ใบความรท 3 การเคลอนทในแนวเสนตรง

การเคลอนทของวตถใน 1 มต เปนการเคลอนททไมสนใจถงสาเหตททำาใหวตถเคลอนทเรยกวา จลศาสตร1.1 คำาจำากดความของตำาแหนงและการกระจด

กอนจะทำาความเขาใจเรองตาง ๆ ในหวขอตอ ๆ ไป ตองทราบความหมายตำาแหนงของวตถกอน พจารณารปท 1.1

รปท 1.1 รปท 1.2ตำาแหนง คอบรเวณทตงของวตถ (รถตงอยทตำาแหนง ) ใน

ระบบพกดฉาก การกระจด คอการเปลยนแปลงตำาแหนงของวตถ พจารปท 1.2

เมอรถเปลยนตำาแหนงจาก ไปยง ตำาแหนง จากเงอนไขขางตนสามารถนำามาเขยนเปนสมการทางคณตศาสตรไดดงน

ตำาแหนง นยามการกระจด

ตวอยางท 1.1 จากรปเปนกราฟการเดนทางทองเทยวไปเชยงใหมโดยทางรถยนต เมอจดเรมตนอยทมหาวทยาลยรงสต ดงรปท 1.2 จงคำานวณหา

ก. ตำาแหนงของรถยนตท

ข. ตำาแหนงของรถยนตท ค. การกระจดภายในเวลา

ง. การกระจดทงหมด

รปท 1. 2

วธทำาก. จากกราฟ

ข. จากกราฟ ค. จากคำาจำากดความของการกระจด

==

ง. จากกราฟการกระจดทงหมด =

1.2 คำาจำากดความของความเรวเฉลยจากหวขอท 1.1 เมอทราบตำาแหนงของวตถแลวในหวขอตอไป

จะอธบายถงการเปลยนแปลงตำาแหนงอยางรวดเรวความเรวเฉลย คออตราการเปลยนแปลงการกระจดตอชวงเวลา คำาจำากดความของความเรวเฉลยเมอเขยนในรปของสมการทาง

คณตศาสตร

ตวอยางท 1.2 จากโจทยขอ 1.1 จงคำานวณหาก. ความเรวเฉลยในการเดนทางจาก ถง ข. ความเรวเฉลยเมอสนสดการเดนทาง

วธทำา จากคำาจำากดความของความเรวเฉลยก. = =

==

2

= ข. = ==

=

จากตวอยางขางตนแสดงใหเหนถงการเลอนตำาแหนง พจารณาการเคลอนตำาแหนงของวตถภายในเวลา 2 ชวโมง จากชวงเวลา

ถง และจาก ถง ความเรวเฉลยภายในชวงเวลา 2 ชวโมงในกรณเชนนหาไมไดเนองจากชวงเวลาไมตอเนอง1.3 นยามความเรวขณะใดขณะหนงและอตราเรว

จากรปท 1.3 กราฟแสดงความสมพนธระหวาง ตำาแหนงกบเวลา เปนกราฟเสนตรงความเรวเฉลยคอความชน (slope) ของกราฟเนองจาก

อตราเรวเฉลย คอขนาดของเรวเฉลย เปนการกระจดตอชวงเวลา

รปท 1.3

จากรปท 1.4 กราฟแสดงความสมพนธระหวาง ตำาแหนงกบเวลา เปนกราฟเสนโคง ความเรวเฉลย (ความชน) จะมการเปลยนแปลงขนอยกบขนาดของ ถา มคานอย

3

มาก ๆ เราสามารถหา ความชน ไดจากเสนสมผส (tangent line) สวนโคง ความเรวทไดเรยกวาความเรวขณะใดขณะหนงนนคอ = สามารถเขยนอยในรปของสมการทางคณตศาสตรไดดงน

รปท 1.4 =

นนคอความเรวขณะใดขณะหนงเปนการกระจดตอเวลาในชวงเวลาสนมาก ๆ หรอเปนความเรวทจดใดจดหนงของการเคลอนท เชนความเรวขณะขบรถสงเกตได

จากเขมไมลขณะนน ดงรปท 1.5

รปท 1.5

ตวอยางท 1.3 โยนลกบอลขนตามแนวดงตำาแหนงของลกบอล ณ.เวลา ใด ๆ คอ

ก. จงเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางเวลากบระยะทางข. ความเรวเฉลยในชวง 2 วนาทแรกค. ความเรวเฉลยในชวง 1 วนาทแรกง. ความเรวทเวลา

วธทำา

4

ก.

