เล่ม 18 เร อง การแยกต วประกอบพห นามด กร สองโดยใช สมบ ต การแจกแจง เล ม 1

1

เรอง การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง

เลม 1

2


เลม 1

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม สาระการเรยนรคณตศาสตร วชาคณตศาสตรเพมเตม 5 รหสวชา ค 20205 ชนมธยมศกษาปท 3 จดท าขนเพอใชแกปญหาเรองผลสมฤทธทางการเรยน และใชประกอบการเรยนการสอนเพอเปนแนวทางในการศกษา เรอง การแยกตวประกอบของพหนามใหดยงขนไป โดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนามประกอบดวยนวตกรรมทงหมด 5 เลม ดงน เลมท 1 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง เลมท 2 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของก าลงสอง เลมท 3 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสอง สมบรณ

เลมท 4 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปน จ านวนเตม เลมท 5 การแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธเปนจ านวนเตม โดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ ผจดท าขอขอบพระคณ นายพชรน ภชย ผอ านวยการโรงเรยนหนองไผ และผทรงคณวฒ

ทกทานเปนอยางสง ทไดกรณาใหค าชแนะและเสนอขอคดเหนในการจดท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนามเลมนใหส าเรจลลวงไปดวยด สรตนชย พรมเทา

ก

ค ำน ำ

3


เลม 1

หนา

ค าน า ก สารบญ ข การใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 1 ค าชแจงส าหรบคร 2 ค าชแจงส าหรบนกเรยน 3 แผนผงการจดกจกรรมการเรยนร 4 จดประสงคการเรยนร 5 แบบทดสอบกอนเรยน 6 4 ใบความร 8 แบบฝกทกษะท 1 22 แบบฝกทกษะท 2 26 แบบฝกทกษะท 3 29 แบบฝกทกษะท 4 33 แบบฝกทกษะท 5 34 แบบฝกทกษะท 6 36 แบบทดสอบหลงเรยน 40 บรรณานกรม 42 ภาคผนวก 43 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน/หลงเรยน 44 เฉลยแบบฝกทกษะท 1 45 เฉลยแบบฝกทกษะท 2 47 เฉลยแบบฝกทกษะท 3 49 เฉลยแบบฝกทกษะท 4 51 เฉลยแบบฝกทกษะท 5 52 เฉลยแบบฝกทกษะท 6 54 ตารางบนทกคะแนนแบบฝกทกษะคณตศาสตร 57

สารบญ

ข

4


เลม 1

1. ขอแนะน าในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร การใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม เลมท 1

เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง สาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 ใชคกบแผนการจดการเรยนรท 2 – 3 เวลา 2 ชวโมง 2. สวนประกอบของแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของ พหนาม

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม เลมท 1 เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง ประกอบดวยเอกสาร ดงน

2.1 การใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 2.2 จดประสงคการเรยนร 2.3 ขนตอนการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 2.4 แบบทดสอบกอนเรยน 2.5 แบบฝกทกษะท 1 – 6 2.6 แบบทดสอบหลงเรยน 3. สวนประกอบของแบบฝกทกษะคณตศาสตร ( แบบฝกทกษะท 1 – 6 )

3.1 ใบความร / แบบฝกทกษะคณตศาสตร 3.2 เฉลยแบบฝกทกษะคณตศาสตร 3.3 เกณฑการใหคะแนน

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม

เลมท 1 เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง โดยใชสมบตการแจกแจง

1

5


เลม 1

1. ครผสอนศกษาสาระการเรยนรและการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม โดยละเอยด ดงน

1.1 ศกษาคมอการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 1.2 ศกษาขอแนะน าส าหรบครผสอน 1.3 จดเตรยมสอและกจกรรมตามล าดบการใชกอน – หลง

1.4 ศกษาค าชแจงในการปฏบตกจกรรมการเรยนการสอน 2. จดเตรยมหองเรยนใหเออตอการจดกจกรรมการเรยนการสอนตามความเหมาะสมของ

เนอหาทเรยน ความเรยบรอยของสอ 3. กอนการจดกจกรรมการเรยนการสอน ครผสอนชแจงใหนกเรยนเขาใจบทบาทของ

ตนเอง แนะน าขนตอนการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร แนวปฏบตในระหวางด าเนนกจกรรมการเรยนการสอน

4. ครควรกระตนใหนกเรยนทกคนมสวนรวมในการท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร เพอเปนการฝกใหนกเรยนรจกท างานรวมกน

5. ครผสอนควรดแลนกเรยนขณะท าแบบฝกอยางใกลชดพรอมประเมนทกษะคณตศาสตร กระบวนการและคณลกษณะอนพงประสงค

6. หลงจากนกเรยนท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร ครบตามขนตอนแลว ครเฉลยกจกรรมรวมกบนกเรยน

7. ครผสอนบนทกผลการประเมนทกดาน

ค ำชแจงส ำหรบคร

2

6


เลม 1

1. นกเรยนอานค าชแจงของแบบฝกทกษะคณตศาสตรและปฏบตตามล าดบขนตอน 2. นกเรยนอานจดประสงคการเรยนร 3. นกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนเพอวดความรพนฐานของนกเรยน 4. นกเรยนศกษาใบความร ใหเขาใจ กรณทมขอสงสยใหนกเรยนปรกษาครผสอน 5. นกเรยนท าแบบฝกทกษะท 1 – 6 6. นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเพอวดผลการเรยนรของนกเรยน

ค ำชแจงส ำหรบนกเรยน

3

7


เลม 1

อานค าแนะน าการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร

ค าชแจงส าหรบคร/ส าหรบนกเรยน

แผนผงการจดกจกรรมการเรยนร แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม สาระการเรยนรคณตศาสตร วชาคณตศาสตรเพมเตม ค 23201

ชนมธยมศกษาปท 3

ศกษาสาระและมาตรฐานการเรยนร/เปาหมายการเรยนร

4

ท าแบบทดสอบกอนเรยน

ศกษาใบความร

ท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร

ท าแบบทดสอบหลงเรยน

ท าแบบทดสอบผานเกณฑศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมตอไป

ท าแบบทดสอบไมผานเกณฑ

ยอนกลบไปศกษาเนอหาใหม

8


เลม 1

แบบทดสอบกอนเรยน

แยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจงได

ผลการเรยนร

5

จดประสงคการเรยนร

เมอเรยนจบแบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมท 1 เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง แลวนกเรยนสามารถ 1. ดานความร แยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจงได 2. ดานทกษะ

2.1 นกเรยนมความสามารถในการแกปญหา 2.2 นกเรยนมความสามารถในการใหเหตผล 2.3 นกเรยนมความสามารถในการสอสาร สอความหมาย

3. ดานคณธรรม จรยธรรมและคณลกษณะอนพงประสงค 3.1 นกเรยนมระเบยบวนย 3.2 นกเรยนมความรอบคอบ 3.3 นกเรยนมความรบผดชอบ 3.4 นกเรยนมความซอสตย

