บทท 1

คณตศาสตรสาหรบฟสกสคณตศาสตรสาหรบฟสกส

1.การแกสมการตวแปรเดยว 1.1 การแกสมการดวยการยายขางสมการEx 3x – 2 = x +10 จงหาคา x

3x – x = 10 + 22x = 12 จะได x = 12/2 = 62x = 12 จะได x = 12/2 = 6

นกศกษาลองแทนคาเพ อตรวจสอบคาท ไดวาถกตองหรอไม

Ex x - 1 = x + 2 จงหาคา x2

3

x - x = 2 + 1

x = 3 จะได x = 6

2

2

2

1

2

3

Ex นกศกษาลองแกสมการท กาหนดใหตอไปน และ กรณท ไดคาตอบไมตรง อภปรายวาเพราะเหตใดจงไดคาตอบไมถกตอง ใหแสดงวธทาท ไมถกตองใหแสดงวธทาท ไมถกตอง

จงหาคา x เม อ 1 / x = 1/12 + 1/3

ถาแกสมการท ตวแปรตดเลขยกกาลง เชน x² +2 = 7 หรอ 2x² + 3x – 2 + 10 = -x² + 2x - 8 จะทาเชนไร??? จะทาเชนไร???

1.2 การแกสมการดวยการถอดราก

x² = a จะได x = + เม อ Ex x² +2 = 7

a oa Ex x² +2 = 7

x² = 7 – 2 = 5x = + = + 2.24

Ex 45 = 5t²9 = t²t =

5

t = t = ±3

9

1.3 การแกสมการดวยการแยกตวประกอบ

กอนอ นตองทบทวนสมการพหนามกอน a x² + bx + c = 0 สามารถหาคา x โดยแยกตวประกอบหรอจากการใชสตรสามารถหาคา x โดยแยกตวประกอบหรอจากการใชสตร

สตร ถา b² < 4ac คาในรากท สองจะตดลบถอวาสมการไมมคาตอบ

a

acbbx

2

42

ทบทวนการแยกตวประกอบโดยไมใชสตรEx x2 – 5x + 6 = 0

(x-3)(x-2) = 0 จะได x-3 = 0 หรอ x-2 = 0 จะได x-3 = 0 หรอ x-2 = 0

x = 3 หรอ 2

Ex 4 = 5t – 5t² จดรปสมการใหมให สมประสทธ หนาตวแปรยกกาลงสองไมตดลบ และ ใหฝงขวามอเปนศนย

5t2 – 5t + 4 = 0 5t2 – 5t + 4 = 0 พบวาไมสามารถแยกตวประกอบได พจารณาใชสตร จาก a x² + bx + c = 0

จะได a = 5 b = -5 c = 4

)5(2

)4)(5(4)5()5( 2 t

10

80255 t

แทนคาในสตรจะได

คาในรากตดลบ ไมมคาตอบ

Ex 25 = 10t + 5t²5t² + 10t -25 = 0 และได t² + 2t -5 = 0

a = 1 , b = 2 , c = -5 แทนสตร

)1(2

)5)(1(422 2 t

คาในรากตดลบ ไมมคาตอบ

แทนสตร)1(2

t

2

2042 t

2

242

2

90.42 t

2

90.42

2

90.42

= ,

t = 1.45 , -3.45 Ans.

,

Ex 2x² + 3x – 2 + 10 = -x² + 2x + 8จดรปสมการใหม

2x² + 3x – 2 + 10 + x² - 2x - 8 = 03x²+ x = 0x(3x+1) = 03x²+ x = 0x(3x+1) = 0

จะได x = 0 หรอ 3x+1 = 0ดงนน x = 0 หรอ x = -1/3

ดานตรงขามมมฉาก

2 ตรโกณมต

a

b

θ

cดานตรงขามมมฉาก

ดานตรงขามมม

ดานชดมม และมมฉาก

sin

cos

tan

= b/c= a/c= b/a

ตารางคา sin ,cos , tan ของมมท ควรทราบ

31 1

มม (องศา)

sinsin coscos tantan

302

32

13

1

2

2

2

2

2

32

1

5

35

4

4

3

30

45 1

60

37

3

5 5 4

3

45

4

5

3

37

53

ความยาวดานในพกดฉากy y

θθ

a

x

ax

ay

x

a จะได a y sinaa

a

θ

a

ay

ax

จะได

a

a ysin sinaa y

a

axcos cosaax จะได

a

ax

ay

Ex จงหาความยาวดานท เหลอลงในรปท กาหนดใหดงตอไปน

30

15

……….

