บทที่ 1 เมทริกซì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/SC142/SC142-156/stnote142...เอกสารประกอบการสอนว ชา SC142 จ

บทท 1

เมทรกซ

1.1 เมทรกซและการดำเนนการบนเมทรกซ

กลมของจำนวนซงนำมาจดเรยงกนเปนรปสเหลยมมมฉาก หรอทเรยกวา เมทรกซ ไดถกนำมาใชในหลายสาขาวชา เมทรกซจดวาเปนหนงในเครองมอทสำคญมากทางดานคณตศาสตร ในหวขอนเราจะเรยนรบทนยามเบองตนของเมทรกซ การดำเนนการบวก ลบ และคณเมทรกซ

สญลกษณของเมทรกซ

บทนยาม 1.1 เมทรกซ (matrix) คอ กลมของจำนวนซงนำมาจดเรยงกนเปนรปสเหลยมมมฉากและบรรจภายในเครองหมาย [ ] หรอ ( ) จำนวนซงนำมาจดเรยงแตละจำนวนเรยกวา สมาชก(element หรอ entry) ของเมทรกซ

ตวอยางเชน

2 3

−1 2

0 −5

(1.1)

(

1 −1 0

0 5 2

)

(1.2)

[

1√2 π 0

]

(1.3)

และ

2

−3

7

(1.4)

สมาชกซงจดเรยงกนในแนวนอนเรยกวา แถว ของเมทรกซ ในขณะทสมาชกซงจดเรยงในแนวตงเรยกวา หลก ของเมทรกซ ตวอยางเชนแถวทสามของเมทรกซ (1.1) ประกอบดวยสมาชก 0

และ −5 และสมาชกในหลกทหนงเมทรกซ(1.1) คอ 2, −1 และ 0 สำหรบเมทรกซทม mแถว และ n หลก เรากลาววาเมทรกซนนม มต (dimension) หรอ อนดบ (order)

1

เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 2

m × n ดงนนเมทรกซ (1.1) มมต 3 × 2 เมทรกซ (1.2) มมต 2 × 3 และเมทรกซ (1.3)มมต 1× 3

เมทรกซทมเพยงแถวเดยว หรอเมทรกซมต 1 × n เรยกวา เมทรกซแถว (row matrix)หรอ เวกเตอรแถว (row vector) ในขณะเดยวกนเมทรกซทมเพยงหลกเดยว หรอเมทรกซมต m × 1 เรยกวา เมทรกซแนวตง (column matrix) หรอ เวกเตอรแนวตง (columnvector) ดงนนเมทรกซ (1.3) คอ เมทรกซแถวหรอเวกเตอรแถว และเมทรกซ (1.4) คอเมทรกซแนวตงหรอเวกเตอรแนวตง

โดยทวไปเรานยมใชตวอกษรพมพใหญเชน A,B,C, . . . แทนเมทรกซ ในขณะทสมาชกของเมทรกซจะเขยนแทนดวยตวพมพเลกทมดชนลาง 2 ตว เชน aij หมายถงสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ ดงนนรปทวไปของเมทรกซมต 2× 4 สามารถเขยนแทนดวย

A =

[

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

]

และรปทวไปของเมทรกซมต m× n คอ

A =

a11 a12 · · · a14

a21 a22 · · · a24...

......

am1 am2 · · · amn

(1.5)

เพอความสะดวกในการนำไปใช บางครงเราเขยนแทนเมทรกซ A ในรป

[aij ]m×n หรอ [aij]

โดยทสญลกษณตวแรกจะใชเมอตองการทราบมตของเมทรกซ ในขณะทสญลกษณตวทสองจะใชเมอไมจำเปนตองกลาวถงมตของเมทรกซ

นอกจากนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A อาจจะเขยนแทนดวยสญลกษณ(A)ij ดงนนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ (1.5) สามารถเขยนแทนดวย

(A)ij = aij

และสำหรบเมทรกซ

A =

3 6 −1

4 2 0

1 −3 −5

เราไดวา a12 = 6, a21 = 4 และ a33 = −5

เมทรกซ A ทม n แถว และ n หลก เรยกวา เมทรกซจตรส (square matrix) มตn× n หรอ เมทรกซจตรสอนดบ n และสมาชก a11, a22, . . ., ann ในเมทรกซ (1.6) คอสมาชกทอยใน เสนทแยงมมหลก (main diagonal) ของ A

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... ...an1 an2 · · · ann

(1.6)


เมทรกซจตรสทสมาชกใตเสนทแยงมมหลกทกตวเปนศนยเรยกวา เมทรกซแบบสามเหลยมบน(upper triangular matrix) เมทรกซจตรสทสมาชกเหนอเสนทแยงมมหลกทกตวเปนศนยเรยกวา เมทรกซแบบสามเหลยมลาง (lower triangle matrix) และเมทรกซจตรสซงสมาชกทอยนอกแนวเสนทแยงมมหลกทกตวเปนศนยเรยกวา เมทรกซทแยงมม (diagonal matrix)

เมทรกซทนาสนใจอกเมทรกซหนงคอ เมทรกซจตรสทสมาชกในเสนทแยงมมหลกทกตวมคาเทากบ 1 และสมาชกทอยนอกแนวเสนทแยงมมหลกทกตวมคาเทากบ 0 ตวอยางเชน

[

1 0

0 1

]

,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

.

เมทรกซในรปแบบนเรยกวา เมทรกซเอกลกษณ (identity matrix หรอ unit matrix)และเขยนแทนดวย I แตหากตองการแสดงมตของเมทรกซ เราจะเขยนแทนเมทรกซเอกลกษณมต n× n ดวย In

เมทรกซมต m× n ทสมาชกทกตวเปนศนย เรยกวา เมทรกซศนย (zero matrix หรอnull matrix) และเขยนแทนดวย 0m×n หรอ 0 ตวอยางตอไปนเปนตวอยางของเมทรกซศนย

0 0 0

0 0 0

0 0 0

,

[

0 0 0

0 0 0

]

,

0

0

0

และ

[

0 0 0 0]

การดำเนนการบนเมทรกซ

บทนยาม 1.2 กำหนดให A และ B เปนเมทรกซใดๆ สมาชก aij และ bkp เปน สมาชกทสมนยกน (corresponding entries) กตอเมอ i = k และ j = p หรอกลาวอกนยหนงวาสมาชกของ A สมนย กบสมาชกของ B กตอเมอ สมาชกทงสองอยในตำแหนงเดยวกน

ตวอยางเชน ถา

A =

[

1 2 3

4 5 6

]

และ B =

[

7 8 9

−1 −2 −3

]

แลว 1 สมนยกบ 7, 2 สมนยกบ 8 และ 4 สมนยกบ −1

หมายเหต เราจะกลาวถงการสมนยกนของสมาชก ถาเมทรกซทง 2 เมทรกซมมตเทากน

บทนยาม 1.3 (การเทากนของเมทรกซ) เมทรกซ A และ B จะ เทากน และเขยนแทนดวยA = B ถาเมทรกซทงสองมมตเทากน และสมาชกทสมนยกนของเมทรกซทงสองมคาเทากน

หรอกลาวไดวา ถา A = [aij] และ B = [bij ] เปนเมทรกซทมมตเทากน แลว A = B กตอเมอ aij = bij สำหรบทก i และ j


ตวอยาง 1.1 จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปนเทากน

A =

[

1 2 −1

4 0 1 + 2

]

, B =

[

1 2

4 0

]

, C =

[

1 42

−1

4 0 3

]

, D =

[

1 2 −1

4 0 1

]

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.4 (ผลบวกของเมทรกซ) กำหนดให A และ B เปนเมทรกซทมมตเทากน ผลบวกของ A และ B ซงเขยนแทนดวย A+ B คอ เมทรกซทไดจากการบวกสมาชกทสมนยกนของA และ B

หรอกลาวไดวา ถา A = [aij ] และ B = [bij ] เปนเมทรกซทมมตเทากน แลว C = A + B

กตอเมอ cij = aij + bij สำหรบทก i และ j

ตวอยาง 1.2 จงหาเมทรกซ C ทเปนผลบวกของเมทรกซ

A =

3 6

−1 5

0 2

และ B =

12

−4

−2 0

−3 −2

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.5 (การคณโดยสเกลาร) กำหนดให A เปนเมทรกซใดๆ และ c เปนสเกลารใดๆผลคณ cA คอ เมทรกซทไดจากการคณสมาชกทกตวของ A ดวยสเกลาร c และเราจะเรยกเมทรกซ cA วา พหคณสเกลาร (scalar multiple) ของ A

หรอกลาวไดวา ถา A = [aij ] แลว B = cA กตอเมอ bij = caij สำหรบทก i และ j

ตวอยาง 1.3 กำหนดให

A =

[

1 −1 0 3

2 6 −4 8

]

จงหา 3A และ (−1)A

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.6 ตวลบ ของเมทรกซ B ซงเขยนแทนดวย −B คอ เมทรกซ (−1)B ทไดจากการเปลยนเครองหมายของสมาชกทกตวของ B

บทนยาม 1.7 (ผลตางของเมทรกซ) กำหนดให A และ B เปนเมทรกซทมมตเทากน ผลตางของ A และ B ซงเขยนแทนดวย A− B คอ เมทรกซ C ทนยามโดย C = A+ (−B)

หมายเหต เมทรกซ A− B สามารถหาไดจากการลบสมาชกทกตวของ A ดวยสมาชกทสมนยกนของ B

ตวอยาง 1.4 จงหาเมทรกซ C = 2A−B เมอ A =

[

1 2

−1 0

]

และ B =

[

0 4

−1 0

]

วธทำ . . . . . . . . .


บทนยาม 1.8 (การคณเมทรกซ) ถา A เปนเมทรกซมต m × n และ B เปนเมทรกซมตp × q แลว ผลคณ AB สามารถหาไดถา n = p และ AB เปนเมทรกซมต m × q โดยทสมาชกของ AB ในแถวท i และหลกท j ไดมาจากการบวกกนของผลคณระหวางสมาชกแตละตวของแถวท i ของ A กบสมาชกทสมนยกนในหลกท j ของ B

หรอกลาวไดวา ถา C = AB แลว

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj หรอ cij =

n∑

k=1

aikbkj

ตวอยาง 1.5 กำหนดให A และ B เปนเมทรกซตอไปน จงหาผลคณ AB และ BA (ถาหาได)

(a) A =

3 −2

2 4

1 −3

, B =

[

−2 1 3

4 1 6

]

(b) A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

, B =

x

y

z

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต จากตวอยางขางตนจะเหนไดวาการคณของเมทรกซ จะแตกตางจากการคณของจำนวนกลาวคอ การคณของจำนวนมสมบตการสลบท นนคอ ถา a และ b เปนจำนวนใดๆ แลว ab = ba

แตการคณของเมทรกซไมมสมบตดงกลาวอยางไรกตาม สถานการณหนงททำให AB และ BA สามารถหาได (แตอาจจะไมเทากน)

คอ เมอเมทรกซ A และ B มมตเทากนและเปนเมทรกซจตรส

เมทรกซสลบเปลยน

บทนยาม 1.9 กำหนดให A เปนเมทรกซมต m × n ใดๆ เมทรกซสลบเปลยน ของ A

(transpose of A) เขยนแทนดวย AT คอเมทรกซมต n × m ทไดจากการสลบแถวและหลกของ A นนคอ หลกท j ของ AT คอแถวท j ของ A

หรอกลาวไดวา B = AT กตอเมอ bij = aji สำหรบแตละคาของ i และ j

ตวอยาง 1.6 จงหาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซตอไปน

(a) A =

[

1 2 3

4 5 6

]

(b) B =

−3 2 1

4 3 2

1 2 5

(c) C =

2

3

5

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.10 ถา A เปนเมทรกซจตรสใดๆ แลว รอย (trace) ของ A เขยนแทนดวยtr(A) คอ ผลบวกของสมาชกทอยในเสนทแยงมมหลกของ A แตถา A ไมใชเมทรกซจตรสแลว tr(A) หาคาไมได


ตวอยาง 1.7 จงหารอยของเมทรกซตอไปน

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, B =

−3 1 7 0

2 4 −8 4

1 −2 5 0

8 3 −1 0

วธทำ . . . . . . . . .

เราจะจบหวขอนโดยการกลาวถงสมบตพชคณตของเมทรกซตอไปน

ทฤษฎบท 1.1 (สมบตพชคณตของเมทรกซ) กำหนดให A, B และ C เปนเมทรกซใดๆและ a และ b เปนสเกลารใดๆ และสมมตใหมตของเมทรกซในแตละการดำเนนการเปนไปตามบทนยาม พชคณตของเมทรกซตอไปนสมเหตสมผล

(a) A+B = B + A (กฎการสลบทสำหรบการบวก)

(b) A+ (B + C) = (A+B) + C (กฎการจดหมสำหรบการบวก)

(c) A(BC) = (AB)C (กฎการจดหมสำหรบการคณ)

(d) A(B + C) = AB + AC (กฎการแจกแจงทางซาย)

(e) (B + C)A = BA + CA (กฎการแจกแจงทางขวา)

(f) A(B − C) = AB − AC (g) (B − C)A = BA− CA

(h) a(B + C) = aB + aC (i) a(B − C) = aB − aC

(j) (a+ b)C = aC + bC (k) (a− b)C = aC − bC

(l) (ab)C = a(bC) (m) a(BC) = (aB)C = B(aC)

(n) A+ 0 = 0+ A = A (o) A−A = 0

(p) 0−A = −A (q) A0 = 0, 0A = 0

(r) AI = A

แบบฝกหด 1.1

1. สมมตให A,B,C,D และ E เปนเมทรกซทมมตดงน

A B C D E

(4× 5) (4× 5) (5× 2) (4× 2) (5× 4)

จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปนหาได และมมตเทาใด?(a) BA (b) AC +D (c) AE +B (d) AB +B

(e) E(A +B) (f) E(AC) (g) ETA (h) (AT + E)D

2. ถา A เปนเมทรกซมต 3× 5 และ AB เปนเมทรกซมต 3× 7 แลวมตของเมทรกซ B

คออะไร?


3. จงหาคา a, b, c และ d จากสมการ[

a− b b+ c

3d+ c 2a− 4d

]

=

[

8 1

7 6

]

4. กำหนดให

A =

3 0

−1 2

1 1

, B =

[

4 −1

0 2

]

, C =

[

1 4 2

3 1 5

]

,

D =

1 5 2

−1 0 1

3 2 4

, E =

6 1 3

−1 1 2

4 1 3

จงหาเมทรกซตอไปน (ถาหาได)(a) 2AT + C (b) DT − ET (c) (D −E)T (d) BT + 5CT

(e) 12CT − 1

4A (f) B −BT (g) 2ET − 3DT (h) (2ET − 3DT )T

5. จงใชเมทรกซทกำหนดใหในขอ 4. หาเมทรกซตอไปน (ถาหาได)(a) AB (b) BA (c) (3E)D (d) (AB)C

(e) A(BC) (f) CCT (g) (DA)T (h) (CTB)AT

(i) tr(DDT ) (j) tr(4ET −D) (k) tr(CTAT + 2ET )

6. จงหาเมทรกซ [aij ] มต 6× 6 ทสอดคลองกบเงอนไขตอไปน และเขยนคำตอบใหอยในรปทวไปมากทสด โดยใชตวอกษรแทนจำนวนทไมเทากบศนย

(a) aij = 0 ถา i 6= j (b) aij = 0 ถา i > j

(c) aij = 0 ถา i < j (d) aij = 0 ถา |i− j| > 1

7. จงหาเมทรกซ A ททำให

A

x

y

z

=

x+ y

x− y

0

สำหรบทกคาของ x, y และ z


A =

1 −2 0

3 5 −1

2 3 4

, B =

6 0 2

4 1 −1

−3 8 5

C =

4 −5 3

5 7 −2

−3 2 −1

, a = 3, b = −5


จงแสดงวา

(a) A + (B + C) = (A+B) + C (b) (AB)C = A(BC)

(c) (a+ b)C = aC + bC (d) a(B − C) = aB − aC

(e) a(BC) = (aB)C = B(aC) (f) A(B − C) = AB −AC

(g) (B + C)A = BA + CA (h) a(bC) = (ab)C

(i) (AT )T = A (j) (A+B)T = AT +BT

(k) (aC)T = aCT (l) (AB)T = BTAT

9. กำหนดให 0 เปนเมทรกซศนยมต 2× 2 จงหา

(a) เมทรกซ A ททำให A 6= 0 และ AA = 0

(b) เมทรกซ A ททำให A 6= 0 และ AA = A

10. จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอไม? ถาขอความทพจารณาเปนเทจ จงยกตวอยางประกอบ

(a) tr(AAT ) และ tr(ATA) หาคาไดเสมอ

(b) tr(AAT ) = tr(ATA) สำหรบทกเมทรกซ A

(c) ถาสมาชกทกตวในหลกทหนงของ A มคาเทากบศนย แลวสมาชกทกตวในหลกทหนงของผลคณ AB ใดๆมคาเทากบศนย

(d) ถาสมาชกทกตวในแถวทหนงของ A มคาเทากบศนย แลวสมาชกทกตวในแถวทหนงของผลคณ AB ใดๆมคาเทากบศนย

(e) ถา A เปนเมทรกซจตรสทมแถว 2 แถวเหมอนกน แลวเมทรกซ AA จะมแถว 2

แถวเหมอนกน

(f) ถา A เปนเมทรกซจตรส และ AA มหลกใดหลกหนงเปนศนย แลว A จะตองมหลกใดหลกหนงเปนศนย

(g) ถา B เปนเมทรกซมต n × n ทสมาชกทกตวเปนจำนวนเตมบวกค และถา A เปนเมทรกซมต n×n ทสมาชกทกตวเปนจำนวนเตมบวก แลวสมาชกทกตวของ AB และBA เปนจำนวนเตมบวกค

(h) ถาผลบวกของเมทรกซ AB +BA หาได แลว A และ B ตองเปนเมทรกซจตรส

คำตอบแบบฝกหด 1.1

1. (a) หาไมได (b) 4× 2 (c) หาไมได (d) หาไมได (e) 5× 5

(f) 5× 2 (g) หาไมได (h) 5× 2

2. 5× 7 3. a = 5, b = −3, c = 4, d = 1


4. (a)

[

7 2 4

3 5 7

]

(b)

−5 0 −1

4 −1 1

−1 −1 1

(c)

−5 0 −1

4 −1 1

−1 −1 1

(d) หาไมได

(e)

−14

32

94

034

94

(f)

[

0 −1

1 0

]

(g)

9 1 −1

−13 2 −4

0 1 −6

(h)

9 −13 0

1 2 1

−1 −4 −6

5. (a)

12 −3

−4 5

4 1

(b) หาไมได (c)

42 108 75

12 −3 21

36 78 63

(d)

3 45 9

11 −11 17

7 17 13

(e)

3 45 9

11 −11 17

7 17 13

(f)

[

21 17

17 35

]

(g)

[

0 −2 11

12 1 8

]

(h)

12 6 9

48 −20 14

24 8 16

(i) 61 (j) 35 (k) 28

6. (a)

a11 0 0 0 0 0

0 a22 0 0 0 0

0 0 a33 0 0 0

0 0 0 a44 0 0

0 0 0 0 a55 0

0 0 0 0 0 a66

(b)

a11 a12 a13 a14 a15 a16

0 a22 a23 a24 a25 a26

0 0 a33 a34 a35 a36

0 0 0 a44 a45 a46

0 0 0 0 a55 a56

0 0 0 0 0 a66

(c)

a11 0 0 0 0 0

a21 a22 0 0 0 0

a31 a32 a33 0 0 0

a41 a42 a43 a44 0 0

a51 a52 a53 a54 a55 0

a61 a62 a63 a64 a65 a66

(d)

a11 a12 0 0 0 0

a21 a22 a23 0 0 0

0 a32 a33 a34 0 0

0 0 a43 a44 a45 0

0 0 0 a54 a55 a56

0 0 0 0 a65 a66

7.

1 1 0

1 −1 0

0 0 0

9. (a)

[

0 1

0 0

]

(b)

[

1 0

0 0

]

10. (a) จรง (b) จรง (c) เทจ ตวอยางเชน A =

[

0 2

0 4

]

และ B =

[

1 2

3 4

]

(d) จรง (e) จรง (f) เทจ ตวอยางเชน A =

[

1 −1

1 −1

]

(g) จรง

(h) จรง


1.2 การดำเนนการขนมลฐานและรปแบบขนบนได

การดำเนนการตามแถวขนมลฐาน

การดำเนนการตามแถวขนมลฐาน (elementary row operations) ประกอบดวยการดำเนนการ3 แบบ ดงน

1. คณแถวใดแถวหนงดวยคาคงตวทไมเทากบศนย เขยนแทนดวยสญลกษณ α ri

2. สลบทสองแถวใดๆของเมทรกซ เขยนแทนดวยสญลกษณ ri ↔ rj

3. คณแถวใดแถวหนงดวยคาคงตวทไมเทากบศนย แลวนำไปบวกกบอกแถวหนง เขยนแทนดวยสญลกษณ rj + α ri

ตวอยาง 1.8 กำหนดให A =

2 −3 2 1

0 8 6 −10

4 1 3 −2

จงหาเมทรกซ B ทเกดจากการดำเนนการ

ตามแถวขนมลฐานตอไปนบนเมทรกซ A

(a) r1 ↔ r2 (b) 12r2 (c) r3 − 2r1

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.11 เมทรกซ A สมมลตามแถว (row equivalent) กบเมทรกซ B กตอเมอ B

เปนเมทรกซทไดจากการใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานบน A และจะเขยนแทนดวย A ∼ B

รปแบบขนบนได

บทนยาม 1.12 เมทรกซ A จะเปน เมทรกซขนบนไดตามแถว (row-echelon matrix)กตอเมอ เมทรกซ A มสมบตตอไปน

1. ถาแถวใดแถวหนงของ A มสมาชกทกตวเปนศนย แลวแถวดงกลาวจะตองเปนแถวทอยดานลางของเมทรกซ

2. สมาชกตวแรกทไมเปนศนย หรอเราเรยกวา ตวนำ ของแตละแถวจะตองอยในหลกทางขวามอของตวนำของแถวบน

ถาเมทรกซขนบนไดตามแถว A มสมบตตอไปนเพมเตม แลวเราจะเรยก A วา เมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป (reduced row-echelon matrix)

3. สมาชกตวแรกทไมเปนศนย หรอตวนำของแถวตองมคาเทากบ 1

4. ถาตวนำ 1 ของแถวใดแถวหนงอยในหลกใด แลวสมาชกตวอนของหลกนนตองเทากบศนย


เมทรกซตอไปนเปนเมทรกซขนบนไดตามแถว

3 4 −3 7

0 2 6 2

0 0 1 −1

,

1 0 0

0 3 1

0 0 0

,

0 −1 2 6 0

0 0 3 −1 0

0 0 0 0 1

เมทรกซตอไปนเปนเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป

1 0 0 1

0 1 0 −1

0 0 1 2

,

1 0 3 1 0

0 1 2 1 0

0 0 0 0 0

,

0 1 −2 0 0

0 0 0 1 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

,

[

0 0

0 0

]

ตวอยาง 1.9 จงหาเมทรกซขนบนไดตามแถวของ A เมอ

A =

0 −3 −6 4 9

−1 −2 −1 3 1

−2 −3 0 3 −1

1 4 5 −9 −7

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 1.10 จงหาเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปของ B เมอ

B =

0 3 −6 6 4 −5

3 −7 8 −5 8 9

3 −9 12 −9 6 15

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 1.13 คาลำดบชน (rank) ของเมทรกซ A ใดๆ ซงเขยนแทนดวย rank(A) คอจำนวนแถวทมสมาชกไมเปนศนยของเมทรกซขนบนไดตามแถวทสมมลกบเมทรกซ A

ตวอยางเชน เมทรกซในตวอยาง 1.9 มคาลำดบชนเทากบ 3


1. จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปน เปนเมทรกซขนบนไดตามแถว

(a)

1 0 0

0 2 0

0 0 3

(b)

2 3 0

0 0 −1

0 0 0

(c)

4 1 1

0 −2 2

0 0 3

(d)

1 0 0

0 2 0

0 3 0

(e)

1 4 6

0 0 1

0 −2 3

(f)

−1 1 0

0 2 0

0 0 0

(g)

1 3 4

0 0 1

0 0 0

(h)

1 2 3

0 0 0

0 0 4


2. จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปน เปนเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป

(a)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(b)

0 1 0

1 0 0

0 0 0

(c)

0 1 0

0 0 1

0 0 0

(d)

1 0 0

0 0 1

0 0 0

(e)

1 0 0

0 0 0

0 0 1

(f)

1 1 0

0 1 0

0 0 0

(g)

1 0 2

0 1 3

0 0 0

(h)

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3. จงพจารณาวาเมทรกซตอไปน เปนเมทรกซขนบนไดตามแถว หรอเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป หรอทงสองอยาง หรอไมใชทงสองอยาง

(a)

0 1 3 5 7

0 0 1 2 3

0 0 0 0 0

(b)

1 0 0 5

0 0 1 3

0 1 0 4

(c)

[

1 0 3 1

0 1 2 4

]

(d)

[

1 −7 5 5

0 1 3 2

]

(e)

1 0 0 1 2

0 1 0 2 4

0 0 1 3 6

(f)

0 1

0 0

0 0

4. จงหาเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปทสมมลตามแถวกบเมทรกซ A เมอ

A =

2 2 −1 0 1 0

−1 −1 2 −3 1 0

1 1 −2 0 −1 0

0 0 1 1 1 0

5. จงหาเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปทสมมลตามแถวกบเมทรกซ B เมอ

B =

0 0 −2 0 7 12

2 4 −10 6 12 28

2 4 −5 6 −5 −1

6. จงแสดงวา rank(A) = rank(AT ) เมอ

A =

1 −1 2 1

0 1 1 −2

1 −3 0 5

7. จงหาคาลำดบชนของเมทรกซตอไปน


(a) A =

[

2 0 −3 1

3 4 2 2

]

(b) A =

1 0 1

−2 1 1

1 1 2

(c) A =

1 4 5 2

2 1 3 0

−1 3 2 2

(d) A =

0 6 6 3

1 2 1 1

4 1 −3 4

1 3 2 0

(e) A =

1 2 1 4 2 5

2 4 3 1 6 1

1 2 3 10 6 3

2 4 4 −6 8 −8

8. คาของ r และ s ททำให

1 0 0

0 r − 2 2

0 s− 1 r + 2

0 0 3

มคาลำดบชน 1 หรอ 2 มหรอไม? ถาม จงหาคาเหลานน


1. (a), (b), (c), (f), (g) 2. (a), (c), (d), (g), (h)

3. (a) เมทรกซขนบนไดแบบแถว (b) ไมใชทงสองอยาง (c) ทงสองอยาง

(d) เมทรกซขนบนไดแบบแถว (e) ทงสองอยาง (f) ทงสองอยาง

4.

