¸šทที่ 5(1).pdf · 2018. 11. 12. · บทที่ 5 ฟังก์ชันเลขคณิต (Arithmetic function) ในบทนี้เราจะศึกษาสมบัติของฟังก์

บทท 5

ฟงกชนเลขคณต (Arithmetic function)

ในบทนเราจะศกษาสมบตของฟงกชนเลขคณต (arithmetic function) หรอ

ฟงกชนทฤษฎจ านวน (number-theoretic function) คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของ

จ านวนเตมบวก เนองจากคาของฟงกชนทฤษฎจ านวนไมจ าเปนตองเปนจ านวนเตมบวกหรอ

เปนจ านวนเตม สวนมากจะศกษาเกยวกบฟงกชนทมคาของฟงกชนทเปนจ านวนเตมบวก

และฟงกชนอน ๆ ของทฤษฎจ านวน ทเราศกษาในบทนไดแก จ านวนและผลบวกของ

ตวหารทเปนบวก ฟงกชนเมอบอส ฟงกชนออยเลอร-ฟ ฟงกชนจ านวนเตมมากสด จ านวน

สมบรณ จ านวนแมรแซน และจ านวนแฟรมา

5.1 จ ำนวนและผลบวกของตวหำรทเปนบวก

ฟงกชนทมคาของฟงกชนทเปนจ านวนเตมบวก ฟงกชนททฤษฎจ านวนแบบทงาย

ทสดคอ ฟงกชนจ านวนของตวหาร (the number of divisor function) ดงจะกลาวใน

บทนยาม 5.1.1 และ ฟงกชนผลบวกของตวหาร (the sum of divisor function)

ดงจะกลาวในบทนยาม 5.1.2 ซงเปนฟงกชนเลขคณตชนดหนง (จราภา ลมบพศรพร ,

2555, น. 63; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 113; สมวงษ แปลงประสพโชค, 2545, น. 97;

Burton, D. M., 2007, p. 103)

บทนยำม 5.1.1 ฟงกชนจ ำนวนของตวหำร

ฟงกชนจ านวนของตวหาร (the number of divisor function) เขยนแทนดวย เปนฟงกชนเลขคณต ส าหรบ n เปนจ านวนเตมบวก ให n หมายถง จ ำนวนตวหำร

ทเปนบวกของ n (number of positive divisor of n )

140 ทฤษฎจ ำนวน

บทนยำม 5.1.2 ฟงกชนผลบวกของตวหำร

ฟงกชนผลบวกของตวหาร (the sum of divisor function) เขยนแทนดวย เปนฟงกชนเลขคณต ส าหรบ n เปนจ านวนเตมบวก ให n หมายถง ผลบวกของ

ตวหำรทเปนบวกของ n (sum of positive divisor of n )

ตวอยำง 5.1.1 จงหา n และ n เมอ n 1,2, ,10

วธท ำ

ตn ตวหารทเปนบวกของ n n n

1 1 1 1 1 1

2 1,2 2 2 2 1 2 3

3 1,3 3 2 3 1 3 4

4 1,2,4 4 3 4 1 2 4 7

5 1,5 5 2 5 1 5 6

6 1,2,3,6 6 4 6 1 2 3 6 12

7 1,7 7 2 7 1 7 8

8 1,2,4,8 8 4 8 1 2 4 8 15

9 1,3,9 9 3 9 1 3 9 13

10 1,2,5,10 10 4 10 1 2 5 10 18

การใช Wolfram Alpha เพอหาฟงกชนผลบวกของตวหารและผลบวกของ

ตวหารทเปนบวก ของ 10 หรอ 10 และ 10 ดงภาพท 5.1.1 และ ภาพท 5.1.2

บทท 5 ฟงกชนเลขคณต 141

ผลลพธ 10 และ y 3n 2 และ n

ภำพท 5.1.1 10 4

ผลลพธ 18

ภำพท 5.1.2 10 18

จากตวอยาง 5.1.1 จะเหนวา n 2 กตอเมอ n เปนจ านวนเฉพาะ และ

n n 1 กตอเมอ n เปนจ านวนเฉพาะ

กอนทเราจะศกษารายละเอยดของฟงกชน และฟงกชน จะกลาวถงสญลกษณ

d n

f d

จะหมายถง ผลบวกของคา f d เมอ d คอจ านวนเตมบวกทเปนตวหารของจ านวนเตม

n ตวอยางเชน

d 18

f d f 1 f 2 f 3 f 6 f 9 f 18

โดยใชสญลกษณ และ อาจเขยนไดในรป

d n

n 1 และ d n

n d

สญลกษณ d n

1 หมายถงเราจะบวก 1 เทากบจ านวนตวหารทเปนบวกของ n

ดงตวอยางตอไปน

tau (10)

sigma (10)


ตวอยำง 5.1.2 ก าหนดให n 4 จงหา n และ n

วธท ำ จ านวนเตม 10 มตวหารทเปนบวกจ านวน 4 ตว คอ 1, 2, 5 และ 10

ดงนน d n

n 1 1 1 1 1 4

และ d n

n d 1 2 5 10 18

จากตวอยางขางตน เราจะพบวาในการหาคา n และ n โดยใชบทนยาม

5.1.1 และบทนยาม 5.1.2 จะตองหาจ านวนของตวหารทเปนบวกทงหมดของ n ในกรณท n มคามากตองใชเวลามากในการนบจ านวนและหาผลบวกของตวหารทเปนบวกของ nทฤษฎตอไปนจะชวยในการหาตวหารทเปนบวกของจ านวนเตมบวก n เมอ n เขยนในรปแบบบญญต (canonical form) (สมใจ จตพทกษ , 2547, น. 114-115; สมวงษ แปลงประสพโชค, 2545, น. 99; Burton, D. M., 2007, pp. 104-105)

ทฤษฎบท 5.1.1

ส าหรบจ านวนเตมบวก n ท n 1 ถารปแบบบญญตของจ านวนเตมบวก

1 2 r1 2 rk k kn p p p เปนกำรแยกตวประกอบเฉพำะ (prime factorization) ของ

จ านวนเตม โดยท ip เปนจ านวนเฉพาะทไมซ ากน และ

ik เปนจ านวนเตมบวก โดยท

i 1,2, , r จะไดวาตวหารทเปนบวกของ n คอจ านวนเตม d ทงหลายทเขยนในรป

1 2 r1 2 ra a ad p p p โดยท i i

0 a k i 1,2, , r

บทพสจน สงเกตวาตวหาร d 1 เมอ

1 2 ra a a 0

และ d n เมอ 1 1 2 2 r ra k ,a k , ,a k

สมมตให d เปนตวหารของ n นอกเหนอจาก 1 และ n ดงกลาวแลว ดงนน 'n dd โดยท nd 1, d 1 เขยน d และ 'd ในรปผลคณ

