บทที่ 3 - คณิตศาสตร์ · Web view2. ต วช ว ดช นป ท เก ยวข อง ค 6.1 ม.6/1-6 3. สาระการเร ยนร

หนวยการเรยนรท 1เรอง ลำาดบอนนตและอนกรมอนนต

รายวชาทนำามาบรณาการการงานอาชพและเทคโนโลย และภาษาตางประเทศ

1. มาตรฐานการเรยนรมฐ. ค 6.1

2. ตวชวดชนปทเกยวของค 6.1 ม.6/1-6

3. สาระการเรยนรประจำาหนวย3.1 ลำาดบอนนต

-ความหมายของลำาดบ- รปแบบการกำาหนดลำาดบ-ลำาดบเลขคณต-ลำาดบเรขาคณต- ลมตของลำาดบ

3.2 อนกรมอนนต-ผลบวกของอนกรมอนนต-สญลกษณแทนการบวก

4. รองรอยการเรยนร4.1 ผลงาน / ชนงาน ไดแก

1) ผลงานจากการทำากจกรรมในหนงสอเรยน2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ

4.2 ผลการปฏบตงาน ไดแก 1) การปฏบตกจกรรมในชนเรยนและการใชบรการหองสมดของโรงเรยน

อยางเหมาะสม

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพง

2) การมสวนรวมในการปฏบตกจกรรมกลม4.3 การทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนหลงเรยนจบหนวยการเรยนร

5. แนวทางการจดการเรยนรในภาพรวม

รองรอยการเรยนรแนวทางการจดการเรยนร

บทบาทคร บทบาทนกเรยน

5.1 ผลงาน / ชนงาน ไดแก

1) ผลงานจากการทำากจกรรมในหนงสอเรยน

2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม

3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ

- อธบายเนอหาในแตละเรองอยางละเอยด

- อธบายสรปความคดรวบยอดในแตละเรอง

- แนะนำาการทำากจกรรมในหนงสอเรยน

- ใหคำาแนะนำาเพมเตมกบนกเรยนทยงไมเขาใจ

- มอบหมายงานใหนกเรยนเพมเตมตามความเหมาะสม

- ใหคำาแนะนำาในการทำากจกรรมบรณาการ

- ฝกคดตามทครสอน- ใหความรวมมอกบคร

ผสอน- รวมทำากจกรรมในชน

เรยน- ปฏบตกจกรรมกลม

ตามหนาททไดรบมอบหมาย

- ใหนกเรยนฝกแสดงความคดเหนในชนเรยน

- ใหนกเรยนทำาแบบฝกหดเปนรายกลมในชนเรยน

- ทำาแบบฝกหดเปนรายบคคล

- ศกษาหาความรเพมเตมจากหนงสอเรยน

2


5.2 ผลการปฏบตงาน ไดแก

1) การปฏบตกจกรรมในชนเรยนและการใชบรการหองสมดของโรงเรยนอยางเหมาะสม

2) การมสวนรวมในการปฏบตกจกรรมกลม

- แนะนำาวธการคำานวณและสรปความคดรวบยอดเพอสรปเนอหาประจำาหนวย

- แนะนำาใหนกเรยนไปคนควาหาขอมลเพมเตมในหองสมดของโรงเรยน

- ใหคำาแนะนำาเพมเตมกบนกเรยนทยงไมเขาใจ

- แนะนำาวธการจดกลมและการทำากจกรรมกลม

- ใหนกเรยนสรปเนอหาสำาคญทเรยนในแตละหนวย

- ใหนกเรยนแสดงความคดเหนตามความเขาใจของนกเรยนเอง

- ใหนกเรยนไปคนควาโจทยเพมเตมในหองสมดโรงเรยน

- ใหนกเรยนจดกลมตามทครมอบหมายและชวยกนทำากจกรรมในชนเรยน

5.3 การทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยน

- สรปเนอหาทสำาคญโดยการถาม-ตอบกบนกเรยน

- ทำาแบบทดสอบผลสมฤทธทางการเรยน

แผนการจดการเรยนรท 1/1 เรอง ลำาดบอนนต

เวลา 3 ชวโมง

1.เปาหมายการเรยนร1.1 ผลการเรยนร

1) เขาใจความหมายของลำาดบ2) หาพจนท n ของลำาดบเลขคณตและลำาดบเรขาคณตได

1.2 จดประสงคการเรยนร

3


แกโจทยปญหาเกยวกบลำาดบเลขคณตและลำาดบเรขาคณตได

2.สาระสำาคญ 2.1 สาระการเรยนร

1) ความหมายของลำาดบ2) รปแบบการกำาหนดลำาดบ3) ลำาดบเลขคณต4) ลำาดบเรขาคณต

2.2 ทกษะ / กระบวนการ1) ทกษะการทำางานกลม2) ทกษะการสอสารทางคณตศาสตร3) ทกษะการแกปญหา

2.3 ทกษะการคด1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดวเคราะห 3) ทกษะการคดประยกตใช

3.รองรอยการเรยนร 3.1 ผลงาน / ชนงาน

1) ผลงานจากการทำากจกรรมท 1.1 ก2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ รายงานเรองลำาดบชนดตางๆ“ ”

3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 1.1 ก7) ครมอบหมายใหทำากจกรรมบรณาการ

4


3.3 พฤตกรรมตามคณลกษณะพงประสงค1) นกเรยนใหความรวมมอในการทำางานกลม2) นกเรยนมความละเอยดรอบคอบและรบผดชอบในการทำางาน

3.4 ความรความเขาใจ1) นกเรยนเขาใจความหมายของลำาดบ2) นกเรยนรวธหาพจนท n ของลำาดบเลขคณตและลำาดบเรขาคณต

4.แนวทางการวดผลและประเมนผล เกณฑขนตำา

1) ไดระดบ “พอใช” ขนไป2) ไดระดบ “ด” ขนไป3)ทำาไดถกตอง 80% ขนไป

การสรปผลการประเมนตองผานเกณฑขนตำาทง 3 รายการ

5.กจกรรมการเรยนการสอนเพอการเรยนร5.1 ขนนำา

ครใหนกเรยนอานบทนยามของลำาดบในหนงสอเรยนหนา 2 ดงน

บทนยาม ลำาดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n} หรอมโดเมนเปน {1, 2, 3, …, n, …}เรยกลำาดบทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n} วาลำาดบจำากด (finite sequence) และเรยกลำาดบทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n, …} วา ลำาดบอนนต (infinite sequence)

ครสรปจากบทนยามเพมเตมวา ลำาดบโดยทวๆ ไปแบงออกเปน 2 ชนด คอ1.ลำาดบจำากด หมายถงลำาดบทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวก n

จำานวนแรก คอ เซต {1, 2, 3, …, n} และเรนจคอเซต {f(1), f(2), f(3), …, f(n)}

2.ลำาดบอนนต หมายถงลำาดบทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวกคอเซต {1, 2, 3, …, n, …} หรอเซตของจำานวนธรรมชาต และเรนจคอเซต {f(1), f(2), f(3), …, f(n), …}

