Мр Александра Гавриловић Ива Ђукић

Дејан Тодоровић

ЕЛЕКТРОТЕХНИКA

ПРИРУЧНИК ЗА ВЕЖБЕ НА РАЧУНАРУ ПРВО ИЗДАЊЕ

ВИСОКА ШКОЛА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ И РАЧУНАРСТВА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА

БЕОГРАД, 2012.

Рецензенти: Др Петар Бошњаковић

Професор Високе школе електротехнике и рачунарства струковних студија Мр Соња Крстић

Професор Високе школе електротехнике и рачунарства струковних студија Издавач

Висока школа електротехнике и рачунарства струковних студија, Београд, Војводе Степе 283

За издавача Мр Драгољуб Мартиновић, директор

Лектор Анђелка Ковачевић

Обрада и припрема текста: Ива Ђукић Корице

Владимир Церић

Наставно веће Више електротехничке школе у Београду, на седници одржаној 30.12.2005. године, одобрило је издавање и примену овог Приручника у настави.

CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд

621.3.011 (075.8) (076) 004.42 ELECTRONICS WORKBENCH (075.8) (076) ГАВРИЛОВИЋ, Александра, 1950- Електротехника : приручник за вежбе на рачунару / Александра Гавриловић, Ива Ђукић, Дејан Тодоровић.- 1. изд.. – Београд : Висока школа електротехнике и рачунарства струковних студија, 2012 (Београд : МСТ Гајић). – 113 стр. : илустр.; 29 cm Тираж 200. – Библиографија: стр. 113. ISBN 978-86-7982-140-9 1. Ђукић, Ива, 1977 – [аутор] 2. Тодоровић, Дејан, 1972 - [аутор] а) Електрична кола - Вежбе б) Апликативни програм– ”Electronics Workbench” – Вежбе COBISS.SR-ID 194071052

Приручник за вежбе на рачунару намењен је за извођење вежби из

предмета Основи електротехнике на Вишој електротехничкој школи у Београду. Лабораторијске вежбе су реализоване у виду одговарајућих вежби на рачунару, тако да се у оквиру сваке вежбе врши симулација мерења на рачунару.

Вежбе се изводе у програмском пакету Electronics Workbench (EWB) који служи за симулацију аналогних и дигиталних електричних кола.

Приручник садржи девет вежби. Аутор првих седам вежби је мр Александра Гавриловић, аутор осме вежбе Ива Ђукић, а девете Дејан Тодоровић. Прва вежба садржи упутство за коришћење програмског пакета EWB. Све остале вежбе садрже теоријски увод који се односи на физичке величине и законе који се у оквиру сваке вежбе одређују или проверавају - прво се врши прорачун одговарајућих величина, а затим се симулацијом на рачунару одређују тражене величине.

На крају Приручника дата су тест питања за сваку вежбу. Пре сваке вежбе студенти морају да положе улазни тест на рачунару који представља комбинацију питања која су дата у Приручнику.

Надамо се да ће овакав начин рада олакшати студентима да савладају наставу из предмета Основи електротехнике.

Захваљујемо колегама др Петру Бошњаковићу и мр Соњи Крстић, професорима Више електротехничке школе у Београду, на сугестијама које су допринеле квалитету Приручника. У Београду, 25. октобра 2004. године Аутори

ВЕЖБЕ ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ

студент бр.индекса

вежба број датум оцена са

теста оцена са вежбе прегледао

1

2

3

4

5

6

7

8

9

датум одбране оцена са теста

оцена са вежбе

oцена са одбране

УКУПНА ОЦЕНА оценио

С а д р ж а ј

1. Увод у Electronics Workbench (EWB) 1

2. Омов закон 11

3. Кирхофови закони 19

4. Теорема суперпозиције 25

5. Тевененова теорема 31

6. Отпорник, кондензатор и калем у електричним колима са простопериодичним струјама 41

7. Импеданса редне везе отпорника, калема и кондензатора 51

8. Адмитанса паралелне везе отпорника, калема и кондензатора 59

9. Резонантна кола 69

Тест питања 81

Литература 113

1. УВОД У ELECTRONICS WORKBENCH (EWB)

ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Стицање основних практичних знања у вези са применом

програма Electronics Workbench (EWB) у Основама електротехнике.

2

1.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА

Electronics Workbench (EWB) је програмски пакет који ради у Windows окружењу а служи за симулацију рада аналогних и дигиталних електронских кола. Намењен је пројектантима електронских уређаја за симулацију рада електронских кола и склопова. На тај начин омогућено је уочавање евентуалних грешака и њихово исправљање пре израде, односно пре започињања процеса производње. Tиме се смањују трошкови, а време потребно за развој и освајање производње нових уређаја скраћује.

Програм EWB 5 омогућава упознавање студената електротехнике са: • начином повезивања мерних инструмената, • поступцима одређивања вредности физичких величина (као што су

напон и струја) у електричним колима и • применом теорема и основних закона у електротехници при анализи

електричних кола. 1.1.1. ПОКРЕТАЊЕ ПРОГРАМА

Постоје два основна начина за покретање (”стартовање“) програма у Windows окружењу:

• притиском (click) на леви тастер миша када је показивач (cursor) постављен на икону у доњем десном углу екрана (линија послова, Task bar). (Start � Programs � Ewb5 � Wewb32 ) или

• коришћењем пречице (shortcut), двоструким притиском (double click)

на леви тастер миша када је показивач постављен на икону на радној површини (Desktop).

Након покретања програма EWB 5 на екрану се појављује прозор приказан на слици 1.1.1.

Слика 1.1.1 Изглед основног прозора

радна област

линија наслова

линија менија

стандардна линија

линија алатки

3

1.1.2. ГЛАВНИ ПРОЗОР

Главни прозор програма EWB садржи:

• линију наслова (Tittle bar) која представља поље у горњем делу екрана и садржи назив програма, , и дугмад за минимизирање (Minimize), максимизирање (Maximize) и затварање (Close Window) приказа, ;

• линију менија (Menu bar) са основним скуповима команди за рад са датотекама које програм EWB користи,

• стандардну линију (Standard bar) са основним командама (иконама) за рад са датотекама (фајловима),

као у осталим Windows апликацијама, као и са иконама које се користе приликом цртања електричне шеме,

• линију алатки (Tool bar) са тастерима за избор елемената кола: извори напајања (Sources),

основни елементи (Basic), диоде (Diodes), транзистори (Transistors), индикатори (Indicators) и инструменти (Instruments),

• радну област (circuit window) у којој се црта шема кола које се

симулира. Слично као код већине програма који раде у Windows

окружењу, када се показивач миша постави на одређену икону, појављује се текст који објашњава функцију те иконе.

1.1.3. ЛИНИЈА МЕНИЈА Сваки мени је падајућа листа која садржи скуп одређених команди.

Постављањем показивача миша на неки од менија он добија изглед тастера. Притиском левог тастера миша на тај тастер долази до измене приказа одговарајућег дела линије менија, отвара се падајућа листа са командама а одговарајући мени тада добија изглед притиснутог тастера. Активирање жељене падајуће листе може се остварити и коришћењем тастатуре рачунара: истовременим притиском на тастер ALT и слово које је подвучено у ознаци менија (на пример, истовременим притиском на ALT и F добија се падајући мени као на страни 4).

4

Команда File омогућава рад са датотекама. Одговарајућа падајућа листа садржи опције за отварање нове (New) или постојеће датотеке (Open...), меморисање (уписивање на диск) датотеке са текућим (Save) или новим (Save As...) називом, штампање (Print...) и затварање радног прозора (Exit).

Напомена: Пре затварања радног прозора обавезно сачувајте

електричну шему!

1.1.4. СТАНДАРДНА ЛИНИЈА

Стандардна линија (Standard bar) садржи: • иконе основних операција за рад са датотекама (New, Open, Save, Print) и • иконе за рад са елементима (Cut, Copy, Paste, Rotate, Flip Horizontal, Flip

Vertical ).

Команда (New - нова датотека) отвара прозор за цртање електричне шеме.

Напомена: Новој датотеци обавезно дајте име!

На линији менија притисните на мени File, затим притисните на опцију Save As. Појављује се дијалог-прозор (dialog box) као на слици. Са тастатуре укуцајте име датотеке (фајла) у пољу file name (нпр. kolo 1).

Пошто смо дали име датотеци kolo 1, све остале измене у овој датотеци (тј. снимљеној електричној шеми), снимамо помоћу команде Save или једноставно притиском на истоимену икону. Датотеке снимљене у EWB-у имају екстензију .ewb.

Командом (Rotate) врши се обртање означеног елемента (отпорник, кондензатор, калем и сл.) или мерног инструмента (амперметар, волтметар) за 90° у смеру казаљке на сату. Вишеструком ротацијом може се означени елемент (инструмент) поставити у одговарајући положај.

Напомена: Прво треба извршити ротацију елемената, а затим њихово повезивање у електричној шеми!

Команда (Flip Horizontal) означено коло или елемент ротира по хоризонтали (пресликавање као у огледалу по хоризонтали).

5

Команда (Flip Vertical) означено коло или елемент ротира по вертикали (пресликавање као у огледалу по вертикали). 1.1.5. ЛИНИЈА АЛАТКИ

Са линије алатки у вежбама из Основа електротехнике се користе: 1.1.5.1. Извори напајања

Уземљење – маса (Ground) представља референтну тачку за све потенцијале у електричној шеми. Уколико изоставите уземљење у електричној шеми, након стартовања симулације мерења може се јавити грешка.

Батерија (Battery) представља извор једносмерног напона (вредности се задају у јединицама које могу бити у опсегу од µV до kV).

Струјни генератор (Current Source) представља извор једносмерне струје (вредности се задају у јединицама које могу бити у опсегу од 1 µА до 1 kA).

Напонски генератор (Voltage Source) представља извор простопериодичног (наизменичног) напона (вредности се задају у јединицама које могу бити у опсегу од 1 µV до 1 kV). 1.1.5.2. Основни (Basic) елементи

Отпорник (Resistor) представља пасивни елемент чији је карактеристични параметар отпoрност R.

Кондензатор (Capacitor) представља пасивни елемент чији је карактеристични параметар капацитивност C.