ของจ านวนเฉพาะ (ไมจ าเปนตองแตกตางกน) ดงน

1 2 sd q q q และ 1 2

'ud t t t

โดยท i jq , t เปนจ านวนเฉพาะ


1 2 r 1 1 21 2 rk k k

usp p p q q t t t จ านวนเตมบวก n เขยนในรปผลคณของจ านวนเฉพาะ 2 จ านวน จากทฤษฎบท 2.5.4 ทฤษฎบทหลกมลของเลขคณต จ านวนเฉพาะ

iq

แตละจ านวนเทากบ jp เพยงชดเดยว รวมจ านวนเฉพาะทเทากนเขา

ดวยกนจะได

1 2 1 2

a ar

1 2 rasd q q q p p p

โดยทยอมให ia 0 ได

ในทางกลบกน จ านวนเตม 1 2

a ar

1 2 rad p p p โดยท

i i0 a k

เปนตวหารของ n สามารถเขยนไดดงน

1 2

1 2 1 2

k kr

a ka kr r

1 2 r

1 2 r 1 1 2 2 r r

k

a k

'

a a a

p p p

p p p p p

n

d

p

d

โดยท 1 2

k kr

1 1 2 2 r r' k a a ad p p p

และ i ik a 0 ส าหรบแตละ i

ดงนน 'd 0 และ d n

เราจะใชทฤษฎบท 5.1.1 ชวยในการพสจนทฤษฎบทตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 147; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 114-115; Burton, D. M., 2007,

pp. 104-105)


ส าหรบจ านวนเตมบวก n ท n 1 ถา 1 2 r1 2 rk k kn p p p เขยนในรปผลคณของ

จ านวนเฉพาะ จะไดวา 1 1 2 r

n k 1 k 1 k 1

2 1 2 r

1 2 r

k 1 k 1 k 11 2 rp 1 p 1 p 1

np 1 p 1 p 1


บทพสจน จากทฤษฎบท 5.1.1 ตวหารทเปนบวกของ n เปนจ านวนเตมบวก d ทงหมดอย

ในรป

1 2 1 2

a ar

1 2 rasd q q q p p p โดยท

i i0 a k

แต 1a สามารถเลอกคาตาง ๆ ได

1k 1 วธ

2a สามารถเลอกคาตาง ๆ ได

2k 1 วธ ดงนนตวหารทเปนไปไดของ n จะมจ านวนทงหมดเทากบ

1 2 rk 1 k 1 k 1 นนคอ

1 2 rn k 1 k 1 k 1

ในการค านวณ n พจารณาผลคณ

1 2 r2 2 2

1 1 2 2 r r

k k k1 2 r1 p p p 1 p p p 1 p p p

ตวหารทเปนบวกของ n แตละตว จะปรากฏเปนพจนหนงและพจนเดยวในการ กระจายผลคณ ดงน

1 r2 2

1 1 r r

k k1 rn 1 p p p 1 p p p

โดยใชสตรผลรวมของอนกรมเรขาคณตส าหรบแตละตวประกอบ i ในพจนทาง ขวามอ จะได

i

i 12

i ii

k 1k ii

p 1n 1 p p p

p 1

ดงนน

1 2

1 2 r

rk 1 k 11 2 r

k 1p 1 p 1 p 1n

p 1 p 1 p 1

โดยทวไป นยมเขยนแทนผลคณของจ านวนเตมดวยสญลกษณ ตวอยางเชน

1 d 5

d 9

f d f 1 f 2 f 3 f 4 f 5

f d f 1 f 3 f 9

p 30

f p f 2 f 3 f 5 โดยท p เปนจ านวนเฉพาะ


โดยใชสญลกษณดงกลาวน ผลทไดในทฤษฎบท 5.1.2 สามารถเขยนในแบบทกะทดรดไดดงน

i1 i r

n k 1

และ

ik 1

i

i1 i r

p 1n

p 1

ตวอยำง 5.1.3 ก าหนดให n 180 จงหา n และ n

วธท ำ จ านวนเตม 180 เขยนในรปผลคณของจ านวนเฉพาะ คอ 2 2180 2 3 5 ดงนน 180 2 1 2 1 1 1 18

และ 3 3 22 1 3 1 5 1 7 26 24

180 7 13 6 5462 1 3 1 5 1 1 2 4

จากตวอยาง 5.1.3 สงเกตวา

22 10 20 2 5 2 1 1 1 6 และ

2 10 20 2 4 8

ดงนน 2 10 2 10 ในขณะเดยวกน

3 22 1 5 1 7 24

2 10 20 422 1 5 1 4

และ

2 2 22 1 2 1 5 1 3 3 24

2 10 20 542 1 2 1 5 1 4

ดงนน 2 10 2 10

จากการค านวณนจะเหนไดวาโดยทวไปไมเปนจรงเสมอไปทจะไดวา

mn m n และ mn m n

แตฟงกชนดงกลาวนจะเปนจรงถาเราจ ากดเงอนไขวา m และ n เปนจ านวน

เฉพาะสมพทธ ดงบทนยามตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 149; จราภา


ลมบพศรพร, 2555, น. 66; นพพร ธนะชยขนธ, 2543, น. 207; สมใจ จตพทกษ, 2547,

น. 117; Burton, D. M., 2007, p. 107; Raji, W., 2013, p. 70)

บทนยำม 5.1.3

ให f เปนฟงกชนเลขคณต จะเรยก f วาเปนฟงกชนเชงการคณ (multiplicative

function) กตอเมอ f mn f m f n ส าหรบจ านวนเตมบวก m และ n ซง

m,n 1 จะเรยก f วาเปนฟงกชนเชงการคณบรบรณ (completely

multiplicative function) กตอเมอ f mn f m f n ส าหรบจ านวนเตมบวก

m และ n

ตวอยำง 5.1.4 ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n จงตรวจสอบวาฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเชงการคณหรอไม

1) f n 1

2) g n n

3) 2h n n

4) i n 2n 3

วธท ำ 1) ให f n 1 ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n

ถา m และ n เปนจ านวนเตมบวกแลว f mn 1 1 1 f m f n

ดงนน f เปนฟงกชนเชงการคณ 2) ให g n n ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n

ถา m และ n เปนจ านวนเตมบวกแลว g mn mn g m g n

ดงนน g เปนฟงกชนเชงการคณ 3) ให 2h n n ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n

