เอกสารประกอบการสอน · เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ควรทราบ แบบทดสอบความเข้าใจ

1 www.krusukhum88.wordpress.com

เอกสารประกอบการสอน

เรอง อตราสวนตรโกณมต

ส าหรบชนมธยมศกษาปท 5

รวบรวมและเรยบเรยงโดย นายสขม กมมานอย คร กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร โรงเรยนทบกฤชพฒนา อ าเภอ ชมแสง จงหวด นครสวรรค ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 42

ชอ – สกล .................................................. ชน ม. 5/…… เลขท.......


อตราสวนตรโกณมต

1. ทบทวนทฤษฎบทพทากอรส

ทบ.พทากอรส วาดวยเรองรปสามเหลยมมมฉาก ถาเราทราบความยาวของดานสองดานของสามเหลยมมมฉากแลว เราสามารถความยาวของดานทสามได จากสตร

222 bac เมอ c เปนดานยาวทสด หรอดานตรงขามมมฉากนนเอง 3, 4 , 5 5, 12. 13 6, 8, 10 7, 24, 25 8, 15, 17 16,63, 65 20, 21, 29 36, 77, 85 119, 120, 169

พทากอรสทพบบอย

1 2

3

1

1

2 Jum


2. อตราสวนตรโกณ

ตรโกณมต (trigonometry) หมายถง ................................................................................. ตรโกณมต มประโยชน ........................................................................................................

เมอก าหนดให a = ความยาวดานตรงขามมม A b= ความยาวดานตรงขามมม B c= ความยาวดานตรงขามมม C เมอพจารณาทมม A เรยก a วาดานตรงขามมม A เรยก b วาดานประชดมม A เรยก c วาดานตรงขามมมฉาก เมอพจารณาทมม B เรยก a วาดานประชดมม B เรยก b วาดานตรงขามมม B เรยก c วาดานตรงขามมมฉาก

B

A C

a c

b

ขอตกลง มม 3เหลยม มมจะแทนภาษา eng ใหญ มมตรงขามแทน eng เลก


คาไซน (sine) ของมม A เขยนแทนดวย sin A (ไซน เอ)

sin A = ขามฉาก

= c

a

คาโคไซน (cosine) ของมม A เขยนแทนดวย cos A (คอส เอ)

cos A = ชดฉาก

= c

b

คาแทนเจนต (tangent) ของมม A เขยนแทนดวย tan A (แทน เอ)

tan A = ขามชด

= b

a

คาโคซแคนต (cosecant) ของมม A เขยนแทนดวย cosec A (โคเซก เอ)

cosec A = ฉากขาม

= a

c = Asin

1 sin A . cosec A = 1

คาซแคนต (secant) ของมม A เขยนแทนดวย sec A (เซก เอ)

sec A = ฉากชด

= b

c = A cos

1 cos A . sec A = 1

คาโคแทนเจนต (cotangent) ของมม A เขยนแทนดวย cot A (คอต เอ)

cot A = ชดขาม

= a

b = Atan

1 tan A . cot A = 1

ฟงกชนตรโกณมตทตองรจก

ทรคการจ า sin/cos/tan/ ขามฉาก/ชดฉาก/ขามชด

ชดสวนกลบ


แบบทดสอบความเขาใจ

1. จากรป จงหาคาไซน โคไซน และแทนเจนตของมม A และ B 2. ให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก มม A = 90 ดาน AC = 6, BC = 10 จงหาคาฟงกชนตรโกณของมม B

และC ทง 6 คา

B

A C

5

3

4

sin A = sin B = cos A = cos B = tan A = tan B =

A

C

B

5

12 13

sin A = sin B = cos A = cos B = tan A = tan B =


3. จงหาคาฟงกชนตรโกณมตทเหลอเมอ 0 < A < 90 ขอ ก าหนด รป sin A cos A tan A cot A sec A cosec A 1 cos A =

5

4

2 sin A = 13

12

3 tan A = 40

9

4 sec A = 8

17

5 cosec A = 3

7

6 sin A = 11

4

7 tan A = 5

1

8 sec A = 3

ทรคการจ า sin/cos/tan/ ขามฉาก/ชดฉาก/ขามชด/cosec/sec/cot


4. จงหาค าตอบเมอ 0 < A < 90

( 1) ถา tan A = 24

7 จงหาคาของ A cos 25 -A 25sin

A 50cos A 25sin

( 2) ถา sec A = 22x y จงหาของ tan A 5. ถา PQR เปนรปสามเหลยมมมฉาก ซงมมม PQR กาง 90 มดาน PQ ยาว 12 หนวย และดาน QR ยาว 5

หนวย แลว คาของ sin P เทากบขอใด


6. ก าหนด 0 < A < 90 และ cot A = 0.75 จงหา sin A

7.ก าหนดให 3cot A = 5 จงหาคาของ cosA 4Asin 3

A cos 2 -Asin

มคาเทาใด

8. ถา tan A = 3 , tan B = 3

1 และ tanθ = BA tan tan 1

A tan -Atan

คาของ sin θ เทากบเทาไร


3. เอกลกษณตรโกณมตทควรทราบ


1. ก าหนด tan = 5

3 จงหาคาของ Asin -A cosecA sin

A cos -A secA cos

เมอก าหนด 0 < A < 90 (มม A เปนมมแหลม)

