บทท 5 งาน พลงงาน และก าลง

ปจจบนพลงงานเปนสงทจ าเปนมากในกจกรรมของมนษย เนองจากมนษยตองใชพลงงานในดาน

ตางๆ มากมาย เชน ใชผลตไฟฟา การคมนาคม การกอสราง เปนตน เมอความตองการพลงงานเพมมากขน แตแหลงของพลงงานตามธรรมชาตกลบมปรมาณจ ากด และยงลดนอยลงอยางตอเนอง ดงนนการศกษาเกยวกบพลงงานจงมความส าคญ เพอใหผศกษาเขาใจ และสามารถน าไปประยกตใชในชวตประจ าวนได โดยในบทนจะแนะน าใหรจกแนวคดของงานและพลงงานจลนซงเปนปรมาณสเกลารและเกยวของกบ การเคลอนทของวตถ และน าเสนอการแกปญหาทางพลศาสตรของระบบเชงกลไดโดยไมตองใชกฎของนวตนแตตองอาศยทฤษฎของงาน-พลงงาน (Work - energy theorem) นอกจากนยงสามารถน าไปประยกตกบปรากฏการณตางๆมากมายไมวาจะเปนดานแมเหลกไฟฟา ฟสกสของอะตอม หรอทางฟสกสนวเคลยร และสามารถแกปญหาทยงยากซบซอนจ านวนไมนอยไดงายๆ โดยอาศยแนวคดของทฤษฎดงกลาว 5.1 งานเนองจากแรงคงท (Work done by a constant force)

สงแรกทจะกลาวถงคอแนวคดของ “งาน (Work)” ในชวตประจ าวน งานหมายถงกจกรรมทเกดจากการใชกลามเนอ หรอแรงพยายามของสมอง ในทางฟสกสสามารถนยามความหมายของงานไดวา “งานทกระท าโดยแรงคงทจากภายนอกคอผลคณขององคประกอบของแรงในทศของการกระจดกบขนาดของการกระจด” ถาการออกแรงแลววตถไมมการขยบเขยอนเลย เรยกวาไมมงานเกดขน หรอการเคลอนทมทศทางแนวฉากกบแรงกระท าถอวาไมมงานเกดขนเชนกน เมอพจารณากลองใบหนงทวางอยบนพนลนตามภาพท 5.1 ถามแรงคงทจากภายนอก F

กระท ากบกลองดงกลาวโดยท ามม กบแนวราบ ท าใหกลอง

เคลอนทมการกระจดเทากบ sΔ ดงนนความสมพนธระหวางงาน แรงและการกระจดสามารถเขยนเปนสมการไดดงน

W = [Fcos()]s (5.1) เมอ Fcos() คอองคประกอบของแรง F

ทอยในทศเดยวกบการกระจด sΔ

F

F

θ

S

ภาพท 5.1 กลองทถกกระท าดวยแรง F

ในชวงของการกระจด sΔ ทมา (ปรบปรงจาก Serway., 2008, หนา 165)

126

จากนยามของงานจะเหนวาแรงทไมท าใหเกดงานไดแก 1) แรงไมไดอยในทศเดยวกบการกระจด 2) แรงทไมไดท าใหวตถมการกระจด ในกรณทแรงกระท ากบวตถแลวท าใหการกระจดยงเปนศนยแมวาจะมแรงกระท ากบวตถแลวก

ตาม เชนนกศกษาคนหนงถอวตถไวโดยไมไดเคลอนทไปไหน ในกรณนจะไมเกดงานแตนกศกษาจะรสกเมอยลา ทงนเพราะเกด “งานภายใน (Internal work)” ทกระท าโดยกลามเนอซงงานภายในนเกดจาก การเคลอนทของอเลกตรอนและไอออนโดยแรงไฟฟาทเกดขนภายในกลามเนอดงกลาว

มตของงานคอ [W] = [F][s] = [MLT-2] = ML2T2 งานมหนวยในระบบ SI เปน kg.m2/s2 หรอ Nm หรอเรยกวา Joule; J โดย

1 Joule = 1 Nm = 1 kg.m2/s2

เมอมแรงคงทหลายแรงมากระท าตอวตถแลวท าใหวตถเคลอนทมการกระจดเทากบ sΔ สามารถหางานทเกดจากแรงยอยแตละแรงได โดยงานสทธทเกดจากแรงดงกลาวจะเทากบผลบวกทางพชคณตของงานทเกดจากแรงยอยทงหมด นนคอ cba WWWW s.Fs.Fs.F cba