9


เลม 1

1. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 2x

ก. (x + 2) ข. x(x + 2) ค. x(x3 + 2) ง. x2(x + 2)

2. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 4x2 – 20x ก. (4x + 2)2 ข. x2(x + 20) ค. 4x(x – 5) ง. 4x2(x + 2)

3. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ – 4x2 – 6x ก. 2x(– 2x – 3) ข. x2(x + 6) ค. 2x(x – 5) ง. 2x2(x + 2)

4. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ – 15x2 + 12x ก. 4x(– 3x – 3) ข. 4x2(x + 3) ค. 2x(x + 5) ง. 3x(– 5x + 4)

5. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 5x + 6 ก. (x + 2)(x + 3) ข. (x + 3)(x + 3) ค. 3x(x + 5) ง. (x + 1)(x + 2)

1. แบบทดสอบมทงหมด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน 2. แบบทดสอบนเปนแบบเลอกตอบใหนกเรยนท าเครองหมาย ในกระดาษค าตอบทตรงกบขอ ก ข ค และ ง ทถกทสดเพยงขอเดยว

ค าชแจง

6

10


เลม 1

6. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 16x3y3 – 24x4y ก. 8x3y(2y2 – 3x) ข. 6x3y(2y2 – 3x) ค. 4x3y(2y2 – 3x) ง. 2x3y(2y2 – 3x)

7. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 – x – 20 ก. (x – 4)(x + 5) ข. (x – 3)(x + 4) ค. (x + 3)(x – 4) ง. (x + 4)(x – 5)

8. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 – 10x + 21 ก. (x – 2)(x + 5) ข. (x – 3)(x – 7) ค. 2x(x + 5) ง. (x + 1)(x + 6)

9. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 2x + 1

ก. (x + 1)(x + 1) ข. (x + 1)(x + 2) ค. (x + 1)(x + 3) ง. (x + 1)(x + 4)

10. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 8x2 – 14x + 3 ก. (4x + 1)(2x + 3) ข. (4x – 1)(2x – 3) ค. (4x + 3)(2x + 1) ง. (4x – 3)(2x – 1)

7

11


เลม 1

ใบความร เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง

โดยใชสมบตการแจกแจง

การแยกตวประกอบของพหนามทมดกรสอง การแยกตวประกอบของพหนาม เปนการเขยนพหนามทก าหนดใหในรปการคณกนของพหนามทมดกรต ากวาตงแต 2 พหนามขนไป หรอเปนการเขยนพหนามทก าหนดใหในรปทงายกวา เชน

1) 2x + 10 = 2(x + 5) จะเหนวา 2 และ x + 5 เปนพหนามทหารดวย 2x + 10 ไดลงตวเรยก 2 และ x + 5 วาตวประกอบของ 2x + 10

2) x2 + 6x + 8 = (x + 2) (x + 4) จะเหนวา x + 2 และ x + 4 เปนตวประกอบของ x2 + 6x + 8 เพราะสามารถหาร x2 + 6x + 8 ไดลงตว ส าหรบวธการแยกตวประกอบของพหนามมวธการหาไดหลายแบบ ซงแตละวธจะกลาวในหวขอตาง ๆ ตอไปน

8

12


เลม 1 การแยกตวประกอบโดยใชสมบตการแจกแจง สมบตการแจกแจง ถา a , b และ c แทนจ านวนเตมใด ๆ แลว a(b + c) = ab + ac หรอ (b + c)a = ba + ca เชน 2(x + 5) = 2x + 10 , (x - y)3x = 3x2 – 3xy แตถาเขยนใหมเปน ab + ac = a(b + c) หรอ ba + ca = (b + c)a เชน 2x + 10 = 2(x + 5) , 3x2 – 3xy = (x - y)3x เรยกวา การแยกตวประกอบโดยวธดงตวรวม โดยเรยก a วาตวประกอบรวมของ ab และ ac หรอตวประกอบรวมของ ba และ ca

การหาตวประกอบรวม

นกเรยนลองพจารณาการหาตวประกอบรวมตอไปน ตวอยางท 1 จงหาตวประกอบรวมของ 12x2 และ 18x3 ขนท 1 แยกตวประกอบตวเลขใหอยในรปการคณ กนของจ านวนเฉพาะ และแยกตวแปรใหอยในรปการคณเชนเดยวกน ขนท 2 จากนนวงกลมตวประกอบททงสองตวมรวมกน ขนท 3 น าตวประกอบรวมทไดมาคณกน หมายเหต: การหาตวประกอบรวมในสวนทเปนจ านวนเตม นกเรยนสามารถหาโดยใชวธหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ได ตวอยางท 2 จงหาตวประกอบรวมของ 5x2 และ 15x วธท า แยกตวประกอบของ 5x2 = (5)(x)(x) และ 15x2 = (3)(5)(x) ตวประกอบรวมของ 5x2 และ 15x คอ (5)(x) = 5x

ตวอยางท 3 จงหาตวประกอบรวมของ 14x3 8x2 และ 10x วธท า แยกตวประกอบของ 14x2 = (2)(7)(x)(x) 8x2 = (2)(2)(2)(x)(x) และ 10x = (2)(5)(x) ตวประกอบรวมของ 14x3 , 8x2 และ 10x คอ (2)(x) = 2x

วธท า แยกตวประกอบของ 12x2 = (2)(2)(3)(x)(x) และ18x2 = (2)(3)(3)(x)(x)(x)

ตวประกอบรวมของ 12x2 และ 18x3

คอ (2)(3)(x)(x) = 6x2

ดงนน ตวประกอบรวม คอ 6𝑥2

9

13


เลม 1

ในการแยกตวประกอบพหนาม เราสามารถใชสมบตการแจกแจงในการดงตวประกอบรวมของแตละนพจนในพหนามได ลองพจารณาตวอยางการแยกตวประกอบตอไปน ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของ 12x2+60x ขนท 1 หาตวประกอบรวมของ 12x2+ 60x ขนท 2 ใชสมบตการแจกแจงดงตวประกอบรวมออกมานอกวงเลบ ขอสงเกต : 12x2 เปนตวประกอบรวมของ 12x2 และ 60x เราจงตองดง 12x2 ออกมานอกวงเลบ

วธท า หาตวประกอบรวมของ 12x2และ60x 12x2 = (2)(2)(3)(x)(x) และ 60x2 = (2)(2)(3)(5)(x) หาตวประกอบรวมของ 12x2และ60x คอ (2)(2)(3)(x) = 12x

ดงนน 12x2+ 60x = (12x)(x) + (12x)(5) = 12x(x + 5) ตอบ 12x2+ 60x = 12x(x + 5)

10

ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของ 5xy + 6x2 วธท า หาตวประกอบรวมของ 5xy และ 6x2 5xy = (5)(x)(y) และ 6x2 = (2)(3)(x)(x) ตวประกอบรวมของ 5xy และ 6x2 คอ x ดงนน 5xy + 6x2 = (x)(5y) + (x)(6x) = x(5y +6x) ตอบ 5xy + 6x2 = x(5y +6x)

ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของ 12y2z + 20yz วธท า หาตวประกอบรวมของ 12y2z และ 20yz 12y2z = (2)(2)(3)(y)(y)(z) และ 20yz = (2)(2)(5)(y)(z) ตวประกอบรวมของ 5xy และ 6x2 คอ (2)(2)(y)(z) = 4yz ดงนน 12y2z + 20yz = (4yz)(3y) + (4yz)(5) = 4yz(3y + 5) ตอบ 12y2z + 20yz = 4yz(3y + 5)

14


เลม 1

ตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบของ ab – 2ac + bc – 2c2 วธท า ab – 2ac + bc – 2c2 = (ab – 2ac) + (bc – 2c2)

= a(b – 2c) + c(b – 2c) = (b – 2c)a + (b – 2c)c

= (b – 2c)(a + c) ตอบ ab – 2ac + bc – 2c2 = (b – 2c)(a + c) ขอสงเกตตวอยางน 1. ใชคณสมบตการเปลยนหมและสมบตกำรสลบท 2. a , c เปนตวประกอบรวม 3. b – 2c เปนตวประกอบรวม

ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของ -7x2y2 + xy วธท า หาตวประกอบรวมของ 7x2y2 และ xy 7x2y2 = (7)(x)(x)(y)(y) และ xy = (x)(y) ตวประกอบรวมของ 7x2y2 และ xy คอ xy ดงนน -7x2y2 + xy = (xy)(-7xy) + (xy)(1) = xy(-7xy + 1) ตอบ -7x2y2 + xy = xy(-7xy + 1)

ขอควรระวง 1. ตวประกอบรวมทน าออกมานอกวงเลบตองเปนตวประกอบรวมทมากทสด 2. ถายงมตวประกอบเหลออยตองน าออกมาใหหมด 3. ในการแยกตวประกอบของพหนามทมหลายพจนอาจตองใชสมบตการสลบท และสมบตการเปลยนหมประกอบดวย นอกจากจะใชสมบตการแจกแจงแลว ดงตวอยางท 5

11

15


เลม 1

การแยกตวประกอบพหนามดกรสองตวแปรเดยว

พหนามดกรสองตวแปรเดยว คอ พหนามทเขยนไดในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนคาคงท a ≠ 0 และ x เปนตวหาร

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a=1, b และ c เปนจ านวนเตมท c ≠ 0

พจารณาการคณพหนามตอไปน (x +p)(x + q) = x2 + px + qx + pq = x2 + (p + q)x + pq เมอเทยบกบรป ax2 + bx + c จะพบวา b = p + q และ c = pq นนคอ พหนาม ax2 + bx + c จะสามารถแยกตวประกอบไดเปน (x + p)(x + q)

เมอ p + q = b และ pq = c ยกตวอยางพหนามดกรสองตวแปรเดยว เชน x2 + 4x + 6 (a = 1 , b = 4 , c = 6) 3x2 - 8x + 1 (a = 3 , b = -8 , c = 1) m2 - 16 (a = 1 , b = 0 , c = -16) -y2 + 2y - 7 (a = -1 , b = 2 , c = -7)

ในการแยกตวประกอบพหนามดกรสองตวแปรเดยว ทอยในรป ax2 + bx + c แบงออกเปน 2 กรณ คอ กรณ a= 1 และกรณ a ≠ 1

① กรณ a= 1 , c ≠ 0

ในเมอการแยกตวประกอบกคอวธท ายอนกลบของการคณ ดงนน ใหนกเรยนพจารณาการคณของพหนามตอไปน (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) +(x + 2)(3) (กระจาย 𝑥 + 2 เขาไปคณกบ𝑥 และ 3) = (x2 + 2x) + (3x + (2)(3)) (น า 𝑥 และ 3 เขาไปคณในวงเลบ)

= x2 + (2x + 3x) + (2)(3) (สมบตการเปลยนหมการบวก) = x2 + (2+3)x + (2)(3) = x2 + 5x + 6

สงเกตเหนวา พจนกลางเกดจากการบวกของ 2 กบ 3 และพจนหลงเกดจากการคณของ 2

กบ 3 สรปเปนวธแยกตวประกอบไดวา ตองหาจ านวนเตมสองจ านวนทบวกกนไดพจนกลาง และคณกนไดพจนหลง ใหนกเรยนลองพจารณาตวอยางตอไปน

12

16


เลม 1

ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของ x2 + 6x + 8

ขนท 1 เพอทจะแยกตวประกอบของ x2+ 6x + 8 ตองหาไดวาตวเลข 2 ตวใดเปน p และ q ทมผลบวกเทากบ 6

แยกตวประกอบของ 8 หาผลบวกของตวประกอบ

1,8 -1,-8 2,4

-2,-4

8 () -9 ()

6 () -6 ()

ขนท 2 น าตวประกอบทมผลบวกเทากบ 6 นนมาใสในตวประกอบทงสองวงเลบ ดงนน x2+ 6x + 8 = (x + 4)(x + 2) ขอสงเกต ทงพจนกลางของพจนหลงของพหนามเปนบวก ดงนน ตวประกอบทไดจงเปนบวกทงหมด แตถาพจนหลงหรอพจนกลางหรอทงสองพจนไมเปนบวก ใหนกเรยนสงเกตตวอยางถดไป

ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของ x2 + 2x - 3

ขนท 1 เพอทจะแยกตวประกอบของ x2 + 2x – 3 ตองหาไดวาตวเลข 2 ตวใดเปน p และ q ทมผลบวกเทากบ 2

แยกตวประกอบของ -3 หาผลบวกของตวประกอบ

1, -3 -1, 3

1 + (-3) = -2 () (-1) +3 = 2 ()

ขนท 2 น าตวประกอบทมผลบวกเทากบ 2 นนมาใสในตวประกอบทงสองวงเลบ ดงนน x2+ 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) ขอสงเกต ในการน าเครองหมายและตวประกอบทมผลบวกเทากบพจนกลางมาใสวงเลบ ดงน

x2+ 2x - 3 = (x + 3)( x - 1 )

ในการใสเครองหมายดวาจ านวนเตมบวกคณจ านวนเตมลบ ได จ านวนเตมลบ แลวน าจ านวนทมคาสมบรณทมากกวาใสวงเลบแรก

(+3)(-1) = (-3)

ใสเครองหมายเหมอนกน

12

17


เลม 1

ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของ x2 - 11x + 30 ขนท 1 เพอทจะแยกตวประกอบของ x2 - 11x + 30 ตองหาไดวาตวเลข 2 ตวใดเปน p และ q ทมผลบวกเทากบ -11

แยกตวประกอบของ 30 หาผลบวกของตวประกอบ

1, 30 -1, -30 2, 15 -2, -15 3, 10 -3, -10 5, 6

-5, -6

1 + 30 = 31 () (-1) + (-30) = -31 ()