1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

5.

1 2 0 3 0 7

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

6. rank(A) = rank(AT ) = 2

7. (a) rank(A) = 2 (b) rank(A) = 3 (c) rank(A) = 2 (d) rank(A) = 3

(e) rank(A) = 3

8. คาลำดบชนเทากบ 2 ถา r = 2 และ s = 1; คาลำดบชนไมเทากบ 1

บทท 2

ดเทอรมแนนต

ในบทนเราจะศกษาสมบตทสำคญของเมทรกซจตรส นนคอเมทรกซจตรสทกเมทรกซจะสอดคลองกบจำนวนจรงทเรยกวา ดเทอรมแนนต (determinant) หรอ ตวกำหนด ของเมทรกซ ถาA เปนเมทรกซจตรส แลวดเทอรมแนนตของ A จะเขยนแทนดวย det(A) หรอ |A|

บทนยาม 2.1 ดเทอรมแนนตของเมทรกซมต 1× 1 และ 2× 2

(a) ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A =[

a]

มต 1× 1 คอ det(A) =∣

∣

∣a∣

∣

∣= a

(b) ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A =

[

a b

c d

]

มต 2× 2 คอ det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

a b

c d

∣

∣

∣

∣

∣

= ad− bc

สำหรบหวขอยอยตอไปน เราจะเรยนรการหาดเทอรมแนนตของเมทรกซจตรสทมอนดบตางๆ

2.1 ดเทอรมแนนตโดยการกระจายตวประกอบรวมเกยว

ไมเนอรและตวประกอบรวมเกยว

วธการหาดเทอรมแนนตในหวขอน เปนการใหบทนยามดเทอรมแนนตของเมทรกซมต n× n ในรปของดเทอรมแนนตของเมทรกซมต (n−1)× (n−1) โดยทเมทรกซมต (n−1)× (n−1) ทปรากฎในบทนยามนน เปนเมทรกซยอยของเมทรกซทกำหนดให และเมทรกซยอยเหลานมชอเรยกเฉพาะ

บทนยาม 2.2 ถา A เปนเมทรกซจตรส แลว ไมเนอร (minors) ของ aij ซงเขยนแทนดวย Mij คอ ดเทอรมแนนตของเมทรกซยอยทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ออกจากเมทรกซ A และจำนวน (−1)i+jMij ซงเขยนแทนดวย Cij เรยกวา ตวประกอบรวมเกยว(cofactor) ของ aij


2 1 3

4 1 2

1 2 −3

จงหาไมเนอรและตวประกอบรวมเกยวของ a11

และ a32

14


วธทำ . . . . . . . . .

สงเกตไดวาตวประกอบรวมเกยว และไมเนอรของ aij จะแตกตางกนเฉพาะเครองหมาย นนคอ Cij = ±Mij วธการทงายและรวดเรวในการพจารณาวาจะใชเครองหมาย + หรอ − อาศยขอเทจจรงทวา เครองหมายทสมพนธกบ Cij และ Mij คอ เครองหมายในแถวท i และหลกทj ของการจดเรยงตอไปน

+ − + − + · · ·− + − + − · · ·+ − + − + · · ·− + − + − · · ·... ... ... ... ...

ตวอยางเชน C11 = M11, C21 = −M21, C13 = M13 และ C32 = −M32

การกระจายตวประกอบรวมเกยว

สำหรบบทนยามของดเทอรมแนนตของเมทรกซมต 3 × 3 ในรปของไมเนอรและตวประกอบรวมเกยวคอ

det(A) = a11M11 + a12(−M12) + a13M13

= a11C11 + a12C12 + a13C13 (2.1)

จากสมการ (2.1) ดเทอรมแนนตของ A สามารถหาไดจากการคณสมาชกในแถวท 1 ของ A

ดวยตวประกอบรวมเกยวของสมาชกนน แลวนำมาบวกกนสำหรบกรณทวไป ดเทอรมแนนตของเมทรกซมต n× n คอ

det(A) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n

วธการคำนวณ det(A) นเรยกวา การกระจายตวประกอบรวมเกยว ตามแถวท 1 ของ A


1 5 0

2 4 −1

0 −2 0

จงหา det(A) โดยใชการกระจายตวประกอบ

รวมเกยวตามแถวท 1 ของ A

วธทำ . . . . . . . . .


ถา A เปนเมทรกซมต 3× 3 ใดๆ แลวดเทอรมแนนตของ A คอ

det(A) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= a11

∣

∣

∣

∣

∣

a22 a23

a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

− a12

∣

∣

∣

∣

∣

a21 a23

a31 a33

∣

∣

∣

∣

∣

+ a13

∣

∣

∣

∣

∣

a21 a22

a31 a32

∣

∣

∣

∣

∣

= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31)

+ a13(a21a32 − a22a31) (2.2)

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31

− a12a21a33 − a11a23a32 (2.3)

การจดเรยงพจนใน (2.3) ใหมใหมรปแบบดงเชน (2.2) มหลายวธดวยกน และเราสามารถแสดงไดวา

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

= a11C11 + a21C21 + a31C31

= a21C21 + a22C22 + a23C23

= a12C12 + a22C22 + a32C32

= a31C31 + a32C32 + a33C33

= a13C13 + a23C23 + a33C33 (2.4)

สงเกตไดวาในแตละสมการ สมาชกและตวประกอบรวมเกยวมาจากแถว หรอหลกเดยวกน สมการเหลานเรยกวา การกระจายตวประกอบรวมเกยว ของ det(A)

ทฤษฎบท 2.1 (การกระจายโดยตวประกอบรวมเกยว) ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ทมมต n × n ใดๆ สามารถหาไดโดยการคณสมาชกในแถวใดแถวหนง(หรอหลกใดหลกหนง) ดวยตวประกอบรวมเกยวของสมาชกตวนนแลวนำมาบวกกน นนคอสำหรบแตละ 1 ≤ i ≤ n และ1 ≤ j ≤ n

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj

(การกระจายตวประกอบรวมเกยวตามหลกท j)

และ

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin

(การกระจายตวประกอบรวมเกยวตามแถวท i)

ตวอยาง 2.3 กำหนดให A เปนเมทรกซในตวอยาง 2.2 จงหา det(A) โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวตามสดมภท 1 ของ A

วธทำ . . . . . . . . .


หมายเหต โดยทวไปการหาดเทอรมแนนต โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวนนเรามกเลอกกระจายตวประกอบรวมเกยวตามแถว หรอหลกทมสมาชกเปนศนยจำนวนมากๆ เพอความสะดวกและรวดเรวในการคำนวณ


A =

0 2 3 0

0 4 5 0

0 1 0 3

2 0 1 3

จงหา det(A) โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยว

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 2.2 ถา A เปนเมทรกซแบบสามเหลยมมต n × n (เมทรกซแบบสามเหลยมบนเมทรกซแบบสามเหลยมลางหรอเมทรกซทแยงมม) แลว det(A) คอ ผลคณของสมาชกในเสนทแยงมมหลกของ A นนคอ det(A) = a11a22 · · ·ann

ตวอยาง 2.5 จงหา det(A) เมอ

A =

2 4 −3 5 3

0 −1 6 7 −2

0 0 3 8 5

0 0 0 9 3

0 0 0 0 −4

วธทำ . . . . . . . . .



A =

3 2 4

1 −2 3

2 3 2

(a) จงหาไมเนอรทงหมดของ A (b) จงหาตวประกอบรวมเกยวทงหมดของ A

2. จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซในขอ 8. โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวตาม

(a) แถวท 1 (b) หลกท 1 (c) แถวท 2

(d) หลกท 2 (e) แถวท 3 (f) หลกท 3

3. จงหาคาของ λ ทงหมดททำใหดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปนเทากบ 0∣

∣

∣

∣

∣

2− λ 4

3 3− λ

∣

∣

∣

∣

∣


4. จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปน โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยว

(a)

5 2 1

1 −1 4

3 0 2

(b)

3 3 1

1 0 −4

1 −3 5

(c)

4 3 0

3 1 2

5 −1 −4

(d)

k + 1 k − 1 7

2 k − 3 4

5 k + 1 k

(e)

2 3 4 6

2 0 −9 6

4 1 0 2

0 1 −1 0

(f)

2 0 0 1

0 1 0 0

1 6 2 0

1 1 −2 3

(h)

2 1 2 1

3 0 1 1

−1 2 −2 1

−3 2 3 1


1. (a) M11 = −13, M12 = −4, M13 = 7, M21 = −8, M22 = −2,

M23 = 5, M31 = 14, M32 = 5, M33 = −8

(b) C11 = −13, C12 = 4, C13 = 7, C21 = 8, C22 = −2, C23 = −5,

C31 = 14, C32 = −5, C33 = −8

2. −3 3. λ = 6 หรอ −1

4. (a) 13 (b) −66 (c) 58 (d) k3 − 8k2 − 10k + 95 (e) 320

(f) 8 (h) 20

2.2 การหาดเทอรมแนนตโดยใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐาน

ในหวขอน เราจะเหนไดวาดเทอรมแนนตของเมทรกซจตรสสามารถหาได โดยการลดรปเมทรกซใหอยในรปขนบนไดตามแถว วธการนมความสำคญ เนองจากเปนวธการทมประสทธภาพมากทสด ในการหาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซทวไป

ทฤษฎบทพนฐาน

เรมดวยทฤษฎบทพนฐาน ทจะนำเราไปสขนตอนทมประสทธภาพสำหรบการคำนวณดเทอรมแนนตของเมทรกซอนดบ n ใดๆ


ทฤษฎบท 2.3 กำหนดให A เปนเมทรกซจตรส ถา A มแถวใดแถวหนง หรอหลกใดหลกหนงทสมาชกทกตวเปนศนย แลว det(A) = 0

ทฤษฎบท 2.4 ถา A เปนเมทรกซจตรส แลว det(A) = det(AT )

การดำเนนการตามแถวขนมลฐาน

ทฤษฎบทตอไปจะแสดงใหเหนวาการดำเนนการตามแถวขนมลฐานบนเมทรกซใดๆ มผลกระทบกบดเทอรมแนนตของเมทรกซนนอยางไร

ทฤษฎบท 2.5 กำหนดให A เปนเมทรกซมต n× n

1. ถา B เปนเมทรกซทไดจากการคณแถวใดแถวหนงหรอหลกใดหลกหนงของ A ดวยสเกลารk แลว det(B) = k det(A)

2. ถา B เปนเมทรกซทไดจากการสลบทแถวสองแถวหรอหลกสองหลกใดๆของ A แลว det(B) =

−det(A)

3. ถา B เปนเมทรกซทไดจากการคณแถวใดแถวหนงของ A ดวยสเกลารแลวนำไปบวกกบอกแถวหนง หรอคณหลกใดหลกหนงของ A ดวยสเกลารแลวนำไปบวกกบอกหลกหนง แลวdet(B) = det(A)

เราสามารถแสดงทฤษฎบทน โดยใชเมทรกซมต 3× 3 ดงน

ความสมพนธ การดำเนนการ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

k a11 k a12 k a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= k

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

คณแถวท 1 ของ A

ดวย k

det(B) = k det(A)∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a21 a22 a23

a11 a12 a13

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

สลบทแถวท 1 กบแถวท 2 ของ A

det(B) = − det(A)∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 + k a12 a12 + k a22 a13 + k a23

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

คณแถวท 2 ของ A

ดวย k แลวนำไปบวกกบแถวท 1

det(B) = det(A)

หมายเหต จากทฤษฎบท 2.5(a) ซงแสดงโดยสมการแรกในตารางขางตน กลาวไดวาเราสามารถดงตวประกอบรวมออกจากแถวใดแถวหนง หรอหลกใดหลกหนง โดยผานเครองหมายดเทอรมแนนต


ทฤษฎบท 2.6 ถา A เปนเมทรกซจตรสทมแถวสองแถวเปนสดสวนกน หรอมหลกสองหลกเปนสดสวนกน แลว det(A) = 0

ตวอยางตอไปนเปนเมทรกซทมแถวสองแถวเปนสดสวนกน หรอหลกสองหลกเปนสดสวนกน ดงนนดเทอรมแนนตของแตละเมทรกซมคาเทากบศนย

[

1 −3

−2 6

]

,

1 −2 7

−4 8 8

3 −6 5

,

1 −2 5 2

3 1 −4 −2

4 7 8 1

−9 −3 12 6

การหาดเทอรมแนนตโดยใชการลดรปตามแถว

ลำดบตอไปเราจะแนะนำวธการหาดเทอรมแนนต ซงใชการคำนวณนอยกวาการหาดเทอรมแนนตโดยการกระจายตวประกอบรวมเกยว แนวคดของวธดงกลาวคอ การลดรปเมทรกซทกำหนดให ไปอยในรปเมทรกซแบบสามเหลยมบนโดยใชการดำเนนการตามแถว แลวจงคำนวณคาดเทอรมแนนตของเมทรกซแบบสามเหลยมบน และหาความสมพนธของดเทอรมแนนตทไดกบดเทอรมแนนตของเมทรกซทกำหนดให ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 2.6 จงหาคาของ det(A) เมอ A =

3 −6 9

−2 4 −7

0 5 2

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 2.7 จงหาคาของ det(A) เมอ

A =

1 2 0 −2

0 0 2 −1

0 −1 1 0

1 3 4 1

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยางตอไปเปนการหาดเทอรมแนนตโดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวรวมกบการดำเนนการตามแถว ซงจดวาเปนวธการหาดเทอรมแนนตทมประสทธภาพวธหนง


A =

3 5 −2 6

1 2 −1 1

2 4 1 5

3 7 5 3

วธทำ . . . . . . . . .



A =

2 1 −3 1

−3 −2 0 2

2 1 0 −1

1 0 1 2

วธทำ . . . . . . . . .


A =

13

0 34

25

−1 32

18

−34

54

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงแสดงวา det(A) = det(AT ) เมอ

(a) A =

[

1 2

6 −3

]

(b) A =

1 3 2

−1 4 1

5 3 8

2. จงหาคาของดเทอรมแนนตตอไปน

(a)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 −17 4

0 5 1

0 0 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 0 3

0 4 1

2 3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(c)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2 1 3

1 −7 4

−2 1 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(d)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 3

2 −4 6

5 −8 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(e)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

√2 0 0 0

−8 2 0 0

7 0 −1 0

9 5 6 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(f)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1 3

0 3 1 1

0 0 2 2

−1 −1 −1 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3. จงหาคาของดเทอรมแนนตของเมทรกซทกำหนดใหตอไปน โดยการลดรปเมทรกซใหอยในรปเมทรกซแบบสามเหลยมบน


(a)

3 0 2

−1 5 0

1 9 6

(b)

1 −3 0

−2 4 1

5 −2 2

(c)

1 −2 3 1

5 −9 6 3

−1 2 −6 −2

2 8 6 1

(d)

2 0 −1 3

4 0 1 −1

−3 1 0 1

1 4 1 1

(e)

4 5 0 1 0

0 0 0 0 1

4 1 8 2 0

1 0 0 1 0

4 8 0 1 0

(f)

0 0 0 3 −4

0 0 0 2 1

−1 2 4 0 0

3 1 −2 0 0

5 1 5 0 0


∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c

d e f

g h i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 7 จงหา

(a)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c

d e f

5g 5h 5i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c

g h i

d e f

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(c)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c

2d+ a 2e+ b 2f + c

g h i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(d)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2a −2b −2c

d e f

3g 3h 3i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣


A =

0 1 2 3

1 1 1 1

−2 −2 3 3

1 2 −2 −3

(a) จงหา det(A) โดยการลดรปเมทรกซ A ใหอยในรปเมทรกซแบบสามเหลยมบน

(b) จงใชคาของ det(A) ทคำนวณไดจากขอ(a) หาคาของ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 2 3

−2 −2 3 3

1 2 −2 −3

1 1 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 2 3

1 1 1 1

−1 −1 4 4

2 3 −1 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6. จงแสดงวา∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 x1 x21

1 x2 x22

1 x3 x23

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (x2 − x1)(x3 − x1)(x3 − x2)


7. จงหาคาของดเทอรมแนนตของเมทรกซทกำหนดใหขอ 3. โดยการใชการกระจายตว ประกอบรวมเกยวรวมกบการดำเนนการตามแถวดงเชนตวอยาง 2.8

8. จงหาคาของ x จากสมการ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x 5 7

0 x+ 1 6

0 0 2x− 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

9. จงหาคาของ x ทงหมดททำให det(A− xI) = 0 เมอ

A =

0 −3 4

0 5 0

1 −2 0

และ I เปนเมทรกซเอกลกษณมต 3× 3


2. (a) −30 (b) 2 (c) 0 (d) 0 (e) −2 (f) 30

3. (a) 62 (b) −17 (c) 39 (d) 30 (e) −72 (f) −715

4. (a) 35 (b) −7 (c) 14 (d) −42 5. (a) 10 (b) 20

8. x = 0,−1, 12

9. x = 5, 2,−2

2.3 เมทรกซผกผน

บทนยาม 2.3 กำหนดให A เปนเมทรกซจตรส ถามเมทรกซ B ททำให AB = BA =

I แลวจะกลาววา A เปน เมทรกซทหาตวผกผนได (invertible matrix) หรอ A เปนเมทรกซไมเอกฐาน (nonsingular matrix) และเรยก B วา เมทรกซผกผน (inversematrix) ของ A แตถา A ไมมเมทรกซผกผน หรอไมสามารถหาเมทรกซ B ได แลวจะกลาววา A เปน เมทรกซเอกฐาน (singular matrix)

ตวอยาง 2.11 จงแสดงวา B =

[

2 −5

−1 3

]

เปนเมทรกซผกผนของ A =

[

3 5

1 2

]

วธทำ . . . . . . . . .

สมบตของเมทรกซผกผน

ทฤษฎบท 2.7 ถา B และ C เปนเมทรกซผกผนของเมทรกซ A แลว B = C


จากทฤษฎบท 2.7 เราสามารถกลาวไดวา ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลวเมทรกซผกผนของ A มเพยงเมทรกซเดยว ซงจะเขยนแทนดวย A−1 ดงนน

AA−1 = I และ A−1A = I

ทฤษฎบท 2.8 ให A เปนเมทรกซมต n×n ใดๆ A จะมเมทรกซผกผน กตอเมอ rank(A) =

n นนคอกตอเมอ det(A) 6= 0 ดงนน A เปนเมทรกซไมเอกฐาน ถา rank(A) = n และเปนเมทรกซเอกฐานถา rank(A) < n

ทฤษฎบท 2.9 ถา A และ B เปนเมทรกซไมเอกฐานและมขนาดเทากน แลว AB เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ

(AB)−1 = B−1A−1

ทฤษฎบท 2.10 ถา A1, A2, . . . , An เปนเมทรกซไมเอกฐานและมขนาดเทากน แลว A1A2 · · ·An

เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ

(A1A2 · · ·An)−1 = A−1

n A−1n−1 · · ·A−1

2 A−11

ทฤษฎบท 2.11 ถา A เปนเมทรกซทหาตวผกผนได แลว

(a) A−1 เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ (A−1)−1 = A

(b) สำหรบสเกลาร k 6= 0 ใดๆ เมทรกซ kA เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ (kA)−1 =1

kA−1

ทฤษฎบท 2.12 ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว AT เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ

(AT )−1 = (A−1)T

ลำดบตอไปเราจะศกษาวธการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซไมเอกฐานขนาดใดๆ อยางไรกตามทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงเงอนไขททำใหเมทรกซมต 2 × 2 มเมทรกซผกผน พรอมทงสตรงายๆของเมทรกซผกผนของเมทรกซมต 2× 2

ทฤษฎบท 2.13 เมทรกซ

A =

[

a b

c d

]

เปนเมทรกซไมเอกฐาน ถา ad− bc 6= 0 และเมทรกซผกผนของ A คอ

A−1 =1

ad− bc

[

d −b

−c a

]

=

d

ad− bc− b

ad− bc

− c

ad − bc

a

ad− bc

ตวอยาง 2.12 จงหาเมทรกซผกผนของ

A =

[

12(ex + e−x) 1

2(ex − e−x)

12(ex − e−x) 1

2(ex + e−x)

]

วธทำ . . . . . . . . .


การหาเมทรกซผกผนโดยวธกำจดเกาส-จอรแดน

การหาเมทรกซผกผน A−1 ของเมทรกซไมเอกฐาน A มต n × n นนเราสามารถใชวธการทเรยกวา วธการกำจดเกาส-จอรแดน (Gauss-Jordan elimination) ซงมขนตอนดงน

ขนตอน 1 สรางเมทรกซแบงสวน [A | In ] ซงมขนาด n× 2n

ขนตอน 2 ใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานกบเมทรกซน จนกระทงเมทรกซยอยทางซายมอถกลดรปเปนเมทรกซ In และการดำเนนการตามแถวขนมลฐานเหลานจะแปลงเมทรกซยอยทางขวามอเปน A−1 ดงนนขนตอนสดทายจะไดเมทรกซแบงสวนในรป [ I |A−1 ]

ตวอยาง 2.13 จงหาเมทรกซผกผนของ

A =

1 −2 1

2 −5 2

3 2 −1

วธทำ . . . . . . . . .

บอยครงทเราไมทราบวาเมทรกซทกำหนดใหเปนเมทรกซไมเอกฐานหรอไม? ถาเมทรกซA มต n × n เปนเมทรกซเอกฐาน แลวเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปของ A จะมแถวอยางนอยหนงแถวทมสมาชกทกตวเปนศนย ดงนนถาใชวธการเชนเดยวกบตวอยาง 2.13 กบเมทรกซทกำหนดให แลวพบวามแถวทมสมาชกทกตวเปนศนยเกดขนในการคำนวณกบเมทรกซยอยทางซายมอในกรณเชนนเราสามารถหยดการคำนวณ และสรปไดวา เมทรกซทกำหนดใหเปนเมทรกซเอกฐาน

ตวอยาง 2.14 จงพจารณาวาเมทรกซ

A =

1 3 4

−2 −5 −3

1 4 9

เปนเมทรกซไมเอกฐานหรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .

การหาเมทรกซผกผนโดยใชเมทรกซผกพน

บทนยาม 2.4 ถา A เปนเมทรกซมต n×n ใดๆ และ Cij เปนตวประกอบรวมเกยวของ aij

แลวเมทรกซ

C11 C12 · · · C1n

C21 C22 · · · C2n

......

...Cn1 Cn2 · · · Cnn

เรยกวา เมทรกซของตวประกอบรวมเกยว ของ A และเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซนเรยกวา เมทรกซผกพน (adjoint matrix) ของ A เขยนแทนดวย adj(A)


ตวอยาง 2.15 จงหา adj(A) เมอ

A =

3 2 −1

1 6 3

2 −4 0

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ซงเปนเมทรกซไมเอกฐานโดยใชเมทรกซผกพนของ A และอาศยขอเทจจรงทสำคญทไดกลาวไปแลว นนคอ เมทรกซ จตรสA เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ det(A) ไมเทากบศนย

ทฤษฎบท 2.14 ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว

A−1 =1

det(A)adj(A) (2.5)

ตวอยาง 2.16 จงใช (2.5) หาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ในตวอยาง 2.15

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงใชทฤษฎบท 2.13 หาเมทรกซผกผนของเมทรกซตอไปน

(a) A =

[

1 3

2 −4

]

(b) B =

[

2 3

1 1

]

(c) C =

[

−4 −5

5 6

]

(d) D =

[

3 −7

−6 13

]

2. จงใชเมทรกซ A, B และ C ในขอ 1 แสดงวา

(a) (A−1)−1 = A (b) (BT )−1 = (B−1)T

(c) (AB)−1 = B−1A−1 (d) (ABC)−1 = C−1B−1A−1

3. จงใชขอมลทกำหนดใหในแตละขอตอไปน หาเมทรกซ A

(a) A−1 =

[

2 −1

3 5

]

(b) (7A)−1 =

[

−3 7

1 −2

]

(c) (5AT )−1 =

[

−3 −1

5 2

]

(d) (I + 2A)−1 =

[

−1 2

4 5

]

4. จงหาเมทรกซผกผนของ

[

cos θ sin θ

− sin θ cos θ

]


5. จงใชวธการในตวอยาง 2.13 และตวอยาง 2.14 หาเมทรกซผกผนของเมทรกซทกำหนดให ถาเมทรกซทกำหนดใหเปนเมทรกซไมเอกฐาน

(a)

[

1 4

2 7

]

(b)

[

−3 6

4 5

]

(c)

[

6 −4

−3 2

]

(d)

1 0 1

3 3 4

2 2 3

(e)

1 1 1

0 1 1

0 0 1

(f)

2 0 5

0 3 0

1 0 3

(g)

2 1 4

3 2 5

0 −1 1

(h)

15

15

−25

15

15

110

15

−45

110

(i)

√2 3

√2 0

−4√2

√2 0

0 0 1

(j)

1 0 0 0

1 3 0 0

1 3 5 0

1 3 5 7

(k)

−8 17 2 13

4 0 25

−9

0 0 0 0

−1 13 4 2

(l)

0 0 2 0

1 0 0 1

0 −1 3 0

2 1 5 −3

6. จงหาคา a ททำใหเมทรกซตอไปนเปนเมทรกซไมเอกฐาน

(a) A =

[

2 a

3 4

]

(b) A =

1 a 0

−1 0 1

0 1 1


A =

[

3 1

5 2

]

และ B =

[

1 2

3 4

]

จงหา A−1 จากนนใช A−1 คำนวณหา

(a) เมทรกซ X มต 2× 2 ททำให AX = B

(b) เมทรกซ Y มต 2× 2 ททำให Y A = B


A =

3 2 4

1 −2 3

2 3 2

จงหา

(a) adj(A) (b) A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14

9. จงหา A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14


(a) A =

2 5 5

−1 −1 0

2 4 3

(b) A =

2 −3 5

0 1 −3

0 0 2

(c) A =

2 1 2

3 2 2

1 2 3

(d) A =

4 0 1

2 2 0

3 1 1


A =

1 3 1 1

2 5 2 2

1 3 8 9

1 3 2 2

(a) จงหา A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14

(b) จงหา A−1 โดยใชวธการในตวอยาง 2.13

(c) วธการแบบใดทใชการคำนวณนอยกวา

11. จงแสดงวาเมทรกซ

A =

cos θ sin θ 0

− sin θ cos θ 0

0 0 1

เปนเมทรกซไมเอกฐานสำหรบทกคาของ θ และจงหา A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14


1. (a) A−1 =

[

25

310

15

− 110

]

(b) B−1 =

[

−1 3

1 −2

]

(c) C−1 =

[

6 5

−5 −4

]

(d) D−1 =

[

−133

−73

−2 −1

]

3. (a) A =

[

513

113

− 313

213

]

(b) A =

[

27

117

37

]

(c) A =

[

−25

1

−15

35

]

(d) A =

[

− 913

113

213

− 613

]

4.