Калем (Inductor) представља пасивни елемент чији је карактеристични параметар индуктивност L.

1.1.5.3. Индикатори

6

Индикатори су елементи којима се симулира мерење или остварује приказ стања у колу. Индикатори који се користе у вежбама из Основа електротехнике су инструмент за мерење напона (волтметар) и инструмент за мерење струје (амперметар).

Волтметар (Voltmeter) – омогућава одређивање вредности једносмерног или наизменичног напона између појединих тачака у колу. Да би одабрали жељени режим рада двапут притисните леви тастер миша (double click) када је његов показивач постављен на волтметар. Ако одаберете наизменични режим рада, волтметар ће показивати ефективну вредност напона. Волтметар је при том подешен да има врло велику унутрашњу отпорност (1 МΩ) и практично не утиче на коло. Тамнији крај волтметра је негативан.

Напомена: Волтметар се повезује паралелно у односу на тачке у електричном колу где мерите напон!

Амперметар (Ammeter) служи за мерење једносмерне или наизменичне струје у колу. Да би одабрали жељени режим рада двапут притисните леви тастер миша (double click) када је његов показивач постављен на амперметар. Ако одаберете наизменични режим рада, амперметар ће показивати ефективну вредност струје. Амперметар је при том подешен да има веома малу унутрашњу отпорност (1 mΩ) и заправо не утиче на коло. Тамнији крај амперметра је негативан.

Напомена: Амперметар се повезује редно у грани електричног кола у којој мерите струју!

Индикатор се помоћу иконе Rotate ( или: притиском на десни тастер миша када је његов показивач постављен на индикатор �Rotate) доводи у одговарајући положај.

1.1.5.4. Инструменти

7

Инструменти који се користе у вежбама из Основа електротехнике су:

- двоканални осцилоскоп (Oscilloscope) . Подешавање размере приказа врши се за сваки канaл посебно;

- мултиметар (Multimeter) , и то у функцији омметра. 1.1.6. ПОСТАВЉАЊЕ ЕЛЕМЕНАТА Сви елементи и мерни инструменти постављају се у радну област превлачењем одговарајућег симбола са линије алатки са притиснутим левим тастером миша. Овај поступак превлачења назива се drag & drop. Може се превући онолико елемената колико је потребно.

1.1.7. БРИСАЊЕ ЕЛЕМЕНТА

Брисање елемената може се остварити на два начина. Први начин: – притисните на леви тастер миша када је његов показивач

постављен на изабрани елемент или мерни инструмент. Изабрани објекат постаје црвен. На тастатури притисните Delete.

Други начин: - притиском на десни тастер миша када је његов показивач постављен на елемент или мерни инструмент који желите да обришете, отвориће се дијалог-прозор као на слици.

У оба случаја јавља се упозорење да ће елемент бити обрисан. Доведите

показивач миша на дугме Yes и притисните тастер. 1.1.8. ПРОМЕНА КАРАКТЕРИСТИКА

На следећој слици приказан је дијалог-прозор за промену карактеристика елемента.

8

Притиском на десни тастер миша када је његов показивач постављен на одговарајући елемент отвара се дијалог-прозор. Изглед дијалог-прозора када је укључена картица Label и када је укључена картица Value приказан је на слици.

Напомена: За промену ознаке користи се картица Label, а за промену вредности изабраног елемента користи се картица Value .

1.2. ПОСТУПАК ЦРТАЊА КОЛА

Нацртати коло као на слици 1.2.1.

Слика 1.2.1

1.2.1. УНОШЕЊЕ ЕЛЕМЕНАТА Са линије алатки изабрати елементе које треба унети у радну област.

Поступком drag & drop унети два отпорника. Основна вредност отпорности, (коју програм ”нуди“ у прозору за дефинисање карактеристика отпорника), је 1 kΩ. На једном отпорнику, помоћу картице Value, вредност отпорности од 1 kΩ променити на 2 kΩ, а помоћу картице Label унети ознаку R2, како је приказано на слици 1.2.2.

1.2.2. ПОВЕЗИВАЊА ЕЛЕМЕНАТА На сликама 1.2.2, 1.2.3 и 1.2.4 приказан је начин повезивања елемената. Поставите показивач миша на крај отпорника R1. Када се појави

карактеристична (црна) тачка притисните леви тастер миша (слика 1.2.2). Држећи притиснут леви тастер миша спојите крајеве отпорника R1 и R2. (слика 1.2.3). Поставите извор електромоторне силе Е на радну површину и повежите на исти начин (слика 1.2.4).

9

Слика 1.2.2 Слика 1.2.3 Слика 1.2.4

Поставите амперметар на радну површину и ротирајте амперметар у одговарајући положај. Затим индикатор превуците на грану поред отпорника R1. Амперметар ће се редно повезати у грани електричне шеме у коју га поставите. Уколико се кроз амперметар види грана на коју је постављен, то је знак да амперметар није повезан. То ћете проверити тако што ћете пробати да амперметар померите.

Напомена: У случају да је било који елемент или мерни инструмент привидно спојен у електричној шеми јавиће се грешка при симулацији мерења.

После повезивања елемената у електричној шеми команда за започињање

симулације издаје се постављањем прекидача у положај ”1“.

1.3. ЗАДАТАК Нацртати коло приказано на слици 1.3.1.

Слика 1.3.1

Након цртања шеме, пре него што се укључи симулација, треба подесити

карактеристике волтметра и осцилоскопа.

10

Волтметар треба подесити тако да мери једносмерни напон. Поставити показивач миша на волтметар. Притиском на десни тастер миша отвориће се дијалог-прозор, како је приказано на слици 1.3.2. Подесити параметре волтметра као на датој слици.

Слика 1.3.2

Осцилоскоп подесити према слици 1.3.3.

Слика 1.3.3

Притиском на дугме Expand добија се увећана слика екрана осцилоскопа, на којој се могу извршити сва потребна очитавања, као што је приказано на слици 1.3.4.

Слика 1.3.4

2. ОМОВ ЗАКОН

Georg Simon Ohm

1787- 1854

ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Симулацијом на рачунару студенти треба да се упознају са

принципима мерења основних физичких величина у електротехници: електричне струје и електричног напона, што је примарни циљ ове вежбе. Такође, овом вежбом треба да се провери један од основних закона у електротехници - Омов закон.

12

2.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА

Омов закон је један од најраније откривених експерименталних закона у електротехници који се односи на стационарне електричне струје у проводницима.

Експеримент показује да је код многих проводника, посебно код метала, када се температура одржава сталном, јачина електричне струје директно пропорционална напону:

UGI ⋅= .

Ова релација представља Омов закон. Величина G, која има улогу константе пропорционалности, у овом закону представља електричну проводност проводника. Реципрочна вредност електричне проводности представља електричну отпорност:

GR 1= .

Помоћу електричне отпорности Омов закон се може изразити у облику у коме се најчешће даје.

Јачина електричне струје у проводнику директно је пропорционална напону на његовим крајевима, а обрнуто пропорционална његовој отпорности:

.RUI =

+ U

R

I

Еквивалентни облици Омовог закона су:

IRU ⋅= и .IUR =

Омов закон примењује се на ону врсту проводника код којих, при сталној температури, однос U/I, односно отпорност- R не зависи од јачине електричне струје. Такви проводници називају се линеарни проводници.

Јединица за електричну отпорност је Ω (ом). Отпорност од једног ома има онај проводник код кога јачина струје од једног ампера ствара потенцијалну разлику на његовим крaјевима од једног волта.

Једница за електричну проводност је S (сименс), .Ω= 1S Када се температура проводника одржава сталном отпорност зависи од

облика и димензија проводника, као и од врсте материјала од кога је направљен. За жичане проводнике од хомогеног материјала и константног попречног пресека, експериментално је одређена релација помоћу које се одређује отпорност:

,SlR ρ=

где је l – дужина проводника, S – површина попречног пресека проводника, а ρ – специфична електрична опорност која зависи од природе материјала од кога је направљен проводник и система јединица. Јединица специфичне електричне отпорности је Ωm.

Реципрочна вредност специфичне електричне отпорности је специфична електрична проводност:

13

,ρ

γ1

=

чија је јединица S/m. Специфична електрична отпорност већине метала, по правилу, расте са

температуром. За мањи опсег температура вредност ρ може се одредити из релације:

[ ],( 000 1 θθαρρ −+=

где су ρ i ρ0 вредности специфичне електричне отпорности на температурама θ и θ0, респективно, а α0 температурни коефицијент (специфичне) отпорности. Температура се даје у степенима целзијусовим. θ0 је, најчешће, или собна температура или 00C.

У простом колу које се састоји из више генератора и више отпорника јачина струје у колу може се одредити из Омовог закона за просто коло. Јачина електричне струје у простом колу једнака је количнику из алгебарског збира електромоторних сила и укупне отпорности у колу:

.∑∑±

=RE

I

Електромоторне силе (емс) сабирају се према референтном смеру електричне струје. Ако се смер електромоторне силе поклапа са смером струје емс се узима са позитивним предзнаком, уколико је смер супротан емс се узима са негативним предзнаком. За коло приказано на слици јачина струје у колу је:

.21

21

RREE

RE

I+

−=

±=∑∑

Омов закон је директна последица закона о одржању енергије, односно

снаге, у колу. Снага свих генератора мора бити једнака снази свих пријемника у колу.

Снага генератора електромоторне силе Е у коме постоји стална електрична струја јачине I, када су усклађени референтни смерови за струју и емс, је: .g EIP =

Када су реферeнтни смерови електромоторне силе и струје кроз генератор супротни (случај неусклађених референтних смерова) снага генератора је негативна и тада се генератор понаша као пријемник са електромоторном силом Е: .g EIP −=

+

+

R 1

R 2E 1

E 2I

E +

А B

I

E +

А B

I

14

Снагу претварања електричне енергије у топлоту одређује Џулов закон:

.RURIUIP

22 ===

Напон између две тачке А и B у колу, који је такође последица закона о одржању енергије, одређује се из релације:

.),(∑ −⋅=B

AAB EIRU

Референтни смер према коме се алгебарски сабирају чланови RI (напони на отпорницима) и електромоторне силе Е је од тачке А до тачке B. Уколико се смер струје поклапа са смером кретања по одсечку (од А до B) члан RI се узима са знаком плус. Ако је смер струје супротан члан RI се узима са негативним знаком. Када се смер електромоторне силе поклапа са смером кретања по одсечку та електромоторна сила се узима са знаком минус. Када је смер емс супротан од смера кретања по одсечку та емс се узима са позитивним знаком.

