Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
บทท 4
วธการอนกรมกำลง
4.1 นยามและคณสมบตเบองตนของอนกรมกำลง
ในหวขอนเราจะแนะนำอนกรมกำลงในรปแบบอยางงาย พรอมทงกลาวถงทฤษฎบทเบองตนทควรรเกยวกบอนกรมกำลง
บทนยาม 4.1 อนกรมกำลง (power series) ในเทอมของ x − a คอ อนกรมอนนตทเขยนอยในรป
∞∑
n=0
cn(x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · ·+ cn(x− a)n + · · · (4.1)
ถา a = 0 แลวจะไดอนกรมกำลงในเทอมของ x คอ อนกรมกำลงทเขยนอยในรป∞∑
n=0
cnxn = c0 + c1x+ c2x
2 + · · ·+ cnxn + · · · (4.2)
การศกษาในบทนโดยสวนใหญเราจะกลาวถงอนกรมกำลงในเทอมของ x เนองจากคณสมบตทวไปของอนกรมกำลงในเทอมของ x สามารถขยายไปสคณสมบตทวไปของอนกรมกำลงในเทอมของ x− a โดยการแทน x ดวย x− a
อนกรมกำลง (4.2) จะ ลเขา (converge) บนชวง I ถา
∞∑
n=0
cnxn = lim
N→∞
N∑
n=0
cnxn
หาคาได สำหรบทกคาของ x บนชวง I ในกรณนผลบวก
f(x) =
∞∑
n=0
cnxn
67
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 68
ถกนยามบนชวง I และเราจะเรยกอนกรม∑
cnxn วา ตวแทนอนกรมกำลง ของฟงกชน
f บนชวง I
ตวอยางตอไปนเปนตวแทนอนกรมกำลงของฟงกชนพนฐานทผอานเคยศกษามาแลว
ex =∞∑
n=0
xn
n!= 1 + x+
x2
2!+
x3
3!+ · · · (4.3)
cosx =
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!= 1− x2
2!+
x4
4!− · · · (4.4)
sin x =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!= x− x3
3!+
x5
5!− · · · (4.5)
ln(1 + x) =
∞∑
n=1
(−1)n+1xn
n= x− x2
2!+
x3
3!− · · · (4.6)
1
1− x=
∞∑
n=0
xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · · (4.7)
จากตวอยางขางตนจะไดวาอนกรม (4.3) - (4.5) เปนอนกรมลเขาสำหรบทกคาของ x
ในขณะทอนกรม (4.6) และ (4.7) เปนอนกรมลเขาถา |x| < 1 และลออกถา |x| > 1
นอกจากนอนกรม (4.7) คอ อนกรมเรขาคณต
บทนยาม 4.2 ฟงกชน f จะเปน ฟงกชนวเคราะห (analytic function) ทจด x = a
ถาอนกรมกำลง∞∑
n=0
cn(x− a)n ลเขาสฟงกชน f(x) สำหรบบางชวงเปดทมจด a บรรจอย นน
คอม รศมของการลเขา เปนจำนวนจรงบวก
ตวอยางเชน ฟงกชนพหนาม
f(x) = p0 + p1x+ p2x2 + · · ·+ pnx
n
เปนฟงกชนวเคราะหททกๆจด x = a เนองจากเราสามารถเขยน f(x) ในรป
f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · ·+ cn(x− a)n
สำหรบฟงกชนตรรกยะ f(x) =P (x)
Q(x)เมอ P (x) และ Q(x) เปนฟงกชนพหนามทไมม
ตวประกอบรวมจะเปนฟงกชนวเคราะหททกๆจด a ยกเวนทจด a ททำให Q(a) = 0
การดำเนนการของอนกรมกำลง
ถา f(x) =
∞∑
n=0
anxn และ g(x) =
∞∑
n=0
bnxn แลว
f(x) + g(x) =
∞∑
n=0
(an + bn)xn (4.8)
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 69
และ
f(x)g(x) =
∞∑
n=0
cnxn
= a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + · · · (4.9)
เมอ cn = a0bn + a1bn−1 + · · · + anb0 และในทนอนกรม (4.8) และ (4.9) ลเขาส
ฟงกชน f(x) + g(x) และ f(x)g(x) ตามลำดบ บนชวงเปดใดๆ ททำใหอนกรม∞∑
n=0
anxn
และ∞∑
n=0
bnxn ลเขา ตวอยางเชน
sin x cos x =
(
x− x3
6+
x5
120− · · ·
)(
1− x2
2+
x4
24− · · ·
)
= x+
(
−1
6− 1
2
)
x3 +
(
1
24+
1
12+
1
120
)
x5 + · · ·
= x− 4
6x3 +
16
120x5 − · · ·
=1
2
[
(2x)− (2x)3
3!+
(2x)5
5!− · · ·
]
=1
2sin 2x สำหรบทกคาของ x
ในทำนองเดยวกนผลหารของอนกรมกำลง 2 อนกรม สามารถหาไดโดยใชการหารยาว เชน
tanx =sin x
cosx= x+
x3
3+
2
15x5 +
17
315x7 + · · ·
เปนอนกรมลเขาถา |x| < π/2
วธการอนกรมกำลง
วธการอนกรมกำลงเปนวธการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ โดยการแทนคา
y =∞∑
n=0
cnxn (4.10)
ลงในสมการเชงอนพนธ แลวพยายามหาคาของสมประสทธ c0, c1, c2, . . . ททำใหอนกรมกำลงสอดคลองกบสมการเชงอนพนธ ซงวธการนอาจจะไมสำเรจเสมอไป แตถาเราสามารถหาอนกรมกำลงทเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธได ผลเฉลยทไดจะแตกตางกบผลเฉลยทเราศกษามากอนนซงเปนผลเฉลยรปแบบปด
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 70
กอนทเราจะแทนอนกรมกำลง (4.10) ลงในสมการเชงอนพนธ เราจะตองรวาจะแทนคาy′, y′′, . . . อยางไร? ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงอนพนธ y′ ของ y =
∑
cnxn ซงไดมา
จากผลบวกของอนพนธของแตละพจนของอนกรมของ y
ทฤษฎบท 4.1 การหาอนพนธทละพจนของอนกรมกำลง
ถาตวแทนอนกรมกำลง
f(x) =∞∑
n=0
cnxn = c0 + c1x+ c2x
2 + c3x3 + · · ·
ของฟงกชน f ลเขาบนชวงเปด I แลว f สามารถหาอนพนธไดบนชวง I และ
f ′(x) =
∞∑
n=1
ncnxn−1 = c1 + 2c2x+ 3c3x
2 + · · ·
ททกจดของชวง I
ตวอยางเชน อนพนธของอนกรมเรขาคณต
1
1− x=
∞∑
n=0
xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · ·
คอ1
(1− x)2=
∞∑
n=1
nxn−1 = 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + · · ·
วธการหาคาสมประสทธของอนกรม y =∑
cnxn ททำใหอนกรมนสอดคลองกบสมการเชง
อนพนธ จะขนอยกบทฤษฎบทตอไปน
ทฤษฎบท 4.2 หลกการเอกลกษณ
ถา∞∑
n=0
anxn =
∞∑
n=0
bnxn
สำหรบทกจด x บนชวงเปด I บางชวง แลว an = bn สำหรบทกคา n ≥ 0
ในกรณเฉพาะ ถา∑
anxn = 0 สำหรบทกคาของ x บนชวงเปดบางชวง แลวจากทฤษฎบท 4.2
จะไดวา an = 0 สำหรบทกคา n ≥ 0
ตวอยาง 4.1 จงหาผลเฉลยของสมการ y′ + 3y = 0