5


5.2 ขนสอน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ

1. ครอธบายตามหวขอท 1.1.2 รปแบบการกำาหนดลำาดบแบบตางๆ จากนนนำาเสนอตวอยางตอไปนเพมเตมตวอยาง จงหา 5 พจนแรกของลำาดบ {an} เมอ an มคาดงตอไปน

an = 2n2 3nan = 2n 1

วธทำา 1. an = 2n2 3n a1 = 2(1)2 3(1) = 2 3 = 1a2 = 2(2)2 3(2) = 8 6 = 2a3 = 2(3)2 3(3) = 18 9 = 9a4 = 2(4)2 3(4) = 32 12 = 20a5 = 2(5)2 3(5) = 50 15 = 35

2. an = 2n 1 a1 = 21 1 = 2 1 = 1a2 = 22 1 = 4 1 = 3a3 = 23 1 = 8 1 = 7a4 = 24 1 = 16 1 = 15a5 = 25 1 = 32 1 = 31

ตวอยาง จงหาพจนทวไปของลำาดบซงม 5 พจนแรกดงตอไปน

1) 1 , , , , , …, an , …

2) , , , , …, an , …วธทำา 1. a1 = 1

a2 =

ทกษะการคดวเคราะหทกษะการคดประยกตใช

6


a3 =

a4 =

a5 =

ดงนน an =


2. a1 = =

a2 = =

a3 = =

a4 = =

ดงนน an = 2. ครใหนกเรยนทำากจกรรมท 1.1 ก ขอท 1 ภายในเวลาท

กำาหนด จากนนเฉลยคำาตอบรวมกน3. ครอธบายบทนยามของลำาดบเลขคณต

บทนยาม ลำาดบเลขคณต คอลำาดบซงมผลตางทไดจากการนำาพจนท n+1ลบดวยพจนท n เปนคาคงตวทเทากน สำาหรบทกจำานวนเตมบวก n และเรยกคาคงตวทเปนผลตางนวา ผลตางรวม

ทกษะการคด

แปลความ

ทกษะการคด

7


แลวอธบายทมาของสตร an = a1+ (n 1)d ดงนถาให d แทนผลตางรวมระหวางพจนท n + 1 กบพจนท n จะได d = an+1 an เมอ nI+ถาให a1 , a2 , a3 , a4 , ..., an , an+1 , ... เปนลำาดบเลขคณตแลว

d = a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = ... = an+1 an = ...

a2 = a1+ da3 = a2+ d = (a1+ d) + d = a1+ 2da4 = a3+ d = (a1+ 2d) + d = a1+ 3d

an = an1+ d = (a1+ (n 2)d) + d = a1+ (n 1)d

ดงนน เมอกำาหนดให a1 เปนพจนแรกของลำาดบเลขคณต และ d เปนผลตางรวม พจนท n ของลำาดบเลขคณต คอ

an = a1+ (n 1)d

วเคราะห


4. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 ในหนงสอเรยน และยกตวอยางเพมเตม ดงน

1) จงหาพจนท n ของลำาดบตอไปน(1) 9, 13, 17, 21, ...(2) 1, 1.5, 2, 2.5, ...วธทำา (1) 9, 13, 17, 21, …

a1 = 9, d = 13 9 = 17 13 =


8

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพง21 17 = 4

พจนท n ของลำาดบเลขคณต คอ an = a1+ (n 1)d

an = 9 + (n 1)4= 9 + 4n 4= 5 + 4n

(2) 1, 1.5, 2, 2.5, ...a1 = 1, d = 1.5 1 = 2 1.5 =

2.5 2 = 0.5จากสตร an = a1+ (n 1)d

an = 1 + (n 1) 0.5= 1 + 0.5n 0.5= 0.5n + 0.5

2) กำาหนดลำาดบเลขคณต 24, 19, 14, 9, ..., 46 จงหาวาลำาดบนมกพจน และพจนท 12 เปนเทาไรวธทำา จากลำาดบเลขคณต 24, 19, 14, 9, ..., 46

a1 = 24d = 19 24 = 14 19 = 9 14 =

… = 5และ an = 46จากสตร an = a1+ (n 1)dแทนคา 46 = 24 + (n 1) (5)

46 = 24 5n + 55n = 29 + 46 5n = 75n = = 15


9


พจนท 12 คอ a12 = a1 + (12 1)d= 24 + 11(5)= 24 55= 31

ดงนน ลำาดบ 24, 19, 14, 9, ..., 46 ม 15 พจน

และพจนท 12 เทากบ 315. ครอธบายบทนยามของลำาดบเรขาคณต

บทนยาม ลำาดบเรขาคณต คอลำาดบซงมอตราสวนของพจนท n+1 ตอพจนท n เปนคาคงตวทเทากน สำาหรบทกจำานวนเตมบวก n และเรยกคาคงตวทเปนอตราสวนนวา อตราสวนรวม

แลวอธบายทมาของสตร an = a1rn1 ดงนถาให r แทนอตราสวนรวมระหวางพจนท n+1

กบพจนท n จะได r = หรอ ran = an+1 เมอ nI+

r = = = = … = = …

a2 = a1ra3 = a2r = (a1r)r = a1r2 =

a1r31

a4 = a3r = (a1r2)r = a1r3 = a1r41

an = a n1r = (a1r n2)r = a1rn1

ดงนน เมอกำาหนดให a1 เปนพจนแรกของลำาดบเรขาคณต และ r เปน

ทกษะการคดแปลความทกษะการคดวเคราะห


10


อตราสวนรวม พจนท n ของลำาดบเรขาคณต คอ

an = a1rn1

6. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน แลวยกตวอยางเพมเตม ดงน1) จงหาพจนท n ของลำาดบตอไปน

12, 4, , , ...


11


วธทำา a1 = 12, r = 4 12 = 4 =

= … = จากสตร an = a1rn1

= 122) ลำาดบเรขาคณตลำาดบหนง มพจนท 3 มากกวาพจนท 2

อย และพจนท 2 มากกวาพจนแรกอย จงหาพจนท

n ของลำาดบน

วธทำา จากโจทย a3 a2 =

ดงนน a1r2 a1r =

a1r(r 1) = ……….(1)

และ a2 a1 =

a1r a1 =

a1(r 1) = ……….(2)

(1) (2); =

r = =

แทนคา r ใน (2); a1 =

a1 =

a1 =

12


พจนท n; an = a1rn1

ดงนน an =

7. ครอธบายเรองลำาดบฮารมอนกเพมเตมจากหนงสอเรยน ดงน

ลำาดบฮารมอนก หมายถง ลำาดบทมพจนแตละพจนเปนสวนกลบของพจนในลำาดบเลขคณต

ถา a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลำาดบเลขคณต แลว , , , …, , …

