บทท 3

สถตศาสตร

การทอณหพลศาสตรเชงสถตวาดวย การอธบายสมบตมหาทรรศนของระบบโดยอาศยคาเฉลย

ของสมบตจลทรรศนของอนภาคทเปนองคประกอบของระบบนน ดวยเหตนการศกษาอณหพลศาสตร

เชงสถตจงตองอาศยพนฐานความรทางดานสถตศาสตร (Statistics) เกยวกบทฤษฎความนาจะเปน

(Probability Theory) และการแจกแจงทางสถตตาง ๆ ในบทนจะกลาวถงเรองของความนาจะเปนและ

การแจกแจงสถตทใชในการศกษาทางอณหพลศาสตรเชงสถต

1. ปรภมสงตวอยาง (Sample Space)

การศกษาทางวทยาศาสตรจะเนนการคนหาความร (knowledge) ทเปนความจรง สงทจะเปนขอ

ยตวา ความรนนเปนจรงไดคอ จะตองสามารถทดลองไดและไมวาจะทดลองซ าๆ กครงกตามผลทได

จะตองเหมอนเดม ดงนนคาวา การทดลอง (experiment) หมายถง กระบวนการกระทาทสามารถกระทา

ซ าๆ ได ซงผลการกระทาเราเรยกวา ผลลพธ (outcome) เชน ในการโยนเหรยญ 1 อน แลวดวาหนาท

หงายขนเปนอะไร จะพบวา หนาทหงายขนคอ ผลลพธจะมได 2 อยาง คอ หวหรอกอย ในการทดลอง

หนงๆ จะได เซท (set) ของผลลพธทเปนไปไดเราเรยกวา ปรภมสงตวอยาง จงนยามไดวา

นยาม “เซทหนงซงมสมาชก (elements) เปนผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองอยาง

หนงเราเรยกวา ปรภมสงตวอยาง ซงเขยนแทนดวย S และเรยกสมาชกหนงๆ ของปรภมสงตวอยางวา

จดสงตวอยาง (sample point)”

ตวอยางท 3.1 ในการทอดลกเตา 1 ลก แลวดวาหนาทหงายขนเปนแตมเทาใดจะไดปรภมสง

ตวอยางทมสมาชกเปนแตมทเปนไปไดของหนาลกเตาทหงายขนเปน

S1 6,5,4,3,2,1 =

แตถาสนใจแตเพยงวา แตมทเปนไปไดของหนาลกเตาทหงายขนเปนเลขคหรอเลขคกจะไดปรภมสง

ตวอยางเปน

S2 = ค , ค

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

68

จากตวอยางท 3.1 นจะเหนวา ในการทดลองหนงๆ อาจจะมปรภมสงตวอยางไดหลายๆ แบบขนอยกบ

วาความสนใจของผทดลองวาตองการจะทราบอะไร แตถาเปรยบเทยบปรภมสงตวอยาง S1 กบ S2 ใน

ตวอยางจะเหนวา S1 ใหรายละเอยดมากกวา S2

การทดลองหนงๆ บางครงเราอาจสนใจเฉพาะผลลพธเพยงสวนใดสวนหนงของผลลพธ

ทงหมด เชน ในการทอดลกเตาลกหนง เราจะสนใจแตเพยงผลลพธทเปนการหงายหนาเปนแตมทเลข 2

สามารถหารไดลงตว กรณเชนนเซทของผลลพธทเราสนใจจงเปน

ดงนนในการทดลองหนงๆ เราจงตองเลอกปรภมสง

ตวอยางทใหรายละเอยดมากทสด

E = 2, 4, 6

เมอเปรยบเทยบกบปรภมสงตวอยาง S1

S

ในตวอยางท 3.1

1

จะเหนวา สมาชก ของ E เปนสมาชกของ S

= 1,2,3,4,5,6

1 ดวย เรยกวา E เปนเซทยอย (subset) ของ S1

เปน

1S⊂E

กรณเชนน เราเรยกวา E เปนเหตการณหนง จงนยามไดวา

นยาม “เหตการณหนงคอ เซทยอยเซทหนงของปรภมสงตวอยาง”

ทงนเซทวาง (null set คอ เซตทไมมสมาชกมกใชสญลกษณเปน φ) และตวปรภมสงตวอยางเองกจดวา

เปนเหตการณดวยเชนกน

ตวอยางท 3.2 ในการหยบไพ 1 ใบ ออกจากกองไพกองหนง ถาพจารณาแตเพยงลกษณะของ

หนาไพ กจะไดปรภมสงตวอยางเปน

S = ไพดา, โพแดง, ดอกจก, ขาวหลามตด

แตเปนเหตการณทตองการเฉพาะไพทมหนาเปนสแดง (R) กจะได

R = โพแดง, ขาวหลามตด

นนคอ R เปนเหตการณหนง เพราะวา

S⊂R

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

69

ในอณหพลศาสตร ซงเราสนใจศกษาระบบอณหพลวต ถาระบบหนงประกอบดวยอนภาคท

เหมอนกน (identical particles) เชน โมเลกลของแกสชนดหนงซงจะตองเปนโมเลกลทเหมอนกน ใน

กลศาสตรแผนเดม (classical mechanics) นน รายละเอยดสาหรบอนภาคหนงๆ ทสถานะหนงจะตอง

ประกอบดวย

- พกดตาแหนง (positional coordinates) 3 พกดคอ x, y, z, (ในระบบพกดฉาก)