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 71
การเลอนดชนของเครองหมายผลบวก
จากตวอยาง 4.1 เราเขยน∞∑
n=1
ncnxn−1 =
∞∑
n=0
(n + 1)cn+1xn (4.11)
โดยใชการเลอนดชนของเครองหมายผลบวก ในทนเรา +1 ในอนกรมทางซายมอ นนคอเราเพมคาดชนของเครองหมายผลบวกไป 1 โดยการแทน n ดวย n + 1 ซงจะเขยนแทนดวยn → n + 1 ในขณะเดยวกนเราลดคาเรมตนลง 1 นนคอจาก n = 1 เปน n = 0 และผลทไดกคออนกรมทางขวามอ การกระทำนสมเหตสมผลเนองจากอนกรมอนนตทงสองตวของสมการ(4.11) สามารถเขยนในรป
c1 + 2c2x+ 3c3x2 + 4c4x
3 + · · ·
โดยทวไปเราสามารถเลอนดชนของเครองหมายผลบวกไป k โดยการเพมคาดชนของเครองหมายผลบวกไป k (n → n+ k) ในขณะเดยวกนลดคาเรมตนลง k ตวอยางเชน
∞∑
n=3
cnxn−1 =
∞∑
n=1
cn+2xn+1
เปนการเลอนดชนของเครองหมายผลบวกไป +2
ถา k เปนจำนวนลบ เราสามารถตความ ‘‘การลดลง k’’ เปน‘‘การเพมขน −k = |k|’’ดงนน การเลอนไป −2 (n → n− 2) ของดชนของเครองหมายผลบวก จะทำให
∞∑
n=1
ncnxn−1 =
∞∑
n=3
(n− 2)cn−2xn−3
ซงในทนดชนของเครองหมายผลบวกลดลง 2 แตคาเรมตนเพมขน 2 นนคอจาก n = 1 เปนn = 3
เนองจากอนกรมเลขชกำลงเปนอนกรมทลเขาสำหรบทกคา x ≥ 0 ดงนนผลเฉลยทอยในรปอนกรมกำลงของตวอยาง 4.1 จะลเขาสำหรบทกคา x ≥ 0 การพจารณาวาผลเฉลยทอยในรปอนกรมกำลงของสมการเชงอนพนธลเขาเมอใดนน เราสามารถนำทฤษฎบทตอไปนมาใชในการพจารณาได
ทฤษฎบท 4.3 รศมของการลเขา
กำหนดอนกรมกำลง∑
cnxn และสมมตให
ρ = limn→∞
∣
∣
∣
∣
cncn+1
∣
∣
∣
∣
(4.12)
หาคาได (ρ มคาเปนจำนวนจรงใดๆ หรอ ρ = ∞) แลวจะไดวา
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 72
1. ถา ρ = 0 แลวอนกรมจะ ลออก สำหรบทกคา x 6= 0
2. ถา 0 < ρ < ∞ แลว∑
cnxn จะลเขาถา |x| < ρ และจะลออกถา |x| > ρ
3. ถา ρ = ∞ แลวอนกรมจะลเขาสำหรบทกคา x
คา ρ ในสมการ (4.12) จะเรยกวา รศมของการลเขา ของอนกรมกำลง∑
cnxn
ตวอยาง 4.2 จงหารศมของการลเขาของผลเฉลยทอยในรปอนกรมกำลงจากตวอยาง 4.1
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.3 จงหาผลเฉลยของสมการ (2x− 1)y′ + 2y = 0
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.4 จงหาผลเฉลยของสมการ x2y′ = y + x− 2
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.5 จงหาผลเฉลยของสมการ y′′ + 9y = 0
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 4.1
1. จงหารศมของการลเขาของอนกรมกำลงตอไปน
(a)∞∑
n=0
(x− 3)n (b)∞∑
n=0
x2n
(c)∞∑
n=0
x2n
n!(d)
∞∑
n=1
3n
nxn
(e)∞∑
n=1
(2x+ 1)n
n2(f)
∞∑
n=0
(−1)nx2n
2n
(g)∞∑
n=0
(−1)nx2n
n!2n(h)
∞∑
n=0
(−1)n(2n+ 3)x2n+1
(i)∞∑
n=1
(−1)n
10n(x− 2)n (j)
∞∑
n=1
(−1)nn2(x+ 2)n
3n
(k)∞∑
n=0
(n+ 1)(2n+ 3)x2n+1
3
2. จงเขยนนพนธทกำหนดใหตอไปนในรปของผลบวกของพจน xn
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 73
(a)∞∑
n=2
n(n− 1)cnxn−2
(b)∞∑
n=0
cnxn+2
(c) x∞∑
n=1
ncnxn−1 +
∞∑
n=0
cnxn
(d) (1− x2)
∞∑
n=2
n(n− 1)cnxn−2
(e)∞∑
n=2
n(n− 1)cnxn−2 + x
∞∑
n=1
ncnxn−1
(f)∞∑
n=1
ncnxn−1 + x
∞∑
n=0
cnxn
(g)∞∑
n=2
n(n− 1)cnxn−2 +
∞∑
n=0
cnxn
3. จงหาผลเฉลยอนกรมกำลงของสมการตอไปน
(a) y′′ − y = 0 (b) y′′ − xy′ − y = 0
(c) y′′ + xy′ + 2y = 0 (d) 2y′′ + xy′ + 3y = 0
คำตอบแบบฝกหด 4.1
1. (a) ρ = 1 (b) ρ = 1 (c) ρ = ∞ (d) ρ = 13
(e) ρ = 12
(f) ρ = 2 (g) ρ = ∞ (h) ρ = 1 (i) ρ = 10 (j) ρ = 3
(k) ρ = 1
2. (a)∞∑
n=0
(n+ 2)(n+ 1)cn+2xn (b)
∞∑
n=2
cn+2xn (c)
∞∑
n=0
(n+ 1)cnxn
(d)∞∑
n=0
[(n+2)(n+1)cn+2−n(n−1)cn]xn (e)
∞∑
n=0
[(n+2)(n+1)cn+2+ncn]xn
(f) c1 +∞∑
n=0
[(n + 1)cn+1 + cn−1]xn (g)
∞∑
n=0
[(n+ 2)(n+ 1)cn+2 + cn]xn
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 74
3. (a) y(x) = c0
(
1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+ · · ·
)
+ c1
(
x+x3
3!+
x5
5!+
x7
7!+ · · ·
)
(b) y(x) = c0
(
1 +x2
2+
x4
2 · 4 +x6
2 · 4 · 6 + · · ·)
+ c1
(
x+x3
3+
x5
3 · 5 +x7
3 · 5 · 7 + · · ·)
(c) y(x) = c0
(
1− x2
1+
x4
1 · 3 − x6
1 · 3 · 5 + · · ·)
+ c1
(
x− x3
2+
x5
2 · 4 − x7
2 · 4 · 6 + · · ·)
(d) y(x) = c0
(
1− 1
4x2 +
5
96x4 − 7
1152x6 + · · ·
)
+ c1
(
x− x3
3+
x5
20− x7
210+ · · ·
)
4.2 ผลเฉลยอนกรมรอบจดสามญ
วธการอนกรมกำลงทแนะนำในหวขอทผานมา สามารถนำไปประยกตใชกบสมการเชงเสนอนดบใดๆ แตทสำคญคอการประยกตใชกบสมการเชงเสนเอกพนธอนดบสองทอยในรป
A(x)y′′ +B(x)y′ + C(x)y = 0 (4.13)
โดยท A,B และ C เปนฟงกชนวเคราะห โดยแทจรงแลวการประยกตทสำคญคอเมอ A,B
และ C เปนฟงกชนพหนามจากตวอยาง 4.2 ในหวขอ 4.1 จะเหนไดวาวธการอนกรมกำลงไมไดใหผลเฉลยทอยใน
รปอนกรมเสมอไป ในการพจารณาวากรณเชนนจะเกดขนเมอใดนนเราจะเขยนสมการ (4.13)ในรป
y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = 0 (4.14)
โดยท P = B/A และ Q = C/A ในทน P (x) และ Q(x) จะไมเปนฟงกชนวเคราะหทจดททำให A(x) = 0 ตวอยางเชน พจารณาสมการ
xy′′ + y′ + xy = 0 (4.15)
จะเหนไดวาฟงกชนสมประสทธใน (4.15) มความตอเนองททกจด แตถาเขยนในรปแบบของ(4.14) นนคอสมการ
y′′ +1
xy′ + y = 0 (4.16)
โดยท P (x) = 1/x จะไมเปนฟงกชนวเคราะหท x = 0
