sombat.bizsombat.biz/download/Conic.pdf · ภาคตัดกรวย 1 ทบทวนเรขาคณิตวิเคราะห์ ระยะทางระหว่างจุด

ภาคตดกรวย

21 Feb 2019

สารบญ

ทบทวนเรขาคณตวเคราะห ...................................................................................................................................................... 1

วงกลม ...................................................................................................................................................................................... 2

พาราโบลา ................................................................................................................................................................................ 9

วงร ......................................................................................................................................................................................... 19

ไฮเพอรโบลา .......................................................................................................................................................................... 31

ไฮเพอรโบลาแบบเอยง .......................................................................................................................................................... 43

รปทวไปของภาคตดกรวย ..................................................................................................................................................... 45

ภาคตดกรวย 1

ทบทวนเรขาคณตวเคราะห

ระยะทางระหวางจด (𝑥1, 𝑦1) และ (𝑥2, 𝑦2)

หาไดจากสตร √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

(เอาจดไหนเปนตวตง จดไหนเปนตวลบกได ไดค าตอบเทากน)

จดกงกลางระหวาง (𝑥1, 𝑦1) และ (𝑥2, 𝑦2)

หาไดจากสตร (𝑥1+𝑥2

2 ,

𝑦1+𝑦2

2)

ความชนของเสนตรงทผานจด (𝑥1, 𝑦1) และ (𝑥2, 𝑦2) = 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 (หรอ 𝑦1−𝑦2

𝑥1−𝑥2 กได)

เสนตรงทขนานกน จะมความชนเทากน

เสนตรงทตงฉากกน จะมความชนคณกนได −1

สมการกราฟเสนตรง ผานจด (𝑥1, 𝑦1) และมความชน = 𝑚 →

𝑦−𝑦1

𝑥−𝑥1= 𝑚

มความชน = 𝑚 และ มระยะตดแกน Y คอ 𝑐 → 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐

ระยะตงฉาก จากจด (𝑥1, 𝑦1)

ไปยง เสนตรง 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

หาไดจากสตร |𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶|

√𝐴2+𝐵2

ระยะระหวางเสนตรง 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0

กบเสนตรง 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0

หาไดจากสตร |𝐶1−𝐶2|

√𝐴2+𝐵2

?

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶1 = 0

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶2 = 0

(𝑥1, 𝑦1)

? 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

?

(𝑥1, 𝑦1)

(𝑥2, 𝑦2)

(𝑥1, 𝑦1)

(𝑥2, 𝑦2)

( ? , ? )

2 ภาคตดกรวย

วงกลม ทผานมา เราจะเจอแตสมการกราฟ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ท 𝑥 กบ 𝑦 เปนก าลงหนง เรองถดจากนไป จะเรมมก าลงสอง ซงกราฟทได กจะไมเปนเสนตรงอกตอไป

กราฟทตองเรยน จะมทงหมด 4 รป คอ วงกลม วงร พาราโบลา และ ไฮเพอรโบลา

กราฟทง 4 รปน จะเหมอนกบหนาตดของกรวย ตอนถกเฉอนบางสวนออกไป เราจงนยมเรยกเรองนวา “ภาคตดกรวย”

หวขอแรกจะพดถง “กราฟวงกลม” สมบตทส าคญของวงกลม คอ “ทกจดบนวงกลม จะอยหางจดศนยกลางเทากบความยาวรศมเสมอ” สมการกราฟวงกลม จะมรปแบบ คอ

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 เมอ ℎ, 𝑘, 𝑟 เปนตวเลข

สตร: จดศนยกลาง = (ℎ, 𝑘) และ รศม = 𝑟

เชน

อยางไรกตาม โจทยมกจะไมใจดบอกสมการในรป (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 มาให

แตมกจะกระจายจนเละไมเหลอเคาเดม เปน 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 กอน คอยเอามาใหเรา

หนาทของเราคอ ตองจดรป 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 กลบไปเปนรปงายๆกอน ซงมขนตอนดงน

1. ก าจด 𝐴 กบ 𝐵 ทคณอยกบ 𝑥2 และ 𝑦2 ดวยการหารตลอด

ถาท าไมได แปลวาสมการนไมใชกราฟวงกลม (จะท าไมไดเมอ 𝐴 ≠ 𝐵) เชน ถาโจทยใหสมการกราฟมาในรป 3𝑥2 + 3𝑦2 − 18𝑥 + 6𝑦 + 18 = 0

เราจะเอา 3 หารตลอด เหลอ 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0

แต 3𝑥2 + 2𝑦2 − 6𝑥 + 12𝑦 − 4 = 0 → ไมใชวงกลม เพราะ 3 ≠ 2

2𝑥2 − 2𝑦2 − 18𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0 → ไมใชวงกลม เพราะ 2 ≠ −2

2. จบกลม 𝑥 ไวดวยกน จบกลม 𝑦 ไวดวยกน กลมทเปนตวเลขแบบไมม 𝑥 หรอ 𝑦 ใหยายไปอกฝง เชนตวอยางจากขอทแลว 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0

จะไดเปน (𝑥2 − 6𝑥) + (𝑦2 + 2𝑦) = −6

𝑥2 + 𝑦2 = 9

จดศนยกลาง = (0, 0)

รศม = 3

(0,0)

3

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 32 จดศนยกลาง = (1, 2)

รศม = 3

(1,2)

3

(𝑥 + 1)2 + (𝑦 −5

2)

2

= 16

จดศนยกลาง = (−1, 5

2 )

รศม = 4

(−1,5

2 )

4


3. เอากลม 𝑥 และกลม 𝑦 เขาสตร น2 ± 2นล + ล2 = (น ± ล)2

โดยเตม ล2 ทขาดไปใหกบแตละกลม ทงสองขางของสมการ เชน 𝑥2 − 6𝑥 จดใหเขาสตร น2 − 2นล + ล2 ไดเปน 𝑥2 − 2(𝑥)(3) + 32

𝑦2 + 2𝑦 จดใหเขาสตร น2 + 2นล + ล2 ไดเปน 𝑦2 + 2(𝑦)(1) + 12

จะได

นนคอ 3𝑥2 + 3𝑦2 − 18𝑥 + 6𝑦 + 18 = 0 จดรปไดเปน (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 4

ดงนน 3𝑥2 + 3𝑦2 − 18𝑥 + 6𝑦 + 18 = 0 เปนวงกลมทมจดศนยกลาง คอ (3, −1) และ รศม = 2

ตวอยาง จงหาจดศนยกลางและรศมของวงกลม 2𝑥2 + 2𝑦2 + 4𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0 วธท า จดรปจะได

ดงนน จะไดจดศนยกลาง คอ (−1, 2) และ รศม = 1 #

ตวอยาง จงหาจดศนยกลางและรศมของวงกลม 4𝑥2 + 4𝑦2 + 4𝑥 − 15 = 0 วธท า จดรปจะได

ดงนน จะไดจดศนยกลาง คอ (−1

2 , 0) และ รศม = 2 #

ตวอยาง วงกลมวงหนง มสมการคอ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 ถาวงกลมนมจดศนยกลางคอ (−3, 2) และมรศม 5 หนวย แลว จงหาคาของ 𝐶 , 𝐷 และ 𝐸

วธท า วงกลมทม จดศนยกลาง (−3, 2) และมรศม 5 หนวย คอ (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 52

เทยบกบ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 จะได 𝐶 = 6 , 𝐷 = −4 และ 𝐸 = −12 #

เตมเอง เพอใหเขาสตรได

โดยเตมทงสองขางของสมการ

(𝑥2 − 6𝑥) + (𝑦2 + 2𝑦) = −6 (𝑥2 − 2(𝑥)(3) + 32) + (𝑦2 + 2(𝑦)(1) + 12) = −6 + 32 + 12 (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 4

เตม เตม เตมอกฝงชดเชย

2𝑥2 + 2𝑦2 + 4𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 (𝑥2 + 2𝑥) + (𝑦2 − 4𝑦) = −4 (𝑥2 + 2𝑥 + 12) + (𝑦2 − 4𝑦 + 22) = −4 + 12 + 22 (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 1

4𝑥2 + 4𝑦2 + 4𝑥 − 15 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 −15

4 = 0

(𝑥2 + 𝑥) + 𝑦2 = 15

4

(𝑥2 + 2(𝑥) (1

2) + (

1

2)

2

) + 𝑦2 = 15

4+ (

1

2)

2

(𝑥 +1

2)

2

+ 𝑦2 = 15

4+

1

4

(𝑥 +1

2)

2

+ 𝑦2 = 4

ขอน กลม 𝑦 มแค 𝑦2 ตวเดยว

แบบนไมตองเอา 𝑦 เขาสตร น2 + 2นล + ล2 ถงเปนเศษสวน กยงท าเหมอนเดม

𝑥2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 25 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0


แบบฝกหด

1. จงบอกจดศนยกลาง และรศมของวงกลมตอไปน 1. (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 4 2. (𝑥 + 2)2 + 𝑦2 = 2

3. 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 5 = 0 4. 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦 + 3

5. 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 6. 4𝑥2 + 4𝑦2 + 4𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0

2. จงหาสมการวงกลม ทมจดศนยกลาง (1, −1) และมรศมยาว 3

3. จงหาสมการวงกลม ทมจดศนยกลาง (0, 2) และผานจด (1, 1)

4. จงหาสมการวงกลม ทมจดศนยกลาง (0, 2) และมเสนตรง 𝑥 + 𝑦 = 6 เปนเสนสมผส


5. จงหาสมการวงกลม ทมจดศนยกลางอยบนแกน X ซงมรศมยาว 1 และมเสนตรง 3𝑥 + 4𝑦 = 4 เปนเสนสมผส

6. จงหาสมการวงกลม ทมจดศนยกลาง (1, −1) และสมผสกบเสนตรง 𝑙 ซงมความชน = − 1

2 ท 𝑥 = 2

7. ให 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 เปนจ านวนจรง ถาวงกลม 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 มจดศนยกลางท (2, 1) และมเสนตรง 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 เปนเสนสมผสวงกลม แลว |𝑎 + 𝑏 + 𝑐| เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-7]


8. ก าหนดใหวงกลมรปหนงมจดศนยกลางอยทจด (2, 1) ถาเสนสมผสวงกลมทจด 𝑥 = 1 เสนหนงมความชนเทากบ 1

√3 แลว จดในขอใดตอไปนอยบนวงกลมทก าหนด [PAT 1 (ม.ค. 52)/16]

1. (0, 1) 2. (0, 2) 3. (1, 0) 4. (3, 0)

9. ก าหนดใหเสนตรง ℓ1 และ ℓ2 สมผสวงกลม (𝑥 − 5)2 + 𝑦2 = 20 ทจด 𝑃 และ 𝑄 ตามล าดบ และจดศนยกลางของวงกลมอยบนเสนตรงทผานจด 𝑃 และ 𝑄 ถา ℓ1 มสมการเปน 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 แลวจดในขอใดตอไปนอยบนเสนตรง ℓ2 [PAT 1 (ก.ค. 52)/14]

1. (0,5

2) 2. (8, −1) 3. (1, −8) 4. (15, 0)


10. ถาจด (𝑎, 𝑏) เปนจดบนเสนตรง 2𝑦 − 𝑥 + 6 = 0 ทอยใกลจด (3, 1) มากทสด

วงกลมทมจด (𝑎, 𝑏) เปนจดศนยกลางและสมผสแกน 𝑥 ตรงกบขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 58)/11]

1. 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 2𝑦 + 16 = 0 2. 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0

3. 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 16 = 0 4. 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0

11. ก าหนดให 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥2 + 𝑦2 = 1} และ 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 10𝑦 + 49 = 0}

ถา 𝑝 ∈ 𝐴 และ 𝑞 ∈ 𝐵 แลว ระยะทางมากสดทเปนไปไดระหวางจด 𝑝 และ 𝑞 เทากบขอใดตอไปน

[PAT 1 (ต.ค. 52)/1-9]