Напон не зависи од путање по којој се одређује већ само од положаја тачака А и B. За коло приказано на слици напон између тачака A и B је:

.IREIRU

;IREIRE)E,IR(U

AB

B

AAB

433

1122

−−−=

+++−=−⋅=∑

2.2. ПРОВЕРА ОМОВОГ ЗАКОНА

а) За просто коло приказано на слици 2.2.1 рачунским путем одредити јачину струје у колу и напон на отпорнику.

+

E

R g

R

Слика 2.2.1.

Бројне вредности: Е1 = 12 V; Rg = 0,2 Ω;

R = 5,8 Ω.

б) За коло приказано на слици 2.2.2 рачунским путем одредити вредност јачине струје у колу, и напон између тачака А и B.

15

Слика 2.2.2

Бројне вредности: Е1 = Е2 = Е4 = 12 V; Е3 = 24 V;

R1 = 6 Ω; R2 = 5,6 Ω;

Rg1 = Rg2 = Rg3 = Rg4 = 0,1 Ω.

в) Проверити теорему о одржању снаге за коло приказано на слици 2.2.2.

2.2.1. ПРОРАЧУН

а) На основу Омовог закона за просто коло, према задатим бројним вредностима и усвојеним референтним смером струје, слика 2.2.3, јачина струје у колу је:

+

E

R g

R U

I

+

Слика 2.2.3

=+

=gRR

EI ___________=_________________.

Напон на крајевима отпорника, пошто су усклађени референтни смерови за струју и напон, је:

=⋅= IRU ____________=___________________.

б) Јачина струје у колу, на основу Омовог закона за просто коло и усвојеним референтним смером струје, је:

E1E2 E3

R1

R2 Rg 2 Rg 3

R g 4Rg 1

E4

+ + + +A

B Слика 2.2.4

._________=

===±

=∑∑

RE

I

Напон UAB је:

.______________________________

______________),(

==

==−⋅=∑B

AAB EIRU

в) Снага свих генератора у колу, у односу на усвојени референтни смер

струје, је:

.________________________________ ==EP

I

16

Снага Џулових губитака свих отпорника у колу је:

.________________________________ ==RP

Проверити теорему о одржању снаге у колу:

._______________ === RE PP

2.3. АНАЛИЗА КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА а) Симулирати на рачунару коло као на слици 2.3.1.

Слика 2.3.1

Мењањем отпорности R променљивог отпорника, према Омовом закону, мења се и јачина струје у колу:

RREIg +

= .

Изабрати вредности електромоторне силе Е = 12 V и унутрашње отпорности Rg = 1 Ω и мењањем вредности отпорности R (10 Ω, 20 Ω, 30 Ω, 40 Ω, 50 Ω, ...) променљивог отпорника ”измерити“ јачину струје у колу за сваку вредност отпорности. Упоредити ”измерене“ вредности са вредностима добијеним рачунским путем на основу горње релације. Добијене резултате средити табеларно.

R(Ω)

I(A) ”измерене“вредности

I(A) израчунате вредности

б) Симулирати на рачунару коло као на слици 2.3.2. Изабрати вредности параметара кола: Е1 = Е2 = Е4 = 12 V; Е3 = 24 V; R1 = 6 Ω; R2 = 5,6 Ω; Rg1 = Rg2 = Rg3 = Rg4 = 0,1 Ω.

17

Слика 2.3.2

Амперметром ”измерити“ јачину струје у колу, а волтметром ”измерити“ напон између тачака А и В. Упоредити ”измерене“ вредности са вредностима добијеним рачунским путем. Резултате приказати табеларно.

I(A) ”измерена“вредност

I(A) израчуната вредност

UAB (V) ”измерена“вредност

UAB (V) израчуната вредност

А

B

3. КИРХОФОВИ ЗАКОНИ

Gustav Kirchoff

1824 - 1887

ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Симулацијом на рачунару студенти треба да провере први и

други Кирхофов закон који представљају основу за анализу електричних мрежа.

20

3.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА

Први и други Кирхофов закон спадају у основне законе електротехнике на којима се заснивају методе за решавање електричних мрежа.

Први Кирхофов закон представља једначину континуитета примењену на случај стационарног струјног поља. Једначина континуитета је, у суштини, математички исказ закона о одржању количине електрицитета. Први Кирхофов закон гласи: Алгебарски збир јачина струја у проводницима, који се сустичу у једном чвору електричне мреже, једнак је нули:

01

=∑=

n

kkI .

I3 I4

I2 I1

При томе се jaчине струја, чији су референтни смерови од чвора, узимају са позитивним предзнаком, а јачине струја, чији су референтни смерови ка чвору, узимају са негативним предзнаком.

Други Кирхофов закон је директна последица конзервативног карактера стационарног електричног поља, односно закона о одржању енергије. Примењује се на произвољан затворен пут у електричној мрежи и гласи:

Алгебарски збир напона дуж било ког затвореног пута у електричној мрежи једнак је нули:

( ) 0=−∑Sпутузатвореномпо, jjj IRE .

  R3  R5  

R6  

R4  

E1  

E4

E2

+  

+  

I4  

I1  

I3  

R1  

I5  

I6  

+  

У односу на произвољно изабран референтни смер обиласка по затвореном путу (контури) електромоторне силе (емс), чији се смер поклапа са смером кретања по затвореном путу, узимају се са позитивним предзнаком. Електромоторне силе, чији је смер супротан од смера кретања по затвореном путу, узимају се са негативним предзнаком.

Члан RI се узима са позитивним предзнаком ако се референтни смер струје поклапа са смером кретања по затвореном путу (у изразу за II Кирхофов закон је - RI ). Ако је референтни смер струје супротан од смера кретања дуж контуре члан RI се узима са негативним предзнаком (у изразу за II Кирхофов закон је + RI). На основу Омовог закона и првог Кирхофовог закона изведене су формуле за еквивалентну отпорност редне и паралелне везе отпорника.

21

ne RRRRR ++++= ...321

ne RRRRR1...1111

321

++++=

3.2. ПРИМЕНА КИРХОФОВИХ ЗАКОНА

За коло приказано на слици 3.2.1 рачунским путем одредити вредности јачина струја у свим гранама, и напона између означених тачака (А, B, C, D и F).

 

R3

R1  

R2  

R5

R4

R6

Е  

А B

C

D

F

Слика 3.2.1

Бројне вредности: Е = 12 V;

R1 = 1 kΩ;

R2 = 4 kΩ;

R3 = 1,2 kΩ

R4 = 2 kΩ; R5 = R6 = 1 kΩ

3.2.1. ПРОРАЧУН

а) На основу задатих вредности отпорности, могу се израчунати еквивалентне отпорности између појединих тачака у посматраном колу (слика 3.2.2).

 

R3

R1  

R2  

R5

R4

R6

Е  

А B

C

D

F

RAB

RFC

R56 RAF

Слика 3.2.2

 

R3 Е  

А B

C F

RAB

RFC  

Е  

А

F

RAF

22

RAB = R1║ R2 = =_______,

R56 = =_______,

R FC = =_______,

R AF = =_______. а) На основу израчунате вредности укупне еквивалентне отпорности

посматраног кола може се одредити вредност јачине струје I (слика 3.2.3), а потом, користећи резултате претходног прорачуна, вредности напона између назначених тачака кола. На основу добијених вредности израчунавају се јачине струја у појединим гранама кола.

 

R3

R1  

R2  

R5

R4

R6

Е  

А B

C

D

F

I1

I56 I3

I

I2

I4 Слика 3.2.3

I = =_______, UAB= =_______,

UBC= =_______, U CF= =_______,

I 1 = =_______, I 2 = =_______,

I 3 = =_______, I 56 = =_______,

I 4 = =_______.

3.2.2. ПРОВЕРА

а) Применити први Кирхофов закон за чворове B и C.

Чвор B: Чвор C:

б) Применити други Кирхофов закон за затворене путеве F-D-C-F и A-B-C-D-F-A.

Пут F-D-C-F: Пут A-B-C-D-F-A:

23

3.3. АНАЛИЗА КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА а) Симулирати на рачунару коло као на слици 3.3.1 и ”измерити“ јачине струја

у гранама кола.

R3

R1

R2

R5

R4

R6

Е

А B

C

D

E

А

А

А А

А

А

I1

I2

I3

I4

I5

I

амперметар

Слика 3.3.1

I1 =____________ ,

I2 =____________ ,

I3 =____________ ,

I4 =____________ , I5 =____________ , I =____________ .

б) Применити први Кирхофов закон за чворове B и C. Чвор B:

Чвор C:

в) Симулирати на рачунару коло као на слици 3.3.2 и ”измерити“ напоне између назначених тачака кола.

R3

R1

R2

R5 R4

R6

Е

А B

C

D

F

V

V

V V

V

волтметар

Слика 3.3.2

UAB=_______,

UBC =_______,

UCD=_______,

UDF =_______,

UCF =_______.

24

г) Проверити други Кирхофов закон за затворене путеве F-D-C-F и A-B-C-D-F-A.

Пут F-D-C-F:

Пут A-B-C-D-F-A:

4. ТЕОРЕМА СУПЕРПОЗИЦИЈЕ

E1

= R1

+

a

R

b

IS

кратак спој

+ R1

a

R

b

IS прекид

E1

R1

+

a

R

b

ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Циљ ове вежбе је да студенти симулацијом на рачунару

провере теорему суперпозиције, која има велики практични значај као ефикасно помоћно средство при решавању проблема анализе и синтезе линеарних електричних мрежа.

26

4.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА

Према теореми суперпозиције јачина струје у било којој грани линеарне електричне мреже једнака је алгебарском збиру јачина струја према истом референтном смеру које би у тој грани постојале када би сваки извор (генератор) деловао појединачно.

Принцип суперпозиције је директна последица линеарне зависности јачине струје у гранама мреже од електромоторних сила напонских и струја струјних генератора у мрежи.