จด x = a จะเรยกวา จดสามญ (ordinary point) ของสมการ (4.14) (และของสมการ (4.13)) ถาฟงกชน P (x) และ Q(x) เปนฟงกชนวเคราะหทจด x = a มฉะนนจะเรยกจด x = a วา จดเอกฐาน (singular point) ดงนนเราไดวาจด x = 0 เปนจดเอกฐานเพยงจดเดยวของสมการ (4.15) เนองจากผลหารของฟงกชนวเคราะหเปนฟงกชนวเคราะห ดงนนถา A(a) 6= 0 ในสมการ (4.13) ทมสมประสทธเปนฟงกชนวเคราะห แลวx = a จะเปนจดสามญ และถาหาก A(x), B(x) และ C(x) เปนฟงกชนพหนามทไมมตวประกอบรวม แลว x = a จะเปนจดสามญกตอเมอ A(a) 6= 0
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 75
ตวอยาง 4.6 จงหาจดเอกฐานของสมการ xy′′ + x(1− x)−1y′ + (sin x)y = 0
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 4.4 ผลเฉลยอนกรมรอบจดสามญ
ถา x = a เปนจดสามญของสมการ
A(x)y′′ +B(x)y′ + C(x)y = 0 (4.17)
นนคอ P = B/A และ Q = C/A เปนฟงกชนวเคราะหทจด x = a แลวสมการ (4.17)จะมผลเฉลย 2 ผลเฉลยทเปนอสระเชงเสนกนและแตละผลเฉลยจะเขยนอยในรป
y =
∞∑
n=0
cn(x− a)n (4.18)
รศมของการลเขาของแตละผลเฉลยอยางนอยทสดจะไมเกนระยะทใกลทสดระหวางจดa กบจดเอกฐาน (จำนวนจรงหรอจำนวนเชงซอน) ของสมการ(4.17) สมประสทธของอนกรม (4.18)สามารถหาไดโดยการแทน อนกรม (4.18) ลงในสมการ(4.17)
ตวอยาง 4.7 กำหนดให(x2 + 9)y′′ + xy′ + x2y = 0
จงใชทฤษฎบท 4.4 หารศมของการลเขาของผลเฉลยอนกรมในเทอมของx และ x− 4 ของสมการทกำหนดให
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.8 จงหาผลเฉลยอนกรมของสมการ
y′′ + xy′ + (x2 + 2)y = 0
รอบจด x = 0
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.9 จงหาผลเฉลยอนกรมของสมการ
y′′ + (cosx)y = 0
รอบจด x = 0
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.10 จงหาผลเฉลยอนกรมของสมการ
y′′ + (x− 1)y′ + y = 0
รอบจด x = 1 และสอดคลองกบเงอนไขเรมตน y(1) = 2 และ y′(1) = 0
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 76
แบบฝกหด 4.2
1. จงหาผลเฉลยอนกรมของสมการตอไปนรอบจด x = 0
(a) (x2 − 1)y′′ + 4xy′ + 2y = 0 (b) y′′ + xy′ + y = 0
(c) (x2 − 3)y′′ + 2xy′ = 0 (d) (x2 + 3)y′′ − 7xy′ + 16y = 0
(e) (x2 − 1)y′′ + 8xy′ + 12y = 0 (f) 5y′′ − 2xy′ + 10y = 0
(g) y′′ + x2y′ + 2xy = 0 (h) y′′ + x2y = 0
2. จงหาผลเฉลยอนกรมของสมการตอไปนรอบจดทกำหนดให
(a) y′′ − xy′ − y = 0, x = 1
(b) xy′′ + y′ + xy = 0, x = 1
(c) 2y′′ + (x+ 1)y′ + 3y = 0, x = 2
3. จงใชอนกรมกำลงหาผลเฉลยของขอปญหาคาเรมตนตอไปน
(a) y′′ + xy′ − 2y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0
(b) (x− 1)y′′ − xy′ + y = 0; y(0) = −2, y′(0) = 6
(c) y′′ − 2xy′ + 8y = 0; y(0) = 3, y′(0) = 0
(d) (2x− x2)y′′ − 6(x− 1)y′ − 4y = 0; y(1) = 0, y′(1) = 1
(e) (4x2 + 16x+ 17)y′′ = 8y; y(−2) = 1, y′(−2) = 0
คำตอบแบบฝกหด 4.2
1. (a) y(x) = c0(1 + x2 + x4 + · · · ) + c1(x+ x3 + x5 + · · · )
(b) y(x) = c0
(
1− 1
2x2 +
1
8x4 + · · ·
)
+ c1
(
x− 1
3x3 +
1
15x5 + · · ·
)
(c) y(x) = c0 + c1
(
x+x3
9+
x5
45+ · · ·
)
(d) y(x) = c0
(
1− 8x2
3+
8x4
27
)
+ c1
(
x− x3
2+
x5
120+ · · ·
)
(e) y(x) = c0(1 + 6x2 + 15x4 + · · · ) + c13(3x+ 10x3 + 21x5 + · · · )
(f) y(x) = c0
(
1− x2 +x4
10+
x6
250+ · · ·
)
+ c1
(
x− 4x3
15+
4x5
375+ · · ·
)
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 77
(g) y(x) = c0
(
1− 1
3x3 +
1
18x6 + · · ·
)
+ c1
(
x− 1
4x4 +
1
28x7 + · · ·
)
(h) y(x) = c0
(
1− 1
12x4 +
1
672x8 + · · ·
)
+ c1
(
x− 1
20x5 +
1
1440x9 + · · ·
)
2. (a) y(x) = c0
(
1 +1
2(x− 1)2 +
1
6(x− 1)3 +
1
6(x− 1)4 + · · ·
)
+ c1
(
(x− 1) +1
2(x− 1)2 +
1
2(x− 1)3 +
1
4(x− 1)4 + · · ·
)
(b) y(x) = c0
(
1− 1
2(x− 1)2 +
1
6(x− 1)3 − 1
12(x− 1)4 + · · ·
)
+ c1
(
(x− 1)− 1
2(x− 1)2 +
1
6(x− 1)3 − 1
6(x− 1)4 + · · ·
)
(c) y(x) = c0
(
1− 3
4(x− 2)2 +
3
8(x− 2)3 +
1
64(x− 2)4 + · · ·
)
+ c1
(
(x− 2)− 3
4(x− 2)2 +
1
24(x− 2)3 +
9
64(x− 2)4 + · · ·
)
3. (a) y(x) = 1 + x2
(b) y(x) = −2
(
1 +1
2!x2 +
1
3!x3 +
1
4!x4 + · · ·
)
+ 6x
(c) y(x) = 3− 12x2 + 4x4
(d) y(x) = 13(3(x− 1) + 5(x− 1)3 + 7(x− 1)5 + · · · )
(e) y(x) = 1 + 4(x+ 2)2
4.3 ผลเฉลยอนกรมรอบจดเอกฐาน
ในหวขอนเราจะศกษาวธการหาผลเฉลยอนกรมของสมการเชงเสนเอกพนธอนดบสอง
A(x)y′′ +B(x)y′ + C(x)y = 0 (4.19)
รอบจดเอกฐาน ซงสมการ (4.19) สามารถเขยนใหมในรป
y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = 0 (4.20)
โดยท P = B/A และ Q = C/A และเราสามารถบอกชนดของจดเอกฐานดงนยามตอไปน
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 78
บทนยาม 4.3 จดเอกฐาน x = a จะเรยกวา จดเอกฐานแบบปกต (regular singularpoint) ของสมการ (4.19) ถาฟงกชน p(x) = (x − a)P (x) และ q(x) = (x− a)2Q(x)
เปนฟงกชนวเคราะหทจด x = a มฉะนนจะเรยกจด x = a วา จดเอกฐานแบบไมปกต (ir-regular singular point)
ตวอยาง 4.11 จงตรวจสอบวาจด x = 0 และ x = 2 เปนจดเอกฐานแบบปกตของสมการ2x(x− 2)2y′′ + 3xy′ + (x− 2)y = 0 หรอไม?