1. 5√2 หนวย 2. 2 + 5√2 หนวย 3. 2√5 หนวย 4. 5 + 2√5 หนวย


12. ให P เปนจดบนวงกลม 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 15 = 0 ทอยใกลจด A(1, 3) มากทสด

จงหาระยะระหวางจด P กบเสนตรง 3𝑦 − 4𝑥 = 15 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/6]

13. ก าหนดให L เปนเสนตรงมสมการเปน 𝑥𝑎

+𝑦

𝑏 = 1 เมอ 𝑎, 𝑏 > 0 และให C1 และ C2 เปนวงกลมสองวงทตางกน

โดยทมรศมเทากนและวงกลมทงสองวงตางสมผสกบเสนตรง L ทจดเดยวกน ถาวงกลม C1 มจดศนยกลางทจด (0, 0) แลวสมการของวงกลม C2 คอขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 57)/8]

1. (𝑎2 + 𝑏2)2(𝑥2 + 𝑦2) − 4𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏2)(𝑏𝑥 + 𝑎𝑦) + 3𝑎2𝑏2 = 0

2. (𝑎2 + 𝑏2)(𝑥2 + 𝑦2) − 4𝑎𝑏(𝑏𝑥 + 𝑎𝑦) + 3𝑎2𝑏2 = 0

3. (𝑎2 + 𝑏2)2(𝑥2 + 𝑦2) − 4𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏2)(𝑏𝑥 + 𝑎𝑦) + 5𝑎2𝑏2 = 0

4. (𝑎2 + 𝑏2)(𝑥2 + 𝑦2) − 4𝑎𝑏(𝑏𝑥 + 𝑎𝑦) + 5𝑎2𝑏2 = 0


พาราโบลา

พาราโบลา จะมรปกราฟเปนจานดาวเทยม

โดยเราจะไดเรยนพาราโบลา 4 แบบ คอ หงาย คว า ตะแคงขวา และ ตะแคงซาย โดยค าศพท ส าหรบเรยกสวนตางๆของพาราโบลา จะมดงน

จดยอด (V) คอ จดทพาราโบลาวกกลบ

แกนสมมาตร คอ แนวเสนตรงทผาพาราโบลาเปน 2 สวน เทาๆกน

จดโฟกส (F) คอ จดรวมล าแสงของจานดาวเทยม

กลาวคอ ถามล าแสงพงใสพาราโบลาแบบตรงๆ มนจะสะทอนไปทจดโฟกสเสมอ

ดวยเหตน ตวรบสญญาณของจานดาวเทยม จะวางไวทจดโฟกสเสมอ

ลาตสเรคตม คอ แกนทลากผานจดโฟกส ในแนวตงฉากกบแกนสมมาตร

เสนไดเรกตรกซ คอ แนวเสนตรงทเปนฐานรองพาราโบลา โดย “ระยะจากเสนไดเรกตรกซ ถง จดยอด” จะเทากบ “ระยะจากจดยอด ถง จดโฟกส” = 𝑐

สมบตทส าคญอกอนของพาราโบลา คอ “ทกจดบนพาราโบลา จะหางจากจดโฟกส เทากบทมนหางจากเสนไดเรกตรกซ” กลาวคอ

จดโฟกส

จดยอด

เสนไดเรกตรกซ

แกนสมมาตร

ลาตสเรคตม จดโฟกส

จดยอด เสนไดเรกตรกซ


ลาตสเรคตม

จดโฟกส จดยอด



ลาตสเรคตม จดโฟกส จดยอด




F

𝑐

𝑐

F

V


B

AF = AA’ BF = BB’ CF = CC’ DF = DD’ EF = EE’ เสนไดเรกตรกซ

F A

C

D

E

A’ B’ C’ D’ E’


สมการกราฟของพาราโบลา จะม 4 รป ไดแก หงาย → (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑐(𝑦 − 𝑘)

คว า → (𝑥 − ℎ)2 = −4𝑐(𝑦 − 𝑘)

ตะแคงขวา → (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑐(𝑥 − ℎ)

ตะแคงซาย → (𝑦 − 𝑘)2 = −4𝑐(𝑥 − ℎ)

สงเกตวา พาราโบลา จะมก าลงสองท 𝑥 หรอ 𝑦 ตวใดตวหนงเพยงตวเดยวเทานน สตรทตองทอง จะนอยกวากราฟรปอน

จดยอด อยท (ℎ, 𝑘)

ระยะจากจดโฟกสถงจดยอด = 𝑐 = ระยะจากจดยอดถงเสนไดเรกตรกซ

ความยาวลาตสเรคตม = 4𝑐

เวลาตอบแกนสมมาตร กบเสนไดเรกตรกซ เราจะตอบเปนสมการเสนตรง ในรป 𝑥 = ? หรอ 𝑦 = ? เชน

ตวอยาง จงหาจดยอด จดโฟกส แกนสมมาตร เสนไดเรกตรกซ ความยาวลาตสเรคตม พรอมทงวาดรปพาราโบลาซงมสมการกราฟ คอ (𝑦 − 1)2 = −12(𝑥 + 2)

วธท า สมการกราฟ อยในรปแบบ (𝑦 − 𝑘)2 = −4𝑐(𝑥 − ℎ) ดงนน เปนพาราโบลาแบบตะแคงซาย จะได 𝑘 = 1 , 𝑐 = 3 , และ ℎ = −2 ดงนน จดยอด คอ V(−2, 1)

ระยะจาก V ถง F คอ 𝑐 = 3 ดงนน จดโฟกส คอ F(−5, 1)

ระยะจาก V ถง ไดเรกตรกซ คอ 3 ดวย ดงนน ไดเรกตรกซ คอ 𝑥 = 1

แกนสมมาตร คอ เสนแนวนอนทผาน V ดงนน แกนสมมาตร คอ 𝑦 = 1

และสดทาย ความยาวลาตสเรคตม = 4𝑐 = 12 หนวย #

ตวอยาง จงหาสมการของพาราโบลา ซงมจดยอดอยท (0, 2) และจดโฟกสอยท (0, −3)

วธท า จะเหนวาจดโฟกส อยใตจดยอด ดงนน เปนพาราโบลาคว า ใชรปสมการ (𝑥 − ℎ)2 = −4𝑐(𝑦 − 𝑘) จดยอด = (ℎ, 𝑘) = (0, 2) ดงนน ℎ = 0 และ 𝑘 = 2

จดยอด หางจากจดโฟกส = 2 − (−3) = 5 ดงนน 𝑐 = 5

ดงนน สมการคอ (𝑥 − 0)2 = −4(5)(𝑦 − 2)

𝑥2 = −20(𝑦 − 2) #

ก าลงสองอยท 𝑥

ก าลงสองอยท 𝑦

X

Y

F(3, 6)

V(3, 2)

แกนสมมาตร: 𝑥 = 3

เสนไดเรกตรกซ: 𝑦 = −2

3 −2

เสนแนวตง

เสนแนวนอน

X

Y

F(5,1) V(1,1)

แกนสมมาตร: 𝑦 = 1

เสนไดเรกตรกซ: 𝑥 = −3

1

−3

F V(−2,1)

1 −5

3 3

V(0, 2)

F(0, −3)

𝑐 = 5



1. จงบอกลกษณะกราฟ (คว า หงาย ตะแคงซาย ขวา) จดยอด จดโฟกส แกนสมมาตร เสนไดเรคตรกซ และความยาวลาตสเรคตม ของพาราโบลาตอไปน

1. 𝑦2 = 12𝑥

2. (𝑥 − 1)2 = −4𝑦

3. (𝑦 + 2)2 = −8𝑥 − 8

ในกรณทโจทยใหสมการกราฟเละๆ แบบ 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 มา เราจะตองจดรปใหสวยๆกอน อยางไรกตาม ตองรกอนวากราฟพาราโบลา จะมแคตวเดยวในระหวาง 𝑥 กบ 𝑦 ทมสทธถกยกก าลงสอง ตวอยางสมการกราฟพาราโบลา เชน 𝑥2 − 4𝑥 + 8𝑦 + 12 = 0 (ก าลงสองอยท 𝑥) หรอ 2𝑦2 − 3𝑥 + 12𝑦 + 24 = 0 (ก าลงสองอยท 𝑦)

การจดสมการใหอยในรปสวยๆ จะมขนตอนดงน 1. จบกลมตวแปรทมก าลงสองไวฝงซาย ทเหลอยายฝงขวาใหหมด

จากนน ดงตวตวเลขทคณกบตวก าลงสอง (ถาม) ออกมานอกวงเลบ

ก าลงสองอยท 𝑦 2𝑦2 − 3𝑥 + 12𝑦 + 24 = 0 2𝑦2 + 12𝑦 = 3𝑥 − 24 2(𝑦2 + 6𝑦) = 3𝑥 − 24

ก าลงสองอยท 𝑥

𝑥2 − 4𝑥 + 8𝑦 + 12 = 0 𝑥2 − 4𝑥 = −8𝑦 − 12


2. เอากลมตวแปรก าลงสองทางฝงซาย เขาสตร น2 ± 2นล + ล2 = (น ± ล)2

โดยเตม ล2 ทขาดไป ทงสองขางของสมการ

3. ดงตวเลขทคณตวแปรทางขวาออก ยายขางและจดรปใหเปนแบบทตองการ

ตวอยาง จงหาจดยอด จดโฟกส แกนสมมาตร เสนไดเรกตรกซ ความยาวลาตสเรคตม พรอมทงวาดรปพาราโบลาซงมสมการกราฟ คอ 𝑥2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 7 = 0 วธท า จดรปกอน จะได

สมการอยในรป (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑐(𝑦 − 𝑘) ดงนน เปนกราฟหงาย

จะได ℎ = −1 , 𝑐 = 1 , 𝑘 = −2 ดงนน จดยอด คอ V(−1, −2)

ระยะจาก V ถง F คอ 𝑐 = 1 ดงนน จดโฟกส คอ F(−1, −1)

ระยะจาก V ถง ไดเรกตรกซ คอ 1 ดวย ดงนน ไดเรกตรกซ คอ 𝑦 = −3

แกนสมมาตร คอ เสนแนวตงทผาน V ดงนน แกนสมมาตร คอ 𝑥 = −1

และสดทาย ความยาวลาตสเรคตม = 4𝑐 = 4 หนวย #


2. จงบอกลกษณะกราฟ (คว า หงาย ตะแคงซาย ขวา) จดยอด จดโฟกส แกนสมมาตร เสนไดเรคตรกซ และความยาวลาตสเรคตม ของพาราโบลาตอไปน

1. 𝑥2 + 4𝑥 + 8𝑦 − 4 = 0

2(𝑦2 + 6𝑦) = 3𝑥 − 24 2(𝑦2 + 2(𝑦)(3) + 32) = 3𝑥 − 24 + 2(32) 2(𝑦 + 3)2 = 3𝑥 − 6

𝑥2 − 4𝑥 = −8𝑦 − 12 𝑥2 − 2(𝑥)(2) + 22 = −8𝑦 − 12 + 22 (𝑥 − 2)2 = −8𝑦 − 8

2(𝑦 + 3)2 = 3𝑥 − 6 2(𝑦 + 3)2 = 3(𝑥 − 2)

(𝑦 + 3)2 = 3

2(𝑥 − 2)

(𝑦 + 3)2 = 4 (3

8) (𝑥 − 2)

กราฟตะแคงขวา , V(2, −3) , 𝑐 = 3

8

(𝑥 − 2)2 = −8𝑦 − 8 (𝑥 − 2)2 = −8(𝑦 + 1) (𝑥 − 2)2 = −4(2)(𝑦 + 1)