ถา m และ n เปนจ านวนเตมบวกแลว

2

2 2h mn mn m n h m g n

ดงนน h เปนฟงกชนเชงการคณ


4) ให i n 2n 3 ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n ถา m และ n เปน

จ านวนเตมบวกแลว i mn 2mn 3 2n 3 2m 3 i m i n

ดงนน i ไมเปนฟงกชนเชงการคณ

เราพจารณาฟงกชนเชงการคณอยางงาย ก าหนดให f n 1 และ g n n

ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n โดยอปนยเชงคณตศาสตร ถา f เปนฟงกชนเชงการคณ และ

1 2 rn ,n , ,n เปนเปนจ านวนเฉพาะสมพทธเปนค ๆ จะไดวา

1 2 r 1 2 rf n ,n , ,n f n f n f n

ฟงกชนเชงการคณ เราทราบวาถา n เปนจ านวนเตมบวกทมากวา 1 แลวเราสามารถแยกตวประกอบของ n ในรปจ านวนเฉพาะยกก าลง (prime power) ไดเปน

1 2 r1 2 rk k kn p p p ถา f เปนฟงกชนเชงการคณ จะได

1 2 r1 2 rk k kf n f p f p f p

ถา f เปนฟงกชนเชงการคณ ทมคาไมเปนศนย นนคอจะมจ านวนเตม n บางคาท

f n 0 จะได

f n f n 1 f n f 1

ดงนน ในกรณนจะไดวา f 1 1

เราจะพสจนวา ฟงกชน และฟงกชน เปนฟงกชนเชงการคณ ดงทฤษฎบท

ตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย , 2558, น. 149; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 118;

Burton, D. M., 2007, p. 107)


ฟงกชน และฟงกชน เปนฟงกชนเชงการคณ

บทพสจน ก าหนดให m และ n เปนจ านวนเตมบวกซง m,n 1

ถา m n 1 แลว 1 1 1 1 และ 1 1 1 1

เปนฟงกชนเชงการคณ


สมมตให m 1, n 1 และ m, n เขยนเปนผลคณของจ านวนเฉพาะใน

รปแบบบญญตไดเปน

1 2 r1 2 rk k km p p p และ j j

1 21 2 j

ssn q p p

เปนผลคณของจ านวนเฉพาะของ m และ n เนองจาก m,n 1

ดงนน ไมม ip ตวใดเทากบ

iq จะไดวา mn เขยนในรปผลคณของจ านวน

เฉพาะไดเปน j j

1 2 r 1 21 2 r 1 2k k k j

ssmn p p p q p p

โดยทฤษฎบท 5.1.2 จะได

1 r 1 smn k 1 k 1 j 1 j 1 m n

ในท านองเดยวกน โดยทฤษฎบท 5.1.2 จะได

1 1j

1 r 1 s

rjk 1 1

1 r 1k 1

s

1sp 1 p 1 p 1 p 1mn m n

p 1 p 1 p 1 p 1

ดงนน ฟงกชน และฟงกชน เปนฟงกชนเชงการคณ

ทฤษฎตอไปจะกลาวถงฟงกชนรวมยอด (summation function) (จราภา ลม

บพศรพร , 2555, น. 65; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 119-120; Raji, W., 2013, p.

81)


ถาฟงกชน f เปนฟงกชนเชงการคณ และ F นยามโดย

d n

F n f d

จะไดวา F เปนฟงกชนเชงการคณ เรยกฟงกชน F วา ฟงกชนรวมยอด (summation function) ของ f


1 ถา n 1

0 ถา 2n p n ส าหรบจ านวนเฉพาะ p บางตว

r1 ถา

1 2 rn p p p เมอ

ip เปนจ านวนเฉพาะทแตกตางกน

บทพสจน ก าหนดให m และ n เปนจ านวนเตมบวกซง m,n 1 ดงนน

2

1

1 2d mn d m

d n|

F mn f d f d d

ทงนเพราะตวหาร d ของ mn สามารถเขยนในรปผลคณของตวหาร 1d ของ

m และ ตวหาร 2d ของ n ซง 1 2

d ,d โดยบทนยามของฟงกชนเชงการคณ

จะได

1 2 1 2f d d f d f d

ดงนน

2

1 1 2

1 2 1 2d m d m d n

d n|

F mn f d d f d f d

F m F n

5.2 ฟงกชนเมอบอส

ในหวขอนจะศกษาฟงกชนเลขคณตทนาสนใจอกฟงกชนหนง เปนฟงกชนบนเซต

ของจ านวนเตมบวกทประยกตใชไดมาก นนคอ ฟงกชนเมอบอส (Möbius function)

ดงบทนยามตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย , 2558, น. 149; จราภา ลมบพศรพร ,

2555, น. 76; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 123; Burton, D. M., 2007, p. 112; Raji,

W., 2013, p. 79; Rosen, K. H., 2005, p. 270)

บทนยำม 5.2.1 ฟงกชนเมอบอส (Möbius function)

ฟงกชนเมอบอส (Möbius function) เขยนแทนดวย เปนฟงกชนเลขคณต ส าหรบ n เปนจ านวนเตมบวก ซงนยามโดย

n


บทนยาม 5.2.1 อาจกลาวไดวา n 0 ถา n ไมปลอดก าลงสอง (not

square-free) และ r

n 1 ถา n ปลอดก ำลงสอง (square free) และมตว

ประกอบจ านวนเฉพาะ r ตว ดงตวอยางตอไปน

ตวอยำง 5.2.1 จงหา n เมอ n เปนจ านวนตอไปน

1) 2,3,5 2) 4,27,625 3) 10,30

วธท ำ 1) 2 1, 3 1 และ 5 1

2 24 2 0 เพราะวา 22 4

327 3 0 เพราะวา 23 27

4625 5 0 เพราะวา 25 625

3 10 2 5 1 1 1

30 2 3 5 1 1 1 1

การใช Wolfram Alpha เพอหาฟงกชนเมอบอส ส าหรบจ านวนเตมบางจ านวน

เชน n 3 และ n 625 หรอ 3 และ 625 ดงภาพท 5.2.1 และ ภาพท

5.2.2

ผลลพธ 1

ภำพท 5.2.1 3 1

moebius (3)


ผลลพธ 0

ภำพท 5.2.2 625 0

จากตวอยาง 5.2.1 สรปไดวา เปนฟงกชนเชงการคณ ดงทฤษฎบทตอไปน

(จรนทรทพย เฮงคราวทย , 2558, น. 152; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 124, น. 97;