วธทำ . . . . . . . . .
สำหรบการหาผลเฉลยอนกรมของสมการ (4.19) นน ในทนเราจะศกษาเฉพาะกรณท x =
0 เปนจดเอกฐานของสมการ (4.19) ดงนนจากสมการ (4.20) เราไดวา
y′′ +p(x)
xy′ +
q(x)
x2y = 0 (4.21)
โดยท p(x) = xP (x) และ q(x) = x2Q(x) ซงเราจะสงเกตไดวาจด x = 0 จะเปนจดเอกฐานแบบปกตของสมการ (4.19) ถาฟงกชน p(x) และ q(x) เปนฟงกชนพหนาม ตวอยางเชนx = 0 เปนจดเอกฐานแบบปกตของสมการ
y′′ +1
xy′ +
x2 − n2
x2y = 0
ซงในทน p(x) ≡ 1 และ q(x) = x2 − n2 เปนฟงกชนพหนามในเทอมของ x
ในทางตรงกนขาม หากพจารณาสมการ
2x3y′′ + (1 + x)y′ + 3xy = 0
เราไดวา x = 0 เปนจดเอกฐาน แตถาเขยนสมการนในรปแบบของสมการ (4.21) แลวเราจะได
y′′ +(1 + x)/(2x2)
xy′ +
32
x2y = 0
ซงในทนp(x) =
1 + x
2x2=
1
2x2+
1
2x→ ∞ เมอ x → 0
ดงนน x = 0 เปนจดเอกฐานแบบไมปกตในหวขอนเราจะไมกลาวถงการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธรอบจดเอกฐานแบบไมปกต
ซงการหาผลเฉลยดงกลาวจะศกษาในขนสงตอไป
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 79
วธของโฟรเบนอส
จากนไปเราจะพจารณาถงวธการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบสองรอบจดเอกฐานแบบปกต x = 0 ซงรปแบบทงายทสดของสมการดงกลาวคอ
x2y′′ + p0xy′ + q0y = 0 (4.22)
ซงเปนสมการโคช-ออยเลอรอนดบสอง และถาหากเขยนในรปของสมการ (4.21) เราจะไดp(x) ≡ p0 และ q(x) ≡ q0 เปนคาคงตว ในกรณนเราสามารถพสจนไดวา y(x) = xr จะเปนผลเฉลยของสมการ (4.22) ถา r เปนรากของสมการ
r(r − 1) + p0r + q0 = 0
ในกรณทวไป p(x) และ q(x) อาจจะไมใชคาคงตว แตเปนอนกรมกำลง ซงจะไดวาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ จะอยในรป
y(x) = xr∞∑
n=0
cnxn =
∞∑
n=0
cnxn+r = c0x
r + c1xr+1 + c2x
r+2 + · · · (4.23)
ดงจะกลาวในทฤษฎบท 4.5 และขอเทจจรงนเปนพนฐานของ วธของโฟรเบนอส (methodof Frobenius) ซงใหชอเพอเปนเกยรตกบนกคณตศาสตรชาวเยอรมนทชอ Georg Frobe-nius (1848-1917) ซงเปนผคนพบวธนในป 1870
อนกรมอนนต (4.23) เรยกวา อนกรมโฟรเบนอส (Frobenius series) และอนกรมนโดยทวไปจะไมใชอนกรมกำลง ตวอยางเชน เมอ r = 1
2จะไดอนกรม (4.23)
อยในรปy = c0x
−1/2 + c1x1/2 + c2x
3/2 + c3x5/2 + · · ·
ซงไมใชอนกรมทเลขชกำลงของ x เปนจำนวนเตมในการศกษาความเปนไปไดทจะมผลเฉลยทอยในรปอนกรมโฟรเบนอส เรมจากสมการ
x2y′′ + xp(x)y′ + q(x)y = 0 (4.24)
ซงเปนสมการทไดจากการคณสมการ (4.21) ดวย x2
ถา x = 0 เปนจดเอกฐานแบบปกต แลว p(x) และ q(x) จะเปนฟงกชนวเคราะหทจดx = 0 ดงนน
p(x) = p0 + p1x+ p2x2 + p3x
3 + · · · (4.25)
q(x) = q0 + q1x+ q2x2 + q3x
3 + · · · (4.26)
กำหนดใหสมการ (4.24) มผลเฉลยทอยในรปอนกรมโฟรเบนอส
y =
∞∑
n=0
cnxn+r, c0 6= 0 (4.27)
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 80
จะได
y′ =∞∑
n=0
cn(n+ r)xn+r−1 (4.28)
และ
y′′ =
∞∑
n=0
cn(n + r)(n+ r − 1)xn+r−2 (4.29)
แทนคาอนกรม (4.25) ถง (4.29) ในสมการ (4.24) จะได
[
r(r − 1)c0xr + (r + 1)rc1x
r+1 + · · ·]
+[
p0x+ p1x2 + · · ·
]
·[
rc0xr−1 + (r + 1)c1x
r + · · ·]
+[
q0 + q1x+ · · ·]
·[
c0xr + (r + 1)c1x
r+1 + · · ·]
= 0 (4.30)
จะเหนไดวากำลงทนอยทสดของ x ทปรากฎในสมการ (4.30) คอ xr โดยการเทยบสมประสทธจะไดวา
r(r − 1)c0 + rp0c0 + q0c0 = [r(r − 1) + rp0 + q0]c0 = 0
เนองจาก c0 6= 0 ดงนนคา r จะสอดคลองกบสมการ
r(r − 1) + rp0 + q0 = 0 (4.31)
สมการ (4.31) เรยกวา indicial equation ของสมการเชงอนพนธ (4.21) และรากของสมการนจะเปน เลขชกำลง ของสมการเชงอนพนธทจดเอกฐานแบบปกต x = 0
จากสมการ (4.31) เราสามารถแสดงไดวาถาอนกรมโฟรเบนอส y = xr∑
cnxn เปนผล
เฉลยของสมการเชงอนพนธ (4.20) แลว r จะตองเปนรากใดรากหนงระหวาง r1 และ r2
ของ indicial equation (4.31) ถา r1 6= r2 แลวจะมโอกาสทจะไดผลเฉลย 2 ผลเฉลยทเปนอนกรมโฟรเบนอส แตถา r1 = r2 แลวจะมโอกาสทจะไดผลเฉลยเปนอนกรมโฟรเบนอสเพยงผลเฉลยเดยว และผลเฉลยทสองจะไมเปนอนกรมโฟรเบนอส คาของ r1 และ r2 สามารถหาไดโดยใช indicial equation เมอทราบคา p0 = p(0) และ q0 = q(0) ในกรณทสมประสทธของสมการเชงอนพนธ (4.19) เปนฟงกชนพหนาม วธการทงายทสดในการหา p0และ q0 คอการเขยนสมการใหอยในรป
y′′ +p0 + p1x+ p2x
2 + · · ·x
y′ +q0 + q1x+ q2x
2 + · · ·x2
y = 0 (4.32)
แลาคาของ p0 และ q0 จะปรากฎออกมา
ผลเฉลยอนกรมโฟรเบนอส
เมอทราบคา r1 และ r2 แลวสมประสทธในอนกรมโฟรเบนอสจะหาไดโดยการแทนอนกรม(4.27) - (4.29) ลงในสมการเชงอนพนธแลวใชวธการเชนเดยวกบการหาสมประสทธของ
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 81
ผลเฉลยทเปนอนกรมกำลงในหวขอทผานมา ถา r1 และ r2 เปนจำนวนเชงซอนแลวจะไดวาผลเฉลยทเปนอสระเชงเสน 2 ผลเฉลย จะเปนอนกรมโฟรเบนอส ในทนเราจะศกษาเฉพาะกรณทr1 และ r2 เปนจำนวนจรง
ทฤษฎบท 4.5 ผลเฉลยอนกรมโฟรเบนอส
กำหนดให x = 0 เปนจดเอกฐานแบบปกตของสมการ
x2y′′ + xp(x)y′ + q(x)y = 0 (4.33)