กราฟคว า , V(2, −1) , 𝑐 = 2

𝑥2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 7 = 0 𝑥2 + 2𝑥 = 4𝑦 + 7 𝑥2 + 2(𝑥) + 1 = 4𝑦 + 7 + 1 (𝑥 + 1)2 = 4𝑦 + 8 (𝑥 + 1)2 = 4(𝑦 + 2) (𝑥 + 1)2 = 4(1)(𝑦 + 2)

F

V(−1, −2) 𝑐 = 1

−1

𝑐 = 1


2. 2𝑦2 − 𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0

3. 𝑦 = 𝑥2 + 1

3. จงหาสมการพาราโบลา ซงมจดยอดอยท (1, −2) และมจดโฟกสอยท (3, −2)

4. จงหาสมการพาราโบลาคว า ซงมจดยอดอยท (0, 1) และมลาตสเรคตมยาว 4 หนวย

5. จงหาสมการพาราโบลา ซงมจดโฟกสอยท (−4, −1) และมเสนไดเรคตรกซคอ 𝑥 = 2


6. จงหาสมการพาราโบลา ซงมจดยอดอยท (2, 3) แกนสมมาตรขนานกบแกน Y และผานจด (4, 4)

7. ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ต.ค. 53)/8] 1. 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 = 23 เปนสมการวงกลมทสมผสกบเสนตรงซง มสมการเปน 21𝑥 + 20𝑦 + 168 = 0

2. 𝑦2 + 16𝑥 − 6𝑦 = 71 เปนสมการของพาราโบลาทมจดยอดท (−5, 3) และจดโฟกสท (−1. 3)

8. ระยะทางจากโฟกสของพาราโบลา 𝑦2 = −8𝑥 ไปยงเสนตรง 2𝑥 + 𝑦 = 6 เทากบเทาไร [PAT 1 (ก.ค. 52)/16]

9. ถาเสนตรงหนงผานจดก าเนดและจดยอดของพาราโบลา 𝑦2 − 4𝑦 + 4𝑥 = 0 และตดเสนไดเรกตรกซทจด (𝑎, 𝑏) แลว 𝑎 + 𝑏 เทากบเทาไร [PAT 1 (ม.ค. 52)/15]


10. พาราโบลามจดยอดท (−1, 0) และมจดก าเนดเปนโฟกส ถาเสนตรง 𝑦 = 𝑥 ตดพาราโบลาทจด P และจด Q

แลวระยะทางระหวางจด P กบจด Q เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-8]

11. วงกลม C มจดศนยกลางทจดก าเนด และผานจดโฟกสของพาราโบลาซงมสมการเปน (𝑥 − 2)2 = 8𝑦 โดยเสนไดเรกตรกซของพาราโบลาตดวงกลม C ทจด P และจด Q ถาจด R อยบนพาราโบลาและอยหางจากจดโฟกสเปนระยะทาง 4 หนวย แลว สามเหลยม PQR มพนทเทากบเทาไร [A-NET 50/1-8]

12. ใหพาราโบลา 𝑃 มสมการเปน 𝑦2 − 2𝑦 + 6𝑥 + 4 = 0 ถาวงกลมวงหนงผานจดโฟกสของพาราโบลา 𝑃 และสมผสกบเสนตรง 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 ณ จด (4, 3) แลวสมการของวงกลมตรงกบขอใดตอไปน

[PAT 1 (ม.ค. 56)/8] 1. 7𝑥2 + 7𝑦2 − 4𝑥 − 82𝑦 − 55 = 0 2. 7𝑥2 + 7𝑦2 + 4𝑥 + 82𝑦 + 55 = 0

3. 7𝑥2 + 7𝑦2 − 4𝑥 + 82𝑦 − 55 = 0 4. 7𝑥2 + 7𝑦2 + 4𝑥 − 82𝑦 + 55 = 0


13. พาราโบลาทมจดโฟกส F อยทจดศนยกลางของวงกลม 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0 และมจดยอด V อยทจดตดของวงกลมกบแกน 𝑦 ถา A และ B เปนจดบนพาราโบลาซงสวนของเสนตรง AB ผานจดโฟกส F และตงฉากกบแกนของพาราโบลา แลวพนทของรปสามเหลยม VAB เทากบกตารางหนวย [PAT 1 (ม.ค. 55)/8]

14. ใหวงกลม 𝐶 มสมการเปน 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0 เมอ 𝑎 > 0 โดยระยะทางจากจดศนยกลางของวงกลม 𝐶 ไปยงเสนตรง 4𝑥 + 3𝑦 = 71 เทากบ 14 หนวย ถาพาราโบลารปหนง มโฟกสอยทจดศนยกลางของวงกลม 𝐶 และ ม 𝑦 = 7 เปนไดเรกตรกซ แลวสมการของพาราโบลารปนตรงกบขอใดตอไปน [PAT 1 (ต.ค. 58)/10]

1. 𝑥2 − 4𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0 2. 𝑥2 + 4𝑥 + 4𝑦 − 16 = 0 3. 𝑥2 + 4𝑥 − 4𝑦 + 20 = 0 4. 𝑥2 + 4𝑥 + 8𝑦 + 44 = 0 5. 𝑥2 + 4𝑥 + 8𝑦 − 36 = 0


15. พาราโบลารปหนงมจดยอดอยท A(−3, 2) มแกนสมมาตรขนานแกน 𝑥 และโฟกส F อยบนเสนตรง L ซงมสมการเปน 4𝑥 − 3𝑦 + 14 = 0 ถาพาราโบลานตดกบเสนตรง L ทจด B(𝑎, 𝑏) โดยท 𝑎 > 0 แลว จงหาพกดของจด B [PAT 1 (ต.ค. 55)/32*]

16. ใหเสนตรง 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 ตดกบวงกลม 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 ทจด 𝐴 และจด 𝐵 ถา (𝑎, 𝑏) เปนจดโฟกสของพาราโบลาซงมเสนตรง 𝑦 = 2 เปนแกนของพาราโบลาและพาราโบลานผานจด 𝐴 และจด 𝐵 แลว จงหาคาของ 𝑎 + 𝑏 [PAT 1 (ม.ค. 54)/8]


17. ให 𝐶 เปนวงกลมมสมการ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 มจดศนยกลางอยในควอดรนต (quadrant) ท 1 และวงกลม 𝐶 สมผสแกน 𝑦 ให 𝑃 เปนพาราโบลามสมการ 𝐷𝑥 = 𝑦2 + 𝐸𝑦 + 𝐹 ผานจด (−4, −1) และระยะระหวางจดยอดกบโฟกสเทากบ 1 หนวย ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (พ.ย. 57)/11]

1. 𝐷2 + 𝐸2 + 𝐹2 = 133

2. เสนตรง 4𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0 สมผสกบวงกลม 𝐶


วงร กราฟวงร จะม 2 แบบ คอ รแนวนอน กบรแนวตง โดยค าศพท ส าหรบเรยกสวนตางๆของวงร จะมดงน

จดศนยกลาง คอ จดทอยตรงกลางของวงร แกนเอก คอ แกนทลากผานจดศนยกลาง ตามแนวยาวของวงร แกนโท คอ แกนทลากผานจดศนยกลาง ในแนวตงฉากกบแกนเอก

จดยอด คอ จดปลายแกนเอกทงสองจด นยมแทนดวยสญลกษณ V1 และ V2

จดโฟกส คอ จดพเศษ 2 จด บนแกนเอก ทมสมบตวา ระยะจาก โฟกส1 ไป จดไหนกไดบนวงร ชงกลบไป โฟกส2 จะมความยาวเทากบแกนเอก เสมอ โดยเรานยมแทนจดโฟกส ดวยสญลกษณ F1 และ F2

เชน

จะได F1AF2 = F1BF2 = F1CF2 = F1DF2 = F1EF2

= ความยาวแกนเอก

ในกรณทจดบนวงรคอจดปลายแกนโท จะได F1A = AF2

ดงนน จะได F1A = ครงความยาวแกนเอก

ซงคนสวนใหญมกจ าวา F1A = V1C

ลาตสเรคตม คอ แกนทลากผานจดโฟกส ในแนวตงฉากกบแกนเอก

สมการกราฟของวงร จะอยในรป (𝑥−ℎ)2

?2 +(𝑦−𝑘)2

?2 = 1

จะรแนวนอนหรอรแนวตง ขนกบ ตวหาร 𝑥 และ ตวหาร 𝑦 วาตวไหนมคามากกวากน

ถาตวหาร 𝑥 มากกวา จะรแนวนอน แตถาตวหาร 𝑦 มากกวา จะรแนวตง

เชน (𝑥−1)2

32 +(𝑦−2)2

22 = 1 → รแนวนอน

(𝑥+1)2

12 +(𝑦−1)2

√22 = 1 → รแนวตง

จดศนยกลาง

แกนเอก แกนโท

โฟกส1 โฟกส2 จดยอด1 จดยอด2

ลาตสเรคตม แกนเอก แกนโท


โฟกส1

โฟกส2

จดยอด1

จดยอด2


F1 F2

A

C V1 V2

A B

C

D E

F1 F2


ปกต เราจะให “𝑎 แทนตวมาก” และ “𝑏 แทนตวนอย” ดงนน รแนวนอน → (𝑥−ℎ)2

𝑎2 +(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1

รแนวตง → (𝑥−ℎ)2

𝑏2 +(𝑦−𝑘)2

𝑎2 = 1

สตรทตองทอง คอ จดศนยกลาง = (ℎ , 𝑘)

ความยาวแกนเอก = 2𝑎 ความยาวแกนโท = 2𝑏 ความยาวลาตสเรคตม = 2𝑏2

𝑎

ระยะจากจดศนยกลางถงจดโฟกส 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2

คาความเยองศนยกลาง = 𝑐

𝑎

ถาจะหาพกดของจดอนๆ กใหเรมจากจดศนยกลาง แลวดวาตองขยบไปทางไหนเทาไหร

หมายเหต : คาความเยองศนยกลาง จะมคาในชวง (0, 1) เปนคาทบอก “ระดบความร” ถา 𝑐

𝑎 มคาใกลๆ 1 วงรจะรมาก →

ถา 𝑐𝑎

มคาใกลๆ 0 วงรจะไมคอยร →

ตวอยาง จงวาดรป พรอมทงหาจดยอด จดโฟกส จดศนยกลาง ความยาวแกนเอกและแกนโท ความยาวลาตสเรคตม

และคาความเยองศนยกลางของวงร ซงมสมการกราฟ คอ (𝑥−2)2

9+

(𝑦+3)2

4= 1

วธท า ตวหาร 𝑥 (คอ 32) มากกวา ตวหาร 𝑦 (คอ 22) ดงนน เปนวงรแนวนอน ใชสมการ (𝑥−ℎ)2

𝑎2 +(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1 จะได 𝑎 = 3 , 𝑏 = 2 , ℎ = 2 , 𝑘 = −3

ดงนน จดศนยกลาง = (ℎ, 𝑘) = (2, −3)

ความยาวแกนเอก = 2𝑎 = 2(3) = 6

ความยาวแกนโท = 2𝑏 = 2(2) = 4

ความยาวลาตสเรคตม = 2𝑏2

𝑎 =

2(2)2

3 =

8

3

ระยะจากศนยกลางถงโฟกส c = √𝑎2 − 𝑏2

= √32 − 22 = √5

ความเยองศนยกลาง = 𝑐

𝑎 =

√5

3

จดยอด → เขยบ (2, −3) ไปซายขวา 3 หนวย = (−1, −3) และ (5, −3)

จดโฟกส → เขยบ (2, −3) ไปซายขวา √5 หนวย = (2 − √5 , −3) และ (2 + √5 , −3) #

ตวอยาง วงรวงหนง มจดศนยกลางคอ (−1, 0) แกนเอกซงขนานกบแกน Y ยาว 10 หนวย และแกนโทยาว 6 หนวย จงหาสมการวงร พรอมทงหาพกดของจดยอดและจดโฟกส และวาดรปกราฟ วธท า ขอนไมไดใหสมการวงรมา แตใหสวนประกอบตางๆมา แลวใหเราหาสมการวงร