Burton, D. M., 2007, p. 112; Raji, W., 2013, p. 80; Rosen, K. H., 2005,

p. 270)


ฟงกชน เปนฟงกชนเชงการคณ

บทพสจน ตองการแสดงวา เปนฟงกชนเชงการคณ นนคอตองแสดงวา

mn m n

ก าหนดให m และ n เปนจ านวนเตมบวกซง m,n 1

ถา m n 1 แลว 1 1 1 1

ตอไปสมมตวา m 1 และ n 1

กรณ ถามจ านวนเฉพาะ p ทท าให 2p m หรอ 2p n แลว 2p mn

ดงนน

mn 0 m n

กรณ ถาไมมจ านวนเฉพาะ p ทท าให 2p m และไมมจ านวนเฉพาะ q

ทท าให 2q n ดงนน m และ n เปนจ านวนเตมทปลอดก าลงสองกลาวคอ

1 2 rm p p p และ

1 2 sn q q q

moebius (625)


1 ถา n 1

0 ถา n 1

โดยท ip และ

jq เปนจ านวนเฉพาะทแตกตางกน ทงนเนองจาก m,n 1

จะไดวา

1 2 r 1 2

r s r s

smn p p p q q q 1 1 1 m n

ดงนน ฟงกชน เปนฟงกชนเชงการคณ

ทฤษฎบทตอไปเราจะพสจนวาฟงกชน มคาเพยง 0 กบ 1(สมใจ จตพทกษ,

2547, น. 124; Burton, D. M., 2007, p. 113; Rosen, K. H., 2005, p. 271)


ส าหรบ n เปนจ านวนเตมบวก ซงนยามโดย

d n

d

โดยท d เปนตวหารทเปนบวกทงหมดของ n

บทพสจน ในกรณท n 1 เราได

d n

d 1 1

สมมตให n 1 และให d n

F n f d

เนองจาก เปนฟงกชนเชงการคณ โดยทฤษฎบท 5.1.4 จะไดวา F เปนฟงกชน เชงการคณ ดงนน ถา n เขยนในรปผลคณของจ านวนเฉพาะในแบบมาตรฐานได เปน

1 2 rk k k

1 2 rF n F p F p F p

ส าหรบ kp ใด ๆ ตวหารทเปนบวกของ kp คอ 2 k1,p,p , ,p ดงนน

k

k 2 k

d|p

F p d 1 p p p

1 p 0


สตรทส าคญของฟงกชน เปนสตรการผกผนเมอบอส ดงทฤษฎบทตอไปน

(จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 155; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 125; Burton,

D. M., 2007, pp. 113-114; Raji, W., 2013, p. 81; Rosen, K. H., 2005, pp.

271-272)

ทฤษฎบท 5.2.3 สตรกำรผกผนเมอบอส (Möbius inversion formular)

ก าหนดให f เปนฟงกชนเลขคณต และ F เปนฟงกชนรวมยอดของ f ทสมพนธโดยสตร

d n

F n f d

จะไดวา d n

nf n d F

d

ส าหรบจ านวนเตมบวก n

บทพสจน

เราเรมจากการแทนคา n

de

f e ในพจนฝงขวามอ คอ nFd

จากบทนยามฟงกชน F เปนฟงกชนรวมยอดของ f จะได

nd n d n

ed

nd F d f e

d

nd n

ed

d f e

เนองจาก d n และ ned

กตอเมอ e n และ nde

จะไดวา

n nd n e n

e dd e

d f e f e d


ne n

de

f e d

โดยทฤษฎบท 5.2.2 จะไดวา n

de

d 0

ยกเวนท n 1e นนคอ เมอ

n e ผลบวกเทากบ 1 ดงนน

e nne n

de

f e d f e 1 f n

นนคอ d n

nf n d F

d

ตวอยำง 5.2.2

1) d n

n 1 จะไดวา d n

nd 1

d

2) d n

n d จะไดวา d n

nd n

d

5.3 ฟงกชนออยเลอร-ฟ

ฟงกชนเลขคณตทส าคญมากอกฟงกชนหนงคอ ฟงกชนออยเลอร-ฟ ซงไดนยามไวในหวขอ 3.7 แลววา m เปนจ านวนสมาชกในระบบสวนตกคางลดรปมอดโล m นน

คอ จ านวนของจ านวนเตมบวกทงหมดทไมเกน n และจะเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ m ในการหาคาของฟงกชนออยเลอร-ฟ โดยใชบทนยาม 3.7.1 เราตองหาจ านวนเตมบวกทไมเกน m และเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ m กอน จากนนจงหาจ านวนของจ านวนเตมบวกเหลาน จะเหนวา ถาคา m มาก จะไมสะดวกในการหาคา m ในหวขอนจะเปน

การหาสตรทใชค านวณหาคาของ m เมอ m เปนจ านวนเตมบวก พรอมทงสมบตท

ส าคญของฟงกชนน งายทสดคอเมอ m เปนจ านวนเฉพาะ ดงจะกลาวในทฤษฎบทตอไปน


(จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 159; อจฉรา หาญชวงศ, 2542, น. 58; Raji, W.,

2013, p. 73; Rosen, K. H., 2005, p. 240)


ถา p เปนจ านวนเฉพาะ แลว p p 1

บทพสจน สมมต p เปนจ านวนเฉพาะ จะไดวา จ านวนเตมบวกทไมเกน p จะเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ p ทกจ านวน ซงจะมอยทงหมด p 1

ตอไปจะกลาวถง m เมอ km p ดงทฤษฎบทตอไปน (จรนทรทพย เฮง

คราวทย, 2558, น. 160; จราภา ลมบพศรพร, 2555, น. 83; อจฉรา หาญชวงศ, 2542,

น. 58; Raji, W., 2013, p. 73; Rosen, K. H., 2005, p. 241)


ถา p เปนจ านวนเฉพาะ และ k เปนจ านวนเตมบวก แลว

k k k 1p p p

บทพสจน สมมตให p เปนจ านวนเฉพาะ และ k เปนจ านวนเตมบวก

เหนไดโดยงายวา km,p 1 กตอเมอ p | m และจะมจ านวนเตมบวก

k 1p ระหวาง 1 ถง kp ทหารดวย p กลาวคอ k 1p,2p,3p ,p p

ดงนน k1,2, ,p ประกอบดวยจ านวนเตม k k 1p p จ านวน

ทเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ p นนคอ k k k 1p p p


ตวอยำง 5.3.1 จงหา 32

วธท ำ 5 5 5 132 2 2 2 16

การใช Wolfram Alpha เพอหาฟงกชนออยเลอร-ฟ ส าหรบจ านวนเตม m

โดยท m 32 หรอ 32 ดงภาพท 5.3.1

ผลลพธ 16

ภำพท 5.3.1 32 16

ในการหาสตรค านวณ m ส าหรบ m ทเปนจ านวนเตมบวก เราจะพสจนวา

เปนฟงกชนเชงการคณ ดงทฤษฎบทตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 161;

สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 138; อจฉรา หาญชวงศ, 2542, น. 58-59; Raji, W., 2013,

p. 74; Rosen, K. H., 2005, p. 241-242)


เปนฟงกชนเชงการคณ นนคอ ส าหรบจ านวนเตมบวก m และ n ซง m,n 1

mn m n

บทพสจน สมมตให m และ n ท m,n 1

ถา m 1 หรอ n 1 แลว mn m หรอ mn n

เพราะวา 1 1 ดงนน mn m n

ตอไปสมมตวา m 1 และ n 1 จดเรยงล าดบจ านวนเตม ทอยระหวาง 1 ถง mn ดงน

phi (32)


1 m 1 2m 1 n 1 m 1

2 m 2 2m 2 n 1 m 2

3 m 3 2m 3 n 1 m 3

r m r 2m r n 1 m r

m 2m 3m mn

เราจะนบจ านวนเตม k ท k,mn 1

นนคอ เราตองนบจ านวนเตม k ท k,m 1 และ k,n 1

ให r เปนจ านวนเตมท 1 r m ดงนน m,r m, lm r เมอ l เปนจ านวนเตม

เพราะฉะนน m,r 1 กตอเมอ m,lm r 1

นนคอ ถา r เปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ m แลวจะไดวาสมาชกในแถวท r จะเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ m ดวย ตอไปจะพจารณาวาในแถวท r มสมาชกอยเทาไหรเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ n เนองจาก m,n 1 ดงนน ส าหรบทก ๆ 0 l, j n 1 จะไดวา

lm r jm r modn กตอเมอ l j modn

เพราะวา 0 l, j n 1 ดงนน l j เพราะฉะนนจงไดวา จ านวนเตม n

จ านวนในแถวท r จะเปนระบบสวนตกคาง บรบรณมอดโล n นนคอในแถวท r จะม n จ านวนทเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ n แตเนองจาก จ านวนของ

จ านวน เต ม r ท เ ป นจ านวน เฉพาะส ม พทธ ก บ m และ n ม ท งหมด m n จ านวน นนคอ mn m n

จงสรปไดวา เปนฟงกชนเชงการคณ


วธท ำ 5 5 5 132 2 2 2 16


รวมทฤษฎบท 5.3.2 และ 5.3.3 จะไดสตรใหม ดงทฤษฎบทตอไปน (จรนทรทพย

เฮงคราวทย, 2558, น. 162; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 139-140; อจฉรา หาญชวงศ,

2542, น. 59; Raji, W., 2013, pp. 74-75; Rosen, K. H., 2005, p. 242-243)


ส าหรบจ านวนเตมบวก n เขยนในรปผลคณของจ านวนเฉพาะในรปแบบบญญตไดเปน 1 2 rk k k

1 2 rn p p p แลวจะไดวา

1 2 r

1 1 1n n 1 1 1

p p p

บทพสจน โดยทฤษฎบท 5.3.2 จะไดวา 1 i r

i i i i1

i

k k k ki i i i

1p p p p 1

p

โดยทฤษฎบท 5.3.3 จะไดวา

1 2 r

1 2 r

1 2 r

1 2 r

1 2 r

1 2 r

k k k

k k k

1 1 1n p 1 p 1 p 1

p p p

1 1 1p p p 1 1 1

p p p

1 2 r

1 1 1n 1 1 1

p p p

จากทฤษฎบท 5.3.4 เราอาจเขยน n โดยใชสญลกษณ ดงน

i i

r r1

i 1 i 1 i

k ki i

1n p p n 1

p


วธท ำ 3 3 1 11000 2 5 1000 1 1 400

2 5


การใช Wolfram Alpha เพอหาฟงกชนออยเลอร-ฟ ส าหรบจ านวนเตม m

โดยท m 1000 หรอ 1000 ดงภาพท 5.3.2

ผลลพธ 400

ภำพท 5.3.2 1000 400

5.4 ฟงกชนจ ำนวนเตมมำกสด

ฟงกชนจ ำนวนเตมมำกสด (greatest integer) หรอ ฟงกชนวงเลบ (bracket

function) มสวนส าคญในการศกษาปญหาการหารลงตว แมวาฟงกชนนไมไดเปน

ฟงกชนเลขคณต แตจะเปนฟงกชนทใชกนมากในทฤษฎจ านวนฟงกชนหนง ดงบทนยามตอไปน (สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 129; อจฉรา หาญชวงศ, 2542, น. 64; Burton, D.

M., 2007, p. 117)

บทนยำม 5.4.1

ส าหรบจ านวนจรง x ใด ๆ ก าหนดโดย x คอจ านวนเตมมากสดทนอยกวาหรอ

เทากบ x นนคอ x 1 x x

ตวอยำง 5.4.1 32,

2

2 1,

53,

2

4

ในกรณ x เปนจ านวนเตมจะไดวา x x จากบทนยาม 5.4.1 จ านวนจรง x ใด ๆ จะสามารถเขยนไดเปน

x x โดยท 0 1

phi (1000)


สมบตเบองตนของฟงกชน x ดงทฤษฎบทตอไปน (สมใจ จตพทกษ, 2547, น.

129; สมวงษ แปลงประสพโชค, 2545, น. 109; อจฉรา หาญชวงศ, 2542, น. 65)