เปนลำาดบฮารมอนก โดยท ai 0, i = 1, 2, 3, …

ตวอยาง , , , …, , … เปนลำาดบฮารมอนกหรอไม ถาเปน จงหาพจนท 15

วธทำา เนองจาก 3, 5, 7, ..., 2n+1, … เปนลำาดบเลขคณต

ดงนน , , , ..., , … เปนลำาดบฮารมอนก

และเนองจาก an = 2n+1a15 = 2(15) + 1 = 31

ทกษะการคดแปลความ

ทกษะการคดวเคราะห

ทกษะการคดประยกตใช


13

1a11a2

1a31an


พจนท 15 ในลำาดบเลขคณตเทากบ 31ดงนน พจนท 15 ในลำาดบฮารมอนกคอ

พจนกลางของลำาดบตางๆ1. ถา a, A, b เปน 3 พจนเรยงกนในลำาดบเลขคณต

แลว

พจนกลาง A =

2. ถา a, G, b เปน 3 พจนเรยงกนในลำาดบเรขาคณตแลว

พจนกลาง G =

3. ถา a, H, b เปน 3 พจนเรยงกนในลำาดบฮารมอนกแลว

พจนกลาง H =

4. ถา A, G, H เปนพจนกลางของลำาดบเลขคณต เรขาคณต และฮารมอนกตามลำาดบระหวาง a และ b แลว AH = G2 และถา a, b 0 แลว A G H

8. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 1.1 ก กลมละ 3 ขอ แลวนำาคำาตอบของแตละกลมมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนสรปสตรตางๆ ดงน1) พจนท n ของลำาดบเลขคณต คอ

an = a1+ (n1)dเมอ a1 เปนพจนแรกของลำาดบเลขคณต และ d เปนผลตางรวม

14


2) พจนท n ของลำาดบเรขาคณต คอan = a1rn1

เมอ a1 เปนพจนแรกของลำาดบเรขาคณต และ r เปนอตราสวนรวม

6. สอการเรยนร / แหลงการเรยนร6.1 สอการเรยนร

- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการ

เรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6 โดยสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) กระทรวงศกษาธการ

6.2 แหลงการเรยนร1) หองสมดโรงเรยน 2) หองสมดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

7. กจกรรมเสนอแนะ7.1 กจกรรมสงเสรมการคดเชงวเคราะห

ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนศกษาเพมเตมเกยวกบการนำาความรเรองลำาดบเลขคณตและ

ลำาดบเรขาคณตมาประยกตใชในการแกโจทยปญหาชนดตางๆ ขนวเคราะหใหนกเรยนสงเกตและวเคราะหขนตอนในการนำาลำาดบเลขคณตและลำาดบ

เรขาคณตมาชวยในการหาคำาตอบขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทยและแสดงวธทำาคนละ 2 ขอ สรปเปนรายงานสงครขนประยกตใชครเลอกโจทยทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน

7.2 กจกรรมบรณาการครสามารถบรณาการการเรยนกบกลมสาระการงานอาชพและเทคโนโลย

โดยใหนกเรยนแบงกลมรวบรวม

15

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพงขอมลของลำาดบอนๆ ทไมใชลำาดบเลขคณตหรอลำาดบเรขาคณต กลมละ 3 ชนด โดยคนควาผานทางเวปไซตทใชคนหาขอมลตางๆ เชน google yahoo โดยจดทำาเปนรายงานสงครพรอมทงระบทมาของขอมล (ครควรแนะนำานกเรยนวา ยงมลำาดบชนดอนๆ อกมากมาย นอกจากลำาดบเลขคณตหรอลำาดบเรขาคณต)

ภาระงาน รายงานเรองลำาดบชนดตางๆ“ ”ผลการเรยนร ใชกระบวนการคนหาขอมลทางอนเทอรเนตอธบายลำาดบชนดตางๆผลงานทตองการ รายงานเรองลำาดบชนดตางๆขนตอนการทำางาน 1. นกเรยนศกษาหลกการคนหาขอมลทางอนเทอรเนตเพอใหไดรายละเอยดมากทสด

2. รวบรวมขอมลเกยวกบลำาดบชนดตางๆ โดยเลอกมา 3 ชนด

3. เขยนอธบายลำาดบทง 3 ชนด พรอมทงยกตวอยางประกอบโดยละเอยด

4. จดทำาเปนรายงานสงครเกณฑการประเมน 1. ความถกตองของเนอหารายงาน

2. ความนาสนใจในการนำาเสนอ8. บนทกหลงการสอน (บนทกเฉพาะประเดนทมขอมลสารสนเทศชดเจน)

ประเดนการบนทก จดเดน จดทควรปรบปรง

1. การจดกจกรรมการเรยนร

2. การใชสอการเรยนร

3. การประเมนผลการเรยนร

16


4. การบรรลผลการเรยนรของนกเรยน

บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน

บนทกความเหนของผตรวจสอบแผนการจดการเรยนร………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………….…….……………………………………………………………………………………………………………….……..……..…………………………………………………………………………………………………………….………

ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................

แบบสงเกตการตอบคำาถามและการรวมกจกรรมหนาชน

17

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพงระดบชน ............... เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ..................คำาชแจง ครผสอนประเมนนกเรยนโดยใชวธสงเกตในขณะดำาเนนการสอน แลวใหระดบคะแนนดงน3 เมอปฏบตบอยๆ 2 เมอปฏบตบางครง 1 เมอไมปฏบตหรอปฏบตนอยมาก

ท ชอ-สกล

การต

อบคำา

ถาม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค

ะแนน ระดบคะแนน

10-12 7-9 4-6

3 3 3 3 12 ด พอใชปรบป

รง

18


แบบประเมนการทำางานกลม

วชาคณตศาสตร เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ....................


ประเดนการประเมน/คะแนน

ระดบคะแนนคว

ามรบ

ผดชอ

บขอ

งแตล

ะคน

การม

สวนร

วมใน

การท

ำางาน

ความ

คดผล

งาน

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง

19


เ ก ณ ฑ ก า ร ใ ห ค ะ แ น น5 เมอพฤตกรรมโดดเดนชดเจนดมากเปนแบบอยางใหแกผอน4 เมอพฤตกรรมโดดเดนด3 เมอพฤตกรรมเทยบเทากนทวไปเปนไปตามทกำาหนด2 เมอพฤตกรรมไมคอยโดดเดนและตำากวามาตรฐานทวไป1 เมอพฤตกรรมไมเหมาะสม ไมคอยแสดงออกหรอใหความรวมมอ

แผนการจดการเรยนรท 1/2 เรอง ลำาดบอนนต (ตอ)



หาลมตของลำาดบอนนตโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตได1.2 จดประสงคการเรยนร

หาลมตของลำาดบอนนตโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตได


ลมตของลำาดบ2.2 ทกษะ / กระบวนการ

1) ทกษะการทำางานกลม2) ทกษะการสอสารทางคณตศาสตร3) ทกษะการแกปญหา


20

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพง3.รองรอยการเรยนร

3.1 ผลงาน / ชนงาน1) ผลงานจากการทำากจกรรมท 1.1 ข2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม

3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 1.1 ข


3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธหาลมตของลำาดบอนนต





ครใหนกเรยนพจารณากราฟของลำาดบ an = , an = 5 และ an

= 1 ในหนงสอเรยนหวขอท 1.1.5 แลวรวมกนอภปรายลกษณะกราฟ

ของแตละลำาดบ

21


5.2 ขนสอน


1. จากกราฟ ครใหนกเรยนสงเกตวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจำานวนจรง L เพยงจำานวนเดยวเทานน เรยก L วาลมตของลำาดบหรอกลาววา ลำาดบนนมลมตเทากบ L เขยนแทนดวย lim an = L

n

จากกราฟในขนนำา ครใหนกเรยนบอกลมตของลำาดบ จะไดวา

lim = 0

lim 5 = 5

lim = 1(ครกลาวยำาวาเราใชสญลกษณ n แทนคา n เขาสคาอนนต)