2 + 15 = 17 () (-2) + (-15) = -17 ()

3 + 10 = 13 () (-3) + (-10) = -13 ()

5 + 6 = 11 () (-5) + (-6) = -11()

ขนท 2 น าตวประกอบทมผลบวกเทากบ 2 นนมาใสในตวประกอบทงสองวงเลบ ดงนน x2 - 11x + 30 = (x - 6)(x - 5) ขอสงเกต ในการน าเครองหมายและตวประกอบทมผลบวกเทากบพจนกลางมาใสวงเลบ ดงน

x2-11x + 30 = (x - 6)( x - 5 )

ในการใสเครองหมายดวาจ านวนเตมลบคณจ านวนเตมลบ ได จ านวนเตมบวก แลวน าจ านวนทมคาสมบรณทมากกวาใสวงเลบแรก

(-6)(-5) = (+30)


13

18


เลม 1

(-7)(+2) = (-14)

ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของ x2 - 5x - 14

ขนท 1 เพอทจะแยกตวประกอบของ x2 - 5x – 14 ตองหาไดวาตวเลข 2 ตวใดเปน p และ q ทมผลบวกเทากบ -5

แยกตวประกอบของ -14 หาผลบวกของตวประกอบ

1, -14 -1, 14 2, -7 -2, 7

1 + (-14) = -13 () (-1) + 14 = 13 ()

2 + (-7) = -5 () (-2) + 7 = 5 ()

ขนท 2 น าตวประกอบทมผลบวกเทากบ 2 นนมาใสในตวประกอบทงสองวงเลบ ดงนน x2 - 5x – 14 = (x - 7)(x + 2) ขอสงเกต ในการน าเครองหมายและตวประกอบทมผลบวกเทากบพจนกลางมาใสวงเลบ ดงน

x2 - 5x – 14 = (x - 7)( x + 2 )

ในการใสเครองหมายดวาจ านวนเตมลบคณจ านวนเตมบวก ได จ านวนเตมลบ แลวน าจ านวนทมคาสมบรณทมากกวาใสวงเลบแรก จากขอสงเกต นกเรยนสามารถแยกตวประกอบทอยในรป ax2 + bx + c เมอ a = 1 รวดเรวขน โดยหาตวประกอบเฉพาะคาสมบรณของ c โดยมมเงอนไขดงน กรณ 1 หาผลบวกของตวประกอบ ทเกดจากการแยกตวประกอบของคาสมบรณของ c เมอ 1) b และ c เปนจ านวนเตมบวก 2) b เปนจ านวนเตมลบ c เปนจ านวนเตมบวก เนองจากขอ 1)และ2) p และ q เปนเครองหมายเดยวกน เมอหาผลบวกจะมคาเทากบคาสมบรณของ b กรณ 2 หาผลตางของตวประกอบ ทเกดจากการแยกตวประกอบของคาสมบรณของ c โดยใหจ านวนทมคามากกวาเปนตวตง เมอ 1) b เปนจ านวนเตมบวกและ c เปนจ านวนเตมลบ 2) b และ c เปนจ านวนเตมลบ เนองจากขอ 1)และ 2) p และ q เปนเครองหมายทแตกตางกน เมอน ามาลบกนโดยคาทมากกวาตงจะมคาเทากบคาสมบรณของ b พจารณาตวอยางตอไปน


14

19


เลม 1





จากตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของ x2 + 6x + 8

วธท า x2+ 6x + 8 = (x + 4)( x + 2 )

ตอบ x2+ 6x + 8 = (x + 4)( x + 2)

จากตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของ x2 + 2x - 3

วธท า x2+ 2x - 3 = (x + 3)( x - 1 )

ตอบ x2+ 2x - 3 = (x + 3)( x - 1 )

จากตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของ x2 - 11x + 30

วธท า x2- 11x +30 = (x - 6)( x - 5 )

ตอบ x2- 11x +30 = (x - 6)( x - 5 )

จากตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของ x2 - 5x - 14

วธท า x2- 5x - 14 = (x - 7)( x + 2 )

ตอบ x2- 5x - 14 = (x - 7)( x + 2)

แยกตวประกอบของ |−14|

หาผลตางโดยตวมากเปนตวตง

1,14 2,7

14-1=13 ()

7-2=5 ()

(+4)(+2) = (+8)

แยกตวประกอบของ |30| หาผลบวก

1,30 2,15 3,10 5,6

30+1=31 ()

15+2=17 ()

10+3=13 ()

6+5=11 ()

แยกตวประกอบของ |8| หาผลบวก

1,8 2,4

1+8=9 () 2+4=6 ()

(+3)(-1) = (-3)

(-6)(-5) = (+30)

แยกตวประกอบของ |−3|

หาผลตางโดยตวมากเปนตวตง

1,3 3-1=2 ()

15

(-7)(+2) = (-14)

20


เลม 1

ตวประกอบของ 2

ตวประกอบของ 6

② กรณ a ≠ 0,1 และ c ≠ 0 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a,b,c เปนจ านวนเตมท a ≠ 0,1 และ c ≠ 0

พจารณาการแยกตวประกอบพหนาม 2x2 + 7x + 6 โดยพหนามนจะสามารถแยกไดเปน 2 วงเลบ ดงแผนภาพ

(…..x + ……)(…..x + ……)

แยกตวประกอบของ 2 คอ 1,2 แยกตวประกอบของ 6 คอ 1,6 และ 2,3 แสดงวา สามารถแยกได 4 รปแบบ คอ

(x + 1)(2x + 6) (x + 6)(2x + 1) (x + 2)(2x + 3) (x + 3)(2x + 2)

รปแบบทจะเปนการแยกตวประกอบทถกตอง คอ ผลคณระหวางพจนใกลกบใกล และพจนไกลกบไกลรวมกนไดเทากบ 7x

(x + 1)(2x + 6) 2x + 6x = 8x (x + 6)(2x + 1) 12x + x = 13x (x + 2)(2x + 3) 4x + 3x = 7x (x + 3)(2x + 2) 6x + 2x = 8x

คทถกตองคอ คท 3 ดงนน 2x2 + 7x + 6 = (x + 2)(2x + 3)

แยกตวประกอบของ 2

แยกตวประกอบของ 6

16

21


เลม 1

2 1 2 3

2

6

2 1 3 2

4

2 1 3 2 3

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a,b,c เปนจ านวนเตมท a ≠ 0,1 และ c ≠ 0 มอกวธ โดยพจารณาจากตวอยาง การแยกตวประกอบของ 2x2 + 7x + 6 ดงน ขนตอนท 1 แยกตวประกอบของ 2 และ 6 ดงภาพ รปแบบท 1 2x2 + 7x + 6 รปแบบท 2 2x2 + 7x + 6

ขนตอนท 2 หารปแบบทเกดจากการแยกตวประกอบแลวผลคณระหวางพจนใกลกบใกล และพจนไกลกบไกลรวมกนไดเทากบคาสมบรณของ 7 ดงภาพ

รปแบบท1 2x2 + 7x + 6 2+6=8 ซงไมเทากบ 7 ()

รปแบบท2 2x2 + 7x + 6 3+7 = 7 ()

2 1 2 3

ตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบของ 5x2 – 16x + 3 วธท า เนองจาก 5x2 – 16x + 3 = (5x ……)(x ….…)

ดงนนสามารถแยกได (5x – 3)(x – 1) – 3x – 5x = – 8x (5x – 1)(x – 3) – x – 15x = – 16x

ตอบ นนคอ 5x2 – 16x + 3 = (5x – 3)(x – 1)

17

22


เลม 1

3 2

(+)(+) = (+)

2 1

3

4 ()

ขนตอนท 3 ท าการแยกตวประกอบ โดย ใส x ใสเครองหมาย และเวนวางดงภาพ

2x2 + 7x + 6 = (......x + …… )(…x +…….)