ให x,y เปนจ านวนจรงใด ๆ n เปนจ านวนเตม จะได 1 x n x n

2 x y x y

3 x x 0 ถา x เปนจ านวนเตม หรอ 1 ถา x

ไมเปนจ านวนเตม

4 xx

n n

บทพสจน

1 ให x x , 0 1

ดงนน x n x n , 0 1

นนคอ x n x n x n x n

2 ให 1 1

x x , 0 1

2 2

y y , 0 1

ดงนน 1 2 1 2

x y x y , 0 2

ถา 1 2

0 1 จะได x y x y

ถา 1 2

1 2 จะได x y x y 1

นนคอ x y x y

3 ถา x เปนจ านวนเตม x x และ x x

จะได x x x x 0

ถา x ไมเปนจ านวนเตม x x , 0 1

คณดวย 1 จะได x x , 0 1

1 x 1


ดงนน x 1 x เพราะวา 0 1 1

จะได x x 1

นนคอ x x 0 ถา x เปนจ านวนเตม หรอ 1 ถา x ไมเปนจ านวนเตม

4 ให x x, 0 1

n n

ดงนน xx n n

n

โดย 1

จะได xx n n

n

เพราะฉะนน x nx

n n n

แต n n

0 1n n

นนคอ xx

n n

ตวอยำง 5.4.2 1 2.5 5 2.5 5 7

2 2.5 3.5 2.5 3.5 6 5

3 2 2 0

2 2.5 2 3 1

4 5.25.2

2 2

2 2


การใช Wolfram Alpha เพอหาฟงกชนจ านวนเตมมากสด เชน

2.5 5 7 ดงภาพท 5.4.1

ผลลพธ 7

ภำพท 5.4.1 2.5 5 7

ตวอยำง 5.4.3 จงหา k

k 1

50

2

วธท ำ k 1 2 3 4 5 6

k 1

50 50 50 50 50 50 50

2 2 2 2 2 2 2

24 12 6 3 1 0 46

ถา n เปนจ านวนเตมบวก และ p เปนจ านวนเฉพาะเราจะหาก าลงสงสดของ p ดงทฤษฎบทตอไปน (สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 130-131; สมวงษ แปลงประสพ

โชค, 2545, น. 113; อจฉรา หาญชวงศ, 2542, น. 67)

ทฤษฎบท 5.4.2 สตรของเดอโพลกแนค (De Polignac’s formular)

ถา n เปนจ านวนเตมบวก และ p เปนจ านวนเฉพาะ จะไดวา ก าลงสงสดของ p ท

ep n! คอ p kk 1

ne

p

บทพสจน ตงแต 1 ถง n มจ านวนทหารดวย p ลงตว ไดแก p,2p,3p, , tp

โดยท t เปนจ านวนเตมมากสด ซง tp n นนคอ nt

p

floor (2.5+5)


ตงแต 1 ถง n มจ านวนทหารดวย 2p ลงตว ไดแก 2 2 2 2

2

np ,2p ,3p , , p

p

มทงหมด 2

n

p

จ านวน ตงแต 1 ถง n มจ านวนทหารดวย kp ลงตว

เมอ kp n ไดแก k k k k

k

np ,2p ,3p , , p

p

มทงหมด k

n

p

จ านวน จาก n! 1 2 3 n

ถาน า p ไปหารตวประกอบทางขวามอตวละ 1 ครงจะไดลงตว np

ครง

ตอมาน า p ไปหารตวเลขซงเปนผลมาจากครงแรกจะไดลงตว 2

n

p

ครง

เมอน า p ไปหารตวเลขทางขวาตวละครงไปเรอย ๆ จะไมอาจหารไดอก จะไดจ านวนครงของการหารดวย p รวมทงสน ดงตอไปน

2 3 k

k 1

n n n n

p p p p

นนคอก าลงสงสดของ p คอ p kk 1

ne

p

ทท าให ep n!

ผลของทฤษฎบท 5.4.2 ท าใหไดสตรการเขยน n! เปนผลคณของจ านวนเฉพาะชอวาสตรของเลอฌองดร (Legendre’s fomular) ดงน

kk 1

n

p

p n

n! p

ตวอยำง 5.4.4 จงหาคา pe ทมากทสด ท e3 60!

วธท ำ p k 1 2 3k 1

60 60 60 60e

3 3 3 3

20 6 2 0 28


ตวอยำง 5.4.5 จงเขยน 20! เปนผลคณจ านวนเฉพาะ

วธท ำ k

k 1

p 20

20

p20! p

ถา p 2 จะได k 1 2 4

k 13

20 20 20 20 20

2 2 2 2 2

10 5 2 1

18

ถา p 3 จะได k 1 2

k 13

20 20 20 20

3 3 3 3

6 2 0

8


k 13

20 20 20 20

5 5 5 5

4 0

4


k 1

20 20 20

7 7 7

2 0

2

ถา p 11,13,17,19 จะได k

k 1

n1

p

ดงนน 18 8 4 220! 2 3 5 7 11 13 17 19

การใช Wolfram Alpha เพอหาผลคณจ านวนเฉพาะ ของ 20! ดงภาพท 5.4.2

ผลลพธ 18 8 4 22432902008176640000 2 3 5 7 11 13 17 19

ภำพท 5.4.2 ผลคณจ านวนเฉพาะ ของ 20!

factor 20!


5.5 จ ำนวนสมบรณ จ ำนวนแมรแซน จ ำนวนแฟรมำ

ในหวขอนจะกลาวถงจ านวนทมสมบตพเศษ ในบทนคอจ านวนสมบรณ (perfect

number) และเรองทเกยวของคอ จ านวนแมรเซน (Mersenne number) และจ านวนแฟรมา (Ferma number) เราจะเรมตนดวยจ านวนสมบรณ ดงบทนยามตอไปน (สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 153; Raji, W., 2013, p. 82; Rosen, K. H., 2005, p. 257)

บทนยำม 5.5.1 จ ำนวนสมบรณ (perfect number)

จ านวนเตมบวก n จะเรยกวา จ ำนวนสมบรณ (perfect number) ถา n 2n

ตวหารทเปนบวกของ n ทมคานอยกวา n บางครงเรยกวา ตวหำรแท (proper

divisors) ของ n ดงตวอยางตอไปน

ตวอยำง 5.5.1 จ านวนสมบรณตวแรกคอ 6 และ 1,2 และ 3 เปนตวหารแทของ 6 จะได 6 1 2 3 ดงนน 6 2 6 12

จ านวนสมบรณตวทสอง คอ 28 เนองจาก 28 1 2 4 7 14 ดงนน 6 2 28 56

นนคอ 6 และ 28 เปนจ านวนสมบรณ

ในอลเมนตเลม 9 (Elements, Book IX) ยคลดพบวาถาผลบวก 2 3 k 11 2 2 2 2 p

เปนจ านวนเฉพาะแลว k 12 p เปนจ านวนสมบรณ (ซงเปนจ านวนค) จากสตรผลบวกของอนกรมเรขาคณต

2 3 k 1 k1 2 2 2 2 2 1 ทฤษฎของยคลดอาจเขยนได ดงทฤษฎบทตอไปน (สมใจ จตพทกษ, 2547, น.