2. ครอธบายวา ลำาดบอนนตทมลมตเรยกวา ลำาดบลเขา (convergent sequence) โดยเขยนบทนยามตอไปนบนกระดาน




22

n

n

n


บทนยาม ถา a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลำาดบอนนต

เรยกลำาดบนวา ลำาดบลเขา (convergent sequence)

ถา an ลเขาสจำานวนจรงจำานวนหนง เมอ n มคามากขน (n )

เขยนแทนดวย lim an = L เมอ L แทนจำานวนจรงใดๆ

3. ครใหนกเรยนพจารณากราฟของลำาดบ an = 2n + 1

จากกราฟ จะเหนวาเมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของลำาดบมคามากขนไมเขาใกลจำานวนจรงใดจำานวนหนง ลำาดบนจงไมมลมตและไมเปนลำาดบลเขา เรยกลำาดบอนนตนวา ลำาดบลออก (divergent sequence)

ครเขยนบทนยามตอไปนบนกระดาน

บทนยาม ถา a1 , a2 , a3 , …, an , … เปนลำาดบอนนต

เรยกลำาดบนวา ลำาดบลออก (divergent sequence)

ถา an ไมลเขาสจำานวนจรงใด หรอมคามากขนหรอ


23

n

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพงนอยลงไมมขอบเขต

(1) ถา an ไมลเขาสจำานวนจรงใด เมอ n มคามากขนแลว ลำาดบอนนตนไมมลมต

(2) ถา an มคามากขนไมมขอบเขต เมอ n เขยนแทนดวย lim an = +

(3) ถา an มคานอยลงไมมขอบเขต เมอ n เขยนแทนดวย lim an =

4. จากบทนยาม ครใหขอสงเกตเพมเตมในประเดนตอไปน1. ลำาดบลเขาคอลำาดบทมลมต2. ลำาดบลออกคอลำาดบทไมมลมต แบงออกเปน 3 ประเภท ดงน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ(1) ลำาดบลออกซงม an มคามากขนเรอยๆ เมอ n ม

คามากขนโดยไมมทสนสด เชน 1, 3, 9, 27, 3 n1, …

(2) ลำาดบลออกซงม an มคาลดลงเรอยๆ เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด เชน 1, 3, 5, …, (2n1), …

(3) ลำาดบลออกซงมลกษณะแตกตางจากขอ (1) และ (2) เรยกวา ลำาดบแกวงกวด (oscillating sequence) เชน an = (1)n1 หรอ an = n(1)n

(นกเรยนดรปกราฟของลำาดบแกวงกวด an = (1)n1 ทกษะการคดแปลความ

24

n

n


ไดจากในหนงสอเรยน)5. ครใหแนวคดวาการทเราจะทราบวาลำาดบอนนตแตละ

ลำาดบมลมตหรอไมมลมตจำาเปนตองหาคาลมตของลำาดบแตละลำาดบกอนทกครง เราสามารถหาคาลมตของลำาดบไดรวดเรวและถกตอง โดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมต โดยครใหนกเรยนศกษาทฤษฎบทเกยวกบลมตตามรายละเอยดในหนงสอเรยน

6. ครใหนกเรยนศกษาตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน โดยอธบายหลกในการหาลมตกรณท n ดงนขนท 1 นำาตวแปรทมกำาลงสงสดทมอยในพจนท n หารทงตวเศษและตวสวนขนท 2 แยกตวเศษและตวสวนเปนพจนยอยๆ แตละพจนขนท 3 ใชทฤษฎบทตางๆ เกยวกบลมต ในการหาคาลมตโดยยำาในประเดนทวา ในการหาลมตของลำาดบโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตจะตองเขยนพจนท n ของลำาดบใหอยในรปทจะใชทฤษฎบทเกยวกบลมตได เพราะวาบางลำาดบทมลมต ถาไมเปลยนรปพจนท n กอน จะทำาใหหาลมตไมได เชน

an =

เปลยนรปพจนท n โดยหารทงตวเศษและตวสวนของพจนท n ดวย n2

an = =

lim an = lim


25

n n


=

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ= =

สำาหรบลำาดบทไมมลมต ถงแมจะเปลยนรปพจนท n ของลำาดบใหอยในรปซงหาลมตแตละพจนยอยได กไมสามารถหาลมตของลำาดบนนได เชน

an =

an = =

ซงจะหาลมตโดยอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตไมได เพราะลมตของตวสวนเปนศนยขอสงเกต ในการหาลมตของลำาดบ an สรปไดดงน

1. lim an = + ถา a 12. lim an = 1 ถา a = 13. lim an = 0 ถา 1 a 14. lim an ไมมลมต ถา a 1

7. ครนำาเสนอตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน

1) กำาหนดให an = และ bn = จงหาล


26

n

n

n

n


มตของ an, bn, anbn และ

วธทำา lim an = lim

= lim

= = 2

lim bn = lim

= lim

=

=

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบlim an bn = lim an lim bn

= (2) = 1

lim =

=

= 42) จงหาลมตของลำาดบซงมพจนท n เทากบ


27

n n

n

n

n

n

n n n

n


วธทำา an =

=

an =

lim an =

=

= = 3

3) จงหาลมตของลำาดบซงมพจนท n เทากบ

วธทำา an = =

=

28

n



=

an =

lim an =

=

=

8. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 1.1 ข กลมละ 3 ขอ โดยวธจบฉลาก ภายในเวลาทกำาหนด แลวนำาคำาตอบมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนสรปตามประเดนตอไปน1) ลำาดบอนนตทมลมต เรยกวา ลำาดบลเขา

ลำาดบอนนตทไมมลมต เรยกวา ลำาดบลออก2) การพจารณาวาลำาดบใดลเขา ลำาดบใดลออกทำาไดโดย

- พจารณาจากกราฟของลำาดบ- ใชทฤษฎบทเกยวกบลมต

6. สอการเรยนร / แหลงการเรยนร

29

n


6.1 สอการเรยนร- หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2- หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการ




ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมศกษาวธการพสจนทฤษฎบทเกยวกบลมตของลำาดบขนวเคราะหใหนกเรยนวเคราะหทมาและขนตอนในการพสจน และแสดงการพสจนโดย

ละเอยดขนสรปใหนกเรยนเขยนทฤษฎบทเกยวกบลมตและวธการพสจน จดทำาเปนรายงาน

สงครขนประยกตใชครและนกเรยนรวมกนอภปรายวธการพสจนทฤษฎบทเกยวกบลมตแตละ

ขอ7.2 กจกรรมบรณาการ

-

30


8. บนทกหลงการสอน (บนทกเฉพาะประเดนทมขอมลสารสนเทศชดเจน)






31


บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน


ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................


ระดบชน ............... เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ..................คำาชแจง ครผสอนประเมนนกเรยนโดยใชวธสงเกตในขณะดำาเนนการสอน แลวใหระดบคะแนนดงน

32

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพง3 เมอปฏบตบอยๆ 2 เมอปฏบตบางครง 1 เมอไมปฏบตหรอปฏบตนอยมาก


การต

อบคำา

ถาม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง


33

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพงวชาคณตศาสตร เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ....................