ให r1 และ r2 โดยท r1 ≥ r2 เปนรากของ indicial equation r(r−1)+ rp0+ q0 = 0
แลว
1. สำหรบ x > 0 จะมผลเฉลยของสมการ (4.33) อยในรป
y1(x) = xr1
∞∑
n=0
anxn, (a0 6= 0) (4.34)
ซงสมนยกบราก r1
2. ถา r1 − r2 ไมเปนศนยและไมเปนจำนวนเตมบวก แลวจะมผลเฉลยทสองทเปนอสระเชงเสนสำหรบ x > 0 ทอยในรป
y2(x) = xr2
∞∑
n=0
bnxn, (b0 6= 0) (4.35)
ซงสมนยกบราก r2
ตวอยาง 4.12 จงหาผลเฉลยอนกรมโฟรเบนอสของสมการ
4xy′′ + 3y′ − 3y = 0
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.13 จงหาผลเฉลยอนกรมโฟรเบนอสของสมการ
2x2y′′ + 3xy′ − (x2 + 1)y = 0
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 82
แบบฝกหด 4.3
1. จงหาจดเอกฐานของสมการตอไปน พรอมทงพจารณาวาเปนจดเอกฐานแบบปกต หรอจดเอกฐานแบบไมปกต
(a) x3y′′ + 4x2y′ + 3y = 0
(b) xy′′ + (1− x)y′ + xy = 0
(c) (x2 − 16)2y′′ + (x+ 4)y′ + 2y = 0
(d) (x3 + 4x)y′′ − 2xy′ + 6y = 0
(e) (x2 + x− 6)y′′ + (x+ 3)y′ + (x− 2)y = 0
(f) x3(x2 − 25)(x− 2)2y′′ + 3x(x− 2)y′ + 7(x+ 5)y = 0
(g) (1− x2)2y′′ + x(1− x)y′ + (1 + x)y = 0
(h) (x+ 3)y′′ − 2xy′ + (1− x2)y = 0
(i) (x+ 2)2(x− 1)y′′ + 3(x− 1)y′ − 2(x+ 2)y = 0
(j) (x2 + x− 2)y′′ + (x+ 1)y′ + 2y = 0
(k) x2y′′ − 3(sin x)y′ + (1 + x2)y = 0
2. จงหาผลเฉลยอนกรมของสมการตอไปนรอบจด x = 0
(a) 2xy′′ − y′ + 2y = 0
(b) 4xy′′ + 12y′ + y = 0
(c) 3xy′′ + (2− x)y′ − y = 0
(d) 2xy′′ − (3 + 2x)y′ + y = 0
(e) 2xy′′ + y′ + xy = 0
(f) 2x2y′′ + 3xy′ + (2x2 − 1)y = 0
คำตอบแบบฝกหด 4.3
1. (a) x = 0 เปนจดเอกฐานแบบไมปกต (b) x = 0 เปนจดเอกฐานแบบปกต
(c) x = −4 เปนจดเอกฐานแบบปกต, x = 4 เปนจดเอกฐานแบบไมปกต
(d) x = 0, 2i,−2i เปนจดเอกฐานแบบปกต
(e) x = −3, 2 เปนจดเอกฐานแบบปกต
(f) x = −5, 5, 2 เปนจดเอกฐานแบบปกต, x = 0 เปนจดเอกฐานแบบไมปกต
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 83
(g) x = 1 เปนจดเอกฐานแบบปกต, x = −1 เปนจดเอกฐานแบบไมปกต
(h) x = −3 เปนจดเอกฐานแบบปกต
(i) x = 1 เปนจดเอกฐานแบบปกต, x = −2 เปนจดเอกฐานแบบไมปกต
(j) x = −2, 1 เปนจดเอกฐานแบบปกต (k) x = 0 เปนจดเอกฐานแบบปกต
2. (a) y(x) = C1x3/2
(
1− 2
5x+
22
7 · 5 · 2 x2 − 23
9 · 7 · 5 · 3! x3 + · · ·
)
+C2
(
1 + 2x− 2x2 +23
3 · 3! x3 − · · ·
)
(b) y(x) = C1x7/8
(
1− 2
15x+
22
23 · 15 · 2 x2 − 23
31 · 23 · 15 · 3! x3 + · · ·
)
+C2
(
1− 2x+22
9 · 2 x2 − 23
17 · 9 · 3! x3 + · · ·
)
(c) y(x) = C1x1/3
(
1 +1
3x+
1
32 · 2 x2 +1
32 · 3! x3 + · · ·
)
+C2
(
1 +1
2x+
1
5 · 2 x2 +1
8 · 5 · 2 x3 + · · ·)
(d) y(x) = C1x5/2
(
1 +2 · 27
x+22 · 39 · 7 x2 +
23 · 411 · 9 · 7 x3 + · · ·
)
+C2
(
1 +1
3x+
1
3 · 2 x2 +1
5 · 3 · 2 x3 + · · ·)
(e) y(x) = C1x1/2
(
1− x2
2 · 5 +x4
2 · 4 · 5 · 9 − x6
2 · 4 · 6 · 5 · 9 · 13 + · · ·)
+C2
(
1− x2
2 · 3 +x4
2 · 4 · 3 · 7 − x6
2 · 4 · 6 · 3 · 7 · 11 + · · ·)
(f) y(x) = C1x1/2
(
1− x2
7+
x4
2!7 · 11 − x6
3!7 · 11 · 15 + · · ·)
+C2x−1
(
1− x2 +x4
2!5− x6
3!5 · 9 + · · ·)
บทท 5
วธผลการแปลงลาปลาซ
5.1 ผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงผกผน
บทนยาม 5.1 กำหนดให f(t) เปนฟงกชนทกำหนดบนชวง [0,∞) ผลการแปลงลาปลาซ(Laplace transform) ของ f คอฟงกชน F ทกำหนดโดย
F (s) = L{f(t)} =
∫
∞
0
e−stf(t)dt (5.1)
สำหรบทกคาของ s ททำใหอนทกรลไมตรงแบบ (improper integral) หาคาได
จากบทนยามของอนทกรลไมตรงแบบ (improper integral) ทเขยนอยในรปลมตของอนทกรลบนชวงปดใดๆ นนคอ
∫
∞
a
g(t)dt = limb→∞
∫ b
a
g(t)dt (5.2)
เราไดวา ถาลมตในสมการ (5.2) หาคาไดแลว อนทกรลไมตรงแบบจะ ลเขา (converge)และคาของอนทกรลจะเทากบคาของลมต แตถาลมตในสมการ (5.2) หาคาไมได แลวเรากลาววา อนทกรลไมตรงแบบจะ ลออก (diverge)
ขอสงเกต ฟงกชนทถกอนทเกรตในสมการ (5.1) จะมพารามเตอร s ซงไมใชตวแปรสำหรบการอนทเกรต ซงในทนคอตวแปร t ดงนนถาอนทกรลในสมการ (5.1) หาคาได แลวคาทไดจะไมใชคาคงตว แตจะเปนฟงกชน F ของตวแปร s
ตวอยางตอไปนแสดงใหเหนวา อนทกรลไมตรงแบบในนยามของผลการแปลงลาปลาซ L{f(t)}จะลเขาสำหรบบางคาของ s
ตวอยาง 5.1 จงหาผลการแปลงลาปลาซของ f(t) = 1 เมอ t ≥ 0
วธทำ . . . . . . . . .
84
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 85
ตวอยาง 5.2 จงหาผลการแปลงลาปลาซของ f(t) = eat เมอ a เปนคาคงตว และ t ≥ 0
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยางตอไปจะแสดงใหเหนวาผลการแปลงลาปลาซ L{ta} สามารถเขยนในรปของ ฟงกชนแกมมา (gamma function) Γ(x) ซงเปนฟงกชนทกำหนดโดย
Γ(x) =
∫
∞
0
e−ttx−1dt เมอ x > 0
จากนยามของฟงกชนแกมมา เราสามารถแสดงไดวา
Γ(1) = 1
และเมอ x > 0
Γ(x+ 1) = xΓ(x) (5.3)
ถา n เปนจำนวนเตมบวก แลว
Γ(n+ 1) = nΓ(n)
= n(n− 1)Γ(n− 1)
= n(n− 1)(n− 2)Γ(n− 2)
...
