แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ · แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม

แบบฝกทกษะคณตศาสตร

เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ค 23201 ชนมธยมศกษาปท 3

เลมท 2

เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง

โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

นายอดร ข าคม

ต าแหนง คร วทยฐานะ ช านาญการ

โรงเรยนบานไรพทยาคม อ าเภอศรส าโรง จงหวดสโขทย

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 38

1

ค าน า

แบบฝกทกษะคณตศาสตร ไดจดท าขนเพอใชประกอบการเรยนการสอนรายวชา

คณตศาสตรเพมเตม 5 รหสวชา ค 23201 ชนมธยมศกษาปท 3 มจดมงหมายเพอใหนกเรยนเกดความร ทกษะทางคณตศาสตร ซงจะท าใหนกเรยนเรยนรอยางมความสข มเจตคตทดตอวชาคณตศาสตร และมผลสมฤทธทางการเรยนสงขน โดยผจดท าไดท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร ทงหมด 4 เลม ดงน

เลมท 1 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางก าลงสอง เลมท 2 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ เลมท 3 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปน

จ านวนเตม เลมท 4 การแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธเปนจ านวนเตมโดยใช ทฤษฏบทเศษเหลอ

ผจดท าหวงเปนอยางยงวา แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของ พหนาม เลมท 2 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ เลมน จะเปนประโยชนตอนกเรยน พฒนานกเรยนดานความร ดานทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร ซงชวยยกระดบผลระดบผลสมฤทธทางการเรยนรใหสงขน

อดร ข าคม

2

สารบญ

เรอง ค าน า…………………………………………………………………………….. ค าแนะน าการใชส าหรบคร……………………………………………………… ค าแนะน าการใชส าหรบนกเรยน………………………………………………… สาระ / มาตรฐานการเรยนร / ผลการเรยนร……………………………………… จดประสงคการเรยนร……………………………………………………………. แบบทดสอบกอนเรยน…………………………………………………………… ใบความรท 2.1 พหนามดกรสอง………………………………………………… ใบความรท 2.2 พหนามดกรสองในรปก าลงสองสมบรณ………………………. ใบความรท 2.3 ทบทวนการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง……………… ใบความรท 2.4 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ แบบฝกทกษะท 2.1……………………………………………………………… แบบฝกทกษะท 2.2……………………………………………………………… แบบฝกทกษะท 2.3……………………………………………………………… แบบฝกทกษะท 2.4……………………………………………………………… แบบฝกทกษะท 2.5……………………………………………………………… แบบทดสอบหลงเรยน………………………………………………………….. บรรณานกรม…………………………………………………………………… ภาคผนวก………………………………………………………………………. เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน / แบบทดสอบหลงเรยน………………………….. เฉลยแบบฝกทกษะท 2.1...................................................................................... เฉลยแบบฝกทกษะท 2.2...................................................................................... เฉลยแบบฝกทกษะท 2.3................................................................................. ...... เฉลยแบบฝกทกษะท 2.4................................................................................... .... เฉลยแบบฝกทกษะท 2.5................................................................................... .... ตารางบนทกผลคะแนน...................................................................................... ....

หนา 1 3 4 5 6 7 9 10 12 13 19 21 23 25 31 37 39 40 41 43 45 47 49 55 65

3

ค าแนะน าการใชส าหรบคร

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม ชนมธยมศกษาปท 3 มทงหมด 4 เลม เลมนเปนเลมท 2 เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ใชเวลา 4 ชวโมง จดท าขนเพอใหนกเรยนเกดความร ความเขาใจ และเสรมทกษะการคดค านวณ การแกปญหาในเรองการแยกตวประกอบของพหนาม เปนการทบทวนความรความสามารถดวยตนเอง ซงท าใหนกเรยนเรยนรอยางมความสข มเจตดตทดตอวชาคณตศาสตร และมผลสมฤทธทางการเรยนรสงขน ดงนนกอนน าแบบฝกทกษะไปใชควรปฏบตดงน

1. ศกษาขนตอนและท าความเขาใจเกยวกบการน าแบบฝกทกษะไปใชอยางละเอยด 2. ด าเนนการจดกจกรรมการเรยนการเรยนการสอนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรดงน 2.1 ชแจงใหนกเรยนเขาใจถงวธการศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตร 2.2 ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนจ านวน 10 ขอ เปนปรนย 4 ตวเลอก

ใชเวลา 15 นาท 2.3 หลงจากการจดกจกรรมการเรยนรตามเนอหาแลว ใหนกเรยนท าแบบฝกทกษะ

คณตศาสตรทกชด เพอทบทวนและตรวจสอบความรความเขาใจของแตละเรอง 2.4 ครผสอนคอยดแลใหค าแนะน าชวยเหลอ แกไขปญหาในขณะทนกเรยนปฏบต

กจกรรมฝกทกษะคณตศาสตรอยางใกลชด 2.5 ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนจ านวน 10 ขอ เปนปรนย 4 ตวเลอก

ใชเวลา 15 นาท เพอประเมนความรความเขาใจของแตละเรอง 2.6 นอกจากใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรในเวลาเรยนแลว ยงสามารถเรยนรไดโดย

น าไปใชซอมเสรมความรตนเองนอกเวลาเรยน ไดทงทบานและทโรงเรยน หรอในกรณทนกเรยนขาดเรยน จะท าใหเขาใจบทเรยนยงขน