Када у мрежи делује већи број напонских и идеалних струјних генератора стање у мрежи се може схватити као суперпозиција стања која постоје у мрежи када сваки генератор, или групе генератора, делујe појединачно. Искључивање напонских генератора врши се тако што се поништава дејство њихових електромоторних сила (прикључци извора напона се кратко спајају) а унутрашње отпорности остају. Искључивање идеалних струјних генератора врши се поништавањем њихових струја, односно прекидањем (одстрањивањем) грана у којима се они налазе.

Применом теореме суперпозиције решавање електричне мреже своди се на решавање већег броја знатно упрошћених, или чак простих, кола. На слици 4.1.1 приказана је мрежа у којој делује један напонски и један идеални струјни генератор. Применом теореме суперпозиције ова мрежа се своди на два кола, од којих прво представља струјни разделник, а друго просто коло. У првом стању делује само идеални струјни генератор. Напонски генератор је искључен тако што су кратко спојени крајеви електромоторне силе E1, док је унутрашња отпорност остала. У другом стању делује само напонски генератор. Деловање струјног генератора поништено је тако што је он искључен из кола, па је та грана прекинута.

E1 =

R1

+

a

R

b

IS

кратак спој

+

R1

a

R

b

IS прекид

E1

R1

+

a

R

b

Слика 4.1.1

Ова теорема се најчешће примењује када треба да се одреди јачина струје у једној грани мреже.

Теорема суперпозиције се, на исти начин, може применити и за одређивање напона у колу.

4.2. ПРИМЕНА ТЕОРЕМЕ СУПЕРПОЗИЦИЈЕ

27

Применом теореме суперпозиције за коло приказано на слици 4.2.1 одредити

јачину струје I . а) Одредити јачину струје Iʹ′ када у колу делује само напонски генератор Е1. б) Одредити јачину струје Iʹ′ ʹ′ када у колу делује само напонски генератор Е2. в) Одредити јачину струје Iʹ′ ʹ′ ʹ′ када у колу делује само струјни генератор I S.

 

+  

R1

+   E2 E1

I

a

R

b

R3

IS R2

Бројне вредности: E1 = 24 V,

E2 = 12 V, Is = 100 mA,

R1 = 600 Ω,

R2 = 400 Ω,

R3 = 300 Ω,

R = 500 Ω.

Слика 4.2.1 а) Када у колу делује само напонски генератор електромоторне силе (емс) E1

коло је приказано на слици 4.2.2.а. Напонски генератор емс E2 је искључен тако што је његова емс кратко спојена. Струјни генератор јачине струје Is је искључен тако што је извађен из кола.  

R1

+  

E1

a

R

b

R3

R2

кратак спој

прекид

I’1

I’

 

R1

+  

E1

a

b

R‘е

I‘1

а) б)

Слика 4.2.2 Јачина струје Iʹ′ у грани са отпорником отпорности R се, на основу Омовог закона, може одредити преко напона Uabʹ′.

.ab

RUI

ʹ′=ʹ′

Напон Uabʹ′ је напон на паралелној вези отпорника отпорности R и R2. Када се ова веза отпорника замени отпорником еквивалентне отпорности:

______,==+

⋅=ʹ′

2

2

RRRR

Re

добија се просто коло као на слици 4.2.2.б. Јачина струје у овом колу, по Омовом закону, је:

28

_____,__________)(

==++

+=

+ʹ′=ʹ′

2112

21

1

11 RRRRRR

RRE

RR

EI

e

па је напон

._______________ab ==++

⋅⋅=ʹ′⋅ʹ′=ʹ′

2112

211 RRRRRR

RREIRU e

Заменом у изразу за јачину струје Iʹ′ добија се:

._______________ ==++

⋅=ʹ′

2112

21

RRRRRRRE

I

б) Када у колу делује само напонски генератор електромоторне силе E2 коло

је приказано на слици 4.2.3.а. Напонски генератор емс E1 је искључен тако што је његова емс кратко спојена. Струјни генератор јачине струје Is је искључен тако што је извађен из кола. Јачину струје Iʹ′ ʹ′ у грани са отпорником отпорности R одредити на исти начин, свођењем на просто коло приказано на слици 4.2.3.б, као и јачину струје Iʹ′ у претходном колу.  

R1

+  E2

a

R

b

R3

R2

кратак спој

прекид

I’’1

I’’

I’’2

 

R2

+  

E2

a

b

R‘‘е

I‘‘2

а) б)

Слика 4.2.3

______,'' ==eR

_____,__________'' ==2I

._______________''ab ==U

._______________'' ==I в) Када у колу делује само идеални струјни генератор коло је приказано на

слици 4.2.4.а. Електромоторне силе E1 и E2 напонских генератора су кратко

29

спојене. И у овом колу се јачина струје Iʹ′ ʹ′ ʹ′ у грани са отпорником отпорности R одређује преко напона на његовим крајевима:

.ab

RUIʹ′ʹ′ʹ′

=ʹ′ʹ′ʹ′

Напон abU ʹ′ʹ′ʹ′ је напон на паралелној вези отпорника отпорности R, R 1 и R 2. Када се ова веза замени отпорником еквивалентне отпорности:

_____,=++

⋅⋅⇒++=

ʹ′ʹ′ʹ′ 2112

21

21

1111RRRRRR

RRRRRRR

добија се просто коло приказано на слици 4.2.4.б.  

R1

a

R

b

R3

R2

кратак спој I’’’1

I’’’

I’’’2

IS

кратак спој

 

R3

IS

a

b

R‘‘ ‘е

а) б)

Слика 4.2.4 Како је јачина струје у овом колу одређена струјом идеалног струјног генератора Is, напон на отпорнику отпорности R ʹ′ʹ′ʹ′ (односно напон на паралелној вези отпорника) је:

._______________ab ==++

⋅⋅⋅=⋅ʹ′ʹ′ʹ′=ʹ′ʹ′ʹ′

2112

21

RRRRRRRRRIIRU s

se

Јачина струје I ʹ′ʹ′ʹ′ је :

._______________ ==++

⋅⋅=ʹ′ʹ′ʹ′

2112

21

RRRRRRRRII s

4.3. АНАЛИЗА КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА а) Симулирати на рачунару коло као на слици 4.3.1 и ”измерити“ јачину струје

Iʹ′ у грани са отпорником отпорности R.  

R1

+  

E1

a

R

b

R2

I’

А

Iʹ′ = _______________.

Слика 4.3.1 б) Симулирати на рачунару коло као на слици 4.3.2 и ”измерити“ јачину струје

Iʹ′ ʹ′ у грани са отпорником отпорности R.

30

 

R1

+  

E2

a

R

b

R2

I’’

А

Iʹ′ ʹ′ = _______________.

Слика 4.3.2. в) Симулирати на рачунару коло као на слици 4.3.3 и ”измерити“ јачину струје

Iʹ′ ʹ′ ʹ′ у грани са отпорником отпорности R.  

R1

a

R

b

R2

I’’’

А

R3

IS

Iʹ′ ʹ′ ʹ′ = _______________.

Слика 4.3.3

г) Симулирати на рачунару коло као на слици 4.3.4 и ”измерити“ јачину струје I у грани са отпорником отпорности R.

 

R1

a

R

b

R2

I

А

R3

IS

+  

E1 +  

E2

I = _______________.

Слика 4.3.4

5. ТЕВЕНЕНОВА ТЕОРЕМА

R2

E2

R1

E1 Rp

a

b

ЕT

I

a

RT

b

Rp

ЦИЉ ВЕЖБЕ Циљ ове вежбе је да студенти симулацијом на рачунару

примене Тевененову теорему, која има велики практични значај као ефикасно помоћно средство при решавању проблема анализе и синтезе нелинеарних електричних мрежа.

32

5.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА

Према Тевененовој теореми електрична мрежа се у односу на било која два краја, било које две тачке, понаша као еквивалентан напонски - Тевененов генератор. Електромоторна сила - ЕТ овог генератора једнака је напону између посматраних тачака кад су те тачке, односно крајеви Тевененовог генератора, отворене (што представља напон празног хода Тевененовог генератора). Унутрашња отпорност - RТ овог генератора једнака је еквивалентној отпорности између посматраних тачака, гледано са стране тих тачака, када су сви извори у колу искључени. Извори се искључују тако што се поништава дејство електромоторних сила напонских генератора (кратко се спајају) и струја струјних генератора (струјни извори се искључују), при чему њихове унутрашње отпорности остају у колу.

Тевененова теорема се примењује када треба да се одреди јачина струје у једној грани мреже, код решавања електричних мрежа са једним нелинеарним елементом, код прилагођења пријемника по снази у електричној мрежи итд.

Применом ове теореме паралелна веза два напонска генератора (слика 5.1.1) може се заменити једним еквивалентним напонским генератором – Тевененовим генератором (слика 5.1.2).

R2

E2

R1

E1 Rp

a

b

Слика 5.1.1.

ЕT

I

a

RT

b

Rp

Слика 5.1.2.

Коло за одређивање електромоторне силе Тевененовог генератора добија се из кола на слици 5.1.1 када се грана са отпорником отпорности Rp извади из кола, што је приказано на слици 5.1.3. Електромоторна сила ЕТ једнака је напону

R2

E2

R1

E1

a

b

I1

Слика 5.1.3.

између тачака а и b:

122abT IREUE .

Пошто је јачина струје у колу са слике 5.1.3

21

211 RR

EEI

,

тражена електромоторна сила ЕТ је:

.21

1221

21

2122abT RR

RERE

RR

EEREUE

Коло за одређивање унутрашње отпорности Тевененовог генератора RТ добија се када се сви извори у колу приказаном на слици 5.1.1 искључе и када се грана са отпорником отпорности Rp извади из кола (слика 5.1.4).

33

R2 R1

a

b

RТ

Слика 5.1.4.