155; Raji, W., 2013, p. 83)



จ านวนเตมบวก n เปนจ านวนสมบรณค กตอเมอ

kk 1n 2 2 1

ส าหรบจ านวนเตม k ซง k 2 และ k2 1 เปนจ านวนเฉพาะ

บทพสจน จะแสดงวา ถา kk 1n 2 2 1 ซง k เปนจ านวนเตม

จะไดวา k 2 และ k2 1 เปนจ านวนเฉพาะ แลว n เปนจ านวนสมบรณ สงเกตวา k2 1 เปนค จะไดวา k 1 k2 ,2 1 1 และ เปนฟงกชนเชงการแยกคณ

ดงนน kk 1n 2 2 1

จะได kk 12 2 1 และเนองจาก k2 1

เปนจ านวนเฉพาะ จะไดวา k k2 1 2 ดงนน n 2n

ในทางกลบกน สมมตวา n เปนจ านวนสมบรณ

ให rn 2 s ซง r และ s เปนจ านวนเตมบวก และ s เปนค เนองจาก r2 , 1s จะไดวา

r r 1n 2 s 2 1 s

จาก n เปนจ านวนสมบรณ จะได r 1 r 12 1 s 2 s

สงเกตวา r 1 r 12 1,2 1 และดงนน r 12 s

จะมจ านวนเตม q ทท าให r 1s 2 q จะไดวา

r 1 r 1 r 12 1 2 q 2 s

ดงนน r 12 1 q s 5.5.1

จะไดวา q s ดงนน บวก q เขาไปทงสองขางของสมการ 5.5.1 จะได

r 1 r 1s q 2 1 q q 2 q s

ตองแสดงวา q 1 จะไดวา ถา q 1 แลว s จะมตวหารทเปนบวกของ s ทแตกตางกนอยางนอย 3 ตว ดงนน s 1 s q


ดงนน q 1 และ r 1s 2 1 จะไดวา s s 1

จะไดวา s เปนจ านวนเฉพาะ เนองจากมเพยง 1 และ s ทหารลงตว นนคอ r 1rn 2 2 1 ซง r 12 1 เปนจ านวนเฉพาะ

จากทฤษฎบท 5.5.1 สามารถเขยนจ านวนสมบรณคในรปแบบ k2 1 และ k ตองเปนจ านวนเฉพาะ ดงทฤษฎบทตอไปน (Raji, W., 2013, p. 84; Rosen, K. H.,

2005, p. 258)


ถา k2 1 เปนจ านวนเฉพาะ ซง k เปนจ านวนเตมบวก แลว k เปนจ านวนเฉพาะ

บทพสจน สมมตวา k ไมเปนจ านวนเฉพาะ จะไดวา k rs ซง 1 r k และ 1 s k ส าหรบจ านวนเตม r และ s

จะไดวา r r s 1 r s 2k rrs2 1 2 2 1 2 2 2 11

จาก r 1 และ r2 1 1 หาร k2 1 ลงตว

จงท าใหไดวา k2 1 ไมเปนจ านวนเฉพาะ ซงขดแยงกบทสมมต ดงนน k เปนจ านวนเฉพาะ

จากทฤษฎบท 5.5.2 เราพบวาส าหรบจ านวนเฉพาะทอยในรป k2 1 เราพจารณาเพยงวา จ านวนเตม k เปนจ านวนเฉพาะ ผทศกษารปแบบนเปนนกคณตศาสตรชาวฝรงเศส ชอ มาแรง แมรแซน (Marin Mersenne, ค.ศ. 1588-1648) ซงเรยกจ านวนนวาจ านวนแมรแซน ดงบทนยามตอไปน (Raji, W., 2013, p. 84; Rosen, K. H.,

2005, p. 258)

บทนยำม 5.5.2 จ ำนวนแมรแซน (Mersenne numbers)

ถา k เปนจ านวนเตม จ านวนเตมทอยในรป k

kM 2 1 จะเรยกวา จ ำนวนแมรแซน (Mersenne numbers) ถา

kM เปนจ านวนเฉพาะ จะเรยกวา จ ำนวน

เฉพำะแมรแซน (Mersenne prime numbers)



7

7M 2 1 63 เปนจ านวนเฉพาะแมรแซน

11

11M 2 1 2047 23 89 เปนจ านวนประกอบ

อกทฤษฎบทหนงทนาสนใจ ทชวยในการพสจนวาจ านวนแมรแซนเปนจ านวนเฉพาะ ดงทฤษฎบทตอไปน (Raji, W., 2013, p. 85; Rosen, K. H., 2005, p. 259)


ถา p เปนจ านวนเฉพาะ แลวตวหารของจ านวนแมรแซน p

pM 2 1 จะเขยนอยในรป 2kp 1 ซง k เปนจ านวนเตมบวก

บทพสจน ก าหนดให

1p เปนการหารจ านวนเฉพาะ

p

pM 2 1

โดยทฤษฎบทเลกของแฟรมา จะไดวา 1 1

1

pp 2 1

จะไดวา 11p,p 11pp2 2 21, 1 1

เนองจาก 1p เปนตวหารรวมของ p2 1 และ 1 1p2 1

ดงนนไมเปนจ านวนเฉพาะสมพทธ

ดงนน 1p,p 1 p จะไดวา 1

p p 1 จะมจ านวนเตมบวก k

ดงนน 1p 1 mp จาก

1p เปนค แลว m เปนค ดงนน m 2k ดงนน

1p mp 1 2kp 1

ทกตวหารของ pM เปนผลคณของตวหารจ านวนเฉพาะของ

pM แตละตวหาร

จ านวนเฉพาะของ pM จะอยในรป 2kp 1


13

13M 2 1 8191 เปนจ านวนเฉพาะ โดยทฤษฎบท 5.5.3 จ านวนเฉพาะทงหมดของ

13M จะเขยนอยในรป

2 13 k 1 26k 1 หรอมจ านวนเฉพาะ

ทนอยกวาหรอเทากบ 13M 8191 90.504


จะได 2 13 2 1 26 2 1 53 เมอ k 2

2 13 3 1 26 3 1 79 เมอ k 3

นนคอ 53 และ 79 เปนจ านวนเฉพาะ

ตอไปเราจะกลาวถงจ านวนแฟรมา (Fermat numbers) ดงทฤษฎบทตอไปน (วสนต จนดารตนาภรณ, 2549; Raji, W., 2013, p. 85)

บทนยำม 5.5.3 จ ำนวนแฟรมำ (Fermat numbers)

ถา k เปนจ านวนเตมทไมเปนลบ ทเขยนอยในรป k

k2F 2 1 จะเรยกวา จ ำนวนแฟรมำ (Fermat numbers) ถา

kF เปนจ านวนเฉพาะ จะเรยกวา จ ำนวน

เฉพำะแฟรมำ (Fermat prime numbers)