ระดบคะแนน

ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง

เ ก ณ ฑ ก า ร ใ ห ค ะ แ น น5 เมอพฤตกรรมโดดเดนชดเจนดมากเปนแบบอยางใหแกผอน4 เมอพฤตกรรมโดดเดนด

34


3 เมอพฤตกรรมเทยบเทากนทวไปเปนไปตามทกำาหนด2 เมอพฤตกรรมไมคอยโดดเดนและตำากวามาตรฐานทวไป1 เมอพฤตกรรมไมเหมาะสม ไมคอยแสดงออกหรอใหความรวมมอ

แผนการจดการเรยนรท 1/3 เรอง อนกรมอนนต



หาผลบวกของอนกรมอนนตไดและนำาความรเรองลำาดบและอนกรมไปใชแกปญหาได

1.2 จดประสงคการเรยนรแกโจทยปญหาเกยวกบอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณตได


อนกรมอนนต2.2 ทกษะ / กระบวนการ


2.3 ทกษะการคด1) ทกษะการคดแปลความ2) ทกษะการคดประยกตใช 3) ทกษะการคดวเคราะห

3.รองรอยการเรยนร 3.1 ผลงาน / ชนงาน

1) ผลงานจากการทำากจกรรมท 1.2 ก2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม

35


3) ผลงานจากการทำากจกรรมบรณาการ โจทยภาษาองกฤษเกยวกบ“การหาผลบวกของอนกรมอนนต”

3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 1.2 ก7) ครมอบหมายใหทำากจกรรมบรณาการ


3.4 ความรความเขาใจ1) นกเรยนรวธหาผลบวกของอนกรมอนนต2) นกเรยนรวธการตรวจสอบการลเขาหรอลออกของอนกรมอนนต





ครทบทวนการหาลมตของลำาดบอนนตและใหแนวคดในการหาคาลมตโดยวธลด ดงน

ขนท 1 ทำาตวเศษและตวสวนในพจนท n ใหมตวแปรกำาลงสงสดเทากน

36


ขนท 2 หาคาลมตโดยนำาสมประสทธของพจนทมกำาลงสงสดของตวเศษ หารดวยสมประสทธของพจนทมกำาลงสงสดของตวสวน

จะได คาลมต =

เชน 1) an =

จะไดวา พจนของตวเศษทมกำาลงสงสดคอ 3n2

พจนของตวสวนทมกำาลงสงสดคอ 4n2

ดงนน lim an = lim =

2) an =

เนองจาก =

จะไดวา พจนของตวเศษทมกำาลงสงสดคอ 0n2


ดงนน lim = lim = = 0

3) an =


จะไดวา พจนของตวเศษทมกำาลงสงสดคอ n2


ดงนน lim = lim = หาคาไมได

37

n n

n

สมประสทธของพจนทมกำาลงสงสดของตวเศษ

n

n n


5.2 ขนสอน


1. ครนำาเสนอตวอยางการหาลมตของลำาดบโดยวธลดเพมเตมกรณทลำาดบ an อยในรปกรณฑทสอง

1) an =


=

(กำาลงสงสดของตวเศษและตวสวนคอ กำาลง 1)

ดงนน lim = lim

= = 0


ทกษะการคดประยกตใช


38

n n


2) an =

เนองจาก = กำาลงสงสดของตวเศษคอกำาลงของ หรอกำาลง 1

และสมประสทธของพจนกำาลงสงสดของตวเศษคอ หรอ

ดงนน lim = =

2. ครอธบายเรองอนกรม โดยเขยนบทนยามตอไปนบนกระดาน

บทนยาม 1. เมอ a1, a2, a3, …, an เปนลำาดบจำากด เรยกผลบวกของทกพจนของลำาดบในรป a1+ a2+ a3+ … + an วา อนกรมจำากด

2. เมอ a1, a2, a3, …, an, … เปนลำาดบอนนต เรยกผลบวกของทกพจนของลำาดบในรป a1+ a2+ a3+ … + an+ … วา อนกรมอนนต

เชน 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 เปนอนกรมจำากดทไดจากลำาดบจำากด 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 162 + 4 + 6 + ... + 2n + … เปนอนกรมอนนตทไดจากลำาดบอนนต2, 4, 6, ..., 2n, …

3. ครอธบายสตรทใชหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม ดงน

1) ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต

Sn = [2a1+(n1)d]


39

n


หรอ Sn = [a1+ an]

2) ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต

Sn = , r 1 เหมาะสำาหรบ |r| 1

หรอ Sn = , r 1 เหมาะสำาหรบ

|r| 1(ทมาของสตรขางตนใหนกเรยนศกษาดวยตนเอง)


จากนน ใหนกเรยนอานบทนยามในหนงสอเรยนตอไปนบทนยาม กำาหนด a1+ a2+ a3+ … + an+ … เปนอนกรมอนนต

ให S1 = a1S2 = a1+ a2

Sn = a1+ a2+ a3+ … + anเรยก Sn วา ผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม เมอ n เปนจำานวนเตมบวก เรยกลำาดบอนนต S1, S2, S3, ..., Sn, ... วา ลำาดบของผลบวกยอยของอนกรม(a sequence of partial sums)

4. ครอธบายตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอเรยน โดยใหนกเรยนตอบคำาถามตอไปนกอนแสดงวธทำาตวอยางท 1 1) อนกรม 4+7 +10+…+(3n+1)+… เปนอนกรมชนดใด


40


(อนกรมเลขคณต เนองจาก 4+7+10+…+(3n+1)+… เปนอนกรมทไดจากลำาดบเลขคณต 4, 7, 10, …, (3n+1), …)

2) ใหนกเรยนบอกคา a1 และ d(a1 = 4d = 74 = 107 = … = 3)

3) ใชสตรใดมาชวยในการคำานวณหาลำาดบผลบวกยอยของอนกรม

(ใชสตร Sn = [2a1+(n1)d] )

ตวอยางท 2 1) อนกรม + + + ... + + ... เปนอนกรมชนดใด

(เปนอนกรมเรขาคณต เนองจาก + +

+ ... + + ... เปนอนกรมทไดจากลำาดบ

เรขาคณต , , , ..., , ...)2) ใหนกเรยนบอกคา a1 และ r

(a1 =

r = = = … = )3) ใชสตรใดมาชวยในการหาลำาดบผลบวกยอย

ของอนกรม

(ใชสตร Sn =

เนองจาก |r| = = นอยกวา 1)


5. ใหนกเรยนอานบทนยามในหนงสอเรยนตอไปน ทกษะการคด

41


บทนยาม กำาหนดอนกรมอนนต a1+ a2+ a3+ … + an+ ... ให S1, S2, S3, …, Sn, … เปนลำาดบผลบวกยอยของอนกรมน ถาลำาดบ Sn เปนลำาดบลเขา และ lim Sn = S เมอ S เปนจำานวนจรง แลวอนกรม a1+ a2+ a3+…+ an+ ... เปนอนกรมลเขา (convergent series) เรยก S วา ผลบวกของอนกรม ถาลำาดบ Sn เปนลำาดบลออก แลวอนกรม a1+ a2+ a3+ … + an+ ... เปนอนกรมลออก (divergent series)