จากสตร ความยาวแกนเอก = 2𝑎 = 10 ดงนน 𝑎 = 5

ความยาวแกนโท = 2𝑏 = 6 ดงนน 𝑏 = 3

ระยะจากศนยกลางถงโฟกส = √52 − 32 = 4

จดศนยกลาง = (ℎ , 𝑘) = (−1, 0) ดงนน ℎ = −1 และ 𝑘 = 0 แกนเอกขนานกบแกน Y แปลวา รแนวตง ดงนน 𝑎 เปนตวหาร 𝑦

𝑏 เปนตวหาร 𝑥

(2,−3)

𝑎 = 3

√5 𝑏 = 2

𝑎 = 3

𝑏 = 2

(−1,0)

4 𝑎 = 5

𝑎 = 5

𝑏 = 3 𝑏 = 3


ดงนน จะไดสมการกราฟ คอ (𝑥+1)2

32 +𝑦2

52 = 1

จดยอด → เขยบ (−1, 0) ขนลง 5 หนวย = (−1, 5) และ (−1, −5)

จดโฟกส → เขยบ (−1, 0) ขนลง 4 หนวย = (−1, 4) และ (−1, −4) #

ตวอยาง วงรวงหนง มจดโฟกสคอ (2√3, 1) และ (−2√3, 1) ถาวงรน ผานจด (2√3, 2) จงหาสมการวงร วธท า จดโฟกสทงสอง วางเรยงในแนวนอน ดงนน สรปไดวาเปนวงรแนวนอน

เนองจาก จดศนยกลางวงร จะตองอยอยตรงกลางระหวางจดโฟกส (2√3, 1) และ (−2√3, 1)

ดงนน จดศนยกลาง = (2√3+(−2√3)

2 ,

1+1

2) = (0, 1) จะได ℎ = 0 และ 𝑘 = 1

และ จากสมบตของวงร ระยะจาก โฟกส1 ไปยงจดบนวงร แลวชงกลบมา โฟกส2 จะเทากบความยาวแกนเอก

ดงนน ความยาวแกนเอก = 7 + 1 = 8 = 2𝑎 ดงนนจะได 𝑎 = 4 และ จากรปจะเหนวา จดศนยกลาง (0, 1) อยหางจากโฟกสทงสอง = 2√3 = √𝑎2 − 𝑏2

แทนคา 𝑎 = 4 แลวแกสมการหา 𝑏 จะได

แทนคา 𝑎 = 4 , 𝑏 = 2 , ℎ = 0 , 𝑘 = 1 ในสมการ (𝑥−ℎ)2

𝑎2 +(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1

จะไดสมการวงร คอ 𝑥2

42 +(𝑦−1)2

22 = 1 #


1. จงบอกลกษณะกราฟ (แนวนอน แนวตง) จดศนยกลาง จดยอด จดโฟกส ความยาวแกนเอก ความยาวแกนโท ความยาวลาตสเรคตม และคาความเยองศนยกลาง ของวงรตอไปน

1. 𝑥2

32 +𝑦2

22 = 1

2√3 = √42 − 𝑏2 12 = 16 − 𝑏2 𝑏2 = 4 𝑏 = 2 , −2

เปน −2 ไมได เพราะจะท าใหความยาวแกนโทตดลบ

(−2√3, 1) (2√3, 1) (0, 1)

√(2√3 − (−2√3))2

+ (2 − 1)2 = √48 + 1

= 7

√(2√3 − 2√3)2

+ (2 − 1)2 = 1 (2√3, 2)


2. 𝑥2

9+

𝑦2

25 = 1

3. (𝑥−1)2

1+

(𝑦+2)2

5 = 1

4. 𝑦2

2+

(𝑥−2)2

4 = 1

อยางไรกตาม โจทยมกจะไมใจดบอกสมการในรป (𝑥−ℎ)2

?2 +(𝑦−𝑘)2

?2 = 1 มาให

แตโจทยมกจะกระจายใหเละจนไมเหลอเคาเดม เปน 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 กอน คอยเอามาใหเรา

หนาทของเราคอ ตองจดรป 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 กลบไปเปนรป (𝑥−ℎ)2

?2 +(𝑦−𝑘)2

?2 = 1 กอน

ซงมขนตอนดงน

1. จบกลม 𝑥 ไวดวยกน จบกลม 𝑦 ไวดวยกน กลมทเปนตวเลขแบบไมม 𝑥 หรอ 𝑦 ใหยายไปอกฝง จากนน ดงตวตวเลขทคณกบ 𝑥2 กบ 𝑦2 ออกมานอกวงเลบ เชน ถาโจทยใหสมการกราฟมาในรป 5𝑥2 + 4𝑦2 − 10𝑥 + 16𝑦 + 1 = 0

เราจะจบกลมใหมไดเปน (5𝑥2 − 10𝑥) + (4𝑦2 + 16𝑦) = −1

ดงตวเลขทคณ 𝑥2 กบ 𝑦2 ออก 5(𝑥2 − 2𝑥) + 4(𝑦2 + 4𝑦) = −1



โดยเตม ล2 ทขาดไปใหกบแตละกลม ทงสองขางของสมการ เชน 𝑥2 − 2𝑥 จดใหเขาสตร น2 − 2นล + ล2 ไดเปน 𝑥2 − 2(𝑥)(1) + 12

𝑦2 + 4𝑦 จดใหเขาสตร น2 − 2นล + ล2 ไดเปน 𝑦2 + 2(𝑦)(2) + 22

สงทตองระวง คอ คราวนตวทเตมเขาไปม “ตวคณ” อยหนาวงเลบ

ดงนน ตองเตม “ตวคณทอยหนาวงเลบ” เขาไปใหเหมอนๆกนทางฝงขวาดวย ดงน

3. สดทาย จดสมการเปนรป (𝑥−ℎ)2

?2 +(𝑦−𝑘)2

?2 = 1

โดยเอาตวเลขฝงขวา หารตลอด เพอท าใหฝงขวากลายเปน 1

และทางฝงซาย ใหเหยยบตวเลขทคณอยหนา ( )2 มดลงไปเปน “ตวหารของสวน” ดงน

ดงนน 5𝑥2 + 4𝑦2 − 10𝑥 + 16𝑦 + 1 = 0 เปนวงรแนวตง ทมจดศนยกลาง = (1, −2)

แกนเอกยาว 2√5 และ แกนโทยาว 4 เปนตน

ตวอยาง จงหาจดโฟกสของวงร 28𝑥2 + 12𝑦2 + 28𝑥 − 72𝑦 + 31 = 0 วธท า จบกลม 𝑥 กบกลม 𝑦 แลวยายตวเลขไปทางขวา จะได (28𝑥2 + 28𝑥) + (12𝑦2 − 72𝑦) = −31

จากนน ดงตวเลขทคณ 𝑥2 กบ 𝑦2 ออก 28(𝑥2 + 𝑥) + 12(𝑦2 − 6𝑦) = −31

เตม ล2 แลวเขาสตร น2 − 2นล + ล2 จะได

จากนน หารตลอดดวย 84 แลว จดรปใหเปน (𝑥−ℎ)2

?2 +(𝑦−𝑘)2

?2 = 1

เตมเอง เพอใหเขาสตรได

โดยเตมทงสองขางของสมการ

5(𝑥2 − 2𝑥) + 4(𝑦2 + 4𝑦) = −1 5(𝑥2 − 2(𝑥)(1) + 12) + 4(𝑦2 + 2(𝑦)(2) + 22) = −1 + 5(12) + 4(22) 5(𝑥 − 1)2 + 4(𝑦 + 2)2 = 20

เตม เตม 12 ทเตม ม 5 คณอย 22 ทเตม ม 4 คณอย

เตม 12 ทม 5 คณอย กบ 22 ทม 4 คณอย

5(𝑥 − 1)2 + 4(𝑦 + 2)2 = 20

5(𝑥−1)2

20+

4(𝑦+2)2

20 = 1

(𝑥−1)2

20

5

+(𝑦+2)2

20

4

= 1

(𝑥−1)2

4+

(𝑦+2)2

5 = 1

(𝑥−1)2

22 +(𝑦+2)2

√52 = 1

หารตลอดดวย 20

เอา 5 กบ 4 ทคณอย มดลงไปเปนตวหารของสวน

จดใหเปนรป (𝑥−ℎ)2

?2 +(𝑦−𝑘)2

?2 = 1

28(𝑥2 + 𝑥) + 12(𝑦2 − 6𝑦) = −31

28 (𝑥2 + 2(𝑥) (1

2) + (

1

2)

2

) + 12(𝑦2 − 2(𝑦)(3) + 32) = −31 + 28 (1

2)

2

+ 12(3)2

28 (𝑥 +1

2)

2

+ 12(𝑦 − 3)2 = 84


ดงนน จะไดสมการทจดรปแลว คอ (𝑥+

1

2)

2

√32 +

(𝑦−3)2

√72 = 1

จะไดจดศนยกลางวงร คอ (−1

2 , 3)

เนองจาก √7 > √3 ดงนน เปนวงรแนวตง โดย 𝑎 = √7 และ 𝑏 = √3 และจะไดระยะจากจดศนยกลาง ถงโฟกส = √𝑎2 − 𝑏2 = √7 − 3 = √4 = 2

ดงนน จดโฟกส จะไดจากการเขยบจดศนยกลางขนลง 2 หนวย = (−1

2 , 1) กบ (−

1

2 , 5) #


2. จงบอกลกษณะกราฟ (แนวนอน แนวตง) จดศนยกลาง จดยอด จดโฟกส ความยาวแกนเอก ความยาวแกนโท ความยาวลาตสเรคตม และคาความเยองศนยกลาง ของวงรตอไปน

1. 9𝑥2 + 25𝑦2 + 36𝑥 − 150𝑦 + 36 = 0

2. 9𝑥2 + 4𝑦2 − 8𝑦 − 32 = 0

28(𝑥+

1

2)

2

84+

12(𝑦−3)2

84 =

84

84

(𝑥+

1

2)

2

84

28

+(𝑦−3)2

84

12

= 1

(𝑥+

1

2)

2

3+

(𝑦−3)2

7 = 1

(𝑥+

1

2)

2

√32 +

(𝑦−3)2

√72 = 1


3. 4𝑥2 + 𝑦2 − 8 = 0

3. จงหาสมการวงร ซงมจดศนยกลางอยท (2, −1) มแกนเอกซงขนานกบแกน Y ยาว 6 และมแกนโทยาว 4

4. จงหาสมการวงร ซงมจดศนยกลางอยทจดก าเนด มจดยอดจดหนงอยท (0, 2) และผานจด (1, −1)

5. จงหาสมการวงร ซงมจดศนยกลางอยท (0, 1) มจดโฟกสจดหนงอยท (3, 1) และผานจด (−4, 1)


6. วงกลมวงหนงมจดศนยกลาง อยทจดศนยกลางของวงรทมสมการเปน

9𝑥2 + 4𝑦2 − 36𝑥 − 24𝑦 + 36 = 0 ถาวงกลมนสมผสกบเสนตรงทผานจด (1, 3) และ (5, 0) แลว รศมของวงกลมวงนเทากบเทาไร [A-NET 49/1-5]

7. ก าหนดให วงรรปหนงมโฟกสอยทจด (±3, 0) และผานจด (2,√21

2) จดในขอใดตอไปนอยบนวงรทก าหนด

[PAT 1 (ม.ค. 52)/17]

1. (−4, 0) 2. (0,5√2

2) 3. (6, 0) 4. (0, −3√2)