- พกดโมเมนตม (momentum coordinatesป 3 พกดคอ px, py, pz

ดงนนรายละเอยดของอนภาคหนงๆ จะมสมาชก 6 สมาชก คอ x, y, z, p

x, py, pz

1. ปรภมเฟสเชงโมเลกล (molecular phase space หรอ

ประกอบกนเปนเซทท

เปนปรภมสงตวอยางเรยกวา ปรภมเฟส (phase space) ดงนนปรภมเฟสจงเปนปรภมสงตวอยางชนด

หนงซงมพกดเปนสมาชก 6 สมาชก (คอเปนปรภม 6 มต) แตวาในระบบหนงมอนภาคจานวน

มากมายจงแบงปรภมเฟสออกไดเปน 2 ชนด คอ

space)−µ เปนปรภม 6 มตของ

อนภาคหนงๆ ซงในปรภมเฟสชนดนตาแหนงและโมเมนตมของอนภาคหนงจะถกแทนดวย จด 1 จด

ดงนน ถาระบบนนมอนภาคจานวน N อนภาคกจะประกอบดวยจดจานวน N จด

2. ปรภมเฟสของแกส (gas phase space หรอ space)−γ เปนปรภม 6 มตของอนภาค

ทงหมด หมายความวา ระบบทมอนภาคจานวน N อนภาคกแทนดวยจดเพยง 1 จด ในปรภมชนดน

2. การนบจานวนจดสงตวอยาง (Counting Sample Points)

จากปรภมสงตวอยางและเหตการณตาง ๆ ปญหาทนาสนใจในทางสถตคอ การหาจานวน

สมาชกหรอจดสงตวอยางหรอจานวนวธทจะเกดขนในปรภมสงตวอยาง หรอเหตการณของการทดลอง

หนง ซงวธการหาจานวนสมาชกดงกลาวจะตองใชการนบจานวนวธการ หรอจานวนสมาชกทงหมด

เชน ในการเดนทางจากเมอง ก.ไปยงเมอง ข. ม 3 เสนทาง และจากเมอง ข. ไปยงเมอง ค. ม 2 เสนทาง

ดงรป

ก ข ค

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

70

ถาเราจะแสดงการเลอกเสนทางจากเมอง ก. ไปยงเมอง ค. ดวยแผนภาพตนไม (tree diagram) ดงน

จะเหนวา ในการเดนทางจากเมอง ก. ผานเมอง ข ไปยงเมอง ค. จะมเสนทางใหเลอกไดถง 3×2 เสนทาง

นนคอ มวธการเดนทางจากเมอง ก ไปยงเมอง ค ไดถง 6 วธ ซงเปนจานวนสมาชกหรอจดสงตวอยาง

ในการนบจานวนสมาชกท งหมดของปรภมสงตวอยาง เราสามารถใชทฤษฎบทหลกมล

(fundamental theorems) ตางๆ ดงตอไปน

ทฤษฎบทท 1 “ถาการกระทาชนดหนงสามารถกร 0ะทาให n1 วธและในแตละวธของ n1 นนยง

มวธการยอยๆ ไดอก 0n2 วธ เราจะไดวาการกระทาชนดนสามารถเลอกวธทาได 0n1 × 0n2

ตวอยางท 3.3 จงหาจานวนจดสงตวอยางในปรภมสงตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก

วธ”

วธทา

เมอทอดลกเตาลกทหนง จะเกดหนาตางๆ ได 6 วธ

และลกเตาลกทสองกจะเกดหนาได 6 วธ

ดงนน การทอดลกเตา 2 ลกจะสามารถหงายหนาตางๆ ได

6 × 6 = 36 วธ ตอบ

ทฤษฎบทท 2 “ในการกระทาทมลาดบขนการกระทาทงหมด k ขน

ขนท 1 กระทาได 0n1

ขนท 2 กระทาได 0

วธ

n2

……………………………...

วธ

ขนท k กระทาได 0nk

จะมวธการกระทาทงหมดได 0

วธ

n1 × n2 × ……× nk วธ”

•

• •

•

•

• •

• •

• เมอง ก. เมอง ข. เมอง ค.

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

71

ตวอยางท 3.4 ถาจะเขยนเลขจานวนทม 3 หลกจากเลข 0, 1, 3,5,7,9 จะไดกจานวนโดยทจานวน

หนงๆ จะมเลขซากนไมได

วธทา มตวเลขทงหมด 6 ตวเลข ทจะนามาเปนจานวน 3 หลกคอหลกรอย หลกสบ และหลกหนวย

หลกรอยจะสามารถเลอกได 6 ตวเลข แตไมสามารถใชเลข 0 ได จงสามารถเลอกเลขไดทง

5 ตวเลข

หลกสบจะเหลอเลขใหเลอกได 5 ตวเลข

และหลกหนวยจะเหลอเลขใหเลอกได 4 ตวเลข

ดงนนจานวนทงหมดจะมได 5 × 5 × 4 = 100 จานวน ตอบ

ในบางครงการทดลองอาจจะเกยวของกบการเรยงสบเปลยนสงของหรอบคคลทแตกตางกน

(distinct objects) เชน อกษรไทย ก,ข,ค ซงแตกตางกน เมอนามาเรยงสบเปลยนจะไดดงน

กขค กคข

ขกค ขคก

คกข คขก

จะเหนวา มวธเรยงสบเปลยนได 6 วธ

วธการเรยงสบเปลยนทงหมด เปนสมาชกหรอจดสงตวอยางในปรภมสงตวอยางของการเรยง

สบเปลยนสงของหรอบคคล จานวนวธการเรยงสบเปลยนจงเปนการนบจานวนสมาชกหรอจดสง

ตวอยางไดเชนกน ถาใชทฤษฎบทท 2 จะไดวา

ตาแหนงแรกสามารถใชอกษรไดทง 3 ตวอกษร

ตาแหนงทสองจะสามารถใชอกษรได 2 ตวอกษร

ตาแหนงทสามจะสามารถใชอกษรได 1 ตวอกษร

0จะสามารถเรยงสบเปลยนตวอกษรได 3 0

การเขยนผลคณของจานวนเตมบวกจากมากไปหา 1 เชนนเรยกวา factorial ซงมนยามดงน

× 2 × 1 = 6 วธ ดงนนถามวตถทแตกตางกนจานวน n นามา

เรยงสบเปลยนหมดทง n จะมวธเรยงสบเปลยนได n( n−1) (n−2) …..3 × 2 × 1 วธ

นยาม “ถา n เปนจานวนเตมบวก จานวน n! เราเรยกวา factorial n มคาเปน

n! = n( n−1) (n−2) …..3 × 2 × 1”