จากบทนยาม ครอธบายเสรมวาอนกรมจำากดทกอนกรมหาผลบวกไดเสมอ แตสำาหรบอนกรมอนนตจะมทงอนกรมทหาผลบวกไดและอนกรมทหาผลบวกไมได

อนกรมอนนตทหาผลบวกได เรยกวา อนกรมลเขาอนกรมอนนตทหาผลบวกไมได เรยกวา อนกรมล

ออกครเขยนบทนยามตอไปนเพมเตมบนกระดาน

บทนยาม ผลบวกของอนกรมอนนตใด คอลมตของผลบวกยอยตวท n เมอ n เขาสคาอนนต ใชสญลกษณ lim Sn = S

บทนยาม ให a1+ a2+ a3+ … + an+ ... เปนอนกรมอนนตใดๆ

1) อนกรม a1+ a2+ a3+ … + an+ ... เรยกวา อนกรมลเขา

กตอเมอ lim Sn หาคาได

2) อนกรม a1+ a2+ a3+ … + an+ ... เรยก

แปลความ


42

n

n

n


วา อนกรมลออก

กตอเมอ lim Sn หาคาไมได

6. ครยกตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม + + + ... + + ... เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก ถาลเขา จงหาผลบวกของอนกรม


43

n


*จากตวอยาง ครใหหลกในการตรวจสอบวา อนกรมลเขาหรอลออก ดงน

ขนท 1 หา Snขนท 2 หา lim Snขนท 3 ถา lim Sn หาคาได แสดงวา

อนกรมอนนตลเขาถา lim Sn หาคาไมได แสดงวา อนกรม

อนนตลออก

แสดงวธทำาไดดงน วธทำา ขนท 1 อนกรมทกำาหนดใหไดจากลำาดบ

เรขาคณต , , , ... , , ... ม a1

= และ r = หาผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรมไดดงน

Sn =

=

=

ขนท 2 หา lim Sn

lim Sn = lim

= lim

=


44

n

n

n

n

n

n

n


ขนท 3 เนองจาก lim Sn หาคาได

ดงนน อนกรมอนนตทกำาหนดใหเปนอนกรมลเขา

และมผลบวกเทากบ

*ครใหคำาแนะนำาเพมเตมวา เรามวธตรวจสอบวาอนกรมเรขาคณตลเขาหรอลออก โดยวธลดจากทฤษฎบทตอไปน


ทฤษฎบท ใหอนกรมเรขาคณตมพจนแรกเปน a1 และ r เปนอตราสวนรวม

ถา |r| 1 แลวอนกรมนเปนอนกรมลเขา และม

เปนผลบวกของอนกรม

ถา |r| 1 แลวอนกรมนเปนอนกรมลออก

จากตวอยางขางตน |r| = 1 ดงนน

อนกรมลเขา

ผลบวกของอนกรม = = =

7. ครยกตวอยางโจทยตอไปน ใหนกเรยนชวยกนหาคำาตอบ1) ในการตรวจเสากองหนงซงวางเรยงกนเปนชนๆ พบวา

เสาในแตละชนจะมมากกวาเสาในชนบนทอยตดกนเปนจำานวน 3 ตนเสมอ ถาชนบนสดมเสา 61 ตน และชนลางสดซงอยตดกบพนดนมเสา 379 ตน จงหาวาเสากองนวางซอนกนกชน และมเสาทงหมดกตน

วธทำา จำานวนเสาเรยงกนจากชนบนสดคอ 61, 64, 67, ..., 379

ทกษะการคดแปลความทกษะการคดวเคราะหทกษะการคดประยกตใช

45

n


อนกรมคอ 61+64+67+...+379 เปนอนกรมเลขคณต

หาจำานวนชนจากสตร an = a1+(n1)dan = 379, a1 = 61, d = 3

379 = 61+(n1)3379 = 61+3n33n = 321n = 107

ดงนน เสากองนม 107 ชนหาจำานวนเสาทงหมด

จากสตร Sn =

=

= = 23,540

ดงนน เสากองนมทงหมด 23,540 ตน

กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ2) เดกคนหนงเรยงลกหนเปนแถวๆ เพอประกอบเปนรป

สามเหลยม โดยจดลกหนในแถวบนใหนอยกวาลกหนในแถวลางทอยตดกนหนงลก ถาแถวบนสดมลกหนอยเพยงหนงลก ซงอยในตำาแหนงของจดยอดของรปสามเหลยมดวย ถารปสามเหลยมนประกอบดวยลกหนทงหมด 190 ลก จงหาวาฐานของรปสามเหลยมมลกหนกลก

วธทำา ลกหนทเรยงจากแถวบนสดเขยนเปนอนกรมไดดงน1+2+3+... ซงเปนอนกรมเลขคณต หา n

ทกษะการคดแปลความทกษะการคดวเคราะหทกษะการคดประยกตใช

46


จากสตร Sn = Sn = 190, a1 = 1, d = 1

190 = 380 = n(2+n1)380 = n(n+1)

19 20 = n(n+1)19(19+1) = n(n+1)

ดงนน n = 19แถวลางสดคอแถวท 19หาจำานวนลกหนในแถวท 19จากสตร an = a1+(n1)d

= 1+(191)(1)= 1+18= 19

ดงนน ฐานของรปสามเหลยมมลกหน 19 ลก3) ลกตมนาฬกาเรอนหนงแกวงเปนเสนโคง ครงแรก

แกวงไดทาง 10 เซนตเมตร ครงตอไปแกวงไดระยะทาง

ของระยะทางครงกอนเสมอ จงหาระยะทางทลกตม

ของนาฬกาเรอนนแกวงตงแตเรมแกวงจนหยดวธทำา ครงแรกลกตมแกวงไดทาง 10 เซนตเมตร

ครงทสองลกตมแกวงไดทาง 10 = 9 เซนตเมตร


47


ครงทสามลกตมแกวงไดทาง 9 = 8.1 เซนตเมตร

อนกรมคอ 10+9+8.1+... เปนอนกรมเรขาคณต

a1 = 10, r = = 0.9

จากสตร S =

=

= = 100

ดงนน ลกตมแกวงไดทางทงสน 100 เซนตเมตร8. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 1.2 ก กลมละ 3 ขอ

แลวรวมกนอภปรายคำาตอบทไดของแตละกลม

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนสรปตามประเดนตอไปน1) อนกรมไดจากการบวกพจนทกพจนของลำาดบ

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต คอ

Sn = เมอทราบพจนแรกและผลตาง

รวม

หรอ Sn = เมอทราบพจนแรกและพจนท n

ผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต คอ

Sn = , r 1 เหมาะสำาหรบ |r| 1

หรอ Sn = , r 1 เหมาะสำาหรบ |r| 1

48


2) อนกรมอนนตใดๆ เรยกวา อนกรมลเขา กตอเมอ lim Sn หาคาได

อนกรมอนนตใดๆ เรยกวา อนกรมลออก กตอเมอ lim Sn หาคาไมได

3) การหาผลบวกของอนกรมอนนตกคอการหาคา S โดยท S = lim Sn






ขนรวบรวมขอมลใหนกเรยนแบงกลมรวบรวมโจทยเกยวกบการหาผลบวกอนนตของอนกรม

กลมละ 3 ขอขนวเคราะหใหนกเรยนชวยกนวเคราะหโจทย สตรทใชหาผลบวกอนนต แลวแสดงวธหา

ผลบวกอยางเปนขนตอนขนสรปใหนกเรยนเขยนโจทยและวธหาคำาตอบ จดทำาเปนรายงานสงครขนประยกตใชครเลอกโจทยทนาสนใจนำามาอภปรายรวมกนในชนเรยน