0

02F 2 1 2 1 3 1

12F 2 1 4 1 5

4

2

22F 2 1 2 1 17 8

3

32F 2 1 2 1 257

16

4

42F 2 1 2 1 65537

จากจ านวนในตวอยาง 5.5.4 เปนจ านวนเฉพาะ ท าใหแฟรมาคาดการณวาจ านวนแฟรมาทกจ านวนเปนจ านวนเฉพาะ แตส าหรบ k 5 จะได 5F 4,294,967,297 แต แฟรมาไมไดตรวจสอบขอคาดการณน จนกระทงในป ค.ศ. 1732 ออยเลอรไดพสจนวา 5F หารดวย 641 ลงตว ดงนน

5F ไมใชจ านวนเฉพาะ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยำง 5.5.5 จงแสดงวา 641 หาร 5F ลงตว จาก 7 4 4641 5 2 1 2 5 และจาก

5

5 32 4 28 4 282F 2 641 5 2 11 2 1 2 2 1

4 4

28 7 28641 2 5 2 1 641 2 641 1 1

28 3 2641 2 641 4 641 6 641 4

จงไดวา 5641 F


เราจะพสจนสมบตเกยวกบจ านวนเหลาน ดงทฤษฎบทตอไปน (Raji, W., 2013,

p. 86)


ส าหรบจ านวนเตม k จะไดวา 0 1 2 k 1 kF FF F F 2

บทพสจน เราจะพสจนทฤษฎบท โดยเรมตนท k 1 จะได

1 1 0F F 3

และ 1F 2 5 2 3 ดงนน

0 1F F 2 3 เปนจรง

สมมตวา 0 1 2 k 1 kF FF F F 2

พจารณา 0 1 2 k k 1F FF F F 2

จะไดวา 0 1 2 k k kF FF F F 2 F

k 1

k k k 12 2 22 1 2 1 2 1 F 2

เราจะใชทฤษฎบท 5.5.5 พสจนวาจ านวนแฟรมาเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกน (วสนต จนดารตนาภรณ, 2549; Raji, W., 2013, p. 86)


ก าหนดให m และ n เปนจ านวนเตมทไมเปนลบ และ m n จะไดวา

m nF ,F 1

บทพสจน โดยไมเสยนยทวไป สมมตวา m n โดยทฤษฎบท 5.5.4 จะไดวา

0 1 2 n 1 nmFFF F F F 2

สมมตวามตวหารรวมของ mF และ nF ก าหนดใหเปน d จะไดวา d หาร

n 0 1 2 n 1mF FFF F F 2

ดงนน d 1 หรอ d 2 แตเนองจาก nF เปนจ านวนคส าหรบ n ทกตว จงไดวา d 1 นนคอ mF และ nF เปนจ านวนเฉพาะสมพทธกน


ตวอยำง 5.5.6 จากตวอยาง 5.5.4 จะเหนวา 0 1

F ,F 3,5 1 0 2F ,F 3,17 1

0 3F ,F 3,257 1 1 3

F ,F 5,257 1

3 4F ,F 257,65537 1

ในบทท 5 เราไดกลาวถงฟงกชนเลขคณตหรอฟงกชนทฤษฎจ านวน ในบทนไดแนะน า จ านวนและผลบวกของตวหารทเปนบวก ฟงกชนเมอบอส ฟงกชนออยเลอร-ฟ ฟงกชนจ านวนเตมมากสด จ านวนสมบรณ จ านวนแมรแซน และจ านวนแฟรมา ฟงกชนเหลานมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก โดยเฉพาะฟงกชนออยเลอร-ฟ จะเกยวของในการหารากปฐมและดรรชน ดงจะกลาวในบทท 6 ตอไป

แบบฝกหดบทท 5

1. จงหาจ านวนตวหารและผลบวกของตวหารของจ านวนตอไปน

2.1 122 2.2 1424

2.3 736 3 5 22.4 2 3 7 11

2. จงแสดงวา 242 243 244 245

3. จงแสดงวา n n 1 n 2 n 3 n 4

ถา n 40311

4. จงแสดงวา ผลบวกของตวหาร 2326 และ 2407 มคาเทากน 5. จงแสดงวาจ านวนตอไปน 17, 18, 26 และ 27 มสมบตวา แตละจ านวนเทากบ

ผลบวกของตวหารของก าลงสามของจ านวนนน

6. ส าหรบ k 2 จงแสดงวา k 1n 2 สอดคลองกบสมการ n 2n 1

7. จงหาคาของฟงกชนเมอบอส ตอไปน

7.1 12 7.2 50

7.3 10! 7.4 1001


8. ส าหรบจ านวนเตมบวก n จงแสดงวา

n n 1 n 2 n 3 0

9. จงหาคาของ n ส าหรบจ านวนเตม n โดยท 100 n 110

10. ส าหรบจ านวนเตม n 3 จงแสดงวา n

k 1

k! 1

11. จงหา n เมอก าหนดจ านวนเตม n ใหดงตอไป

11.1 406 11.2 1001

11.3 1228 11.4 36000 12. จงแสดงวา ส าหรบ n 1586 จะได n n 1 n 2

13. จงแสดงวา 13.1 ถา n เปนจ านวนเตมคแลว 2n n

13.3 3n 3 n กตอเมอ 3 n

14. จงพสจนวา n n 2 เปนจรงเมอ n 2 2p 1 โดยท p และ

2p 1 เปนจ านวนเฉพาะค 15. จงพสจนวา ถา x เปนจ านวนเตมแลว x x 0 และ

x x 1

16. จงหาก าลงของ 2,3 และ 5 ทอยในรปแบบบญญตของ 533!

17. จงหาจ านวนเตมบวก n ทนอยทสดท 75 หาร n! 18. จงหาจ านวนของจ านวนทลงทายดวยศนยใน 1000! 19. จงหาจ านวนเตมทอยระหวาง 1000 แล 10000 ทหารดวย 7 ลงตว 20. จงหาจ านวนของจ านวนเตมทนอยกวา 1000 ทหารดวย 3 ลงตวแตหารดวย 4

ไมลงตว 21. จงหาจ านวนสมบรณมา 8 จ านวน

22. จ านวนแมรแซน p

pM 2 1 เมอ p 2,3,5,7 และ 11 มจ านวนใดบางทเปนจ านวนเฉพาะ

23. จงหาพสจนวา kF อยในรป 12k 5 เมอ k 0

Documents

¸šทที่ 5(1).pdf · 2018. 11. 12. · บทที่ 5 ฟังก์ชันเลขคณิต (Arithmetic function) ในบทนี้เราจะศึกษาสมบัติของฟังก์