ข. จากคำาจำากดความของความเรวเฉลย

== == ==== =

ค. จากคำาจำากดความของความเรวเฉลย

= = = = =

=== =

ง. ความเรวท คอความเรวขณะใดขณะหนงจะได

5

= =

เมอ = =

ขอสงเกต จากตวอยางขางตนสงเกตไดวาในขณะทชวงเวลาสนลงความเรวเฉลยจะมคาใกลกบความเรวขณะใดขณะหนง

คำาจำากดความของอตราเรวคอขนาดของความเรวขณะใดขณะหนง อตราเรวจะมคาเปนบวกเสมอ ในขณะทความเรวมไดทงคาบวกและคาลบ ขอแตกตางระหวางอตราเรวและความเรวจะสงเกตเหนไดงายขน เมอความเรวคดอยในรปของเวกเตอรซงจะศกษาไปในการเคลอนท 2 มต

1.4 คำาจำากดความของความเรงเฉลยและความเรงขณะใดขณะหนง

ในหวขอนจะอธบายถงการเปลยนแปลงความเรวซงเรยกวาความเรง ขอแตกตางระหวางความเรวและความเรงคอ ความเรวบอกถงการเปลยนแปลงตำาแหนง สวนความเรงบอกถงการเปลยนแปลงความเรวนนคอความเรงคออตราการเปลยนแปลงความเรว

เมอเขยนอยในรปสมการทางคณตศาสตรจะไดนยามของความเรงเฉลยคอ

=คำาจำากดความของความเรงขณะใดขณะหนง

=

6

ตวอยางท 1.4 รถยนตคนหนงสามารถเรงความเรวจาก จนกระทงมความเรว ภายในเวลา จงหาความเรงเฉลยของรถคนน

วธทำาจาก ===

จากกราฟแสดงความสมพนธระหวางตำาแหนงกบเวลา ความชนของกราฟคอความเรว ในทำานองเดยวกนความเรงคอความชนของกราฟแสดงความสมพนธระหวางความเรวกบเวลา

ตวอยางท 1.5 กราฟแสดงความสมพนธระหวางความเรวกบเวลาของรถคนหนงแสดงดงรปท 1.6 จากกราฟอธบายวาเมอ

ก. ชวงแรกรถมความหนวง (decelerating)

ข. รถมความเรง (accelerating)ค. ความเรงเปนศนย ง. รถมความเรวลดลง

รปท 1.6 วธทำา ก. ; ข. ; ค. จากคำาจำากดความของความเรงขณะใดขณะหนง ซงสามารถหาไดจากความชนของกราฟ

ง. ชวงทรถมความเรวลดลงมอย 2 ชวงคอชวงเวลา ถง และชวงเวลา ถง 1.5 การเคลอนทเมอความเรงคงท

ถาเรารวาวตถเรมตนเคลอนทจากตำาแหนงไหน ความเรวตนเทาใดและมความเรงเทาใด เราจะสามารถบอกไดวาชวงตอไปวตถจะอยทไหน ปญหาทเกดขนนสามารถอธบายไดโดยใชสมการทาง

7

คณตศาสตร เมอกำาหนดใหตำาแหนงเรมตนคอ ; ความเรวตนคอ ; ความเรงคอ ความเรงเมอเปนฟงกชนของเวลาคอ ;

ความเรวเมอเปนฟงกชนของเวลาคอ ; ตำาแหนงเมอเปนฟงกชนของเวลาคอ ; ความเรงเมอเปนฟงกชนของตำาแหนงคอ ; และความเรวเมอเปนฟงกชนของตำาแหนงคอ ซงสามารถเขยนอยในรปสมการการเคลอนท

ในกรณทวตถเคลอนทดวยความเรงคงทสมการการเคลอนทกรณน เราเรยกวาสมการจลศาสตร ให ; ; เมอ คอความเรงคงทสมการความเรวเมอเปนฟงกชนของเวลาพจารณาไดจากนยามความเรงเฉลย

===

เปนสมการความเรวเมอเปนฟงกชนของเวลา

สมการตำาแหนงเมอเปนฟงกชนของเวลาพจารณาไดจากนยามความเรวเฉลย

===

แทน ดวย จากสมการขางบนซงเปนสมการความเรวเมอฟงกช นของเวลาจะได

===

เปนสมการตำาแหนงเมอเปนฟงกชนของเวลา

8

ในทำานองเดยวกนความเรวเมอเปนฟงกชนของตำาแหนง สามารถหาไดโดยหาเวลาจากสมการความเรวทเปนฟงกชนของเวลา จากนนนำาเวลาทไดแทนลงในสมการตำาแหนงเมอเปนฟงกชนของเวลาดงน