8. ใหพาราโบลารปหนง มสมการเปน 𝑦2 − 4𝑦 + 40𝑥 − 236 = 0 โดยม 𝑉 และ 𝐹 เปนจดยอด และโฟกสของพาราโบลาตามล าดบ ถาวงรรปหนง ผานจด (4, 6) และมโฟกสอยท 𝑉 และ 𝐹 แลวสมการของวงรรปนตรงกบขอใดตอไปน [PAT 1 (ต.ค. 58)/11]

1. 4𝑥2 + 9𝑦2 + 8𝑥 − 36𝑦 + 140 = 0 2. 4𝑥2 + 9𝑦2 + 8𝑥 + 36𝑦 − 140 = 0 3. 4𝑥2 + 9𝑦2 − 8𝑥 − 36𝑦 − 140 = 0 4. 9𝑥2 + 4𝑦2 − 36𝑥 − 8𝑦 − 180 = 0 5. 9𝑥2 + 4𝑦2 + 36𝑥 − 8𝑦 + 180 = 0


9. ก าหนดใหวงรรปหนง ผานจด (8, 0) มจดศนยกลางอยท (4, −1) และโฟกสจดหนงอยท (1, −1)

ถาพาราโบลารปหนงมโฟกสอยทจดปลายของแกนโทของวงรในควอดรนต (quardrant) ท 1 และมเสนไดเรกตรกซทบกบแกนเอกของวงร แลวสมการของพาราโบลารปนตรงกบสมการในขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 58)/19]

1. 𝑥2 − 8𝑥 + 4𝑦 + 13 = 0 2. 𝑥2 − 8𝑥 − 4𝑦 + 20 = 0

3. 𝑥2 − 8𝑥 + 6𝑦 − 12 = 0 4. 𝑥2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 19 = 0

10. ให P(𝑥, 𝑦) เปนจดใดๆ ในระนาบ ถาผลบวกของระยะทางจากจด P(𝑥, 𝑦) ไปยงจด (0, –2) และระยะทางจากจด P(𝑥, 𝑦) ไปยงจด (2, –2) เทากบ 2√5 แลว จงหาสมการความสมพนธของ 𝑥 และ 𝑦 ใน P(𝑥, 𝑦) [PAT 1 (ม.ค. 57)/10*]

11. ก าหนดใหวงร E มโฟกสทงสองอยบนวงกลม C ซงมสมการเปน 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ถา E สมผสกบ C ทจด (1, 0) และ (−1, 0) แลว จดในขอใดตอไปนอยบน E [PAT 1 (ก.ค. 52)/17*]

1. (1

2,

3

2) 2. (

1

2,

5

2) 3. (

1

3,

2

3) 4. (

1

3,

4

3)


12. วงรทมแกนเอกอยบนแกน 𝑥 แกนโทอยบนแกน 𝑦 ระยะระหวางจดโฟกสทงสองเทากบ 12 หนวย ถาความยาวของคอรดทผานจดโฟกสหนงและตงฉากกบแกนเอกของวงร เทากบ 10 หนวย แลวสมการของวงร คอขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 55)/7]

1. 5𝑥2 + 9𝑦2 = 405 2. 9𝑥2 + 5𝑦2 = 81

3. 5𝑥2 + 9𝑦2 = 225 4. 9𝑥2 + 5𝑦2 = 20

13. ถา 𝑘, 𝑙 และ 𝑚 เปนจ านวนจรงทท าใหวงร 𝑘𝑥2 + 𝑙𝑦2 − 72𝑥 − 24𝑦 + 𝑚 = 0 มจดศนยกลางอยทจด (4, 3) และสมผสแกน Y แลว ขอใดตอไปนผด [A-NET 50/1-7]

1. ความยาวแกนเอกเทากบ 12 หนวย

2. ความยาวแกนโทเทากบ 8 หนวย

3. ระยะหางระหวางจดโฟกสทงสองเทากบ 4√5 หนวย

4. จด (2, 6) อยบนวงร


14. แกนเอกของวงรเปนสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดตดของวงกลม 𝑥2 + 𝑦2 = 25 กบวงกลม

𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑦 − 7 = 0 และโฟกสจดหนงของวงรอยบนเสนตรง 𝑥 + 2√3 = 0

สมการของวงรตรงกบขอใดตอไปน [PAT 1 (ต.ค. 55)/11] 1. 𝑥2 + 4𝑦2 − 8𝑥 = 0 2. 𝑥2 + 4𝑦2 + 24𝑦 + 20 = 0

3. 4𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑦 − 7 = 0 4. 4𝑥2 + 𝑦2 − 32𝑥 + 48 = 0

15. ให E เปนวงรทมแกนเอกขนานกบแกน X, มจดศนยกลางท (−2, 1), สมผสเสนตรง 𝑥 = 1 และ 𝑦 = 3 โดยม F1 และ F2 เปนจดโฟกสของ E ให C เปนวงกลมทม F1F2 เปนเสนผานศนยกลาง ถาวงร E ตดวงกลม C ทจด P, Q, R และ S แลว พนทรปสเหลยม PQRS มคาเทากบเทาไร [A-NET 51/1-12]


16. ก าหนดใหวงรรปหนงมสมการเปน 𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 − 92 = 0 เมอ 𝐴 > 1 โดยทมจดศนยกลางอยท (2, 1) และแกนเอกยาวเปน 2 เทาของแกนโท ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (เม.ย. 57)/9*]

1. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0

2. ความเยองศนยกลางของวงรเทากบ √3

5

3. วงรมจดศนยกลางรวมกบจดศนยกลางของวงกลม 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 20 = 0

และแกนเอกยาวเทากบรศมของวงกลม

4. ผลบวกของระยะทางจากจด (2, 6) ไปยงโฟกสทงสองของวงรเทากบ 20 หนวย

17. ก าหนดใหวงรมจดศนยกลางอยท (0, 0) และมโฟกส F1 และ F2 อยบนแกน 𝑥 จด A(4, 1) เปนจดบนวงรโดยทผลบวกระยะทางจากจด A(4, 1) ไปยงจดโฟกสทงสองมคาเทากบ 6√2 ใหเสนตรง L ตดแกน 𝑥 ทจด (4.5, 0)

และสมผสกบวงรทจด A(4, 1) ถา 𝑑 เปนระยะหางระหวางจด (0, 0) กบเสนตรง L แลว คาของ 𝑑2|AF1||AF2|

เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/31]


ไฮเพอรโบลา

ไฮเพอรโบลา เปนกราฟทประหลาดกวากราฟอนตรงท ม 2 เสน ใน 1 กราฟ

โดยเราจะไดเรยนไฮเพอรโบลา 2 แบบ คอ แบบแนวนอน และ แบบแนวตง

โดยค าศพท ส าหรบเรยกสวนตางๆของไฮเพอรโบลา จะมดงน

จดศนยกลาง คอ จดทอยตรงกลางของไฮเพอรโบลา

เสนก ากบ คอ แนวกากบาททก ากบเสนกราฟไฮเพอรโบลา

กลาวคอ เสนกราฟจะ “เฉยด” เขาใกลเสนก ากบมากขนเรอยๆ (แตจะไมแตะโดนเสนก ากบ) จดยอด คอ จดทไฮเพอรโบลาวกกลบ นยมแทนดวยสญลกษณ V1 และ V2

แกนตามขวาง คอ แกนทลากเชอมจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลา

แกนสงยค คอ แกนทลากผานจดศนยกลาง ในแนวตงฉากกบแกนตามขวาง จดโฟกส คอ จดพเศษ 2 จด ทมสมบตวา “ทกจดบนไฮเพอรโบลา ถาเอาระยะทางไปจดโฟกสทงสองมาลบกน

จะไดผลลบเทากบความยาวแกนตามขวางเสมอ” โดยเรานยมแทนจดโฟกส ดวยสญลกษณ F1 และ F2

เชน

ลาตสเรคตม คอ แกนทลากผานจดโฟกส ในแนวตงฉากกบแนวไฮเพอรโบลา

สมการกราฟของไฮเพอรโบลา จะคลายกบสมการกราฟของวงร แตเครองหมายตรงกลางจะเปน “ลบ” โดยจะเปนไฮเพอรโบลาแนวนอน หรอแนวตง จะขนกบวาเปนสมการแบบ “𝑥 ลบ 𝑦” หรอแบบ “𝑦 ลบ 𝑥” ถาเปน 𝑥 ลบ 𝑦 จะเปนไฮเพอรโบลาแนวนอน แตถาเปน “𝑦 ลบ 𝑥” จะเปนไฮเพอรโบลาแนวตง

เชน (𝑥+1)2

32 −(𝑦−2)2

42 = 1 → แนวนอน

(𝑦−1)2

52 −(𝑥−3)2

22 = 1 → แนวตง



จดยอด1

จดยอด2

โฟกส1

โฟกส2

แกนตามขวาง

แกนสงยค

เสนก ากบ

เสนก ากบ

จดศนยกลาง โฟกส1 โฟกส2

ลาตสเรคตม จดยอด1 จดยอด2

แกนตามขวาง

แกนสงยค

AF2 − AF1 = BF2 − BF1 = CF2 − CF1 = DF2 − DF1 = A′F1 − A′F2 = D′F1 − DF2

= ความยาวแกนตามขวาง

F1 F2

A

B

C

D

A’

D’


ปกต เราจะให “𝑎 แทนตวตง” และ “𝑏 แทนตวลบ” ดงนน แนวนอน → (𝑥−ℎ)2

𝑎2 −(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1

แนวตง → (𝑦−𝑘)2

𝑎2 −(𝑥−ℎ)2

𝑏2 = 1

สตรทตองทองคอ จดศนยกลาง อยท (ℎ, 𝑘)

ความยาวแกนตามขวาง = 2𝑎 ความยาวแกนสงยค = 2𝑏 ความยาวลาตสเรคตม = 2𝑏2

𝑎

ระยะระหวางจดศนยกลางถงจดโฟกส c = √𝑎2 + 𝑏2

ถาจะหาพกดของจดอนๆ กใหเรมจากจดศนยกลาง แลวดวาตองขยบไปทางไหนเทาไหร

จะเหนวาสมการและสตรของไฮเพอรโบลา คลายๆกบวงร ถาจะเทยบความคลายระหวาง วงร กบไฮเพอรโบลา จะสรปไดดงน

หมายเหต: ในวงร แกนเอกจะยาวกวาแกนโทเสมอ แตในไฮเพอรโบลา แกนตามขวาง จะยาวหรอจะสนกวา แกนสงยคกได

“เสนก ากบ” จะเปนเสนตรง 2 เสน ไขวกนเปนกากบาท

วธตอบเสนก ากบ ใหตอบเปนสมการเสนตรง 2 สมการ

(𝑥−ℎ)2

𝑎2 −(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1 จะมเสนก ากบคอ 𝑥−ℎ

𝑎 =

𝑦−𝑘

𝑏 และ 𝑥−ℎ

𝑎 = −

𝑦−𝑘

𝑏

(𝑦−𝑘)2

𝑎2 −(𝑥−ℎ)2

𝑏2 = 1 จะมเสนก ากบคอ 𝑦−𝑘

𝑎 =

𝑥−ℎ

𝑏 และ 𝑦−𝑘

𝑎 = −

𝑥−ℎ

𝑏

หรอจะรวมเปนสมการเดยวโดยใชเครองหมาย ± กได (เชน 𝑥−ℎ

𝑎 = ±

𝑦−𝑘

𝑏)

หรอถาไมชอบเครองหมาย ± จะยกก าลงสองทงสองขางเพอก าจด ± เปน (𝑥−ℎ)2

𝑎2 = (𝑦−𝑘)2

𝑏2 กได

สงเกตวา ถายายขาง จะกลายเปน (𝑥−ℎ)2

𝑎2 −(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 0 เหมอนกบสมการไฮเพอรโบลา ทเปลยน 1 เปน 0 เลย