1. sin A = A cosec

1 sin A . cosec A = 1

2. cos A = A sec

1 cos A . sec A = 1

3. tan A = Acot

1 tan A . cot A = 1

4. tan A = A cos

Asin

5. cot A = Asin

A cos

6. 1 A cos A sin 22

A cos -1 A sin 22

A sin -1 A cos 22

7. A sec 1 A tan 22 1 A tanA sec 22 8. A cosec A cot 1 22 1 A cot A cosec 22


2. ถา tan A = 4

3 จงหาคาของ A cos -1 A cos1

Asin - 1 Asin 1

3. ให 7sin A = 24cos A จงหาคาของ sec A . cot A . cosec A

4. ก าหนดให cot A = 12

5 จงหาคาของ A cos -A sin A sin 1

A cos -A cosA sin 222

5. จงหาคาของ 22

A cos -A sinA cos A sin


6. A cot A tanAsin A cosecA cos A sec 2222

เทากบเทาไร 7. ถา 30Acos 30Asin ; 1 A cosA sin 2222 มคาเทาใด 8. ก าหนด 7 A tanA sec 44 จงหาคาของ AA tan sin 12A sin 4 22

9. ให sin A + cos A = 3

1 แลว (sin A . cos A) มคาเทาใด


4. ความสมพนธของคาตรโกณของดานและมมของรปสามเหลยมมมฉาก

4.1 ความสมพนธของดาน ให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ทม มม C เปนมมฉาก sin A = = cos B cos A = = sin B

tan A = = Btan

1

4.2 ความสมพนธของมม จากรป มม A และ B มความสมพนธกนดงน A = B90 และ

B = A90

จาก sin A = cos B จะได sin A = A90 cos cos A = sin B จะได cos A = A90sin

tan A = Btan

1 จะได tan A = A90tan

1


5. รปสามเหลยมททกคนตองจ าได

30 45 60 sin cos tan

cosec sec cot


ทรคการจ า 1, 2, 3 สวน 2, 2, 2 แลวก , ,


5.1 รปสามเหลยมทบางคนจ าได และรปสามเหลยมทนอยคนจะจ าได



1. จงหาคาของตวแปรจากรปสามเหลยมมมฉากตอไปน 1.1) 1.2) 1.3) 1.4) 1.5)


2. จงหาขนาดของมม A ของรปสามเหลยมมมฉากตอไปน 2.1) 2.2) 2.3) 2.4)


3. ก าหนดใหรปสามเหลยม ABC มมม C เปนมมฉาก และ a, b, c เปนความยาวดานตรงขามมม A มม

B และมม C ตามล าดบ 3.1) tan A = 2 , a = 5 หนวย จงหาคา b

3.2) tan B = 2

1, b = 4 หนวย จงหาคา b

3.3) a = 9 หนวย b = 40 หนวย จงหา sin A

3.4) cos B = 3

2, a = 10 หนวย จงหาคา c


4. จงหาคาของ 45 tan 0 cos 1 30 sin 0 5. จงหาคาของ 30cos60cot 45 cot2 6. จงหาคาของ 60sec45tan 60 in 2 s 7. จงหาคาของ x จากสมการ 45sec30sin60tan60 cos 60 in 22 xs

8. ถา sin A = 2

3 , cos B = 2

1 และ tan C = 1 จงหาคาของ A + B + C


9. จากรปสามเหลยมมมฉาก ABC มมม C เปนมมฉาก ใหดาน AC ยาว 2 หนวย และมม A มขนาด 60 จงหา

ความยาวของดานทเหลอของรปสามเหลยมน 10. ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ทมมม C เปนมมฉาก มม A มขนาด 30 และมดานตรงขามมมฉากยาว

10 เซนตเมตร จงหาความยาวของดาน AC และดาน BC 11. รปสามเหลยมมมฉาก ABC ทมมม A และ C มขนาด 30 และ 60 ตามล าดบ ถาดาน AC ยาว 5

เซนตเมตร จงหาความยาวของดาน BC และดาน AB


โจทยประยกตเรขาคณต 1. รปสามเหลยมดานเทาซงมความสง 3 ฟต จะมดานแตละดานเทาใด 2. สามเหลยม ABC ม BC = AC = 225 หนวย AB = 50 หนวย สามเหลยม ABC มพนทเทาไร 3. จากรป A = 30 , B = 60 และ CD = 100 จงหา AB


4. ดาน RS ยาวเทาไร 5. จากรป BC = 12 จงหาคาของ AD 6. จากรปพนททแรเงาเทากบกตารางหนวย