49

n

n

n


7.2 กจกรรมบรณาการครสามารถบรณาการการเรยนกบกลมสาระการเรยนรภาษาตางประเทศ

โดยกำาหนดภาระงานใหนกเรยนแบงกลมคนหาโจทยปญหาแบบตางๆ ทใชความรเกยวกบการหาผลบวกของอนกรมอนนตทำานองเดยวกบโจทยในกจกรรมท 1.2 ก โดยเปนโจทยภาษาองกฤษ จากแหลงความรตางๆ กลมละ 3 ขอ

ภาระงาน โจทยภาษาองกฤษเกยวกบการหาผลบวกของอนกรมอนนต“ ”ผลการเรยนร ใชกระบวนการแปลความหมายจากภาษาองกฤษเปนภาษาไทยอธบายวธการแกโจทยปญหา โดย ใชความรเรองผลบวกของอนกรมอนนตผลงานทตองการ โจทยภาษาองกฤษเกยวกบการหาผลบวกของอนกรมอนนตขนตอนการทำางาน 1. ศกษาวธการนำาความรเกยวกบการหาผลบวกของอนกรมอนนตมาใชแกโจทยปญหา

2. คนหาโจทยภาษาองกฤษเรองผลบวกของอนกรมอนนต จากแหลงความรตางๆ กลมละ 3 ขอ

3. แปลความหมายของโจทยภาษาองกฤษเปนภาษาไทย โดยใช Dictionary หรออาจขอคำา แนะนำาจากครสอนวชาภาษาองกฤษ

4. เขยนโจทยภาษาองกฤษและวธการแกปญหาพรอมคำาแปลเปนภาษาไทย

5. เขยนคำาศพทสำาคญไวในภาคผนวกทายรายงานเกณฑการประเมน 1. ความถกตองในการแปลความหมายและการแกโจทยปญหา

2. ความสะอาดเรยบรอยของชนงาน

50






51




บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน


ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................

52



ระดบชน ............... เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ..................คำาชแจง ครผสอนประเมนนกเรยนโดยใชวธสงเกตในขณะดำาเนนการสอน แลวใหระดบคะแนนดงน3 เมอปฏบตบอยๆ 2 เมอปฏบตบางครง 1 เมอไมปฏบตหรอปฏบตนอยมาก


การต

อบคำา

ถาม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง

53



วชาคณตศาสตร เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ....................




ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

นรวม 20-

2512-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง

54


เ ก ณ ฑ ก า ร ใ ห ค ะ แ น น5 เมอพฤตกรรมโดดเดนชดเจนดมากเปนแบบอยางใหแกผอน4 เมอพฤตกรรมโดดเดนด3 เมอพฤตกรรมเทยบเทากนทวไปเปนไปตามทกำาหนด2 เมอพฤตกรรมไมคอยโดดเดนและตำากวามาตรฐานทวไป1 เมอพฤตกรรมไมเหมาะสม ไมคอยแสดงออกหรอใหความรวมมอ

แผนการจดการเรยนรท 1/4 เรอง สญลกษณแทนการบวก



ใชสญลกษณ ในการหาผลบวกของอนกรมได1.2 จดประสงคการเรยนร

เขยนอนกรมในรปสญลกษณแทนการบวกได


สญลกษณแทนการบวก2.2 ทกษะ / กระบวนการ



55

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพง3.รองรอยการเรยนร

3.1 ผลงาน / ชนงาน1) ผลงานจากการทำากจกรรมท 1.2 ข2) ผลงานจากการทำากจกรรมกลม

3.2 กระบวนการขนตอนการปฏบตงาน1) จดกลม กลมละ 3-5 คน 2) เลอกหวหนากลม3) หวหนากลมแบงงาน4) รวมกนทำากจกรรมทกำาหนด5) นำาเสนอผลงานหนาชนเรยน6) ครมอบหมายใหทำากจกรรมท 1.2 ข


3.4 ความรความเขาใจนกเรยนรวธการใชสญลกษณ ในการหาผลบวกของอนกรม





ครทบทวนการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยกำาหนดโจทยตอไปนใหนกเรยนหาคำาตอบ

1) จงหาผลบวกของ 2 + + + + ...

56


วธทำา 2 + + + + ...

=2 + + + + ...

=2 +=2 + +

=2 + +

=2 + 1 + = 3

ดงนน ผลบวกของอนกรมนคอ 3

2) จงหาผลบวกของ + + + ...

วธทำา + + + ...

= + + + ...

=

=

=

=2 1 = 1ดงนน ผลบวกของอนกรมนคอ 1

5.2 ขนสอน

57


กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบ1. ครอธบายวา ในการเขยนอนกรมบางอนกรมคอนขางยด

ยาว ดงนน เพอความสะดวกในการเขยนอนกรม จะใชสญลกษณ (เรยกวา ซกมา) แทนการบวกของพจนตางๆ ดงน

= a1+ a2+ a3+ … + an

= a1+ a2+ a3+ … + an+ …

2. จากสญลกษณ หรอ ตวแปร i เรยกวา

ดชน ซงจะกำาหนดพจนแรกและพจนสดทายของอนกรม เชน

แทน 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

แทน 12+ 22+ 32+ 42+ 52

แทน 31+ 32+ 33+ ... + 3n+ ...



กจกรรมการเรยนการสอน ฝกการคดแบบครใหขอสงเกตวา ตวอกษรทเปนดชนจะใชอกษรตวใดกได ไมจำาเปนตองใชอกษร i อยางเดยว

เชน อาจเขยนเปน หรอ

นอกจากน ดชนกไมจำาเปนตองเรมจาก 1 เสมอไป

58


เชน = 102+ 112+ 122+ 132+ 142

= (40+5) + (41+5) + (42+5)

3. ครใหนกเรยนศกษาสมบตของ ในหนงสอเรยน และสรปสตรเกยวกบผลบวก n พจนแรกของอนกรมทมกจะใชเสมอ ดงน

= (n+1)

= (n+1)(2n+1)

= =

4. ครยกตวอยางตอไปนเพมเตมจากในหนงสอเรยน

1) จงหาคาของ (4i3 6i2+ 2i 5)

วธทำา (4i3 6i2+ 2i 5) = 4 +

= 4n3 6n2+ 2n 5n= =




59


= n2(n+1)(n+1) n(n+1)(2n+1) + n(n+1) 5n

= (n+1)[n2(n+1) n(2n+1) + n] 5n

= (n+1)(n3+ n2 2n2 n + n) 5n

= (n+1)(n3 n2) 5n= n2(n+1)(n 1) 5n= n2(n2 1) 5n= n4 n2 5n= n(n3 n 5)

2) จงหาผลบวกของอนกรมตอไปนถง n พจน 13 + 25 + 37 + 49 + ...