[

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

]

5. (a)

[

−7 4

2 −1

]

(b)

[

− 539

213

439

113

]

(c) ไมมเมทรกซผกผน

(d)

1 2 −3

−1 1 −1

0 −2 3

(e)

1 −1 0

0 1 −1

0 0 1

(f)

3 0 −5

0 13

0

−1 0 2


(g)

−7 5 3

3 −2 −2

3 −2 −1

(h)

1 3 1

0 1 −1

−2 2 0

(i)

√2

26−3

√2

260

4√2

26

√2

260

0 0 1

(j)

1 0 0 0

−13

13

0 0

0 −15

15

0

0 0 −17

17

(k) ไมมเมทรกซผกผน (l)

−45

35

15

15

32

0 −1 012

0 0 045

25

−15

−15

6. (a) a 6= 83

(b) a 6= 1 7. (a)

[

−1 0

4 2

]

(b)

[

−8 5

−14 9

]

8. (a) adj(A) =

−13 8 14

4 −2 −5

7 −5 −8

(b) A−1 =

133

−83

−143

−43

23

53

−73

53

83

9. (a) A−1 =

3 −5 −5

−3 4 5

2 −2 −3

(b) A−1 =

12

32

1

0 1 32

0 0 12

(c) A−1 =

25

15

−25

−75

45

25

45

−35

15

(d) A−1 =

12

14

−12

−12

14

12

−1 −1 2

10. A−1 =

−4 3 0 −1

2 −1 0 0

−7 0 −1 8

6 0 1 −7

11. A−1 =

cos θ − sin θ 0

sin θ cos θ 0

0 0 1

บทท 3

ระบบสมการเชงเสน

ปญหาทจดวาสำคญมากในทางคณตศาสตรคอ การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน หรอกลาวไดวา 70 เปอรเซนตของปญหาทางคณตศาสตรจะเกยวของกบการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนการนำวธการทางคณตศาสตรสมยใหมมาใช บอยครงปญหาทมความซบซอนจะถกลดรปใหเปนระบบสมการเชงเสนเพยงระบบสมการเดยว ระบบสมการเชงเสนสามารถนำมาประยกตใชในหลายสาขาวชาดวยกน ตวอยางเชน เศรษฐศาสตร สงคมศาสตร นเวศนวทยา สถตประชากร พนธกรรม วศวกรรมและฟสกส

3.1 ระบบสมการเชงเสน

สมการเชงเสน

เสนตรงใดๆ ในระนาบเรขาคณตสามารถเขยนแทนไดดวยสมการ

ax+ by = c

เมอ a, b และ c เปนคาคงตวทเปนจำนวนจรง และ a, b ไมเปนศนยพรอมกน ซงสมการในรปแบบนเรยกวา สมการเชงเสน ของตวแปร x และ y ในกรณทวไปเราสามารถเขยนสมการเชงเสนของตวแปร x1, x2, . . ., xn ใหอยในรป

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b

โดยท a1, a2, . . ., an และ b เปนคาคงตวทเปนจำนวนจรง และ a1, a2, . . ., an ไมเปนศนยพรอมกน บางครงเราจะเรยกตวแปรทอยในสมการเชงเสนวา ตวแปรไมรคา

ตวอยาง 3.1 สมการ

3x+ y = 7, y = 15x+ 2z + 4 และ x1 + 3x2 − 2x3 + 5x4 = 7

เปนสมการเชงเสน แตสมการ√x+ 3y = 2, 3x− 2y − 5z + yz = 4 และ y = cosx

ไมเปนสมการเชงเสน z

30


ขอสงเกต สมการเชงเสนจะเปนสมการทไมเกยวของกบผลคณ หรอรากของตวแปร และตวแปรทกตว ตองเปนตวแปรทมเลฃชกำลงเปนหนง และไมปรากฎในนพจนของฟงกชนตรโกณมตฟงกชนลอการทม หรอฟงกชนเลขชกำลง

ผลเฉลย ของสมการเชงเสน a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b คอลำดบของ n จำนวน: s1, s2,. . ., sn ททำใหสมการนเปนจรงเมอแทนคา x1 = s1, x2 = s2, . . ., xn = sn และเชตของผลเฉลยทงหมดของสมการเชงเสนเรยกวา เชตผลเฉลย หรอบางครงเรยกวา ผลเฉลยทวไป ของสมการเชงเสน

ระบบสมการเชงเสน

เชตจำกดของสมการเชงเสนของตวแปร x1, x2, . . ., xn เรยกวา ระบบสมการเชงเสน หรอระบบเชงเสน และลำดบของจำนวน s1, s2, . . ., sn จะเปน ผลเฉลย ของระบบสมการเชงเสนถา x1 = s1, x2 = s2, . . ., xn = sn เปนผลเฉลยของสมการทกสมการในระบบสมการเชงเสนตวอยางเชน

4x1 − x2 + 3x3 = −1

3x1 + x2 + 9x3 = −4

เปนระบบสมการเชงเสนทมผลเฉลยคอ x1 = 1, x2 = 2 และ x3 = −1 เนองจากคาเหลานสอดคลองกบสมการทงสอง อยางไรกตาม x1 = 1, x2 = 8 และ x3 = 1 ไมเปนผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนขางตน เนองจากคาเหลานสอดคลองกบสมการแรกเพยงสมการเดยว ดงนนระบบสมการเชงเสนบางระบบอาจจะไมมผลเฉลย

ถาระบบสมการเชงเสนใดไมมผลเฉลยเราจะเรยกระบบสมการเชงเสนนวา ระบบไมสอดคลอง (in-consistent) แตถาระบบสมการเชงเสนใดมผลเฉลยอยางนอยหนงผลเฉลย แลวจะเรยกระบบสมการนนวา ระบบสอดคลอง (consistent)

รปแบบเมทรกซของระบบสมการเชงเสน

พจารณาระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และตวแปรไมรคา n ตวแปร

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 (3.1)...

......

...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

โดยท x1, x2, . . ., xn เปนตวแปรไมรคา และ a และ b ทมดชนลางเปนคาคงตวใดๆดชนลางของสมประสทธของตวแปรไมรคาจะชวยบอกตำแหนงของสมประสทธของระบบสมการ โดยทดชนลางตวแรกของสมประสทธ aij จะบงชสมการทมสมประสทธนน และดชนลางตวทสองจะบงชตวแปรทมสมประสทธนนเปนตวคณ ตวอยางเชน a23 เปนสมประสทธทอยในสมการทสองและเปนตวคณของตวแปรไมรคา x3


เนองจากเมทรกซ 2 เมทรกซใดๆ จะเทากน กตอเมอ สมาชกทสมนยกนของเมทรกซทงสองมคาเทากน ดงนนเราสามารถเขยนแทนสมการ m สมการของระบบสมการเชงเสนนดวยสมการเมทรกซเพยงสมการเดยว

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn

... ... ...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn

=

b1

b2...bm

และเมทรกซทางซายมอทมมต m× 1 ของสมการน สามารถเขยนในรปของผลคณดงน

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... ...am1 am2 · · · amn

x1

x2

...xm

=

b1

b2...bm

ถากำหนดให A, x และ b แทนเมทรกซแตละเมทรกซตามลำดบ แลวระบบสมการเชงเสน(3.1) สามารถเขยนแทนดวยสมการเมทรกซ

Ax = b

เพยงสมการเดยว และเมทรกซ A ในสมการนเรยกวา เมทรกซสมประสทธ ของระบบสมการเชงเสน เมทรกซแตงเตม (augmented matrix) ของระบบสมการเชงเสน คอเมทรกซทไดจากการนำเมทรกซ b มาเขยนรวมกบเมทรกซ A โดยเขยนตอจาก A เปนหลกสดทาย ดงนนเมทรกซแตงเตมของระบบสมการเชงเสน (3.1) คอ

[

A b

]

=

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2... ... ... ...am1 am2 · · · amn bm

ตวอยางเชน เมทรกซแตงเตมของระบบสมการเชงเสน

x+ 2y + z = 3

3x− y − 3z = −1

2x+ 3y + z = 4

คอ

1 2 1 3

3 −1 −3 −1

2 3 1 4

หมายเหต ในการสรางเมทรกซแตงเตม ตวแปรไมรคาของแตละสมการจะเขยนในลำดบเดยวกน และคาคงตวตองอยทางขวามอ



1. จงพจารณาวาสมการใดตอไปนเปนสมการเชงเสนของตวแปร x1, x2 และ x3

(a) x1 + 5x2 −√2x3 = 1 (b) x1 + 3x2 + x1x3 = 2

(c) x1 = −7x2 + 3x3 (d) x−21 + x2 + 8x3 = 5

(e) x3/51 − 2x2 + x3 = 4 (f) πx1 −

√2 x2 +

13x3 = 71/3

2. จงพจารณาวาระบบสมการใดตอไปนเปนระบบสมการเชงเสน

(a) x1 − 3x2 = x3 − 4

x4 = 1− x1

x1 + x4 + x3 − 2 = 0

(b) 2x−√y + 3z = −1

x+ 2y − z = 2

4x− y = −1

(c) 3x− xy = 1

x+ 2xy − y = 0

(d) y = 2x− 1

y = −x

(e) 2x1 − sin x2 = 3

x2 = x1 + x3

−x1 + x2 − 3x3 = 0

(f) x1 + x2 + x3 = 1

−2x21 − 2x3 = −1

3x2 − x3 = 2

3. จงเขยนระบบสมการเชงเสนตอไปนในรปของสมการเมทรกซ Ax = b

(a) 3x1 + 2x2 = 1

2x1 − 3x2 = 5

(b) x1 + x2 = 5

2x1 + x2 − x3 = 6

3x1 − 2x2 + 2x3 = 7

(c) 2x1 + x2 + x3 = 4

x1 − x2 + 2x3 = 2

3x1 − 2x2 − x3 = 0

(d) 4x1 + −3x3 + x4 = 1

5x1 + x2 − 8x4 = 3

2x1 − 5x2 + 9x3 − x4 = 0

3x2 − x3 + 7x4 = 2

4. จงเขยนสมการเมทรกซตอไปนในรปของระบบสมการเชงเสน

(a)

3 −1 2

4 3 7

−2 1 5

x1

x2

x3

=

2

−1

4

(b)

3 −2 0 1

5 0 2 −2

3 1 4 7

−2 5 1 6

w

x

y

z

=

0

0

0

0

5. จงหาเมทรกซแตงเตมของระบบสมการเชงเสนตอไปน


(a) 3x1 − 2x2 = −1

4x1 + 5x2 = 3

7x1 + 3x2 = 2

(b) 2x1 + 2x3 = 1

3x1 − x2 + 4x3 = 7

6x1 + x2 − x3 = 0

(c) x1 = 1

x2 = 2

x3 = 3

(d) x1 + 2x2 − x4 + x5 = 1

3x2 + x3 − x5 = 2

x3 + 7x4 = 1

6. จงหาระบบสมการเชงเสนทสมนยกบเมทรกซแตงเตมตอไปน

(a)

2 0 0

3 −4 0

0 1 1

(b)

3 0 −2 5

7 1 4 −3

0 −2 1 7

(c)

[

7 2 1 −3 5

1 2 4 0 1

]

(d)

1 0 0 0 7

0 1 0 0 −2

0 0 1 0 3

0 0 0 1 4


1. (a), (c), (f) 2. (a), (d)

3. (a)

[

3 2

2 −3

][

x1

x2

]

=

[

1

5

]

(b)

1 1 0

2 1 −1

3 −2 2

x1

x2

x3

=

5

6

7

(c)

2 1 1

1 −1 2

3 −2 −1

x1

x2

x3

=

4

2

0

(d)

4 0 −3 1

5 1 0 −8

2 −5 9 −1

0 3 −1 7

x1

x2

x3

x4

=

1

3

0

2

4. (a) 3x1 − x2 + 2x3 = 2

4x1 + 3x2 + 7x3 = −1

−2x1 + x2 + 5x3 = 4

(b) 3w − 2x + z = 0

5w + 2y − 2z = 0

3w + x+ 4y + 7z = 0

−2w + 5x+ y + 6z = 0

5. (a)

3 −2 −1

4 5 3

7 3 2

(b)

2 0 2 1

3 −1 4 7

6 1 −1 0

(c)

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3


(d)

1 2 0 −1 1 1

0 3 1 0 −1 2

0 0 1 7 0 1

6. (a) 2x1 = 0

3x1 − 4x2 = 0

x2 = 1

(b) 3x1 − 2x3 = 5

7x1 + x2 + 4x3 = −3

−2x2 + x3 = 7

(c) 7x1 + 2x2 + x3 − 3x4 = 5

x1 + 2x2 + 4x3 = 1

(d) x1 = 7

x2 = −2

x3 = 3

x4 = 4

3.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

3.2.1 วธการกำจดเกาสเซยน (Gaussian Elimination)

เปนวธการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน Ax = b โดยใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานลดรปเมทรกซแตงเตม [A |b] ใหเปนเมทรกซขนบนไดตามแถว จากนนหาผลเฉลยของระบบสมการทสมนยกน โดยใชวธการทเรยกวา การแทนคายอนหลง (back-substitution) ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.2 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชวธการกำจดเกาสเซยน

x1 − x2 + x3 = 0

−x1 + x2 − x3 = 0

10x2 + 25x3 = 90

20x1 + 10x2 = 80

วธทำ . . . . . . . . .


x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = 5

2x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 3

3x1 + 3x2 − 4x3 − 2x4 = 1


วธทำ . . . . . . . . .


3x1 + 2x2 + x3 = 3

2x1 + x2 + x3 = 0

6x1 + 2x2 + 4x3 = 6

วธทำ . . . . . . . . .

3.2.2 วธการกำจดเกาส-จอรแดน (Gauss-Jordan Elimination)

เปนวธการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน Ax = b โดยใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานลดรปเมทรกซแตงเตม [A |b] ใหเปนเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป จากนนหาผลเฉลยของระบบสมการทสมนยกน ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 3.5 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชวธการกำจดเกาส-จอรแดน

x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 1

−x1 − x2 + 4x3 − x4 = 6

−2x1 − 4x2 + 7x3 − x4 = 1

วธทำ . . . . . . . . .

3.2.3 หลกเกณฑคราเมอร

ทฤษฎบทตอไปจะใหสตรสำหรบการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนของ n สมการ n ตวแปรไมรคา ซงสตรนรจกกนในนาม หลกเกณฑคราเมอร (Cramer’s rule) 1

ทฤษฎบท 3.1 (หลกเกณฑคราเมอร) ถา Ax = b เปนระบบสมการเชงเสนของ n สมการ n

ตวแปร โดยท det(A) 6= 0 แลวระบบสมการเชงเสนจะมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยว และผลเฉลยคอ

x1 =det(A1)

det(A), x2 =

det(A2)

det(A), . . . , xn =

det(An)

det(A)

เมอ Aj เปนเมทรกซทไดมาจากการแทนสมาชกทกตวของหลกท j ของเมทรกซ A ดวยสมาชกทกตวของเมทรกซ

b =

b1

b2...bn

1Gabriel Cramer (1704-1752) นกคณตศาสตรชาวสวส


ตวอยาง 3.6 จงใชหลกเกณฑคราเมอรหาผลเฉลยของระบบสมการ

x1 + 2x2 + x3 = 5

2x1 + 2x2 + x3 = 6

x1 + 2x2 + 3x3 = 9

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 3.2 กำหนดให Ax = b เปนระบบสมการเชงเสนของ m สมการ n ตวแปร ถาp = rank(A) และ q = rank([A |b]) แลวระบบสมการเชงเสน Ax = b

(a) ไมมผลเฉลย ถา p < q

(b) มผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยว ถา p = q = n

(c) มผลเฉลยมากมายไมจำกด ถา p = q และ p < n


1. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชวธการกำจดเกาสเซยน(a) x1 + x2 + 2x3 = 8

−x1 − 2x2 + 3x3 = 1

3x1 − 7x2 + 4x3 = 10

(b) 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1

8x1 + x2 + 4x3 = −1

(c) 2x1 − 3x2 = −2

2x1 + x2 = 1

3x1 + 2x2 = 1

(d) −2b+ 3c = 1

3a+ 6b− 3c = −2

6a+ 6b+ 3c = 5

(e) 4x1 − 8x2 = 12

3x1 − 6x2 = 9

−2x1 + 4x2 = −6

(f) x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3

2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 8

3x1 + x2 + 2x3 − x4 = −1

(h) x− y + 2z − w = −1

2x+ y − 2z − 2w = −2

−x+ 2y − 4z + w = 1

3x − 3w = −3

(h) 3x1 + 2x2 − x3 = −15

5x1 + 3x2 + 2x3 = 0

3x1 + x2 + 3x3 = 11

−6x1 − 4x2 + 2x3 = 30

(i) x1 + x2 + x3 + x4 = 0

2x1 + x2 − x3 + 3x4 = 0

x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0

(j) 10y − 4z + w = 1

x+ 4y − z + w = 2

3x+ 2y + z + 2w = 5

−2x− 8y + 2z − 2w = −4

x− 6y + 3z = 1

2. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนในขอ 1 โดยใชวธการกำจดเกาส-จอรแดน


3. พจารณาระบบสมการเชงเสนทมเมทรกซแตงเตมอยในรป

1 2 1 1

−1 4 3 2

2 −2 α 3

จงหาคาของ α ททำใหระบบสมการมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยว


1 2 1 0

2 5 3 0

−1 1 β 0

(a) ระบบสมการนมโอกาสทจะเปนระบบไมสอดคลองหรอไม? จงอธบาย

(b) จงหาคาของ β ททำใหระบบสมการมผลเฉลยมากมายไมจำกด


1 1 3 2

1 2 4 3

1 3 α β

(a) จงหาคาของ α และ β ททำใหระบบสมการมผลเฉลยมากมายไมจำกด

(b) จงหาคาของ α และ β ททำใหระบบสมการนเปนระบบไมสอดคลอง

6. จงหาผลเฉลย x1, x2, และ x3 ของระบบสมการ

2x1 − x2 = λ x1

2x1 − x2 + x3 = λ x2

−2x1 + 2x2 + x3 = λ x3

เมอ λ = 1 และ λ = 2

7. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชหลกเกณฑคราเมอร (ถาหาได)

(a) x1 + 2x2 = 3

3x1 − x2 = 1

(b) 2x1 + 3x2 = 2

3x1 + 2x2 = 5

(c) 2x1 + x2 − 3x3 = 0

4x1 + 5x2 + x3 = 8

−2x1 − x2 + 4x3 = 2

(d) x1 + 3x2 + x3 = 1

2x1 + x2 + x3 = 5

−2x1 + 2x2 − x3 = −8

(e) 3x1 − x2 + x3 = 4

−x1 + 7x2 − 2x3 = 1

2x1 + 6x2 − x3 = 5

(f) x1 + x2 = 0

x2 + x3 − 2x4 = 1

x1 + 2x3 + x4 = 0

x1 + x2 + x4 = 0


8. จงใชหลกเกณฑคราเมอรหาผลเฉลย x2 ของระบบสมการ

x1 + x2 − 3x3 + x4 = 1

2x1 + x2 + 2x4 = 0

x2 − 6x3 − x4 = 5

3x1 + x2 + x4 = 1

9. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน

4x+ y + z + w = 6

3x+ 7y − z + w = 1

7x+ 3y − 5z + 8w = −3

x+ y + z + 2w = 3

โดยใช (a) หลกเกณฑคราเมอร (b) วธการกำจดเกาส-จอรแดน


1. (a) x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2 (b) x1 = −17− 3

7t, x2 =

17− 4

7t, x3 = t

(c) ระบบไมสอดคลอง (d) ระบบไมสอดคลอง (e) x1 = 3 + 2t, x2 = t

(f) x1 =34− 5

8t, x2 = −1

4− 1

8t, x3 = t, x4 = 3

(g) x = t− 1, y = 2s, z = s, w = t (h) x1 = −4, x2 = 2, x3 = 7

(i) x1 = −43t, x2 = 0, x3 =

13t, x4 = t

(j) x = 145− 6

5t, y = − 7

10+ 3

10t− 1

10s, z = −2 + t, w = t

3. α 6= −2 4. β = 2 5. (a) α = 5, β = 4, (b) α = 5, β 6= 4

6. ถา λ = 1 แลว x1 = x2 = s, x3 = 0

ถา λ = 2 แลว x1 = −12s, x2 = 0, x3 = s

7. (a) x1 =57, x2 =

87

(b) x1 =115, x2 = −4

5

(c) x1 = 4, x2 = −2, x3 = 2 (d) x1 = 2, x2 = −1, x3 = 3

(e) ใชหลกเกณฑคราเมอรไมได (f) x1 = −23, x2 =

23, x3 =

13, x4 = 0

8. x2 = 10 9. x = 1, y = 0, z = 2, w = 0

บทท 4

ลมตและความตอเนอง

การพฒนาของแคลคลสในชวงเวลาทผานมา ทำใหนกวทยาศาสตรไดเขาใจความหมายทแทจรงของอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนง เชน ความเรว และความเรง เมอเกดความเขาใจแลว วธการคำนวณทมประสทธภาพกเกดขนตามมา และรากฐานทสำคญของอตราการเปลยนแปลงคอ ลมต

ในบทนเราจะกลาวถงบทนยามของลมต สญลกษณทใชแทนลมต ทฤษฎบท และวธการตางๆสำหรบการหาคาลมต และจะจบบทนดวยการใชลมตในการศกษาความตอเนองของเสนโคง

4.1 ลมตของฟงกชน

ความหมายพนฐานของลมตคอ การใชลมตเพออธบายลกษณะของฟงกชนเมอตวแปรอสระของฟงกชนมคาเขาใกลคาทกำหนดให ตวอยางเชน หากเราพจารณาลกษณะของฟงกชน

f(x) = x2 − x+ 1

เมอ x มคาเขาใกล 2 จากกราฟและตารางขางลางน จะเหนไดวาคาของ f(x) มคาเขาใกล 3

เมอ x มคาเขาใกล 2 ทงทางซายและทางขวา เราสามารถอธบายลกษณะดงกลาวโดยกลาววา ลมตของ x2 − x+ 1 เทากบ 3 เมอ x มคาเขาใกล 2 ทงสองทาง และเขยนแทนดวย

limx→3

(x2 − x+ 1) = 3

3

2x

y

b b b

b

b

b

x x

f(x)

f(x)

y = x2 − x+ 1

x f(x) x f(x)

1.0 1.000000 3 7.000000

1.5 1.750000 2.5 4.750000

1.9 2.710000 2.1 3.310000

1.95 2.852500 2.05 3.152500

1.99 2.970100 2.01 3.030100

1.995 2.985025 2.005 3.015025

1.999 2.997001 2.001 3.003001

40


บทนยาม 4.1 ถาคาของ f(x) สามารถทำใหมคาเขาใกล L โดยการให x มคาเขาใกล a แลวเราสามารถเขยนแทนดวย

limx→a

f(x) = L (4.1)

และกลาวไดวา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a มคาเทากบ L นอกจากนสมการ (4.1)สามารถเขยนแทนดวย

f(x) → L เมอ x → a (4.2)

ตวอยาง 4.1 จงพจารณาหาคา limx→1

x− 1√x− 1

วธทำ ถงแมวาฟงกชน f(x) =x− 1√x− 1

หาคาไมไดท x = 1 แตจากกราฟและตารางแสดงคาของ

ฟงกชนตอไปน

1

2

3

1 2 3x

y

b b

b

b

b

bc

x x

y =x− 1√x− 1

x f(x) x f(x)

0.9 1.9 1.1 2.1

0.99 1.99 1.01 2.01

0.999 1.999 1.001 2.001

0.9999 1.9999 1.0001 2.0001

0.99999 1.99999 1.00001 2.00001

0.999999 1.999999 1.000001 2.000001

เหนไดวาเมอ x มคาเขาใกล 1 ทงทางซายและทางขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 2 ดงนน

limx→1

x− 1√x− 1

= 2 z

ตวอยาง 4.2 จงพจารณาหาคา limx→0

sin x

x

วธทำ ในทนฟงกชน f(x) =sin x

xหาคาไมไดทจด x = 0 แตจากกราฟและตารางแสดงคาของ

ฟงกชนตอไปน

x

y

y =sin x

x1

0

b b

bb b

x x

f(x)

x f(x)

±0.1 0.998334

±0.01 0.999983

±0.001 0.99999983

±0.0001 0.9999999983

±0.00001 0.999999999983

จะไดวาlimx→0

sin x

x= 1 z


ลมตดานเดยว

ลมตในสมการ (4.1) เรยกวา ลมตสองดาน (two-sided limit) เนองจาก f(x) มคาเขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a ทงทางซายและทางขวา อยางไรกตามมฟงกชนบางฟงกชนทคาของฟงกชนมคาแตกตางกน เมอ x มคาเขาใกล a ทางซายและทางขวา ตวอยางเชน ฟงกชน

f(x) =x

|x| ={

1, x > 0

−1, x < 0

ซงมกราฟดงน

x

y

1

−1y =

x

|x|

จากกราฟจะเหนไดวาเมอ x เขาใกล 0 ทางขวา คาของ f(x) เขาใกลคาลมต 1 ในทำนองเดยวกนเมอ x เขาใกล 0 ทางซาย คาของ f(x) เขาใกลคาลมต −1 และเราสามารถเขยนแทนลมตเหลานดวยสญลกษณดงน

limx→0+

x

|x| = 1 และ limx→0−

x

|x| = −1

บทนยาม 4.2 ถาคาของ f(x) สามารถทำใหมคาเขาใกล L โดยการให x มคาเขาใกล a

(แตมากกวา a) แลวเราจะเขยนแทนดวย

limx→a+

f(x) = L (4.3)

และอานวา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา มคาเทากบ L หรอ f(x) เขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา

ถาคาของ f(x) สามารถทำใหมคาเขาใกล L โดยการให x มคาเขาใกล a (แตนอยกวาa) แลวจะเขยนแทนดวย

limx→a−

f(x) = L (4.4)

และอานวา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a ทางซาย มคาเทากบ L หรอ f(x) เขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a ทางซาย

ความสมพนธระหวางลมตดานเดยวและลมตสองดาน

โดยทวไปไมมการรบประกนวาฟงกชน f จะมลมตสองดานทจด a ทกำหนดให นนคอ คาของf(x) อาจจะไมเขาใกลจำนวนจรง L เพยงคาเดยว เมอ x → a ในกรณนเราจะกลาววา

limx→a

f(x) หาคาไมได


ในทำนองเดยวกน คาของ f(x) อาจจะไมเขาใกลจำนวนจรง L เพยงคาเดยว เมอ x → a+

หรอเมอ x → a− ในกรณนกลาวไดวา

limx→a+


หรอlimx→a−


การทลมตสองดานของฟงกชน f(x) จะหาคาไดทจด a คาของ f(x) จะตองเขาใกลจำนวนจรงL บางจำนวน เมอ x → a และคาดงกลาวจะตองมคาเทากน ไมวา x มคาเขาใกล a ทางซายหรอทางขวา

บทนยาม 4.3 ลมตสองดานของฟงกชน f(x) จะหาคาไดทจด a กตอเมอ ลมตดานเดยวทงสองหาคาไดทจด a และมคาเทากน นนคอ

limx→a

f(x) = L กตอเมอ limx→a−

f(x) = L = limx→a+

f(x)

ตวอยาง 4.3 จงอธบายวาทำไมlimx→0

x

|x|หาคาไมได

วธทำ . . . . . . . . .