ทงน

1! = 1

และ

0! = 1

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

72

จงได ทฤษฎบทเกยวกบการนบจานวนวธการเรยงสบเปลยน ดงตอไปน

ทฤษฎบทท 3 “ถามวตถทแตกตางกนจานวน n ชน จะมวธเรยงสบเปลยนวตถทงหมด n ชน

ได n! วธ”

เชน อกษร ก ข และ ค เปนวตถทแตกตางกน 3 ชน จะสามารถเรยงสบเปลยนได 3! วธ

แตถาการเรยงสบเปลยนในแตละครงเปนการเรยงสบเปลยนวตถเพยงบางสวนของวตถทงหมด

สามารถหาวธเรยงสบเปลยนไดจากทฤษฎบทท 4

ทฤษฎบทท 4 “วตถทแตกตางกนจานวน n ชน ถกนามาจดเรยงสบเปลยนครงละ r ชนจะได

วธเรยงสบเปลยน r)!(n

n!−

วธ”

ตวอยางท 3.5 ในการจดประชมวชาการครงหนงจดใหมการประชม 4 วน โดยจดใหมกจกรรมการ

บรรยาย 3 วน โดยเชญผบรรยาย 3 คน มาบรรยายคนละ 1 วน จะจดไดกวธ

วธทา เปนการเรยงสบเปลยนจากจานวนวนทงหมด = 4 วน นามาจดครงละ 3 วน

จานวนวธทงหมด = !1!4

)!34(!4

=−

= 24 วธ ตอบ

การเรยงสบเปลยนตามทฤษฎบทท 3 และ 4 ทผานมานเปนการเรยงสบเปลยนวตถทแตกตาง

กน แตถามวตถทเหมอนกนอยบาง จะพบวา การเรยงสบเปลยนมจานวนวธลดลง เชน ในการเรยง

สบเปลยนอกษร a, b, c, d (เปนวตถทแตกตางกน) จะสามารถจดได 24 วธ คอ

abcd abdc acbd

acdb adbc adcb

bacd badc bcad

bcda bdac bdca

cabd cadb cbad

cbda cdab cdba

dabc dacb dcba

dcab dbac dbca

ถามวตถทซ ากน (เหมอนกน เชน ให

a เหมอนกบ b คอให a = b = x

และ c เหมอนกบ d คอให c = d = y

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

73

วธเรยงสบเปลยนทกลาวมาแลวจะเปน

xxyy xxyy xyxy

xyyx xyxy xyyx

xxyy xxyy xyxy

xyyx xyxy xyyx

yxxy yxyx yxxy

yxyx yyxx yyxx

yxxy yxyx yyxx

yyxx yxxy yxyx

จะเหนวา วธเรยงสบเปลยนบางวธกซ ากน มวธการเรยงสบเปลยนทแตกตางกนเพยง 6 วธ เทานน คอ

xxyy xyxy xyyx

yxxy yxyx yyxx

ซงมจะเหนวา วตถทง 4 ชน ม 2 ชนด คอ x กบ y โดยท x ม 2 ชน และ y ม 2 ชน มวธการเรยง

สบเปลยนเปน !2!2

!4 = 6 วธ

จงมทฤษฎบทสาหรบการเรยงสบเปลยนวตถทไมแตกตางกนคอ

ทฤษฎบทท 5 “ถามวตถจานวน n ชน แบงออกไดเปน k ชนด ชนดทหนงม n1 ชนชนดท

สองม n2 ชน ... ชนดท k ท nk

!n!....n!nn!

k21

ชนเมอเรยงสบเปลยนวตถทง n ชนจะมวธทงหมด

วธ”

ตวอยางท 6 ถาตองการประดบธงสตาง ๆ เรยงเปนแถวบนกาแพง โดยมธงสแดง 3 อน ธงสเหลอง 4

อน ธงสฟา 2 อน จะจดเรยงไดกวธ

วธทา จานวนธงทงหมด 9 อน

ดงนนจานวนวธการจดเรยง = !2!4!3

!9

= 1,260 วธ ตอบ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

74

ในบางสถานการณการจดการกบวตถ มใชเปนการจดเรยงสบเปลยนวตถ แตเปนการจดแบง

วตถออกเปนหมหรอเปนกลม เชน สมมตวา มวตถทไมแตกตางกนจานวน n ชน ถกแบงออกเปนกลม

จานวน k กลม โดย

กลมทหนงมวตถจานวน n1

กลมทสองมวตถจานวน n

ชน

2

...............................................................

ชน

กลมท k มวตถจานวน nk

จะมวธจดกลมวตถทงหมดได

ชน

!n!....n!nn!

k21

วธ

โดย

0n1 + n2 + ……+ nk

= n

ตวอยางท 3.7 ถาจดคน 7 คน ใหเขาพกในหองขนาด 3 คน จานวน 1 หอง หองขนาด 2 คน จานวน 2

หอง จะจดไดกวธ

วธทา n = 7

n1 = 3, n2 = 2, n3

จานวนวธการจด =

= 2

!2!2!3!7

= 210 วธ ตอบ

แตเปนถาการจดแบงกลมของจานวน n ชน ออกเปน 2 กลม โดยกลมหนงมสงของ r ชน อกกลม

หนงจะมสงของ n - r ชน วธการจดกลมแบบนจะม r)!(nr!

n!−

วธ ซงวธการนจะเหมอนกบการหยบ

เลอกสงของทงหมด n ชน เลอกมา r ชน โดยไมคานงถงลาดบของสงของนน จะมวธการเลอกทงหมด

ได r)!(nr!

n!−

วธ เชนกน การเลอกแตละวธเรยกวา วธจดหม (combination)

ทฤษฎบทท 6 “วธจดหมสงของทแตกตางกน n ชน จดเปนหมละ r ชนจะมวธการจดได

rn

= r)!(nr!

n!−

วธ”