= n(n− 1)(n− 2) · · ·2 · Γ(2)= n(n− 1)(n− 2) · · ·2 · 1 · Γ(1)
นนคอΓ(n+ 1) = n! (5.4)
ถา n เปนจำนวนเตมบวก ดงนนฟงกชน Γ(x + 1) จะนยามสำหรบทกคา x > −1 ซงสอดคลองกบฟงกชนแฟกตอเรยล (factorial function) เมอ x = n เปนจำนวนเตมบวก
ตวอยาง 5.3 จงหาผลการแปลงลาปลาซของ f(t) = ta เมอ a เปนจำนวนจรง และ a > −1
วธทำ . . . . . . . . .
สำหรบการคำนวณหา L{tn/2} จะขนอยกบการทราบคาเฉพาะ
Γ
(
1
2
)
=√π
ของฟงกชนแกมมา ตวอยางเชน
Γ
(
5
2
)
=3
2Γ
(
3
2
)
=3
2· 12Γ
(
1
2
)
=3
4
√π
ซงไดมาจากการใชสมการ (5.3) นนคอ Γ(x + 1) = xΓ(x) และกำหนดให x = 32
ในครงแรกแลวให x = 1
2ในครงทสอง
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 86
การเปนเชงเสนของผลการแปลง (Linearity of Transform)
ถาหากเราทราบผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนหลากหลายฟงกชน แลวเราสามารถนำผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนทเราทราบ มาชวยในการหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนบางฟงกชน โดยไมตองใชนยามโดยตรง เนองจากผลการแปลงลาปลาซเปนการดำเนนการเชงเสน (linear op-eration)
ทฤษฎบท 5.1 การเปนเชงเสนของผลการแปลงลาปลาซ (Linearity of the LaplaceTransform)ถา a และ b เปนคาคงตวใดๆ แลว
L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)}+ bL{g(t)} (5.5)
สำหรบทกคาของ s ททำใหผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน f และ g หาคาได
ตวอยาง 5.4 จงหา L{4t3 + 5t3/2}
วธทำ . . . . . . . . .
ตารางตอไปนแสดงผลการแปลงลาปลาซ ของฟงกชนพนฐานบางฟงกชน ซงสามารถนำไปใชในการหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนอนๆ เพมเตม
f(t) F (s) = L{f(t)}
11
s(s > 0)
t1
s2(s > 0)
tn, n = 1, 2, . . .n!
sn+1(s > 0)
ta, a > −1Γ(a + 1)
sa+1(s > 0)
eat1
s− a(s > a)
eattn, n = 1, 2, . . .n!
(s− a)n+1(s > a)
sin ktk
s2 + k2(s > 0)
cos kts
s2 + k2(s > 0)
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 87
f(t) F (s) = L{f(t)}
sinh ktk
s2 − k2(s > |k|)
cosh kts
s2 − k2(s > |k|)
eat sin ktk
(s− a)2 + k2(s > a)
eat cos kts− a
(s− a)2 + k2(s > a)
ตวอยาง 5.5 จงหา L{5− 3e2t + 4 sin 3t}
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.6 จงหาผลการแปลงลาปลาซตอไปน
1. L{sin 2t cos 2t}
2. L{t2 + sin2 3t}
วธทำ . . . . . . . . .
ผลการแปลงผกผน (Inverse Transforms)
จากทฤษฎบท 5.3 ของบทน เราไดวา ไมม ฟงกชน 2 ฟงกชนใดๆ ทตอเนองบนชวง[0,∞) ทมผลการแปลงลาปลาซเหมอนกน ดงนนถา F (s) เปนผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนf(t) บางฟงกชนทมความตอเนอง แลวฟงกชน f(t) จะเปนฟงกชนเดยวทสามารถหาได ดงนนจะกอใหเกดนยามตอไปน
บทนยาม 5.2 ถา F (s) = L{f(t)} แลวจะเรยก f(t) วา ผลการแปลงลาปลาซผกผน (in-verse Laplace transform) ของ F (s) และจะเขยนแทนดวย
f(t) = L−1{F (s)}
ตวอยาง 5.7
1. L−1
{
1
s3
}
=
2. L−1
{
1
s+ 2
}
=
3. L−1
{
2
s2 + 9
}
=
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 88
ฟงกชนตอเนองเปนชวง (Piecewise Continuous Functions)
บทนยาม 5.3 ฟงกชน f(t) จะกลาววา ตอเนองเปนชวง (piecewise continuous)บนชวง [a, b] ถาชวง [a, b] สามารถแบงออกเปนชวงยอยๆ ทมจำนวนจำกด โดยทแตละชวงยอยมคณสมบตดงน
1. f มความตอเนองททกจดทเปนจดภายในของชวงนนๆ และ
2. f(t) หาคาลมตไดเมอ t เขาใกลจดปลายของชวงนนๆ จากจดภายใน
เราจะกลาววา f ตอเนองเปนชวงสำหรบ t ≥ 0 ถา f ตอเนองเปนชวงบนชวงยอยของ [0,∞)
ทกชวงทเปนชวงปด ดงนนฟงกชนทตอเนองเปนชวง จะไมตอเนองทจดบางจดซงมจำนวนจำกดและทจดเหลานคาของฟงกชนจะกำหนดโดย f(c+)− f(c−) เมอ
f(c+) = limε→0+
f(c+ ε) และ f(c−) = limε→0+
f(c− ε)
คณสมบตทวไปของผลการแปลง (General Properties of Transforms)
บทนยาม 5.4 ฟงกชน f จะกลาววาม อนดบเลขชกำลง (exponential order) α เมอt → +∞ ถามจำนวนทไมเปนลบ M, α, และ T ททำให
|f(t)| ≤ Meαt สำหรบ t ≥ T (5.6)
ตวอยางเชน f(t) = e5t sin 2t มอนดบเลขชกำลง 5 เพราะวา
|e5t sin 2t| ≤ e5t
โดยม M = 1, α = 5, และ T เปนจำนวนทไมเปนลบใดๆ ในขณะท g(t) = et2 เปนฟงก
ชนทไมมอนดบเลขชกำลง เพราะวา
limt→∞
et2
eαt= lim
t→∞
et2−αt = +∞
นนคอ เราไมสามารถหาคา M ทเปนไปตามเงอนไขของสมการ (5.6) ได
ทฤษฎบท 5.2 การมจรงของผลการแปลงลาปลาซ (Existence of Laplace Trans-forms)ถา f เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงสำหรบ t ≥ 0 และมอนดบเลขชกำลง α เมอ t → +∞แลวผลการแปลงลาปลาซ F (s) = L{f(t)} หาคาได นอกจากนเราสามารถกลาวใหชดเจนไดวาถา f เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงและสอดคลองกบเงอนไขของสมการ (5.6) แลว F (s) หาคาไดสำหรบทกคา s > α
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 89
ทฤษฎบท 5.3 ความเปนไปไดอยางเดยวของผลการแปลงลาปลาซผกผน (Uniqueness ofInverse Laplace Transforms)กำหนดใหฟงกชน f(t) และ g(t) สอดคลองกบสมมตฐานของ ทฤษฎบท 5.2 ดงนนผลการแปลงลาปลาซ F (s) = L{f(t)} และ G(s) = L{g(t)} หาคาได และถา F (s) = G(s)
สำหรบทกคา s > α แลว f(t) = g(t) บนชวง [0,∞) ททำให f และ g เปนฟงกชนตอเนอง
ทฤษฎบท 5.4 สำหรบคาคงตว a และ b
L−1{aF (s) + bG(s)} = aL−1{F (s)}+ bL−1{G(s)} (5.7)
เมอ F และ G เปนผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน f และ g บางฟงกชน
ตวอยาง 5.8 จงหา L−1
{
5
(s+ 2)4
}
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.9 จงหา L−1
{
3
s+ 4+
4
s2 + 9− 6s
3s2 + 12s+ 15
}
วธทำ . . . . . . . . .