Напонски генератори су искључени тако што су кратко спојени крајеви електромоторних сила Е1 и Е2, а отпорности су остале. Унутрашња отпорност Тевененовог генератора RТ једнака је еквивалентној отпорности између тачака а и b:

.21

21abT RR

RRRR

Свака паралелна веза два напонска генератора може се заменити еквивалентним напонским генератором (Тевененовим генератором) чије су карактеристике:

,T21

12

21

21 RR

RE

RR

REE

.T

21

21

RR

RRR

Када се одреде параметри Тевененовог генаратора одређује се тражена јачина струје у грани са отпорником отпорности Rp из еквивалентног кола (слика 5.1.2). Јачина струје према Омовом закону је:

.T

T

RR

EI

У колу које поред напонских генератора садржи и струјне генераторе,

параметри Тевененовог генератора одређују се на исти начин. На слици 5.1.5 приказано је коло у коме применом Тевененове теореме треба одредити јачину струје у грани са отпорником отпорности Rp.

R2

Е Rp

R1

a

b

IS

Слика 5.1.5.

ЕT

Rp

I

RT

a

b

Слика 5.1.6.

Цело коло између тачака а и b замењено је реалним напонским – Тевененовим генератором тако да је добијено просто коло приказано на слици 5.1.6.

34

R2

Е

R1

a

b

IS

Слика 5.1.7.

Електромоторна сила ЕТ једнака је напону између тачака а и b када је грана са отпорником отпорности Rp извађена из кола (слика 5.1.7). Како је дато коло просто и у њему делује идеални струјни генератор, јачина струје у колу једнака је јачини струје идеалног струјног генератора. Напон

abU je:

sIREUE 1abT .

Отпорност RТ Тевененовог генератора одређује се као еквивалентна отпорност између тачака a и b када су сви извори у колу искључени и када је грана са отпорником отпорности Rp извађена из кола, слика 5.1.8.

R2

R1

a

b

RТ

Слика 5.1.8.

Напонски генератор је искључен тако што су кратко спојени крајеви електромоторне силе Е а унутрашња отпорност је остала. Да би се поништило дејство струјног генератора (да би струја била једнака нули) он се вади из кола. Унутрашња отпорност Тевененовог генератора RТ једнака је еквивалентној отпорности између тачака а и b:

.1abT RRR

Отпорник отпорности R2 не утиче на еквивалентну отпорност јер није везан у колу.

Када се одреде параметри Тевененовог генаратора одређује се тражена јачина струје у грани са отпорником отпорности Rp из еквивалентног кола (слика 5.1.6). Јачина струје према Омовом закону је:

.p1

S1

pT

T

RR

IRE

RR

EI

5.2. ПРИМЕНА ТЕВЕНЕНОВЕ ТЕОРЕМЕ

5.2.1. ЗАДАТАК 1

У мрежи која садржи само напонске генераторе, приказаној на слици 5.2.1, применом Тевененове теореме, одредити јачину струје у грани са отпорником отпорности R.

R2

E2

R1

E1 R

a

b

Бројне вредности: E1 = 12 V, E2 = 24 V, R1 = 600 , R2 = 400 , R = 240 .

Слика 5.2.1

Према Тевененовој теореми, цела мрежа између тачака а и b, може се заменити једним реалним напонским генератором.

35

а) Одређивање електромоторне силе - ЕТ Тевененовог генератора

Електромоторна сила Тевененовог генератора одређује се тако што се грана са отпорником отпорности R ( грана у којој се одређује струја) извади из мреже и одреди напон Uаb између тачака а и b. Коло за одређивање ЕТ дато је на слици 5.2.2.а.

Напон Uаb , у овом простом колу, је:

122 IREERIU ) ,(b

aab .

Јачина струје, према усвојеном референтном смеру као на слици 5.2.2.а, по Омовом закону је:

.21

211 RR

EEI

Заменом у изразу за напон Uаb добија се електромоторна сила Тевененовог генератора:

._________________abT

21

1221

21

2122 RR

RERE

RR

EEREUE

R2

E2

R1

E1

a

b

I1

a)

R2 R1

a

b

RТ

б)

Слика 5.2.2

б) Одређивање унутрашње отпорности - RТ Тевененовог генератора

Унутрашња отпорност Тевененовог генератора одређује се као еквивалентна отпорност између тачака а и b када се грана са отпорником отпорности R извади из мреже, и када се сви извори у мрежи искључе. Електрична мрежа на слици 5.2.1 садржи само напонске генераторе који се искључују тако што им се кратко спаја електромоторна сила. На слици 5.2.2.б је приказано коло за одређивање RТ.

Еквивалентна отпорност између тачака а и b (унутрашња отпорност Тевененовог генератора) је отпорност паралене везе отпорника отпорности R1 и

R2.

.____________abT

21

21

RR

RRRR

Препорука:

Поновити поступак одређивања карактеристика Тевененовог генератора када је промењен смер електромоторне силе једног од генератора.

36

в) Еквивалентно коло Када су одређене карактеристике Тевененовог генератора цела мрежа

између тачака а и b замењује се овим генератором и прикључује грана са отпорником отпорности R, тако да се добије просто коло приказано на слици 5.2.3.

R

RТ

EТ

a

b

I

Јачина струје према Омовом закону и усвојеним референтним смером је:

._________________T

T

RR

EI

Слика 5.2.3

г) Симулација на рачунару

R2

E2

R1

E1

a

b

V

Слика 5.2.4

Симулирати на рачунару коло приказано на слици 5.2.4 и ”измерити“ волтметром напон између тачака а и b.

R2 R1

a

b

Слика 5.2.5

Симулирати на рачунару коло приказано на слици 5.2.5 и омметром ”измерити“ отпорност између тачака а и b. RT = Rab =____________.

a

R Т

E Т

a

b

R

I A

Слика 5.2.6

Када су одређене карактеристике Тевененовог генератора симулирати еквивалентно коло приказано на слици 5.2.6. Амперметром ”измерити“ јачину струје у колу. I = __________.

37

Упоредите ”измерене“ вредности са рачунски добијеним и попуните табелу. ЕТ(V) RТ() I(A)

”измерене“ вредности

израчунате вредности

Препорука: Симулирати коло када је промењен смер електромоторне силе једног од генератора и поновити цео поступак.

5.2.2. ЗАДАТАК 2

У мрежи која поред напонских генератора садржи и идеални струјни генератор, приказаној на слици 5.2.7, применом Тевененове теореме, одредити јачину струје у грани са отпорником отпорности R.

a

b

R

R3

E3

R1 R4

E1

E2

IS

b

c

Слика 5.2.7

Бројни подаци: E1 = 12 V, E2 = 24 V, E3 = 24 V Is = 60 mA, R1 = 300 , R3 = 600 , R4 = 500 , R = 240 .

а) Одређивање електромоторне силе - ЕТ Тевененовог генератора

Да би се одредила електромоторна сила - ET Тевененовог генератора грана са отпорником отпорности R вади се из мреже и одређује напон између тачака a и b. Коло за одређивање ET је приказано на слици 5.2.8.

a

b

R3

E3

R1 R4

E1

E2

IS

ET

b

c

I3

I1

Слика 5.2.8

.) ,(b

aabT 333 IREERIUE

Да би се одредио напон Uаb мора се одредити јачина струје I3. Један од начина је непосредна примена Кирхофових закона ( Вежба број 3).

.

Применом првог Кирхофовог закона на чвор c може се изразити јачина

струје I1:

.11 ss IIIIII 33 0

Други Кирхофов закон примењен на контуру c-а-b-Е1-c је:

38

.01113332 EIRIREE

Заменом израза за јачину струје I1 у горњој једначини добија се јачина струје I3.

.______________________

)(

31

13213

3133321

RR

IREEEI

IIRIREEE

s

s

Електромоторна сила Тевененовог генератора је:

._______________333abT IREUE

б) Одређивање унутрaшње отпорности - RТ Тевененовог генератора

Унутрашња отпорност Тевененовог генератора одређује се као еквивалентна отпорност између тачака а и b када се грана са отпорником отпорности R извади из мреже и када се сви извори у мрежи искључе. Напонски генератори се искључују тако што им се кратко спаја електромоторна сила. Струјни генератори се искључују тако што се ваде из кола. Отпорници редно везани за струјни генератор остају неповезани у пасивној мрежи, тако да не утичу на унутрашњу отпорност Тевененовог генератора. На слици 5.2.9 приказано је коло за одређивање RТ .

a

b

RT

R3 R1 R4

Слика 5.2.9

Еквивалентна отпорност између тачака а и b (унутрашња отпорност Тевененовог генератора) је отпорност паралелне везе отпорника отпорности R1

и R3 ( слика 5.9).

.____________abT

31

31

RR

RRRR

в) Еквивалентно коло

Када су одређене карактеристике Тевененовог генератора цела мрежа између тачака а и b замењује се овим генератором и прикључује грана са отпорником отпорности R, тако да се добије просто коло приказано на слици 5.2.10.

39

RТ

EТ

a

b

R

I

Слика 5.2.10

Јачина струје према Омовом закону и усвојеним референтним смером је:

._________________T

T

RR

EI

г) Симулација на рачунару

a

b

R3

E3

R1 R4

E1

E2

IS

V

Слика 5.2.11

Симулирати на рачунару коло приказано на слици 5.2.11 и ”измерити“ волтметром напон између тачака а и b. Uab = _____________.

a

b

R3 R1 R4

Слика 5.2.12

Симулирати на рачунару коло приказано на слици 5.2.12 и омметром ”измерити“ отпорност између тачака а и b. RT = Rab =____________.

a

R Т

E Т

a

b

R

I A

Слика 5.2.13

Када су одређене карактеристике Тевененовог генератора симулирати еквивалентно коло приказано на слици 5.2.13. Амперметром ”измерити“ јачину струје у колу. I = __________.

40

Упоредите ”измерене“ вредности са рачунски добијеним и попуните табелу.

ЕТ(V) RТ() I(A)

”измерене“ вредности

израчунате вредности

6. ОТПОРНИК, КОНДЕНЗАТОР И КАЛЕМ У ЕЛЕКТРИЧНИМ КОЛИМА СА

ПРОСТОПЕРИОДИЧНИМ СТРУЈАМА

ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Циљ ове вежбе је да се студенти упознају са таласним

облицима струја и напона у основним колима наизменичне струје.