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

75

ตวอยางท 3.8 ในการเลอกกรรมการบรหารสมาคมวทยาศาสตรชดหนงประกอบดวยนกเคม 2 คน นก

ฟสกส 2 คน นกชววทยา 2 คน จากสมาชกทเปนนกเคม 4 คน นกฟสกส 3 คน นกชววทยา 5 คน จะ

เลอกไดกวธ

วธทา การคดเลอกนกเคม 2 คนจากทงหมด 4 คน

จะได

24

= )!24(!2

!4−

= 6 วธ

การคดเลอกนกฟสกส 2 คน จากทงหมด 3 คน

จะได

23

= )!23(!2

!3−

= 3 วธ

และการคดเลอกนกชววทยา 2 คน จากทงหมด 5 คน

จะได

25

= )!25(!2

!5−

= 10 วธ

วธทงหมดในการคดเลอก = 6 × 3 × 10

= 180 วธ ตอบ

3. ความนาจะเปน (Probability)

ในเหตการณประจาวนแตละวนของเราทกคนคงจะตองเคยไดยนไดอานพบกบคาพดตอไปน

กนมาบาง

- วนนฝนอาจจะตก

- ปนน าอาจจะทวมอก

- เดอนหนาอาจจะมแขกชาวตางประเทศมาเยยมมหาวทยาลยเรา ฯลฯ

คาพดเหลานแสดงถงความไมแนใจของผพดวา เหตการณจะเกดขนหรอไม แตเปนการแสดงทรรศนะ

ของความนาจะเปนในการเกดเหตการณนน สาหรบปรภมสงตวอยางจากด (finite sample space) จะ

พบวา แตละจดสงตวอยางจะมคาทแสดงถงโอกาสของการทจะมจดสงตวอยางนนในปรภมสงตวอยาง

คาทแสดงถงโอกาสนนเรยกวา นาหนก (weight,w) คาของน าหนกนจะมคาต งแต 0 ถง 1.0 จดสง

ตวอยางทมโอกาสเกดขนแนนอนจะมคาใกลเคยง 1.0 จดตวอยางทมโอกาสเกดนอยจะมคาใกลเคยง 0

ในการทดลองแบบสม (random) นน เราถอวา แตละจดสงตวอยางของผลลพธมน าหนกเทากนหมด

นนคอ ทกผลลพธมโอกาสเกดขนเทาเทยมกน

นยาม “ความนาจะเปนของเหตการณใดๆ จะไดจากผลบวกของน าหนกของทกๆ จดสง

ตวอยางในเหตการณนน”

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

76

สมมตวา

A เปนเหตการณหนงในปรภมสงตวอยาง S

P(A) คอ ความนาจะเปนของเหตการณ A

จะได

P(A) = 1wΣ

เมอ

1w คอนาหนกของจดสงตวอยาง i ในเหตการณ A

และจะได

P(S) = 1

หมายความวา ความนาจะเปนทงหมดของปรภมสงตวอยางเทากบ 1.0

สาหรบเซตวาง (null set, Φ ) จะม

P(Φ ) = 1

และเหตการณ A จะมความนาจะเปนอยระหวาง 0 กบ 1.0

นนคอ

0 ≤ P(A) ≤ 1.0

ตวอยางท 3.9 ถาโยนเหรยญอนหนง 2 ครง จงหาความนาจะเปนของการทเหรยญหงายเปนหนาดาน

หวอยางนอย 1 ครง

วธทา เหรยญอนหนงๆ ม 2 หนาคอ หว (H) กบกอย (T) เมอโยนเหรยญ 2 ครง หนาจะหงายขนทง

2 ครงจะเปนปรภมสงตวอยาง คอ

S = HH, HT, TH, TT

ถาเหรยญนมความสมดล คอมความนาจะเปนทจะหงายหนาขนหวหรอกอยเทาเทยมกน

นาหนกของการหงายหนาขนยอมเทากน ใหน าหนกของแตละจดสงตวอยางใน S เปน w และเรา

ทราบแลววา ผลรวมของนาหนกของทกจดสงตวอยางใน S = 1.0 จะได

w + w + w + w = 1

4w = 1

w = 41

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

77

ถา A เปนเหตการณทเหรยญหงายขนหนาหวอยางนอย 1 ครง นนคอ

A = HH, HT, TH

P(A) = 41

41

41

++

= 43

ตอบ

จากตวอยางท 3.9 จะสงเกตเหนวา จานวนจดสงตวอยางทงหมดใน S = 4 และมจานวนจดสง

ตวอยางทเหรยญหงายขนหนาหว = 3 ความนาจะเปน = 43

กรณททกจดสงตวอยางในปรภมสง

ตวอยางมน าหนกเทากน เราสามารถจะหาความนาจะเปนของเหตการณใดๆไดจากอตราสวนระหวาง

จานวนจดสงตวอยางในเหตการณนนตอจานวนจดสงตวอยางทงหมดในปรภมสงตวอยาง จงไดทฤษฎ

บทเกยวกบความนาจะเปน ดงน

ทฤษฎบทท 7 “ถาการทดลองหนงสามารถกระทาไดดวยวธตางกน N วธ แตละวธมโอกาส

ใหผลลพธเทาเทยมกน และถามผลลพธ n วธเปนผลลพธของเหตการณ A ความนาจะเปนของการเกด

เหตการณ A จะไดจาก

P(A) = Nn

”

ตวอยางท 3.10 ไพสารบหนงม 52 ใบ จงหาความนาจะเปนของการดงไพ 1 ใบแลวไดไพเปนรปขาว

หลามตด

วธทา ไพสารบหนงม 52 ใบเปน

ไพโพดา 13 ใบ

ไพโพแดง 13 ใบ

ไพขาวหลามตด 13 ใบ

และไพดอกจก 13 ใบ

ไพทกใบมโอกาสถกดงออกเทาๆ กน ดงนนความนาจะเปนของการดงไพรปขาวหลามตด

= 5213

= 41

ตอบ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

78

อยางไรกตาม เซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดหรอปรภมสงตวอยางทมสมาชกเปนผลลพธหรอ จด

สงตวอยางนน ทงนถามความสมพนธทแตละจดสงตวอยางใหคาออกมาเปนจานวนจรง ความสมพนธ

นน เรยกวา ตวแปรสม (random variables)