วธการแยกเศษสวนยอยสามารถนำมาชวยในการหาผลการแปลงลาปลาซผกผน ดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง 5.10 จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผนของฟงกชน
R(s) =s2 + 1
s3 − 2s2 − 8s
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.11 จงหา L−1
{
5s2 + 6s+ 2
(s+ 2)(s2 + 2s+ 5)
}
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบทตอไปนเปนคณสมบตบางประการของผลการแปลงลาปลาซ ทจะชวยใหการหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนบางฟงกชนงายขน และสามารถนำไปใชในการหาผลเฉลยของขอปญหาคาเรมตน
ทฤษฎบท 5.5 ถา F (s) = L{f(t)} หาคาไดสำหรบ s > α แลว L{eatf(t)} หาคาไดสำหรบ s > α + a และ
L{eatf(t)} = F (s− a)
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 90
ในทำนองเดยวกนL−1{F (s− a)} = eatf(t)
ดงนนการเลอนขนาน s → s−a ในการแปลงนจะสอดคลองกบการคณฟงกชนของ t ทกำหนดใหดวย eat
ถาเราประยกตใชทฤษฎบท 5.5 กบผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน tn, cos kt, และsin kt ทเราทราบแลว จะทำใหไดผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนเพมเตมดงน
ถา f(t) = eattn แลว F (s) =n!
(s− a)n+1, s > a
ถา f(t) = eat cos kt แลว F (s) =s− a
(s− a)2 + k2, s > a
ถา f(t) = eat sin kt แลว F (s) =k
(s− a)2 + k2, s > a
ทฤษฎบท 5.6 ถา f(t) เปนฟงกชนทตอเนองเปนชวงสำหรบ t ≥ 0 และ |f(t)| ≤ Meαt
เมอ t → +∞ แลวสำหรบ s > α
L{−tf(t)} = F ′(s) (5.8)
ในทำนองเดยวกนf(t) = L−1{F (s)} = −1
tL−1{F ′(s)} (5.9)
ถานำสมการ (5.8) มาทำซำหลายๆครง เราจะไดวา
L{tnf(t)} = (−1)nF (n)(s) (5.10)
สำหรบ n = 1, 2, 3, . . .
ตวอยาง 5.12 จงหา L{t2 sin kt} เมอ k เปนคาคงตวใดๆ
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.13 จงหา L−1
{
tan−1
(
1
s
)}
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.14 จงหา L−1
{
ln
(
s− 3
s+ 1
)}
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 91
แบบฝกหด 5.1
1. จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนตอไปนโดยใชนยาม
(a) f(t) = t (b) f(t) = t2
(c) f(t) = e3t+1 (d) f(t) = cos t
(e) f(t) = sin2 t (f) f(t) = te4t
(g) f(t) = e−t sint (h) f(t) = t cos t
2. จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนตอไปน
(a) f(t) = 2t4 (b) f(t) = 4t− 10
(c) f(t) = t2 + 6t− 3 (d) f(t) = 1 + e4t
(e) f(t) = t− 2e3t (f) f(t) = sin 2t+ cos 2t
(g) f(t) = cos2 2t (h) f(t) = sin 3t cos 3t
(i) f(t) = (1 + t)3 (j) f(t) = (1 + e2t)2
(k) f(t) = 4t2 − 5 sin 3t
3. จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผนตอไปน
(a) L−1
{
2
s3
}
(b) L−1
{
5
s2− 24
s5
}
(c) L−1
{
(s+ 2)2
s3
}
(d) L−1
{
1
s− 6
s2+
3
s− 4
}
(e) L−1
{
1
3s+ 1
}
(f) L−1
{
7
s2 + 25
}
(g) L−1
{
9s
9s2 + 1
}
(h) L−1
{−s + 14
s2 + 49
}
(i) L−1
{
1
s2 + s
}
(j) L−1
{
s
s2 + 3s− 4
}
(k) L−1
{
0.9s
(s− 0.1)(s+ 0.2)
}
(l) L−1
{
s
(s− 2)(s− 3)(s− 6)
}
(m) L−1
{
2s− 4
(s2 + s)(s2 + 1)
}
(n) L−1
{
1
(s2 + 1)(s2 + 4)
}
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 92
4. จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผนของฟงกชนตอไปน
(a) F (s) =1
s2 − 4(b) F (s) =
5s− 6
s2 − 3s
(c) F (s) =5− 2s
s2 + 7s+ 10(d) F (s) =
5s− 4
s3 − s2 − 2s
(e) F (s) =1
s3 − 5s2(f) F (s) =
1
(s2 + s− 6)2
(g) F (s) =s3
(s− 4)4(h) F (s) =
s2 − 2s
s4 + 5s2 + 4
(i) F (s) =1
s4 − 8s2 + 16(j) F (s) =
s2 + 3
(s2 + 2s+ 2)2
คำตอบแบบฝกหด 5.1
1. (a)1
s2, s > 0 (b)
2
s3, s > 0 (c)
e
s− 3, s > 3 (d)
s
s2 + 1, s > 0
(e)1
2
[
1
s− s
s2 − 4
]
, s > 0 (f)1
(s− 4)2(g)
1
s2 + 2s+ 2(h)
s2 − 1
(s2 + 1)2
2. (a)48
s5(b)
4
s2− 10
s(c)
2
s3+
6
s2− 3
s(d)
1
s+
1
s− 4
(e)1
s2− 2
s− 3(f)
s+ 2
s2 + 4(g)
1
2
(
1
s+
s
s2 + 16
)
(h)3
s2 + 36
(i)1
s+
3
s2+
6
s3+
6
s4(j)
1
s+
2
s− 2+
1
s− 4(k)
8
s3− 15
s2 + 9
3. (a) t2 (b) 5t− t4 (c) 1 + 4t+ 2t2 (d) 1− 6t+ 3e4t (e) 13e−t/3
(f) 75sin 5t (g) cos 1
3t (h) − cos 7t + 2 sin 7t (i) 1− e−t
(j) 15et + 4
5e−4t (k) 0.3e0.1t + 0.6e−0.2t (l) 1
2e2t − e3t + 1
2e6t
(m) −4 + 3e−t + cos t+ 3 sin t (n) 13sin t− 1
6sin 2t
4. (a)1
4(e2t − e−2t) (b) 2 + 3e3t (c) 3e−2t − 5e−5t (d) 2− 3e−t + e2t
(e)1
25(−1− 5t+ e5t) (f)
1
125[e−3t(2 + 5t) + e2t(−2 + 5t)]
(g) e4t(
1 + 12t+ 24t2 + 323t3)
(h)1
3(−2 cos t− sin t+ 2 cos 2t+ 2 sin 2t)
(i)1
32[e−2t(1 + 2t) + e2t(−1 + 2t)] (j)
1
2e−t(5 sin t− 2t sin t− 3t cos t)
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 93
5.2 การแปลงของปญหาคาเรมตน
ในหวขอนเราจะกลาวถงการใชผลการแปลงลาปลาซ ชวยในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสนทมสมประสทธเปนคาคงตว และมการกำหนดเงอนไขเรมตนให ตวอยางเชน
ay′′(t) + by′(t) + cy(t) = f(t) (5.11)
โดยมเงอนไขเรมตน y(0) = y0, y′(0) = y′0 เราสามารถหาผลการแปลงลาปลาซฃองสมการ(5.11) โดยใชคณสมบตเชงเสนของผลการแปลงลาปลาซ นนคอจะไดวา
aL{y′′(t)} + bL{y′(t)}+ cL{y(t)} = L{f(t)}
ซงจะเกยวของกบผลการแปลงลาปลาซฃอง y′ และ y′′ ของฟงกชน y(t) ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงผลการแปลงลาปลาซฃองอนพนธของฟงกชนในเทอมของการแปลงของฟงกชนนนๆ
ทฤษฎบท 5.7 การแปลงของอนพนธ (Transforms of Derivatives)กำหนดให f(t) เปนฟงกชนตอเนองและปรบเรยบเปนชวง (piecewise smooth) สำหรบt > 0 และมอนดบเลขชกำลงเมอ t → +∞ นนคอ จะมจำนวนเตมทไมเปนลบ M α และT ททำให