==

จาก ======

จากสมการจะเหนวาเมอ คงทความเรวจะเปนฟงกชนของระยะทางเขยนใหมไดเปน

=

จากสมการทไดกำาหนดให คอตำาแหนงเรมตน ; คอความเรวตน ; คอความเรงเปนคาคงท เราสามารถใชสมการเหลานหาความเรง ความเรว และตำาแหนงของวตถทเวลาใด ๆไดและยงสามารถหาความเรงและความเรวของวตถทตำาแหนงใด ๆ ได

สมการการเคลอนทของวตถเมอความเรงคงทสามารถเขยนไดดงน=====

9

บางกรณในสมการจลศาสตรเราไมทราบตำาแหนงเรมตน ความเรวตน หรอคาตาง ๆ เพอความสะดวกในการใชเราสมารถนำามาเขยนเพอแสดงคาทไมปรากฎไดดงน

สมการจลศาสตร คาทไมปรากฏ

จากหาสมการทไดจะสงเกตไดวาแตละสมการจะมคาทไมปรากฏในแตละสมการอย 1 คา จากเงอนไขดงกลาวเราสมารถยบสมการตาง ๆ ดงกลาวใหเหลอเพยง 2 หรอ 3 สมการไดจากนนกใหแทนคาทไมตองการใหปรากฏลงในสมการนนไดดงน

กรณยบใหเหลอเพยง 2 สมการคอ==

เมอไมตองการใหมคา ปรากฏในสมการกใหแทนคา

ลงในสมการ จะได

======

10

==

หมายเหต นบเปนคาเดยวไดเนองจากเราสามารถเลอก หรอ ไดจากระบบพกดแกนมมฉาก

ตวอยางท 1.6 รถยนตคนหนงเรงความเรวจาก เปน ภายในเวลา ดงรปท 1.7 จงหา

ก.

ความเรงข. ระยะทางทรถวงไดภายในเวลา 6 s.

วธทำา ก. จากโจทยคาทไมปรากฏคอตำาแหนงสดทาย เมอ ; ; ; ; ;

รปท 1.7จากสมการ =

==

ข. เมอคาทไมปรากฏคอความเรง =

เรมตน ; ; =

11

==

1.6 สมการจลศาสตรและการคำานวณบางครงการเคลอนทของวตถถกกำาหนดโดยคำาจำากดความ

ของความเรวและความเรง=

และ =

จากสมการขางตนเราสามารถใชแคลลลสสรางสมการจลศาสตรเมอมความเรงคงทได

===

ให คงท

===

จากสมการทไดจะสงเกตเหนไดวา ความเรวขนกบเวลา เขยนใหมไดเปน กคอสมการจลศาสตรเมอความเรวเปนฟงกช นของเวลาในทำานองเดยวกน

=แต =

===

แตความเรง และความเรวตนไมเปลยนแปลงตามเวลา

=

12

=เปนสมการจลศาสตรเมอตำาแหนงเปนฟงกชนของเวลา

การหาสมการการเคลอนทของวตถ ดงกลาวขางตนโดยวธการหาอนพนธ หรอ การอนทเกรต ใชสำาหรบการหาสมการเมอความเรงไมคงท

กราฟการเคลอนท

การหาความหมายของกราฟและความสมพนธของกราฟ 1.

การกระจดเพมขนคงท

2. ความเรวเพมคงท ความเรง > 0

การกระจดเพมขนอยางรวดเรว3.

13

ความเรวt t

ความเรวลดคงท การกระจด

เพมเลกนอยเมอเวลาเพมขน

t tt

ความเรง < 0

t t

ความเรง = 0t

t

4.

การกระจดลดลงการแปลความหมายจากกราฟ ใหพจารณา 2 กรณ

1. ความชน (slope) 2. พนทใตกราฟ

การวเคราะหกราฟ 1. ความชน = slope = slope = 2. พนทใตกราฟ = ( ) พนทใตกราฟ = ไมมความหมาย การวเคราะหกราฟ 1. ความชน = /t = /t slope = 2. พนทใตกราฟ = ( t) การกระจด = ( t) พนทใตกราฟ = ระยะการกระจด

14

ความเรง < 0t tt

t

t

t

t

การวเคราะหกราฟ 1. ความชน = /t = ไมมความหมาย

2. พนทใตกราฟ = ( t) = (t)

พนทใตกราฟ = ความเรว

การเปลยนแกนกราฟ  

 