นยาม “ตวแปรสม คอ ฟงกชนคาจรง (real-valued function) ซงมคาเปนจานวนจรงถก

กาหนดโดยแตละจดสงตวอยางในปรภมสงตวอยางหนงๆ”

ตวอยางท 3.11 กลองใบหนงมลกบอลสแดง 4 ลก สขาว 3 ลก ถาหยบลกบอลแบบสมจากกลองใบ

นทละลก (โดยไมใสคน) 2 ครง ถา X เปนจานวนลกบอลสแดงทหยบได จงแสดงวา X เปนตวแปร

สม

วธทา ให R แทนลกบอลสแดง

W แทนลกบอลสขาว

จะไดปรภมสงตวอยางของการหยบลกบอล 2 ครงๆ ละ 1 ลกเปน

S = RR,RW,WR,WW

จะเหนวา

ถาเปน RR จะให X มคา = 2

RW จะให X มคา = 1

WR จะให X มคา = 1

WW จะให X มคา = 0

ซง 0, 1, 2 เปนจานวนจรง

แสดงวา X เปนฟงกชนมคาจรงทถกกาหนดดวยจดสงตวอยางในปรภมน นนคอ

X เปนตวแปรสม ตอบ

การกาหนดตวแปรสมนนเรานยมใชอกษรตวใหญ เชน X, Y, Z แทนตวแปรสม และใช

ตวอกษรตวเลก เชน x, y, z แทนคาของตวแปรสม

ในการแบงชนดของตวแปรสมสามารถแบงออกไดเปน 2 ชนดดงน

1) ตวแปรสมตอเนอง (continuous random variables) คอ ตวแปรสมทมคาตอเนองกนไดหลาย

คานบไมถวน เชน

- ปรมาตรของสารละลาย

- เวลา

- ระยะทาง ฯลฯ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

79

เปนจานวนทมคาไดหลายคานบไมถวน เปนตวแปรสมตอเนอง

2) ตวแปรสมไมตอเนอง (discrete random variables) คอ ตวแปรสมทมคาเปนจานวนท

สามารถนบไดถวน เชน

- จานวนลกบอลสแดง

- จานวนคน

เปนจานวนทมคานบไดเปนตวแปรสมไมตอเนอง

4. การแจกแจงความนาจะเปน (Probability Distributions)

ในปรภมสงตวอยาง สมาชกหรอจดสงตวอยางยอมมความเปนไปไดทจะซ ากนได ซงจานวน

ครงของสมาชกทปรากฏในปรภมสงตวอยาง คอความถของสมาชกนน การระบความถของสมาชก

ทงหมดในปรภมสงตวอยางนน คอ การแจกแจงความถของจานวนสมาชก และอตราสวนของความถ

ของสมาชกใด ๆ ตอจานวนสมาชกทงหมดในปรภมนน คอ ความนาจะเปนของสมาชกนน ถาเปนการ

ระบความถของความนาจะเปนของสมาชกทงหมดจะเปนการแจกแจงความนาจะเปน แตเนองจากตว

แปรสมม 2 ชนดในการแจกแจงความนาจะเปนจงแบงตามชนดของตวแปรสม คอ

4.1 การแจกแจงความนาจะเปนแบบไมตอเนอง (Discrete Probability Distributions)

สาหรบตวแปรสม (X) ทมคา (x) ตางๆ นน เราสามารถหาความนาจะเปนทตวแปรสมนนมคา

x คอหา P (X = x) ได เชน จากตวอยางท 3.11 จานวนจดสงตวอยางในปรภมสงตวอยางมเทากบ 4

X มคาเทากบ 2 มจานวน 1 จดสงตวอยาง

X มคาเทากบ 1 มจานวน 2 จดสงตวอยาง

X มคาเทากบ 0 มจานวน 1 จดสงตวอยาง

เพราะฉะนนความนาจะเปนของการมคาตางๆ จะเปนดงตารางตอไปน

X 2 1 0

จานวนจดสงตวอยาง 1 2 1

P(X = x) 41

21

41

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

80

ในการระบคาความนาจะเปนของตวแปรสมเหลาน มบอยครงทเราสามารถเขยนฟงกชนของ x ซง

เขยนเปน f (x) นนคอ เขยนเปน

f(x) = P (X = x)

เชน

f(2) = P (X = 2)

ทาใหเกดฟงกชนชนดหนงขนมาคอ ฟงกชนความนาจะเปน (probability function) หรอการแจกแจง

ความนาจะเปน (probability distribution)

นยาม “ฟงกชน f (x) เปนฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมไมตอเนอง (X) ถาแตละ

ผลลพธ (x) ทเปนไปได ให

1) f(x) > 0

2) Σ f(x) = 1

3) P (X = x) = f(x) ”

ตวอยางท 3.12 ในการทอดลกเตา 2 ลก จงหาการแจกแจงความเปนไปไดของแตมรวมของจานวนท

ลกเตาหงายหนาขน

วธทา

ลกเตาลกหนง ๆ ม 6 หนา แตละหนามแตมเปน 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 จงมวธการหงายหนาได 6

วธ เมอทอดลกเตา 2 ลก หนาทหงายขนจะม 2 หนา ลกเตา 2 ลกจงหงายหนาได 6 × 6 = 36 วธ และ

เมอนบแตมรวมของหนาทหงายขน เชน ลกทหนงหงายหนา มแตม 1 ลกทสองหงายหนามแตม 2 แต

มรวามจะเปน 1 + 2 = 3 เปนตน ดงนน ความนาเปนของการหงายหนาของลกเตาทงสอง และแตมร

วามทง 36 วธ จะเปนดงน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

81

หนาหงายทหงายขน

1,1

1,3

1,5

2,1

2,3

2,5

3,1

3,3

3,5

4,1

4,3

4,5

5,1

5,3

5,5

6,1

6,3

6,5

แตมรวม

2

4

6

3

5

7

4

6

8

5

7

9

6

8

10

7

9

11

หนาหงายทหงายขน

1,2

1,4

1,6

2,2

2,4

2,6

3,2

3,4

3,6

4,2

4,4

4,6

5,2

5,4

5,6

6,2

6,4

6,6

แตมรวม

3

5

7

4

6

8

5

7

9

6

8

10

7

9

11

8

10

12

จะเหนวา แตมรวมของหนาหงายขนมคาตงแต 2 ถง 12 เชน กรณทแตมรวมของจานวนทหงายหนา

เปน 5 จะมหนาหงายขนคอ (1,4) (2,2) (3,2) และ (4,1) จะได

P(X = 5) = 364

จากวธการเชนนกจะสามารถสรางตารางแจกแจงความนาจะเปนของแตมรวมไดดงน

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 รวม

f(x) 361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

1

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

82

ตวอยางท 3.13 จงหาความสมพนธสาหรบ การแจกแจงความนาจะเปนของจานวนครงทดานหว (H)