ΔΔΔ

s FFF cba

Δ)( s.FW

Δ (5.2)

y

x

θsinF

θcosF

F

gmFg

N

f

ภาพท 5.2 กลองทวางบนพนฝด งานจะเกดจากแรงลพธ Fcos() - f ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 165)

127

จากภาพท 5.2 แสดงแผนภาพของแรงคงท F

ทดงใหวตถเคลอนทไปบนพนฝด พบวาน าหนกของวตถ gF

แรงปกต N

และองคประกอบของแรง F

ในแนวดงจะไมท าใหเกดงานเนองจากแรงทกระท า

อยในแนวตงฉากกบการกระจด งานทเกดจากแรงซงมทศตรงขามกบการเคลอนท เชนแรงเสยดทานจะท าใหงานมคาเปนลบ

เพราะวา = ท าให cos() = -1 จะได Wf = -fs ดงนนแรงทท าใหเกดงานคอแรงลพธ Fcos() - f จะได งานสทธเทากบ

W = [Fcos() - f]s (5.3) ตวอยางท 5.1 วตถกอนหนงเคลอนทขนตามพนเอยง 30 ภายใตการกระท าของแรงจ านวนหนง ในภาพท 5.3 แสดงใหเหนแรง 3 แรง โดยท 1F

เปนแรงในแนวระดบ และมขนาด 40 N, 2F

กระท าในแนวตงฉากกบ

พนเอยง และมขนาด 20 N สวนแรง 3F

กระท าในทศขนานกบพนเอยงและมขนาด 30 N จงหางานทแตละแรงกระท าเมอกอนวตถ (และจดทแตละแรงกระท า) เคลอนทขนพนเอยงไปได 80 cm

30

1F

2F

3F

cos30F1

30

ภาพท 5.3 ภาพประกอบตวอยางท 5.1 วธท า องคประกอบของแรง 1F

ในทศของการกระจด คอ

F1cos30๐ = (40)(0.866) = 34.6 N ดงนนงานทกระท าโดยแรง 1F

คอ (34.6)(0.80) = 28 J

เนองจากแรง 2F

ไมมองคประกอบในทศของการกระจด ดงนน 2F

ไมท างาน องคประกอบของ 3F

ในทศของการกระจดคอ 30 N

ดงนนงานทท าโดย 3F

คอ (30)(0.80) = 24 J

128

ตวอยางท 5.2 วตถ 300 g เลอนไถลไปตามผวโตะในแนวระดบ เปนระยะทาง 80 cm จงหางานทแรงเสยดทานทผวโตะกระท าตอวตถ ถาสมประสทธของความเสยดทานจลนมคาเทากบ 0.20 วธท า กอนอนตองหาแรงเสยดทาน เนองจากแรงตงฉากมขนาดเทากบน าหนกของวตถ N = mgcos() = (6)(9.8)cos(30) = 50.92 N

Ff = kFN= (0.20)(0.300)(9.81) = 0.588 N งานทแรงเสยดทานท า คอ Ffscos() และเนองจากแรงเสยดทานมทศตรงขามกบการกระจด จงได

วา = 180 ดงนน งาน = Ff scos180 = (0.588)(0.80)(-1) = -0.47 J งานมคาเปนลบ เพราะแรงเสยดทานท าใหวตถเคลอนทชาลง และท าใหพลงงานจลนของวตถมคา

นอยลง ตวอยางท 5.3 จะตองท างานตานแรงโนมถวงเทาไร ในการยกวตถมวล 3.0 kg ขนสง 40 cm ในแนวดง วธท า ถาวตถถกยกขนมาดวยอตราเรวคงตว แรงยกตองมขนาดเทากบน าหนกของวตถ งานทท าโดยแรงยกน คอ งานทท าตานความโนมถวง เนองจากแรงยก คอ mg โดยท m คอ มวลของวตถ จะไดวา

งาน = (mg)(h)(cos()) = (3.0)(9.81)(0.40)(1) = 12 J โดยทวไปงานทท าตานความโนมถวงเพอยกวตถมวล m ขนสง h ในแนวดง คอ mgh