ลมตอนนต

บางครงลมตดานเดยวหรอลมตสองดานหาคาไมได เพราะวาคาของฟงกชนเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจำกด ตวอยางเชน พจารณาฟงกชน f(x) = 1/x เมอ x เขาใกล 0 จากกราฟและตารางแสดงคาของฟงกชนตอไปน

x

y

y =1

x

b

b

x

1/xx

y

y =1

x

b

b

x

1/x


x 1/x x 1/x

−1 −1 1 1

−0.1 −10 0.1 10

−0.01 −100 0.01 100

−0.001 −1000 0.001 1000

−0.0001 −10, 000 0.0001 10, 000

จะเหนไดวา เมอ x มคาเขาใกล 0 ทางซาย f(x) = 1/x มคาเปนลบ และลดลงโดยไมมขดจำกดและเมอ x มคาเขาใกล 0 ทางขวา f(x) = 1/x มคาเปนบวก และเพมขนโดยไมมขดจำกดนนคอ

limx→0−

1

x= −∞ และ lim

x→0+

1

x= +∞

บทนยาม 4.4 นพจนlimx→a−

1

x= +∞ และ lim

x→a+

1

x= +∞

หมายถง f(x) มคาเพมขนโดยไมมขดจำกด เมอ x มคาเขาใกล a ทางซายและทางขวาตามลำดบ และถาสมการทงสองเปนจรง แลวจะเขยนแทนดวย

limx→a

1

x= +∞

ในทำนองเดยวกน นพจน

limx→a−

1

x= −∞ และ lim

x→a+

1

x= −∞

หมายถง f(x) มคาลดลงโดยไมมขดจำกด เมอ x มคาเขาใกล a ทางซายและทางขวาตามลำดบและถาสมการทงสองเปนจรง แลวจะเขยนแทนดวย

limx→a

1

x= −∞

ตวอยาง 4.4 กำหนดให f เปนฟงกชนทมกราฟดงรป

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

bc bc

จากกราฟจงหาคาลมตตอไปน


(a) limx→0−

f(x) (b) limx→0+

f(x)

(c) limx→3−

f(x) (d) limx→3+

f(x)

(e) limx→5−

f(x) (f) limx→5+

f(x)

วธทำ . . . . . . . . .


1.

x

y

1

y = f(x)

จากรปทกำหนดให จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ

(a) limx→0−

f(x) (b) limx→0+

f(x)

(c) limx→0

f(x) (d) limx→2−

f(x)

(e) limx→2+

f(x) (f) limx→2

f(x)

(g) limx→−3

f(x)

2.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 y

x

b

b

y = f(x)

จากรปทกำหนดให จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตหาคาได แตถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ(a) lim

x→1f(x) (b) lim

x→3−f(x) (c) lim

x→3+f(x)

(d) limx→3

f(x) (e) f(3) (f) limx→−2−

f(x)

(g) limx→−2+

f(x) (h) limx→−2

f(x) (i) f(−2)


3.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

4

x

y

bcbc

b

b

b

bc

y = f(x)

จากรปทกำหนดให จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตหาคาได แตถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ(a) lim

x→−3f(x) (b) f(−3) (c) f(−1)

(d) limx→−1

f(x) (e) f(1) (f) limx→1−

f(x)

(g) limx→1+

f(x) (h) limx→1

f(x)

4. จงใชกราฟหรอตารางแสดงคาของฟงกชน เพอหาคาลมตตอไปน

(a) limx→1

x− 1

x3 − 1(b) lim

x→−1

x2 − 1

x+ 1

(c) limx→−1

x2 + x

x2 − x− 2(d) lim

x→25

(1/√x)− (1/5)

x− 25

(e) limx→0

x2 + x

sin x(f) lim

x→0

1− cos x

x2

(g) limx→0

tan x

sin x

5. จงหาคาลมตตอไปน

(a) limx→6+

4

x− 6(b) lim

x→2

1

(x− 2)8

(c) limx→1

1− 2x

x2 − 1(d) lim

x→2

4− x

(x− 2)2

(e) limx→2−

−x√4− x2

(f) limx→−1

(x2 − 2x− 3)−2/3

(g) limx→−2+

x− 1

x2(x+ 2)(h) lim

x→(−π/2)−sec x

6. จงพจารณาวาขอความตอไปน เปนจรงหรอ เปนเทจ

(a) ถา f(a) = L แลว limx→a

f(x) = L

(b) ถา limx→a

f(x) หาคาได แลว limx→a−

f(x) และ limx→a+

f(x) หาคาได

(c) ถา limx→a−

f(x) และ limx→a+

f(x) หาคาได แลว limx→a

f(x) หาคาได

(d) ถา limx→a+

f(x) = +∞ แลว f(a) หาคาไมได

7. จงเขยนกราฟของฟงกชน f ทมสมบตตอไปน (อาจมหลายคำตอบ)


(a) f(−1) = 2, f(0) = −1, f(1) = 3 และ limx→1


(b) f(0) = 1, limx→0−

f(x) = 2 และ limx→0+

f(x) = 3

(c) f(3) = 3, f(−2) = 1, limx→3+

f(x) = 4, limx→3−

f(x) = 2 และlimx→−2

f(x) = 2


1. (a) −2 (b) 2 (c) หาคาไมได (d) −1 (e) 3 (f) หาคาไมได

(g) 2

2. (a) 3 (b) 2 (c) −2 (d) หาคาไมได (e) 1 (f) −1 (g) −1

(h) −1 (i) −3

3. (a) 2 (b) 1 (c) 2 (d) 52

(e) 2 (f) 2 (g) 1

(h) หาคาไมได

4. (a) 13

(b) −2 (c) 13

(d) −0.004 (e) 1 (f) 12

(g) 1

5. (a) +∞ (b) +∞ (c) −∞ (d) +∞ (e) −∞ (f) +∞(g) −∞ (h) −∞

6. (a) เปนเเทจ (b) เปนจรง (c) เปนเเทจ (d) เปนเเทจ

7. (a)

x

y

3

1

(b)

x

y

3

b

1


(c)

1x

y

b

b3

4.2 การคำนวณคาลมต

ขนตอนวธในการหาคาลมตในทนประกอบดวย 2 ขนตอนดงน

• เรมดวยการหาคาลมตของฟงกชนอยางงาย

• จากนนใชทฤษฎบทตางๆ และลมตของฟงกชนอยางงาย หาคาลมตของฟงกชนทซบซอน

เราจะเรมดวยการกลาวถงทฤษฎบทพนฐานตอไปน

ทฤษฎบท 4.1 กำหนดให a และ k เปนจำนวนจรงใดๆ

(a) limx→a

k = k (b) limx→a

x = a (c) limx→0−

1

x= −∞ (d) lim

x→0+

1

x= +∞

ตวอยาง 4.5lim

x→−157 =

limx→π

5 =

limx→3

x =

limx→−2

x =

ทฤษฎบทตอไปนเปนเครองมอเบองตนทใชในการหาคาลมต

ทฤษฎบท 4.2 กำหนดให a และ c เปนจำนวนจรงใดๆ และสมมตให

limx→a

f(x) = L1 และ limx→a

g(x) = L2

แลวจะไดวา

(a) limx→a

[

cf(x)]

= c limx→a

f(x) = cL1

(b) limx→a

[

f(x) + g(x)]

= limx→a

f(x) + limx→a

g(x) = L1 + L2

(c) limx→a

[

f(x)− g(x)]

= limx→a

f(x)− limx→a

g(x) = L1 − L2

(d) limx→a

[

f(x) · g(x)]

= limx→a

f(x) · limx→a

g(x) = L1L2


(e) limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)=

L1

L2ถา L2 6= 0

(f) limx→a

n

√

f(x) = n

√

limx→a

f(x) = n

√

L1 โดยท L1 > 0 ถา n เปนจำนวนค

นอกจากนกฎแตละขอขางตนเปนจรงสำหรบลมตดานเดยวเมอ x → a− หรอ x → a+

ตวอยาง 4.6limx→a

[f(x) + 2g(x)− h(x)] = limx→a

f(x) + 2 limx→a

g(x)− limx→a

h(x)

limx→a

[f(x)g(x)h(x)] =(

limx→a

f(x))(

limx→a

g(x))(

limx→a

h(x))

limx→a

[f(x)]3 =(

limx→a

f(x))3

limx→a

[f(x)]n =(

limx→a

f(x))n

limx→a

xn =(

limx→a

x)n

= an z

ลมตของฟงกชนพหนามและฟงกชนตรรกยะเมอ x → a

ตวอยาง 4.7 จงหาคา limx→4

(5x2 + 3x− 2)

วธทำ . . . . . . . . .

จากตวอยาง 4.7 จะสงเกตไดวา ลมตของฟงกชนพหนาม p(x) = 5x2 + 3x − 2 มคาเทากบ p(4) สงทเกดขนนมใชความบงเอญ ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวโดยทวไปวา ลมตของฟงกชนพหนาม p(x) เมอ x → a มคาเทากบคาของฟงกชนพหนามท a

ทฤษฎบท 4.3 สำหรบฟงกชนพหนาม

p(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cnxn

และจำนวนจรง a ใดๆlimx→a

p(x) = c0 + c1a + · · ·+ cnan = p(a)


(3x2 − 2x− 21)2013

วธทำ . . . . . . . . .


x3 + 2x− 5

x2 − 3

วธทำ . . . . . . . . .

วธการทใชในการหาคาลมตในตวอยาง 4.9 ไมสามารถใชไดกบฟงกชนตรรกยะ ในกรณทลมตของตวสวนมคาเปนศนย ซงมกรณทตองพจารณา 2 กรณ ดงน


I ลมตของตวสวนมคาเปนศนย แตลมตของตวเศษไมเทากบศนย

I ลมตของตวเศษและตวสวนมคาเปนศนย

กรณทลมตของตวสวนมคาเปนศนย แตลมตของตวเศษไมเทากบศนย เราสามารถแสดงไดวาลมตของฟงกชนตรรกยะหาคาไมได โดยทเกดกรณใดกรณหนงตอไปน

• ลมตเปน −∞ ทางดานหนง และ +∞ อกดานหนง

• ลมตเปน +∞

• ลมตเปน −∞

ตวอยาง 4.10limx→5+

3− x

(x− 5)(x+ 3)=

limx→5−

3− x

(x− 5)(x+ 3)=

limx→5

3− x

(x− 5)(x+ 3)=

สำหรบกรณทฟงกชนตรรกยะ p(x)/q(x) มลมตของตวเศษและตวสวนเปนศนย นนคอ p(x) =

0 และ q(x) = 0 ตวเศษและตวสวนของฟงกชนตรรกยะจะมตวประกอบรวมอยางนอย 1 ตวประกอบในกรณนลมตของ p(x)/q(x) เมอ x → a สามารถหาคาได โดยการตดตวประกอบรวมออก และหาคาลมตของฟงกชนทเหลอ

ตวอยาง 4.11 จงหาคาลมตตอไปน

(a) limx→−3

x2 − 14x− 51

x2 − 4x− 21(b) lim

x→1

x4 + 2x2 − 3

x2 + 2x− 3

(c) limx→5

x2 − 3x− 10

x2 − 10x+ 25

วธทำ . . . . . . . . .

เศษสวน f(x)/g(x) ทลมตของตวเศษและตวสวนเทากบศนยเมอ x → a เรยกวา รปแบบยงไมกำหนด 0/0 (indeterminate form of type 0/0) ลมตของฟงกชนในรปแบบนบางครงสามารถหาคาลมตได โดยใชวธการเดยวกบตวอยาง 4.11 (c) แตบางครงวธการในตวอยาง 4.11 (c)ไมสามารถนำมาใชได ตองอาศยวธอน ซงจะกลาวตอไปในหวขอ4.4

ทฤษฎบทตอไป เปนขอสรปของลมตของฟงกชนตรรกยะ

ทฤษฎบท 4.4 กำหนดให

f(x) =p(x)

q(x)

เปนฟงกชนตรรกยะ และให a เปนจำนวนจรงใดๆ

1. ถา q(a) 6= 0 แลว limx→a

f(x) = f(a)

2. ถา q(a) = 0 แต p(a) 6= 0 แลว limx→a



ลมตทเกยวของกบราก

ตวอยาง 4.12 จงหาคา limx→−1

x2 − 1

1−√2 + x

วธทำ . . . . . . . . .


2− 3√x+ 6

x− 2

วธทำ . . . . . . . . .

ลมตของฟงกชนทนยามเปนชวง

บางครงเราอาจพจารณาฟงกชนทมนพจนทแตกตางกนบนชวงทตางกน ซงฟงกชนในลกษณะนเรยกวา ฟงกชนทนยามเปนชวง (piecewise-defined functions) การหาลมตของฟงกชนทนยามเปนชวงนน จะใชลมตสองดานในการหาลมตทจดแบงชวง หรอจดทมการเปลยนนพจน


f(x) =

x2 − 5x+ 6

|x− 2| ถา 0 ≤ x ≤ 2

2x− 1

x+ 1ถา x > 2

จงหา (a) limx→2

f(x) และ (b) limx→1

f(x)

วธทำ . . . . . . . . .


1. กำหนดใหlimx→a

f(x) = −3, limx→a

g(x) = 0, และ limx→a

h(x) = 8

จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตหาคาได และถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ

(a) limx→a

[

f(x) + h(x)]

(b) limx→a

[

f(x)]2

(c) limx→a

3√

h(x) (d) limx→a

1

f(x)

(e) limx→a

f(x)

h(x)(f) lim

x→a

g(x)

f(x)

(g) limx→a

f(x)

g(x)(h) lim

x→a

2f(x)

h(x)− f(x)



(a) limx→0

(x2 − 3x+ 1) (b) limx→3

(x3 + 2)(x2 − 5x)

(c) limx→2

x− 5

x2 + 4(d) lim

x→1

(

x4 + x2 − 6

x4 + 2x+ 3

)2

(e) limx→1

√x2 + 2x+ 4 (f) lim

x→4−

√16− x2

(g) limx→−3

x2 − x− 12

x+ 3(h) lim

x→−2

x+ 2

x2 − x− 6

(i) limx→1

x2 + x− 2

x2 − 3x+ 2(j) lim

x→1

x3 − 1

x2 − 1

(k) limh→0

(1 + h)4 − 1

h(l) lim

h→0

(2 + h)3 − 8

h

(m) limt→1

t− 1√t− 1

(n) limt→9

9− t

3−√t

(o) limt→2

t2 + t− 6

t2 − 4(p) lim

t→0

√2− t−

√2

t

(q) limx→2

x4 − 16

x− 2(r) lim

x→9

x2 − 81√x− 3

(s) limx→1

[

1

x− 1− 2

x2 − 1

]

(t) limt→0

[

1

t√1 + t

− 1

t

]

(u) limh→0

(3 + h)−1 − 3−1

h(v) lim

x→2

1x− 1

2

x− 2

(w) limx→1

√x− x

1 −√x

(x) limx→0

x√1 + 3x− 1

(y) limx→0

√3 + x−

√3

x(z) lim

x→0

xe−2x+1

x2 + 1

3. จงหาคา limx→2

f(x) โดยท f(x) =

{

3x2 − 2x+ 1 ถา x < 2

x3 + 1 ถา x ≥ 2



{

2x ถา x < 2

x2 ถา x ≥ 2



{

x2 + 1 ถา x < −1

3x+ 1 ถา x ≥ −1

6. จงหาคา limx→−1


2x+ 1 ถา x < −1

3 ถา −1 ≤ x < 1

2x+ 1 ถา x ≥ 1



(a) limx→−4

|x+ 4| (b) limx→−4−

|x+ 4|x+ 4

(c) limx→1.5

2x2 − 3x

|2x− 3| (d) limx→0+

(

1

x− 1

|x|

)


1. (a) 5 (b) 9 (c) 2 (d) −13

(e) −38

(f) 0 (g) −∞(h) − 6

11

2. (a) 1 (b) −174 (c) −38

(d) 49

(e)√7 (f) 0 (g) −7

(h) −15

(i) −3 (j) 32

(k) 4 (l) 12 (m) 2 (n) 6 (o) 54

(p) −√24

(q) 32 (r) 108 (s) 12

(t) −12

(u) −19

(v) −14

(w) 1 (x) 23

(y) 12√3

(z) 0

3. 9 4. 4 5. 1 6. หาคาไมได

7. (a) 0 (b) −1 (c) หาคาไมได (d) 0

4.3 ลมตทอนนต

นอกจากลมตของฟงกชนทไดกลาวไปแลว เรายงสนใจการหาคาลมตของฟงกชนเมอ x มคาเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจำกด เชนถา f(x) = 1/x แลวจะไดวา 1/x → 0 เมอ x มคาเพมขนโดยไมมขดจำกด (x → +∞) ในกรณนเราเขยนแทนดวยสญลกษณ

limx→+∞

1

x= 0

ในทำนองเดยวกน เราไดวา 1/x → 0 เมอ x มคาลดลงโดยไมมขดจำกด (x → −∞) ในกรณนเราเขยนแทนดวยสญลกษณ

limx→−∞

1

x= 0

ทฤษฎบทตอไปกลาวถงลมตของฟงกชน 1/xt สำหรบจำนวนตรรกยะ t > 0 เมอ x → ±∞ซงจะมลกษณะเดยวกบลมตของฟงกชน f(x) = 1/x เมอ x → ±∞ ทกลาวมาแลวขางตน

ทฤษฎบท 4.5 สำหรบจำนวนตรรกยะ t > 0 ใดๆ

limx→±∞

1

xt= 0

(

สำหรบกรณท x → −∞ จะสมมตให t =p

qเมอ q เปนจำนวนค

)

ทฤษฎบทตอไปกลาวถงการหาคาลมตของฟงกชนพหนามทอนนต ซงสามารถหาไดโดยงาย


ทฤษฎบท 4.6 กำหนดให pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 เปนฟงกชนพหนามทมระดบขนพหนาม n > 0 แลวจะไดวา

limx→+∞

pn(x) = limx→+∞

anxn =

{

+∞ ถา an > 0

−∞ ถา an < 0

ตวอยาง 4.15 จงหาคาลมตตอไปน

(a) limx→+∞

x3 − x2 + 5x− 3

2x4 − 3x+ 5(b) lim

x→−∞

5x3 − 2x2 + 1

1− 3x

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.16 จงหาคา limx→+∞

√x4 − 3x2 + 5

2x2 − x

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.17 จงหาคา limx→+∞

(√x2 + 3x− x

)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.18 จงหาคา limx→−∞

x3 − 5√x6 − 1− 2x3

วธทำ . . . . . . . . .



limx→+∞

f(x) = 3, limx→+∞

g(x) = −5 และ limx→+∞

h(x) = 0


(a) limx→+∞

[

f(x) + 3g(x)]

(b) limx→+∞

[

h(x)− 4g(x) + 1]

(c) limx→+∞

[

f(x)g(x)]

(d) limx→+∞

[

g(x)]2

(e) limx→+∞

3√

5 + f(x) (f) limx→+∞

3

g(x)

(g) limx→+∞

3h(x) + 4

x2(h) lim

x→+∞

6f(x)

5f(x) + 3g(x)

2. กำหนดใหlim

x→−∞f(x) = 7 และ lim

x→−∞g(x) = −6


(a) limx→−∞

[

2f(x)− g(x)]

(b) limx→−∞

[

6f(x) + 7g(x)]

(c) limx→−∞

[

x2 + g(x)]

(d) limx→−∞

[

x2g(x)]


(e) limx→−∞

3√

f(x)g(x) (f) limx→−∞

g(x)

f(x)

(g) limx→−∞

[

f(x) +g(x)

x

]

(h) limx→−∞

xf(x)

(2x+ 3)g(x)


(a) limx→+∞

x+ 4

x2 − 2x+ 5(b) lim

x→−∞

(1− x)(2 + x)

(1 + 2x)(2− 3x)

(c) limx→−∞

−x√4 + x2

(d) limx→−∞

x3 − 2x+ 1

3x3 + 4x− 1

(e) limx→+∞

x3 − 2x+ 4

3x2 + 3x− 5(f) lim

x→+∞

x2 − sin x

x2 + 4x− 1

(g) limx→+∞

3x3 − x+ 5

4x3 + 4x2 − 1(h) lim

x→+∞

x4 − x2 + 1

x5 + x3 − x

(i) limx→+∞

(√x2 + 3− x

)

(j) limx→+∞

√x2 + 4x

4x+ 1

(k) limx→+∞

1−√x

1 +√x

(l) limx→+∞

(√x2 + 1−

√x2 − 1

)

(m) limx→+∞

(√9x2 + x− 3x

)

(n) limx→+∞

√x

(o) limx→+∞

(

x−√x)

(p) limx→−∞

(x3 − 5x2)

(q) limx→+∞

x7 − 1

x6 + 1(r) lim

x→+∞e2x

(s) limx→+∞

sin 2x (t) limx→+∞

e−3x cos 2x

(u) limx→+∞

ln(2x) (v) limx→0+

(x ln 2x)


1. (a) −12 (b) 21 (c) −15 (d) 25 (e) 2 (f) −35

(g) 0

(h) +∞

2. (a) 20 (b) 0 (c) +∞ (d) −∞ (e) 3√−42 (f) −6

7

(g) 7 (h) −∞

3. (a) 0 (b) 16

(c) 1 (d) 13

(e) ∞ (f) 1 (g) 34

(h) 0

(i) 0 (j) 14

(k) −1 (l) 0 (m) 16

(n) ∞ (o) ∞(p) −∞ (q) ∞ (r) ∞ (s) หาคาไมได (t) 0 (u) ∞(v) 0


4.4 ลมตของฟงกชนตรโกณมต

ในหวขอน เราจะศกษาวธการหาคาลมตของฟงกชนทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต โดยเรมดวยการกลาวถงทฤษฎบทตอไปน ซงจะเปนประโยชนสำหรบการหาคาลมต

ทฤษฎบท 4.7 ถา a เปนจำนวนใดๆ ทอยในโดเมนของฟงกชนตรโกณมตทกำหนดให แลว

limx→a

sin x = sin a limx→a

cosx = cos a limx→a

tanx = tan a

limx→a

csc x = csc a limx→a

sec x = sec a limx→a

cot x = cot a

ทฤษฎบท 4.8

limx→0

sin x

x= 1

ทฤษฎบท 4.9 สำหรบจำนวนจรง k 6= 0 ใดๆ

limx→0

k sin x

x= k


1− cos 2x

x2

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 4.20 จงหาคา limx→0+

2x− sin x

tan 2x

วธทำ . . . . . . . . .


2x cot2 x

csc x

วธทำ . . . . . . . . .


1− cosx

x sin x

วธทำ . . . . . . . . .


จงหาคาของลมตตอไปน

1. limx→0

sin 3x

x2. lim

x→0+

sin 3x

x2

3. limx→0

sin 5x

3x4. lim

t→0

sin 8t

sin 9t

5. limx→0

tan 7x

sin 3x6. lim

x→0+

sin x

5√x

7. limθ→0

cos θ − 1

sin θ8. lim

x→0

sin2 x

x


9. limx→0

tan x

4x10. lim

x→0

cot 2x

csc x

11. limx→π/4

sin x− cosx

cos 2x12. lim

x→0

2x cot2 x

csc x

13. limx→0

x+ sin x

tan x14. lim

x→0

sin(cosx)

sec x

15. limt→0

t2

1− cos2 t16. lim

x→θ

θ2

1− cos θ

17. limx→0+

sin

(

1

x

)

18. limx→0

2− cos 3x− cos 4x

x


1. 3 2. +∞ 3. 53

4. 89

5 73

6. 0 7. 0 8. 0 9. 14

10. 12

11. − 1√2

12. 2 13. 2 14. sin 1 15. 1 16. 2 17. หาคาไมได 18. 0

4.5 ความตอเนอง

สงหนงทจะชวยใหเราเขาใจความหมายทแทจรงของความตอเนองของฟงกชนคอ การพจารณากราฟของฟงกชนท ไมตอเนอง (discontinuous) ทจด x = a ตอไปน

x

y

y = f(x)

a

(a)

x

y

y = f(x)b

a

(b)

x

y

y = f(x)

a

(c)

จากกราฟเราสามารถสรปแตละกราฟไดดงน

(a) ลมตของ f(x) หาคาไมไดเมอ x เขาใกล a

(b) คาของฟงกชนและคาลมตท a มคาไมเทากน

(c) ฟงกชน f ไมนยามท a

กราฟของฟงกชนทงสามลกษณะขางตน นำไปสบทนยามของความตอเนองทจดใดๆของฟงกชน ดงน

บทนยาม 4.5 ฟงกชน f จะมความ ตอเนอง (continuous) ทจด x = a ถา

1. f(a) หาคาได

2. limx→a

f(x) หาคาได และ


3. limx→a

f(x) = f(a)

ตวอยาง 4.23 จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจด x = 2 หรอไม?

(a) f(x) =x2 − 4

x− 2(b) g(x) =

x2 − 4

x− 2, x 6= 2

1 , x = 2

(c) h(x) =

x2 − 4

x− 2, x 6= 2

3 , x = 2

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 4.10 ถาฟงกชน f และ g ตอเนองท x = a แลว

(a) f + g ตอเนองท x = a

(b) f − g ตอเนองท x = a

(c) f · g ตอเนองท x = a

(d)f

gตอเนองท x = a ถา g(a) 6= 0 และไมตอเนองท x = a ถา g(a) = 0

บทนยาม 4.6 ถาฟงกชน f ตอเนองททกๆ จดบนชวงเปด (a, b) แลวจะกลาววา f ตอเนองบนชวง (a, b) นอกจากนเราสามารถใหนยามความตอเนองบนชวง (a,+∞), (−∞, b) และ(−∞,+∞) ในทำนองเดยวกน และสำหรบกรณท f ตอเนองบนชวง (−∞,+∞) เราจะกลาววาf ตอเนองททกจด

บทนยาม 4.7 ฟงกชน f จะตอเนองททกๆ จดบนชวงบนชวงปด [a, b] ถาเงอนไขตอไปนเปนจรง

1. f ตอเนองบนชวงเปด (a, b)

2. f ตอเนองทางขวาของ a : limx→a+

f(x) = f(a)

3. f ตอเนองทางซายของ b : limx→b−

f(x) = f(b)

ตวอยาง 4.24 จงแสดงวาฟงกชนตอไปนตอเนองบนชวงทกำหนดให

f(x) =√16− x2 , [−4, 4]

วธทำ . . . . . . . . .