หงายขนในการโยนเหรยญ 1 อน 4 ครง

วธทา เนองจากเหรยญ 1 อนม 2 หนา คอ หว (H) กบกอย (T)

เหรยญ 1 อน โยน 1 ครง จะเกดหนาหงายขน 2 วธ

ถาโยน 4 ครง จะเกดหนาหงายขน = 2 × 2 × 2 × 2

= 16 วธ

ให X เปนจานวนครงทดานหวทเหรยญหงายขนในการโยน 4 ครง

X จะมคาเปน x = 0, 1, 2, 3,4 ดงน

หนาทหงายขน

H H H H

H H T H

T H H H

H T H T

T T H H

T H H T

T T H T

H T T T

X

4

3

3

1

1

1

1

1

หนาทหงายขน

H H H T

H T H H

H H T T

H T T H

T H T H

T T T H

T H T T

T T T T

X

3

3

2

2

2

1

1

0

จะเหนวา จานวนวธทเหรยญหงายดานหวขน

4 ครงม 1 วธ =

4

4

3 ครงม 4 วธ =

3

4

2 ครงม 6 วธ =

2

4

1 ครงม 3 วธ =

3

4

0 ครงม 1 วธ =

0

4

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

83

ดงนนจานวนวธทดานหวหงายขน x ครง =

x

4 วธ

กจะไดการแจกแจง ความนาจะเปน f(x) = P(X = x) เปน

f(x) =

x

4

16

1

เมอ x = 0,1,2,3,4 ตอบ

4.2 การแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนอง (Continuous Probability Distribution)

สาหรบพวกตวแปรสมตอเนองเราไมสามารถทราบคาทแนนอนได นนคอ คาทแนนอนของตว

แปรสมจะเปนศนย ดงนนความนาจะเปนของตวแปรสมทคาใด ๆ (สมมตวาท X = b) จะตองมคา

เทากบศนย

P (X = b) = 0

เชนสมมตวา ตวแปรสม (X) มคาเปน

a < X < b

เราจะไดความนาจะเปนของตวแปรสม

P(a < X < b) = P (a < X < b) + P (x = b)

= P (a < X < b)

เมอเปนเชนนจะเหนไดวา เราไมสามารถจะเขยนการแจกแจงความนาจะเปนแบบตอเนองลงในตาราง

ได จะตองเขยนเปนความสมพนธทเปนฟงกชนของตวแปรตอเนอง (x) กรณเชนน เราเรยก f(x) วา

ฟงกชนความหนาแนน (density function)

นยาม “ฟงกชน f(x) จะเปนฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนสาหรบตวแปรสม (X)

ทหาคาได ถา

1) f(x) > 0 สาหรบ Rx ∈

2) ∫∞

∞−dxf(x) = 1

3) P (a<X<b) = ∫b

adxf(x) ”

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

84

หมายความวา f(x) จะเปนฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนไดนน จะตองมลกษณะดงน

- f(x) นนตองมคาเปนจานวนจรงบวกทกๆ คาของ x ทเปนจานวนจรง

- เมอทาการปรพนธ f(x) ตงแต ∞− ถง ∞+ แลวจะตองไดคาเปน 1

- ความนาจะเปนของตวแปรสม (X) ในชวง a ถง b จะไดจาก ∫b

adxf(x)

ตวอยางท 3.14 ให X เปนตวแปรสมทมฟงกชนความหนาแนนเปน

f(x) = 2x2

ท −1 < x < 2

= 0 ทนอกเหนอจากนน

ก. จงพสจนวา ∫∞

∞−dxf(x) = 1

ข. หาคา P ( 0 < x < 1)

วธทา ก) จาก f(x) = 3x2

ท −1 < x < 2

= 0 ทนอกเหนอจากนน

∫∞

∞−dxf(x) = ∫

∞

∞−dxf(x) + ∫−

2

1dxf(x) + ∫

∞

2dxf(x)

= 0 + 0dx3x2

1

2

+∫−

= 2

1

3

9x

−

= )91(

98

−− = 1

ข) P (0 < x < 1)= ∫1

0

2

dx3x

= 1

0

3

9x

= 91 0

91

=− ตอบ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

85

5. การแจกแจงความนาจะเปนในกลศาสตรเชงสถต

จากบททสองไดทราบแลววา พลงงานของสถานะตาง ๆ ในระบบหนง จะมคาแตกตางกนไป

ถาให

สถานะท 1 มพลงงานเปน E

สถานะท 2 มพลงงานเปน E

1

…………………………

2

สถานะท i มพลงงานเปน E

และในระบบนนมจานวนอนภาคทงหมดเปน N โดยกระจายกนเขาบรรจอยตามสถานะตางๆเปนดงน

1

สถานะท 1 มอนภาคบรรจ n1

สถานะท 2 มอนภาคบรรจ n

อนภาค

2

...........................................

อนภาค

สถานะท i มอนภาคบรรจอย n1

ดงนน

อนภาค

สถานะท 1 มพลงงานรวม = n1 E

สถานะท 2 มพลงงานรวม = n

1

2 E

………………………….

2

สถานะท i มพลงงานรวม = n1 E

จะไดพลงงานรวมของระบบน (โดยไมคดอนตรกรยาระหวางอนภาค) เปน

1

E = n1 E1 + n2 E2

=

+…….

11

1 En∑ ……………….. 1

และจานวนอนภาคทงหมด (N) เปน

N = n1 + n2

=

+ ….