วธทำา 13 + 25 + 37 + 49 + ...พจารณาลำาดบ 1, 2, 3, 4, ... เปนลำาดบเลขคณต

มพจนท n ของลำาดบ an = 1 + (n 1)1 = n พจารณาลำาดบ 3, 5, 7, 9, ... เปนลำาดบเลขคณต

มพจนท n ของลำาดบ an = 3 + (n 1)2 = 2n + 1ดงนน พจนท n ของลำาดบ 13 + 25 + 37 +

49 + ... คอan = n(2n + 1)an = 2n2+ n

an = 2n2+ n

= 2 (n + 1)(2n + 1) + (n + 1)=

=


60


=

=

= (n + 1)(4n + 5)

ดงนน ผลบวก n พจนของอนกรม 13 + 25 + 37 + 49 + ... เทากบ (n + 1)(4n + 5)


5. ครใหนกเรยนแบงกลมทำากจกรรมท 1.2 ข กลมละ 3 ขอ ภายในเวลาทกำาหนด สำาหรบโจทยขอทยาก ครควรใหคำาแนะนำาเบองตนในการแกปญหา (ศกษาไดจากสวนเฉลย) เมอทกกลมทำาเสรจแลว นำาคำาตอบมาอภปรายรวมกน

5.3 ขนสรปครและนกเรยนรวมกนทบทวนสมบตของ และการใช หาผลบวก





7. กจกรรมเสนอแนะ

61


-







62


บนทกเพมเตม……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..…………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………..……

ลงชอ…………………………………..ผสอน


ลงชอ................................................................ตำาแหนง...........................................................


ระดบชน ............... เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ..................คำาชแจง ครผสอนประเมนนกเรยนโดยใชวธสงเกตในขณะดำาเนนการสอน แลวใหระดบคะแนนดงน

63

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพง3 เมอปฏบตบอยๆ 2 เมอปฏบตบางครง 1 เมอไมปฏบตหรอปฏบตนอยมาก


การต

อบคำา

ถาม

การร

วมกจ

กรรม

การแ

สดงค

วาม

การซ

กถาม

รวมค


10-12 7-9 4-6


รง


64

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพงวชาคณตศาสตร เรอง ........................................................... วนท ............ เดอน ........................... พ.ศ. ....................




ความ

รบผด

ชอบ

ของแ

ตละค

นกา

รมสว

นรวม

ในกา

รทำาง

านคว

ามคด

ผลงา

น

รวม 20-25

12-19 5-11

5 5 5 10 25 ด

พอใช

ปรบปรง

เ ก ณ ฑ ก า ร ใ ห ค ะ แ น น5 เมอพฤตกรรมโดดเดนชดเจนดมากเปนแบบอยางใหแกผอน4 เมอพฤตกรรมโดดเดนด

65


3 เมอพฤตกรรมเทยบเทากนทวไปเปนไปตามทกำาหนด2 เมอพฤตกรรมไมคอยโดดเดนและตำากวามาตรฐานทวไป1 เมอพฤตกรรมไมเหมาะสม ไมคอยแสดงออกหรอใหความรวมมอ

การประเมนและสะทอนตนเองหลงเสรจสนการเรยนในหนวยการเรยนรท 1(Self Reflection)

1. การประเมนตนเองของผเรยน ใหดำาเนนการดงน1.1 ครทบทวนผลการเรยนรประจำาหนวยการเรยนรทกขอ ใหนกเรยนไดทราบ

โดยอาจเขยนไวบนกระดาน พรอมทงทบทวนถงหวขอกจกรรมการเรยนวาไดเรยนอ ะ ไ ร บ า ง

1.2 ใหนกเรยนเขยนบนทกการประเมนตนเองไวในสมดงานดานหลงตามหวขอดงน

บนทกการประเมนและสะทอนตนเองประจำาหนวยการเรยนรท 1วน/เดอน/ป ทบนทก ............... / ............... / ...............

รายการบนทก1. จากการเรยนทผานมาไดความรอะไรบาง

...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................2. ปจจบนนมความสามารถปฏบตสงใดไดแลวบาง

...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................3. สงทยงไมร ไมกระจาง ไมเขาใจ มอะไรบาง

...........................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................4. ผลงานหรอชนงานทเนนความภาคภมใจจากการเรยนในบทนคออะไร ทำาไมจงภาคภมใจ

...........................................................................................................................................................................................................

66


...........................................................................................................................................................................................................

2. การพฒนาการเรยนการสอนโดยใชกระบวนการวจยในชนเรยนของครชอเรองทวจย.........................................................................

1. ความเปนมาของปญหาสงทคาด

หวง...................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

สงทเปนจรง....................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

ปญหาทพบคอ................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

สาเหตของปญหาคอ......................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................

แนวทางการแกปญหาคอ..............................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................2. วตถประสงคในการแกปญหา

2.1 เพอแกปญหาเรอง...................................................................................................................................................................

67


ของนกเรยนชน................................... หอง ...................................... จำานวน ............................ คนโดยใช.....................

....................................................................................................................................................................................................

2.2 เพอศกษาผลการแกปญหาเกยวกบ .....................................................................................................................................

หลงจากทไดทดลองใชวธแกปญหาโดย ...........................................................................................................................3. ขอบเขตของการแกปญหา

3.1 กลมเปาหมายในการแกปญหาคอ นกเรยนชน .............................. หอง ......................... จำานวน ........................ คน

ในภาคเรยนท .................................... ปการศกษา .................................. ทมปญหาเกยวกบ ..........................................

3.2 เนอหาทใชในการศกษาคอ เรอง .................................................................... หนวยการเรยนร ....................................

วชา ...................................................................................3.3 ระยะเวลาในการศกษา ประมาณ ............ สปดาห/เดอน ตงแตวนท .........

เดอน ............................ พ.ศ. .................ถงวนท ................ เดอน .................................... พ.ศ.

.........................4. วธดำาเนนการในการแกปญหา

4.1 เครองมอทใชในการแกปญหา คอ ......................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

ซงมขนตอนในการสรางและพฒนาดงน.......................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

............................................................................................. ......

68

แผนการจดการเรยนรหนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2 – สทธพงษ พงเพง.............................................................................................................................................................................................. 4.2 เครองมอทใชในการเกบรวบรวมขอมลคอ ...................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... ซงมขนตอนในการสรางและตรวจสอบคณภาพดงน

....................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

4.3 การเกบรวบรวมขอมล ไดดำาเนนการเกบรวบรวมขอมลตามวธการดงน1) นำาเครองมอทใชในการแกปญหาไปทดลองใชกบนกเรยนในเวลา

......................................................................

โดย..................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

2) นำาเครองมอเกบรวบรวมขอมลไปเกบขอมลเกยวกบ...............................................................................................

โดย..................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

69


4.4 การวเคราะหขอมลและการสรปผล ไดดำาเนนการวเคราะหขอมลและสรปผลดงน

....................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................5. ผลการแกปญหา

ผลการแกปญหาเกยวกบ ............................................................................................................................................................... ของนกเรยนกลมเปาหมาย ปรากฏผลดงน ...............................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

70

Documents

บทที่ 3 - คณิตศาสตร์ · Web view2. ต วช ว ดช นป ท เก ยวข อง ค 6.1 ม.6/1-6 3. สาระการเร ยนร