ฟงกชนตอไปนตอเนองททกๆ จดบนโดเมนของฟงกชน

1. ฟงกชนพหนาม (polynomial functions)

2. ฟงกชนตรรกยะ (rational functions)

3. ฟงกชนราก (root functions)

4. ฟงกชนตรโกณมต (trigonometric functions)

5. ฟงกชนตรโกณมตผกผน (inverse trigonometric functions)

6. ฟงกชนเลขชกำลง (exponential functions)

7. ฟงกชนลอการทม (logarithmic functions)

ตวอยาง 4.25 จงหาคาของ x ททำใหกราฟของฟงกชนตอไปนไมตอเนอง

f(x) =x5 − 2x3 + 5x

x2 − 3x+ 2

วธทำ . . . . . . . . .

จากตวอยางทผานมาขางตน พบวาฟงกชน f ไมตอเนองท x = a อาจมสาเหตมาจาก f(a)

หาคาไมได หรอ limx→a

f(x) หาคาไมได หรอ f(a) 6= limx→a

f(x) ภาวะไมตอเนองของฟงกชน f

น สามารถแบงออกเปน 2 ชนดคอ

1. ภาวะไมตอเนองทขจดได (removable discontinuity) เปนภาวะไมตอเนองทเกดขนเมอ f(a) 6= lim

x→af(x) หรอ f(a) หาคาไมได ซงสามารถขจดภาวะไมตอเนองได โดยการ

กำหนดคา f(a) ใหมใหมคาเทากบ limx→a

f(x) และผลลพธทไดคอ f ตอเนองท x = a

2. ภาวะไมตอเนองทขจดไมได (non-removable discontinuity) เปนภาวะไมตอเนองทเกดขนเมอ lim

x→af(x) หาคาไมได ภาวะไมตอเนองนไมสามารถขจดได นนคอ f เปน

ฟงกชนไมตอเนองท x = a

ตวอยาง 4.26 จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจดทกำหนดใหหรอไม? ถาไมตอเนองแลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาได จะขจดอยางไร?

(a) f(x) =x2 − 2x− 8

x+ 2, x = −2

(b) f(x) =x3 + 64

x+ 4, x = −4

วธทำ . . . . . . . . .



f(x) =

x2 − 2x− 3

|x− 3| ถา −2 ≤ x < 3

1− 5x√x+ 1

ถา x ≥ 3

จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองทจด x = 3 หรอไม? ถา f ไมตอเนอง แลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาได จะขจดอยางไร?

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 4.11 ทฤษฎบทคาระหวางกลาง (Intermediate Value Theorem) ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และ N เปนจำนวนจรงใดๆ ทมคาอยระหวาง f(a) และ f(b)

แลวมจำนวนจรง c ∈ [a, b] อยางนอยหนงจำนวน ททำให f(c) = N

ขอสงเกต คา N ในทฤษฎบทคาระหวางกลางนนม 2 ลกษณะคอ f(a) < N < f(b) หรอf(b) < N < f(a)

ทฤษฎบทคาระหวางกลางกลาววา ถา f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลวคาของ f ทกคาจะอยระหวาง f(a) และ f(b) ดงนนคา x ของ f ทสมนยกบคา N อาจจะเกดขนไดเพยงครงเดยว(

ดงรป (a))

หรอหลายครง(

ดงรป (b))

กได

f(a)

N

f(b)

y

a c bx

y = f(x)

(a)

f(a)

N

f(b)

y

a c1 c2 c3 bx

y = f(x)

(b)

ทฤษฎบท 4.12 ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และถา f(a) และ f(b) มคาไมเทากบศนย และมเครองหมายตรงกนขาม แลวสมการ f(x) = 0 จะมผลเฉลยอยางนอยหนงผลเฉลยบนชวง (a, b)

หมายเหต ทฤษฎบท 4.12 เปนผลจากทฤษฎบทคาระหวางกลางเมอ N = 0

ตวอยาง 4.28 จงแสดงวาผลเฉลยของสมการ 4x3−6x2+3x−2 = 0 มคาอยระหวาง 1 และ 2

วธทำ . . . . . . . . .



1. จากกราฟของฟงกชนตอไปน จงหาจดททำใหฟงกชนไมตอเนอง

(a)

x

y

(b)

x

y

(c)

x

y

2. จงแสดงวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจดทกำหนดให

(a) f(x) = x2 +√7− x , x = 4

(b) g(x) = (x+ 2x3)4, x = −1

(c) h(x) =x+ 1

2x2 + 1, x = 4

3. จงแสดงวาฟงกชนตอไปนตอเนองบนชวงทกำหนดให

(a) f(x) =1

x+ 1, (−1,∞)

(b) f(x) =x− 1

x2 − 4, (−2, 2)

(c) g(t) =√9− 4t2 , [−3

2, 32]


(d) h(z) =√

(z − 1)(3− z) , [1, 3]

4. จงอธบายวาทำไมฟงกชนตอไปนไมตอเนองทจดทกำหนดให

(a) f(x) =x

x− 1; x = 1 (b) f(x) = sin

1

x; x = 0

(c) f(x) = e1/x ; x = 0 (d) f(x) = ln |x− 2| ; x = 2

(e) f(x) =

1

x− 1ถา x 6= 1

2 ถา x = 1; x = 1

(f) f(x) =x2 − 1

x+ 1; x = −1

(g) f(x) =

x2 − 2x− 8

x− 4ถา x 6= 4

3 ถา x = 4; x = 4

(h) f(x) =

{

1− x ถา x ≤ 2

x2 − 2x ถา x > 2; x = 2

(i) f(x) =

x2 ถา x < 2

3 ถา x = 2

3x− 2 ถา x > 2

; x = 2

(j) f(x) =

x2 ถา x < 0

−x ถา 0 ≤ x ≤ 1

x ถา x > 1

; x = 1

5. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองบนชวงใดบาง?

(a) f(x) = 2x+ 3√x (b) f(x) =

1

x+ 3

(c) f(x) =1

x2 + 1(d) f(x) =

x− 5

|x− 5|

(e) f(x) =x2 + 4

x− 2(f) f(x) = 3

√

x+ 1

x− 1

(g) f(x) =3

x2 − x(h) f(x) =

x

4− x2

(i) f(x) =sin x

x2

6. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนมความตอเนองและไมตอเนองทจดใดบาง? ถา f ไมตอเนองทจดใด แลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาไดจะขจดอยางไร?


(a) f(x) =x− 2

x2 − 4(b) f(x) =

1

1− |x|

(c) f(x) =x− 17

|x− 17| (d) f(x) =3−√

x

9− x

(e) f(x) =

√x− 1

x− 1(f) f(x) =

x4 + 2x2 − 3

x+ 1

(g) f(x) =

{

−x ถา x < 0

x2 ถา x ≥ 0(h) f(x) =

1 + x2 ถา x ≤ 0sin x

xถา x > 0

7. จงหาคาของ c ททำใหฟงกชน f(x) ตอเนองบนชวง (−∞,∞)

(a) f(x) =

{

x+ c ถา x < 0

4− x2 ถา x ≥ 0(b) f(x) =

{

c2 − x2 ถา x < 0

2(x− c)2 ถา x ≥ 0

(c) f(x) =

{

cx+ 1 ถา x ≤ 3

cx2 − 1 ถา x > 3(d) f(x) =

{

x2 − c2 ถา x < 4

cx+ 20 ถา x ≥ 4

8. จงหาคาของ a และ b ททำใหฟงกชนตอไปนตอเนองททกๆ จด

f(x) =

x+ 1 ถา x < 1

ax+ b ถา 1 ≤ x < 2

3x+ 1 ถา x ≥ 2

9. จงหาคาของ k และ m ททำใหฟงกชนตอไปนตอเนองททกๆ จด

f(x) =

x2 + 5 ถา x > 2

m(x+ 1) + k ถา − 1 < x ≤ 2

2x3 + x+ 7 ถา x ≤ −1

10. จงหาคา k 6= 0 ททำใหฟงกชน

f(x) =

tan kx

xถา x < 0

3x+ 2k2 ถา x ≥ 0

ตอเนองท x = 0

11. จงใชทฤษฎบทคาระหวางกลางแสดงวา ฟงกชน f(x) มคาเทากบศนยในชวงทกำหนดให

(a) f(x) = x2 − 7 ; [2, 3]

(b) f(x) = x3 − 4x− 2 ; [−1, 0]

(c) f(x) = cosx− x ; [0, 1]


12. จงใชทฤษฎบทคาระหวางกลางพสจนวาสมการ x3 + 3x − 2 = 0 มผลเฉลยทเปนจำนวนจรงทมคาอยระหวาง 0 และ 1

13. จงใชทฤษฎบทคาระหวางกลางพสจนวาสมการ (cos t) t3 + 6 sin5 t − 3 = 0 มผลเฉลยทเปนจำนวนจรงทมคาอยระหวาง 0 และ 2π

14. จงแสดงวาสมการ x5 + 4x3 − 7x+ 14 = 0 มผลเฉลยทเปนจำนวนจรงอยางนอยหนงผลเฉลย


1. (a) x = −2, 2 (b) x = −2, 1, 4 (c) x = −2, 2, 4

4. (a) f(1) หาคาไมได (b) f(0) หาคาไมได (c) f(0) หาคาไมได

(d) f(2) หาคาไมได (e) limx→1

f(x) หาคาไมได (f) f(−1) หาคาไมได

(g) limx→4

f(x) 6= f(4) (h) limx→2

f(x) หาคาไมได (i) limx→2

f(x) 6= f(2)

(j) limx→1


5. (a) R (b) (−∞,−3) ∪ (−3,∞) (c) R (d) (−∞, 5) ∪ (5,∞)

(e) (−∞, 2) ∪ (2,∞) (f) (−∞, 1) ∪ (1,∞) (g) (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1,∞)

(h) (−∞,−2) ∪ (−2, 2) ∪ (2,∞) (i) (−∞, 0) ∪ (0,∞)

7. (a) 4 (b) 0 (c) 13

(d) −2 8. a = 5, b = −3 9. k = 4 m = 53

10. k = 12

บทท 5

อนพนธ

เหตการณทางธรรมชาตหลายเหตการณ เกยวของกบการเปลยนแปลงของปรมาณ เชน ความเรวของจรวด อตราเงนเฟอ จำนวนของแบคทเรยในการเพาะเชอ ความรนแรงของแผนดนไหว หรอความตางศกยของกระแสไฟฟา ในบทนเราจะเรยนรแนวคดของ อนพนธ ซงเปนเครองมอทางคณตศาสตรสำหรบการศกษาอตราการเปลยนแปลงของปรมาณใดปรมาณหนงเทยบกบปรมาณอน การศกษาอตราการเปลยนแปลงของปรมาณมความใกลเคยงกบแนวคดของความชนของเสนสมผสเสนโคงดงนนเราจะเรมหวขอแรกดวยการกลาวถงบทนยามทวไปของความชนของเสนสมผส และศกษาวธการหาความชนและสมการของเสนสมผสเสนโคง

5.1 ความชนของเสนสมผสและอตราการเปลยนแปลง

ความชนของเสนสมผสโคง

กำหนดใหเสนโคง C เปนกราฟของสมการ y = f(x) และให P(

x0, f(x0))

เปนจดใดๆ บนเสนโคง C จากรปท 5.1 ถา Q

(

x, f(x))

เปนจดอกจดหนงบนเสนโคง C ทไมใชจด P แลวความชนของเสนตด PQ คอ

mPQ =f(x)− f(x0)

x− x0

ถาให x มคาเขาใกล x0 แลวจด Q จะเลอนเขาหาจด P ตามแนวของเสนโคง C และจะไดวาความชน mPQ ของเสนตด PQ มคาเขาใกลความชน m ของเสนสมผสโคงทจด P

65


y

x

f(x)f(x0)

x0 x

Q

P

รปท 5.1: เสนตดและเสนสมผสโคง

บทนยาม 5.1 เสนสมผสโคง (tangent line) y = f(x) ทจด P(

x0, f(x0))

คอ เสนตรงทผานจด P และมสมการคอ

y − f(x0) = m(x− x0)

เมอ m คอความชนของเสนสมผสทนยามโดย

m = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

(5.1)

เมอลมตหาคาได

ตวอยาง 5.1 จงหาสมการของเสนสมผสโคง y = x2 ทจด P (1, 1)

วธทำ . . . . . . . . .

ถาหากให h = x − x0 แลวความชนของเสนสมผสโคง (5.1) สามารถเขยนในรปแบบทงายตอการนำไปใชดงน

m = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h(5.2)

ตวอยาง 5.2 จงหาสมการของเสนสมผสโคง y =2

xทจด x = 2

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.3 จงหาความชนของเสนสมผสโคง f(x) =√x ทจด (1, 1), (4, 2) และ (9, 3)

วธทำ . . . . . . . . .

ความเรว

หวขอหนงทสำคญในแคลคลสคอ การศกษาการเคลอนทของวตถ ในทนเราจะพจารณาการเคลอนทของวตถตามแนวเสนตรง โดยมสมการการเคลอนทคอ s = f(t) เมอ s แทนระยะทางของวตถจากจดเรมตน ณ เวลา t ใดๆ และฟงกชน f ซงแทนการเคลอนทของวตถเรยกวาฟงกชน


ตำแหนง (position function) ความเรวเฉลย (average velocity) ของวตถในชวงเวลา [t0, t0 + h] เมอ h > 0 คอ

ความเรวเฉลย =ระยะทางเวลา

=f(t0 + h)− f(t0)

h(5.3)

ถาหากหาความเรวเฉลยในชวงเวลาสนๆ นนคอชวง [t0, t0 + h] เมอ h → 0 แลวเราสามารถใหนยาม ความเรว (velocity) หรอ ความเรวขณะใดขณะหนง (instantaneous velocity)v(t0) ทเวลา t = t0 ดงน

v(t0) = limh→0

f(t0 + h)− f(t0)

h(5.4)

ตวอยาง 5.4 กำหนดใหลกบอลตกจากตกสง โดยทระยะทางทลกบอลตกลงมาสามารถเขยนในรปของสมการ

s = f(t) = 64− 16t2 ฟต

เมอ t แทนเวลาหลงจากทลกบอลตกลงมา และมหนวยเปนวนาท จงหา

(i) ความเรวเฉลยของลกบอลระหวางเวลา t = 1.5 ถง t = 2

(ii) ความเรวเฉลยของลกบอลระหวางเวลา t = 1.9 ถง t = 2

(iii) ความเรวขณะใดขณะหนงของลกบอลทเวลา t = 2

วธทำ (i) ความเรวเฉลยของลกบอลระหวางเวลา t = 1.5 ถง t = 2 คอ

f(2)− f(1.5)

2− 1.5=

[

64− 16(2)2]

−[

64− 16(1.5)2]

0.5= −56 ฟตตอวนาท

(ii) ความเรวเฉลยของลกบอลระหวางเวลา t = 1.9 ถง t = 2 คอ

f(2)− f(1.9)

2− 1.9=

[

64− 16(2)2]

−[

64− 16(1.9)2]

0.1= −62.4 ฟตตอวนาท

(iii) จากสมการ (5.4) จะไดความเรวขณะใดขณะหนงของลกบอลทเวลา t = 2 คอ

v(2) = limh→0

f(2 + h)− f(2)

h

= limh→0

[

64− 16(2 + h)2]

−[

64− 16(2)2]

h

= limh→0

[

64− 16(4 + 4h+ h2)]

−[

64− 16(2)2]

h

= limh→0

−64h− 16h2

h= lim

h→0

−16h(h+ 4)

h

= limh→0

[

− 16(h+ 4)]

= −64 ฟตตอวนาท z


อตราการเปลยนแปลง

ความเรวจดเปนอตราการเปลยนแปลงของตำแหนงของวตถเทยบกบเวลา สำหรบการประยกตเรองอนๆ อตราการเปลยนแปลงทพบไดเชน

• นกจลชววทยาตองการทราบอตราการเปลยนแปลงจำนวนของแบคทเรยในการเพาะเชอเทยบกบเวลา

• วศวกรตองการทราบอตราการเปลยนแปลงความยาวของแทงโลหะเมออณหภมมการเปลยนแปลง

• นกเศรษฐศาสตรตองการทราบอตราการเปลยนแปลงตนทนในการผลตเทยบกบคณภาพของสนคา

• นกวจยทางการแพทยตองการทราบอตราการขยายตวของหลอดเลอดใหญเทยบกบความเขมขนของแอลกอฮอลในกระแสเลอด

วตถประสงคตอไปคอ การใหความหมายของอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x เมอ y

เปนฟงกชนของ x

ในกรณท y เปนฟงกชนเชงเสนของ x นนคอ y = mx + b ความชน m หมายถงอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x

สำหรบกรณท y = f(x) อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x บนชวง [x0, x1] เทากบ

อตราการเปลยนแปลงเฉลย =f(x1)− f(x0)

x1 − x0(5.5)

และอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของ y เทยบกบ x ท x0 เทากบ

อตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนง = limx1→x0

f(x1)− f(x0)

x1 − x0(5.6)

ถาให h = x1 − x0 แลว (5.5) และ (5.6) จะเขยนแทนดวย

อตราการเปลยนแปลงเฉลย =f(x0 + h)− f(x0)

h(5.7)

อตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนง = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

x0(5.8)

ตวอยาง 5.5 ตนทนการผลต (หนวยเปนดอลลาร) ของสนคาชนดหนงเปนไปตามสมการ C(x) =

5000 + 10x+ 0.05x2 เมอ x แทนปรมาณสนคา (หนวยเปนชน)

(a) จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ C เทยบกบ x เมอปรมาณการผลตมการเปลยนแปลงจาก x = 100 ถง x = 105

(b) จงหาอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของ C เทยบกบ x เมอ x = 100


วธทำ (a) จาก (5.5) จะไดวาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ C เทยบกบ x เทากบ

C(105)− C(100)

105− 100=

6601.25− 6500

5=

101.25

5= 20.25

นนคอตนทนการผลตเพมขนโดยเฉลย 20.25 ดอลลารตอการเพมขนของสนคาหนงชน

(b) จาก (5.6) จะไดวาอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของ C เทยบกบ x เมอx = 100 คอ

limx1→x0

C(x1)− C(x0)

x1 − x0

= limx1→100

C(x1)− C(100)

x1 − 100

= limx1→100

(5000 + 10x1 + 0.05x21)− 6500

x1 − 100

= limx1→100

0.05x21 + 10x1 − 1500

x1 − 100

= limx1→100

0.05(x1 − 100)(x1 + 300)

x1 − 100= lim

x1→100(0.05)(x1 + 300) = 20

นนคอตนทนการผลตเพมขนดวยอตรา 20 ดอลลารตอชน z


1. กำหนดใหเสนโคงมสมการ y = f(x)

(a) จงเขยนนพจนของความชนของเสนตดทผานจด P(

3, f(3))

และ Q(

x, f(x))

(b) จงเขยนนพจนของความชนของเสนสมผสทจด P

2. กำหนดใหวตถเคลอนทโดยมฟงกชนตำแหนงคอ s = f(t)

(a) จงเขยนนพจนของความเรวเฉลยของวตถในชวงเวลาจาก t = t0 ถง t = t0 + h

(b) จงเขยนนพจนของความเรวขณะใดขณะหนงทเวลา t = t0

3. จงหาสมการของเสนสมผสโคงทจดทกำหนดให

(a) y = x2 − 2, (1,−1) (b) y = x2 − 3x, (−2, 10)

(c) y = 1− 2x− 3x2, (−2,−7) (c) y =1

x2, (−2, 1

4)

(e) y =2

x+ 1, (1, 1) (f) y =

√x+ 3, (−2, 1)

4. (a) กำหนดเสนโคง y =2

x+ 3จงหาความชนของเสนสมผสโคง y ทจด x = x0

(b) จงหาความชนเสนสมผสโคง y ทจด (i) x = −1, (ii) x = 0 และ (iii) x = 1

5. (a) กำหนดเสนโคง y = x3 − 4x+ 1 จงหาความชนของเสนสมผส y ทจด x = x0

(b) จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคง y ทจด (1,−2) และ (2, 1)


6. กำหนดใหฟงกชนตอไปนแทนตำแหนงของวตถทเวลา t ใดๆ

(a) s = f(t) = 16t2 + 10 (b) s = f(t) =√t2 + 8t

i. จงหาความเรวเฉลยระหวางเวลา t = 0 และ t = 2

ii. จงหาความเรวเฉลยระหวางเวลา t = 1 และ t = 2

iii. จงหาความเรวเฉลยระหวางเวลา t = 1.9 และ t = 2

iv. จงหาความเรวเฉลยระหวางเวลา t = 1.99 และ t = 2

v. จงประมาณคาความเรวขณะใดขณะหนงทเวลา t = 2

7. จงใชฟงกชนตำแหนง s = f(t) ตอไปน หาคาความเรวทเวลา t = t0

(a) s = f(t) = −16t2 + 5, t0 = 1 (b) s = f(t) =√t + 16 , t0 = 0

8. เครองวดอณหภมไดมการบนทกอณหภม T (หนวยเปนองศาเซลเซยส) ทกๆ ชวโมง ตงแตเทยงคนของวนๆหนงในเมองแหงหนง ถา x แทนจำนวนชวโมงทวดอณหภมนบตงแตเทยงคนและตารางตอไปนแสดงขอมลทจดบนทกได

x(h) T (◦C) x(h) T (◦C)

0 6.5 13 16.0

1 6.1 14 17.3

2 5.6 15 18.2

3 4.9 16 18.8

4 4.2 17 17.6

5 4.0 18 16.0

6 4.0 19 14.1

7 4.8 20 11.5

8 6.1 21 10.2

9 8.3 22 9.0

10 10.0 23 7.9

11 12.1 24 7.0

12 14.3

จงหา

(a) อตราการเปลยนแปลงเฉลยของอณหภมเทยบกบเวลา

i. จากเทยงวนถง 15.00 น.ii. จากเทยงวนถง 14.00 น.iii. จากเทยงวนถง 13.00 น.

(b) คาประมาณของอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของอณหภมณ เวลาเทยงวน

9. โยนลกบอลขนไปในอากาศดวยความเรว 40 ฟตตอวนาท ความสงของลกบอล (หนวยเปนฟต) เมอเวลาผานไป t วนาท ถกกำหนดโดยสมการ y = 40t − 16t2 จงหาความเรวเมอt = 2 วนาท


10. ถาระยะทาง (หนวยเปนเมตร) ทวตถชนดหนงเคลอนทในแนวเสนตรงถกกำหนดโดยสมการs = f(t) = 4t3 + 6t + 2 เมอ t มหนวยเปนวนาท จงหาความเรวของวตถชนดนทเวลาt = t0, t = 1, t = 2 และ t = 3 วนาท


1. (a)f(x)− f(3)

x− 3(b) lim

x→3

f(x)− f(3)

x− 3

2. (a)f(t0 + h)− f(t0)

h(b) lim

h→0

f(t0 + h)− f(t0)

h

3. (a) y = 2x− 3 (b) y = −7x− 4 (c) y = 10x+ 13 (d) y = 14x+ 3

4

(e) y = −12x+ 3

2(f) y = 1

2x+ 2

4. (a) −2/(x0 + 3)2 (b) (i) −12

(ii) −29

(iii) −18

5. (a) 3x20 − 4 (b) y = −x− 1, y = 8x− 15

6. (a) (i) 32 (ii) 48 (iii) 62.4 (iv) 63.84 (v) 64

(b) (i) 2.236 (ii) 1.472 (iii) 1.351 (iv) 1.343 (v) 1.342

7. (a) −32 (b) 18

8. (a) i. 1.3 องศาเซลเซยสตอชวโมง ii. 1.5 องศาเซลเซยสตอชวโมง

iii. 1.7 องศาเซลเซยสตอชวโมง (b) ≈ 1.9 องศาเซลเซยสตอชวโมง

9. −24 ฟตตอวนาท 10. 12t20 + 6, 18 เมตรตอวนาท, 54 เมตรตอวนาท, 114 เมตรตอวนาท

5.2 อนพนธของฟงกชน

จากหวขอทผานมาเราไดวาlimh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

หมายถง ความชนของเสนสมผสโคง y = f(x) ท x = x0 หรออตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของ y เทยบกบ x ท x = x0 และทำใหเหนไดวาเราสามารถใชสญลกษณทางคณตศาสตรเดยวกน เพออธบายสงทแตกตางกนได ในหวขอนจะกำหนดชอและสญลกษณของ

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

เพอความสะดวกในการนำไปประยกตใช


บทนยาม 5.2 ฟงกชน f ′ นยามโดย

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h(5.9)

เรยกวา อนพนธของ f เทยบกบ x โดยทโดเมนของ f ′ ประกอบดวยคา x ในโดเมนของ f

ททำใหลมตหาคาได

ตวอยาง 5.6 จงหาอนพนธของ f(x) = x3 +7x พรอมทงหาสมการของเสนสมผสโคง y = f(x)

ทจด x = 1

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.7 จงหา f ′(x) ถา f(x) =√x

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.8 ถา f(x) =2x− 3

5− xจงหา f ′(x)

วธทำ . . . . . . . . .

บทนยาม 5.3 ฟงกชน y = f(x) หาอนพนธได (differentiable) ท x0 ถาลมต

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h(5.10)

หาคาได และถา f หาอนพนธไดททกจดบนชวงเปด (a, b) แลวเรากลาววา f หาอนพนธไดบนชวงเปด (a, b) และเราสามารถใหนยามการหาอนพนธไดบนชวง (a,+∞), (−∞, a) และ(−∞,+∞) ในทำนองเดยวกน สำหรบกรณท f หาอนพนธไดบนชวง (−∞,+∞) เราจะกลาววา f หาอนพนธไดททกจด

ตวอยาง 5.9 จงแสดงวา f(x) = |x| หาอนพนธไมไดท x = 0

วธทำ จากสมการ (5.10) โดยม x0 = 0 จะได

f ′(0) = limh→0

f(0 + h)− f(0)

h= lim

h→0

f(h)− f(0)

h

= limh→0

|h| − |0|h

= limh→0

|h|h

แต|h|h

=

{

1 ถา h > 0

−1, ถา h < 0

ดงนนlimh→0−

|h|h

= −1 และ limh→0+

|h|h

= 1

เนองจากลมตดานเดยวมคาไมเทากน ดงนน limh→0

|h|h

หาคาไมได เพราะฉะนน f หาอนพนธไม

ไดท x = 0 z


ทฤษฎบท 5.1 ถาฟงกชน f หาอนพนธไดท x0 แลว f ตอเนองท x0

ตวอยาง 5.10 จงพจารณาวา

f(x) =

{

4 ถา x < 2

2x ถา x ≥ 2

เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทจด x = 2 หรอไม?