2.7 ผลการปฏบตกจกรรม สามารถน าไปวดและประเมนผลการผานจดประสงคการเรยนรได

4

ค าแนะน าการใชส าหรบนกเรยน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม ชนมธยมศกษา ป

ท 3 มทงหมด 4 เลม เลมนเปนเลมท 2 เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ใชเวลา 4 ชวโมง จดท าขนเพอใหนกเรยนเกดความรความเขาใจและเสรมทกษะการคดค านวณ การแกปญหาในเรองการแยกตวประกอบของพหนาม เปนการทบทวนความร ทกษะทางคณตศาสตร ซงท าใหนกเรยนเรยนรอยางมความสข มเจตดตทดตอวชาคณตศาสตร และมผลสมฤทธทางการเรยนรสงขน ดงนนกอนน าแบบฝกทกษะไปใชควรปฏบตดงน

1. ศกษาและท าความเขาใจผลการเรยนร และจดประสงคการเรยนรของแบบฝกทกษะคณตศาสตร

2. ท าแบบทดสอบกอนเรยน จ านวน 10 ขอ เปนปรนย 4 ตวเลอก ใชเวลา 15 นาท ลงในกระดาษค าตอบ

3. ศกษาเนอหาและตวอยางกอนท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร 4. ท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรทละชดตามล าดบ 5. ตรวจสอบค าตอบจากเฉลยในภาคผนวก เพอทราบผลการเรยนร 6. เมอพบขอบกพรองควรกลบไปศกษาใหมอกครง เพอใหเกดทกษะการคดค านวณ

จนเกดความช านาญ 7. เมอท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรครบทกชดแลว ใหท าแบบทดสอบหลงเรยน

จ านวน 10 ขอ เปนปรนย 4 ตวเลอก ใชเวลา 15 นาท ลงในกระดาษค าตอบ 8. ตรวจค าตอบแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน จากเฉลยในภาคผนวก 9. บนทกผลคะแนนทไดลงในตารางบนทกผลการท าแบบฝกทกษะเพอทราบผลการ

เรยนร และความกาวหนาของตนเอง 10. ในการท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรและแบบทดสอบ นกเรยนตองมความซอสตย

ไมเปดดเฉลยกอนเดดขาด หากนกเรยนท าขอใดผด ใหศกษาเพมเตม เพอใหนกเรยนไดแกไขขอบกพรองในขอทผดใหถกตอง

5

สาระ / มาตรฐานการเรยนร / ผลการเรยนร

สาระ / มาตรฐานการเรยนร สาระท 4 : พชคณต มาตรฐาน ค 4.1 เขาใจและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และฟงกชน สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอทาง

คณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตร

กบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ผลการเรยนร 1. แยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณได

6

จดประสงคการเรยนร หลงจากการศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 เรอง การแยกตว

ประกอบของพหนาม เลม 2 เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ แลวนกเรยนมความรความสามารถ ดงน

ดานความร

1. นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ax2 + bx + c เมอ a = 1 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณได

2. นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ax2 + bx + c เมอ a ≠ 0 และ a ≠ 1 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณได

ดานทกษะ / กระบวนการ

1. การใหเหตผล 2. การแกปญหา

ดานคณลกษณะอนพงประสงค

1. ซอสตยสจรต 2. มวนย 3. ใฝเรยนร 4. มงมนในการท างาน

7

แบบทดสอบกอนเรยน แบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 2

เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย (x) กากบาททบตวอกษร ก , ข , ค และ ง ขอทถกตองทสดเพยง ขอเดยว

1. พหนาม x2 – 4x + 4 แยกตวประกอบไดตามขอใด

ก. ( x + 2 ) 2 ข. ( x + 4 ) 2

ค. ( x - 2 ) 2 ง. ( x – 4 ) 2

2. พหนาม x2 + 6x + 9 แยกตวประกอบไดตามขอใด ก. ( x + 3 ) 2 ข. ( x + 9 ) 2

ค. ( x - 3 ) 2 ง. ( x – 9 ) 2

3. ขอใดไมใชตวประกอบของพหนามดกรสอง x2 + 3x -18 ก. x - 3 ข. x + 2

ค. x + 6 ง. ( x – 3 )(x + 6)

4. คา k ทท าใหพหนาม x2 - 7x – k ถอดรากทสองไดคอขอใด

ก. 74

ข. 74

ค. 494

ง. 494

5. พหนามในขอใดไมสามารถแยกตวประกอบได ก. x2 + 1 ข. 4x2 - 9

ค. x2 – 10x + 25 ง. 0.027 – x3

8

6. พหนาม 49x2 - 70x + 25 แยกตวประกอบไดตามขอใด ก. ( 7x + 5 ) 2 ข. ( 7x - 5 ) 2

ค. ( 49x + 5 ) 2 ง. ( 49x – 5 ) 2

7. kx + 6x2 + 23

เปนก าลงสองสมบรณ แลว k มคาตรงกบขอใด

ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง . 4

8. พหนาม x2 + 6x -1 แยกตวประกอบไดตามขอใด

ก. [( x + 3 ) + 6][( x + 3 ) - 6] ข. [( x + 3 ) + 10][( x + 3 ) - 10]

ค. [( x + 3 ) + 6 ][( x + 3 ) - 6 ] ง. [( x + 3 ) + 10 ][( x + 3 ) - 10 ]