บางคนจงนยมจ าวา สมการเสนก ากบ ไดจากการ “น าสมการไฮเพอรโบลามาเปลยน 1 ทางขวา เปน 0”

ไฮเพอรโบลาทมเสนก ากบทงสองตงฉากกน จะมชอเรยกพเศษวา “ไฮเพอรโบลามมฉาก” โดยเสนก ากบทงสองจะตงฉากกนเมอ แกนตามขวางกบแกนสงยคยาวเทากน (นนคอ เมอ 𝑎 = 𝑏)

ตวอยาง จงวาดรป และหาสวนประกอบตางๆของไฮเพอรโบลา ซงมสมการกราฟ คอ (𝑥+4)2

4−

(𝑦−1)2

9= 1

วธท า สมการกราฟเปนแบบ 𝑥 ตง ลบดวย 𝑦 ดงนน เปนไฮเพอรโบลาแนวนอน

ใชรป (𝑥−ℎ)2

𝑎2 −(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1 จะได 𝑎 = 2 , 𝑏 = 3 , ℎ = −4 , 𝑘 = 1

ดงนน จดศนยกลาง = (ℎ, 𝑘) = (−4, 1)

ความยาวแกนตามขวาง = 2𝑎 = 2(2) = 4

ความยาวแกนสงยค = 2𝑏 = 2(3) = 6


𝑎 =

2(3)2

2 = 9

ระยะจากศนยกลางถงโฟกส 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √22 + 32 = √13

วงร แกนเอก แกนโท 𝑎 = ตวมาก 𝑏 = ตวนอย 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2

ไฮเพอรโบลา แกนตามขวาง แกนสงยค 𝑎 = ตวตง 𝑏 = ตวลบ 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2

(−4, 1)

𝑏 = 3

𝑏 = 3

𝑎 = 2

𝑐 = √13

𝑎 = 2

𝑐 = √13


จดยอด → เขยบ (−4, 1) ไปซายขวา 𝑎 = 2 หนวย ได (−6, 1) กบ (−2, 1)

จดโฟกส → เขยบ (−4, 1) ไปซายขวา 𝑐 = √13 หนวย ได (−4 − √13 , 1) กบ (−4 + √13 , 1)

สมการเสนก ากบ คอ 𝑥+4

2 = ±

𝑦−1

3

ไฮเพอรโบลาน ไมใชไฮเพอรโบลามมฉาก เพราะ เสนก ากบไมตงฉากกน เนองจาก 𝑎 ≠ 𝑏 #

ตวอยาง จงหาสมการกราฟไฮเพอรโบลา ซงมจดยอดอยท (0, 2) และ (0, 0) และมจดโฟกสจดหนงอยท (0, 3) พรอมทงหาสวนประกอบตางๆ ของกราฟน

วธท า เนองจากจดยอดเรยงตวในแนวตง ดงนน ขอนเปนไฮเพอรโบลาแนวตง ใชรปสมการ (𝑦−𝑘)2

𝑎2 −(𝑥−ℎ)2

𝑏2 = 1

เราตองใชสงทโจทยให มาสบหา ℎ , 𝑘 , 𝑎 , 𝑏 ใหได จดยอดอยท (0, 2) กบ (0, 0) ดงนน จดศนยกลางอยท (0, 1)

ดงนน ℎ = 0 , 𝑘 = 1

จดยอดอยท (0, 2) กบ (0, 0) ดงนน แกนตามขวางยาว 2 หนวย แตจากสตร แกนตามขวางยาว = 2𝑎 ดงนน 𝑎 = 1

จดโฟกส (0, 3) อยหางจากจดศนยกลาง (0, 1) อย 2 หนวย ดงนน 𝑐 = 2 แตจากสตร 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 จะได

ดงนน จะไดสมการไฮเพอรโบลา คอ (𝑦−1)2

12 −(𝑥−0)2

√32 = 1 หรอกคอ (𝑦 − 1)2 −

𝑥2

3= 1

จดศนยกลาง = (ℎ, 𝑘) = (0, 1)


ความยาวแกนสงยค = 2𝑏 = 2(√3) = 2√3


𝑎 =

2(√3)2

1 = 6

จดยอด → เขยบ (0, 1) ขนลง 𝑎 = 1 หนวย ไดเปน (0, 2) และ (0, 0)

จดโฟกส → เขยบ (0, 1) ขนลง 𝑐 = 2 หนวย ไดเปน (0, 3) และ (0, −1)

สมการเสนก ากบ คอ 𝑦 − 1 = ±𝑥

√3

ไฮเพอรโบลาน ไมใชไฮเพอรโบลามมฉาก เพราะ เสนก ากบไมตงฉากกน เนองจาก 𝑎 ≠ 𝑏 #

แบบฝกหด 1. จงบอกลกษณะกราฟ (แนวนอน แนวตง) จดศนยกลาง จดยอด จดโฟกส ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสง

ยค ความยาวลาตสเรคตม และสมการเสนก ากบ ของไฮเพอรโบลา ตอไปน

1. 𝑥2

4−

𝑦2

9 = 1

2 = √12 + 𝑏2 4 = 1 + 𝑏2 3 = 𝑏2

𝑏 = √3

(0, 0)

(0, 2)

(0, 3)


2. (𝑦+2)2

4−

(𝑥−1)2

5 = 1

3. 𝑦2 − 𝑥2 = 1

ในกรณทโจทยใหสมการในรป 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐶 = 0 มาให เราจะใชวธจดรปแบบเดยวกบวงร แตคราวน ระหวาง 𝐴 กบ 𝐵 จะมตวหนงเปนลบ และตวหนงเปนบวก

1. จบกลม 𝑥 ไวดวยกน จบกลม 𝑦 ไวดวยกน กลมทเปนตวเลขแบบไมม 𝑥 หรอ 𝑦 ใหยายไปอกฝง จากนน ดงตวตวเลขทคณกบ 𝑥2 กบ 𝑦2 ออกมานอกวงเลบ เชน ถาโจทยใหสมการกราฟมาในรป 3𝑥2 − 4𝑦2 − 12𝑥 − 8𝑦 + 20 = 0

เราจะจบกลมใหมไดเปน (3𝑥2 − 12𝑥) + (−4𝑦2 − 8𝑦) = −20

ดงตวเลขทคณ 𝑥2 กบ 𝑦2 ออก 3(𝑥2 − 4𝑥) − 4(𝑦2 + 2𝑦) = −20


โดยเตม ล2 ทขาดไปใหกบแตละกลม ทงสองขางของสมการ สงทตองระวงเพมขนจากตอนท าวงร คอ คราวนตวทเตมเขาไป อาจจะม “เลขตดลบ” คณอยหนาวงเลบดวย

ดงนน ตองเตม เครองหมาย บวก หรอ ลบ ทคณอยหนาวงเลบ เขาไปใหเหมอนๆกนทางฝงขวาดวย ดงน

3. สดทาย เอาตวเลขฝงขวา หารตลอด เพอท าใหฝงขวากลายเปน 1 แลวจดสมการใหเขารปไฮเพอรโบลา ดงน

3(𝑥2 − 4𝑥) − 4(𝑦2 + 2𝑦) = −20 3(𝑥2 − 2(𝑥)(2) + 22) − 4(𝑦2 + 2(𝑦)(1) + 12) = −20 + 3(22) − 4(12) 3(𝑥 − 2)2 − 4(𝑦 + 1)2 = −12

เตม 22 ทม 3 คณอย กบ 12 ทม −4 คณอย เตม เตม

3(𝑥 − 2)2 − 4(𝑦 + 1)2 = −12

3(𝑥−2)2

−12−

4(𝑦+1)2

−12 = 1

−3(𝑥−2)2

12+

4(𝑦+1)2

12 = 1

4(𝑦+1)2

12−

3(𝑥−2)2

12 = 1

หารตลอดดวย −12 (𝑦+1)2

12

4

−(𝑥−2)2

12

3

= 1

(𝑦+1)2

3−

(𝑥−2)2

4 = 1

(𝑦+1)2

√32 −

(𝑥−2)2

22 = 1

สลบตวลบไวขางหลง


ดงนน 3𝑥2 − 4𝑦2 − 12𝑥 − 8𝑦 + 20 = 0 เปนไฮเพอรโบลาแนวตง ทมจดศนยกลาง = (2, −1)

แกนตามขวางยาว 2√3 และ แกนสงยคยาว 4 เปนตน

ตวอยาง จงวาดรป และหาสวนประกอบตางๆของไฮเพอรโบลา ซงมสมการกราฟ คอ 𝑥2 − 𝑦2 − 4𝑦 − 8 = 0 วธท า จดรปกอน จะได

ดงนน เปนไฮเพอรโบลาแนวนอน ท ℎ = 0 , 𝑘 = −2 , 𝑎 = 2 , 𝑏 = 2

จะได จดศนยกลางคอ = (ℎ, 𝑘) = (0, −2)


ความยาวแกนสงยค = 2𝑏 = 2(2) = 4

ความยาวลาตสเรคตม = 2(2)2

2 = 4

ระยะจากศนยกลางถงโฟกส 𝑐 = √22 + 22 = 2√2

จดยอด → เขยบ (0, −2) ไปซายขวา 𝑎 = 2 หนวย ได (2, −2) กบ (−2, −2)

จดโฟกส → เขยบ (0, −2) ไปซายขวา 𝑐 = 2√2 หนวย ได (2√2, −2) กบ (−2√2 , −2)

สมการเสนก ากบ คอ 𝑥2

4 = ±

(𝑦+2)2

4 จดใหเปนรปอยางงาย ได 𝑥2 = ±(𝑦 + 2)2

ไฮเพอรโบลาน เปนไฮเพอรโบลามมฉาก เพราะ เสนก ากบตงฉากกน เนองจาก 𝑎 = 𝑏 #


2. จงบอกลกษณะกราฟ (แนวนอน แนวตง) จดศนยกลาง จดยอด จดโฟกส ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสงยค ความยาวลาตสเรคตม และสมการเสนก ากบ ของไฮเพอรโบลา ตอไปน

1. 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑦 − 3 = 0 2. 4𝑥2 − 𝑦2 − 16𝑥 − 2𝑦 + 11 = 0

𝑥2 − 𝑦2 − 4𝑦 − 8 = 0 (𝑥2) + (−𝑦2 − 4𝑦) = 8 (𝑥2) − (𝑦2 + 4𝑦) = 8 (𝑥2) − (𝑦2 + 2(𝑦)(2) + 22) = 8 + −(22) (𝑥)2 − (𝑦 + 2)2 = 4

(𝑥)2

4−

(𝑦+2)2

4 = 1

(0, −2)

𝑏 = 2

𝑏 = 2

𝑎 = 2

𝑐 = 2√2

𝑎 = 2

𝑐 = 2√2


3. 9𝑥2 − 16𝑦2 + 18𝑥 − 64𝑦 + 89 = 0

3. จงหาสมการของไฮเพอรโบลา ทมจดยอดอยท (2, 0) และ (−2, 0) และมแกนสงยคยาว 6

4. จงหาสมการของไฮเพอรโบลา ทมจดยอดอยท (1, 5) และ (1, −1) และมจดโฟกสจดหนงอยท (1, −3)

5. จงหาสมการของไฮเพอรโบลา ทมจดยอดอยท (1, 1) และ (1, −3) และผานจด (4, 3)


6. วงร และ ไฮเพอรโบลาม จดศนยกลางรวมกนทจด (0,0) เเละมจดยอดจดเดยวกน ถาวงรมโฟกสจดหนงเปน

(0, 2√15) ตดเเกน 𝑥 ทจด (−2, 0) ถาไฮเพอรโบลาทมเเกนสงยคยาวเทากบเเกนโทของวงร แลวจงหาสมการของไฮเพอรโบลา