กา การเปลยนกราฟระหวาง การกระจด(S) - เวลา(t) ความเรว(V ) - เวลา(t) และ คว ความเรง(a) - เวลา(t) ตองทราบความสมพนธดงน

พจารณ พจารณาความสมพนธของปรมาณ การกระจด ความเรว และความเรง 1. กราฟระหวาง การกระจด(S) - เวลา(t) ความชนของกราฟนคอ ความเรว

               ถาเปลยนเปนกราฟ ความเรว(V ) - เวลา(t) กเปลยนจากความชน

       2. กราฟระหวาง ความเรว(V ) - เวลา(t) ความชนของกราฟนคอ ความเรง   ถาเปลยนเปนกราฟ ความเรง(a) - เวลา(t) กเปลยนจากความชน

 

  2. ความชนของกราฟ  

15

t

t

 

  

 

 

3. พจารณานยาม  

 

 

16

 

 

       ตวอยางการเปลยนแกนกราฟ   1. การเคลอนทของวตถแนวเสนตรงเขยนเปนกราฟระหวาง  s - t  ดงรป  

จงเขยนกราฟระหวาง  v - t 

       V = ความชน จากกราฟความชนคงท แสดงวาความเรวคงท         ดงนนเมอเขยนเปนกราฟ v-t  จะไดกราฟขนานกบแกน t ดงรป

 

  2.  การเคลอนทของวตถแนวเสนตรงเขยนเปนกราฟระหวาง  V - t  ดงรป   จงเขยนกราฟระหวาง a - t 

 

17

       a = ความชน จากกราฟความชนเทากบศนย(0) แสดงวาความเรงเปนศนย(0)          ดงนนเมอเขยนเปนกราฟ a-t  จะไดกราฟขนานกบแกน t ดงรป

  

กรณ กราฟทกำาหนดใหขอมลเปนตวเลขและสามารถหาความชนได

นกเรยนตองหาความชนของกราฟกอน เชน กราฟระหวาง การกระจด-เวลา

ความเรวคอความชนของกราฟ สามารถหาขนาดของความเรวไดแลวจงคอยเขยนกราฟระหวาง ความเรว - เวลา ดงตวอยางขอท 3   

3. การเคลอนทของวตถแนวเสนตรงเขยนเปนกราฟระหวาง  s - t  ดงรป จงเขยนกราฟระหวาง  v - t  จากการเคลอนทน

18

     

เขยนกราฟ ความเรว เวลา–   ไดดงรป

ทดสอบเพอความเขาใจ

1.วตถเคลอนทแนวเสนตรงสามารถเขยนเปนกราฟการกระจดกบเวลาเปนดงรป นกเรยน           ออกแบบและเขยนกราฟความเรวกบเวลา

19

 

 

     2.การเคลอนทของวตถแนวเสนตรงเขยนเปนกราฟระหวาง  v - t  ดงรป จงเขยนกราฟระหวาง 

a - t  จากการเคลอนทน

 

   

 

20

เอกสาร แบบฝกหด วชา Physic เรองการเคลอนทแนวเสนตรง (Linear Motion)

1. นายแดง ขบรถออกจากบานไปทำางานในตอนเชาแลวกลบถงบานในตอนเยน เราอาจกลาวไดวาในชวงวนนปรมาณใดของชายผนเปนศนย

1. ระยะทาง และการกระจด 2. อตราเรวเฉลย และความเรวเฉลย3. ระยะทาง และอตราเรวเฉลย 4. การกระจด และความเรวเฉลย

2. อนภาคหนงเคลอนทจาก A ไป B ดงรป กนเวลานาน 10 วนาท จงหา ระยะทาง, การกระจด, อตราเรวเฉลย และความเรวเฉลย ตามลำาดบ

1. 17 m, 12 m, 1.7 m/s และ 1.2 m/s 2. 12 m, 17 m, 1.2 m/s และ 1.7 m/s

3. 1.7 m, 1.2 m, 17 m/s และ 12 m/s 4. 1.2 m, 1.7 m, 12 m/s และ 17 m/s

12 m

4 m 5 m

A

x

B

8 m

21

y

3. รถยนตคนหนงวงดวยความเรว 40 km/h ใน 10 กโลเมตรแรก และวงดวยความเรว 60 km/h ใน 10 กโลเมตรหลง ความเรวเฉลยในชวง 20 กโลเมตรแรกมคาเทาใด

1. 50 km/h 2. 40 km/h 3. 48 km/h 4. 45 km/h

4. วตถชนหนงเคลอนทโดยความสมพนธระหวางการกระจดกบเวลาเปนไปตามสมการ x = 2t +5 จงหาวาเมอเวลาผานไป 3 วนาท วตถมความเรวเฉลยเทาใด