9. ( 2x + 3 )2 เปนตวประกอบของพหนามขอใด

ก. 2x2 – 6x + 9 ข. 2x2 + 6x + 9

ค. 4x2 – 12x + 9 ง. 4x2 + 12x + 9

10. ( 5x - 5 )2 เปนตวประกอบของพหนามขอใด

ก. 5x2 – 25x + 25 ข. 5x2 + 25x + 25

ค. 25x2 – 50x + 25 ง. 25x2 + 50x + 25

9

ใบความรท 2.1 พหนามดกรสองตวแปรเดยว

รปทวไป

พหนามดกรสองตวแปรเดยว คอ พหนามในรป ax2 + bx + c

เมอ a , b , c เปนคาคงตว โดยท a ≠0 และ x เปนตวแปร

ตวอยาง พหนามดกรสองตวแปรเดยว

1. 3x2 2. x2 + 2x 3. 5x2 – 5x 4. x2 – 9 5. 4x2 + 25 6. x2 + 2x + 1 7. x2 - 3x + 5 8. x2 – 4x -7 9. 4x2 +16x + 4 10. 3x2 + 3x + 9

10

ใบความรท 2.2 ทบทวนการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง

ตวอยางท 1

1. 5x2 – 20x = 5x ( x – 4 )

2. -3x2 – x = -x ( 3x + 1 )

3. 3x2 + 9x = 3x ( x + 3 )

4. 2x2 – 4x = 2x ( x – 2 )

5. 3x2 + 6x + 18 = 3 ( x2 + 2x + 6 )

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชหลก

ax2 + bx + c = (mx + p)(nx + q)

โดย mn = a

pq = c

pn + qm = b

ตวอยางท 2

1. x2 – 3x + 2 = (x – 2 )(x – 1)

2. x2 + 5x + 4 = (x + 4)(x + 1)

3. 2x2 + 5x + 2 = (x + 2)(2x + 1)

4. 12x2 – 20x + 8 = (4x – 4)(3x – 2)

5. 30x2 + 37x - 84 = (6x – 7)(5x + 12)

11

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางก าลงสอง

พหนามดกรสองทเปนผลตางก าลงสอง A2 – B2 = ( A + B )( A – B )

เมอ A และ B เปนพหนาม

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามดกรสองตอไปน

1. x2 - 4 = x2 - 22 = ( x + 2 )( x – 2 )

2. x2 - 25 = x2 - 52 = ( x + 5 )( x – 5 )

3. x2 - 10 = x2 - 2

10

= (x + 10 )(x - 10 )

4. x2 - 27 = x2 - 2

27

= x2 - 2

3 3

=( x + 3 3 )(x - 3 3 ) 5. 9x2 - 49 = (3x)2 - 72

= ( 3x + 7 )( 3x – 7 ) 6. 25x2 - 16 = (5x)2 - 42

= ( 5x + 4 )( 5x – 4 )

7. 16x2 - 13 = (4x)2 - 2

13

= ( 4x + 13 )( 4x - 13 )

8. 49x2 - 20 = (7x)2 - 2

20

= (7x)2 - ( 2 5 )2 = ( 7x + 2 5 )( 7x – 2 5 )

2

10 = 10

2

3 3 = 27

( 52 )2= 20

( 13 )2= 13

12

ใบความรท 2.3 พหนามดกรสองในรปก าลงสองสมบรณ

พหนามดกรสองในรปก าลงสองสมบรณ

ในกรณพหนามดกรสองแยกตวประกอบแลวไดตวประกอบเปนพหนามดกรหนงซ ากน เชน x2 + 6x + 9 = (x + 3)( x + 3) = (x + 3)2

x2 - 4x + 4 = (x - 2)( x - 2) = (x + 2)2 เรยก พหนามดกรสองทมลกษณะเชนนวา ก าลงสองสมบรณ ในกรณทวไปพหนามดกรสองทเปนก าลงสองสมบรณ แยกตวประกอบ ไดดงน

x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 เชน x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 x2 - 2ax + a2 = (x - a)2 เชน x2 - 2x + 1 = (x - 1)2

x2 - 8x + 16 = (x - 4)2 x2 - 12x + 36 = (x - 6)2

ตวอยาง พหนามดกรสองในรปก าลงสองสมบรณ

1. x2 + 2x + 1 = x2 + 2(1)x + 12 = ( x + 1)2 2. x2 + 4x + 4 = x2 + 2(2)x + 22 = ( x + 2)2 3. x2 + 8x + 16 = x2 + 2(4)x + 42 = ( x + 4)2 4. 4x2 + 12x + 9 = (2x)2 + 2(3)2x + 32 = ( 2x + 3)2 5. 9x2 + 30x + 25 = (3x)2 + 2(5)3x + 52 = ( 3x + 5)2 6. x2 - 6x + 9 = x2 - 2(3)x + 32 = ( x - 3)2 7. x2 - 10x + 25 = x2 - 2(5)x + 52 = ( x - 5)2 8. x2 - 22x + 121 = x2 - 2(11)x + 112 = ( x - 11)2 9. 16x2 - 16x + 4 = (4x)2 - 2(2)4x + 22 = ( 4x - 2)2 10. 25x2 - 70x + 49 = (5x)2 - 2(7)5x + 72 = ( 5x - 7)2

13

ใบความรท 2.4 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

นกเรยนรจกสตรการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนก าลงสองสมบรณมาแลว ดงน

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

จากสตรนจะไดวา

x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 เมอ a เปนคาคงตว x2 - 2ax + a2 = (x - a)2 เมอ a เปนคาคงตว

นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามทเปนก าลงสองสมบรณได ดงน

ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + 4x + 4

วธท า x2 + 4x + 4 = x2 + 2(2)x + 22

= ( x + 2 )2

ดงนน x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2

ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของพหนาม 4x2 - 20x + 25

วธท า 4x2 - 20x + 25 = (2x)2 - 2(5)2x + 52

= ( 2x - 5 )2

ดงนน 4x2 - 20x + 25 = ( 2x - 5 )2

14

ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 - 4 3 x + 12

วธท า x2 - 4 3 x + 12 = x2 - 2( 2 3 )x + ( 2 3 )2

= ( x - 2 3 )2

ดงนน x2 - 4 3 x + 12 = ( x - 2 3 )2

นอกจากการใชสตรนในการแยกตวประกอบพหนามแลว ยงมการใชความรเรองก าลงสองสมบรณมาจดรปพหนามใหมแลวแยกตวประกอบ ซงการแยกตวประกอบโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณจะชวยใหการแยกตวประกอบพหนามดกรสองทไมสามารถแยกตวประกอบได ดงตวอยางตอไปน

กรณท 1 a = 1

ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบพหนาม x2 + 6x + 5

วธท า x2 + 6x + 5 = (x2 + 6x ) + 5

= [x2 + 2(3)x + 32] - 32 + 5

= (x + 3)2 – 9 + 5

= (x + 3)2 – 4

= (x + 3)2 – 22

= [(x+3) + 2][(x+3) – 2]

= (x+5)(x+1)

ดงนน x2 + 6x + 5 = (x+5)(x+1)

จดรปเปนก าลงสองสมบรณ

เพม 32 และหก 32 ออก เพอใหพหนามมคาเทาเดม

จดรปเปนผลตางก าลงสอง

15

ตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบพหนาม x2 - 10x + 7

วธท า x2 - 10x + 7 = ( x2 - 10x ) + 7

= [x2 - 2(5)x + 52] - 52 + 7

= (x - 5)2 – 25 + 7

= (x - 5)2 – 18

= (x - 5)2 – ( 3 2 )2

= [(x-5) + 3 2 ][(x-5) – 3 2 ]

= (x-5 + 3 2 )(x-5 – 3 2 )

ดงนน x2 - 10x + 7 = (x-5 + 3 2 )(x-5 – 3 2 )

ตวอยางท 6 จงแยกตวประกอบพหนาม x2 - 10x + 16

วธท า x2 - 10x + 16 = ( x2 - 10x ) + 16

= [x2 - 2(5)x + 52] – 52 +16

= (x - 5)2 – 25 + 16

= (x - 5)2 – 9

= (x - 5)2 – 32

= [(x - 5) + 3 ][(x - 5) – 3]

= (x - 2)(x - 8)

ดงนน x2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8)


เพม 52 และหก 52 ออก

เพอใหพหนามมคาเทาเดม






16

กรณท a 0 และ a 1

ตวอยางท 7 จงแยกตวประกอบของพหนาม 3x2 - 24x - 21

วธท า 3x2 - 24x - 21 = 3 [x2 - 6x - 7]

= 3 [(x2 - 6x ) – 7]

= 3[(x2 - 2(3)x + 32) – 32 -7]

= 3(x - 3)2 – 9 - 7

= 3(x - 3)2 – 16

= 3(x - 3)2 - 42

= 3(x - 3 + 4 )(x - 3 – 4)

= (3x -3)(x - 7)

ดงนน x2 - 24x - 21 = (3x -3)(x - 7)

ท าสมประสทธของ x2 ใหเปน 1 โดยใช สมบตการแจกแจงน า 3 ออกมาเปนตวคณรวม





17

ตวอยางท 8 จงแยกตวประกอบของพหนาม 5x2 + 20x - 2

วธท า 25 20 2x x = x x

2 25 4

5

= x x

2 25 4

5

= x x

2 2 2 25 2 2 2 2

5

= x

2 25 2 4

5

=

2 20 25 2

5 5x

=

2 225 2

5x

=

22 22

5 25

x

=

22 225 2 2

5 5x x

=

22 225 2 2

5 5x x )