7. ก าหนดให 16𝑦2 − 9𝑥2 + 36𝑥 + 32𝑦 + 124 = 0 เปนสมการของไฮเพอรโบลา ให 𝐿 เปนเสนตรงผานจด (0, 0) และจดศนยกลางของไฮเพอรโบลาน ผลบวกของระยะจากโฟกสทงสองไปยงเสนตรง 𝐿 เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 58)/10]

8. ก าหนดให 𝐸 เปนวงรทมโฟกสอยทจดยอดของไฮเพอรโบลา 𝑥2 − 𝑦2 = 1

ถา 𝐸 ผานจด (0, 1) แลว จดในขอใดตอไปนอยบน 𝐸 [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-10]

1. (1, −√2

2) 2. (1, √2) 3. (1, −

1

2) 4. (1,

√3

2)


9. ก าหนดวงกลมรปหนงมจดปลายของเสนผานศนยกลางอยบนจดศนยกลางและจดโฟกสดานหนงของ

ไฮเพอรโบลา 9𝑥2 − 16𝑦2 − 90𝑥 + 64𝑦 + 17 = 0 แลววงกลมดงกลาวมพนทเทากบเทาไร [PAT 1 (ก.ค. 53)/8]

10. ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ม.ค. 54)/9]

1. ไฮเพอรโบลา 4𝑥2 − 25𝑦2 + 24𝑥 − 100𝑦 − 164 = 0 มจดยอดอยทจดยอดของ วงร 4𝑥2 + 25𝑦2 + 24𝑥 + 100𝑦 + 36 = 0 และมแกนสงยคยาวเทากบแกนโทของวงร 2. วงร 4𝑥2 + 25𝑦2 + 24𝑥 + 100𝑦 + 36 = 0 มจดยอดจดหนงอยบน

พาราโบลา 𝑦2 + 4𝑦 − 4𝑥 + 12 = 0


11. ก าหนดให 9𝑥2 − 16𝑦2 − 18𝑥 + 64𝑦 − 199 = 0 เปนสมการของไฮเพอรโบลา ถาพาราโบลารปหนงมแกนสมมาตรขนานแกน 𝑦 ตดแกน 𝑥 ทจด (1, 0) และผานจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลาทก าหนดให แลว จดในขอใดตอไปนไมอยบนพาราโบลา [PAT 1 (ม.ค. 56)/17]

1. (2, 1

8 ) 2. (−1,

1

2 ) 3. (3,

1

2 ) 4. (4,

1

4 )

12. ก าหนดใหพาราโบลามจดยอดท (−3, −2) ผานจดโฟกสของไฮเพอรโบลา 5𝑥2 − 4𝑦2 − 16𝑦 + 4 = 0

จงหาสมการไดเรคตรกซของพาราโบลา [PAT 1 (ธ.ค. 54)/9]

1. 4𝑦 + 15 = 0 2. 4𝑦 + 9 = 0 3. 4𝑥 + 9 = 0 4. 4𝑥 + 15 = 0

13. ให A และ B เปนจดยอดของไฮเพอรโบลา 4𝑥2 − 𝑦2 − 24𝑥 + 6𝑦 + 11 = 0 สมการของพาราโบลาทม AB

เปนเลตสเรกตม และมกราฟอยเหนอแกน X คอสมการในขอใดตอไปน [A-NET 51/1-11]

1. (𝑥 − 3)2 = 4(𝑦 − 2) 2. (𝑥 − 3)2 = 8(𝑦 − 1)

3. (𝑥 − 2)2 = 4(𝑦 − 2) 4. (𝑥 − 2)2 = 8(𝑦 − 1)


14. ก าหนดใหไฮเพอรโบลารปหนงมสมการเปน 𝑥2 − 𝑦2 − 2𝑥 = 0 ถาพาราโบลามโฟกสเปนจดกงกลางของสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดตดของเสนตรง 𝑦 = 2𝑥 กบเสนก ากบของไฮเพอรโบลา และมเสนไดเรกตรกซเปนเสนตรงทผานจดยอดทงสองของไฮเพอรโบลา แลวจงหาสมการพาราโบลาในรป 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0

[PAT 1 (ม.ค. 57)/9]

15. ก าหนดให 𝑦2 − 2𝑥2 + 8𝑥 − 6 = 0 เปนสมการของไฮเพอรโบลา ใหเสนตรง 𝑦 = √2 ตดกบเสนก ากบของไฮเพอรโบลาทจด 𝐴 และจด 𝐵 เมอจด 𝐵 อยทางขวามอของจด 𝐴 และเสนตรง 𝑦 = √2 ตดกบกราฟไฮเพอรโบลาทจด 𝑃 และจด 𝑄 เมอจด 𝑄 อยทางขวามอของจด 𝑃 สมการของวงรทมจดยอดอยทจด 𝑃 และจด 𝑄

โฟกสของวงรอยทจด 𝐴 และจด 𝐵 มสมการตรงกบขอใดตอไปน [PAT 1 (พ.ย. 57)/10] 1. 2𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 4√2𝑦 − 4 = 0 2. 2𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 2√2𝑦 + 8 = 0

3. 𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥 − 4√2𝑦 + 6 = 0 4. 𝑥2 + 2𝑦2 + 4𝑥 + 4√2𝑦 + 6 = 0


16. ก าหนดใหวงรรปหนงมสมการเปน 25𝑥2 + 21𝑦2 + 100𝑥 − 42𝑦 − 404 = 0 แลวไฮเพอรโบลาทมจดยอดอยทจดโฟกสทงสองของวงรและผานจด (−3 , 1 + √8) มสมการตรงกบขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 53)/8]

1. 5𝑦2 − 4𝑥2 − 10√8𝑦 − 32𝑥 − 25 = 0 2. 3𝑦2 − 2𝑥2 − 6√8𝑦 − 8𝑥 + 15 = 0

3. 𝑦2 − 4𝑥2 − 2𝑦 − 16𝑥 − 19 = 0 4. 𝑦2 − 7𝑥2 − 2𝑦 − 28𝑥 − 28 = 0

17. ให F เปนโฟกสของพาราโบลา 4𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 13 ถาไฮเพอรโบลารปหนงมสมบตดงน (ก) แกนตามขวางขนานแกน 𝑦

(ข) จดศนยกลางของไฮเพอรโบลาอยท F

(ค) โฟกสหนงของไฮเพอรโบลาคอ (3, 2 + 2√13)

(ง) แกนสงยคยาว 12 หนวย แลว จงหาสมการไฮเพอรโบลาในรป 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 [PAT 1 (เม.ย. 57)/8]


18. ถาเสนก ากบของไฮเพอรโบลา 16𝑥2 − 9𝑦2 + 32𝑥 + 36𝑦 = 164 ตดแกน X ทจด 𝑥1, 𝑥2 แลว ระยะระหวาง 𝑥1, 𝑥2 ยาวกหนวย [A-NET 50/2-2]

19. ก าหนดให H เปนไฮเพอรโบลาทมสมการเปน 16𝑥2 − 9𝑦2 − 144 = 0 ถาจด A(6, 𝑘) เมอ 𝑘 > 0 เปนจดอยบนเสนก ากบของ H และ F1, F2 เปนโฟกสของ H แลว พนทของรปสามเหลยม AF1F2 เทากบเทาไร

[A-NET 49/1-6]

20. ถา 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 = 21 เปนสมการของไฮเพอรโบลารปหนงมแกนตามขวางขนานแกน 𝑥

มเสนตรง 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 เปนเสนก ากบ (asymtote) เสนหนง และมจด (1 + 2√5, 3) เปนโฟกสจดหนง แลวคาของ 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐷2 + 𝐸2 เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/40]


ไฮเพอรโบลาแบบเอยง นอกจากน เรายงตองรวา สมการในรป 𝑥𝑦 = ±𝑚 (เมอ 𝑚 เปนตวเลขอะไรกได) กเปนไฮเพอรโบลาดวย

ในเรองความสมพนธและฟงกชน เราไดเหนกราฟของสมการ 𝑥𝑦 = ±𝑚 ไปแลว ดงน

ซงถาสงเกตใหด กราฟเหลานจะเปนไฮเพอรโบลาแบบเอยงๆ

โดยมแกน X กบ แกน Y เปนเสนก ากบ นนเอง โดยไฮเพอรโบลาในรป 𝑥𝑦 = 𝑘 จะเปนไฮเพอรโบลามมฉากเสมอ

นอกจากน เรายงสามารถ “เลอน” ไฮเพอรโบลาไดดวย โดย (𝑥 − ℎ)(𝑦 − 𝑘) = ±𝑚 จะมจดศนยกลางอยท (ℎ, 𝑘)

และมเสนก ากบ คอ 𝑥 = ℎ และ 𝑦 = 𝑘 โดยทกจดบนกราฟ จะม พกด 𝑥 = พกด 𝑥 เดม + ℎ

พกด 𝑦 = พกด 𝑦 เดม + 𝑘

เชน

𝑥𝑦 = −2 𝑥𝑦 = 2 𝑥𝑦 = 5 𝑥𝑦 = −5

(√𝑚, √𝑚)

(−√𝑚, −√𝑚)

𝑥𝑦 = 𝑚 จะมจดยอดอยท (√𝑚, √𝑚)

และ (−√𝑚, −√𝑚)

𝑥𝑦 = −𝑚 จะมจดยอดอยท (−√𝑚, √𝑚)

และ (√𝑚, −√𝑚)

(−√𝑚, √𝑚)

(√𝑚, −√𝑚)

(𝑥 − 2)(𝑦 − 1) = 1

(2, 1)

จดศนยกลาง (2, 1)

จดยอด (3, 2) , (1, 0)

เสนก ากบ 𝑥 = 2 และ 𝑦 = 1

จดศนยกลาง (1, −2)

จดยอด (1 + √2 , −2 + √2)

(1 − √2 , −2 − √2)

เสนก ากบ 𝑥 = 1 และ 𝑦 = −2

(𝑥 − 1)(𝑦 + 2) = 2

(1, −2)

จดศนยกลาง (−1, 0)

จดยอด (−1 − √2 , √2)

(−1 + √2 , −√2)

เสนก ากบ 𝑥 = −1 และ 𝑦 = 0

(𝑥 + 1)(𝑦) = −2

(−1, 0)


แบบผกหด 1. จงวาดกราฟของไฮเพอรโบลาตอไปน พรอมทงบอกจดยอด และ สมการเสนก ากบ

1. 𝑥𝑦 = 4 2. (𝑥 − 1)(𝑦 − 2) = −1

3. (𝑥 + 2)(𝑦 − 1) = 2 4. 𝑦 + 1 = −4

𝑥


รปทวไปของภาคตดกรวย

จากทเรยนมาทงหมด จะเหนวา วงกลม วงร พาราโบลา และไฮเพอรโบลา ตางกมสมการรปทวไปแบบเดยวกน

คอ 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 ซงจะมวธดในเบองตน วาสมการดงกลาว เปนกราฟอะไรดงน 𝐴 = 0 และ 𝐵 = 0 → เสนตรง 𝐴 = 0 หรอ 𝐵 = 0 อยางใดอยางหนง → พาราโบลา

𝐴 = 0 แต 𝐵 ≠ 0 → ตะแคงซาย ขวา

𝐴 ≠ 0 แต 𝐵 = 0 → คว า หงาย 𝐴 = 𝐵 ≠ 0 → วงกลม

𝐴 ≠ 𝐵 แต 𝐴 กบ 𝐵 มเครองหมายเหมอนกน → วงร 𝐴 ≠ 𝐵 และ 𝐴 กบ 𝐵 มเครองหมายตางกน → ไฮเพอรโบลา