ตวอยางท 5.4 จงหางานทกระท าตอวตถชนหนง โดยแรงทรองรบในขณะทวตถนนถกเลอนต าแหนงลงมาตามแนวดงเปนระยะ h ในกระบวนการเดยวกนน งานทท าโดยแรงโนมถวงมคาเทาไร วธท า แรงทตองใชในการพยงวตถ คอ mg โดยท m คอมวลของวตถ แรงนมทศขนในขณะทการกระจดมทศลง ดงนนงานทแรงนท าคอ

Fscos = (mg)(h)(cos180) = - mgh

129

แรงโนมถวงทกระท าตอวตถมคาเทากบ mg ดวย แตแรงนมทศลงในทศเดยวกบการกระจด งานทแรงโนมถวงกระท าตอวตถจงมคาเทากบ

Fscos = (mg)(h)(cos0) = - mgh

5.2 งานจากแรงไมคงท (Work by variable force)

xF

xBxAx

Nx

ภาพท 5.4 กราฟทเปนตวแทนของการหาคางาน ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 189)

พจารณาอนภาคทมการกระจดตามแกน x ภายใตการกระท าของแรงทไมคงทดงภาพท 5.4 เมอ

การกระจดของอนภาคอยในชวง x = x A ถง x = xB ในกรณนจะไมสามารถหางานโดยอาศยสมการ (5.1) ไดถาแบงพนทใตกราฟออกเปนพนทเลกๆกลาวคอพจารณาในชวงระยะสนๆ x สามารถประมาณองคประกอบของแรง F(x) วามขนาดคงท ดงนนงานในชวงระยะทางสนๆ คอ

W = F(x) x ถาแบงพนทใตกราฟออกเปนจ านวน N สวนจะไดงานสทธเปน

N

1nnn x )F(xW Δ

ถา x มขนาดเลกมากๆและมคาเขาใกลศนย ท าใหจ านวนพนทเลกๆ เปนอนนต (N)

สามารถเขยนงานสทธไดใหมเปน

130

B

A

x

x

N

1nnn dxF(x)x)F(xW Δ

Nlim (5.4)

ตวอยางท 5.5 สปรงอนหนงมคาคงท k ถกยดปลายดานหนงไวกบท ถาเรมตนสปรงมความยาวเปน L0 จากนนดงใหมนยดออกมาเปนระยะ s ซงกราฟความสมพนธระหวางแรงและระยะยดของสปรงเปนดงภาพท 5.5 จงหางานทกระท ากบสปรงน

xF

0LxkxF

ksF

0F

00L sL0 s

ks

งาน = พนท = 2ks2

1s ks

2

1

xF

0LxkxF

ksF

0F

00L sL0 s

ks

งาน = พนท = 2ks2

1s ks

2

1

ภาพท 5.5 ภาพประกอบตวอยางท 5.5

วธท า แรงทกระท ากบสปรงคอ F(x) = k(x – L0) และสมการ (5.4) จะได

sL

L00

sL

L0

0

0

0

0

)L)d(xLk(x)dxLk(xW

])L(L)Lsk[(L2

1)Lk(x

2

1 200

200

sL

L

20

0

0

2ks2

1

ตวอยางท 5.6 วตถมวล m ตกลงสพนโลกจากระยะทางทหางจากศนยกลางของโลกเปน R0 จงหางานทแรงโนมถวงของโลกกระท ากบวตถน สมมตวาโลกอยนงๆและเปนทรงกลมทสมบรณ วธท า แรงทกระท ากบมวลเปนแรงโนมถวงมทศเขาหาศนยกลางของโลก ถามวลมความเรวตนเปนศนย และเคลอนทเปนเสนตรงตามแกน x จะมขนาดของแรงโนมถวงเทากบ

131

0R

ER

EM

m

xgF

ภาพท 5.6 ภาพประกอบตวอยางท 5.6

เครองหมายลบแสดงวาแรง gF

มทศตามแกน - x และจากสมการ (5.7) เมอ 2E

E

R

GMg สามารถ

เขยนขนาดของแรง gF

ไดใหมเปน

2

2E

gx

RmgF

จะไดงานเปน

E

0

E

0

R

R

R

R

2E2

2E x

1mgRdx

x

1mgRW

)(0E

2E R

1

R

1mgR

ถาวตถตกจากต าแหนงทไมสงจากพนโลกมากนก เมอวตถสง h = R0 - RE จะได

0

E

E0

E02E R

Rmgh

RR

)R(R.mgRW

จากผลลพธทไดน ถาเปนกรณของวตถทตกใกลๆผวโลก R0 RE จะได W mgh

132

5.3 ทฤษฎของงาน - พลงงาน (Work - Energy theorem)

yAv

xAv

Av

A

y

x0 s

Bv

yBv

xBvB

ภาพท 5.7 แสดงแนวการเคลอนทของวตถซงถกกระท าดวยแรงสทธคงทจาก A ไป B ทมา (ปรบปรงจาก Douglas, 2009, หนา 169)