42

6.1. ОТПОРНИК У КОЛУ ПРОСТОПЕРИОДИЧНЕ СТРУЈЕ

6.1.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА

Посматра се идеални отпорник прикључен на простопериодичан напон. Идеални отпорник је отпорник који је окарактерисан само својом отпорношћу R. Отпорник је линеаран, што значи да му отпорност, на сталној температури, не зависи од јачине струје и прикљученог напона. Отпорник је прикључен на простопериодичан напон, (слика 6.1.1) тренутне вредности:

)2sin(2)sin()( θπθω +=+= tfUtUtu m , где је Um – амплитуда (максимална вредност),

U - ефективна вредност (2

mUU = ),

f – фреквенција, fπω 2= - кружна учестаност, а

θ почетна фаза прикљученог напона.

 

R u(t)   i(t)  

Слика 6.1.1

Према Омовом закону, у сваком тренутку напон на крајевима отпорника, када су усклађени референтни смерови за напон и струју као на слици 6.1.1, је сразмеран јачини струје: u(t) = R i(t). Јачина струје се, такође, мења по простопериодичном закону, исте кружне учестаности ω , амплитуде Im и почетне фазе ψ :

)sin()sin()()( ψωθω

+=+

== tIRtU

Rtuti m

m .

Максимална вредност (амплитуда) напона на крајевима отпорника је: Um = R Im.

Струја кроз отпорник и напон на његовим крајевима су у фази, односно разлика фаза ϕ између напона и струје у колу једнака је нули:

ϕ = θ - ψ = 0. Дијаграм тренутних вредности јачине струје кроз отпорник и напона на

његовим крајевима приказан је на слици 6.1.2 а, док је одговарајући фазорски дијаграм приказан на слици 6.1.2 б.

 

iR(t)

u,i

t 0  

ω

U    R

I    R

θ  

π   2π  

uR(t)

а) б)

Слика 6.1.2

6.1.2. АНАЛИЗА ОТПОРНИЧКОГ РАЗДЕЛНИКА НАПОНА

43

u(t)

R2 i(t)

uR(t) R1

Слика 6.1.3

Симулирати на рачунару коло приказано на слици 6.1.3 и ”снимити“ таласне облике напона и струје у колу при побуди простопериодичним сигналом амплитуде 10 V и учестаности 10 kHz. R1 = 1 kΩ, R2 = 9 kΩ.

Резултате анализе приказати на графику 6.1.1.

Израчунати вредност амплитуде напона на отпорнику R1.

URm =___________.

u(t)

R2 = 9 kΩ i(t)

uR(t)

R1 = 1 kΩ

Слика 6.1.4

Напомена: Када се снимају таласни облици струја и напона, пошто је напон на отпорнику сразмеран струји кроз њега, на осцилоскопу треба посматрати напон на улазу кола, односно извору напона u(t) (на једном каналу), и напон на излазу кола, односно отпорнику R1 (на другом каналу), слика 6.1.4.

График 6.1.1 Отпорнички разделник Простопериодична побуда

f =10 kHz, T = ms x (ms/pod)

улаз - канал 1 (V/pod)

излаз - канал 2 (V/pod)

6.2. КОНДЕНЗАТОР У КОЛУ ПРОСТОПЕРИОДИЧНЕ СТРУЈЕ

44

6.2.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА

Посматра се идеални кондензатор прикључен на простопериодичан напон. Идеални кондензатор је кондензатор који је окарактерисан само својом капацитивношћу C. Кондензатор је линеаран, што значи да његова капацитивност не зависи од оптерећености и напона.

Када је кондензатор прикључен на простопериодичан напон, слика 6.2.1, тренутне вредности:

),sin()( θω += tUtu m где је Um максимална вредност, ω кружна учестаност, а θ почетна фаза прикљученог напона, оптерећеност кондензатора је:

Cuq = .

C u(t) i(t)

Слика 6.2.1

Јачина струје у колу, када су усклађени референтни смерови за напон и струју као на слици 6.2.1, у сваком тренутку је:

).2

sin()cos(d)(d

d)(d)( π

θωωθωω ++=+=== tCUtCUttuC

ttqti mm

Јачина струје у колу се такође мења по простопериодичном закону општег облика:

)sin()( ψω += tIti m ,

где је Im максимална вредност, а ψ почетна фаза струје. Упоређујући ова два израза за струју може се закључити да струја кроз кондензатор предњачи напону на његовим крајевима за π /2, тако да је разлика фаза, ϕ , између напона и струје у колу:

2π

ψθϕ −=−= .

Максимална вредност напона је:

CI

U mm ω= .

Однос максималних, односно ефективних, вредности напона и струје:

Cm

m XCI

UIU

===ω1

представља реактансу кондензатора.

45

Дијаграм тренутних вредности јачине струје кроз кондензатор и напона на њему приказан је на слици 6.2.2 а, док је одговарајући фазорски дијаграм приказан на слици 6.2.2 б.

u,i

ωt

ψ

θ

π

iC uC

2π UC

IC

а) б)

Слика 6.2.2

6.2.2. АНАЛИЗА КОЛА СА КОНДЕНЗАТОРОМ

u(t)

R

i(t)

C uC(t)

+

Слика 6.2.3

У колу приказаном на слици 6.2.3 је ефективна вредност прикљученог простопериодичног напона U = 20 V, фреквенција f = 1,5 kHz, отпорност отпорника R = 10 Ω и капацитивност кондензатора C = 100 nF.

а) Одредити рачунским путем реактансу кондензатора. б) Симулацијом посматраног кола и коришћењем амперметра и волтметра, ”измерити“ реактансу кондензатора. в) ”Снимити“ таласне облике напона на крајевима кондензатора и струје у колу и ”измерити“ њихову разлику фаза.

Резултате анализе приказати на графику 6.2.1. У посматраном колу отпорник је везан на ред са кондензатором да би, посматрањем напона на његовим крајевима, могли да снимамо таласни облик струје (пошто су код отпорника напон и струја у фази).

а) Израчунати реактансу кондензатора:

._____________________________211

C ====CfC

Xπω

46

u(t)

R

i(t)

uR(t) C V

А

Слика 6.2.4

б) Симулирати коло као на слици 6.2.4. U = 20 V, f = 1,5 kHz, R = 10 Ω, C = 100 nF.

Амперметром ”измерити“ ефективну вредност струје у колу, I, волтметром ”измерити“ ефективну вредност напона на кондензатору, U, па на основу забележених вредности одредити реактансу кондензатора.

._____________________C ====IU

IUXm

m

uR(t)

u(t)

R

i(t)

C uC(t)

+

+

Слика 6.2.5

в) Да би се посматрали таласни облици напона и струје прикључује се осцилоскоп. Симулирати коло као на слици 6.2.5. U = 20 V, f = 1,5 kHz, R = 10 Ω, C = 100 nF.

”Снимити“ таласне облике напона на крајевима кондензатора и струје у колу и одредити њихову разлику фаза. Осцилоскопом се снимају промене напона у зависности од времена. Осцилоскоп програмског пакета ЕWB садржи два маркера, који се могу произвољно поставити на временској оси осцилоскопа. Њихови тренутни положаји, као и временски интервал који ограничавају, могу се прочитати на увећаној слици осцилоскопа. Ови маркери се могу искористити за одређивање фазне разлике између два сигнала (у овом случају фазне разлику између синусоиде која представља напон и синусоиде која представља струју на посматраном елементу). Стога је потребно утврдити везу између прочитаног временског интервала (у секундама) и фазне разлике (у радијанима). Из израза за тренутну вредност простопериодичне величине (напона или струје) у тренуцима t и �t:

47

)sin()( θω += tUtu m

)sin())(sin()( θωωθω +Δ+=+Δ+=Δ+ ttUttUttu mm

види се да је промена фазе, tΔω , сразмерна угаоној учестаности ω . Дакле, фазна разлика између две простопериодичне величине (исте учестаности), међусобно померене у времену за временски интевал �t, добија се множењем тог временског интервала �t и угаоне учестаности ω . Ако су посматране простопериодичне величине напон и струја, тада је фазна разликаизмеђу њих:

tΔ==− ωϕψθ .

Напомена: Према ознакама на слици 6.2.5 на каналу А осцилоскопа посматра се напон -uR(t). Промена смера простопериодичне величине мења почетну фазу те величине за π радијана.

График 6.2.1 Кондензатор у колу

простопериодичне струје f =1,5 kHz, T = ms

x (ms/pod) улаз - канал 1 V/pod) излаз - канал 2 (V/pod)

_______________=Δ= tC ωϕ

6.3. КАЛЕМ У КОЛУ ПРОСТОПЕРИОДИЧНЕ СТРУЈЕ

6.3.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА

Посматра се идеални индуктивни елемент (прост калем) прикључен на простопериодичан напон. Прост калем је калем који је окарактерисан само својом индуктивношћу L. Калем је линеаран, што значи да индуктивност калема не зависи од јачине струје ( не садржи феромагнетско језгро).

L u(t) i(t)

Слика 6.3.1

Када кроз индуктивни елемент постоји струја чија се јачина мења по простопериодичном закону, слика 6.3.1, тренутна вредност јачине струје дата је изразом:

)sin()( ψω += tIti m ,

где је Im максимална вредност а ψ почетна фаза струје.

48

Напон на крајевима овог елемента, када су усклађени референтни смерови за напон и струју, као на слици 6.3.1, у сваком тренутку према Фарадејевом закону, је:

).2

sin()cos()(d)(d)( π

ψωωψωω ++=+== tLItILttiLtu mm

Општи израз по коме се мења тренутна вредност овог напона је:

)sin()( θω += tUtu m , где је Um максимална вредност, а θ почетна фаза прикљученог напона.

Michael Faraday

1791-1867

Упоређујући ова два израза за напон може се закључити да напон на крајевима индуктивног елемента предњачи струји кроз њега за π/2 тако да је разлика фаза напона и струје:

.2π

ψθϕ =−=

Максимална вредност напона је:

mm LIU ω= .

Однос максималних, односно ефективних, вредности напона и струје представља реактансу XL индуктивног елемента:

Lm

m XLIU

IU

=== ω .