1. 5 m/s 2. 6 m/s 3. 9 m/s4. 18 m/s

5. จากกราฟระหวางการกระจด ในแนวเสนตรงกบเวลาดงรป จงหาความเรวเฉลยระหวางเวลา 0 วนาท ถง 25 วนาท

1. 15 m/s2. 5 m/s

3. -5 m/s4. 0 m/s

6. วตถกอนหนงถกทำาใหเคลอนทในแนวเสนตรง โดยม ความเรว v และ t สมพนธดงกราฟ จงพจาราณาขอความตอไปน

ก. วตถเรมตนเคลอนทจากหยดนงและมแรงกระทำาเพมขนอยางสมำาเสมอใน 10s แรก

ข. สดทายทเวลา 30s วตถจะอยทางดานซายของตำาแหนงเรมตน เปนระยะหาง 200m

ค. อตราเรวเฉลยของวตถตลอด 30s เทากบ 5m/s

22

เมอมแรงลพธกระทำาตอวตถตลอดการเคลอนทขอความใดทถกตอง

1. ก. และ ข. ถกตอง 2. ข., ค. และ ง. ถก

3. ก., ข., ค. และ ง. ถก 4. ไมมขอความใดถกตองเลย

7. อนภาคหนงเคลอนทดวยความเรวตน 10 m/s มความเรงในชวงตางๆดงกราฟ จงหาวาความเรวของอนภาคนเมอเวลผานไป 30s

1. 60 m/s2. 70 m/s3. 80 m/s4. 90 m/s

8. การเคลอนทของอนภาคอนหนงเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวาง v กบ s ไดดงรป ความเรงของอนภาคนมคาเทาไหร

1. 4 m/s2. – 4 m/s3. 2 m/s4. – 2 m/s

9. คำากลาวขอใดตอไปนผด1. ความชนของกราฟระหวางการกระจด เวลา คอ –

ความเรว2. ความชนของกราฟระหวางความเรว เวลา คอ ความเรง–3. ความชนของกราฟระหวางความเรง เวลา คอ –

พลงงานจลน4. พนทใตกราฟระหวางความเรว เวลา คอ การกระจด–

23

10. วตถเรมเคลอนทจากหยดนงในแนวเสนตรง โดยมความสมพนธ ระหวางการกระจด (s) กบกำาลงสองของเวลา (t ) ดงกรฟ จงหาความเรงของวตถ

1. 0.4 ms2. 0.8 ms3. 4.0 ms4. 8.0 ms

11. ถากราฟการกระจด x กบเวลา t ของรถยนต ก และ ข มลกษณะดงรป ขอใดตอไปนถกตอง

1. รถยนต ก และ ข จะมความเรวเทากนเมอเวลาผานไป 2 นาท

2. รถยนต ก มความเรวไมคงท สวนรถยนต ข มความเรวคงท

3. รถยนต ก มความเรงมากกวาศนย สวนรถยนต ข มความเรวเทากบศนย

4. ทงรถยนต ก และ ข ตางมความเรงเปนศนย

12. วตถเรมเคลอนทจากจดหยดนงทจด A ไปตามแนวเสนตรง AB ดวยความเรงคงท 10 m/s ให 0 เปนจดอางอง เมอเวลาผานไป 3 วนาท ตำาแหนงของวตถ เทยบกบจดอางองคอ

1. -10 เมตร 2. +15 เมตร 3. +30 เมตร 4. +45 เมตร

13. วตถมความเรวเรมตน 20m/s ไปทางขวา พบวาวตถเคลอนทไปดวยความเรวสมำาเสมอ 2 m/s จงหาวาเมอวตถ

24

เคลอนทไปได 5 วนาทจะมความเรวเทาไร และการกระจดมคาเทาไร

1. 5 m/s ทางขวา, 100 m ทางขวา 2. 10 m/s ทางขวา, 75 m ทางขวา3. 15 m/s ทางขวา, 125 m ทางขวา 4. 5 m/s ทางซาย, 75 m ทางขวา

14. ทนททเปดไฟเขยวรถเกงซงจอดอยกเคลอนทไปขางหนาบนถนนตรงดวยความเรง 4m/s ขณเดยวกนรถบรรทกเคลอนทผานทางแยกดวยความเรว 108 km/h จงหาวาขณะทรถเกงทนรถบรรทก รถเกงมความเรวเทาใด

1. 60 m/s 2. 80 m/s 3. 200 m/s4. 216 m/s

25