ขนตอนท 4 น าตวเลขมาใสในชองวาง โดยใหเอาตวเลขทมผลคณทมากกวาใสในวงเลบแรก ผลคณทนอยกวาใสวงเลบหลง

2x2 + 7x + 6 = (1 x + 2 )(2 x + 3 )

ตอบ 2x2 + 7x + 6 = (x + 2)(2 x + 3 )

นกเรยนสามารถการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a,b,c เปนจ านวนเตมท a ≠ 0,1 และ c ≠ 0 รวดเรวขนโดยมมเงอนไขดงน กรณ 1 หาผลบวกของผลคณระหวางพจนใกลกบใกล และพจนไกลกบไกลรวมกนไดเทากบคาสมบรณของ b เมอ 1) b และ c เปนจ านวนเตมบวก 2) b เปนจ านวนเตมลบ c เปนจ านวนเตมบวก กรณ 2 หาผลตางของผลคณระหวางพจนใกลกบใกล และพจนไกลกบไกลรวมกนไดเทากบคาสมบรณของ b โดยคาทมากวาเปนตวตง เมอ 1) b เปนจ านวนเตมบวกและ c เปนจ านวนเตมลบ 2) b และ c เปนจ านวนเตมลบ พจารณาตวอยางตอไปน

18

23


เลม 1

5 1

1 3

1

15() 1+15=16()

3 4

2 1

8()

3

8-3=5()

2 3

4 1

12()

2

12-2=10()

จากตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบของ 5x2 – 16x + 3 วธท า เนองจาก 5x2 – 16x + 3 = (1 x - 3 )(5 x - 1 )

ตอบ 5x2 –16x + 3 = (x - 3 )(5x - 1)

ตวอยางท 7 จงแยกตวประกอบของ 12x2 + 5x – 2 วธท า เนองจาก 12x2 + 5x – 2 = (3 x + 2 )(4 x – 1 )

ตอบ 12x2 + 5x – 2 = (3 x + 2 )(4 x – 1 )

ตวอยางท 8 จงแยกตวประกอบของ 6x2– 10x – 4 วธท า เนองจาก 6x2 – 10x – 4 = (2 x – 4 )( 3 x + 1 )

ตอบ 6x2 – 10x – 4 = (2 x – 4 )( 3 x + 1 ) หรอ 6x2 – 10x – 4 = 2(x – 2 )( 3 x + 1 )

19

24


เลม 1

3 (-1)

2 4

(-2)

12() 12+(-2)=10()

3 4

5 1

20()

3

20-3 =17()

ตวอยางท 8 จงแยกตวประกอบของ –3x2 + 10x + 8 วธท า เนองจาก

-3x2 + 10x + 8 = ((-1) x + 4 )(3 x + 2 )

ตอบ -3x2 + 10x + 8 = (-x + 4 )(3x + 2) หรอ -3x2 + 10x + 8 = (-1)(x - 4 )(3x + 2) = (x - 4 )(-3x - 2)

ตวอยางท 8 จงแยกตวประกอบของ 5 – 17y – 12y2 วธท า เนองจาก 5 – 17y – 12y2 = – 12y2 – 17y + 5 = (–1)(12y2 +17y – 5)

12y2 + 17y - 5 = (3 y + 5 )( 4 y – 1 )

ดงนน (–1)(12y2 +17y – 5) = (–1)(3 y + 5 )( 4 y – 1) = (-3 y - 5 )( 4 y – 1) หรอ = (3 y + 5 )( -4 y + 1) ตอบ 5 – 17y – 12y2 = (-3 y - 5 )( 4 y – 1) หรอ 5 – 17y – 12y2 = (3 y + 5 )( -4 y + 1)

20

25


เลม 1

ค าชแจง ใหนกเรยนแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยสมบตการแจกแจงตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )

แบบฝกทกษะท 1

จงแยกตวประกอบของ 2xy – 4x2 ตวอยาง

วธท า หาตวประกอบรวมของ 2xy และ 4x2

2xy = (2))(x)(y) และ 4x2 = (2)(2)(x)(x) ตวประกอบรวมของ 2xy และ 4x2 คอ 2x ดงนน 2xy – 4x2 = 2xy – 4x2 = (2x)(y) – (2x)(2x) = 2x(y – 2x) ตอบ 2xy – 4x2 = 2x(y – 2x)

จงแยกตวประกอบของ 10x + 4 1

วธท า …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..

21

26


เลม 1

จงแยกตวประกอบของ 14y + 26z

2

วธท า …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..

จงแยกตวประกอบของ 15x2y + 5x

3

จงแยกตวประกอบของ 9y2z2 + 6yz

4

วธท า …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..

วธท า …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..

22

27


เลม 1

จงแยกตวประกอบของ – 4x2 – 6x

5

วธท า …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..

จงแยกตวประกอบของ x2 – 5x

6

จงแยกตวประกอบของ 6xy – 8xy2

7

วธท า …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..

วธท า …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..

23

28


เลม 1

จงแยกตวประกอบของ 21x3y2 – 28x2y3

8

วธท า …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..

24

วธท า …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..

วธท า …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............…..

…………………………………………….............….. …………………………………………….............….. …………………………………………................….. …………………………………………….............….. ตอบ …………………………………………….............…..

จงแยกตวประกอบของ 33z2 – 11yz

10

จงแยกตวประกอบของ x2 + 13x

9

29


เลม 1


จงแยกตวประกอบของ 4y3 – 24y2 + 4y วธท า ตวประกอบรวมของ 4y3, 24y2 และ 4y คอ 4y 4y3 – 24y2 + 4y = (4y)(y2)– (4y)(6y) + (4y)(1) = 4y(y2 – 6y + 1) ตอบ 4y3 – 24y2 + 4y = 4y(y2 – 6y + 1)

ตวอยาง

หาตวประกอบรวม 4y3= (4)(y)(y)(y) 24y2=(4)(6)(y)(y) 4y =(4)(y) ตวประกอบรวม คอ 4y

กระดาษทด

จงแยกตวประกอบของ x2 + x2y + x วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..