∑1

1n ……………… 2

การทอนภาคตางๆ กระจายเขาบรรจตามสถานะตางๆ นนเปนการแจกแจงอนภาคตามสถานะท

สามารถทสามารถเขาบรรจได (available states) ของระบบ ซงความนาจะเปนของการแจกแจงนเกดจาก

การประมาณคาสถานะทางพลวต (dynamical states) ของอนภาควา สอดคลองกบคาพลงงานของ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

86

สถานะทจะเขาบรรจหรอไมโดยอาศยขอสมมต (assumptions) ทเหมาะสม แตวาจานวนอนภาคทบรรจ

ตามสถานะหนงอาจจะเปลยนแปลงไดทงนเนองจากการชนกนและอนตรกรยากนของอนภาคเหลานน

ทาใหอนภาคเหลานนมพลงงานเปลยนไปเกดการเปลยนสถานะจากระดบหนงไปเปนอกระดบหนงก

ไดแตทงนตองเปนไปตามเงอนไขดงน

1) จานวนอนภาคทงหมด (N) ของระบบตองคงท คอ

N = ∑1

1n …………………….. 3

2) ถาเปนระบบโดดเดยว (isolated system) พลงงานทงหมดของระบบตองคงท คอ

E = 11

1 En∑ …………………….. 4

ดงนนระบบหนงสามารถจะมการแจกแจงจานวนอนภาคในสถานะตางๆ ไดหลายวธ แตจะ

อยางไรกตามจะตองมการแจกแจงวธหนงทอนภาคตางๆ มความนาจะเปนเขาบรรจไดมากทสด เราเรยก

การแจกแจงนวา การแจกแจงทนาจะเปนมากทสด (most probable distribution) ซงถอวาเปนการแจก

แจงทระบบนนอยในสมดลทางสถต (statistical equilibrium)

ความนาจะเปนของการแจกแจงอนภาคไปตามสถานะตางๆ นนขนอยกบปจจย 2 ประการ คอ

1. ความนาจะเปนสาคญ (priori probability หรอ intrinsic probability, G) เปนความนาจะเปน

ทขนอยกบสมบตของสถานะและสมบตของอนภาคเหลานน เชน ความเขากนได (compatibility) ของ

สถานะพลงงาน (energy state) กบสถานะโมเมนตมเชงมม (angular momentum state) ความนาจะเปน

ชนดนจะเกยวของกบโครงสรางภายในของอนภาคและสถานะ ซงผลรวมของความนาจะเปนสาคญของ

ทกสถานะ (g1

) จะตองเปน

∑1

1g = 1 …………………….. 5

2. ความนาจะเปนอณหพลวต (thermodynamic probability, Ω ) เปนจานวนวธทงหมดของ

การแจกแจงอนภาคตางๆ ไปตามสถานะตางๆ อาจกลาวไดวา ความนาจะเปนอณหพลวตเปนสถานะ

จลภาคของระบบนนเอง

ปญหาทสาคญของกลศาสตรเชงสถตคอ จะตองหาการแจกแจงทนาจะเปนมากทสดของระบบ

หนงๆ ใหไดเมอไดการแจกแจงนแลวกจะไดกฎการแจกแจง (distribution law) ของระบบนน และ

ตอไปกจะตองหาวธนากฎการแจกแจงนไปคานวณหาสมบตมหาทรรศนตางๆ วาสอดคลองกบคาทวด

ไดหรอไม การจะไดกฎการแจกแจงทใหผลไดถกตองน นกจะตองมขอสมมต (assumptions) ท

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

87

สมเหตสมผล ในการกาหนดขอสมมตสาหรบกลศาสตรเชงสถต จะกาหนดจากสมมาตร (symmetry)

ของฟงกชนคลนเปนสาคญ จงแบงกลศาสตรเชงสถตออกไดเปน 2 แนวทาง คอ

1) กลศาสตรเชงสถตแผนเดม (classical statistical mechanics) เปนการพจารณา

อนภาคโดยไมคานงถงสมมาตรของฟงกชนคลนสาหรบอนภาคนน อนภาคพวกนจะมโครงสรางและ

องคประกอบเหมอนกนและสามารถบอกไดวาอนภาคหนงแตกตางจากอกอนภาคหนงอยางเดนชด

(identical and distinguishable particles) อนภาคพวกน เชน โมเลกลแกสตางๆ

2) กลศาสตรเชงสถตควอนตม (quantum statistical mechanics) เปนการพจารณา

อนภาคในระบบหนงๆ โดยคานงถงสมมาตรของฟงกชนคลนสาหรบอนภาคนน โดยทอนภาคนนม

โครงสรางและองคประกอบเหมอนกนและไมสามารถบอกความแตกตางไดอยางเดนชด

ทงนรายละเอยดของแตละแนวทางและการนาไปใชอธบายจะกลาวถงในบทตอๆไป

6. คาเฉลยและความคลาดเคลอน

จากการทคาของสมบตมหาทรรศนของระบบหนง ๆ เมอวดแตละครงอาจจะไดคาทแตกตาง

กนไป จะตองมคาทเปนตวแทนสมบตมหาทรรศนของระบบนน สาหรบคาทเปนตวแทนในทางสถตท

นยมใชกนคอ คาเฉลย (mean หรอ average value หรอ expectation value) คาเฉลยในทางคณตศาสตรม