วธทำ . . . . . . . . .

สญลกษณอนของอนพนธ

ถา y = f(x) นนคอ x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม แลวสญลกษณตอไปนแทนอนพนธของฟงกชน f

f ′(x) = y′ =dy

dx=

df

dx=

d

dxf(x) = Df(x) = Dxf(x)

และสำหรบอนพนธของฟงกชน y = f(x) ทจด x0 เราเขยนแทนดวย

f ′(x0) =dy

dx

∣

∣

∣

∣

x=x0

=d

dxf(x)

∣

∣

∣

∣

x=x0


1. ถา f(x) = 3x2 − 5x แลวจงหาคาของ f ′(2) และหาสมการของเสนสมผสกราฟพาราโบลาy = 3x2 − 5x ทจด (2, 2)

2. ถา g(x) = x3 − 5x + 1 แลวจงหาคาของ g′(1) และหาสมการของเสนสมผสโคง y =

x3 − 5x+ 1 ทจด (1,−3)

3. จงใชบทนยาม 5.2 หาอนพนธของฟงกชน f(x)

(a) f(x) = 3x2 + 1 (b) f(x) =3

x+ 1

(c) f(x) =√3x+ 1 (d) f(x) = x3 + 2x− 1

4. จงหา f ′(x0) ของฟงกชนตอไปน โดยใชบทนยาม 5.3

(a) f(x) = 3x+ 1, x0 = 1 (b) f(x) =√3x+ 1 , x0 = 1

(c) f(x) = x2 + 2x, x0 = 0 (d) f(x) = x3 + 4, x0 = −1

(e) f(x) =x

2x− 1, x0 = 1 (f) f(x) =

2√3− x

, x0 = −1

5. จงพจารณาหาคาของ f ′(0) (ถาหาคาได) เมอกำหนด f(x) ดงตอไปน

(a) f(x) =

{

2x+ 1 ถา x < 0

3x+ 1 ถา x ≥ 0


(b) f(x) =

x sin1

xถา x 6= 0

0 ถา x = 0


1. 7, y = 7x− 12 2. −2, y = −2x− 1

3. (a) 6x (b)−3

(x+ 1)2(c)

3

2√3x+ 1

(d) 3x2 + 2

4. (a) 3 (b) 34

(c) 2 (d) 3 (e) −1 (f) 18

5. (a) หาคาไมได (b) หาคาไมได

5.3 กฎอนพนธทวไป

จากหวขอทผานมา เราไดนยามอนพนธของฟงกชนในรปของลมต ในหวขอนเราจะศกษาทฤษฎบทตางๆ ทชวยในการหาอนพนธของฟงกชน

ทฤษฎบท 5.2 อนพนธของฟงกชนคาคงตวเทากบ 0 นนคอถา c เปนจำนวนจรงใดๆ แลว

d

dx[c] = 0

ตวอยาง 5.11d

dx[1] = 0,

d

dx[−5] = 0,

d

dx[π] = 0,

d

dx[ln 2] = 0 z

ทฤษฎบท 5.3 (กฎกำลง) ถา n เปนจำนวนจรงใดๆ แลว

d

dx[xn] = nxn−1


dx

[

x2013]

= . . . . . . . . .

d

dx[xπ] = . . . . . . . . .

d

dx

[

3√x7]

= . . . . . . . . .

d

dx

[

1

x−3/4

]

= . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 5.4 (กฎการคณดวยคาคงตว) ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ c เปนจำนวนจรงใดๆ แลว cf เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ

d

dx

[

cf(x)]

= cd

dxf(x)



dx

[

2x56]

= . . . . . . . . .

d

dx

[

−5 3√x]

= . . . . . . . . .

d

dx

[π

x

]

= . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 5.5 (กฎผลบวกและกฎผลตาง) ถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x แลวf + g และ f − g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ

d

dx

[

f(x) + g(x)]

=d

dxf(x) +

d

dxg(x)

d

dx

[

f(x)− g(x)]

=d

dxf(x)− d

dxg(x)

ตวอยาง 5.14 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

(a) f(x) = x12 + 5x−2 − πx−10 (b) f(x) =5x5/2 + 3x3/2 − 2

√x+ 6x

x

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.15 จงหาจดบนเสนโคง y = x4 − 6x2 + 4 ทมเสนสมผสในแนวนอน

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 5.6 (กฎผลคณ) ถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x แลว f · g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ

d

dx[f(x)g(x)] = f(x)

d

dx[g(x)] + g(x)

d

dx[f(x)]

ตวอยาง 5.16 จงหา f ′(x) ถา f(x) = x−7/8(x3 − 2x+ 1)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.17 จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) = (3x4 − 4x)

(

x2 −√x+

3

x

)

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 5.7 (กฎผลหาร) ถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ g(x) 6= 0

แลว f/g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x

d

dx

[

f(x)

g(x)

]

=g(x)

d

dx[f(x)]− f(x)

d

dx[g(x)]

[

g(x)]2



(a) f(x) =x2 + x+ 1

x3 + 4(b) f(x) =

5x2 + 2x− 6

3x− 1

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

(a) f(x) = x3 − 2x+ 1 (b) f(x) = 3x2 − 4

(c) f(x) = 4 (d) f(x) = 3x3 − 2√x

(e) f(x) =3

x− 8x+ 1 (f) f(x) =

10√x− 2x

(g) f(x) = 2x3/2 − 3x−1/3 (h) f(x) = 2 3√x+ 3

(i) f(x) = x (3x2 −√x) (j) f(x) =

3x2 − 3x+ 1

2x

(k) f(x) = x+5√x2 (l) f(x) = x

√x+

1

x2√x


(a) f(x) = (x2 + 3)(x3 − 3x+ 1)

(b) f(x) = (3x+ 4)(x3 − 2x2 + x)

(c) f(x) = (√x+ 3x)

(

5x2 − 3

x

)

(d) f(x) =3x− 2

5x+ 1(e) f(x) =

x− 2

x2 + x+ 1

(f) f(x) =3x− 6

√x

5x2 − 2(g) f(x) =

(x+ 1)(x− 2)

x2 − 5x+ 1

(h) f(x) =x2 + 3x− 2√

x(i) f(x) = x( 3

√x+ 3)

(j) f(x) = (x2 + 1)

(

x3 + 3x2

x2 + 2

)

(k) f(x) =x

x+c

x

3. จงหาสมการของเสนสมผสโคงทจดทกำหนดให

(a) y = x+4

x, (2, 4) (b) y = x+

√x, (1, 2)

(c) y =2x

x+ 1, (1, 1) (d) y =

1

1 + x2,(

−1, 12

)

4. จงหาจดบนเสนโคง y = x3 − x2 − x+ 1 ทมเสนสมผสในแนวนอน

5. จงแสดงวาเสนโคง y = 6x3 + 5x− 3 ไมมเสนสมผสทมความชนเทากบ 4



f(x) =

{

2− x ถา x ≤ 1

x2 − 2x+ 2 ถา x > 1

จงพจารณาวาฟงกชน f หาอนพนธไดท x = 1 หรอไม?

7. จงหาคาของ x ททำใหฟงกชน f(x) = |x2 − 9| หาอนพนธได

8. จงหาคาของ a และ b ททำใหเสนตรง 2x + y = b สมผสกบเสนโคง y = ax2 เมอx = 2

9. จงหาฟงกชน y = ax3 + bx2 + cx + d ทกราฟของฟงกชนมเสนสมผสในแนวนอนทจด(−2, 6) และ (2, 0)

10. จงหากฎผลคณสำหรบผลคณของสามฟงกชน f(x)g(x)h(x)

11. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน โดยใชกฎผลคณทหาไดจากขอ 3.

(a) f(x) = x2/3(x2 − 2)(x3 − x+ 1)

(b) f(x) = (x+ 1)(x3 + 4x)(x5 − 3x2 + 1)

12. ถา f และ g เปนฟงกชนทมกราฟดงรป และให u(x) = f(x)g(x) และ v(x) = f(x)/g(x)

แลว

(a) จงหา u′(1) (b) จงหา v′(1)

x

y

1

1

f

g

13. กำหนดให f(5) = 1, f ′(5) = 6, g(5) = −3 และ g′(5) = 2 จงหาคา

(a) (fg)′(5) (b) (f/g)′(5) (c) (g/f)′(5)


1. (a) 3x2 − 2 (b) 6x (c) 0 (d) 9x2 − 1√x

(e) − 3x2 − 8

(f) −5x−3/2 − 2 (g) 3x1/2 + x−4/3 (h) 23x−2/3 (i) 9x2 − 3

2x1/2

(j) 32− 1

2x−2 (k) 1 + 2/(5

5√x3) (l) 3

2

√x− 5/(2x3

√x)


2. (a) 2x(x3 − 3x+ 1) + (x2 + 3)(3x2 − 3)

(b) 3(x3 − 2x2 + x) + (3x+ 4)(3x2 − 4x+ 1)

(c)(

1

2x−1/2 + 3

)(

5x2 − 3

x

)

+ (√x+ 3x)(10x+ 3x−2) (d)

13

(5x+ 1)2

(e)−x2 + 4x+ 3

(x2 + x+ 1)2(f)

(3− 3x−1/2)(5x2 − 2)− (3x− 6√x)(10x)

(5x− 2)2

(g)−4x2 + 6x− 11

(x2 − 5x+ 1)2(h) 3

2x1/2 + 3

2x−1/2 + x−3/2 (i) 4

3x1/3 + 3

(j) 2xx3 + 3x2

x2 + 2+ (x2 − 1)

(3x2 + 6x)(x2 + 2)− (x3 + 3x2)(2x)

(x2 + 2)2(k)

2cx

(x2 + c)2

3. (a) y = 4 (b) y = 32x+ 1

2(c) y = 1

2x+ 1

2(d) y = 1

2x+ 1

4. (1, 0), (−13, 3227) 6. ไม 7. หาอนพนธไมไดท x = −3 และ 3 8. a = −1

2, b = 2

9. y = 316x3 − 9

4x+ 3

10. f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x)

11. (a) 23x−1/3(x2 − 2)(x3 − x+ 1) + 2x4/3(x3 − x+ 1) + x2/3(x2 − 2)(3x2 − 1)

(b) (x3 + 4x)(x5 − 3x2 + 1) + (x+ 1)(3x2 + 4)(x5 − 3x2 + 1)

+ (x+ 1)(x3 + 4x)(5x4 − 6x)

12. (a) 0 (b) −23

13. (a) 16 (b) −209

(c) 20

5.4 กฎลกโซ

หากตองการหาอนพนธของฟงกชน h(x) =√x2 + 1 จะพบวากฎการหาอนพนธทไดกลาวไปแลว

ขางตน ไมสามารถนำมาใชหา h′(x) ได แตจะสงเกตไดวา h เปนฟงกชนประกอบ นนคอถาให f(u) =

√u และ g(x) = x2 + 1 แลว h(x) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x) และอนพนธของ

ฟงกชน f และ g สามารถหาไดโดยงาย ดงนนเปนการดทจะมกฎการหาอนพนธของฟงกชนประกอบ h = f ◦g ในรปอนพนธของ f และ g ซงพบวาอนพนธของฟงกชนประกอบ f ◦g คอผลคณของอนพนธของ f และ g และเราเรยกกฎการหาอนพนธนวา กฎลกโซ (The ChainRule)

ทฤษฎบท 5.8 (กฎลกโซ) ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท g(x) แลวฟงกชนประกอบ f ◦ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ

d

dx

[

f(

g(x))]

= f ′(g(x))

g′(x)

ถา y = f(u) และ u = g(x) แลว y = f(

g(x))

และ

dy

dx=

dy

du· dudx



(a) y = (x5 − 4x3 + πx)101 (b) g(x) =1

3√x2 + 5

(c) h(x) =

(

x− 2

2x+ 1

)9

วธทำ . . . . . . . . .



(a) f(x) = (x3 + 4x)7 (b) f(x) = (x3 + x− 1)3

(c) f(x) =√x2 − 7x (d) f(x) =

√x2 + 4

(e) f(x) =

(

x− 1

x

)3/2

(f) f(x) = (2x− 5)4(8x2 − 5)−3

(g) f(x) = (3x− 2)10(5x2 − x+ 1)12 (h) f(x) =4

(3x2 − 2x+ 1)3

(i) f(x) =

(

x− 6

x+ 7

)3

(j) f(x) =1

5√2x− 1

2. จงหาสมการของเสนสมผสโคง y = f(x) ทจด x = a

(a) y =√x2 + 16 , a = 3 (b) y =

8√4 + 3x

, a = 4

3. ถา f และ g เปนฟงกชนทมกราฟดงรป และให u(x) = f(

g(x))

, v(x) = g(

f(x))

และw(x) = g

(

g(x))

แลวจงหาคาของอนพนธตอไปน ถาหาคาได แตถาอนพนธหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ

(a) u′(1) (b) v′(1) (c) w′(1)

x

y

1

1

f

g

4. กำหนดให F (x) = f(

g(x))

และ g(3) = 6, g′(3) = 4, f ′(3) = 2 และ f ′(6) = 7 จงหา F ′(3)

5. ตารางตอไปนแสดงคาของ f, g, f ′ และ g′

x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)

1 3 2 4 6

2 1 8 5 7

3 7 2 7 9


(a) ถา h(x) = f(

g(x))

แลวจงหาคาของ h′(1)

(b) ถา H(x) = g(

f(x))

แลวจงหาคาของ H ′(1)


1. (a) 7(x3 + 4x)6(3x2 + 4) (b) 3(3x2 + 1)(x3 + x− 1)2 (c)2x− 7

2√x2 − 7x

(d) x(x2 + 4)−1/2 (e) 32(x− 1/x)1/2(1 + 1/x2)

(f) 8(2x− 5)3(8x2 − 5)−4(−4x2 + 30x− 5)

(g) 6(3x− 2)9(5x2 − x+ 1)11(85x2 − 51x+ 9)

(h)24(1− 3x)

(3x2 − 2x+ 1)4(i)

39(x− 6)2

(x+ 7)4(j) −2

5(2x− 1)−6/5

2. (a) y = 35x+ 16

5(b) y = − 3

16x+ 11

4

3. (a) 34

(b) หาคาไมได (c) −2 4. 28 5. (a) 30 (b) 36

5.5 อนพนธของฟงกชนตรโกณมต

กอนทจะศกษาในหวขอน นกศกษาควรมการทบทวนเกยวกบฟงกชนตรโกณมต ดงเชนเมอกลาวถงฟงกชน f ทนยามโดย

f(x) = sin x เมอ x เปนจำนวนจรงใดๆ

แลว sin x จะหมายถง ไซน (sine) ของมม x ทมหนวยเปนเรเดยน (radian) และสำหรบฟงกชนตรโกณมตอนๆกจะมลกษณะเชนเดยวกน นอกจากนจะไดวา ฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนตอเนองททกๆ จดบนโดเมนของฟงกชนนนๆ

อนพนธของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชน มดงน

d

dx[sin x] = cosx

d

dx[cosx] = − sin x

d

dx[tan x] = sec2 x

d

dx[cot x] = − csc2 x

d

dx[sec x] = sec x tan x

d

dx[csc x] = − csc x cot x


(a) f(x) = x4 sin x (b) f(x) = 3 tanx− 2 csc x

(c) f(x) =sec x

1 + tanx(d) f(x) =

√cot x− cos 3x

วธทำ . . . . . . . . .




(a) f(x) = 4 sinx− x (b) f(x) = tan x− csc x

(c) f(x) = x cosx (d) f(x) = 4√x− 2 sin x

(e) f(x) =sin x

x(f) f(x) =

tan x

x

(g) f(x) =cosx− 1

x2(h) f(x) =

x

sin x+ cos x

(i) f(x) = csc x cotx (j) f(x) = sin x sec x

(k) f(x) = 2 sin x cosx (l) f(x) = 4x2 tanx

(m) f(x) = 4 sin2 x+ 4 cos2 x (n) f(x) = sin(2x2 + 3)

(o) f(x) = cos(a3 + x3) (p) f(x) = tan2 x

(q) f(x) = tan(cosx) (r) f(x) = sec3 4x

(s) f(x) = cos2(

3√x))

(t) f(x) = cos3(sin 2x)

(u) f(x) =[

x+ csc(x3 + 3)]−3 (v) f(x) = sin

(

tan√sin x

)

2. จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคงตอไปนทจดทกำหนดให

(a) y = sin x, (π2, 1) (b) y = cos x, (π

2, 0)

(c) y = tanx, (π4, 1) (d) y = x+ cosx, (0, 1)

(e) y = x cosx, (π,−π) (f) y = sin(sin x), (π, 0)

3. จงหาคา x ททำใหกราฟของฟงกชน f(x) = x+ 2 sin x มเสนสมผสในแนวนอน

4. จงหาจดทงหมดบนกราฟของฟงกชน f(x) = 2 sinx+ sin2 x ทมเสนสมผสในแนวนอน


1. (a) 4 cosx− 1 (b) sec2 x+ csc x cot x (c) cosx− x sin x

(d) 2x−1/2 − 2 cosx (e)x cosx− sin x

x2(f)

x sec2 x− tanx

x

(g)−x2 sin x− (cosx− 1)2x

x4(h)

sin x+ cosx+ x sin x− x cosx

1 + sin 2x

(i) − csc x cot2 x− csc3 x (j) sec2 x (k) 2 cos2 x− 2 sin2 x

(l) 8x tanx+4x2 sec2 x (m) 0 (n) 4x cos(2x2+3) (o) −3x2 sin(a3+x3)

(p) 2 tanx sec2 x (q) − sin x sec2(cosx) (r) 12 sec3 4x tan 4x

(s) − 3√xcos(3

√x) sin(3

√x) (t) −6 cos2(sin 2x) sin(sin 2x) cos 2x

(u) −3[

x+ csc(x3 + 3)]−4

[1− 3x2 csc(x3 + 3) cot(x3 + 3)]

(v) cos(

tan√sin x

)

(sec2√sin x)

[

1/(2√sin x)

]

(cosx)


2. (a) y = 1 (b) y = −x + π2

(c) y = 2x+ 1− π2

(d) y = x+ 1

(e) y = −x (f) y = −x+ π

3. (2n+ 1)π ± π/3, เมอ n เปนจำนวนเตม

4.(

π2+ 2nπ, 3

)

,(

3π2+ 2nπ,−1

)

, n เปนจำนวนเตม

5.6 อนพนธของฟงกชนเลขชกำลง

ฟงกชนเลขชกำลง (exponential function) เปนฟงกชนทพบบอยมากในการประยกตเรองตางๆ รปแบบทวไปของฟงกชนเลขชกำลงคอ f(x) = ax เมอ a > 0, a 6= 0

(

ในทน a เรยกวาฐาน (base) ของฟงกชน

)

ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงอนพนธของฟงกชนเลขชกำลง

ทฤษฎบท 5.9 สำหรบคาคงตว a > 0 ใดๆ

d

dx[ax] = ax ln a

สำหรบกรณท a = e จะไดวา ln e = 1 และอนพนธของฟงกชน f(x) = ex คอ

d

dx[ex] = ex

นอกจากนถา u เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x แลว

d

dx[au] = au ln a · du

dxและ

d

dx[eu] = eu · du

dx


(a) f(x) = 4x cosx (b) g(x) =ex − 5x+ 1

x3 − ln 2

(c) h(x) = 2secx +1

3√etan x

วธทำ . . . . . . . . .



(a) f(x) = 4ex − x (b) f(x) = xex

(c) f(x) = x− 2x (d) f(x) = 2ex+1

(e) f(x) = (1/3)x (f) f(x) = 4−x+1

(g) f(x) = e2x (h) f(x) = x2e−x

(i) f(x) =ex

x(j) f(x) = ex cos x


2. จงหาสมการของเสนสมผสโคง y = f(x) ทจด x = 1 เมอกำหนด f(x) ดงตอไปน

(a) f(x) = 3ex (b) f(x) = 3x

(c) f(x) = xex

3. กำหนดให f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนเซตของจำนวนจรง R และให F (x) = f(ex)

และ G(x) = ef(x) จงหานพจนสำหรบ (a) F ′(x) และ (b) G′(x)


1. (a) 4ex−1 (b) ex+xex (c) 1+(ln 2)2x (d) 2ex+1 (e)(

ln 13

) (

13

)x

(f) −(ln 4)4−x+1 (g) 2e2x (h) 2xe−x − x2e−x (i)xex − ex

x2

(j) (cosx− x sin x) ex cos x

2. (a) y = 3ex (b) y = 3 ln 3(x− 1) + 3 (c) y = 2ex − e

3. (a) F ′(x) = exf ′(ex) (b) G′(x) = ef(x)f ′(x)

5.7 อนพนธของฟงกชนปรยาย

จากการพจารณาเปรยบเทยบสมการ 2 สมการตอไปน

y =√x2 + 3 และ x2 + y2 = 9

เหนไดวา สมการแรกเปนการใหนยามของ y อยางชดเจนในรปฟงกชนของ x เราเรยกฟงกชนทมลกษณะเชนนวา ฟงกชนชดแจง (explicit function)

สำหรบสมการทสองนนไมเปนฟงกชน แตเราสามารถแกสมการหาคา y ทำใหเราไดฟงกชน 2

ฟงกชน(

y =√9− x2 และ y = −

√9− x2

)

ทกำหนดโดยปรยายดวยสมการ x2 + y2 = 9

และเราเรยกฟงกชนทมลกษณะนวา ฟงกชนปรยาย (implicit function) วธการหาอนพนธของฟงกชนปรยายเรยกวา การหาอนพนธโดยปรยาย (implicit differentiation) ซงหาไดโดยการ หาอนพนธทงสองขางของสมการของฟงกชนปรยายเทยบกบ x จากนนแกสมการหาคาdy/dx

ตวอยางและแบบฝกหดในหวขอน จะสมมตใหสมการทกำหนดใหเปนการกำหนด y โดยปรยายในรปฟงกชนของ x นนคอเราพจารณาให x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม

ตวอยาง 5.22 จงหาdy

dxถา x3 + y2 − 3y = 5

วธทำ . . . . . . . . .


dxถา x2 cos y + sin 2y = xy

วธทำ . . . . . . . . .



dxถา cos(x+ y) = y2 sin x

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงหาdy

dxโดยวธการหาอนพนธโดยปรยาย

(a) x2 + y2 = 1 (b) x3 + x2y + 4y2 = 6

(c) x2y + xy2 = 3x (d) x2y2 + 3y = 4x

(e) √xy − 4y2 = 12 (f)

x+ 3

y= 4x+ y2

(g)√x+ y − 4x2 = y (h)

y

x− y= x2 + 1

(i) √xy = 1 + xy (j) ex

2y − ey = x

(k) e4y − ln y = 2x (l) 4 cosx sin y = 1

(m) cos(x− y) = xex (n) xy = cot(xy)


(a) x2 − 4y2 = 0, (2, 1) (b) x2 − 4y3 = 0, (2, 1)

(c) x2y2 = 4y, (2, 1) (d) x3y3 = 9y, (1, 3)

(e)x2

16− y2

9= 1, (−5, 9

4) (f) y2 = x3(2− x), (1, 1)

(g) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), (3, 1) (h) y2 = x3 + 3x2, (1, 2)

(i) y(y2 − 1)(y − 2) = x(x− 1)(x− 2), (0, 1)

3. จงใชวธการหาอนพนธโดยปรยายแสดงวาสมการเสนสมผสโคงx2

a2+

y2

b2= 1 ทจด (x0, y0)

คอx0x

a2+

y0y

b2= 1

4. จงหาสมการของเสนสมผสไฮเพอรโบลาx2

a2− y2

b2= 1 ทจด (x0, y0)

5. จงหาจดทงหมดบนเสนโคง x2y2 + xy = 2 ทความชนของเสนสมผสเทากบ −1

6. ถา x[

f(x)]3

+ xf(x) = 6 และ f(3) = 1 แลวจงหาคาของ f ′(3)


1. (a)−x

y(b)

−x(3x+ 2y)

x2 + 8y(c)

3− 2xy − y2

x2 + 2xy(d)

4− 2xy2

3 + 2x2y

(e)y

16y√xy − x

(f)y − 4y2

x+ 3 + 2y3(g)

16x√x+ y − 1

1− 2√x+ y


(h)2x(x− y)2 + y

x(i)

2y√xy − y

x− 2x√xy

(j)1− 2xyex

2y

x2ex2y − ey(k)

2y

4ye4y − 1

(l) tanx tan y (m) 1 +ex(1 + x)

sin(x− y)(n)

−y

x

2. (a) y = 12x (b) y = 1

3x+ 1

3(c) y = −x+ 3 (d) y = −9

2x+ 15

2

(e) y = −54x− 4 (f) y = x (g) y = − 9

13x+ 40

13(h) y = 9

2x− 5

2

(i) y = −x+ 1 4.x0x

a2− y0y

b2= 1 5. (−1,−1), (1, 1) 6. −1

6

5.8 อนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

เราจะเรมดวยการพจารณาฟงกชน sin−1 ถาให f(x) = sin x (−π/2 ≤ x ≤ π/2) แลวf−1(x) = sin−1 x จะเปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวง (−1, 1) และอนพนธของ sin−1 x สามารถหาไดโดยใชวธการหาอนพนธโดยปรยายดงน ให y = sin−1 x จะไดวา x = sin y จากการหาอนพนธทงสองขางของสมการเทยบกบ x จะได

d

dx[x] =

d

dx[sin y]

1 = cos ydy

dxdy

dx=

1

cos y=

1

cos(

sin−1 x)

ซงสามารถเขยนในรปแบบทงาย โดยการใชเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตจากรปสามเหลยมตอไปน

x1

√1− x2

sin−1 x

cos(

sin−1 x)

=√1− x2

ดงนนdy

dx=

1√1− x2

ฉะนนอนพนธของฟงกชน sin−1 x คอ

d

dx

[

sin−1 x]

=1√

1− x2(−1 < x < 1)

นอกจากนถา u เปนฟงกชนทหาอนพนธไดของ x แลวจากกฎลกโซจะไดวา

d

dx

[

sin−1 u]

=1√

1− u2

du

dx(−1 < x < 1)


จากการใชวธการทกลวไปขางตน เราสามารถหาอนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผนทเหลอไดและอนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผนทง 6 ฟงกชน สามารถสรปไดดงน

d

dx

[

sin−1 x]

=1√

1− x2(−1 < x < 1)

d

dx[cos−1 x] =

−1√1− x2

(−1 < x < 1)

d

dx[tan−1 x] =

1

1 + x2

d

dx[cot−1 x] =

−1

1 + x2

d

dx[sec−1 x] =

1

|x|√x2 − 1

(|x| > 1)

d

dx[csc−1 x] =

−1

|x|√x2 − 1

(|x| > 1)


(a) y = tan−1√x+ 1 (b) y = cot−1 (sin

√x)

วธทำ . . . . . . . . .


dxถา y = sec(π2) + x tan−1

(x

2

)

+ (ln 4)(52x)

วธทำ . . . . . . . . .


จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1. y = sin−1(x2) 2. y = tan−1(ex)

3. y = cos−1(x3) 4. y = sec−1(x2)

5. H(x) = (1 + x2) tan−1 x 6. g(t) = sin−1(4/t)

7. y = x2 cot−1(3x) 8. f(x) = ex − x2 tan−1 x

9. y = tan−1(cos 2x) 10. y = x cos−1(2x)

11. y = cos−1(sin x) 12. y = tan−1(sec x)


1.2x√1− x4

2.ex

1 + e2x3.

−3x2

√1− x6

4.2

x√x4 − 1

5. 1 + 2x tan−1 x 6.−4√

t4 − 16t27. 2x cot−1(3x)− 3x2

1 + 9x2


8. ex − x2

1 + x2− 2x tan−1 x 9.

−2 sin 2x

1 + cos2 2x10. cos−1 2x− 2x√

1− 4x2

11.− cosx

√

1− sin2 x= ±1 12.

sec x tan x

1 + sec2 x

5.9 อนพนธของฟงกชนลอการทม

อนพนธของฟงกชนลอการทม y = loga x เมอ x > 0 สามารถหาไดโดยใชวธการหาอนพนธโดยปรยายดงน ให y = loga x, x > 0 ดงนน ay = x จากการหาอนพนธทงสองขางของสมการเทยบกบ x และใชกฎการหาอนพนธของฟงกชนเลขชกำลง จะไดวา

d

dx(ay) =

d

dx(x)

ay ln ady

dx= 1

dy

dx=

1

ay ln a=

1

x ln a

ดงนนd

dx[loga x] =

1

x ln a, x > 0 (5.11)

ถาให a = e ในสมการ (5.11) แลวตวประกอบ ln a ทางขวามอของสมการ (5.11) จะกลายเปน ln e = 1 ดงนนจะไดอนพนธของฟงกชนลอการทม loge x = ln x คอ

d

dx[ln x] =

1

x(5.12)

นอกจากนถา u เปนฟงกชนทหาอนพนธไดของ x และถา u(x) > 0 แลวจากกฎลกโซจะไดวา

d

dx[loga u] =

1

u ln a· dudx

และd

dx[ln u] =

1

u· dudx

ตวอยาง 5.27 จงหาอนพนธของ f(x) = log5(3 + tan x)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.28 จงหาอนพนธของ f(x) = ln[

sin(

ex2−tanx

)

]

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.29 จงหาอนพนธของ y = sin−1 2x+ log3(x2 − 4)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.30 จงหาอนพนธของ y = ln

(√2x+ 3

x− 2

)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.31 จงหา f ′(x) ถา f(x) = ln |x|วธทำ . . . . . . . . .


การหาอนพนธโดยใชลอการทม

ลำดบตอไปเราจะศกษาวธการหาอนพนธทเรยกวา การหาอนพนธโดยใชลอการทม (logarith-mic differentiation) จากตวอยางตอไปน วธการนมประโยชนสำหรบการหาอนพนธของฟงกชนประกอบของผลคณ ผลหาร หรอเลขชกำลง

ตวอยาง 5.32 จงหาอนพนธของ y =x3/4

√x2 + 1

(3x+ 2)5

วธทำ . . . . . . . . .

จากตวอยาง 5.32 จะไดขนตอนการหาอนพนธของฟงกชนโดยใชลอการทมไดดงน

ขนตอนการหาอนพนธโดยใชลอการทม1. ใสลอการทมฐาน e เขาไปทงสองขางของสมการ y = f(x) และใชคณสมบตของลอการทมจดสมการใหงายขน

2. ใชวธการหาอนพนธโดยปรยาย หาอนพนธเทยบกบ x

3. แกสมการหา y′

ตวอยาง 5.33 จงหาอนพนธของ y = (ln x)cos x

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.34 กำหนดให yx = sin y จงหาdy

dx

วธทำ . . . . . . . . .



(a) f(x) = ln(2x) (b) f(x) = ln(x3)

(c) f(θ) = ln(cos θ) (d) f(x) = log3(x2 − 4)

(e) f(x) = ln√x (f) f(x) =

√x ln x

(g) f(x) = ln

(

a− x

a + x

)

(h) f(x) = ex ln x

(i) f(x) =ln x

1 + x(j) f(x) = |x3 − x2|

(k) f(x) = ln(e−x + xe−x) (l) f(x) = x2 ln(1− x2)


(a) y = x2 ln x, (1, 0) (b) y = ln(lnx), (e, 0)


3. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปนโดยใชลอการทม

(a) y = (2x+ 1)5(x4 − 3)6 (b) y =sin2 x tan4 x

(x2 + 1)2

(c) y = xx (d) y = xsinx

(e) y = (ln x)x (f) y = xex


1. (a) f ′(x) =1

x(b) f ′(x) =

3

x(c) f ′(θ) = − tan θ

(d) f ′(x) =2x

(x2 − 4) ln 3(e) f ′(x) =

1

2x(f) f ′(x) =

2 + lnx

2√x

(g) f ′(x) =−2a

a2 − x2(h) f ′(x) = ex

(

ln x+1

x

)

(i) f ′(x) =1 + x− x ln x

x(1 + x)2(j) f ′(x) =

3x− 2

x(x− 1)(k) f ′(x) =

−x

1 + x

(l) f ′(x) = 2x ln(1− x2)− 2x3

1− x2

2. (a) y = x− 1 (b) x− ey = e

3. (a) y′ = (2x+ 1)5(x4 − 3)6(

10

2x+ 1+

24x3

x4 − 3

)

(b) y′ =sin2 x tan4 x

(x2 + 1)2

(

2 cotx+4 sec2 x

tan x− 4x

x2 + 1

)

(c) y′ = xx(ln x+ 1) (d) y′ = xsinx

[

cosx ln x+sin x

x

]

(e) y′ = (ln x)x(

ln ln x+1

lnx

)

(f) y′ = exxex(

lnx+1

x

)

5.10 อนพนธอนดบสง

เนองจากอนพนธ f ′ ของฟงกชน f เปนฟงกชน ดงนนอนพนธของ f ′ อาจจะหาคาได ถาf ′ เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลวจะเขยนแทนอนพนธของ f ′ ดวย f ′′ และเรยกวา อนพนธอนดบสอง (second derivative) ของ f และสญลกษณทนยมใชแทนอนพนธอนดบสองของ y = f(x) มดงน

y′′ = f ′′(x) =d2y

dx2

สำหรบ อนพนธอนดบสาม (third derivative) ของ f คออนพนธของอนพนธอนดบสอง สญลกษณทนยมใชแทนอนพนธอนดบสามของ y = f(x) มดงน

y′′′ = f ′′′(x) =d

dx

(

d2y

dx2

)

=d3y

dx3


ในทำนองเดยวกน เราสามารถหาอนพนธอนดบทส และอนดบอนๆได โดยทวไปอนพนธอนดบท n ของ y = f(x) ไดมาจากการหาอนพนธของ f เปนจำนวน n ครง และเขยนแทนดวยสญลกษณดงน

y(n) = f (n)(x) =dny

dxn

ตวอยาง 5.35 ถา f(x) = 5x3 − 2x2 + 1 แลว

f ′(x) = . . . . . . . . .

f ′′(x) = . . . . . . . . .

f ′′′(x) = . . . . . . . . .

f (4)(x) = . . . . . . . . .

...

f (n)(x) = . . . . . . . . . (n ≥ 4)

ตวอยาง 5.36 จงหาd2y

dx2เมอ y = log5(e

2x + 1)

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 5.37 จงหา y′′ ถา x2 − xy + y2 = 6

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงหาอนพนธอนดบหนงและอนดบสองของฟงกชนตอไปน

(a) f(x) = x4 + 3x2 − 2 (b) f(x) = x5 + 6x2 − 7x

(c) f(x) = x6 +√x (d) f(x) =

√2x+ 1

(e) f(x) = e2x (f) y = cos 2θ

(g) h(x) =√x2 + 1 (h) F (s) = (3s+ 5)8

(i) y =x

1− x(j) y = (1− x2)3/4

(k) H(t) = tan 3t (l) g(t) = t3e5t

2. ถา f(x) = (2− 3x)−1/2 แลวจงหา f(0), f ′(0), f ′′(0) และ f ′′′(0)

3. ถา f(θ) = cot θ แลวจงหาคาของ f ′′′(π/6)

4. จงหา f (n)(x) ของฟงกชนตอไปน

(a) f(x) =1

x(b) f(x) = e2x (c) f(x) =

1

3x3


5. จงหาฟงกชนพนนาม P ทมระดบขนพหนามเทากบสอง (degree 2) ททำให P (2) =

5, P ′(2) = 3 และ P ′′(2) = 2

6. จงหาคา r ททำใหฟงกชน y = erx สอดคลองกบสมการ y′′ + 5y′ − 6y = 0

7. กำหนดให F (x) = f(x)g(x) โดยท f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทกอนดบ จงแสดงวา

F ′′ = f ′′g + 2f ′g′ + fg′′

8. กำหนดให y = f(u) และ u = g(x) โดยท f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธอนดบสองได จงแสดงวา

d2y

dx2=

d2y

du2

(

du

dx

)2

+dy

du

d2u

dx2


1. (a) f ′(x) = 4x3 + 6x, f ′′(x) = 12x2 + 6

(b) f ′(x) = 5x4 + 12x− 7, f ′′(x) = 20x3 + 12

(c) f ′(x) = 6x5 + 12x−1/2, f ′′(x) = 30x4 − 1

4x−3/2

(d) f ′(x) = (2x+ 1)−1/2, f ′′(x) = −(2x+ 1)−3/2

(e) f ′(x) = 2e2x, f ′′(x) = 4e2x (f) y′ = −2 sin 2θ, y′′ = −4 cos 2θ

(g) h′(x) =x√

x2 + 1, f ′′(x) =

1

(x2 + 1)3/2

(h) F ′(s) = 24(3s+ 5)7, F ′′(s) = 504(3s+ 5)6

(i) y′ =1

(1− x)2, y′′ =

2

(1− x)3

(j) y′ = −32x(1− x2)−1/4, y′′ = 3

4(1− x2)−5/4(x2 − 2)

(k) H ′(t) = 3 sec2 3t, H ′′(t) = 18 sec2 3t tan 3t

(l) g′(t) = t2e5t(5t+ 3), g′′(t) = te5t(25t2 + 30t+ 6)

2.1√2,

3

4√2,

27

16√2,

405

64√2

3. −80

4. (a)(−1)nn!

xn+1(b) 2ne2x (c)

(−1)n(n + 2)!

6xn+35. P (x) = x2 − x+ 3

6. r = 1,−6

บทท 6

การประยกตของอนพนธ

6.1 คาสงสดและคาตำสดของฟงกชน

การประยกตทสำคญอยางหนงของอนพนธคอ ปญหาการหาคาเหมาะทสด (optimization prob-lems) ปญหาดงกลาว เปนปญหาของการหาวธทดทสดเพอทำบางสงบางอยาง ตวอยางเชน

• ชาวสวนตองการเลอกผสมพชพนธทจะปลก เพอใหไดผลผลตททำใหมรายไดมากทสด

• ผผลตสนคาตองการใหคาขนสงสนคามคานอยทสด

• ผผลตตองการทราบขนาดของกระปอง ทใชวสดในการผลตนอยทสด

• นกเดนทางตองการทราบระยะทางทนอยทสดระหวางเมอง 2 เมอง

• นกบนอวกาศตองการหาความเรงทมากทสดของยานอวกาศ

ปญหาเหลานสามารถเปลยนเปนการหาคาสงสดหรอคาตำสดของฟงกชนได ดงนนเราจะเรมดวยการใหนยามของคาสงสดและคาตำสด

บทนยาม 6.1 กำหนดให f เปนฟงกชนทนยามบนสบเซตของจำนวนจรง D (โดเมนของ f)และ c ∈ D

(a) f ม คาสงสดสมบรณ (absolute maximum หรอ global maximum) ท c ถาf(c) ≥ f(x) สำหรบทกคาของ x ในโดเมน D และเราเรยก f(c) วา คาสงสด (max-imum value) ของ f บน D และเรยกจด

(

c, f(c))

วา จดสงสดสมบรณ ของ f บนD

(b) f ม คาตำสดสมบรณ (absolute minimum หรอ global minimum) ท c ถาf(c) ≤ f(x) สำหรบทกคา x ในโดเมน D และเราเรยก f(c) วา คาตำสด (minimumvalue) ของ f บน D และเรยกจด

(

c, f(c))

วา จดตำสดสมบรณ ของ f บน D

และเราจะกลาววา f ม คาสดขดสมบรณ (absolute extremum) ท c ถา f มคาสงสดสมบรณหรอคาตำสดสมบรณท c

92


รปท 6.1 แสดงกราฟของ f ทมจด(

b, f(b))

เปนจดสงสดบนกราฟ และมจด(

e, f(e))

เปนจดตำสด ดงนน f มคาสงสดสมบรณท b และมคาตำสดสมบรณท e

x

y

a b c d e

b

b

(

b, f(b))

(

e, f(e))

รปท 6.1: คาสงสด f(b), คาตำสด f(e)

คำถาม ฟงกชนทกฟงกชนมคาสงสดสมบรณและคาตำสดสมบรณหรอไม?คำตอบ ไม ซงพจารณาไดจากกราฟของฟงกชนตอไปน

c

f(c)

y

x

b

y = f(x)

(a)

c

f(c)

y

x

by = f(x)

(b)

รปท 6.2: (a) คาตำสดสมบรณ (b) คาสงสดสมบรณ

จากรปท 6.2(a) พบวาฟงกชน f ไมมคาสงสดสมบรณ แตมคาตำสดสมบรณท c สำหรบรปท 6.2(b) เปนกราฟของฟงกชน f ทไมมคาตำสดสมบรณ แตมคาสงสดสมบรณท c

คำถาม เมอใดฟงกชนทเราพจารณาจะมคาสงสดสมบรณ และคาตำสดสมบรณ?

ทฤษฎบทตอไปนจะตอบคำถามดงกลาว

ทฤษฎบท 6.1 ทฤษฎบทคาสดขด (Extreme Value Theorem) ถาฟงกชน f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลว f จะมคาสงสดสมบรณ f(c) และคาตำสดสมบรณ f(d) ทจด c และ d

บางจดในชวง [a, b]


พจารณากราฟตอไปนy

x

b

b

| |

a c d b

y

x

b

b

|

a c d = b

y

x

b

b

| |

a c1 d c2 b

จะเหนวาแตละกราฟสอดคลองกบสมมตฐานของทฤษฎบท 6.1 ดงนนแตละกราฟจะมคาสงสดสมบรณและคาตำสดสมบรณ

แตถาฟงกชนใดขาดสมมตฐานใดสมมตฐานหนงในทฤษฎบท 6.1 แลวฟงกชนนนไมจำเปนตองมคาสงสดสมบรณ หรอคาตำสดสมบรณ ดงตวอยางกราฟตอไปน

y

x

fb

b

bc

b|

+

0 2

1

3

ฟงกชนมคาตำสดสมบรณ f(2) = 0

แตไมมคาสงสดสมบรณ

y

x

g

1

1 bc

0

ฟงกชนตอเนอง g ไมมคาสงสดและคาตำสดสมบรณ

ทฤษฎบทคาสดขดกลาวแตเพยงวา ฟงกชนตอเนองบนชวงปดจะมคาสงสดและคาตำสดสมบรณ แตไมไดบอกเราวาจะหาคาเหลานไดอยางไร กอนทจะศกษาวธการหาคาสดขดสมบรณ เราจำเปนตองพจารณาคาสดขดอกชนดหนง ซงเรานยามไดดงน

บทนยาม 6.2

1. f(c) จะเปน คาสงสดสมพทธ (relative maximum หรอ local maximum) ของ f

ถา f(c) ≥ f(x) สำหรบทกคาของ x ในชวงเปดบางชวงทบรรจคา c และจะเรยก(

c, f(c))

วา จดสงสดสมพทธ

2. f(c) จะเปน คาตำสดสมพทธ (relative minimum หรอ local minimum) ของ f

ถา f(c) ≤ f(x) สำหรบทกคาของ x ในชวงเปดบางชวงทบรรจคา c และจะเรยก(

c, f(c))

วา จดตำสดสมพทธ

ถา f มคาสงสดสมพทธหรอคาตำสดสมพทธท c แลวเราจะกลาววา f ม คาสดขดสมพทธ (rel-ative extremum) ท c


y

xab

cd

b

b

b

b

คาสงสดสมพทธ[

f ′(a) หาคาไมได]

คาตำสดสมพทธ[

f ′(b) หาคาไมได]

คาสงสดสมพทธ[

f ′(c) = 0]

คาตำสดสมพทธ[

f ′(d) = 0]

รปท 6.3: คาสดขดสมพทธ

รปท 6.3 แสดงกราฟของฟงกชนทมคาสดขดสมพทธหลายคาดวยกน นอกจากน จากรปเราสงเกตไดวา คาสดขดสมพทธแตละคาจะเกดทจดทมเสนสมผสในแนวนอน

(

นนคอ f ′(x) = 0)

หรอทจดทมเสนสมผสในแนวยน

(

นนคอ f ′(x) หาคาไมได)

ดงนนเราจงกำหนดชอใหกบจดดงกลาว ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 6.3 คาวกฤต (critical number) ของฟงกชน f คอคา c ทอยในโดเมนของf ททำให f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) หาคาไมได

ทฤษฎบท 6.2 ทฤษฎบทของแฟรมา (Fermat’s Theorem) ถา f มคาสดขดสมพทธท c

แลว c เปนคาวกฤตของ f

ตวอยาง 6.1 จงหาคาวกฤตและคาสดขดสมพทธของ f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 5

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.2 จงหาคาวกฤตและคาสดขดสมพทธของ f(x) = (2x+ 3)2/3

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต ทฤษฎบทของแฟรมากลาวแตเพยงวา คาสดขดสมพทธจะเกดขนเฉพาะทคาวกฤต แตไมไดกลาววา จะมคาสดขดสมพทธท ทกคาวกฤต ตวอยาง 6.3 จะแสดงใหเหนวา ณคาวกฤต ฟงกชนไมไดใหคาสดขดสมพทธ

ตวอยาง 6.3 จงหาคาวกฤตและคาสดขดสมพทธของ f(x) = x3

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.4 จงหาคาวกฤตของ f(x) =x2 + 3

x+ 1


วธทำ . . . . . . . . .

จากทไดกลาวมาขางตน คาสดขดสมพทธจะเกดขนเฉพาะทคาวกฤต และฟงกชนตอเนองบนชวงปดจะมคาสงสด และคาตำสดสมบรณ แตเรายงไมไดกลาวถง วธการหาคาสดขดดงกลาว ทฤษฎบทตอไปนจะมประโยชนในการหาคาสดขดสมบรณ

ทฤษฎบท 6.3 ถาฟงกชน f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลวคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f

จะเกดขนทจดปลายของชวง (a หรอ b) หรอทคาวกฤตของ f

ทฤษฎบท 6.3 ชวยใหเราไดขนตอนของการหาคาสดขดสมบรณของฟงกชนตอเนอง f บนชวงปด [a, b] ดงน

ขนตอนท 1 หาคาวกฤตของ f ในชวง (a, b)

ขนตอนท 2 หาคา f ทคาวกฤตทงหมด และทจดปลาย a และ b

ขนตอนท 3 คาทมากทสดทไดจากขนตอนท 2 คอ คาสงสดสมบรณของ f บนชวง [a, b] และคาทนอยทสดคอ คาตำสดสมบรณ

ตวอยาง 6.5 จงหาคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f(x) = x3 − 3x+ 1 บนชวงปด [0, 3]

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.6 จงหาคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f(x) =ln x

xบนชวงปด [1, 3]

วธทำ . . . . . . . . .


1. จากกราฟของฟงกชนทกำหนดใหตอไปน จงพจารณาวาแตละคา a, b, c, d, e, r, s และt ใหคาสงสดหรอตำสดสมบรณ และคาสงสดหรอตำสดสมพทธหรอไม?(a) y

x

b

b

a b c d e r s t

(b)y

x

b

ba b c d e r s

t


2. จากกราฟของฟงกชนตอไปน จงหาคาสดขดสมบรณ และคาสดขดสมพทธ(a)

x

y

b

b10

1

y = f(x)

(b)

x

y

b

b

10

1

y = f(x)

3. จงหาคาวกฤตของฟงกชนตอไปน พรอมทงพจารณาวาทคาวกฤตนน ฟงกชนใหคาสงสดสมพทธหรอคาตำสดสมพทธหรอไม?

(a) f(x) = x2 + 5x− 1 (b) f(x) = x3 − 3x+ 1

(c) f(x) = x3 − 3x2 + 3x (d) f(x) = x4 − 3x3 + 2

(e) f(x) = x3/4 − 4x1/4 (f) f(x) = x3 − 2x2 − 4x

(g) f(x) = sin x cosx, [0, 2π] (h) f(x) =x+ 1

x− 1

(i) f(x) =x

x2 + 1(j) f(x) = 1

2(ex + e−x)

(k) f(x) = x4/3 + 4x1/3 + 3x−2/3 (l) f(x) = 2x√x+ 1

(m) f(x) = e−x2 (n) f(x) = sin x2, [0, π]

4. จงหาคาสงสด และคาตำสดสมบรณของฟงกชนตอไปน บนชวงทกำหนดให

(a) f(x) = 3x2 − 12x+ 5, [0, 3] (b) f(x) = 2x3 + 3x2 + 4, [−2, 1]

(c) f(x) = x4 − 4x2 + 2, [−3, 2] (d) f(x) = x2 − 2

x, [1

2, 2]

(e) f(x) =x

x2 + 1, [0, 2] (f) f(x) = sin x+ cosx, [0, π/3]

(g) f(x) = xe−x, [0, 2] (h) f(x) = x− 3 lnx, [1, 4]

(i) f(x) = |x− 1|, [0, 3] (j) f(x) = 3√x , [−1, 27]



1. (a) คาสงสดสมบรณท b ; คาสงสดสมพทธท b, e และr ; คาตำสดสมบรณท d

คาตำสดสมพทธท d และ s

(b) คาสงสดสมบรณท e ; คาสงสดสมพทธท e และs ; คาตำสดสมบรณท t

คาตำสดสมพทธท b, c, d, r และ t

2. (a) คาสงสดสมบรณ f(4) = 4 ; คาตำสดสมบรณf(7) = 0

คาสงสดสมพทธ f(4) = 4, f(6) = 3 ; คาตำสดสมพทธ f(2) = 1, f(5) = 2

(b) คาสงสดสมบรณ f(7) = 5 ; คาตำสดสมบรณ f(1) = 0

คาสงสดสมพทธ f(0) = 2, f(3) = 4, f(5) = 3

คาตำสดสมพทธ f(1) = 0, f(4) = 2, f(6) = 1

3. (a) −52, คาตำสดสมพทธ (b) −1, คาสงสดสมพทธ ; 1, คาตำสดสมพทธ

(c) 1, ไมใหคาสงสดและคาตำสดสมพทธ

(d) 0, ไมใหคาสงสดและคาตำสดสมพทธ ; 94, คาตำสดสมพทธ

(e) 0, ไมใหคาสงสดและคาตำสดสมพทธ ; 169, คาตำสดสมพทธ

(f) −23, คาตำสดสมพทธ ; 2, คาสงสดสมพทธ

(g) π4, 5π

4, คาสงสดสมพทธ ; 3π

4, 7π

4, คาตำสดสมพทธ

(h) 1, ไมใหคาสงสดและคาตำสดสมพทธ

(i) −1, คาตำสดสมพทธ ; 1, คาสงสดสมพทธ

(j) 0, คาตำสดสมพทธ (k) −2, 1, คาตำสดสมพทธ

(l) −23, คาตำสดสมพทธ (m) 0, คาสงสด

(n) 0,√

3π2, คาตำสดสมพทธ ;

√

π2,√

5π2, คาสงสดสมพทธ

4. (a) f(0) = 5, f(2) = −7 (b) f(1) = 9, f(−2) = 0

(c) f(−3) = 47, f(±√2) = −2 (d) f(2) = 3, f(1) = −1

(e) f(1) = 12, f(0) = 0 (f) f(π/4) =

√2, f(0) = 1

(g) f(1) = 1/e, f(0) = 0 (h) f(1) = 1, f(3) = 3− 3 ln 3

(i) f(3) = 2, f(1) = 0 (j) f(27) = 3, f(−1) = −1

6.2 ฟงกชนเพมและฟงกชนลด

คำถามหนงทยงไมมคำตอบกคอ คาสงสดและคาตำสดสมพทธของฟงกชนเกดขนทใด? และสงททราบมาแลวกคอ คาสดขดสมพทธจะเกดขนเฉพาะทคาวกฤต แตคาวกฤตทกคาไมจำเปนตองใหคาสดขดสมพทธ ในหวขอนเราจะพจารณาวา ทคาวกฤตใดใหคาสดขดสมพทธ ในขณะเดยวกนจะศกษาความสมพนธของอนพนธกบการเขยนกราฟของฟงกชน


บทนยาม 6.4 กำหนดให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง I และให x1 และ x2 เปนจดในชวงI

(a) f เปน ฟงกชนเพม (increasing function) บนชวง I ถา f(x1) < f(x2) เมอx1 < x2

(b) f เปน ฟงกชนลด (decreasing function) บนชวง I ถา f(x1) > f(x2) เมอx1 < x2

(c) f เปน ฟงกชนคงตว (constant function) ถา f(x1) = f(x2) สำหรบทกคา x1

และ x2

ทฤษฎบท 6.4 กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และหาอนพนธไดบนชวงเปด(a, b)

(a) ถา f ′(x) > 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [a, b]

(b) ถา f ′(x) < 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง [a, b]

(c) ถา f ′(x) = 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนคงตวบนชวง [a, b]

ถงแมวาทฤษฎบท 6.4 กลาวเฉพาะฟงกชนทนยามบนชวงปด แตทฤษฎบท 6.4 นสามารถนำมาใชกบชวงใดๆได เชนถา f ตอเนองบนชวง [a,+∞) และ f ′(x) > 0 บนชวง (a,+∞)

แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [a,+∞) และถา f ตอเนองบนชวง (−∞,+∞) และ f ′(x) <

0 บนชวง (−∞,+∞) แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง (−∞,+∞)

ตวอยาง 6.7 จงหาชวงททำให f(x) = 3x4 + 4x3 − 12x2 − 5 เปนฟงกชนเพม และชวงททำใหf(x) เปนฟงกชนลด

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 6.5 การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบหนง (First Derivative Test) กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ c ∈ (a, b) เปนคาวกฤตของ f

(a) ถา f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (a, c) และ f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (c, b)(

นนคอ f ′ เปลยนเครองหมายจากบวกเปนลบท c)

แลว f มคาสงสดสมพทธท c

(b) ถา f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (a, c) และ f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (c, b)(

นนคอ f ′ เปลยนเครองหมายจากลบเปนบวกท c)

แลว f มคาตำสดสมพทธท c

(c) ถา f ′(x) มเครองหมายเหมอนกนบนชวง (a, c) และ (c, b)(

นนคอ f ′ มเครองหมายบวกทงสองดานของ c หรอมเครองหมายลบทงสองดานของ c

)

แลว f ไมมคาสดขดสมพทธท c


รปภาพตอไปนจะชวยใหเขาใจทฤษฎบท 6.5 มากขนy

x0 c

f ′(x) > 0 f ′(x) < 0

(a) f มคาสงสดสมพทธ

y

x0 c

f ′(x) < 0 f ′(x) > 0

(b) f มคาตำสดสมพทธy

x0 c

f ′(x) > 0

f ′(x) > 0

(c) f ไมมคาสดขดสมพทธ

y

x0 c

f ′(x) < 0

f ′(x) < 0

(d) f ไมมคาสดขดสมพทธ

ตวอยาง 6.8 จงหาคาสงสดหรอคาตำสดสมพทธของฟงกชนในตวอยาง 6.7

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.9 จงหาคาสงสดหรอคาตำสดสมพทธของฟงกชน f(x) = x(x− 1)3

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.10 จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชน f(x) = (sin x)2/3 บนชวง(

−π6, 2π

3

)

วธทำ . . . . . . . . .


1. จงหาชวงททำใหฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด(a) f(x) = x3 − 3x+ 2 (b) f(x) = x4 − 8x2 + 1

(c) f(x) = x6 + 192x+ 17 (d) f(x) = (x+ 1)2/3

(e) f(x) = x− 2 sin x, [0, 2π] (f) f(x) = sin 3x, [0, π]

(g) f(x) = ex2−1 (h) f(x) = (ln x)/

√x

2. จงหาคา x ททำใหฟงกชนตอไปนมคาสดขด(

คาสดขดสมบรณ หรอคาสดขดสมพทธ)

พรอมทงเขยนกราฟ


(a) f(x) = x3 + 2x2 − x− 1 (b) f(x) = x√x2 + 1

(c) f(x) = xe−2x (d) f(x) = ln x2

(e) f(x) =x

x2 − 1(f) f(x) =

x3

x2 − 1

(g) f(x) = sin x+ cosx (h) f(x) =√x3 + 3x2

(i) f(x) = x2/3 − 2x−1/3

3. จงเขยนกราฟของฟงกชน ทมคณสมบตตามทกำหนดให

(a) f(0) = 1, f(2) = 5, f ′(x) < 0 สำหรบ x < 0 และ x > 0, f ′(x) > 0

สำหรบ 0 < x < 2

(b) f(−1) = 1, f(2) = 5, f ′(x) < 0 สำหรบ x < −1 และ x > 2, f ′(x) > 0

สำหรบ −1 < x < 2, f ′(−1) = 0, f ′(2) หาคาไมได

(c) f(3) = 0, f ′(x) < 0 สำหรบ x < 0 และ x > 3, f ′(x) > 0 สำหรบ 0 < x < 3,

f ′(3) = 0, f(0) และ f ′(0) หาคาไมได

(d) f(1) = 0, limx→∞

f(x) = 2, f ′(x) < 0 สำหรบ x < 1, f ′(x) > 0 สำหรบx > 1, f ′(1) = 0

4. จงแสดงวา 5 เปนคาวกฤตของฟงกชน g(x) = 2 + (x − 5)3 แต g ไมมคาสดขดสมพทธท5

5. จงหาฟงกชน f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d ทมคาสงสดสมพทธท −2 เทากบ 3 และมคาตำสดสมพทธท 1 เทากบ 0

6. สมมตให f เปนฟงกชนตอเนอง และหาอนพนธไดททกคาของ x จงพจารณาวาขอความตอไปน เปนจรงหรอ เปนเทจ

(a) ถา f เปนฟงกชนลดบนชวง [0, 2] แลว f(0) > f(1) > f(2)

(b) ถา f ′(1) > 0 แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [0, 2]

(c) ถา f เปนฟงกชนเพมบนชวง [0, 2] แลว f ′(1) > 0

(d) ถา f มคาสงสดสมพทธท x = 1 แลว f(1) ≥ f(2)

(e) ถา f มคาสงสดสมพทธท x = 1 แลว x = 1 เปนคาวกฤตของ f


1. (a) ฟงกชนเพม: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; ฟงกชนลด: (−1, 1)

(b) ฟงกชนเพม: (−2, 0) ∪ (2,∞) ; ฟงกชนลด: (−∞,−2) ∪ (0, 2)

(c) ฟงกชนเพม: (−2,∞) ; ฟงกชนลด: (−∞,−2)

(d) ฟงกชนเพม: (−1,∞) ; ฟงกชนลด: (−∞,−1)


(e) ฟงกชนเพม: (π3, 5π

3) ∪ (7π

3, 3π) ; ฟงกชนลด: (0, π

3) ∪ (5π

3, 7π

3)

(f) ฟงกชนเพม: (0, π6) ∪ (3π

6, 5π

6) ; ฟงกชนลด: (π

6, 3π

6) ∪ (5π

6, π)

(g) ฟงกชนเพม: (0,∞) ; ฟงกชนลด: (−∞, 0)

(h) ฟงกชนเพม: (0, e2) ; ฟงกชนลด: (e2,∞)

2. (a) คาสงสดสมพทธทx = −23−

√73; คาตำสดสมพทธท x = −2

3+

√73

x

y

2

2

(b) ไมมคาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

x

y

10

2

(c) คาสงสดสมบรณท x = 12

x

y0.2

1

(d) ไมมคาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

x

y

1

1


(e) ไมมคาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

x

y

2

1

(f) คาสงสดสมบรณท x = −√3 ; คาตำสดสมบรณท x =

√3

x

y

2

4

(g) คาสงสดสมบรณทx = π4+ 2nπ ; คาตำสดสมบรณท x = 5π

4+ 2nπ

x

y

2

π

(h) คาสงสดสมพทธท x = −2 ; คาตำสดสมบรณท x = 0

x

y

2

1

(i) คาตำสดสมบรณท x = −1

x

y

2

2

5. f(x) = 19(2x3 + 3x2 − 12x+ 7)

6. (a) เปนจรง (b) เปนเทจ (c) เปนเทจ (d) เปนเทจ (e) เปนจรง


6.3 ความเวา

แมวาอนพนธของฟงกชน f จะบอกชวงททำใหกราฟของ f มลกษณะเพมขนหรอลดลง แตไมไดบอกวากราฟมลกษณะโคงแบบใด ตวอยางเชนกราฟของรปท 6.4 ทงสองกราฟ มลกษณะเพมขน แตมลกษณะของโคงไมเหมอนกน กราฟทางดานซายมอมลกษณะเวาอยดานบน ในขณะทกราฟทางดานขวามอมลกษณะเวาอยดานลาง สำหรบชวงททำใหกราฟของ f มความเวาอยดานบนเรากลาววา f เวาบน (concave up) บนชวงนน และชวงททำใหกราฟของ f มความเวาอยดานลาง จะกลาววา f เวาลาง (concave down) บนชวงนน

y

x0 a b

y

x0 a b

รปท 6.4:

รปท 6.5 ชวยใหเราสามารถพจารณาความเวาของฟงกชนบนชวงเปดใดๆ ดงน

• f เวาบน บนชวงเปดใดๆ ถาความชนของเสนสมผสโคงเพมขนบนชวงนน และ f เวาลางถาความชนของเสนสมผสโคงลดลงบนชวงนน

• f เวาบน บนชวงเปดใดๆ ถากราฟของ f อยบนเสนสมผสโคงบนชวงนน และ f เวาลางถากราฟของ f อยลางเสนสมผสโคงบนชวงนน

y

x0 a b

y

x0 a b

รปท 6.5:

บทนยาม 6.5 ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนเปด I ใดๆ แลว

(a) f จะ เวาบน(concave up) บนชวง I ถา f ′ เปนฟงกชนเพมบนชวง I

(b) f จะ เวาลาง(concave down) บนชวง I ถา f ′ เปนฟงกชนลดบนชวง I

เนองจากความชนของเสนสมผสกราฟของฟงกชน f ซงเปนฟงกชนทหาอนพนธได คอคาของอนพนธ f ′ และจากทฤษฎบท 6.4 จะไดวา f ′ เปนฟงกชนเพมบนชวงท f ′′ มคาเปนบวก และf ′ เปนฟงกชนลดบนชวงท f ′′ มคาเปนลบ ดงทกลาวในทฤษฎบทตอไปน


ทฤษฎบท 6.6 กำหนดให f ′′ หาคาไดบนชวงเปด I ใดๆ

(a) ถา f ′′(x) > 0 สำหรบทก x บนชวง I แลว f จะเวาบนบนชวง I

(b) ถา f ′′(x) < 0 สำหรบทก x บนชวง I แลว f จะเวาลางบนชวง I

บทนยาม 6.6 ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปดใดๆ ทบรรจคา c และถา f มการเปลยนความเวาทจด (c, f(c)) แลว f จะม จดเปลยนเวา (inflection point) ท c และจะเรยกจด(c, f(c)) บนกราฟของ f วา จดเปลยนเวาของ f

ตวอยาง 6.11 จงพจารณาความเวาของฟงกชน f(x) = x4 − 6x2 +3 และหาจดเปลยนเวา (ถาม)

วธทำ . . . . . . . . .

ทฤษฎบท 6.7 การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบสอง (Second Derivative Test) กำหนดให f เปนฟงกชนทมอนพนธอนดบสองท c

(a) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) < 0 แลว f มคาสงสดสมพทธท c

(b) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) > 0 แลว f(c) มคาตำสดสมพทธท c

(c) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) = 0 แลวการทดสอบนไมสามารถหาขอสรปได นนคอ f อาจจะมคาสงสดสมพทธ หรอคาตำสดสมพทธ หรอไมมคาสดขดสมพทธท c

ตวอยาง 6.12 จงหาคาสดขดสมพทธของ f(x) = 3x5 − 5x3

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.13 กำหนดฟงกชน f(x) = x4 − 4x3 + 12

• จงหาชวงททำให f เปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด

• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ (ถาม) ของ f

• จงหาชวงททำใหกราฟของ f เวาบน หรอเวาลาง และหาจดเปลยนเวา (ถาม)

• จงเขยนกราฟของ f โดยใชขอมลทหาไดขางตน

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.14 กำหนดฟงกชน f(x) = x2/3(6− x)1/3

• จงหาชวงททำให f เปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด

• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ (ถาม)

• จงหาชวงททำให f เวาบน หรอเวาลาง และหาจดเปลยนเวา (ถาม)

• จงเขยนกราฟของฟงกชนโดยใชขอมลทหาไดขางตน


วธทำ . . . . . . . . .


1. จงหาชวงททำใหกราฟของฟงกชนตอไปนเวาบน และเวาลาง(a)

x

y

10

20

1 3−1−3

(b)

x

y1

2 4−2−4

(c)

x

y

5

10

−5

−10

2 4−2

(d)

x

y

5

10

−5

1 2 3−1−3

2. จากฟงกชนทกำหนดใหตอไปน

• จงหาชวงททำใหฟงกชนเพมขน และลดลง

• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ (ถาม)


• จงหาชวงททำใหฟงกชนเวาบนหรอเวาลาง และหาจดเปลยนเวา (ถาม)

• จงเขยนกราฟของฟงกชนโดยใชขอมลทหาไดขางตน

(a) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x (b) f(x) = x4 − 6x2

(c) f(x) = 3x5 − 5x3 + 3 (d) f(x) = x√x2 + 1

(e) f(x) = x1/3(x+ 3)2/3 (f) f(x) = sin2 x

3. จงเขยนกราฟของฟงกชนทมคณสมบตทกำหนดใหตอไปน

(a) f(0) = 2, f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x, f ′(0) = 1, f ′′(x) > 0 สำหรบx > 0, f ′′(x) < 0 สำหรบ x < 0, f ′′(0) = 0

(b) f(0) = 1, f ′(x) ≥ 0 สำหรบทกคาของ x, f ′(0) = 0, f ′′(x) > 0 สำหรบx > 0, f ′′(x) < 0 สำหรบ x < 0, f ′′(0) = 0

(c) f(0) = 0, f ′(x) > 0 สำหรบ x < −1 และ −1 < x < 1, f ′(x) < 0 สำหรบx > 1, f ′′(x) > 0 สำหรบ x < −1, 0 < x < 1 และ x > 1, f ′′(x) < 0

สำหรบ −1 < x < 0

(d) f(0) = 2, f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x, f ′(0) = 1, f ′′(x) > 0 สำหรบx < 0, f ′′(x) < 0 สำหรบ x > 0

(e) f(0) = 0, f(−1) = −1, f(1) = 1, f ′(x) > 0 สำหรบ x < −1 และ0 < x < 1, f ′(x) < 0 สำหรบ −1 < x < 0 และ x > 1, f ′′(x) < 0 สำหรบx < 0 และ x > 0

(f) f(1) = 0, f ′(x) < 0 สำหรบ x < 1, f ′(x) > 0 สำหรบ x > 1, f ′′(x) < 0

สำหรบ x < 1 และ x > 1


1. (a) เวาบน: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; เวาลาง: (−1, 1)

(b) เวาบน: (−∞, 0) ; เวาลาง: (0,∞)

(c) เวาบน: (1,∞) ; เวาลาง: (−∞, 1)

(d) เวาบน: (−1, 0) ∪ (1,∞) ; เวาลาง: (−∞,−1) ∪ (0, 1)

2. (a) เพมขน: (−∞,−1) ∪ (2,∞) ; ลดลง: (−1, 2)

คาสงสดสมพทธ: f(−1) = 7 ; คาตำสดสมพทธ: f(2) = −20

เวาบน: (12,∞) ; เวาลาง: (−∞, 1

2) ; จดเปลยนเวา: (1

2,−13

2)


x

y

5

−10

−20

1

b

b

b

(b) เพมขน: (−√3, 0) ∪ (

√3,∞) ; ลดลง: (−∞,−

√3) ∪ (0,

√3)

คาตำสดสมพทธ: f(±√3) = −9 ; คาสงสดสมพทธ: f(0) = 0

เวาบน: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; เวาลาง: (−1, 1) ; จดเปลยนเวา: (±1,−5)

x

y

−10

1−1

b b

b

b b

(c) เพมขน: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; ลดลง: (−1,−1)

คาสงสดสมพทธ: f(−1) = 5 ; คาตำสดสมพทธ: f(1) = 1

เวาบน: (−1/√2, 0) ∪ (1/

√2,∞) ; เวาลาง: (−∞,−1/

√2) ∪ (1/

√2,∞)

จดเปลยนเวา: (0, 3), (±1/√2, 3∓ 7

8

√2)

x

y

5

1−1

b

b

b

b

b

(d) เพมขน: (−∞,∞) ; ไมมคาสงสดและคาตำสดสมพทธเวาบน: (0,∞) ; เวาลาง: (−∞, 0) ; จดเปลยนเวา: (0, 0)

x

y

b

e) เพมขน: (−∞,−3) ∪ (−1,∞) ; ลดลง: (−3,−1)

คาสงสดสมพทธ: f(−3) = 0 ; คาตำสดสมพทธ: f(−1) = − 3√4

เวาบน: (−∞,−3) ∪ (−3, 0) ; เวาลาง: (0,∞) ; จดเปลยนเวา: (0, 0)


x

y

2

1b

b

b

(f) เพมขน: (0, π/2) ∪ (π, 3π/2) ; ลดลง: (π/2, π) ∪ (3π/2, 2π)

คาสงสดสมพทธ: f(π/1) = f(3π/2) = 1 ; คาตำสดสมพทธ: f(π) = 0

เวาบน: (0, π/4) ∪ (3π/4, 5π/4) ∪ (7π/4, 2π)

เวาลาง: (π/4, 3π/4) ∪ (5π/4, 7π/4)

จดเปลยนเวา: (π/4, 12), (3π/4, 1

2), (5π/4, 1

2), (7π/4, 1

2)

x

y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

0

1

π2

π 3π2

2π

6.4 รปแบบยงไมกำหนดและหลกเกณฑโลปตาล

ในหวขอนเราจะกลาวถงวธการทวไปในการหาลมตโดยใชอนพนธ ซงเปนวธการทนยมใชมากในการหาลมตโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอร และสามารถหาลมตไดหลากหลายรปแบบ

6.4.1 รปแบบยงไมกำหนด 0/0

โดยทวไปถาลมตอยในรปแบบ

limx→a

f(x)

g(x)

โดยท f(x) → 0 และ g(x) → 0 เมอ x → a แลวจะเรยกลมตรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด0/0

(

indeterminate form of type 0/0)

และคาของลมตอาจจะหาคาไดหรอหาคาไมไดเราไดพบลมตในรปแบบนมาแลวบางในบทท 4 ตวอยางเชน

limx→2

x3 + 2x− 5

x2 − 3= 7 และ lim

x→0

sin x

x= 1

ลมตแรกเปนลมตของฟงกชนตรรกยะ ซงสามารถหาคาลมตไดโดยการตดทอนตวประกอบรวม สำหรบลมตทสอง เราสามารถใชวธการเชงเรขาคณตในการหาคาลมต อยางไรกตามมรปแบบลมตหลายรปแบบทไมสามารถใชวธการทางพชคณต หรอวธการเชงเรขาคณตหาคาลมตได

ดงนนในหวขอนเราจะเรยนรวธการทเรยกวา หลกเกณฑโลปตาล (L’Hospital’s Rule) ซงจะใชในการหาลมตในรปแบบยงไมกำหนด


ทฤษฎบท 6.8(

หลกเกณฑโลปตาลสำหรบรปแบบยงไมกำหนด 0/0)

สมมตให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปดทบรรจจด x = a (อาจจะยกเวนท x = a) และให

limx→a

f(x) = 0 และ limx→a

g(x) = 0

ถา limx→a

[f ′(x)/g′(x)] หาคาได หรอถาคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลว

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

นอกจากนขอความขางตนยงคงเปนจรงสำหรบกรณของลมตเมอ x → a−, x → a+, x →−∞ หรอเมอ x → +∞

ตวอยางตอไปนจะใชหลกเกณฑโลปตาลในการหาคาลมต โดยมขนตอนดงน

ขนตอนท 1 ตรวจสอบวา limx→a

f(x)

g(x)อยในรปแบบยงไมกำหนด 0/0

ขนตอนท 2 หาอนพนธของ f และ g แยกกน

ขนตอนท 3 หาคา limx→a

f ′(x)

g′(x)ถาลมตหาคาได หรอคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลวจะไดวา

limx→a

f ′(x)

g′(x)= lim

x→a

f(x)

g(x)

ตวอยาง 6.15 จงหาคาของ limx→1

ln x

1− x

วธทำ . . . . . . . . .


1− cosx

sin x

วธทำ . . . . . . . . .


tan x− x

x3

วธทำ . . . . . . . . .

6.4.2 รปแบบยงไมกำหนด ∞∞

ถาพจารณาลมตในรปแบบ

limx→a

f(x)

g(x)

โดยท f(x) → +∞ (หรอ −∞) และ g(x) → +∞ (หรอ −∞) เมอ x → a แลวจะไดวาลมตอาจจะหาคาไดหรอหาคาไมได และจะเรยกลมตรปแบบลกษณะนวา รปแบบยงไมกำหนด ∞/∞(

indeterminate form of type ∞/∞)

เราไดพบลมตในรปแบบนมากอนแลว เชน

limx→+∞

2x2 − 3

3x2 − 5x


จากหวขอ 4.3 จะไดวาลมตนสามารถหาคาได โดยการหารตวเศษและตวสวนดวย x ยกกำลงเลขชกำลงมากทสดของตวสวน นนคอ

limx→+∞

2x2 − 3

3x2 − 5x= lim

x→+∞

(2x2 − 3)/x2

(3x2 − 5x)/x2

= limx→+∞

2− 3

x2

3− 5

x

=2− 0

3− 0=

2

3

อยางไรกตามเราไมสามารถใชวธการนกบการหาคาลมต

limx→1

ln x

1− x

แตหลกเกณฑโลปตาลสามารถนำมาใชในการหาลมตรปแบบยงไมกำหนด ∞/∞

ทฤษฎบท 6.9(

หลกเกณฑโลปตาลสำหรบรปแบบยงไมกำหนด ∞/∞)

สมมตให f และ g

เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปดทบรรจจด x = a (อาจจะยกเวนท x = a) และให

limx→a

f(x) = ±∞ และ limx→a

g(x) = ±∞

ถา limx→a

[f ′(x)/g′(x)] หาคาได หรอถาคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลว

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

นอกจากนขอความขางตนยงคงเปนจรงสำหรบกรณของลมตเมอ x → a−, x → a+, x →−∞ หรอเมอ x → +∞

ตวอยาง 6.18 จงหาคาของ limx→+∞

ex

x2

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.19 จงหาคาของ limx→0+

ln x

csc x

วธทำ . . . . . . . . .

6.4.3 รปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞ถา lim

x→af(x) = 0 แต lim

x→ag(x) = ±∞ แลวไมมความชดเจนวา lim

x→af(x)g(x) มคาเทาไร?

เราเรยกลมตในรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞(

indeterminate form of type0 ·∞

)

ลมตในรปแบบยงไมกำหนด 0 ·∞ สามารถหาคาได โดยการเขยนผลคณ fg ในรปผลหารนนคอ

fg =f

1/gหรอ fg =

g

1/f

จากนนใชหลกเกณฑโลปตาลหาลมตสำหรบรปแบบยงไมกำหนด 0/0 หรอ ∞/∞



x ln x

วธทำ . . . . . . . . .

หมายเหต อกวธหนงของการหาคาลมตของตวอยาง 6.20 คอเขยนลมตใหมในรป

limx→0+

x ln x = limx→0+

x

1/ lnx

ซงลมตทางขวามอมรปแบบยงไมกำหนด 0/0 แตการใชหลกเกณฑโลปตาลในกรณนจะมความยงยากมากกวา เพราะตองหาอนพนธของ 1/ lnx ดงนนโดยทวไปการเปลยนรปแบบยงไมกำหนดจาก 0 · ∞ เปนรปแบบยงไมกำหนด 0/0 หรอ ∞/∞ ควรเลอกกรณทนำไปสการหาลมตทงายกวา

ตวอยาง 6.21 จงหาคาของ limx→π/4

(1− tanx) sec 2x

วธทำ . . . . . . . . .

6.4.4 รปแบบยงไมกำหนด ∞−∞ถาคาลมต lim

x→a[f(x)− g(x)] อยในรป

(+∞)− (+∞), (−∞)− (−∞), (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞)

แลวจะเรยกลมตรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด ∞−∞(

indeterminate form of type∞−∞

)

การหาคาลมตในรปแบบน บางครงสามารถหาไดโดยการเปลยนรปลมตของผลตางเปนลมตของผลหาร ซงจะไดลมตทมรปแบบยงไมกำหนด 0/0 หรอ ∞/∞


[

1

ln(x+ 1)− 1

x

]

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.23 จงหาคาของ limx→(π/2)−

(sec x− tanx)

วธทำ . . . . . . . . .

6.4.5 รปแบบยงไมกำหนด 00,∞0, 1∞

รปแบบยงไมกำหนดหลายรปแบบเกดขนมาจากลมตในรป

limx→a

[

f(x)]g(x)

ซงแบงเปนกรณไดดงน

1. limx→a


g(x) = 0 จะไดรปแบบยงไมกำหนด 00


2. limx→a

f(x) = ∞ และ limx→a

g(x) = 0 จะไดรปแบบยงไมกำหนด ∞0

3. limx→a


g(x) = ±∞ จะไดรปแบบยงไมกำหนด 1∞

ในแตละกรณเราสามารถหาคาลมตได เรมดวยการให

y =[

f(x)]g(x)

จากนนหาลมตของ ln y เนองจาก

ln y = ln[

f(x)]g(x)

= g(x) · ln[f(x)]

ดงนนลมตของ ln y จะมรปแบบยงไมกำหนด 0 ·∞ ซงสามารถหาคาลมตได โดยวธการทกลาวมาขางตน หลงจากททราบคาลมตของ ln y แลวเราสามารถหาคาลมตของ y =

[

f(x)]g(x) ดงตวอยาง

ตอไปน


(tanx)sinx

วธทำ . . . . . . . . .

ตวอยาง 6.25 จงหาคาของ limx→+∞

(ex + x)1

x

วธทำ . . . . . . . . .


x1

x−1

วธทำ . . . . . . . . .


จงหาคาของลมตตอไปน

1. limx→−2

x+ 2

x2 − 42. lim

x→−2

x+ 1

x2 + 4x+ 3

3. limx→+∞

3x2 + 2

x2 − 44. lim

x→−∞

x+ 1

x2 + 4x+ 3

5. limx→0

ex − 1

sin x6. lim

x→0

sin x

x3

7. limx→0

sin x− x

x38. lim

x→1

√x− 1

x− 1

9. limx→+∞

x3

ex10. lim

x→0

ex − 1

x


11. limx→1

sin πx

x− 112. lim

x→+∞

ln x

x2

13. limx→+∞

xe−x 14. limx→0

x sin x

cos x− 1

15. limx→0+

x ln x 16. limx→0+

ln x

cot x

17. limx→+∞

(√x2 − 1− x

)

18. limx→+∞

(

1 +1

x

)x

19. limx→0+

(

lnx+1

x

)

20. limx→0+

(1/x)x

21. limx→0+

xsinx 22. limx→0

(1− 2x)1/x


1. −14

2. 1 3. 3 4. 0 5. 1 6. ∞ 7. −16

8. 12

9. 0

10. 1 11. −π 12. 0 13. 0 14. −2 15. 0 16. 0 17. 0 18. e

19. ∞ 20. 1 21. 1 22. e−2

Documents

บทที่ 1 เมทริกซì - t Umathstat.sci.tu.ac.th/~archara/SC142/SC142-156/stnote142...เอกสารประกอบการสอนว ชา SC142 จ