ดงนน 25 20 2x x =

22 225 2 2

5 5x x

ท าสมประสทธของ x2 ใหเปน 1 โดยใชสมบต การแจกแจง น า 5 ออกมาเปนตวคณรวม





18

ตวอยางท 9 จงแยกตวประกอบของพหนาม -x2 +5x -2

วธท า x x 2 5 2 = x x 21 5 2

= x x 21 5 2

= x x

2 22 5 5 5

1 2 22 2 2

= x

25 25

1 22 4

= x

25 25 8

12 4 4

= x

25 17

12 4

= x

225 17

12 4

= x

225 17

12 2

= x x

5 17 5 171

2 2 2 2

= x x

5 17 5 171

2 2 2 2

ดงนน x x 2 5 2 = x x

5 17 5 171

2 2

ท าสมประสทธของ x2 ใหเปน 1 โดยใชสมบต การแจกแจง น า -1 ออกมาเปนตวคณรวม


เพม 2

52 และหก

2

52 ออก



19

แบบฝกทกษะท 2.1

ค าชแจง จงเตมจ านวนเตมบวกใน ทท าใหพหนามดกรสองทก าหนดใหอยในรป ก าลงสองสมบรณ

ตวอยาง x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

16x2 – 48x + 36 = (4x – 6)2

1. x2 + 26x + = ( x + )2

2. x2 - 14x + = ( x + )2

3. x2 + x + 225 = ( x + )2

4. x2 - x + 196 = ( x + )2

5. x2 - x + 289 = ( x + )2

20

6. 9x2 + x + 289 = ( x + 17 )2

7. 16x2 + x + 144 = ( x + 12 )2

8. 4x2 – 52x + = ( x + 13 )2

9. x2 + 132x + 36 = ( x + 6 )2

10. x2 – 112x + 64 = ( x + 8 )2

21


ค าชแจง จงเขยนพหนามดกรสองตอไปนในรปก าลงสองสมบรณ

ตวอยาง x2 + 2x +1 = x2 + 2(1)x + 12

= (x + 1)2

x2 – 2x + 1 = x2 - 2(1)x + 12

= (x – 1)2

1. x2 + 6x + 9 =……………………………………… =………………………

2. x2 + 8x + 16 =………………………………………

=………………………

3. x2 + 24x + 144 =……………………………………… =………………………

4. x2 + 28x + 196 =……………………………………… =………………………

22

5. x2 + 10x + 25 =……………………………………… =………………………

6. x2 – 14x + 49 =……………………………………… =………………………

7. x2 – 30x + 225 =……………………………………… =………………………

8. x2 – 34x + 289 =……………………………………… =………………………

9. x2 – 50x + 625 =……………………………………… =………………………

10. x2 – 54x + 729 =……………………………………… =………………………

23


ค าชแจง จงเขยนพหนามตอไปนในรปก าลงสองสมบรณ

ตวอยาง 4x2 + 4x +1 = (2x)2 + 2(1)2x + 12

= (2x + 1)2

9x2 – 12x + 4 = (3x)2 + 2(2)3x + 22

= (3x – 2)2

1. 16x2 + 24x + 9 =………………………………………

=………………………

2. 9x2 + 30x + 25 =……………………………………… =………………………

3. 4x2 + 52x + 169 =………………………………………

=………………………

4. 25x2 + 50x + 25 =……………………………………… =………………………

5. 36x2 + 48x + 16 =………………………………………

=………………………

24

6. 49x2 – 42x + 9 =……………………………………… =………………………

7. 16x2 – 32x + 16 =………………………………………

=………………………

8. 4x2 – 36x + 81 =……………………………………… =………………………

9. 25x2 – 120x + 144 =………………………………………

=………………………

10. 9x2 – 90x + 225 =……………………………………… =………………………

25


ค าชแจง จงแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + 4x + 2 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า x2 + 4x + 2 = [x2 + 2(2)x +22] – 22 + 2

= (x + 2)2 – 4 + 2

= (x + 2)2 – 2

= (x + 2)2 – ( 2 )2

= [(x + 2) + ( 2 )][(x + 2) - ( 2 )]

= (x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )

ดงนน x2 + 4x + 2 = (x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )

1. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + 6x + 5 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

26

2. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + 10x + 6 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + 24x + 140 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

27

4. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 - 26x – 155 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 - 8x – 10 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

28

6. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 - 8x +11 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + 10x + 5 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

29

8. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 - 12x – 7 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + 8x – 84 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

30

10. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 - 24x – 112 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

31


ค าชแจง จงแยกตวปะกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนาม 2x2 + 12x + 10 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า 2x2 + 12x + 10 = 2[x2 + 6x +5]

= 2[(x2 + 6x) + 5]

= 2[(x2 + 2(3)x + 32) – 32 + 5

= 2[(x + 3)2- 4

= 2[(x + 3)2- 22]

= 2[(x + 3) + 2][(x + 3) - 2]

=2(x + 3 +2)(x + 3 - 2)

= 2(x +5)(x + 1)

= (2x + 10)(x + 1)

ดงนน 2x2 + 12x + 10 = = (2x + 10)(x + 1)

32

1. จงแยกตวประกอบของพหนาม 3x2 + 12x – 6 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงแยกตวประกอบของพหนาม 4x2 - 4x – 1 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

33

3. จงแยกตวประกอบของพหนาม 6x2 + 36x + 24 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงแยกตวประกอบของพหนาม 11x2 - 142x – 4 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

34

5. จงแยกตวประกอบของพหนาม 4x2 + 40x + 64 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. จงแยกตวประกอบของพหนาม 4x2 + 32x + 24 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

35

7. จงแยกตวประกอบของพหนาม 5x2 + 40x + 35 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. จงแยกตวประกอบของพหนาม 12x2 - 48x + 24 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

36

9. จงแยกตวประกอบของพหนาม 4x2 + 16x – 28 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

37

แบบทดสอบหลงเรยน แบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 2

เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย (x) กากบาททบตวอกษร ก , ข , ค และ ง ขอถกตองทสดเพยง ขอเดยว

1. พหนามในขอใดไมสามารถแยกตวประกอบได

ก. x2 + 1 ข. 4x2 - 9

ค. x2 – 10x + 25 ง. 0.027 – x3

2. พหนาม x2 – 4x + 4 แยกตวประกอบไดตามขอใด ก. ( x + 2 ) 2 ข. ( x + 4 ) 2

ค. ( x - 2 ) 2 ง. ( x – 4 ) 2

3. พหนาม x2 + 6x + 9 แยกตวประกอบไดตามขอใด ก. ( x + 3 ) 2 ข. ( x + 9 ) 2

ค. ( x - 3 ) 2 ง. ( x – 9 ) 2

4. พหนาม 49x2 - 70x + 25 แยกตวประกอบไดตามขอใด ก. ( 7x + 5 ) 2 ข. ( 7x - 5 ) 2

ค. ( 49x + 5 ) 2 ง . ( 49x – 5 ) 2

5. ( x + 3 )2 เปนตวประกอบของพหนามขอใด

ก. x2 – 6x + 9 ข. x2 + 6x + 9

ค. x2 – 12x + 9 ง. x2 + 12x + 9

38

6. ( 5x - 5 )2 เปนตวประกอบของพหนามขอใด

ก. 5x2 – 25x + 25 ข. 5x2 + 25x + 25

ค. 25x2 – 50x + 25 ง. 25x2 + 50x + 25

7. ขอใดไมใชตวประกอบของพหนามดกรสอง x2 + 3x -18 ก. x - 3 ข. x + 2

ค. x + 6 ง. ( x – 3 )(x + 6)