พจารณาวตถอนหนงมวล m ถกกระท าดวยแรงสทธคงท F

ในระนาบ xy ท าใหวตถดงกลาว

เคลอนทจากจด A ไปยงจด B ดวยความเรงคงท ดงภาพท 5.7 ถาแรงสทธเปนแรงทขนกบต าแหนง ซงเขยนไดในภาพ jFiFF yx

ˆˆ

จะไดงานตามแนวการเคลอนทเปน

B

Ay

B

Ax dyFdxFB)W(A

จากกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน เมอ dt

mdvF xx และ

dt

mdvF yy ซงมขนาดคงท สามารถ

เขยนความสมพนธไดใหมเปน

B

A

yB

A

x dydt

dvmdx

dt

dvmB)W(A (5.5)

เมอจดภาพอนพนธเปน

xxxx dvvdv

dt

dxdx

dt

dv

ydvvdvdt

dydy

dt

dvyy

y

133

จากภาพท 5.4 และสมการ (5.5) จะได

Bx

Ax

By

Ayyyxx

v

v

v

vdvvmdvvmB)W(A

)vvvm(v2

1 2Ay

2By

2Ax

2Bx

kAkB2A

2B EEmv

2

1mv

2

1B)W(A (5.6)

เมอ 2mv2

1 เปนพลงงานซงขนอยกบการเคลอนทของวตถเรยกวา “พลงงานจลน (Kinetic

energy)” ดงนนปรมาณของงานสทธทไดจากแรงทงหมดทกระท าบนวตถในระหวางการเคลอนทจาก A ไป B จะเทากบการเปลยนแปลงของพลงงานจลน ซงผลลพธทไดนเปนกรณทแรงสทธคงทแตกเปนจรงกบกรณทวๆไปและเรยกความสมพนธตามสมการ (5.6) วา “ทฤษฎของงาน - พลงงาน” ตวอยางท 5.7 รถยนตคนหนงมวล 1,200 kg ก าลงเคลอนลงมาตามเนนเขาเอยง 30๐ ดงในภาพท 5.8 ขณะทรถมอตราเรว 12 m/s คนขบกเหยยบหามลอ ถาจะใหรถหยดเมอเคลอนทไปได 100 m จะตองมแรงคงตว F (ในทศทางขนานกบถนน) ขนาดเทาไรกระท ากบรถคนน

ภาพท 5.8 ภาพประกอบตวอยางท 5.7 วธท า พลงงานทงหมดของรถ (Ek + Ep) ทเปลยนไป มคาเทากบงานทท าตอรถโดยแรง F ทท าใหรถหยด งานนมคา Fscos180๐ เพราะวาแรง F ตานการเคลอนท จะได

(-1) Fs )h-mg(h )v-m(v2

1if

2i

2f

โดยท

134

m = 1,200 kg vf = 0 vi = 12 m/s hf - hi = (100)sin30๐ s = 100 m แทนคาเหลานในสมการจะให F = 6.7 kN

5.4 แรงอนรกษและไมอนรกษ (Conservative and nonconservative forces)

การวเคราะหระบบเชงกลใหงายจ าเปนตองแบงแรงออกเปน แรงอนรกษ (Conservative forces) และ แรงไมอนรกษ (Nonconservative forces) ในทนจะท าความเขาใจกบแรงอนรกษกอน พจารณาภาพท 5.9 เมอมวล m ถกกระท าดวยแรงโนมถวง gF

และแรง F

ใดๆ ถาพจารณางานทท าโดยแรงโนมถวง

เพยงอยางเดยวตามแนวทาง a y b สามารถหางานไดดงน

y

by

ay

0

x

y

a

m

by

x

x

gmF

ภาพท 5.9 อนภาคมวล m เคลอนทจากจด a ไปยงจด b ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 216)

