ���� ����� ���� ������������� ���� �����"��������������#��������")��+������������+��������"���� ��!�$�% ����� �. ����������������!�������������+��"���������� �����"�(�� �� ��� ���� �� �� ��� ��� ������ ��� ��� � � " ��� ��C ��������# ��#�%�+ �'���G�$

����������*��� "����� ����������� ����� +����")��� ��������� �*����N�� �$�,�&������ ���!��"��H��� ��� ��!������� ��� ����>?1� $�$�� � �" #������� ��������������������������� � ����� ���� ���������� ��"�����(��� � ���� ������ � #� ������ B��� ��� ��� ���� �� � � �� " �������������� ��������������������� �����" ������ >5>� $�$�� ���D�� ���� ����� � -��� ���� ��� ��� �+� #�������+� ���$�-��+ +��"���������� �������������#,���!�����3>16(>54� $�$7����� ��������� ��� $�*�*��� ("����������+������������ ����� ���� �"���� ����� ����(���������� ����� ����+�������)���������)�� ��������������+�������)������������ ��#������������ + &�����+������)(��� ��"��)��� ��'������)��� �#�!���� $�=�#�� � ���.���������� �� ��� " ������ ��� ������� ������ � ������� ������ ��� ���������������� �����" ������������'�"(+���� ��"�� � � �� ���� � � "����� � ��� ��!�� ��� ��� ����������������� ������ ���������� ��� �� ���"�������� ������������E�����������������*��� "����$�- ��(���' +��������������� �+���� � ������"���)�� ������ ��" ����������� �������� +�"����������������� $I��.)���� ��D��"�"�����" ��'!� �*��& ��� ������������������!���������� ���� ��� �������& �������� ����� ������� ��!������� �� ����������� �������� $�<� (#�������������� ���� ���� ���!�� �-��� ������������&!

������������������ 8���9������������� �������������"��� ��������� � � ���� �2� �3�� �� ����� ����� ��������������� ��������� �"����� ��������� ������)����������" ��������������������������� ��%������������������� �� ��� ��������3��!��������������� ����� ��������� � ������������� ���� ��� ���)� ����� �"� ���)��������"��� ������������������� ��� ����������������������"����.����������������������� � � ��� ����������� ��� ���� ���������� ��������� "�� ���� ������� ������ � � ��� ����� �����.����$-��� ����� �#����'�����"��������������' + �'��'���Q����� � ����� �� ����� +����"���������� ���#����� �� ���!��������� ��� � �� "+����*��� "���������"������D��� �������� �����-��� ������������ ��. ��� ������(����+� ���������������� + &�������� ����������������(� ����������������!��� ������������������ �'������)��� ���������'�#���"��� ����������% ��������$

% ����������������@������AB:C�

�� ��+� ����������������� � ����� �������������� ������� ���� ������������ "+������� +��!� ��� �������������� ��� ����� ���� ���)���� ���������'�#��� " "���������� $��������#!�")���� ��+ � � ������ ����#������ "��� ���� ��� � �� �.������� ��������� ��"�� � ����� �� ��"���� #� ��"����� �� � � � � �� �� ��� � � �����������"�� �������#����� ������������������ � �'������#����� ��������� ����������& + �� +������������������ �� ����������"���)����$����'��'���������*��� "���������� � "���� �� #� ���� "��� �� � � ��#� ��� � � � � �� ��������� �"��'��")���������������"���������"���(��������� � �����$�F�� ' �������� " ��!��������������� �� �����+��"�����E� ������ ��� ����� ��� ��"� "��� )����*�� �$������������������ �������-��� �����#��� ��� ��!������ � ����� �� � +�"����������+ ������� �� ��������������� + �� � ����������� ����"������������������� �� �� E�8���9 ������������������ ��������������"������ �������� ����������������������2� ����������������������������������� �� �������� ��

������������������� ������

Page 10: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

������������������ ��������������������������� ��� �� ��� ����$� ��� ��#�� ���� ' + � �������� ��� � ���� ����� �� � ���� �� � ���� ���������� ��� �������� � � +��� ��!�������� ��� ������")���� ���������� ����� �� ���� *��� "����� ���� � '�.�� ���� ������ # � ������ � ������ � �� �������!���� �� ����� �#����'�� �� .$<��"�� �-��� ������������ ��� � E�-� ������������������� ������ ����� � ��� ������ "� ��� ������ � ��������� ���� ��������� �������������������� �����$

�������������������"�"���� )����*�� ��, ��������+������D��+���������AE:F�

C� �� �� �� ������ ��� *��� "����� ����� � � ���� ������� ��� ��������� �������" ������ ����������� ���")��������� B������� ���� �����"+� ������"����� (+ �� � � � �)��� � ������� � #� � ����� �� ����� �+��)����$-���������" ������������� �����������% ������������� ���� ���� �������� � ��� ���� �� ������� ��� ���������������"�� ����������� �������������������� ������� ��� �� ��� ������� � ���� ��� �������������������� ������� ������������������� ����$��� �(����= ����������&�������������" �������� � �����'�"(+���E� �� ����� ���� ������ ��� ���� � ��� �� ����& �� �� ������ �� ���� �������� ����� �� �� ��� ���������� ������� ��������������� �� ��������������������������� ����������������������������"�������� ���������������� "������������� ����� ������ ������ ������������������������������$

� +�"������� ������� � � ����"��)������������� ���" ������D���������� ��� � ���!�������� �" ���"(���� "��������� E����� ���� +� � ������������ ���������#������& ������� #��������������&����!�� ���$��������(�� ����� ��!�� � ��������������� �� ����� ���" � � ���� ��"�� �� �������� ��� $

��� ��� "+����� �)������ �������������������������� ��� ��������� ��� ��#�� ��������� ��� ������� + � �� �������� ��� ��� ��� � ��� � � ���� ��� �� ��� ���������$F���� ��!���������������������*��� "�����' ������� '������������������� ���������!���������+ ����$

����� ����� ��� �������� "+������� � " ��� ���!(��"�$� �������#!� ��� ���+�� ��������� �� � ����� � ����

"���� ����+ +��"��������� � � ����. ����� �� �� �����(���� + � ���� � �� � �� ������� ��� ������ ���� ���� #� ��� � %�� ���������� ������������������������������ ������ ������ �"����$������ � + ������������B���� ��� ���$

���D�� ����� � � � ��#��� �� = ������� ���� �����!� � "���������*��� "����� �" ���������������������� (���� ������� �����!���� �������#����� ��" �'��'����'�.��� � ����������"+ �� ������ ��������"��"��*��� "�(����' + ������"�� ��E��� ������ �#���������������� ������� � ��� ��� ������ ��������� ��# � + ��� ��� ��� � �����")��"������ ������ �#���# � ���� ������� �� ����)"�������� �"��" $�������� ������ ����������� +�������������(���� ����� ���� ��!��� ����.�")��"������� E�����)�������������"������� ������ �#�� ���� ��!���������������D("���������� ������ �#�� �������������E�O������������������������"�������� ������ ���.�#�"��� �������� ������ P$F��'������������"���"��� '�� ������� + &���" ��")��(�������� ����� ��������������� �" #������� ��� $

���������� �� D��"��'���� ���������������������� ��������� ��� *��� "����� ���� ��+���� ��� "����������������� �" ��")��� �#������������������ ����� �� � ��� �" �� ����������$�������!�����)������������ �� � ��������������"���� �������������� ���������������������� ��)�� ������D"�����#�������������� ��� ���������� ������ ��#����������������"������ �������� �����(� �� � �� �!��� �� #� ������� �� ����� ���$� % �� �� �� ��� �� �� �+����� "��� ���� � � ���� ��!�� ��� � � ��#� ��� � � � �� �#������������+ ������������� ������� ����������(� �$��������"�����������"���!�� � �' �� ��� �� ����(��� ��� ������ ��������������"������ ����' �� �� ����("��� ���������� �$�- � �������)������������� �� "�������������" ��& �� �����" �������� � �����D"����π��� � �√9�� �����" ���������"��� ������������E

- ������ ��� ��������������*��� "������ "+������' �� + � � "��� ��. ��� ���� � �� �� �������� ������� �� ����� ��D�� �������� " ��")����� ����� ������� ��"�� ����"����� � � � �����" ��!�� � √9$� ��� 5;61�� ,��+��������+���������� ��"������������� "+���������������(��������*��� "������+)��������������' ������"�#�"���� ����� � ���������� �"�������� �'��� ���� ����(��. � ��������� +���� � � �� �. ��"��'���������������� (���������+��������"�������&�"�����������)�� ���������"������ � +!����������� �� �����������������)�� ����� � ������ "��������������� � � �� �)+�� $�< "+������������+��������������������*��� "������������� + � F�"!������ ��� <� �� � 3:26(916� $�$7� ��"�� ��� ���"��" ��")����� ���� ��� +����!� ������� "����� � � �!�"�� ��������"��������������������� ����)"���$

��������������������������� ������

Page 11: ACTA › medios › articulos › matematicas › 049077.pdf · +ˆ ˆ "˚ ˆ ! " ") ˆ # !" " ˚ ˆ ( ˆ˚ ˆ"ˆ ˚ ˆ ˙" " . + ˆ " ˆ

*��� "�������������� ���������������� ����� ���(��������")��� �������' ���� " �������)���� ������ (������� ���� ���� ���!���� �� � � � � �� ���� ��� +��� ������������ ����� �� #� ��#�� �)������ � � � � "+���� ������ �������� ��� �� ���!�� ������� �� '��'�� ���� � ��������*��� "������ "+��������� $

*�����������-��� �3'$�>2>('$�>66� $�$7������ ����� � C���� � /!��� �� ��� �"����� =����� �� ��� <���� ����� ��� ������� �� �� " ��")����� ��� ����� ��� ���� �����������!����� ��������� ��������� � ������������������ �� �!��� �$� �� � ����� ������� B��� ")�� &����� ���*��� "����$�� &!� �*��& ��� � �������"�#� &�����# �� ����" ����!�"��'�����"���������������������!��� (& �� � "+���� � A����� #� -��� "��� ���� �� ��� � D���" ������������!� �����"����� ��'������ �������� �����(�� ������������� $

*�������� �����+�!� ������ "����� #� "��'��� ��� �����+���� D������������ �$�<�����������'�.��������������� ����"��� ����"��� ���#����� ������ ������� ���������(����� �� ��� '�.�� *�������� ���� � �� ���������� �!��� ��� ������������� ����� ������ ���+����� ������ ����������������� ����������������� �����+����������� � �����D��� ������!�� ��� ���� �� ���� ���� ���� ��� �� � ������������� ��� � �������� �� � � �)+�� � �� �� � '����+�� $� % � ���� ����� ������ ���!��� �������������������������������D"�(��������� ��������� � ����������� ���.������"��'��� B������������ �������)���+� ���� ��!����� � ����"��� �#' �� �����'�"+������"��M�������� � ������#�F��� ������������ ������ � ����� � ������. �� "+���������������(��� �8������*��������������!������������ �������� ��!����� � � ������ ��� � �� ������� ���� ��� �� �� ���� �� ��#�������"���������' ������ ������������ +������� ������(�������")������ �������"��� ��� #������ ���������� ��� � ���������������������"���"����������������#��������������� �� " ���������"����������"����$

�������������� � ���!��� ���* ����������������������� + � ���������� ��� ��'�� ���D"������ ��'�� ��� ����� ���� ���� ���� ' �� ���� ��� ���� �� ���� ���"����� �������������������������������������� �8����)� +�����' �������� ����������������"������������������ � ��' �� 5246$� ��� ��� ��� ��+��� ��� ' � �������$� ��� ������ ���������� ��������� ������� ��� �� �� �� � ���� ��� ����������� ��)"������ ���&�� ����� ���" ����� ��� ���� #� �����" �����" �������������!��� �$

0�� � �� ��. ��!�� ��� *�������� ���� ��� ��������!���"���� ����������+��" ����������� ��� ������������(�� � ���� � ���� � � ����� ������������� ������ � � �� ���������������� ���� ������ ������� ������������������� ������� ��� � �$���������� � � E�� ����������+&��������������� ����� � � � ���� ��� ������� �������� ���� �� �� ���(���������� ���������� ���� �������������� �� ������� ������+&������������ ������� ����������$���� ��� �����

���+��" ����*���������"���� ����.�� �����������������# ������������������!������� �����������$

%��������-� ���

*������������!�' �� ������� ������ ����"��� �������(� "����� ����� �� �������� ���� ��� � "��� ")�� ��� ���$% ������ ���������� ���"�������������� ������� ���(�� � ��������' �� ������ ���")��"��#��!���������"������ ��� "����� "�������� ' � ������� ������� �� �"�� (������ #� ������� �����$� ��� ����� ��������� *��������G����� ��"�� ��� �� " + �� ���� �����"���)�������������� � � � ���"�� ��!�� ��� � � ������ � ����� $� ������� ������!�� �*����������' �������� �����*��� ("�����' + ���������� ���� ������ ���������������$

*�������� ���� � "+���� ��� �������� ��� �D"����������+�!� ��+��� � ��������� ��� ������ �� ���!� ��"������� � � �����" ������D"����π8����� ��")���� ���!��"����"�������$

���� �����������������=���������C�.")������' ���& (��������� ����� ��� � +� �E�%����� �� ����������� �������� �)������ ��������������� ��� �� ������� ���)� ��� ��2����������!���� ������������ ���������� � ��������������)������������� ����������������������" � ������������������������� �� ������ .��� �������������������"����������������������� �������� ������� �������1�����������������"������������ �����"��.����������������������� ���������������� ���������������������������������������� �!�����0����"����AHAC� -����� ("�������� ���!��"��, ���#� ������"� ������ ���#�D���"�%�+��� �� ������������������ �����*�������$

= ������������������0��� ���������������.������������������*��� "�����#����*��������������������������� ���� ��� � � ��� ����� �� ������� ��� ��� �������� ��������������������� ��������� �����'��������.�������� ��������.������������ ������������������������������� .������!��������������������������� �������������� ���.����� ������������������������$

������������������� ������

��