|f(t)| ≤ Meαt สำหรบ t ≥ T (5.12)
แลวจะไดวา L{f ′(t)} หาคาไดสำหรบ s > α และ
L{f ′(t)} = sL{f(t)} − f(0) = sF (s)− f(0) (5.13)
หมายเหต ฟงกชน f จะเรยกวา ปรบเรยบเปนชวง (piecewise smooth) บนชวงปด[a, b] ถา f(t) เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงบนชวง [a, b] และอนพนธฃอง f หาคาไดยกเวนทจดบางจดซงมจำนวนจำกดบนชวงนโดยท f ′(t) เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงบนชวง [a, b] และเราจะกลาววา f ปรบเรยบเปนชวงสำหรบ t ≥ 0 ถา f ปรบเรยบเปนชวงบนทกๆ ชวงปดยอยของ [0,∞)
ถา g(t) = f ′(t) เปนฟงกชนทสอดคลองกบสมมตฐานของทฤษฎบท 5.7 แลวจะได
L{f ′′(t)} = L{g′(t)} = sL{g(t)} − g(0)
= sL{f ′(t)} − f ′(0)
= s{sL{f(t)} − f(0)} − f ′(0)
= s2L{f(t)} − sf(0)− f ′(0) (5.14)
ในทำนองเดยวกนถาเราทำซำอกครง จะได
L{f ′′′(t)} = sL{f ′′(t)} − f ′′(0) = s3F (s)− s2f(0)− sf ′(0)− f ′′(0) (5.15)
ดงนนในกรณทวไปจะเปนไปตามทฤษฎบทตอไปน
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 94
ทฤษฎบท 5.8 การแปลงของอนพนธอนดบสง (Transforms of Higher Deriva-tives)กำหนดให f, f ′, f ′′, . . ., f (n−1) เปนฟงกชนตอเนองและปรบเรยบเปนชวงสำหรบ t ≥ 0
และแตละฟงกชนสอดคลองกบเงอนไข (5.12) โดยทมคา M และ α เหมอนกน แลวL{f (n)} หาคาไดเมอ s > α และ
L{f (n)(t)} = snL{f(t)} − sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− . . .− f (n−1)(0)
= snF (s)− sn−1f(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0) (5.16)
ตวอยาง 5.15 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน
y′′ − y′ − 6y = 0; y(0) = 2, y′(0) = −1
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.16 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตน
y′′ + 3y′ + 2y = t; y(0) = y′(0) = 0
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 5.2
จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตนตอไปน โดยใชผลการแปลงลาปลาซ1. y′ + 4y = e−4t; y(0) = 2
2. y′′ + 2y′ + y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 1
3. y′′ − 6y′ + 9y = t; y(0) = 0, y′(0) = 1
4. y′′ − 6y′ + 13y = 0; y(0) = 0, y′(0) = −3
5. y′′ + 6y′ + 25y = 0; y(0) = 2, y′(0) = 3
6. y′′ − 6y′ + 8y = 2; y(0) = y′(0) = 0
7. y′′ + 4y′ + 8y = e−t; y(0) = y′(0) = 0
8. y′′ + 4y′ + 13y = te−t; y(0) = 0, y′(0) = 2
9. y′′ + 6y′ + 18y = cos 2t; y(0) = 1, y′(0) = −1
10. y′′ + 9y = 6 cos 3t; y(0) = y′(0) = 0
11. y′′ + 0.4y′ + 9.04y = 6e−t/5 cos 3t; y(0) = y′(0) = 0
12. y′′ − y′ = et cos t; y(0) = y′(0) = 0
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 95
คำตอบแบบฝกหด 5.2
1. y(t) = te−4t + 2e−4t 2. y(t) = e−t + 2te−t
3. y(t) = 19t + 2
27− 2
27e3t + 10
9te3t 4. y(t) = −3
2e3t sin 2t
5. y(t) = e−3t[2 cos 4t] + (9/4) sin 4t 6. y(t) =1
4(1 + e4t − 2e2t)
7. y(t) =1
10[2e−t − e−2t(2 cos 2t+ sin 2t)]
8. y(t) =1
50[(−1 + 5t)e−t + e−2t(cos 3t+ 32 sin 3t)]
9. y(t) =1
170(7 cos 2t+ 6 sin 2t) +
1
510e−3t(489 cos 3t+ 307 sin 3t)
10. y(t) = t sin 3t 11. y(t) = te−t/5 sin 3t 12. 12− 1
2et cos t+ 1
2et sin t
5.3 สงวตนาการ
บทนยาม 5.5 ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงบนชวง [0,∞) แลว สงวตนาการ(convolution) ของ f และ g ซงเขยนแทนดวย f ∗ g คอฟงกชนทกำหนดโดยอนทกรลดงน
(f ∗ g)(t) =∫ t
0
f(τ)g(t− τ)dτ (5.17)
เพอความสะดวกเราสามารถเขยนแทนดวย f(t) ∗ g(t)
ตวอยาง 5.17 จงหาสงวตนาการ (convolution) ของ cos t และ sin t
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 5.9 คณสมบตสงวตนาการ (Convolution Property)กำหนดให f(t) และ g(t) เปนฟงกชนตอเนองเปนชวงบนชวง [0,∞) และมอนดบเลขชกำลงα แลวผลการแปลงลาปลาซของสงวตนาการ f(t) ∗ g(t) หาคาไดสำหรบ s > α นอกจากนจะไดวา
L{f(t) ∗ g(t)} = L{f(t)} · L{g(t)} = F (s)G(s)
และL−1{F (s) ·G(s)} = f(t) ∗ g(t)
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 96
ดงนนเราสามารถหาการแปลงผกผนของ F (s) ·G(s) โดยการหาคาอนทกรล
L−1{F (s) ·G(s)} =
∫ t
0
f(τ)g(t− τ)dτ
ตวอยาง 5.18 จงหา L{∫ t
0
eτ (t− τ)2dτ
}
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.19 จงหา L−1
{
2
(s− 1)(s2 + 4)
}
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 5.3
1. จงหาสงวตนาการ f(t) ∗ g(t) เมอ
(a) f(t) = t, g(t) = 1
(b) f(t) = g(t) = sin t
(c) f(t) = g(t) = eat
2. จงหาผลการแปลงลาปลาซตอไปน
(a) L{1 ∗ t3} (b) L{e−t ∗ et cos t}
(c) L{∫ t
0
τet−τdτ
}
(d) L{∫ t
0
(t− τ)2 cos 2τdτ
}
(e) L{∫ t
0
e−(t−τ) sin τdτ
}
(f) L{∫ t
0
(t− τ)eτdτ
}
(g) L{∫ t
0
sin(t− τ) cos τdτ
}
3. จงหาผลการแปลงลาปลาซผกผนตอไปน โดยใชสงวตนาการ
(a) L−1
{
1
s(s− 3)
}
(b) L−1
{
1
(s2 + 9)2
}
(c) L−1
{
s2
(s2 + 4)2
}
(d) L−1
{
s
(s− 3)(s2 + 1)
}
(e) L−1
{
1
s3(s− 1)
}
เอกสารประกอบการบรรยายวชา MA214 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 97
คำตอบแบบฝกหด 5.3
1. (a) 12t2 (b) 1
2(sin t− t sin t) (c) teat
2. (a)6
s5(b)
s− 1
(s+ 1)[
(s− 1)2 + 1] (c)
1
s2(s− 1)(d)
2
s2(s2 + 4)
(e)1
(s+ 1)(s2 + 1)(f)
1
s2(s− 1)(g)
s
(s2 + 1)2
3. (a) 13(e3t − 1) (b) 1
54(sin 3t− 3t cot 3t) (c) 1
4(sin 2t+ 2t cos 2t)
(d) 110(3e3t − 3 cos t+ sin t) (e) et − 1
2t2 − t− 1