Дијаграм тренутних вредности напона на индуктивном елементу и јачине струје кроз њега дат је на слици 6.3.2 а, док је њихов фазорски дијаграм дат на слици 6.3.2 б.

u,i

ωt

θ

ψ

π

iL uL

2π

UL

IL

а) б)

Слика 6.3.2

49

6.3.2. АНАЛИЗА КОЛА СА КАЛЕМОМ

 

u(t)  R

i(t)  

L uL(t)  

+

Слика 6.3.3

У колу приказаном на слици 6.3.3 је ефективна вредност прикљученог простопериодичног напона U = 20 V, фреквенција f = 1,5 kHz, отпорност отпорника R = 10 Ω и индуктивност калема L = 20 mH.

а) Одредити рачунским путем реактансу калема.

б) Симулацијом посматраног кола и коришћењем амперметра и волтметра, ”измерити“ реактансу калема.

в) ”Снимити“ таласне облике напона на крајевима калема и струје у колу и ”измерити“ њихову разлику фаза.

Резултате анализе приказати на графику 6.3.1.

У посматраном колу отпорник је везан на ред са калемом, да би посматрањем напона на његовим крајевима могли да снимамо таласни облик струје (пошто су код отпорника напон и струја у фази).

а) Израчунати реактансу калема:

._____________________________2 ==== fLLXL πω

u(t)

R

i(t)

uR(t) L V

А

Слика 6.3.4

б) Симулирати коло као на слици 6.3.4. Изабрати ефективну вредност прикљученог простопериодичног напона U = 20 V, фреквенцију f = 1,5 kHz, отпорност отпорника R = 10 Ω и индуктивност калема L = 20 mH.

Амперметром ”измерити“ ефективну вредност струје у колу, волтметром ”измерити“ ефективну вредност напона на калему, па на основу забележених вредности одредити реактансу калема.

._____________________L ====IU

IUXm

m

50

uR(t)

u(t)

R

i(t)

L

uL(t)

+

+

Слика 6.3.5

в) Да би се посматрали таласни облици напона и стује прикључује се осцилоскоп. Симулирати коло као на слици 6.3.5.

U = 20 V, f = 1,5 kHz, R = 10 Ω, L = 20 mH.

”Снимити“ таласне облике напона на крајевима калема и струје у колу и одредити њихову разлику фаза. Напомена: Према ознакама на слици 6.3.5 на каналу А осцилоскопа посматра се напон -uR(t). Промена смера простопериодичне величине мења почетну фазу те величине за π радијана.

График 6.3.1 Калем у колу

простопериодичне струје f = 1,5 kHz, Т = ms

x (ms/pod)

улаз - канал 1 (V/pod)

излаз - канал 2 (V/pod)

_______________=Δ= tL ωϕ

7. ИМПЕДАНСА РЕДНЕ ВЕЗЕ, ОТПОРНИКА, КАЛЕМА И КОНДЕНЗАТОРА

ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Циљ вежбе је да се студенти упознају са појмом импедансе

на примеру R, L, C кола са редном везом елемената, прикљученог на извор простопериодичног напона. Такође, студенти треба да се упознају са разликом фаза између напона на крајевима ове везе и струје кроз коло, посматрањем ових величина на осцилоскопу.

52

7.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Посматра се део кола простопериодичне струје које се састоји од идеалног отпорника, идеалног калема и идеалног кондензатора везаних на ред (сл. 6.1.1). Сви елементи кола су линеарни. Између крајева ове везе одржава се простопериодични напон:

u(t) = Um sin (ω t + θ),

где је Um – амплитуда (максимална вредност), ω кружна учестаност, а θ почетна фаза прикљученог напона.

 

u(t)  

i(t)  

L R C

Слика 7.1.1

Тренутне вредности напона на појединим елементима (Вежба бр. 6) су:

)()( tiRtuR ⋅= ,

dttdiLtuL)()( ⋅= ,

∫= dttiC

tuC )(1)( .

Напон на крајевима ове редне везе, у сваком тренутку, једнак је збиру напона на појединим елементима:

)()()()( tutututu CLR ++= .

Заменом одговарајућих чланова долази се до основне интегрално- -диференцијалне једначине (једначине стања) из које се одређује непозната јачина струје у колу.

)()sin( tiRtUm ⋅=+θωdttdiL )(

⋅+ ∫+ dttiC

)(1 .

Диференцирањем претходне једначине добија се нехомогена диференцијална једначина другог реда. Опште решење једначине одређује прелазни режим. Посебно (партикуларно) решење одређује стационарно стање које се проучава. У стационарном стању, пошто су сви елементи кола линеарни, и струја мора бити простопериодична функција времена, општег облика:

).sin()( ψω += tIti m

53

Проблем се, значи, своди на одређивање амплитуде Im и почетне фазе ψ струје. Заменом претпостављеног решења у једначину стања, уместо диференцијално-интегралне једначине добија се тригонометријска релација:

),cos(1)sin()sin( ψωω

ωψωθω +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⋅=+ tIC

LtIRtU mmm

која се на основу једноставне тригонометријске везе за сабирање синусне и косинусне функције:

),mnarctgsin(nmcosnsinm 22 +⋅+=+ xxx

своди на:

)

1

arctgsin(1)sin(2

2

RC

LtI

CLRtU mm

ωω

ψωω

ωθω−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=+ .

Две синусне функције су једнаке у сваком тренутку ако су им амплитуде и фазе једнаке. а) Изједначавањем амплитуда добија се:

mm IC

LRU2

2 1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=ω

ω .

Однос амплитуда напона и струје, односно ефективних вредности ових величина, представља импедансу Z кола.

За редну R,L,C везу, на основу горњег израза импеданса је: 2

2 1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+===C

LRIU

IUZm

m

ωω .

Како је импеданса однос амплитуда напона и струје (има димензију отпорности), изражава се у омима и представља искључиво позитивну величину.

Величина R назива се активна отпорност или резистанса.

Величина ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−C

Lω

ω1 представља разлику реактанси калема и кондензатора

и назива се реактивна отпорност или реактанса X редне R,L,C везе:

CLXXX CL ω

ω1

−=−= .

54

Реактанса може бити позитивна (X >0), када је XL > XC и тада коло има претежно индуктивни карактер, и негативна (X < 0), када је XC > XL и тада коло има капацитивни карактер. Реактанса има димензију отпорности.

Реактанса и импеданса могу се одредити из параметара кола. Непозната амплитуда струје, Im, може се одредити преко познате амплитуде прикљученог напона и израчунате импедансе:

.mm Z

UI =

б) Упоређујући фазе синусних функција добија се:

RC

Ltt ω

ωψωθω

1

arctg−

++=+ .

Одатле следи:

RC

Lω

ωψθ

1

arctg−

+= .

Разлика фаза напона и струје, φ, на основу горњег израза, је:

RX

RXX

RC

LCL arctgarctg

1

arctg =−

=−

=−=ω

ωψθϕ .

Када је коло претежно индуктивно (X > 0, XL > XC), напон предњачи струји и разлика фаза напона и струје је позитивна (0 < φ ≤ π/2). Када је коло претежно капацитивно (X < 0, XL < XC), струја предњачи напону и разлика фаза напона и струје је негативна (- π/2 ≤ φ < 0).

Како су најчешће познати параметри кола (може се одредити разлика фаза

напона и струје, φ), и почетна фаза напона, θ , почетна фаза струје одређена је релацијом:

,

1

arctgRC

Lω

ωθϕθψ

−−=−=

чиме је потпуно одређена вредност јачине струје у сваком тренутку:

).sin()( ϕθω −+= tZUti m

55

7.2. АНАЛИЗА R,L,C КОЛА СА РЕДНОМ ВЕЗОМ ЕЛЕМЕНАТА

Отпорник отпорности R = 400 Ω, калем индуктивности L = 10 mH и кондензатор капацитивности C = 200 nF везани су на ред и прикључени на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 50 V и кружне учестаности ω = 104 s-1. а) Одредити реактансу и импедансу ове редне везе. б) Одредити разлику фазa напона на крајевима везе и струје у колу. в) Одредити израз по коме се мења тренутна вредност струје у колу. а) Да би се одредила реактанса редне R,L,C везе морају се одредити реактансе калема и кондензатора:

,_____________________________ === LXL ω

,________________________1===

CXC ω

Реактанса кола једнака је:

._______________________ ==−= CL XXX

Импеданса је:

_______________________22 ==+= XRZ .

б) Разлика фаза напона, u(t), на крајевима везе и струје, i(t), у колу је:

,_______________________arctg ===RX

ϕ

в) Ефективна вредност струје у колу једнака је:

._____________________ ===ZU

I

Претпоставићемо да је почетна фаза напона 0=θ . Тада је почетна фаза струје:

._____________________ ==−= ϕθψ

Тренутна вредност јачине струје у колу је:

.______________________________)( =ti

56

7.3. АНАЛИЗА R,L,C КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА a ) Симулирати на рачунару коло као на слици 7.3.1. Амперметром ”измерити“ ефективну вредност струје у колу. Волтметром ”измерити“ ефективну вредност напона и одредити импедансу кола. С обзиром да је кружна учестаност извора ω = 104 s-1, фреквенција је:

____________________2

==πωf .

Слика. 7.3.1

______________=I ,

______________=U ,

______________=Z . б) Симулирати на рачунару коло као на слици 7.3.2. ”Снимити“ таласни облик прикљученог напона и таласни облик струје у колу. Када се ”снимају“ таласни облици напона и струје на осцилоскопу треба посматрати напон на улазу кола, односно извор напона u(t), на једном каналу и напон на отпорнику на другом каналу, пошто је напон на отпорнику сразмеран струји кроз њега.

Резултате анализе приказати на графику 7.3.1.

Из ”снимљених“ таласних облика прочитати почетну фазу напона и струје. Одредити разлику фаза напона на крајевима везе и струје у колу.

57

Слика 7.3.2

График 7.3.1 RLC колo

ω = 104 s-1, T = ms x (ms/pod)

улаз - канал 1 (V/pod)

излаз - канал 2 (V/pod)

_______________=Δ= tωϕ

8. АДМИТАНСА ПАРАЛЕЛНЕ ВЕЗЕ, ОТПОРНИКА, КАЛЕМА И КОНДЕНЗАТОРА

ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Циљ вежбе је да се студенти упознају са појмом адмитансе

на примеру R, L, C кола са паралелном везом елемената, прикљученог на извор простопериодичног напона. Такође, студенти треба да се упознају са разликом фаза између струје кроз напојну грану и напона на крајевима ове везе, посматрањем ових величина на осцилоскопу. Након упознавања са параметрима редне и параметрима паралелне везе R, L, C кола, студенти на крају вежбе анализирају опште релације које повезују ове параметре.