2

จงแยกตวประกอบของ a3 – 5a2b + a2 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..

3


จงแยกตวประกอบของ x3 + xy – x วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..

1

25

30


เลม 1

จงแยกตวประกอบของ x3y – x2y + 2xy วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..

7

26

จงแยกตวประกอบของ 7ab3 – 5a2b + a3 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..

4

จงแยกตวประกอบของ 6y3 + 9y2 – 18y วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..

5

จงแยกตวประกอบของ 2x5 – 6x4y + 2x3 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..

6

31


เลม 1

จงแยกตวประกอบของ x2y5 + x2y + x2 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..

8

จงแยกตวประกอบของ 6a2 + 16a2b + a3 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..

9

จงแยกตวประกอบของ 4a6 – 8a2b + a4 วธท า ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ……………………..……………………..……………………..…………………….. ตอบ ……………………..……………………..……………………..……………………..

10

27

32


เลม 1

ตวอยาง



จงแยกตวประกอบของ 2x2 – 2xy + 3x – 3y วธท า 2x2 – 2xy + 3x – 3y = (2x2 – 2xy)+(3x – 3y) = 2x(x – y)+3(x – y) = (2x + 3)(x – y) ตอบ 2x2 – 2xy + 3x – 3y = (2x + 3)(x – y)

จงแยกตวประกอบของ 4x + xz + 4y + yz

1

วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………

จงแยกตวประกอบของ p2 + pq + 3p + 3q

2

วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………

28

33


เลม 1

จงแยกตวประกอบของ 36am +45an –28m–35n

4

วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………

จงแยกตวประกอบของ mn – n – m + 1

3

วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………

จงแยกตวประกอบของ na + 3b + nb + 3a

5

วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………

29

34


เลม 1

จงแยกตวประกอบของ ab2 – cd2 – 6a + 6c

7

วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………

จงแยกตวประกอบของ a2 – 2b – 5a3 + 10ab

8

วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………

จงแยกตวประกอบของ xy – st – xt + sy

6

วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………

30

35


เลม 1

จงแยกตวประกอบของ n2m + n2p – 8m – 8p

9

วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………

31

จงแยกตวประกอบของ 2x3 – x + 14x2 – 7

10

วธท า ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ตอบ ………………………………………………………………………

36


เลม 1

ค าชแจง ใหนกเรยนหาจ านวนสองจ านวนทสอดคลองกบค าถามตอไปนใหถกตอง (10 คะแนน )

ค าถาม ค าตอบ ตวอยาง อะไรเอย คณกนได – 12 แตบวกกนได 4 – 2 และ 6 1. อะไรเอย คณกนได 28 แตบวกกนได 11 2. อะไรเอย คณกนได 16 แตบวกกนได 10 3. อะไรเอย คณกนได – 6 แตบวกกนได 5 4. อะไรเอย คณกนได – 21 แตบวกกนได 4 5. อะไรเอย คณกนได – 50 แตบวกกนได – 5 6. อะไรเอย คณกนได 18 แตบวกกนได – 9 7. อะไรเอย คณกนได 32 แตบวกกนได -12 8. อะไรเอย คณกนได – 8 แตบวกกนได 2 9. อะไรเอย คณกนได – 36 แตบวกกนได 5 10. อะไรเอย คณกนได – 49 แตบวกกนได 0


32

37


เลม 1


จงแยกตวประกอบของพหนาม x2 + x – 20


x2 + 4x + 3

1.

y2 + 6y + 5

2.

x2 + 2x + 1 3.

m2 + 6m + 8

4.

ตวอยาง

วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..

วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..

วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..

วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..

วธท า x2 + x – 20 = (x + 5)(x - 4)

ตอบ x2 + x – 20 = (x – 4)(x + 5)

แยกตวประกอบของ |20|

หาผลตาง

1,20 2,10 4,5

20-1=19 () 10+2=8 () 5-4=1()

กระดาษทด

(+5)(-4)=(-20)

33

38


เลม 1

x2 – 12x + 53

5.

x2 – 8x + 15

6.

x2 – 16x + 60

7.

x2 + 8x – 9

8.

x2 – 6x – 16

9.

x2 + 2x – 15

10

วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..

วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..

วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..

วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..

วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..

วธท า ……………...............................……….. ตอบ ………………………………….……………..

34

39


เลม 1

15-2=13()

3 2

1 5

2

15()


ตวอยาง จงแยกตวประกอบของ 6x2 – 13x – 5 วธท า เนองจาก

6x2 – 13x – 5 = (2 x - 5 )( 3 x + 1 )

ตอบ 6x2 – 13x – 5 = (2 x – 5)(3x + 1)


จงแยกตวประกอบของ 2y2 + 5y + 2

วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..

1.

35

40


เลม 1

จงแยกตวประกอบของ 6y2 – 13y + 5

วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..

2.

36

จงแยกตวประกอบของ 3x2 – 20x – 7

วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..

3

4 จงแยกตวประกอบของ 8y2 + 10y – 3

วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..

41


เลม 1

จงแยกตวประกอบของ 4m2 + 3m – 7

วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..

จงแยกตวประกอบของ 24t2 + 19t + 2

วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..

5

6

7 จงแยกตวประกอบของ 6x2 – 7x – 3

วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..

37

42


เลม 1

8

9

10

จงแยกตวประกอบของ 12x2 – 7x + 1

วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..

จงแยกตวประกอบของ 10 – 19x – 15x2

วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..

จงแยกตวประกอบของ – 2 x2 + 7x + 15

วธท า …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. …………………………………………………………………….……………………………..……….. ตอบ …………………………………………………………………….……………………………..………..

38

43


เลม 1

1. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 3x

ก. x(x + 3) ข. x2(x + 3) ค. x(x3 + 3) ง. (x + 3)2

2. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 5x2 – 20x ก. (5x + 2)2 ข. x2(x – 20) ค. 5x(x + 2) ง. 5x(x – 4)

3. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ – 6x2 – 4x ก. 2x(3x – 2) ข. 2x(– 3x – 2) ค. 2x(3x – 4) ง. 2x2(x + 2)

4. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ – 16x2 + 18x ก. 2x(– 8x + 9) ข. 4x2(4x + 3) ค. 2x(8x + 9) ง. 4x(4x + 3)

แบบทดสอบหลงเรยน

ค ำชแจง

1. แบบทดสอบมทงหมด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน คะแนนเตม 10 คะแนน 2. แบบทดสอบนเปนแบบเลอกตอบ ใหนกเรยนท าเครองหมาย ในกระดาษค าตอบทตรงกบขอ ก ข ค และ ง ทถกทสดเพยงขอเดยว

39

44


เลม 1

5. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 6x + 8 ก. 2x(x + 4) ข. (x + 2)(x + 4) ค. (x + 4) (x + 4) ง. (x + 1)(x + 8)

6. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 15x3y3 – 20x4y ก. 3x3y(5y2 – 4x) ข. 5x3y(3y2 – 4x) ค. 5x3y3(3 – 4x) ง. 3x3y3(5 – 4x)

7. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 – x – 30 ก. (x – 5)(x + 6) ข. (x – 4)(x + 5) ค. (x + 5)(x – 6) ง. (x + 4)(x – 5)

8. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 – 10x + 24 ก. (x – 4)(x – 6) ข. (x – 3)(x – 7) ค. (x + 3)(x + 7) ง. (x + 4)(x + 6)

9. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ x2 + 4x + 4 ก. (x + 4)(x + 4) ข. (x + 1)(x + 4) ค. (x + 2)(x + 4) ง. (x + 2)(x + 2)

10. ขอใดเปนการแยกตวประกอบของ 6x2 – 11x + 3 ก. (3x – 1)(2x – 3) ข. (3x + 1)(2x + 3) ค. (3x + 3)(2x + 1) ง. (3x – 3)(2x – 1)

40

45


เลม 1

โชคชย สรหาญอดม. แบบทดสอบคณตศาสตร ม.3 เลม 1 สาระการเรยนรเพมเตม. กรงเทพฯ: เดอะบคส,2552.

นพพร แหยมแสง. หนงสอเรยนคณตศาสตรเพมเตม ม.3 ภาคเรยนท 1. กรงเทพฯ : แมค,2555. บาลานซ (ตวเตอรหม) และ นพรตน กลชมตร. รวมโจทยขอสอบ “คณตศาสตร” ม.ตน. กรงเทพฯ: ท.เค. พรนตง,2554. ฝายวชาการพบซ. ยอดคณตศาสตร ม.ตน ชดท 1. กรงเทพฯ : เยลโลการพมพ, 2553. พรรณ ศลปะวฒนานนท. สอเสรมทกษะเพอมาตรฐานการเรยนร คณตศาสตรเพมเตม 3 เลม 1. กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร, 2549 พพฒนพงศ ศรวศร.ตวโจทยเตรยมสอบคณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 3 เลม 1. กรงเทพ ฯ : ส านกพมพนพนธ,2557. ยพน พพธกล. ชดกจกรรมพฒนาการคดวเคราะหคณตศาสตรเพมเตม ม.3 เลม 1. กรงเทพฯ :

บรษทพฒนาคณภาพวชาการ (พว) จ ากด, 2550. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรเพมเตม เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3. กรงเทพ ฯ : โรงพมพ

สกสค. ลาดพราว, 2555. สเทพ จนทรสมบรณ. สอเสรมการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร ม.3 เลม 1. กรงเทพฯ :

เดอะบคส, 2550.

บรรณำนกรม

41

46


เลม 1

ภาคผนวก

42

47


เลม 1

กอนเรยน 1. ข 6. ก 2. ค 7. ง 3. ก 8. ข 4. ง 9. ก 5. ก 10. ข

หลงเรยน 1. ก 6. ข 2. ง 7. ค 3. ข 8. ก 4. ก 9. ง 5. ข 10. ก

43

48


เลม 1


เฉลยแบบฝกทกษะท 1

วธท า 10x + 4 = 2(5x + 2) ตอบ 2(5x + 2)

10x + 4

วธท า 14y + 26z = 2(7y + 13z) ตอบ 2(7y + 13z)

14y + 26z

วธท า 15x2y + 5x = 5x(3xy + 1) ตอบ 5x(3xy + 1)

15x2y + 5x

วธท า 9y2z2 + 6yz = 3yz(3yz – 2) ตอบ 3yz(3yz – 2)

9y2z2 + 6yz

1

3

2

4

44

49


เลม 1

วธท า – 4x2 – 6x = – 2x(2x + 3) ตอบ – 2x(2x + 3)

– 4x2 – 6

วธท า 6xy – 8xy2 = 2xy(3 – 4y)

ตอบ 2xy(3 – 4y)

6xy – 8xy2

วธท า x2 – 5x = x(x – 5) ตอบ x(x – 5)

x2 – 5x

วธท า 21x3y2 – 28x2y3= 7x2y2(3x – 4y) ตอบ 7x2y2(3x – 4y)

21x3y2 – 28x2y3

วธท า x2 + 13x = x(x + 13) ตอบ x(x + 13)

x2 + 13x

วธท า 33y2 – 11yz = 11y(3y – z) ตอบ 11y(3y – z)

33z2 – 11yz

5 6

8 7

9 10

45

50


เลม 1



x3 + xy – x วธท า x3 + xy – x = x(x2 + y – 1) ตอบ x(x2 + y – 1)

x2 + x2y + x วธท า x2 + x2y + x = x(x – xy + 1) ตอบ x(x – xy + 1)

1 2

a3 – 5a2b + a2 วธท า a3 – 5a2b + a2 = a2(a – 5 + 1) ตอบ a2(a – 5 + 1)

7ab3 – 5a2b + a3 วธท า 7ab3 – 5a2b+ a3 = a(7b2 – 5ab + a2) ตอบ a(7b2 – 5ab+a2)

3 4

6y3 + 9y2 – 18y วธท า 6y3 + 9y2 – 18y = 3y(x2 + 3y – 6) ตอบ 3y(x2 + 3y – 6)

2x5 – 6x4y + 2x3 วธท า 2x5 – 6x4y + 2x3 = 2x3(x2 – 3xy + 1) ตอบ 2x3(x2 – 3xy + 1)

5 6

x3y – x2y + 2xy วธท า x3y – x2y + 2xy = xy(x2 – x + 2) ตอบ xy(x2 – x + 2)

x2y5 + x2y + x2 วธท า x2y5 + x2y + x2 = x2(y5+ y + 1) ตอบ x2(y5 + y + 1)

7 8

46

51


เลม 1

6a2 + 16a2b + a3 วธท า 6a2 + 16a2b + a3 = a2(6 + 16b + a) ตอบ a2(6 + 16b + a)

4a6 – 8a2b + a4 วธท า 4a6 – 8a2b + a4 = a2(4a4 – 8b + a2) ตอบ a2(4a4 – 8b + a2)

9 10

47

52


เลม 1



mn – n – m + 1 36am + 45an – 28m – 35n 3 4

วธท า = (mn – n) – ( m – 1) = n(m – 1) – ( m – 1) = (m – 1)( n – 1) ตอบ (m – 1)( n – 1)

วธท า = (36am + 45an) – ( 28m + 35n) = 9a(4m + 5n) – 7( 4m + 5n) = (4m + 5n)( 9a – 7) ตอบ (4m + 5n)( 9a – 7)

4x + xz + 4y + yz

p2 + pq + 3p + 3q 2 1

วธท า = (4x + xz) + (4y + yz) = x(4 + z) + y(4 + z) = (4 + z)(x + y) ตอบ (4 + z)(x + y)

