ความสมพนธ และฟงกชน

ความสมพนธและฟงกชน มความส าคญในเกอบทกแขนงวชาทเกยวกบคณตศาสตร เพราะเปน

เครองมอทางในการแปลงความของแขนงวชานนๆในรปคณตศาสตร โดยมรากฐานอยบนทฤษฎ

เซต

4.1 ความสมพนธ

ความสมพนธเปนวลทแสดงการเกยวของกนของเซตสองเชต จะแสดงความสมพนธในรปคอนดบ

ของสมาชกทงสองเซต

นยาม ค อนดบ (order pairs) คอ สงทมสมาชกสองตว และอนดบของสมาชกนนมความหมาย เรา

แทนคอนดบ a,b

ดวยสญลกษณ (a,b) เราจะเรยก a วา สมาชกตวแรกของคอนดบ

และเรยก b วา สมาชกตวหลงของคอนดบ

หมายเหต

1. เราใชคอนดบเมอกลาวถงสงทเกยวของกน

2. (a,b) (b,a) เมอ a b

3. ในระบบพกดฉาก เราแทน (x, y) ดวยจดหนงจดบนระนาบ xy ในท านองเดยวกน จดหนงจดบน

ระนาบ xy จะแทนดวย (x, y)

การเทากนของค อนดบ

ทฤษฎบท ให (a,b) และ (c,d) เปนคอนดบใดๆ (a,b) = (c,d) กตอเมอ a = c และ b = d

นยาม ผลคณคารทเชยน (Cartesian product) ของเซต A และเซต B ซงเขยน แทนดวย AX B คอ

เซตของคอนดบท งหมดทมสมาชกตวแรกของคอนดบเปนสมาชกของเซต A และ สมาชกตวหลง

ของคอนดบเปนสมาชกของเซต B

นนคอ AX B = { (x, y) | x Aและ yB }

ขอสงเกต

1. AX B BX A

2. จ านวนสมาชกของ AX B มคาเทากบผลคณระหวาง จ านวนสมาชกของเซต A กบ จ านวนสมาชก

ของเซต B นนคอ n(AX B) = n(A) X n(B)

นยามความสมพนธ

ถา R AX B แลว R วาเปน ความสมพนธจากเซต A ไปเซต B

เราจะกลาววา x มความสมพนธกบ y ถา (x, y) R

และ เรยก R วาเปนความสมพนธจากในเซต A ถา R A X A

โดเมนของความสมพนธ r คอเซตของสมาชกตวแรกของคอนดบ

ในความสมพนธ r แทนดวย Dr หรอ D(R) นนคอ

DR = {x | (x,y) R }

เรจนของความสมพนธ r คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบ

ในความสมพนธ r แทนดวย r R หรอ R(r) นนคอ

RR = { y | (x , y) R }

คณสมบตของความสมพนธ

ความสมพนธสะทอน R บนเซต A

ส าหรบทกสมาชก a A ความสมพนธ (a,a) R

ตวอยาง

ก าหนด เซต A = {1,2,3,4}

และ R = {(1,1),(1,2), (2,1),(2,2),(3,4),(3,3),(4,3),(4,4)}

วธท า

พจารณา สมาชก (1,1), (2,2), (3,3) และ (4,4) R

ดงน น R มคณสมบตของความสมพนธสะทอน

ความสมพนธสมมาตร R บนเซต A

ถา (a,b) R แลว (b,a) R ส าหรบ a, b A

ตวอยาง

ก าหนด A = {1,2,3,4}

และ R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(4,4)}

วธท า

พจารณา

(1,1) R (1,1) R เปนจรง

(1,2) R (2,1) R เปนจรง

(2,1) R (1,2) R เปนจรง

(2,2) R (2,2) R เปนจรง

(3,4) R (4,3) R เปนจรง

(4,3) R (3,4) R เปนจรง

(4,4) R (4,4) R เปนจรง

ดงน น R มคณสมบตของความสมพนธสมมาตร

ความสมพนธอสมมาตร R บนเซต A

ถา (a,b) R และ (b, a) R a = b

ตวอยาง

ก าหนด A = {1,2,3,4}

และ R = {(1,1),(1,2),(2,2),(3,4),(4,4)}

วธท า

พจารณา

(1,1) R และ (1,1) R 1 = 1 เปนจรง

(1,2) R และ (2,1) R 1 = 2 เปนจรง

(2,2) R และ (2,2) R 2 = 2 เปนจรง

(3,4) R และ (4,3) R 3 = 4 เปนจรง

(4,4) R และ (4,4) R 4 = 4 เปนจรง

ดงน น R มคณสมบตของความสมพนธอสมมาตร

ความสมพนธถายทอด R บนเซต A (a, b) R และ (b, c) R (a, c) R

ตวอยาง

ก าหนด A = {1,2,3,4}

และ R = { (1,1), (1,2), ( 2,3), (3,4), (1,3), (1,4), (2,4) }

วธท า

พจารณา

(1,1) R และ (1, 1) R (1, 1) R เปนจรง

(1,1) R และ (1, 2) R (1, 2) R เปนจรง

(1,1) R และ (1, 3) R (1, 3) R เปนจรง

(1,1) R และ (1, 4) R (1, 4) R เปนจรง

(1,2) R และ (2, 3) R (1, 3) R เปนจรง

(1,2) R และ (2, 4) R (1, 4) R เปนจรง

(2,3) R และ (3, 4) R (2, 4) R เปนจรง

(1,3) R และ (3, 4) R (1, 4) R เปนจรง

(1,4) R และ (4, X ) R (1,X) R เปนจรง

(1,4) R และ (4, X ) R (1,X) R เปนจรง

ดงน น R มคณสมบตของความสมพนธถายทอด

ตวอยาง

ก าหนด R1 = { (1,1), (2,2), (3,3) }

และ R2 = { (1,1), (1,2), (1,3),(1,4) }

จงหา R1 R2 , R1 R2 และ R1 R2

วธท า

R1 R2 = { (1,1), (1,2), (1,3),(1,4) , (2,2), (3,3) }

R1 R2 = { (1,1) }

R1 R2 = { (2,2), (3,3) }

นยาม ความสมพนธประกอบ SoR เมอ S และR เปนความสมพนธ

x (a,x ) R (x, b) S (a,b) SoR

ตวอยาง

ก าหนดความสมพนธ R และ S ดงน

R = { (1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,4)}

S = {(1,0), (2,0), (3,1), (3,2), (4,1)}

จงหา ความสมพนธประกอบ SoR

วธท า

SoR = { (1,0), (1,1), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1)}

นยาม ยกก าลงความสมพนธ Rn

R1 = R

Rn+1 = Rn o R

ตวอยาง

ก าหนด ความสมพนธ R = { (1,1), (2,1), (3,2), (4,3) }

จงหา R2 R3 R4

วธท า

R = { (1,1), (2,1), (3,2), (4,3) }

R2 = RoR = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,2) }

R3 = R2oR = { (1,1) , (2,1), (3,1) , (4,1)}

R4 = R3 o R = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}

ความสมพนธ n-ary

ความสมพนธ R เปนความสมพนธจากเซตสองเซตใดๆ เรยกวา Binary Relation

สมาชกของความสมพนธ R มลกษณะเปนคล าดบ (pair (x,y))

ความสมพนธ R เปนความสมพนธจากเซตสามเซตใดๆ เรยกวา Ternary Relation

สมาชกของความสมพนธ R มลกษณะเปนสามล าดบ (triple (x,y,z))

…

ความสมพนธ R เปนความสมพนธจากเซต n เซตใดๆ เรยกวา n-nary Relation

สมาชกของความสมพนธ R มลกษณะเปน n ล าดบ (n-tuple (x1,x2, …, xn))

หมายเหต หลกการเรองความสมพนธถกน าไปประยกตใชกบฐานขอมลทางคอมพวเตอร

ก าหนด A1,A2, … ,An แทนเซต

ความสมพนธ n-ary R คอ R A1XA2X … XAn

ตวอยาง

ก าหนดความสมพนธ R บนเซต N X N X N ทประกอบดวยสมาชก สามล าดบ (a,b,c) ซง

a b c จงหา ความสมพนธ R ทมคณสมบตขางตน

วธท า

R = { (0,1,2), (0,1,3), (0,1,4), …

(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), …

…}

ฐานขอมลทางคอมพวเตอรสามารถแทนไดดวยโมเดลความสมพนธ

ตวอยาง

ขอมลนกศกษา (ชอนกศกษา, รหสนกศกษา, ชอสาขา, เกรดเฉลย)

คยหลก (Primary Key) คอ แอททรบวต (column) ทมคณสมบตทท าใหขอมล 2 เรคคอรด (row) ใด

ในตารางไมซ ากน จากตารางขางตน แอททรบวตทมคณสมบตเปนคยหลก คอ รหสนกศกษา

คยประกอบ (Composite Key) คอ คยทเกดจากการรวมหลายแอททรบวต (column) เพอใหขอมล

ในตารางแตละแถวแตกตางกน

การด าเนนการ Selection บนฐานขอมล

ตวอยาง

จากตารางทก าหนดให

จงด าเนนการ selection ขอมลตามเงอนไข GPA > 3.45

วธท า

การด าเนนการ Projection บนฐานขอมล

ตวอยาง

จากตารางทก าหนดให

จงด าเนนการ projection ขอมล P1,4

การด าเนนการ join บนฐานขอมล

ตวอยาง

จากตารางทก าหนดให

จงด าเนนการ join ขอมลท งสองตารางเขาดวยกน

วธท า

ผลการด าเนนการ join เปนดงตารางน

4.2 ฟงกชน (Function)

ฟงกชน คอ ความสมพนธทสมาชกตวแรกของคอนดบทงหมดแตกตางกนหมด เราสามารถเขยน

ฟงกชนในรปของเซตได ดงน

f = {(x,y) | {(x, y 1) f (x,y2) f } (y1 = y2) }

เราจะเรยก โดเมนของ f วา โดเมนของฟงกชน f และเรยกเรนจ ของ f วาเรนจของฟงกชน f

ถา(x, y) f เราจะกลาววา y เปนอมเมจ(image) ของ x ภายใต f หรอ y เป นคาของฟงกชน f ท x

เขยนแทนดวย

y = f (x)

นยาม ให f เปนฟงกชน เราจะกลาววา f เปนฟงกชนจาก A ไป B (function from A to B) กตอเมอ

Df = A และ Rf B แทนดวย f : A B

เรยก เซต Aวาเปน โดเมนของฟงกชน f

เรยก เซต B วาเปน โคโดเมนของฟงกชน f

เรยก สมาชก y วาเปน อมเมจของ x ภายใต f

เรยก สมาชก x วาเปน พรอมเมจของ y ภายใต f

หมายเหต y อาจมมากกวาหนง พรอมเมจ

เรยก R วาเปน เรนจ เมอ RB โดยท R={b | a f(a)=b }.

หมายเหต

ฟงกชนบางสวน (partial function) จาก A ไป B คอ ฟงกชน จาก เซต A ไปยงเซต B โดยท

A A ฟงกชนบางสวนจะใชเมอไมทราบโดเมนทแทจรงของฟงกชนทพจารณา

ส าหรบ ฟงกชนทงหมด (total function) ถา A = A ซงคอนยามเดยวกบ ฟงกชน

ตวอยาง

สมมตในการก าหนดเกรดใหนกศกษา:

“f เปนฟงกชนทมการทอดคาชอของนกศกษาทเรยนวชาน โดยเกรดทจะใหกบนกศกษาคอ

{A,B,C,D,F}”

จากตวอยางน เซตของโคโดเมนคอ: {A,B,C,D,F} และเซตของเรนจคอ undefined

ถานกศกษาทกคนทเรยนวชานไดเกรด A หรอไมกไดเกรด B

ดงน นเรนจของฟงกชน f คอ {A,B} สวนเซตของโคโดเมนคอ {A,B,C,D,F}

4.2.1 ฟงกชนกบตรรกศาสตร ประพจนใดๆ สามารถพจารณาเปนฟงกชนจาก “สถานการณ” ททอดคาไปยงคาความจรง {T,F}

ตรรกใดๆ จะถกเรยกวา “situation theory”

ตวอยาง

p=“ฝนก าลงจะตก” s = สภาพแวดลอมในขณะนน ดงน น p(s){T,F}

ตวด าเนนการใดๆ ของประพจนสามารถพจารณาเปนฟงกชนททอดคาจากคอนดบของคาความจรง

ไปสคาความจรง

ตวอยาง

((F,T)) = T

→((T,F)) = F

พรดเคตใดๆ เปนฟงกชนของวตถตางๆ ททอดคาไปยงประพจนทมคาความจรง

ตวอยาง

ก าหนดให P แทนขอความ “is 7 feet tall”;

P(Mike) = “Mike is 7 feet tall.” = False.

สายของบต B ทมความยาว n บต สามารถพจารณาเปนฟงกชนชนดหนง ททอดคาจากต าแหนงของ

บต {1,…,n} ไปสคาของบตในต าแหนงนนๆ {0,1}

ตวอยาง

B=101 B(3)=1.