เชน 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0 → 𝐴 = 𝐵 = 1 → วงกลม

𝑥2 − 𝑦2 + 2 = 0 → 𝐴 = 1 , 𝐵 = −1 → ไฮเพอรโบลา

−2𝑥2 − 2𝑦2 + 4𝑥 + 8𝑦 + 2 = 0 → 𝐴 = 𝐵 = −2 → วงกลม

−2𝑥2 − 3𝑦2 + 5𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 → 𝐴 = −2 , 𝐵 = −3 → วงร 3𝑥2 − 4𝑥 + 4𝑦 + 2 = 0 → 𝐵 = 0 → พาราโบลาคว าหงาย

−𝑥2 + 2𝑦2 + 2 = 0 → 𝐴 = −1 , 𝐵 = 2 → ไฮเพอรโบลา

2𝑦2 + 2𝑥 − 5 = 0 → 𝐴 = 1 , 𝐵 = 2 → พาราโบลาตะแคง 𝑥2 + 2𝑦2 + 2 = 0 → 𝐴 = 1 , 𝐵 = 2 → วงร

แบบฝกหด 1. จงระบวาสมการตอไปน เปนกราฟอะไร 1. 𝑥2 + 𝑦2 = 1 2. 𝑥2 − 𝑦2 = 1

3. 𝑥2 − 𝑦 = 1 4. 𝑥2 + 𝑦2 = 2

5. 3𝑥2 + 2𝑦2 = 1 6. 3𝑥2 − 2𝑥 + 2𝑦2 = 1

7. 𝑦2 + 2𝑥 − 1 = 0 8. (𝑥 − 2)2 = 2𝑦2 + 1

9. 𝑥2 − 2𝑦 + 2𝑥 + 5 = 0 10. 3𝑥2 − 𝑥 = 3𝑦2 + 2


2. จด P(𝑥, 𝑦) เปนจดทเคลอนทบนระนาบ ซงเคลอนทโดยท าให ผลคณของความชนของเสนตรงทผาน P และ A(−2, 1) กบความชนของเสนตรงทผาน P และ B(4, 5) มคาเทากบ 3 เสมอ จงหาสมการเสนโคงทเกดจากการเคลอนของ P พรอมทงระบวากราฟนเปนกราฟชนดใด

3. ก าหนดให 𝑆 = [−2, 2] และ 𝑟 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆 × 𝑆 | 𝑥2 + 2𝑦2 = 2}

ชวงในขอใดตอไปนไมเปนสบเซตของ D𝑟 − R𝑟 [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-6]

1. (−1.4, −1.3) 2. (−1.3, −1.2) 3. (1.2, 1.4) 4. (1.4, 1.5)

4. ก าหนดให 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥2 + 𝑦2 > 1}

𝐵 = {(𝑥, 𝑦) | 4𝑥2 + 9𝑦2 < 1} 𝐶 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑦2 − 𝑥2 > 1} ขอใดตอไปนผด [A-NET 51/1-10]

1. 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 2. 𝐵 − 𝐶 = 𝐵

3. 𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) = ∅ 4. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = ∅


5. ก าหนดให 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 17}

𝐴 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥2 − 𝑦2 = 1} 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑦2 − 𝑥2 = 1} ถา 𝑝 ∈ 𝑆 ∩ 𝐴 และ 𝑞 ∈ 𝑆 ∩ 𝐵 แลวระยะทางนอยสดทเปนไปไดระหวางจด 𝑝 และ 𝑞 เทากบเทาไร [PAT 1 (ก.ค. 52)/15]

6. ก าหนดให 𝐴 = {𝑎 | เสนตรง 𝑦 = 𝑎𝑥 ไมตดกราฟ 𝑦2 = 1 + 𝑥2}

และ 𝐵 = {𝑏 | เสนตรง 𝑦 = 𝑥 + 𝑏 ตดกราฟ 𝑦2 = 1 − 𝑥2 สองจด}

เซต {𝑑 | 𝑑 = 𝑐2, 𝑐 ∈ 𝐵 − 𝐴} เทากบชวงในขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 52)/14]

1. (0, 1) 2. (0, 2) 3. (1, 2) 4. (0, 4)


วงกลม

1. 1. (2, −1), 2 2. (−2, 0), √2 3. (2, −3), 2√2 4. (0, 1), 2

5. (−1, −1

2 ),

3

2 6. (−

1

2 ,

1

2 ),

1

2

2. (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 3. 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 2

4. 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 8 5. (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 1 , (𝑥 +1

3)

2 + 𝑦2 = 1

6. (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 5

ใหจดสมผส คอจด (2, 𝑘)

เนองจาก รศม จะตงฉากกบเสนสมผส ทจดสมผส ดงนน ความชนรศม × ความชนเสนสมผส = −1

รศม จาก (1, −1) ไปจดสมผส (2, 𝑘) จะมความชน = 𝑘−(−1)

2−1 = 𝑘 + 1 จะไดสมการ

จะไดจดสมผสคอ (2, 1) ดงนน รศมยาว √(2 − 1)2 + (1 − (−1))2

= √5

แทนใน (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 จะไดสมการวงกลม คอ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 5

7. 5.5 8. 1 9. 4 10. 1

11. 2 12. 3 13. 2

พาราโบลา

1. 1. ตะแคงขวา ; V(0, 0) ; F(3, 0) ; 𝑦 = 0 ; 𝑥 = −3 ; 12

2. คว า ; V(1, 0) ; F(1, −1) ; 𝑥 = 1 ; 𝑦 = 1 ; 4

3. ตะแคงซาย ; V(−1, −2) ; F(−3, −2) ; 𝑦 = −2 ; 𝑥 = 1 ; 8

2. 1. คว า ; V(−2, 1) ; F(−2, −1) ; 𝑥 = −2 ; 𝑦 = 3 ; 8

2. ตะแคงขวา ; V(1, 1) ; F( 9

8, 1) ; 𝑦 = 1 ; 𝑥 =

7

8 ;

1

2

3. หงาย ; V(0, 1) ; F(0, 5

4) ; 𝑥 = 0 ; 𝑦 =

3

4 ; 1

3. (𝑦 + 2)2 = 8(𝑥 − 1) 4. 𝑥2 = −4(𝑦 − 1)

5. (𝑦 + 1)2 = −12(𝑥 + 1) 6. (𝑥 − 2)2 = 4(𝑦 − 3)

7. - 8. 2√5 9. 6 10. 8

11. 8 12. 4 13. 18 14. 5

15. (1, 6) 16. 5

4 17. 1, 2

วงร

1. 1. แนวนอน ; C(0, 0) ; V(±3, 0) ; F(±√5, 0) ; 6 ; 4 ; 8

3 ;

√5

3

2. แนวตง ; C(0, 0) ; V(0, ±5) ; F(0, ±4) ; 10 ; 6 ; 18

5 ; 4

5

(𝑘 + 1) × −1

2 = −1

𝑘 + 1 = 2 𝑘 = 1


3. แนวตง ; C(1, −2) ; V(1, −2 ± √5) ; F(1, −2 ± 2) ; 2√5 ; 2 ; 2√5

5 ;

2√5

5

4. แนวนอน ; C(2, 0) ; V(2 ± 2, 0) ; F(2 ± √2, 0) ; 4 ; 2√2 ; 2 ; √2

2

2. 1. แนวนอน ; C(−2, 3) ; V(−2 ± 5, 3) ; F(−2 ± 4, 3) ; 10 ; 6 ; 18

5 ;

4

5

2. แนวตง ; C(0, 1) ; V(0, 1 ± 3) ; F(0, 1 ± √5) ; 6 ; 4 ; 8

3 ;

√5

3

3. แนวตง ; C(0, 0) ; V(0, ±2√2) ; F(0, ±√6) ; 4√2 ; 2√2 ; √2 ; √3

2

3. (𝑥−2)2

22 +(𝑦+1)2

32 = 1 4. 3𝑥2

4+

𝑦2

4 = 1

5. 𝑥2

16+

(𝑦−1)2

7 = 1 6. 3

5 7. 1

8. 3 9. 4 10. 4𝑥2 + 5𝑦2 − 8𝑥 + 20𝑦 + 4 = 0

11. 4 12. 1 13. 4 14. 2

15. 48

5 16. 4 17. 162

ไฮเพอรโบลา

1. 1. แนวนอน ; C(0, 0) ; V(±2, 0) ; F(±√13, 0) ; 4 ; 6 ; 9 ; 𝑥

2 = ±

𝑦

3

2. แนวตง ; C(1, −2) ; V(1, −2 ± 2) ; F(1, −2 ± 3) ; 4 ; 2√5 ; 5 ; 𝑦+2

2 = ±

𝑥−1

√5

3. แนวตง ; C(0, 0) ; V(0, ± 1) ; F(0, ±√2) ; 2 ; 2 ; 2 ; 𝑦 = ±𝑥

2. 1. แนวนอน ; C(0, 1) ; V(±√2, 1) ; F(±2, 1) ; 2√2 ; 2√2 ; 2√2 ; 𝑥 = ±(𝑦 − 1)

2. แนวนอน ; C(2, −1) ; V(2 ± 1, −1) ; F(2 ± √5, −1) ; 2 ; 4 ; 8 ; 𝑥 − 2 = ±𝑦+1

2

3. แนวตง ; C(−1, −2) ; V(−1, −2 ± 3) ; F(−1, −2 ± 5) ; 6 ; 8 ; 32

3 ;

𝑦+2

3 = ±

𝑥+1

4

3. 𝑥2

22 −𝑦2

32 = 1 4. (𝑦−2)2

32 −(𝑥−1)2

42 = 1

5. (𝑦+1)2

4−

(𝑥−1)2

3 = 1

6. 𝑦2

82 −𝑥2

22 = 1

จากแนวจดศนยกลาง กบ จดโฟกส จะไดวาเปนวงรแนวตง ม 𝑐 = 2√15

ตดเเกน 𝑥 ทจด (−2, 0) → 𝑏 = 2 → 𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2 = 8

ไฮเพอรโบลา จะม 𝑎, 𝑏 เทาวงร → ตอบ 𝑦2

82 −𝑥2

22 = 1

7. 2√5 8. 1 9. 25𝜋

4 10. 1, 2

11. 4 12. 4 13. 1

14. 9𝑥2 + 6𝑥 + 12𝑦 + 5 = 0 15. 3 16. 3

17. 4𝑥2 − 9𝑦2 − 24𝑥 + 36𝑦 + 144 = 0 18. 3 19. 40

20. 117


ไฮเพอรโบลาแบบเอยง

1. 1. 2.

3. 4.

รปทวไปของภาคตดกรวย

1. 1. วงกลม 2. ไฮเพอรโบลา 3. พาราโบลาคว าหงาย 4. วงกลม 5. วงร 6. วงร 7. พาราโบลาตะแคง 8. ไฮเพอรโบลา

9. พาราโบลาคว าหงาย 10. ไฮเพอรโบลา

2. 𝑦−1

𝑥+2∙

𝑦−5

𝑥−4 = 3; ไฮเพอรโบลาแนวนอน 3. 4 4. 4

5. 3√2 − 4 6. 3

เครดต

ขอบคณ คณ Wasitthirawat Krailoet

และ คณ Sirichai Wiriyajaree

และ คณ Wabut Thongbor ทชวยตรวจสอบความถกตองของเอกสารครบ

จดศนยกลาง (0, 0)

จดยอด (2, 2) , (−2, −2)


(1, 2) จดศนยกลาง (1, 2)

จดยอด (0, 3) , (2, 1)


(−2, 1) จดศนยกลาง (−2, 1)

จดยอด (−2 + √2 , 1 + √2)

(−2 − √2 , 1 − √2)

เสนก ากบ 𝑥 = −2 และ 𝑦 = 1

(0, −1)

จดศนยกลาง (0, −1)

จดยอด (−2, 1) , (2, −3)

เสนก ากบ 𝑥 = 0 และ 𝑦 = −1

Documents

sombat.bizsombat.biz/download/Conic.pdf · ภาคตัดกรวย 1 ทบทวนเรขาคณิตวิเคราะห์ ระยะทางระหว่างจุด