Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.
......
MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2)บทที่ 3 สมการเชิงเสนอันดับสอง (ชุดที่ 2)
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย
ภาควิชาคณิตศาสตรและสถิติ คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
เทอม 2/2557
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 1 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
สมการเชิงเสนอันดับสองไมเอกพันธ.บทนิยาม 3.4..
......
สมการเชิงเสนอันดับสองไมเอกพันธ คือ สมการที่อยูในรูป
a(x)y′′ + b(x)y′ + c(x)y = g(x) −−− (1)
เมื่อ a(x),b(x), c(x) และ g(x) เปนฟงกชันตอเนื่องสำหรับบางชวงเปด I ที่ g(x) ̸= 0
และจะมีสมการอนุพันธเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลองคือ
a(x)y′′ + b(x)y′ + c(x)y = 0 −−− (2)
ตัวอยางของสมการเชิงเสนอันดับสองไมเอกพันธ
2y′′ + 18y = 6 tan(6x)(1 + x2)y′′ + 4y′ + 5xy = ln x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 2 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ทฤษฎีบท 3.4..
......
ถา a(x),b(x), c(x) และ g(x) เปนฟงกชันตอเนื่องสำหรับบางชวงเปด I โดยมีy1(x), y2(x) เปนผลเฉลยของสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลอง (2) และW(y1, y2) ̸= 0 ทุกๆ x ∈ I แลวผลเฉลยทั่วไปของสมการ (1) คือ
y(x) = yc(x) + yp(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + yp(x)
โดยที่ yc(x) เปนผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลองกับ (2) และyp(x) เปนคำตอบเฉพาะหรือคำตอบเติมเต็ม (complementary solution) ของสมการ (1)
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 3 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะการหาคำตอบของสมการเชิงเสนไมเอกพันธที่มีสัมประสิทธิ์เปนคาคงที่กอน นั่นคือสมการ
ay′′ + by′ + cy = g(x)
ซึ่งสรุปเปนขั้นตอนไดดังนี้(i) หา yc(x) จากสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลอง คือสมการ
ay′′ + by′ + cy = 0
(ii) หา yp(x) ซึ่งเปนคำตอบเฉพาะของสมการ ay′′ + by′ + cy = g(x) โดยมีวิธีหา2 วิธี กลาวคือ 1. วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ และ 2. วิธีแปรผันพารามิเตอร
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 4 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
1. วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ (Undertermined Coefficients)
การจะใชวิธีการเทียบสัมประสิทธิ์นั้นตองอยูภายใตเงื่อนไข 2 ขอ กลาวคือ(i) สัมประสิทธิ์ของสมการเอกพันธที่สอดคลองนั้นตองเปนคาคงที่(ii) เทอมของ g(x) ตองอยูในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งตอไปนี้ กลาวคือ
g(x) = P(x)eαx cos(βx)หรือ g(x) = L(x)eαx sin(βx)
โดยที่ P(x), L(x) เปนฟงกชันพหุนามฟงกชัน g(x) อาจจะอยูในรูปแบบขางตนหรืออยูในรูปแบบผลรวมของฟงกชันในรูปแบบขางตนก็ได
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 5 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
ถา g(x) เขียนอยูในรูปแบบผลรวมของฟงกชันในรูปแบบขางตน นั่นคือ
g(x) = g1(x) + g2(x) + ...+ gm(x)
โดยที่ gi(x) สอดคลองกับรูปแบบในเงื่อนไขของวิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ เราสามารถหาคำตอบเฉพาะโดยการเขียนสมการออกมาเปน m สมการ ดังนี้
ay′′ + by′ + cy = g1(x)ay′′ + by′ + cy = g2(x)
...ay′′ + by′ + cy = gm(x)
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 6 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
จากนั้นก็ทำการแกสมการเพื่อหาคำตอบเฉพาะของแตละสมการขางตนสมมติคำตอบเฉพาะของแตละสมการขางตนเปน yp1(x), yp2(x), ..., ypm(x)ดังนั้น คำตอบเฉพาะของสมการ
ay′′ + by′ + cy = g(x)
คือyp(x) = yp1(x) + yp2(x) + ...+ ypm(x)
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 7 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.14..
