รู้� �จั�กเรู้�อง ภาคตั�ดกรู้วย “ ”

หรู้�อเปล่�าครู้�บ ?ผมก�ไม�รู้� �จั�กเหม�อนก�น

เรู้าจัะทำ!าย�งไงก�น ใครู้ก�ได�ช่�วยผม

หน�อยโอ�โห นางฟ้&าสวยจั�ง ช่�วยผมหน�อยนะ

ครู้�บ

จัะให�ช่�วยเรู้�องภาคตั�ดกรู้วยเหรู้อ

ค�ะ ?

ครู้�บ

ได�ค�ะ ตัามมาด�ก�นเล่ยค�ะทำ(กคน

ภาคตั�ดกรู้วย1. ความเป็�นมาของ

ภาคตั�ดกรวย

2. ชน�ดของภาคตั�ดกรวย

2.3ภาคตั�ดกรวยก�บเรขาคณิ�ตัว�เคราะห์�

(พาราโบลา)

2.2ภาคตั�ดกรวยก�บเรขาคณิ�ตัว�เคราะห์�

(วงร�)

2.1 ภาคตั�ดกรวยก�บเรขาคณิ�ตัว�เคราะห์�

(วงกลม)

2.4ภาคตั�ดกรวยก�บเรขาคณิ�ตัว�เคราะห์�

(ไฮเป็อร�โบลา)

อยากรู้� �เรู้�องไหน คล่)กได�เล่ยค�ะ

ภาคตั�ดกรวย (conic section ห์ร!อ conic) ในทางคณิ�ตัศาสตัร�

ห์มายถึ'ง เส�นโค�งทำ*ได�จัากการู้ตั�ดพื้�,นผ)วกรู้วยกล่ม ด�วยรู้ะนาบแบน ภาคตั�ดกรู้วยน*,ถู�กตั�,งเป/นห�วข้�อศึ2กษาตั�,งแตั�สม�ย 200 ป4ก�อนครู้)สตั5ศึ�กรู้าช่โดย อพื้อล่โล่เน*ยส แห�ง เพื้อรู้5กา ผ��ซึ่2งศึ2กษาภาคตั�ดกรู้วยแล่ะค�นพื้บสมบ�ตั)หล่ายปรู้ะการู้ข้องภาคตั�ดกรู้วย ตั�อมากรู้ณี*การู้ศึ2กษาภาคตั�ดกรู้วยถู�กน!าไปใช่�ปรู้ะโยช่น5หล่ายแบบ ได�แก� ในป4 พื้.ศึ. 2133 (ค.ศึ. 1590) กาล่)เล่โอ กาล่)เล่อ* พื้บว�าข้*ปนาว(ธทำ*ย)งข้2,นไปในม(มทำ*ก!าหนดม*ว)ถู*การู้เคล่�อนทำ*โค�งแบบพื้ารู้าโบ ล่า, ใน พื้.ศึ. 2152 (ค.ศึ. 1609) โยฮั�นส5 เคปเล่อรู้5 พื้บว�าวงโคจัรู้ข้องดาวเครู้าะห5รู้อบนอกเป/นรู้�ปวงรู้* เป/นตั�น

ชน�ดของภาคตั�ดกรวย

วงกล่ม แล่ะ วงรู้* ค�อ เส�นโค�งซึ่2งได�จัากการู้ตั�ดกรู้วย ด�วยรู้ะนาบ ให�ได�เส�นโค�งป:ด (เป/นวง) วงกล่มน�,นถู�อเป/นกรู้ณี*พื้)เศึษข้องวงรู้* โดยแนวข้องรู้ะนาบในการู้ตั�ดน�,น ตั�,งฉากก�บแกนกล่างข้องกรู้วย หากรู้ะนาบตั�ดกรู้วยในแนวข้นานก�บเส�นข้อบข้องกรู้วย หรู้�อเรู้*ยก เส�นก!าเน)ดกรู้วย (generator line) จัะได�เส�นโค�งเรู้*ยกว�า พื้ารู้าโบล่า หากรู้ะนาบไม�อย��ในแนวข้นานเส�นข้อบ แล่ะตั�ดกรู้วยได�เส�นโค�งเป:ดไม�เป/นวง จัะเรู้*ยกเส�นโค�งน*,ว�า ไฮัเพื้อรู้5โบล่า จัะเห�นได�ว�าในกรู้ณี*น*,รู้ะนาบจัะตั�ดกรู้วยทำ�,งครู้2งบน แล่ะครู้2งล่�าง ได�เป/นเส�นโค�งทำ*ข้าดจัากก�นสองเส�น ในกรู้ณี*ทำ*เรู้*ยกว�าในภาษา

อ�งกฤษว�า ด*เจันเนอเรู้ตั รู้ะนาบจัะตั�ดผ�านจั(ดยอดข้องกรู้วย แล่ะได�ผล่ข้องการู้ตั�ดเป/น จั(ด เส�นตัรู้ง หรู้�อ เส�นตัรู้งสองเส�นตั�ดก�น กรู้ณี*เหล่�าน*,ไม�ได�ถู�กรู้วมไว�ในภาคตั�ดกรู้วย

วงกล่มในทำางคณี)ตัศึาสตัรู้5 ถู�อว�าวงกล่มเป/นเส�นโค�งทำ*

สมบ�รู้ณี5 เครู้�องใช่�ตั�างๆ ข้องเรู้าม�กม*ล่�กษณีะเป/นวงกล่ม เช่�น ข้�นตั�กน!,า หน�าป>ดนาฬิ)กา จัานข้�าว ถูาด กรู้ะโถูน เง)นเหรู้*ยญ แก�วน!,า ทำ�านล่องตัรู้วจัด�ข้องใช่�รู้อบ ๆ กาย แล่ะทำ�ว ๆ ไป จัะเห�นว�าการู้ใช่�ข้องทำ*ม*ล่�กษณีะเป/นวงกล่มน�,นให�ความสะดวก มากทำ*ส(ด ล่องน2กด�ว�าถู�าล่�อเกว*ยน ล่�อจั�กรู้ยานยนตั5 ล่�อรู้ถูยนตั5 ไม�ม*ล่�กษณีะ เป/นวงกล่มแล่�ว การู้เคล่�อนทำ*จัะล่!าบากส�กเพื้*ยงใด วงกล่ม : รู้ะยะ(P,C) = r โดยทำ* Cค�อจั(ดตัายตั�วเรู้*ยกว�า จั(ดศึ�นย5กล่าง แล่ะ r ค�อค�าคงทำ* เรู้*ยกว�า รู้�ศึม*

1.ถู�าวงกล่มม*จั(ดศึ�นย5กล่างอย��ทำ*จั(ดก!าเน)ด แล่ะรู้�ศึม*เทำ�าก�บ r สมการู้วงกล่มค�อ x2 + y2 = r2

2.ถู�าวงกล่มม*จั(ดศึ�นย5กล่างอย��ทำ*จั(ด(h,k) แล่ะรู้�ศึม*เทำ�าก�บ r สมการู้วงกล่มค�อ (x-h)2 + (y-k)2 = r2

สมการู้วงกล่มในรู้�ปทำ�วไป ค�อ x2 + y2 +Ax + By + C = 0

วงรู้*ยามค!าค�นถู�าได�ม*โอกาสส�งเกตับนฟ้ากฟ้&าจัะพื้บเห�นดาวทำ*ส(กสว�างม*แสงเจั)ดจั�า

ซึ่2งได�แก�ดาวเครู้าะห5 แล่ะหากส�งเกตัตั�อเน�องไปหล่าย ๆ ว�น แล่ะอาจัถู2งหล่ายเด�อนจัะพื้บเห�นการู้เคล่�อนทำ*ผ�านกล่(�มดาวฤกษ5 ในทำางดารู้าศึาสตัรู้5 พื้บว�าทำางเด)นข้องโล่กแล่ะดาวเครู้าะห5ตั�าง ๆ ทำ*เด)นรู้อบดวงอาทำ)ตัย5ตั�างก�ล่�วนม*เส�นทำางเป/นรู้�ปวงรู้* โดยม*ดวงอาทำ)ตัย5อย��ทำ*จั(ดโฟ้ก�สข้องวงรู้*แตั�ล่ะวง ดวงจั�นทำรู้5ซึ่2งเป/นดาวบรู้)วารู้ข้องดาวเครู้าะห5ก�เด)น ทำางรู้อบดาวเครู้าะห5เป/นวงรู้* แม�ดาวเทำ*ยมทำ*มน(ษย5ปรู้ะด)ษฐ์5ข้2,นก�หม(นรู้อบโล่ก เป/นวงรู้*

กฎข้�อทำ* 1 ข้องเคปเล่อรู้5 : ดาวเครู้าะห5โคจัรู้รู้อบดวงอาทำ)ตัย5เป/นวงรู้* โดยม*ดวงอาทำ)ตัย5อย��ทำ*โฟ้ก�สจั(ดหน2ง

น�กว)ทำยาศึาสตัรู้5 ย�งได�พื้บว�าแม�แตั�ในปรู้มาณี�ข้องธาตั(ตั�าง ๆ เช่�น อ)เล่�กตัรู้อนก�เด)นทำางเป/นวงรู้*รู้อบน)วเคล่*ยสข้องปรู้มาณี�น�,น ๆ เรู้าอาจัน!าเส�นโค�งแบบวงรู้*ไปออกแบบเป/นเครู้�องใช่�ก�ได� เช่�น จัานเปล่ ถู�งเปล่ เป/นตั�น เรู้าจัะส�งเกตัว�ารู้ถูบรู้รู้ทำ(กน!,าม�นม�กจัะม*ตั�วถู�ง เป/นรู้�ปทำรู้งกรู้ะบอกซึ่2งม*หน�าตั�ดเป/นรู้�ปวงรู้* สนามก*ฬาทำ*ม*ล่��แข้�งข้�นก�นก�ม*ล่�กษณีะ เก�อบเป/นวงรู้*

อ)เล่�กตัรู้อน

ข้�อควรู้จั!า วงรู้* ค�อ เซึ่ตัข้องจั(ดซึ่2งผล่บวกข้องรู้ะยะทำางจัากจั(ดในเซึ่ตัไปย�งจั(ดคงทำ* 2 จั(ดม*ค�าคงตั�วเสมอสมการู้วงรู้*ทำ*ม*จั(ดศึ�นย5กล่างอย��ทำ*จั(ดก!าเน)ดกรู้ณี*โฟ้ก�สอย��บนแกน x

กรู้ณี*โฟ้ก�สอย��บนแกน y

12

2

2

2

b

y

a

x

12

2

2

2

b

x

a

y

สมการู้ วงรู้*ซึ่2งม*จั(ดยอดอย��ทำ*จั(ด (h,k)หล่�กพื้)จัารู้ณีาเช่�นเด*ยวก�บวงกล่ม ค�อ แทำน x ด�วย x-h แทำน y ด�วย y-k

ความส�มพื้�นธ5 a2 = b2 + c2

x

y

F

วงรู้* : รู้ะยะ(P,A) + รู้ะยะ(P,B) = d โดยทำ* A, B เป/นจั(ดตัายตั�วสองจั(ดทำ*แตักตั�างก�น เรู้*ยกว�า จั(ดโฟ้ก�ส แล่ะ d เป/นค�าคงทำ* ทำ*ม*ค�ามากกว�า รู้ะยะ(A,B) เรู้*ยกว�า เส�นผ�านศึ�นย5กล่างหล่�ก

F ’(-a,0)

(-c,0)

(a,0)(c,0

)

(0,0)

พื้ารู้าโบล่าเทำคโนโล่ย*การู้ส�อสารู้ดาวเทำ*ยมปรู้ะกอบด�วยจัานรู้�บส�ญญาณี ตั�วจัานรู้�บ

ส�ญญาณีม*ผ)วโค�ง เพื้�อรู้�บส�ญญาณีทำ*ส�งตัรู้งมาจัากดาวเทำ*ยม แล่ะสะทำ�อนรู้วมก�นทำ*จั(ดรู้�บส�ญญาณี เพื้�อให�ม*ส�ญญาณีทำ*แรู้งข้2,น น!,าพื้(ทำ*มน(ษย5ปรู้ะด)ษฐ์5ข้2,น เป/นเส�นโค�งพื้ารู้าโบล่า หรู้�อเม�อเรู้าใช่�ไฟ้ฉายส�องเด)นทำาง ส�งเกตัว�าม*กรู้ะจักสะทำ�อนแสงเพื้�อรู้วมล่!าแสงให�พื้( �งเป/นล่!าตัรู้ง โดยหล่�กการู้ตัามกฎการู้สะทำ�อนข้องแสง ม(มตักกรู้ะทำบย�อมเทำ�าก�บม(มสะทำ�อน จั(ดทำ*รู้วมก�นบนผ)วรู้ะนาบโค�งน*,เรู้*ยกว�าจั(ดโฟ้ก�ส ผ)วโค�งทำ*ทำ!าให�ม(มตักกรู้ะทำบแล่ะสะทำ�อนมารู้วมก�นทำ*จั(ดโฟ้ก�ส เรู้*ยกว�า ผ)วโค�งพื้ารู้าโบล่า พื้ารู้าโบล่า : รู้ะยะ(P,F) = รู้ะยะ(P,L) โดยทำ* F ค�อจั(ดตัายตั�ว เรู้*ยกว�า

จั(ดโฟ้ก�ส แล่ะ L ค�อ เส�นตัรู้ง ก!าหนดตัายตั�ว แล่ะไม�ผ�านจั(ดโฟ้ก�ส เรู้*ยกว�า ไดเรู้กทำรู้)กซึ่5

จั(ดคงทำ*เรู้*ยกว�าจั(ด โฟ้ก�สเส�นคงทำ*เรู้*ยกว�า ไดเรู้กทำรู้)กซึ่5เส�นทำ*ล่ากผ�านโฟ้ก�สแล่ะตั�,งฉากก�บไดเรู้กทำรู้)กซึ่5 เรู้*ยกว�า

แกนข้องพื้ารู้าโบล่าจั(ดทำ*เก)ดจัากพื้ารู้าโบล่าตั�ดก�บแกนข้องพื้ารู้าโบล่า เรู้*ยก

ว�า จั(ดยอดสมการู้ y2 = 4cx

ไดเรู้กทำรู้)กซึ่5

o

F(c,0)

x = -c

สมการู้ y2 = -4cx ไดเรู้กทำรู้)กซึ่5

o

F(-c,0)

x = c

สมการู้ x2 = 4cy

F(0,c) o y =

-c ไดเรู้กทำรู้)กซึ่5

สมการู้ x2 = -4cy ไดเรู้กทำรู้)กซึ่5

o

y = c

F(0,-c)

สมการู้ พื้ารู้าโบล่าซึ่2งม*จั(ดยอดอย��ทำ*จั(ด (h,k)หล่�กพื้)จัารู้ณีาเช่�นเด*ยวก�บวงกล่ม ค�อ แทำน x ด�วย x-hแทำน y ด�วย y-k

ไฮัเปอรู้5โบล่าภาคตั�ดกรู้วยน�,นได�ม*ความส!าค�ญตั�อดารู้าศึาสตัรู้5 โดย วงโคจัรู้ข้องว�ตัถู(สองช่),นซึ่2ง

ม*แรู้งด2งด�ดกรู้ะทำ!าตั�อก�น ตัามกฏข้องน)วตั�น น�,นจัะม*รู้�ปรู้�างเป/นภาคตั�ดกรู้วย หากจั(ดศึ�นย5กล่างมวล่ (center of mass) รู้�วมข้องทำ�,งสองว�ตัถู(น�,นอย��น)ง หากทำ�,งสองน�,นถู�กด2งด�ดอย��ด�วยก�น ทำางเด)นข้องทำ�,งสองน�,นจัะเป/นรู้�ปวงรู้* หากว�ตัถู(ทำ�,งสองว)งออกจัากก�น ทำางเด)นจัะเป/นรู้�ปพื้ารู้าโบล่า หรู้�อ ไฮัเปอรู้5โบล่า ล่�กษณีะทำ*

พื้บ

FlashlightHyperbola1

Flashlight Parabola

ผลตั)างของระยะทางจากจ+ดบนไฮเป็อร�โบลาไป็ย�งจ+ดคงท�,สองจ+ดม�ค)าเท)าก�บ 2a

ไฮัเพื้อรู้5โบล่า : รู้ะยะ(P,A) - รู้ะยะ(P,B) = d โดยทำ* A, B เป/นจั(ดตัายตั�วสองจั(ดทำ*แตักตั�างก�น เรู้*ยกว�า จั(ดโฟ้ก�ส แล่ะ d เป/นค�าคงทำ* ทำ*ม*ค�าน�อยกว�า รู้ะยะ(A,B)

x

y

(-c,0)

(c,0)

(a,0)

(-a,0)

B/(0,-b)

v/

v F/

F o

ความส�มพื้�นธ5 c2 = a2 + b2

สมการู้ ไฮัเปอรู้5โบล่าซึ่2งม*จั(ดยอดอย��ทำ*จั(ด (h,k)หล่�กพื้)จัารู้ณีาเช่�นเด*ยวก�บวงกล่ม ค�อ แทำน x ด�วย x-h

แทำน y ด�วย y-k

อFอ ! เรู้�อง ภาคตั�ดกรู้วย“

ม�นเป/นอย�างน*,น*เอง

เข้�าใจัแล่�วใช่�ไหมค�ะทำ(กคน

ง�,นพื้*นางฟ้&าไปแล่�วนะค�ะ ถู�าม*อะไรู้สงส�ยถูามค(ณี

ครู้�อรู้ญาได�ค�ะ

ค(ณีครู้�อรู้ญาคนไหนหรู้อครู้�บ น2กไม�ออก

ง�,นไปด�ก�นเล่ยค�ะ

คนน*,ไงค�ะ

ว�าว ค(ณีครู้�อรู้ญาสวยจั�งเล่ยครู้�บ ง�,นนางฟ้&าไปแล่�วนะค�ะ

บGายบายค�ะ

ล่าก�อนนะครู้�บ Bye ^^

จ�ดท-าโดย

นางสาว กนกวรู้รู้ณี ธรู้รู้มช่าตั) เล่ข้ทำ* 1

นางสาว กมล่วรู้รู้ณี อ)นทำรู้�กษ5 เล่ข้ทำ* 2

นางสาว ข้ว�ญช่นก สฤษด)ส(ข้ เล่ข้ทำ* 3

นางสาว ก)ตัตั)มา ทำรู้�พื้ย5เจัรู้)ญ เล่ข้ทำ* 23

นางสาว ช่ไมพื้รู้ ศึรู้* เม�อง

เล่ข้ทำ* 25 นาย ส(ทำธ)พื้�นธ(5 พื้วง

แก�ว เล่ข้ทำ* 36

นางสาว ปารู้)ฉ�ตัรู้ ข้ม�กการู้ เล่ข้ทำ* 40

นาย บ(ญช่�ย ทำองมา เล่ข้ทำ* 18