วธท า = (p2 + pq) + (3p + 3q) = p(p + q) + 3(p + q) = (p + q)( p + 3) ตอบ (p + q)( p + 3)

48

53


เลม 1

n2m + n2p – 8m – 8p 2x3 – x + 14x2 – 7

a2 – 2b – 5a3 + 10ab ab2 – cd2 – 6a + 6c

9 10

8 7

วธท า = (n2m + n2p) – (8m + 8p) = n2(m + p) – 8(m + p) = (m + p)(n2 – 8) ตอบ (m + p)(n2 – 8)

วธท า = (2x3 – x) + (14x2 – 7) = x(2x2 – 1) + 7(2x2 – 1) = (2x2 + 1)(x + 7) ตอบ (2x2 + 1)(x + 7)

วธท า = (ab2 – cd2) – (6a – 6c) = b2(a – c) – 6(a – c) = (a – c)(b2 – 6) ตอบ (a – c)(b2 – 6)

วธท า = (a2 – 2b) – (5a3 – 10b) = (a2 – 2b) – 5a(a2 + 2b) = (a2 – 2b)(1 – 5a) ตอบ (a2 – 2b)(1 – 5a)

xy – st – xt + sy na + 3b + nb + 3a 5 6

วธท า = (na + nb) + (3a + 3b) = n(a + b) + 3(a + b) = (a + b)(n + 3) ตอบ (a + b)(n + 3)

วธท า = (xy + sy) – (xt + st) = (xy + sy) – (xt + st) = (x + s)(y – t) ตอบ (x + s)(y – t)

49

54


เลม 1

ค าชแจง ใหนกเรยนหาจ านวนสองจ านวนทสอดคลองกบค าถามตอไปนใหถกตอง ( 10 คะแนน )

ค าถาม ค าตอบ 1. อะไรเอย คณกนได 21 แตบวกกนได 10 4 และ 7 2. อะไรเอย คณกนได 9 แตบวกกนได 10 2 และ 8 3. อะไรเอย คณกนได – 4 แตบวกกนได 3 -1 และ 6 4. อะไรเอย คณกนได -20 แตบวกกนได 8 -3 และ 7 5. อะไรเอย คณกนได – 50 แตบวกกนได – 5 5 และ10 6. อะไรเอย คณกนได 18 แตบวกกนได – 9 -3 และ-6 7. อะไรเอย คณกนได 27 แตบวกกนได 12 -4 และ-8 8. อะไรเอย คณกนได – 6 แตบวกกนได 1 -2 และ 4 9. อะไรเอย คณกนได – 56 แตบวกกนได 1 -4 และ 9 10. อะไรเอย คณกนได – 64 แตบวกกนได 0 -7 และ-7


50

55


เลม 1



x2 + 4x + 3 1.

y2 + 6y + 5 2.

x2 + 2x + 1 3.

m2 + 6m + 8 4.

x2 – 12x + 35

5.

x2 – 8x + 15 6.

วธท า x2 + 4x + 3 = (x + 1) (x + 3) ตอบ (x + 1) (x + 3)

วธท า y2 + 6y + 5 = (y + 1) (y + 5) ตอบ (y + 1) (y + 5)

วธท า x2 + 2x + 1 = ( x + 1 )( x + 1) ตอบ ( x + 1 )( x + 1)

วธท า m2 + 6m + 8 = ( m + 2 )( m + 4) ตอบ ( m + 2 )( m + 4)

วธท า x2 – 12x + 35 = ( x – 5 )( x – 7) ตอบ ( x – 5 )( x – 7)

วธท า x2 – 8x + 15 = ( x – 3 )( x – 5) ตอบ ( x – 3 )( x – 5)

51

56


เลม 1

x2 – 16x + 60 7.

x2 + 8x – 9 8.

x2 – 6x – 16 9.

x2 + 2x – 15

10

วธท า x2 – 16x + 60 = (x – 6)(x – 10) ตอบ (x – 6)(x – 10)

วธท า x2 + 8x – 9 = (x – 1)(x + 9) ตอบ (x – 1)(x + 9)

วธท า x2 – 6x – 16 = (x + 2)(x – 8) ตอบ (x + 2)(x – 8)

วธท า x2 + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5) ตอบ (x – 3)(x + 5)

52

57


เลม 1



1. จงแยกตวประกอบของ 2y2 + 5y + 2 วธท า 2y2 + 5y + 2 = (2y + 1)(y + 2) ตอบ (2y + 1)(y + 2)

2. จงแยกตวประกอบของ 6y2 – 13y + 5 วธท า 6y2 – 13y + 5 = (2y – 1)(3y – 5) ตอบ (2y – 1)(3y – 5)

3. จงแยกตวประกอบของ 3x2 – 20x – 7 วธท า 3x2 – 20x – 7 = (3x + 1)(x – 7) ตอบ (3x + 1)(x – 7)

4. จงแยกตวประกอบของ 8y2 + 10y – 3 วธท า 8y2 + 10y – 3 = (4y – 1)(2y + 3) ตอบ (4y – 1)(2y + 3)

53

58


เลม 1

6. จงแยกตวประกอบของ 24t2 + 19t + 2 วธท า 24t2 + 19t + 2 = (8t + 1)(3t + 2) ตอบ (8t + 1)(3t + 2)

5. จงแยกตวประกอบของ 4m2 + 3m – 7 วธท า 4m2 + 3m – 7 = (4m + 7)(m – 1) ตอบ ( 4m + 7)(m – 1)

7. จงแยกตวประกอบของ 6x2 – 7x – 3 วธท า 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1) ตอบ (2x – 3)(3x + 1)

8. จงแยกตวประกอบของ 12x2 – 7x + 1 วธท า 12x2 – 7x + 1 = (4x – 1)(3x – 1) ตอบ (4x – 1)(3x – 1)

9. จงแยกตวประกอบของ 10 – 19x – 15x2 วธท า 10 – 19x – 15x2 = (– 5x + 2)(3x + 5) ตอบ (– 5x + 2)(3x + 5)

54

59


เลม 1

10. จงแยกตวประกอบของ – 2 x2 + 7x + 15 วธท า – 2 x2 + 7x + 15 = (– 2x – 3)(x – 5) ตอบ (– 2x – 3)(x – 5)

55

60


เลม 1

แบบทดสอบ คะแนนเตม คะแนนทท าได หมายเหต กอนเรยน 10 หลงเรยน 10

แบบฝกทกษะท คะแนนเตม คะแนนทท าได หมายเหต

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

รวม 60

เฉลย รอยละ

ตารางบนทกคะแนน แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม

วชาคณตศาสตรเพมเตม ค23201 ชนมธยมศกษาปท 3 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

เลมท 1 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง

ชอ.................................................................ชนมธยมศกษาปท 3/..........เลขท.................. โรงเรยน......................................อ าเภอ.........................จงหวด.........................................

56

Documents

เล่ม 18 เร อง การแยกต วประกอบพห นามด กร สองโดยใช สมบ ต การแจกแจง เล ม 1