งานจาก a ไป y เนองจากแรงโนมถวงมทศตรงขามกบการกระจด sΔ งานในสวนนคอ

W(a y) = s.Fg

Δ

= mgycos(180) = - mg(yb - ya)

และงานจาก y ไป b คอ

135

W(y b) = mgxcos(90) = 0 ดงนนงานจาก a ไป b คอ

W(a b) = W(a y) + W(y b) = - mg(yb - ya)

ในท านองเดยวกน ถาคดงานทเกดจากแรงโนมถวงตามแนวทางเดน a x b จะไดผลลพธเหมอนกนจากตวอยางสามารถสรปไดวา

1) การเปลยนแปลงของพลงงานศกยมคาเทากบคาลบของงานทกระท าโดยแรงโนมถวง

Eg = -Wg (5.7)

2) งานทไดจากแรงโนมถวงจะไมขนกบเสนทางการเคลอนท แตขนกบระดบความสง 3) งานสทธเกดจากแรงโนมถวงในเสนทาง a y b และเสนทาง a x b จะม

ผลลพธเปนศนย นนคอ “แรงอนรกษ เปนแรงทท าใหเกดงานในการเคลอนทซงขนกบต าแหนงเรมตนกบต าแหนงสดทาย

ของวตถ แตไมขนกบเสนทางการเคลอนท โดยงานสทธทใชในการเคลอนทครบรอบตองเทากบศนย” ดงนนจงกลาวไดวาแรงโนมถวงเปนแรงอนรกษ สามารถเขยนเปนสมการไดดงน s.F

Δ = คาคงททเหมอนกนในทกๆเสนทาง

หรอ s.F

Δ = 0 ส าหรบทกๆเสนทางทครบรอบ

หรอเขยนในภาพของอนทเกรทไดเปน

b

as.dF

= คาคงทในทกๆเสนทาง

หรอ s.dF

= 0 สวนแรงไมอนรกษ เชน แรงเสยดทาน จะมสมบตตรงขามกบแรงอนรกษ

136

5.5 พลงงานศกยใน 1 มต (Potential energy in one dimension)

h

aF

m

gmFg

ภาพท 5.10 พลงงานศกยทสะสมอยในกลองขนอยกบความสง h ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 177)

เราไดทราบแลววาพลงงานจลนเปนพลงงานทเกยวของกบการเคลอนทของวตถ ในหวขอนจะไดแนะน าความคดเกยวกบพลงงานในอกภาพแบบหนงคอ พลงงานศกย (Potential energy) ซงเปนพลงงานทเกยวของกบ ต าแหนง (Position) ของวตถ จากภาพท 5.6 เมอยกกลองมวล m ไปวางไวบนทสง h อยางชาๆท าใหขณะเวลาใดๆ ความเรวของกลองมคานอยมากและมผลใหพลงงานจลนของกลองมคาเขาใกลศนย นนคอกลองมความเรงเปนศนยดวย ดงนนขนาดของแรงทยกกลอง aF

จะเทากบแรงโนมถวงหรอน าหนกของกลอง gmFF ga

ถาการกระจดของกลองเปน j hs ˆ

แลวงานทใชในการยกกลอง Wa คอ

mghhFs.FW gaa

และงานทกระท าโดยแรงโนมถวงคอ aggg WmghhFs.FW

เมอเครองหมายลบแสดงวา aF

มทศทางตรงขามกบการกระจด s มหลายกรณทนาสนใจทเกยวของกบพลงงานศกยซงเคลอนทในแนวเสนตรง สมมตวามแรง (y)Fn

ท าใหวตถเคลอนทตามแนวแกน y โดยมระยะกระจดจาก A ไป B เปน y ถาแรงกระท านมทศอยในแนวเดยวกบการเคลอนททแลว งาน Wn ทเกดขนคอ

137

y(y)F)ycos( (y)Fy(y).FW nnnnn ΔθΔΔΔ

และจากความสมพนธระหวางงานกบพลงงานศกยตามสมการ (5.10) จะได y (y)FW(y)E nnn ΔΔΔ (5.8) ถาก าหนดใหชวงเวลา y มคานอยๆ แลวอนทเกรทจาก A ถง B จะได

B

A

y

ynnn (y)dyF(A)E(B)E (5.9)