8. คา k ทท าใหพหนาม x2 - 7x – k ถอดรากทสองไดคอขอใด

ก. 74

ข. 74

ค. 494

ง. 494

9. kx + 6x2 + 23

เปนก าลงสองสมบรณ แลว k มคาตรงกบขอใด

ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง . 4

10. พหนาม x2 + 6x -1 แยกตวประกอบไดตามขอใด

ก. [( x + 3 ) + 6][( x + 3 ) - 6] ข . [( x + 3 ) + 10][( x + 3 ) - 10]

ค. [( x + 3 ) + 6 ][( x + 3 ) - 6 ] ง. [( x + 3 ) + 10 ][( x + 3 ) - 10 ]

39

บรรณานกรม

จ ารส อนสม. คมอคณตศาสตรเพมเตม เลม 1 ชนมธยมศกษาป ท 3 ภาคเรยนท 1.กรงเทพฯ : แมค, 2548.

พนดา พสฐอมรชย และคณะ.แบบฝกหด รายวชาเพมเตม คณตศาสตรเพมเตมชนมธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1.กรงเทพฯ : แมค, 2555.

โชคชย สรหาญอดม. แบบฝกคณตศาสตร ม.3 เลม 1 สาระการเรยนรเพมเตม. กรงเทพฯ : เดอะบคส, 2552.

ฝายวชาการพบซ. ยอดคณตศาสตร ม.ตน ชดท 1. กรงเทพฯ : เยลโลการพมพ, 2553. พรรณ ศลปวฒนานนท. สอเสรมทกษะเพอมาตรฐานการเรยนร คณตศาสตรเพมเตม 3 เลม 1.

กรงเทพฯ : ฟสกเซนเตอร, 2549. ยพน พพธกล. ชดกจกรรมพฒนาการคดวเคราะหคณตศาสตรเพมเตม ม.3 เลม1. กรงเทพฯ :

บรษทพฒนาคณภาพวชาการ (พว) จ ากด, 2550. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม ๑ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาป ท 3. กรงเทพฯ :

โรงพมพ สกสค.ลาดพราว, 2555. สเทพ จนทรสมบรณกล. สอเสรมการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร ม.3 เลม 1. กรงเทพฯ : เดอะบคส,

2550. วนจ วงศรตนะ. คณตคดวเคราะห ม.3 เลม 1. กรงเทพ : ไฮเอดพบลชชง , 2555.

กนกวล อษณกรกล และคณะ.คมอเตรยมสอบรายวชาเพมเตม คณตศาสตร ม.3 เลม 1.กรงเทพ:

