ทฤษฎกราฟ

9.1 ทฤษฎกราฟ

กราฟเปนพนฐานโครงสรางคณตศาสตรทจ าเปนส าหรบวทยาการคอมพวเตอร

นยาม กราฟ G(V,E) ประกอบดวยเซตของจด V และ เซตของเสน E ทเชอมตอระหวาง

จดสองจด

ทฤษฎกราฟ น าไปประยกตใช web search, network, database, artificial intelligent

เปนตน

ตวอยาง การประยกตใชทฤษฎกราฟ

รปท 1 แสดงการประยกตใชทฤษฎกราฟ

ศพททควรรเกยวกบกราฟ

จดสองจด U และ Vเชอมตอกนดวยดาน E จดทงสองเปนจดประชด (adjacent)

ดาน (U,V) เชอมตอ (incident) จด U และ V

ดกรของจด V เขยนแทนดวย deg(V) แทนจ านวนดานทงหมดทเชอมตอกบจด V

เซตเพอนบานของจด V (neighborhood) หมายถง เซตทประกอบดวยจดทประชดกบจด V

หมายเหต กราฟทม ลป (loop) เกดจากการทมจดใดๆในกราฟประชดกบตนเอง

นยาม Simple Graph หมายถง กราฟทไมมลปและมอยางมากเพยง 1 ดานเชอมระหวาง 2

จดใดๆในกราฟ

นยาม Multi Graph หมายถง กราฟทมดานมากกวาหรอเทากบสองดานเชอมตอจด 2 จด

ใดๆในกราฟ

นยาม Directed Graph หมายถง กราฟทประกอบขนจากดานทมทศทาง (directed edge)

คล าดบ (u,v) หมายถง ดานทมทศพงจากจด u ไป สนสดทจด v

หมายเหต ส าหรบกราฟทไมมทศางใดๆ ดาน (u,v) = (v,u)

ทฤษฎ Handshaking

ก าหนด กราฟ G = (V,E) เปนกราฟทม m ดาน จะไดวา

mvdevVv

2)(

นยาม in-degree และ out-degree ของ directed graph

--in-degree ของจด v เขยนแทนดวย deg- (v) แทนจ านวนของดานทออกจากจด v

-- out-degree ของจด v เขยนแทนดวย deg+ (v) แทนจ านวนของดานทเขาสจด v

Handshaking ส าหรบ Directed Graph

ก าหนด G(V,E) แทน Directed graph

VvVv

Evdevvdev ||)()(

ตวอยาง

จาก กราฟทก าหนดให

จงหา deg - (a) และ deg+ (a)

วธท า

deg- (a) แทนจ านวนของดานทออกจากจด a

deg- (a) = 2

deg+ (a) แทนจ านวนของดานทเขาสจด a

deg+ (a) = 1

9.2 ชนดของกราฟ

นยาม Subgraph

กราฟ G(V,E) เปนสบกราฟของ กราฟ G’(V’,E’) ถา V V’ และ E E’

กราฟ G(V,E) เปนสบกราฟแทของกราฟ G’ ถา G G’

นยาม Complete Graph (Kn)

Complete Graph คอ simple undirected graph ซงทกคของจดถกเชอมเปนดาน

นยาม Cycle Graph (Cn)

Cycle Graph คอ simple undirected graph ซงมดานเชอมระหวางจดทอยถดไปในทศ

ตามเขมนาฬกา (หรอทวนเขมนาฬกา) อยางใดอยางหนง จ านวนจด n 3

นยาม Wheel Graph (Wn)

Wheel Graph คอ simple undirected graph ทเปน Cycle Graph ทเพมจดหนงจดเพอ

เชอมไปยง n จดของกราฟ Cn

รปท 2 แสดงกราฟชนดตางๆ

ตวอยาง การประยกตใช Graph ชนดตางๆ

ส าหรบ เครอขายทองถน

Star Ring Hybridge

รปท 3 แสดง การประยกตใช Graph กบเครอขาย

ส าหรบการประมวลผล

ประมวลผลแบบอนกรม ประมวลผลแบบ

อนกรมขนาน

รปท 4 แสดง การประยกตใช Graph กบการประมวลผล

ตวอยาง

จงหาสตรทวไปของความสมพนธระหวางจ านวนจด กบ จ านวนดานของ Complete

Graph ขนาด n จดใดๆ

วธท า

|V| = 1 จะได |E| = 0

|V| = 2 จะได |E| = 1

|V| = 3 จะได |E| = 3

|V| =4 จะได |E| = 6

…

|V| = n จะได |E| =2

*)1( nn

นยาม Bipartite Graph

ก าหนด simple undirected graph G(V,E) เปน Bipartite Graph ถาเซต V สามารถถก

แบงเปน 2 เซตท disjoint กน V1 และ V2 โดยทแตละดานในเซต E เชอมจากจดใดจดหนง

ในเซต V1 ไปยงจดใดจดหนงในเซต V2

นยาม Complete Bipartite Graph (K m,n)