ถาแรง (y)Fn

เปนแรงอนรกษแลว En(B) - En(A) จะขนกบ yB และ yA เทานน ส าหรบกรณทวไปสามารถ

เขยนสมการ (5.9) ใหมได

y

yn0nn

0

(y)dyF)(yE(y)E (5.10)

เมอ y0 เปนต าแหนงอางองใดๆ และฟงกชน En(y) เปนพลงงานศกยทต าแหนง y ซงสมพทธกบ

คาทต าแหนงอางอง y0 จากภาพท 5.6 ถาก าหนดใหพนเปนต าแหนงอางอง และ y เปนความสงของโตะ สมการ (5.10) จะเขยนไดใหมเปน

)]ymg(y[(y)dyF)E(yE(y) 0

y

yn0

0

)yy(mg 0 )E(yE(y) 0 (5.11) ตวอยางท 5.8 วตถมวล 2.0 kg ตกลงมาจากทสง 400 cm จงค านวณหา

ก) แรงโนมถวงท างานตอวตถนเทาไร ข) วตถสญเสยพลงงานศกยไปเทาไร

วธท า แรงโนมถวงดงวตถดวยแรงขนาด mg และการกระจดมขนาด 4.0 m ในทศของแรง งานทท าโดยแรงโนมถวงจงมคา

(mg)(4.00) = (2.0)(9.81)(4.00) = 78 J

138

Ep ของวตถทเปลยนไป คอ mghf – mghi โดยท hi และ hf เปนความสงของวตถตอนแรก และตอนสดทายเหนอระดบอางอง ดงนนจะได Ep ทเปลยนไป = mghf – mghi = mg(hf – hi) = (2.0)(9.81)(-4.0) = -78 J

5.6 การอนรกษพลงงาน (Conservation of energy)

หลกการอนรกษพลงงานกลาวไววา “พลงงานทไมมการสญหายหรอสรางขนมาใหมได แตพลงงานสามารถเปลยนจากภาพหนงไปเปนอกภาพหนงได” นนคอผลรวมของพลงงานทงหมดตอนเรมตนจะตองมคาเทากบผลรวมของพลงงานทงหมดในตอนสดทาย

2211 pkpk EEEE (5.12)

ตวอยางท 5.9 พจารณากลองมวล m เคลอนทจากสภาวะหยดนงลงมาตามพนเอยงทไมมความฝดดงภาพท 5.11 จงอธบายการเคลอนทของกลองใบนโดยใชหลกการอนรกษพลงงาน

x

y

m

α

h

N

gmFg

ภาพท 5.11 ภาพประกอบตวอยางท 5.9

วธท า จากสมการ 5.12

2211 pkpk EEEE

ghmv2

1ghmv

2

1 20

20 mm

ghmv2

1gh 20 mm

ghghmv2

10

2 mm

139

)hh(gmv2

10

2 m

h)2g(hv 0

5.7 ก าลง (Power)

โดยทวไปการเปรยบเทยบสมรรถภาพของเครองยนต หรอความสามารถในการท างานของคนเราหรอเครองจกรจะไมสามารถพจารณาไดโดยตรงจากงานทท าได แตพจารณาไดจากงานทท าไดในหนงหนวยเวลา ซงเรยกทวๆไปวา “ก าลง (Power)” ถามแรงภายนอกกระท ากบวตถในชวงเวลา t และท าใหเกดงาน W สามารถหาก าลงเฉลยในชวงเวลาดงกลาวได

t

WPav

Δ (5.13)

จากหวขอทผานมาพบวางานไดจากการเปลยนแปลงพลงงานของวตถ จงสามารถนยามก าลงไดวา

“ก าลง คอ อตราการเปลยนแปลงของการสงผานพลงงาน (Time rate of energy transfer)” โดยก าลงในขณะเวลาใดๆคออตราการท างานในชวงทสนมากๆ เมอ t 0 จะได

dt

dW

t

WlimP

0t

ΔΔ (5.14)

เมอ s.dFdW

จากสมการ (5.14) สามารถเขยนใหมได

v.Fdt

sd.F

dt

dWP

(5.15)