ภมบณฑตการพมพ, 2558

ไพศาล จรรยา และคณะ.ลบคม คณต ม.3 เพมเตม เทอม 1-2.กรงเทพ:ภมบณฑตการพมพ, 2558

40

ภาคผนวก

41

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

เกณฑการใหคะนน

ขอท เกณฑการใหคะแนน ระดบคะแนน 1 - 10 ค าตอบถกตอง 1

ค าตอบไมถกตอง 0

ขอ ค าตอบ ขอ ค าตอบ

1 ค 6 ข 2 ก 7 ง 3 ข 8 ง 4 ง 9 ง 5 ก 10 ค

42

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน


ขอท เกณฑการใหคะแนน ระดบคะแนน 1 - 10 ค าตอบถกตอง 1

ค าตอบไมถกตอง 0

ขอ ค าตอบ ขอ ค าตอบ

1 ก 6 ค 2 ค 7 ข 3 ก 8 ง 4 ข 9 ง 5 ข 10 ง

43

เฉลยแบบฝกทกษะท 2.1


ขอท เกณฑการใหคะแนน ระดบคะแนน

1 - 10 ค าตอบถกตองทงสองค าตอบ 2 ค าตอบถกเพยงค าตอบเดยว 1 ค าตอบไมถกตอง 0

ค าชแจง จงเตมจ านวนเตมบวกใน ทท าใหพหนามดกรสองทก าหนดใหอยในรป ก าลงสองสมบรณ

1. x2 + 26x + = ( x + )2

2. x2 - 14x + = ( x + )2

3. x2 + x + 225 = ( x + )2

4. x2 - x + 196 = ( x - )2

169

49

28

30

33

30

13

7

15

14

44

5. x2 - x + 289 = ( x + )2

6. 9x2 + x + 289 = ( x + 17 )2

7. 16x2 + x + 144 = ( x + 12 )2

8. 4x2 – 52x + = ( x + 13 )2

9. x2 + 132x + 36 = ( x + 6 )2

10. x2 – 112x + 64 = ( x + 8 )2

34

169

121

49

17

3

11

7

102

4 96

2

45




1 - 10 ค าตอบถกตองทงหมด 2 ค าตอบถกตองบางสวน 1 ค าตอบไมถกตอง 0


1. x2 + 6x + 9 = X2 + 2(3)X + 32 = (x + 3)2

2. x2 + 8x + 16 = X2 + 2(4)X + 42

= (x + 4)2

3. x2 + 24x + 144 = X2 + 2(12)X + 122 = (x + 12)2

4. x2 + 28x + 196 = X2 + 2(14)X + 142 = (x + 14)2

46

5. x2 + 10x + 25 = X2 + 2(5)X + 52 = (x + 5)2

6. x2 – 14x + 49 = X2 - 2(7)X + 72 = (x - 7)2

7. x2 – 30x + 225 = X2 - 2(15)X + 152 = (x - 15)2

8. x2 – 34x + 289 = X2 - 2(17)X + 172 = (x - 17)2

9. x2 – 50x + 625 = X2 - 2(25)X + 252 = (x - 25)2

10. x2 – 54x + 729 = X2 - 2(27)X + 272 = (x - 27)2

47




1 - 10 ค าตอบถกตองทงหมด 2 ค าตอบถกตองบางสวน 1 ค าตอบไมถกตอง 0


1. 16x2 + 24x + 9 = (4X)2 + 2(3)4X + 32

= (4x + 3)2

2. 9x2 + 30x + 25 = (3X)2 + 2(5)3X + 52 = (3x + 5)2

3. 4x2 + 52x + 169 = (2X)2 + 2(13)2X + 132

= (2x + 13)2

4. 25x2 + 50x + 25 = (5X)2 + 2(5)5X + 52 = (5x + 5)2

5. 36x2 + 48x + 16 = (6X)2 - 2(4)6X + 42

= (6x + 4)2

48

6. 49x2 – 42x + 9 = (7X)2 - 2(3)7X + 32 = (7x - 3)2

7. 16x2 – 32x + 16 = (4X)2 - 2(4)4X + 42 = (6x - 4)2

8. 4x2 – 36x + 81 = (2X)2 - 2(9)2X + 92 = (2x - 4)2

9. 25x2 – 120x + 144 = (5X)2 - 2(12)5X + 122 = (5x - 12)2

10. 9x2 – 90x + 225 = (3X)2 - 2(15)3X + 152 = (6x - 4)2

49




1 – 10 ค าตอบถกตอง แสดงวธท าถกตองทงหมด 2 ค าตอบถกตอง แสดงวธท าถกตองบางสวน 1 ค าตอบ แสดงวธท าไมถกตอง 0

ค าชแจง จงแยกตวปะกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

1. จงแยกตวประกอบพหนาม x2 + 6x + 5 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า 2x 6 x 5 = 2x 6 x 5

= 2 2 2x 2 3 x 3 3 5

= 2x 3 9 5

= 2x 3 4

= 22x 3 2

= x 3 2 x 3 2

= x 5 x 1

ดงนน 2x 6 x 5 = x 5 x 1

50

2. จงแยกตวประกอบพหนาม x2 + 10x + 10 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า 2x 10x 10 = 2x 10x 10

= 2 2 2x 2 5 x 5 5 10

= 2x 5 25 10

= 2x 5 15

= 22x 5 15

= x 5 15 x 5 15

= x 5 15 x 5 15

ดงนน x2 + 10x + 6 = x 5 15 x 5 15

3. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + 24x + 140 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า 2x 24x 140 = 2x 24x 140

= 2 2 2x 2 12 x 12 12 140

= 2x 12 144 140

= 2x 12 4

= 22x 12 2

= x 12 2 x 12 2

= x 14 x 10

ดงนน 2x 24x 140 = x 14 x 10

51

4. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 - 26x – 155 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า 2 x 26 x – 155 = 2 x 26 x 155

= 2 2 2x 2 13 x 13 13 155

= 2x 13 169 155

= 2x 13 324

= 22x 13 18

= x 13 18 x 13 18

= x 5 x 31

ดงนน 2 x 26 x – 155 = x 5 x 31


วธท า 2x 8x 10 = 2x 8x 10

= 2 2 2x 2 4 x 4 4 10

= 2x 4 16 10

= 2x 4 26

= 22x 4 26

= x x 4 26 4 26

= x x 4 26 4 26

ดงนน 2x 8x 10 = x x 4 26 4 26

52

6. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 - 8x + 11 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า 2x – 8x 11 = 2x – 8x 11

= 2 2 2x 2 4 x 4 4 11

= 2x 4 16 11 = 2x 4 5

= 22x 4 5

= x 4 5 x 4 5

= x 4 5 x 4 5

ดงนน 2x – 8x 11 = x x 4 5 4 5

7. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + 10x + 5 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า 2x 10x 5 = 2x 10 5

= 2 2 2x 2 5 x 5 5 5

= 2x 5 25 5

= 2x 5 20

= x 225 20

= 22x 5 2 5

= x 5 2 5 x 5 2 5

= x 5 2 5 x 5 2 5

ดงนน 2x 10x 5 = x 5 2 5 x 5 2 5

53


วธท า 2x 10x 5 = 2x 12x 7

= 2 2 2x 2 6 x 6 6 7

= 2x 6 36 7

= 2x 6 43

= x 226 43

= x 6 43 x 6 43

= x 6 43 x 6 43

ดงนน 2x 10x 5 = x x 6 43 6 43

9. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + 8x – 84 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า 2x 8x 84 = 2x 8 x 84