4.2.2 ฟงกชนกบเซต

เซต S ใดๆ ทอยในเซตเอกภพสมพทธ U สามารถพจารณาเปนฟงกชนททอดคาสมาชกตางๆใน U

ไปสคา {T, F} หรอกลาวอกอยางหนงกคอสมาชกแตละตวใน U อยในเซต S หรอไม

ตวอยาง S={3} fS(0)=F, fS(3)=T.

ตวด าเนนการของเซตใดๆ เชน ,, เปนฟงกชนททอดคาจากคตางๆ ของเซตทถก

ด าเนนการไปสเซตใหมทเปนผลของจากการด าเนนการ

ตวอยาง

(({1,3},{3,4})) = {3}

ฟงกชนทวถง ฟงกชน 1-1

นยาม ให f เปนฟงกชน เราจะกลาววา f เปนฟงกชนจาก Aทวถง B (function from A onto B :

surjection ) กตอเมอ Df = A และ Rf = B แทนดวย 𝒇: 𝑨𝒐𝒏𝒕𝒐→ 𝑩

นยาม ให f เปนฟงกชน เราจะกลาววา f เปนฟงกชน 1–1 จาก Aไป B (one-to-one function from

A into B: injection ) กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B และ ส าหรบทก x1, x2 A

f (x 1) = f (x2 ) (x1 = x2 )

แทนดวย 𝑓: 𝐴1−1→ 𝐵

นยาม ให f เปนฟงกชน เราจะกลาววา f เปนฟงกชน 1–1 จาก A ทวถง B (one-to-one and onto

function from A B : bijection) กตอเมอ f เปนฟงกชน 1–1 จาก A ไป B และ Rf = B แทนดวย

𝑓: 𝐴1−1 ,𝑜𝑛𝑡𝑜→ 𝐵

ฟงกชนผกผน

นยาม ให f เปนฟงกชน ผกผนของฟงกชน f (inverse of a function f ) คอ ความสมพนธทเกดจาก

การสลบทระหวางสมาชกของแตละคอนดบทอยใน f แทนดวย f -1 นนคอ

f -1= { ( y, x) | (x, y) f }

หมายเหต

1. f -1 อาจเปนฟงกชนหรอไมเปนกได

2. ถา f -1 เปนฟงกชน เราจะเรยก f -1 วา ฟงกชนผกผน (inverse function)

พชคณตฟงกชน

นยาม ให f และ g เปนฟงกชน การบวก ลบ คณ และ หาร ของ f และ g แทนดวย f + g, f g, fg

และ f/g ตามล าดบ เปนฟงกชนทก าหนดดงน

(f+g )(x ) = f(x ) +g (x)

(f g)(x) = f(x) g(x )

( fg)(x ) = f (x ) g(x )

และ (fg) (x) = f(x) g(x) โดยท D = Df Dg {x | g(x) = 0}

ฟงกชนประกอบ (Composite Function)

นยาม ให f และ g เปนฟงกชนซง R f Dg ≠ เราสามารถแทนฟงกชนประกอบของ f และ g

ได แทนดวย g o f ก าหนดโดย (g o f )(x) = g( f (x))

ขอสงเกต Dgof Df และRgof Rg

4.3 ฟงกชนส าคญ

ฟงกชนเอกลกษณ

นยาม ส าหรบเซตของโดเมน A ใดๆ ฟงกชนเอกลกษณ (Identity Function) แทนดวย I : A A

คอ ฟงกชนทมคณสมบต a A, I(a) = a

ตวอยาง

a A, I(a) = a + 0 = a

a A, I(a) = a 1 = a

a {T,F}, I(a) = a F = F

a {T,F}, I(a) = a T = T

S , I(S) = S U = U

S , I(S) = S =

หมายเหต

ฟงกชนเอกลกษณ เปนฟงกชน 1-1 และ ทวถงเสมอ

ในศาสตรคอมพวเตอรมกจะพบกบฟงกชน ตอไปน

Floor Function

นยาม Floor Function แทนดวย : เมอ x หมายถง จ านวนเตมทมากทสดทนอย

กวาหรอเทากบ x หรอ x = max({i i x})

Ceiling Function

นยาม Ceiling Function แทนดวย : เมอ หมายถง จ านวนเตมทนอยทสดท

มากกวาหรอเทากบ x หรอ x = min({i i x})

หมายเหต

x x

และ x x

และ ถา x แลว x x x

ตวอยาง จงแสดงกราฟของฟงกชน f(x) = x 3

วธท า