ในระบบ SI ก าลงมหนวยเปน J/s หรอ watt; W ซงตงใหเปนเกยรตกบ เจมส วตต (James

Watt) โดย 1 W = 1 J/s = 1 kg.m2/s2 ส าหรบทางดานวศวกรรมมกนยมใชหนวยของก าลงเปน “แรงมา (Horse Power; hp)” เมอ 1 hp = 550 ft.lb/s = 746 W ตวอยางท 5.10 โฆษณาชนหนงกลาวอางวา รถยนตมวล 1,200 kg คนหนง สามารถเรงเครองจากหยดนงใหมอตราเรว 25 m/s ไดภายในเวลา 8.0 s จงหาก าลงเฉลยทเครองยนตจะตองจายเพอใหไดความเรงน โดยไมตองค านงถงการสญเสยเนองจากแรงเสยดทาน วธท า งานทท าในการเรงรถยนตหาไดจากความสมพนธ

140

งานทท า = Ek ทเปลยน = )v-m(v2

1 2i

2f

เวลาทใชส าหรบงานน คอ 8.0 s ดงนน

ก าลง = kW 47 s 8.0

)(1,200)(252

1

เวลา

งาน2

เมอเปลยนหนวยจากวตตเปนก าลงมา จะได

ก าลง = (47 103) hp 63 W746

hp 1

141

สรป

1. งาน W เปนผลคณสเกลารของการกระจด S

แรง F

และทศทางของแรง คอ cosFSSFW

2. พลงงานจลน

2k mv2

1E

3. พลงงานศกยโนมถวง mghEp

4. ความสมพนธระหวางงาน และพลงงานจลนตามทฤษฎบทงาน-พลงงาน คอ k1k2k EEEW 5. พลงงานรวมมคาคงตว 2p2k1p1k EEEE คาคงตว

6. ก าลงนยามวาเปนอตราสวนของงานตอชวงเวลา

cosFvt

WP

142

แบบฝกหด

1. ชายคนหนงออกก าลงกายโดยการนอนหงายยกน าหนก ถาลกเหลกหนก 600 N และเมอเขายกขนไปจนสดแขนจะยกไดสง 0.6 m จงหางานเมอ ก) เมอยกลกเหลกขน ข) เมอยกลกเหลกลง

ตอบ ก) 360 J ข) -360 J

2. จากภาพท 5.12 พนเอยงท ามม 30๐ กบพนราบ ก) จะตองออกแรงขนาดเทาไรจงจะผลกกลองมวล 6 kg ดวยความเรวคงท จากต าแหนง A ขนไปไวท

ต าแหนง B บนพนเอยงฝด ถาสมประสทธของความเสยดทานจลนระหวางกลองกบพนเอยงเปน 0.50

ข) ถาระยะระหวาง A กบ B เทากบ 1.2 m จงหางานสทธ

F

S

A

B

hm

θ

yx

0

F

θ

θ

N

gmFg

f

ภาพท 5.12 ภาพแบบฝกหดขอท 2 ตอบ ก) 54.86 N ข) 0 J

3. สปรงในอดมคตอนหนงไมมความยาวเรมตน มคาคงทเทากบ 50 N/m ปลายขางหนงยดไวกบผนง สวน

ปลายอกขางหนงมมวลอนหนงยดตดอย สมมตวาระบบนวางอยบนพนลน และเรมตนมวลถกดงมาอยทต าแหนงหางจากผนง x = 50 cm เมอปลอยสปรงสามารถหดกลบท าใหมวลเคลอนทมาอยทต าแหนงหางจากผนงเปน x = 5 cm จงหางานทสปรงกระท ากบมวลน

y

x

gmFg

N

sF

AxBx

m

143

ภาพท 5.13 ภาพแบบฝกหดขอท 3 ตอบ 6.19 J

4. วตถมวล m ไถลลงมาตามพนเอยงทเปนเนนดงภาพท 5.14 ถาไมมแรงเสยดทานระหวางวตถกบพน

ก าหนดให hA = 7 m, hB = 4 m, hC = 7.2 m, hD = -1 m และวตถมความเรวตนทจด A เทากบ 3 m/s จงหาอตราเรวของวตถทจด xB, xC และ xD

Ax Bx CxDx

y

x0

A

B

C

D

Dh

Ah Bh Ch

m

gmFg

N

m

sd

dy

ภาพท 5.14 ภาพแบบฝกหดขอท 4 ตอบ vB = 8.23 m/s vC = 2.25 m/s vD = 12.88 m/s

5. ลฟตตวหนงมมวล 1,000 kg สามารถบรรทกของไดสงสด 800 kg ถาตองการใหลฟตตวนเคลอนทดวย

อตราเรวคงท 3 m/s จะตองใชมอเตอรทมก าลงต าสดเทาไร ตอบ 5.292 104 W หรอ 70.94 hp

6. จะตองท างานตานแรงโนมถวงเทาไรในการยกวตถมวล 3.0 kg ขนสง 40 cm ในแนวดง ตอบ 12 J

7. จงค านวณงานทท าตานความโนมถวงโดยเครองสบทจายน ามนเชอเพลง 600 ลตรเขาสถงซงอยสง

20 m เหนอระดบทน ามนเขาเครองสบ น ามนหนงลกบาศกเซนตเมตรมมวล 0.82 g หนงลตรมปรมาตรเทากบ 1000 cm3

ตอบ 96 kJ

8. บนไดหนงยาว 3.0 m และหนก 200 N มจดศนยถวงอยทระยะ 120 cm จากเชงบนได ทปลายดานบนมน าหนก 50 N ตดอย จงค านวณงานทจ าเปนในการยกบนไดจากต าแหนงทวางในแนวนอนบนพนใหตงขนตรงในแนวดง

144

ตอบ 0.39 kJ

9. จากภาพท 5.15 ลกบอลลกหนงผกตดอยกบปลายของเชอกทมความยาว 180 cm ลกบอลนแกวงไปมาเปนนาฬกาลกตม ในขณะทลกบอลผานจดต าสด อตราเรวของลกบอลมคา 400 cm/s จงหา ก) ลกบอลจะขนไปสงจากจดนเทาไรกอนทจะหยด ข) ณ ต าแหนงน เชอกท ามมเทาไรกบแนวดง

ภาพท 5.15 ภาพแบบฝกหดขอท 9 ตอบ ก) 0.816 m ข) 56.9๐

10. กอนวตถมวล 500 g ถกยงขนไปตามพนเอยง ดวยอตราเรวตน 200 cm/s วตถนจะขนไปบนพนเอยง

ไดไกลเทาไร ถาสมประสทธของความเสยดทานระหวางวตถกบพนเอยงมคา 0.150 ตอบ 0.365 m

11. รถไฟขบวนหนงมมวล 60,000 kg ถกลากขนทางลาด 1.0 % (ทก ๆ ความยาว 100 m ตามแนวระดบ

ทางสงขน 1.0 m) ดวยแรงดงขนาด 3.0 kN และมแรงเสยดทาน 4.0 kN ตานการเคลอนท ถาอตราเรวของรถไฟมขนาดเทากบ 12 m/s รถไฟเคลอนทไปไดระยะทางตามแนวนอน s เทาไร กอนทอตราเรวของรถไฟจะลดลงเปน 9.0 m/s

ตอบ 0.28 km

12. จากภาพท 5.16 แสดงใหเหนลกปดลกหนงลนไถลไปบนเสนลวด ถาแรงเสยดทานมคานอยมาก และลกปดมอตราเรว 200 cm/s ท A จงหาค านวณหา ก) อตราเรวของลกปดทจด B ข) อตราเรวของลกปดทจด C

145

ภาพท 5.16 ภาพแบบฝกหดขอท 12 ตอบ ก) vf = 4.4 m/s ข) vf = 3.1 m/s เอกสารอางอง

พงษศกด ชนนาบญ และ วระชย ลมพรชยเจรญ. (2549). ฟสกส มหาวทยาลย เลม 1 (พมพครงท 1). กรงเทพฯ: วทยพฒน.

สมพงษ ใจด. (2548). ฟสกส มหาวทยาลย 1 (พมพครงท 6). กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

146

สมาคมวทยาศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมชปถมภ. (2543). ฟสกส เลม 1 (พมพครงท 2 ฉบบปรบปรงแกไข). กรงเทพฯ.

Douglas, C. G. (2009). Physics for Sciectists & Engineers with Modern Physics (4th ed.). United States of America. Pearson Education, Inc.

Halliday, D. , Resnick, R. , & Walker, J. (1997). Fundamental of physics (5th ed.). New York: John Wiley & Sons. . (2001). Fundamental of physics (6th ed.). New York: John Willey & Sons. . (2007). Fundamental of physics (8th ed.). New York: John Willey & Sons. Serway, R. A. (1996). Physics for scientists & engineers with modern physics (4th ed.). Philadelphia: Saunders College. . (2008). Physics for scientists & engineers with modern physics (7th ed.). Philadelphia: Saunders College.