= 2 2 2x 2 4 x 4 4 84

= 2x 4 16 84

= 2x 4 100

= 22x 4 10

= x 4 10 x 4 10

= x 14 x 6

ดงนน 2x 8x 84 = x 14 x 6

54


วธท า 2x 24x 112 = 2x 24x 112

= 2 2 2x 2 12 x 12 12 112

= 2x 12 144 112

= 2x 12 256

= 22x 12 16

= x 12 16 x 12 16

= x 4 x 28

ดงนน 2x 24x 112 = x 4 x 28

55



1 - 10 ค าตอบถกตอง แสดงวธท าถกตองทงหมด 2 ค าตอบถกตอง แสดงวธท าถกตองบางสวน 1 ค าตอบ แสดงวธท าไมถกตอง 0

ค าชแจง จงแยกตวปะกอบพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

1. จงแยกตวประกอบของพหนาม 3x2 + 12x – 6 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า 23x 12x 6 = 23 x 6 x 2

= 23 x 6 x 2

= 2 2 23 x 2 3 x 3 3 2

= 23 x 3 9 2

= 23 x 3 11

= x 223 3 11

= x x 3 3 11 3 11

= x x 3 3 11 3 11

ดงนน 23x 12x 6 = x x 3 3 11 3 11

56


วธท า 24x 4x 1 = 2 14 x x

4

= 2 14 x x

4

= x x

2 22 1 1 1 1

4 22 2 2 4

= 21 1 1

4 x2 4 4

= 21 2

4 x2 4

= 21 1

4 x2 2

= 2 2

1 14 x

2 2

=

1 1 1 14 x x

2 2 2 2

ดงนน 24x 4x 1 = 1 1 1 14 x x

2 2 2 2

57


วธท า 26 x 36 x 24 = 26 x 6 x 4

= 26 x 6 x 4

= 2 2 26 x 2 3 x 3 3 4

= 26 x 3 9 4

= 26 x 3 5

= x 226 3 5

= 6 x 3 5 x 3 5

= 6 x 3 5 x 3 5

ดงนน 26 x 36 x 24 = 6 x 3 5 x 3 5

58


วธท า 211x 132x 4 = 2 411 x 12x

11

= 2 411 x 12x

11

= 2 2 2 411 x 2 6 x 6 6

11

= 2 411 x 6 36

11

= 2 396 411 x 6

11 11

= 2 40011 x 6

11

=

22 400

11 x 611

=

22 20

11 x 611

= 20 20

11 x 6 x 611 11

ดงนน 211x 132x 4 = 20 20

11 x 6 x 611 11

59


วธท า 24x 40x 64 = 24 x 10x 16

= 24 x 10x 16

= 2 2 24 x 2 5 x 5 5 16

= 24 x 5 25 16

= 24 x 5 9

= 224 x 5 3

= 4 x 5 3 x 5 3

= 4 x 8 x 2

= 4x 32 x 2

ดงนน 24x 40x 64 = 4x 32 x 2

60


วธท า 24x 32x 24 = 24 x 8x 6

= 24 x 8 x 6

= 2 2 24 x 2 4 x 4 4 6

= 24 x 4 16 6

= 24 x 4 10

= 224 x 4 10

= 4 x 4 10 x 4 10

= 4 x 4 10 x 4 10

ดงนน 24x 32x 24 = 4 x 4 10 x 4 10

61


วธท า 25x 40x 35 = 25 x 8x 7

= 25 x 8 x 7

=

2 2 25 x 2 4 x 4 4 7

= 25 x 4 16 7

= 25 x 4 9

= 225 x 4 3

= 5 ( x 4 ) 3 ( x 4 ) 3

= 5 x 7 x 1

= 5x 35 x 1

ดงนน 25x 40x 35 = 5x 35 x 1

62


วธท า 212x 48x 24 = 212 x 4x 2

= 212 x 4x 2

= 2 2 212 x 2 2 x 2 2 2

= 212 x 2 4 2

= 212 x 2 2 12[(x - 2)2 – 2]

= 2212 x 2 2

= 12 x 2 2 x 2 2

= 12 x 2 2 x 2 2

ดงนน 212x 48x 24 = 12 x 2 2 x 2 2

63

9. จงแยกตวประกอบของพหนาม 4x2 + 16x – 28 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

วธท า 24x 16 x 28 = 24 x 4x 7

= 24 x 4x 7

= 2 2 24 x 2 2 x 2 2 7

= 24 x 2 4 7

= 24 x 2 11

=

224 x 2 11

= 4 x 2 11 x 2 11

= 4 x 2 11 x 2 11

ดงนน 24x 16 x 28 = 4 x 2 11 x 2 11

64


วธท า 25x 50x 25 = 25 x 10x 5

= 25 x 10x 5

= 2 2 25 x 2 5 x 5 5 5

= 25 x 5 25 5

= 25 x 5 20

=

225 x 5 20

=

225 x 5 2 5

= 5 x 5 2 5 x 5 2 5

= 5 x 5 2 5 x 5 2 5

ดงนน 25x 50x 25 = 5 x 5 2 5 x 5 2 5

65

แบบบนทกผลคะแนน

รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผลการประเมน

แบบฝกทกษะท 2.1 10 แบบฝกทกษะท 2.2 20 แบบฝกทกษะท 2.3 20 แบบฝกทกษะท 2.4 20 แบบฝกทกษะท 2.5 20

แบบทดสอบหลงเรยน 10

รวม 100

คะแนนเฉลยผานเกณฑรอยละ 70

ไชโย......ผมได 70 คะแนน ผานเกณฑพอดเลยครบ

Documents

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ · แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม