เรองท 2

คณตศาสตรในชวตประจ าวน2.1 ระบบเลขฐาน2.2 เกรเดยนทและอตราการแปลงรป2.3 เสนชนความสง2.4 เสนชนความดน

2.1 ระบบเลขฐาน คอการวางตวเลขในต าแหนงทมความหมายตามตองการ

ระบบเลขฐานสบ (Decimal number system)

ระบบเลขฐานสบใชสญลกษณตวเลข 10 ตวไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ต าแหนงของเลขโดดในฐานสบใชแสดงคาของตวเลขนนทต าแหนงของเลขฐานยกก าลงของต าแหนง

เชน 623 = 600 + 20 + 3= (6 x 100) + (2 x 10) + (3 x 1)= (6 x 102) + (2 x 101) + (3 x 100)

ดงนนต าแหนงและคาของแตละหลกต าแหนง (i) 3 2 1 0 . -1 -2 -3

คาของหลก (Ri) 103 102 101 100 . 10-1 10-2 10-3

เชน 78.25 = (7 x 101) + (8 x 100) + (2 x 10-1) + (5 x 10-2)

= 70 + 8 + 0.2 + 0.05

ระบบเลขฐานสอง (Binary number system)ระบบเลขฐานสองใชสญลกษณ 2 ตว ไดแก 0 และ 1

ต าแหนงของเลขโดดในฐานสองใชแสดงคาของตวเลขนนทต าแหนงของเลขฐานยกก าลงของต าแหนง

เชน (1101)2

= (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)= 8 + 4 + 0 + 1= 13

ดงนนต าแหนงและคาของแตละหลกของเลขฐานสองต าแหนง (i) 3 2 1 0 . -1 -2 -3คาของหลก (Ri) 23 22 21 20 . 2-1 2-2 2-3

เชน (101.11)2มคาเทากบ (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) + (1 x 2-1) + (1 x 2-2)

= 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0.25 = 5.75

ระบบเลขฐานแปด (Octal number system)• ระบบเลขฐานแปดใชสญลกษณ 8 ตว ไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6และ 7• ต าแหนงของเลขโดดในฐานแปดใชแสดงคาของตวเลขนนทต าแหนงของเลขฐานยกก าลงของต าแหนง

เชน (142)8 = (1 x 82) + (4 x 81) + (2 x 80)

= 64 + 32 + 2= 98

ดงนนต าแหนงและคาของแตละหลกต าแหนง (i) 3 2 1 0 . -1 -2 -3คาของหลก (Ri) 83 82 81 80 . 8-1 8-2 8-3

512 64 8 1 8

1

64

1

512

1

เชน (13.23)8= (1 x 81) + (3 x 80) + (2 x 8-1) + (3 x 8-2) = 8 + 3 + 0.25 + 0.046875= 11.296875

ระบบเลขฐานสบหก (Hexadecimal number system)

• ระบบเลขฐานสบหกใชสญลกษณ 16 ตวไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E และ F •ต าแหนงของเลขโดดในฐานสบหกใชแสดงคาของตวเลขนนทต าแหนงของเลขฐานยกก าลงของต าแหนง• โดยคา A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 และ F =

15

เชน (3B)16 = (3 x 161) + (B x 160)= (3 x 16) + (11 x 1)= 48 + 11 = 59

ดงนนต าแหนงและคาของหลกต าแหนง (i) 3 2 1 0 . -1 -2 -3คาของหลก (Ri) 163 162 161 160 . 16-1 16-2 16-3

4096 256 16 1 .16

1

256

1

4096

1

การแปลงเลขฐาน• การแปลงเลขฐาน คอการเปลยนแปลงตวเลขจากฐานเลขใดๆ ซงมคาเฉพาะในฐานเลขเปนตวเลขในฐานเลขหนงทตองการ • โดยการคณหรอหารตวเลขทตองการเปลยนแปลงดวยเลขฐานใหม •ตองพจารณาตวเลขหนาจดทศนยมและตวเลขหลงจดทศนยม

เชน การแปลงเลขฐานสอง (11001.01)2ใหเปนเลขฐานสบเนองจากเลขฐานเดมนอยกวาเลขฐานทตองการเปลยนจงใชฐานเลขแตละต าแหนงยกก าลงดงน

(11001.01)2(1 x 24) + (1 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) + (0 x 2-1) + (1 x 2-2)

= 16 + 8 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0.25= 25.25

การแปลงเลขฐาน 2 เปนฐาน 10

ตวอยาง จงแปลง (47.23)8 ใหเปนเลขฐานสบ(47.23)8= (4 x 81) + (7 x 80) + (2 x 8-1) + (3 x 8-2)= 32 + 7 + 0.25 + 0.046875= 39.296875

การแปลงเลขฐาน 8 เปนฐาน 10

การแปลงเลขฐานสบหก (BE.3)16 ใหเปนเลขฐานสบ ท าไดดงน

(BE.3)16 = (Bx161) + (Ex160) + (3x16 -1)= (11x16) + (14x1) + (3x0.0625)= 176 + 14 + 0.1875= 190.1875

การแปลงเลขฐาน 16 เปนฐาน 10

โดยการพจารณา แยกเปน 2 สวน ไดแกสวนตวเลขหนาจดทศนยม และสวนตวเลขหลงจดทศนยม

การแปลงเลขฐาน10 เปนเลขฐานอน

• ตวเลขหนาจดทศนยม• จะใชเลขฐานเดมหารตวเลขทตองการแปลงเลขฐานแลวน าเศษทไดจากการหารมาเรยงเปนตวเลขในเลขฐานใหม

• การแปลงเลขฐานสบเปนฐานสอง

การแปลงเลขฐาน10 เปนเลขฐานอน (ตอ)

(29)10 มคาเทากบเทาไรในระบบเลขฐานสอง

2 หาร 29 ได 14 เศษ 12 หาร 14 ได 7 เศษ 02 หาร 7 ได 3 เศษ 12 หาร 3 ได 1 เศษ 12 หาร 1 ไมได ยก 1

ตวอยาง

ค าตอบคอ (29)10 = (11101)2

• ตวเลขหลงจดทศนยม• การเปลยนเลขหลงทศนยมฐานสบ ใหเปนฐานสอง จะใชวธการน าคาเลขหลงทศนยมตง แลวคณดวยสอง

• เลขกอนทศนยม จะเปนคาหลกแรกของคาเลขฐานสอง• จากนนน าผลลพธหลงจดทศนยมทไดเปนตวตงในการคณครงตอไป จนกวาคาผลลพธสวนทเปน เลขหลงทศนยมเทากบ .00

การแปลงเลขฐาน10 เปนเลขฐานอน(ตอ)

ตวอยาง (0.65625)10 มคาเทากบเทาไรในระบบเลขฐานสอง

2 คณ 0.65625 ได 1.31250 12 คณ 0.3125 ได 0.6250 02 คณ 0.625 ได 1.250 12 คณ 0.25 ได 0.50 02 คณ 0.5 ได 1

ตวอยาง

ค าตอบคอ (0.65625)10 = (0.10101)2

เชน การแปลงเลขฐานสบ (28.125)10 ใหเปนเลขฐานสองสวนตวเลขหนาจดทศนยม สวนตวเลขหลงจดทศนยม

2 28 = 14 เศษ 0 0.1252 14 = 7 เศษ 0 ตวทด 22 7 = 3 เศษ 1 0 .2502 3 = 1 เศษ 1 22 1 = 0 เศษ 1 0 .500

21.000

ตวอยาง

จากโจทยตอบ (11100.001)2

การแปลงเลขฐานสบ (28.125)10 ใหเปนเลขฐานแปด ท าไดดงนสวนตวเลขหนาจดทศนยม สวนตวเลขหลงจดทศนยม

8 หาร 28 ได 3 เศษ 4 0.1250 เศษ 3 ตวทด 8

1 .000ดงนน (28.125)10 = (34.1)8

ตวอยาง

สวนตวเลขหนาจดทศนยม16 หาร 27 ได 1 เศษ 11 = B16 หาร 1 เศษ 1(27)10 = (1B)16

สวนตวเลขหลงจดทศนยม16 คณ 0.125 ได 2.00

การแปลงเลขฐานสบ (27.125)10 ใหเปนเลขฐานสบหก ท าไดดงน

ดงนน (27.125)10 = (1B.2)16

การแปลงเลขฐานสบฐานสบหก

การแปลงเลขฐานสองเปนเลขฐานแปด และฐานสบหก จะท าการแปลงเปนเลขฐานสบกอน แลวจงท าการแปลงจากเลขฐานสบไปเปนเลขฐานทตองการ เชน การแปลงเลขฐานสอง (110111101.1)2 ใหเปนฐานแปด และฐานสบหก ท าไดดงน

การแปลงเลขฐานสองฐานแปดฐานสบหก

ขนตอนแรก แปลง (110111101.1)2 ใหเปนฐานสบ(110111101.1)2= (1x28) + (1x27) + (0x26) + (1x25) + (1x24)+(1x23) +

(1x22) + (0x21) + (1x20) + (1x2-1)= 256 + 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5= 445.5

การแปลงเลขฐานสองฐานแปดฐานสบหก

ขนตอนท 2 แปลง 445.5 ใหเปนฐานแปด8 445 0.58 55 เศษ 5 ตวทด 8

6 เศษ 7 4 .00 เศษ 6

ดงนน (110111101.1)2 = (445.5)10 = (675.4)8

ขนตอนท 3 แปลง 445.5 ใหเปนฐานสบหก16 445 0.516 27 เศษ 13 = D ตวทด 1616 1 เศษ 11 = B 8 .0

0 เศษ 1ดงนน (110111101.1)2 = 445.5 = (1BD.8)16

•การประยกตความรในเรองระบบเลขฐาน ในชวตประจ าวน •ไดแก การใชเลขฐานสอง แทนสถานะเปด-ปดไฟฟาซงเปนหลกการพนฐานทางคอมพวเตอร •การใชเลขฐานสบหกในการแบงหนวยเวลา และการแบงมมเปนองศา ลปดา และฟลปดา ตามล าดบ การก าหนด มาตรในการ วด ชง และตวง ฯลฯ

การประยกต

โจทย

นกเคมทานหนงตองการเกบสตรลบทางเคมทเพงคนพบมาไดไวในททปลอดภยทสด จงไดคดท าหองลบขนในบาน ซงเขากไดตดสนใจทจะท าทางเขาหองลบไวภายในหองท างานของบดาเขาทเปนทนตแพทย และไดเสยชวตไปแลว โดยเลอกทจะใชแบบจ าลองรปฟนเปนกลไกในการเขาสหองลบซงไดก าหนดใหผทจะเขาหองลบไดจะตองเลอกกดปม 3 ปมบนฟน 3 ซจาก 32 ซ ใหถกตองโดยรหสลบทจะเขาสหองนไดคอ 2399 ถามวาจากรหสลบนจะตองกดปมบนฟนซใดบาง ตามล าดบ เพอทจะสามารถเขาไปภายในหองลบดงกลาวได

ตวอยางการบานเรองเลขฐาน

เหตทน าเรองระบบเลขฐานมาน าเสนอในการถอดรหสในโจทยขอนเพราะระบบเลขฐานนนสามารถทจะน ามาแปลงเปนเลขฐานตางๆ ไดซงในโจทยขอนตองท าการแปลงรหสจากเลขฐานสบทใหไวมาเปนเลขฐานสามสบสอง (เทากบจ านวนฟน 32 ซ) เพอทจะไดสามารถเลอกต าแหนงของฟนซทจะชวยเปดประตเขาสหองลบไดอยางถกตอง

ภาพแสดงต าแหนงของฟนซตางๆ

แนวคดและหลกการ

การน าเสนอโจทยขอนเพอตองการใหนสตสามารถเขาใจเรองระบบเลขฐาน ซงก าหนดโดยสญลกษณของตวเลขและต าแหนงของสญลกษณหรอตวเลข

เชน สญลกษณของเลขฐาน 10 ระบบเลขฐานสบใชสญลกษณ 10 ตว ไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ต าแหนงของเลขฐานในฐานสบใชแสดงคาของจ านวนทอาน