6. คาฟงกชนตรโกณมตของมมอน ๆ



1. จงหาคาอตราสวนตรโกณมตตอไปน 1. 5sin

2. 16sin

3. 33cos

4. 15tan

5. 5.48tan

6. 5.38cos

7. 65sec

8. cosec35

2. จงหาขนาดของมม θ เมอก าหนดคาฟงกชนตรโกณดงน 1. 0.07sinθ

2. 0.438cosθ

3. 0.643tanθ

4. 0.616sinθ

5. 9

7cosθ

6. 10

7tanθ


3. จงหาคาของตวแปรทก าหนดให 3.1) 3.2) 3.3) 3.4)


4. จงหา y ของรปสามเหลยมตอไปน (โดยประมาณเปนจ านวนเตม) 4.1) 4.2) 4.3)


7. วเคราะหการเพมหรอลดของฟงกชน

จากตารางสรปคาตรโกณมตของมม


cosec sec cot

ขอสงเกต เฉพาะ A เปนมมแหลม 90A0 1. ถามม A เพมขน แลวคาของ sin A …………………… 2. ถามม A เพมขน แลวคาของ cos A …………………… 3. ถามม A เพมขน แลวคาของ tan A …………………… 4. ถามม A เพมขน แลวคาของ cot A …………………… 5. ถามม A เพมขน แลวคาของ sec A …………………… 6. ถามม A เพมขน แลวคาของ cosec A ……………….


8. มมโค – ฟงกชน

ชด CO_function : ตรโกณมตสองตวทมคาเทากนโดยมเงอนไข 2 ขอ ดงน 1. ตรโกณคนนตองมชอคลายกน ตวหนงตองม CO_ น าหนา 2. ตรโกณสองตวนน มมตองบวกกนได 90

note


แบบทดสอบความเขาใจ 1. จงหาโคฟงกชนทก าหนดให 1. 28sin

2. 15cos

3. 27tan

4. 64cot

5. 15sec

6. cosec19

7. cosec56

8. tan38

2. คาของ

cosec45

sec50sin40 เทากบเทาไร


3. คาของ 40cot150sec 22 เทากบเทาไร

4. ให 75.037tan ดงนนคาของ

53sin37sin

53cot53cos53sin22

มคาเทากบเทาไร

5. ก าหนดให 0.8 20Asin ดงนน คาเทาไรจงมคาเทากบ A70cot


7. การหาความสงและระยะทางโดยใชอตราสวนตรโกณมต

มมเงย คอ มมทอยระหวางเสนระดบตา กบเสนทลากจากตาไปยงวตถ (วตถอยสงกวาระดบตา) มมกม คอ มมทอยระหวางเสนระดบตา กบเสนทลากจากตาไปยงวตถ ((วตถอยต ากวาระดบตา)



1.ขณะทดวงอาทตยท ามม 03 กบพนราบ ความยาวของเงาของตกหลงหนงวดได 110 ฟต จงหาวาตกหลงน

สงกฟต 2. จงหามมเงยของดวงอาทตย เมอเงาของเสาซงสง 38 เมตร ยาว 24 เมตร 3. เดกนกเรยนคนหนงตองการทราบความสงของตนไมหนง เขาจงไปยนหางจากตนไมนน 10 เมตร แลวมอง

ไปทยอดของตนไมเปนมมเงย 06 โดยทเดกนกเรยนยนหนหนาไปทางทศตะวนออก แสงอาทตยทสองผานยอดตนไม ผานศรษะของเขาท าใหเกดเงาททอดไปบนพนดนเปนระยะ 5 เมตร ความสงของตนไมเปนเทาใด


4. สมศกดยนอยบนยอดตกหลงหนง 500 เมตร มองไปทยอดตกฝงตรงกนขามเปนมมเงย 45 เมอเขาลงมายน

บนพนดนตดกบผนงตกมองขนไปบนยอดตกฝงตรงกนขามตรงจดเดมเปนมมเงย 60 จงหาความสงของตก

5. จากดาดฟาตกหลงหนงซงสง 380 เมตร สนามยนอยทจด A มองเหนรถยนต 2 คนทจอดอยหางไกลจาก

ตกมาก เปนมมกม 60 และ 30 ตามล าดบ จากเสนระดบสายตาเสนเดยวกน จงหาวารถยนต 2 คนนนอยหางกนเทาใด

6. ชายคนหนงยนอยบนหนาผา มองเหนเรอสนคาล าหนงแลนอยในทะเลเปนมมกม 30 และในขณะเดยวกน

มองเหนเรอประมงล าหนงเปนมมกม 60 ถาเรอสนคาและเรอประมงแลนในทศทางเดยวกนและอยหางกน 3 กโลเมตร จงหาระดบสายตาของชายคนน อยสงจากผวน าเทาไร


บรรณานกรม

คณต อ.เอ. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ. กรงเทพฯ. ธนวฒน สนทราพรพล. แบบฝกทกษะและวธคดเรวคณตศาสตรเพมเตม ม. 4-6 เลม. 3. กรงเทพฯ.

ส านกพมพ SCIENCE CENTER.

Documents

เอกสารประกอบการสอน · เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ควรทราบ แบบทดสอบความเข้าใจ