……….

53

20

……….

……….

3.เวกเตอร

• เวกเตอรคอปรมาณท มทงขนาดและทศทาง การบวก ลบ หรอ คณ เวกเตอร ตองพจารณาในเร องของทศทางดวย เวกเตอร ตองพจารณาในเร องของทศทางดวย

• ขอผดพลาดท พบ “บวก ลบ หรอ คณ เวกเตอร เหมอนกบ ปรมาณสเกลาร”

3.1 การรวมเวกเตอร• การรวมเวกเตอรดวยวธกราฟฟค

B

BA

A

A

30

30

A

A

B

B

B

BA

นกศกษาฝกทบทวนโดย1.วาดเวกเตอร 2.กาหนดขนาดเวกเตอร A และ B หาผลลพธท ไดจากการรวมเวกเตอร จะทาเชนไร

• การรวมเวกเตอรดวยวธการใชสตร

αBC

BAC

β θ

A

BC BAC

cosAB2BAC 22 cosAB2BAC

หาทศทางของเวกเตอรลพธ ไดจากกฎของไซน (law of sine)

θβα 180sin

Csin

Bsin

A

3.2 การคณเวกเตอร

• 3.2.1.การคณปรมาณเวกเตอรดวยปรมาณสเกลาร• m จะเปนปรมาณเวกเตอรใหมท มขนาดเปนm เทาของ AA• m จะเปนปรมาณเวกเตอรใหมท มขนาดเปนm เทาของ AA

• 3.2.2.การคณปรมาณเวกเตอรดวยปรมาณเวกเตอร1. ผลคณเชงสเกลาร

cosBABA =• cosBABA =•

• 2. ผลคณเชงเวกเตอร

nBABA sin

=×

• 3.3 การแยกเวกเตอรเปนเวกเตอรยอย ระบบพกดฉาก x และ y สามารถเขยนเวกเตอรอยในรป

เวกเตอรยอย ใหอยในรปของเวกเตอรหนวยได

• เวกเตอรหนวย i มขนาดหน งหนวย ทศทางตามแกน x (ทางบวก)

• เวกเตอรหนวย j มขนาดหน งหนวย ทศทางตามแกน y (ทางบวก)

จากรป เวกเตอร A และ B จะสามารถเขยนในรปเวกเตอรจากรป เวกเตอร A และ B จะสามารถเขยนในรปเวกเตอร

ยอยอยางไร

3.4 เวกเตอรในชวตประจาวน

• เหตการณตางๆ ในชวตประจาวน เม อ มขนาด และ ทศทาง สามารถ แสดงในรปของเวกเตอรได เชน แสดงในรปของเวกเตอรได เชน

Ex ชายผหน งกลงลกหนสามครงลงหลมพอด ครงแรกกลงไปทางเหนอไดระยะทาง 12 เมตร ครงท สองกลงไปทางตะวนออกเฉยงใตไดระยะทาง 6 เมตร และครงท สามกลงไปทางตะวนตก เฉยงใตไดระยะทาง 3 เมตร จงหาวาถากลงลกหนเพยงครงเดยวใหลงหลมจะตองจงหาวาถากลงลกหนเพยงครงเดยวใหลงหลมจะตองกลงลกหนเปนระยะทางเทาใด

4. แคลคลส

• 4.1 อนพนธ 1.อนพนอนดบ1 1.อนพนอนดบ1

• 2.อนพนธอนดบ2

4.2 ปรพนธ (Intregrate)

• 1. ไมมขอบเขต

• 2.มขอบเขต

จบบทท1จบบทท1