......
จงหาคำตอบเฉพาะ yp ของสมการเชิงอนุพันธ
y′′ − 3y′ − 4y = 3e2t
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 8 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 9 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 10 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.15..
......
จงหาคำตอบเฉพาะ yp ของสมการเชิงอนุพันธ
y′′ − 3y′ − 4y = 4 sin 2x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 11 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 12 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 13 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.16..
......
จงหาคำตอบเฉพาะ yp ของสมการเชิงอนุพันธ
y′′ − 3y′ − 4y = 4x2
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 14 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 15 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 16 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.17..
......
จงหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ
y′′ − 5y′ + 6y = 3e2x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 17 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 18 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 19 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 20 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.18..
......
จงหาคำตอบเฉพาะ yp ของสมการเชิงอนุพันธ
y′′ − 3y′ − 4y = 3e2x + 2 sin x− 8e−x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 21 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 22 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 23 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 24 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.19..
......
จงหาคำตอบของปญหาคาเริ่มตนของสมการเชิงอนุพันธ
y′′ − 4y′ − 12y = 3e5x; y(0) = 18
7, y′(0) = −1
7
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 25 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 26 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 27 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 28 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.20..
......
จงหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ
y′′ − 3y′ − 4y = 4x2 + 4 sin 2x+ 3e2x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 29 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 30 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 31 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 32 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.แบบฝกหัด..
......
จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) y′′ − 10y′ + 25y = 30x+ 3
(ii) y′′ − 4y′ − 12y = sin 2x(iii) y′′ + 4y′ + 5y = 2ex(iv) y′′ + 4y = xex + 4 sin 2x(v) 3y′′ + 2y = 5e2x + 2x3
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 33 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
2. วิธีแปรผันพารามิเตอร (Variation of Parameters)
วิธีแปรผันพารามิเตอรเปนวิธีที่แพรหลายกวาวิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ เพราะวาสามารถใชไดกับสมการเชิงเสนไมเอกพันธในรูปแบบทั่วๆ ไป คือ สัมประสิทธิ์ไมจำเปนตองเปนคาคงที่
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 34 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ทฤษฎีบท 3.5..
......
สำหรับสมการเชิงเสนอันดับสองที่อยูในรูป
y′′ + p(x)y′ + q(x) = r(x)
สมมติวา y1(x), y2(x) ประกอบกันเปนเซตคำตอบมูลฐานของสมการเชิงเสนที่สมนัย
y′′ + p(x)y′ + q(x) = 0
แลวผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงเสนไมเอกพันธจะหาไดจากสูตร
yp(x) = y1(x)∫ y2(x)r(x)
W(y1, y2)dx+ y2(x)∫ y1(x)r(x)
W(y1, y2)dx
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 35 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.21..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
y′′ + y = cosec x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 36 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 37 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 38 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 39 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.21..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
2y′′ + 18y = 6 tan 3x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 40 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 41 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 42 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 43 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.22..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
y′′ − y = xex
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 44 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 45 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 46 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 47 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.ตัวอยาง 3.23..
......
กำหนดให y1(x) = x+ 1 เปนคำตอบหนึ่งของสมการเชิงเสนเอกพันธที่สอดคลองของสมการ
(x+ 1)2y′′ − 2(x+ 1)y′ + 2y = 1
จงหาคำตอบของสมการนี้
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 48 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 49 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 50 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 51 / 52
..........
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
.....
.....
......
.....
......
.....
.....
.
.แบบฝกหัด..
......
จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้(i) y′′ − 2y′ + y = e2x
(1+ex)2
(ii) xy′′ − (2x2 + 1)y′ = x5ex2(iii) 4y′′ + y = 2 sec( x2)(iv) y′′ − 4y′ + 4y = (x+ 1)e2x(v) x2y′′ − 2xy′ + 2y = x ln x
อาจารย ดร. จรินทรทิพย เฮงคราวิทย (TU) MA 214 : Chapter 3 (ชุดที่ 2) เทอม 2/2557 52 / 52