Complete Bipartite Graph G(V,E) คอ กราฟทแบง เซตของจด V เปน 2 สบเซต ซงม

จด m และ n เปนสมาชกในแตละสบเซต โดยมดานเชอมระหวางจดจากเซตทงสอง

รปท 5 แสดง Complete Bipartite Graph

ตวอยาง

จากกราฟ G(V,E) ทก าหนด จงพจารณาวาเปน Bipartite Graph หรอไม เพราะเหตใด

วธท า

V = {A, B, C, D, E}

V1 = {A, C, E}

V2 = {B, D}

V1 V2 = และ แตละดานในเซต E เชอมจากจดใดจดหนงในเซต V1 ไปยงจดใดจด

หนงในเซต V2

ดงนน G(V,E) เปน Bipartite Graph

ตวอยาง Graph ทไมใช Bipartite Graph

ตวอยาง จงพจารณาวากราฟตอไปนเปน Bipartite Graph หรอไม เพราะเหตใด

Graph Coloring

นยาม Graph Coloring หมายถง การก าหนดสไปบนจดของกราฟเพอวาสองจดใดๆท

ประชดกนถกก าหนดใหมสทตางกน

กราฟทตองใช k ส (k-colorable) หากกราฟนนไดรบการก าหนดส k สไปบนจดทกจดใน

กราฟ

--กราฟ G(V,E) เปน Bipartite Graph กตอเมอ กราฟนนเปน 2-colorable

รปท 6 แสดงการประยกตใช Graph Coloring

กราฟขางตน ตองใช 3 ส หากมเพยง 2 ส จะไมสามารถก าหนดสใหจดจดตามขอก าหนด

ของ Graph Coloring ได

จ านวนสทนอยทสดทจ าเปนตองใชตามหลกการ Graph Coloring ถกเรยกวา chromatic

number

นนคอ chromatic number ของกราฟขางตน = 3

Complete Graph Kn ม chromatic number เปน n

ตวอยาง

จงหา chromatic number ของกราฟ ตอไปน

รปท ก รปท ข รปท ค

ตวอยาง

ก าหนดคณะกรรมการ 6 ชด ทประกอบดวยสมาชก

C1 = {Allen, Brooks, Marg}

C2 = {Brooks, Jones, Morton}

C3 = { Allen, Marg, Morton }

C4 = {Jones, Marg, Morton}

C5 = {Allen, Brooks }

C6 = { Brooks , Marg, Morton}

จงประยกตใชหลกการ Graph Coloring เพอค านวณหาวาจะตองจดการประชมกครงเปน

อยางนอยเพอไมใหเกดการขดแยงระหวางกรรมการแตละชด

9.3 การแทนกราฟ

แบบ Adjacency Matric

ให G(V,E) เปน simple graph ทม จ านวนจด |V| = n Adjacency Matric ของกราฟ G

แทนดวยเมทรกซ 0-1 ทมขนาด nXn ทมคาเปน 1 ณ ต าแหนง (i,j) เมอ จด vi ประชดกบจด

v j และ มคาเปน 0 หากต าแหนงนนไมมจดประชด

Ai j =

0

1 ถา { v i,v j } เปน ดานของ G

ตวอยาง

จงหา Adjacency Matric ของ กราฟ ตอไปน

วธท า

ตวอยาง

จงหา กราฟ ของ Adjacency Matric

วธท า

ตวอยาง

จงหา Adjacency Matric ของ กราฟ ตอไปน

วธท า

แบบ Incidence Matric

ให G(V,E) เปน undirected graph ทประกอบดวย จ านวนจด |V| = n และจ านวนดาน

|E| = m

Incidence Matric ของกราฟ G แทนดวยเมทรกซทมขนาด nXm M = [m i j] เมอ

0

1ijM ถา e j เปนดานเชอมของจด vi

ตวอยาง

จงหา Incidence Matric ของ กราฟ ตอไปน

วธท า

ตวอยาง จงหา Incidence Matric ของ กราฟ ตอไปน

วธท า

9.4 Isomorphism Graph

ก าหนด simple graph G1(V1,E1) และ simple graph G2(V2,E2) เปน Isomorphism

Graph ถาม function 1-1 และ ทวถง จาก เซต V1 ไป V2 ซงมคณสมบต จด a ประชดจด b

บน G1 และ มจด f(a) ประชดจด f(b) บน G2 จะเรยก function นนวาเปน Isomorphism

function หากกราฟทงสองไมมคณสมบตขางตนจะเปน Non isomorphism Graph

ตวอยาง

จงแสดงวากราฟ G และ H ตอไปน เปน Isomorphism Graph

วธท า

f(u1) = v1

f(u2) = v4

f(u3) = v3

f(u4) = v2

f เปนฟงกชน 1-1 และทวถง จากเซต {u1,u2,u3,u4} ไปยงเซต {v1,v2,v3,v4}

ตวอยาง

จงแสดงวา กราฟ G และ H ตอไปน เปน Nonisomorphism Graph

ตวอยาง

จงแสดงวากราฟ G และ H ตอไปน เปน Isomorphism Graph

วธท า Adjacency Matric ของกราฟ G คอ

Adjacency Matric ของกราฟ H คอ

ดงนน กราฟ G และ H เปน Isomorphism Graph กน