3 ชนดดวยกน คอ

6.1 คาเฉลยเลขคณต (arithmetic mean) เปนคาเฉลยของผลรวมของขอมลทงหมด คอ

x = N

xi∑

…………………….. 6

6.2 คาเฉลยเรขาคณต (geometric mean) เปนคาเฉลยทไดจากรากของผลคณของขอมล คอ

x = n

ni

i 1

x=∏ …………………….. 7

6.3 คาเฉลยฮารมอนค (harmonic mean) เปนคาเฉลยของผลรวมของสวนกลบของขอมล

ทงหมด คอ

x =

∑

ix

1

N

1

1 …………………….. 8

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

88

สาหรบสมบตมหาทรรศนในกลศาสตรเชงสถตตองใชคาเฉลยของสมบตจลทรรศนของระบบ

จลทรรศนทเปนองคประกอบของระบบนน คาเฉลยทใชเปนคาเฉลยเลขคณต เชน

ถาให

ระบบหนงมสถานะทงหมด = N

แตละสถานะมจานวน ni มสมบต = Xi ซงมฟงกชน เปน f(Xi

คาเฉลยของสมบตนจะเปน

)

f = ( )[ ]∑ iiXfn

N

1…………………….. 9

ถาเปนระบบทมจานวนสถานะมาก เชนระบบทมจานวนโมเลกลจานวนเปนโมล (อนดบ 1023

) คาของ

สมบตยอมใกลเคยงกนมาก จนสามารถอนโลมใหขอมลมคาตอเนองทเปนฟงกชนตอเนอง คาเฉลยของ

สมบตจะไดจากคาเฉลยของการปรพนธฟงกชนของสถานะนน คอ

f = ∫ iidn)f(X

N

1……………………..10

เชน พลงงานเฉลย จะเปน

E = ∫ iidnE

N

1

ความเรวเฉลย จะเปน

v = ∫ iidnv

N

1

เปนตน

จากการทคาเฉลยเปนตวแทนของขอมลจากการทดลองทงหมด คาเฉลยจงเปนคาคงตวของ

สมบตหนง ๆ ของระบบ เนองจากขอมลจากการทดลองวดสมบตยอมมคาแตกตางกนไป คาของขอมล

เหลานจะตางจากคาเฉลยตามการกระจายของขอมล เชน ถาขอมลชดหนงมคาเปน xi X มคาเฉลยเปน

คาเบยงเบน (d)ของขอมลแตละคา จะเปน

d = xi X −

ซงคาเฉลยของคาเบยงเบนกาลงสองเรยกวา ความแปรปรวน (variance, σ2) คอ

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

89

σ2 ( )N

X-x 2i∑ =

= 2

i2i

Nx

Nx

− ∑∑

= (x2)average2X−

คารากทสองทเปนคาบวกของความแปรปรวน คอ สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviation, σ)

คอ

σ = ( )

NX-x 2

i∑

= ( ) 2average

2 Xx −

คาสวนเบยงเบนมาตรฐานในทางสถตนคอความไมแนนอนของตวแปรตามหลกความไมแนนอน

ของไฮเซนแบรก นนเอง และเมอหารคาสวนเบยงเบนมาตรฐานดวยรากทสองของจานวนขอมล คอ คา

ความคลาดเคลอนมาตรฐาน (standard error, S.E.) คอ

S.E. = Nσ

(Salkind(editor), 2007, p.943)

บทสรป

การอธบายสมบตมหาทรรศนของระบบตองอาศยพนฐานความรทางดานสถตศาสตรเกยวกบ

การนบจานวนสงตวอยาง ความนาจะเปน การแจกแจงความนาจะเปน การหาคาเฉลย ความแปรปรวน

และคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

90

แบบฝกหด

1. ในการทอดลกเตา 2 ลกคอ ลกหนงสแดง อกลกหนงสขาว จงหา

ก. ปรภมสงตวอยางของการหงายหนาลกเตาเปนแตมตางๆ

ข. เหตการณ A ทลกเตาทงสองหงายหนาไดแตมรวมนอยกวา 6

ค. เหตการณ B ทลกเตาทงสองหงายหนาไดแตมรวมเปน 6

ง. เหตการณ C ทลกเตาสแดงหงายหนาขนเปนแตม 3

จ. ความนาจะเปนของเหตการณ A, B และ C

2. ขอสอบวชาหนงเปนขอสอบแบบปรนยเลอกคาตอบ ถก-ผด ถาขอสอบม 10 ขอ นกเรยนคน

หนงจะมวธการตอบคาถามไดกวธ

3. จงหาวธการจดเลข 4 หลกจากตวเลขตอไปน 0,1,2,3,6,7

4. นกศกษากลมหนงประกอบดวยนกศกษาชาย 8 คน นกศกษาหญง 5 คน ถาจะเลอกกรรมการ

จานวน 6 คน จากนกศกษาดงกลาว จะเลอกไดกวธโดยท

ก. เลอกโดยไมมขอแมใดๆ

ข. กรรมการประกอบดวยนกศกษาชาย 3 คน นกศกษาหญง 2 คน

5. ในการทอดลกเตา 3 ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนทลกเตาทงสามหงายหนาขนไดแตมรวม

เปน

ก. มากกวา 11

ข. เทากบ 11

ค. นอยกวา 11

6. ถาระบบหนงประกอบดวยโมเลกลของแกสชนดหนงจานวนทงหมด N โมเลกล จงหาความ

นาจะเปนในการบรรจแกสทงหมดลงในสถานะตางๆ จานวน k สถานะ โดยท

ก.ไมจากดวาสถานะหนงๆ จะบรรจแกสกโมเลกลกได

ข. สถานะหนงสามารถบรรจแกสไดเพยง 1 โมเลกล

7. จงบอกวา ตวแปรตอไปนเปนตวแปรสมชนดตอเนองหรอไมตอเนอง

ก.จานวนไขจากแมไกตวหนงในแตละเดอน

ข. ปรมาณนาทผลตโดยการประปานครหลวงในแตละป

ค. ความสงของนกศกษาหมเรยนหนง

ง. ระยะเวลาทใชในการเลนกฬาแตละวน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร

91

8. ตวแปรสม X เปนตวแปรสมแบบตอเนอง ระหวาง x = 2 กบ x = 5 มฟงกชนความ

หนาแนน

f(x) = 27

x)1(2 +

จงหา

ก. Pr ( X < 4)

ข. Pr ( 3 < X < 4)

9. จากขอมลตอไปน 5, 6, 4, 5, 8, 5 จงหา

ก. คาเฉลยเลขคณต

ข. คาเฉลยเรขาคณต

ค. ความแปรปรวน

ง. สวนเบยงเบนมาตรฐาน

จ. ความคลาดเคลอนมาตรฐาน

มหาวท

ยาลยราชภฏกาแพงเพชร