60

8.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Посматра се део кола простопериодичне струје које се састоји од идеалног отпорника, идеалног калема и идеалног кондензатора везаних паралелно (сл. 8.1.1). Између крајева ове мреже одржава се простопериодични напон:

u(t) = Um sin (ω t + θ),

где је Um – амплитуда (максимална вредност), ω кружна учестаност, а θ почетна фаза прикљученог напона. С обзиром да су сви елементи кола линеарни, у стационарном стању се тренутна вредност струје кроз напојну грану мења по простопериодичном закону:

i(t) = Im sin (ω t + ψ).

 

u(t)  

i(t)  

L G C

+

iR(t)   iC(t)  iL(t)  

Слика 8.1.1

Тренутне вредности струја које протичу кроз поједине елементе (Вежба бр. 6) су:

( )tuGtiR ⋅=)( ,

∫= dttuL

tiL )(1)( ,

dttduCtiC)()( = .

На основу првог Кирхофовог закона, који важи за тренутне вредности струја, струја која тече кроз напојну грану једнака је збиру струја које протичу кроз поједине елементе:

)()()()( titititi CLR ++= .

Заменом одговарајућих чланова долази се до основне интегрално-диференцијалне једначине (једначине стања) из које се одређује непозната јачина струје у колу.

( )tuGtIm ⋅=+ )sin( ψωdttduC )(

+ ∫+ dttuL

)(1 .

61

Диференцирањем претходне једначине добија се нехомогена диференцијална једначина другог реда. Опште решење једначине одређује прелазни режим. Посебно (партикуларно) решење одређује стационарно стање, у коме су све струје и напони у колу простопериодични. Заменом израза за тренутну вредност напона у једначину добија се тригонометријска релација:

).cos(1)sin()sin( θωω

ωθωψω +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⋅=+ tU

LCtUGtI mmm

Примењујући, као у једначини код редне везе, тригонометријску везу за сабирање синусне и косинусне функције:

),mnarctgsin(nmcosnsinm 22 +⋅+=+ xxx

добија се:

)

1

arctgsin(1)sin(2

2

GL

CtU

LCGtI mm

ωω

θωω

ωψω−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=+ .

Две синусне функције су једнаке у сваком тренутку ако су им амплитуде и фазе једнаке.

а) Изједначавањем амплитуда добија се:

mm UL

CGI2

2 1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=ω

ω .

Однос амплитуда напона и струје, односно ефективних вредности ових величина, представља адмитансу кола Y.

За паралелну R,L,C везу, на основу горњег израза адмитанса је: 2

2 1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+===

LCG

UI

UIYm

m

ωω .

Како је адмитанса однос амплитуда струје и напона (има димензију проводности), изражава се у сименсима [S] и представља искључиво позитивну величину.

Величина G назива се активна проводност или кондуктанса паралелне R,L,C везе. Величина CBC ω= представља сусцептансу кондензатора, док је величина

LBL ω

1= сусцептанса калема. Разлика ових сусцептанси назива се реактивна

проводност или сусцептанса B паралелне R,L,C везе:

LCBBB LC ω

ω1

−=−= .

62

Сусцептанса може бити позитивна (B > 0), када је L

Cω

ω1

> и тада

коло има претежно капацитивни карактер, и негативна (B < 0),

када је L

Cω

ω1

< и тада коло има индуктивни карактер.

Сусцептанса има димензију проводности. Кондуктанса, сусцептанса и адмитанса могу се одредити из параметара кола. Непозната амплитуда струје, Im, може се одредити преко познате амплитуде прикљученог напона и израчунате адмитансе:

YUI mm ⋅= .

б) Упоређујући фазе синусних функција добија се:

GL

Ctt ω

ωθωψω

1

arctg−

++=+ .

Одатле следи:

GL

Cω

ωθψ

1

arctg−

+= .

Разлика фаза струје и напона обележава се са ν и једнака је:

GB

GL

Carctg

1

arctg =−

=−=ω

ωθψν .

Када је коло претежно капацитивно (B > 0, L

Cω

ω1

> ), струја

предњачи напону и разлика фаза струје и напона је позитивна (0 < ν ≤ π/2).

Када је коло претежно индуктивно (B < 0, L

Cω

ω1

< ), напон

предњачи струји и разлика фаза струје и напона је негативна (- π/2 ≤ ν < 0).

Како су најчешће познати параметри кола (може се одредити разлика фаза

напона и струје, ν, и почетна фаза напона, θ ) почетна фаза струје, ψ, одређена је релацијом:

,

1

arctgG

LC

ωω

θνθψ−

+=+=

чиме је потпуно одређена вредност јачине струје у сваком тренутку:

)sin()( νθω ++⋅= tUYti m .

63

8.2. АНАЛИЗА R,L,C КОЛА СА ПАРАЛЕЛНОМ ВЕЗОМ ЕЛЕМЕНАТА

Отпорник отпорности R = 800 Ω, калем индуктивности L = 80 mH и кондензатор капацитивности C = 250 nF везани су паралелно и прикључени на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 50 V и кружне учестаности ω = 104 s-1. а) Одредити кондуктансу, сусцептансу и адмитансу ове паралелне везе. б) Одредити разлику фазa струје у напојној грани кола и напона на крајевима

везе. в) Одредити израз по коме се мења тренутна вредност струје у колу. а) Кондуктанса паралелне R, L, C везе једнака је реципрочној вредности отпорности отпорника у паралелној грани:

____________________1==

RG

Да би се одредила сусцептанса редне R, L, C везе морају се одредити сусцептансе калема и кондензатора:

_____________________________ === CBC ω ,

_____________________________1===

LBL ω

.

Сусцептанса кола једнака је:

._________________________ ==−= LC BBB

Адмитанса је:

________________________22 ==+= BGY .

б) Разлика фаза струје кроз напојну грану, i(t), и напона, u(t), на крајевима везе је:

_______________________arctg ===GB

ν .

в) Ефективна вредност струје напојне гране i(t) једнака је:

________________________ ==⋅= UYI .

Претпоставићемо да је почетна фаза напона 0=θ . Тада је почетна фаза струје:

._____________________ ==+= νθψ

Тренутна вредност јачине струје напојне гране i(t) једнака је:

__________________________________________________________)( =ti

8.3. АНАЛИЗА R,L,C КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА

64

a ) Симулирати на рачунару коло као на слици 8.3.1. Амперметром ”измерити“ ефективну вредност струје у колу. Волтметром ”измерити“ ефективну вредност напона и одредити адмитансу кола. С обзиром да је задата кружна учестаност извора ω = 104 s-1, фреквенција је:

____________________2

==πωf .

Слика. 8.3.1

______________=I ,

______________=U ,

______________=Y . б) Симулирати на рачунару коло као на слици 8.3.2. ”Снимити“ таласни облик прикљученог напона u(t) и таласни облик струје i(t). Када се ”снимају“ таласни облици напона и струје на осцилоскопу треба на једном каналу посматрати напон на крајевима паралелне везе, а на другом каналу напон на додатном отпорнику Rpom = 1Ω, који је везан редно у коло, пошто је напон на отпорнику сразмеран струји кроз њега. (Изабрана је довољно мала вредност отпорника Rpom у односу на импедансу паралелне везе, тако да напон на отпорнику Rpom, који је сразмеран струји кроз њега, готово не утиче на амплитуду и фазу мереног напона.)

Резултате анализе приказати на графику 8.3.1.

Из ”снимљених“ таласних облика прочитати почетну фазу напона и струје. Одредити разлику фаза напона на крајевима везе и струје у колу.

65

Слика 8.3.2

График 8.3.1 RLC колo

ω = 104 s-1, T = ms x (ms/pod)

улаз - канал 1 (V/pod)

излаз - канал 2 (V/pod)

_______________=Δ= tων

66

8.4. ВЕЗЕ ИЗМЕЂУ ПАРАМЕТАРА РЕДНЕ И ПАРАЛЕЛНЕ ВЕЗЕ У седмој вежби је изведен израз за импедансу редне везе:

22 XRZ += ,

и фазну разлику између напона на крајевима везе и струје кроз коло:

RXarctg=−= ψθϕ .

На основу тригонометријских веза између тангенса, синуса и косинуса угла:

ϕϕ

2tg11cos+

= и ϕ

ϕϕ

2tg1tgsin+

=

добија се:

ZR

=ϕcos и ZX

=ϕsin .

С обзиром да су отпорност R и импеданса Z позитивне величине, закључује се да

је ϕcos увек позитиван, па је 22π

ϕπ

≤≤− .

У теоријском делу ове вежбе је дефинисан израз за адмитансу паралелне везе:

22 BGY += ,

и разлику фаза између струје кроз напојну грану и напона на крајевима везе:

BGarctg=−= θψν .

Применом тригонометријских релација добија се:

YG

=νcos и YB

=νsin .

На основу претходних релација може се уочити веза између величина φ и ν: νϕ −= ,

и извести релације:

( ) 2222coscos1cos1cos

BGG

YG

YY

YY

YYZR

+===⋅=−==

νννϕ ,

( ) 2222sinsin1sin1sin

BGB

YB

YY

YY

YYZX

+−=−=−=⋅−=−==

νννϕ ,

( ) 2222coscos1cos1cos

XRR

ZR

ZZ

ZZ

ZZYG

+===⋅=−==

ϕϕϕν ,

( ) 2222sinsin1sin1sin

XRX

ZX

ZZ

ZZ

ZZYB

+−=−=−=⋅−=−==

ϕϕϕν .

67

Дакле, исти потрошач се може представити преко параметара редне или параметара паралелне везе.

 

i(t)  

A R, X

C

B

u(t)

i(t) A G, B

B

u(t)

i(t)

+ +

8.5. OДРЕЂИВАЊЕ ЕКВИВАЛЕНТНИХ ПАРАМЕТАРА РЕДНЕ ВЕЗЕ За задате параметре паралелне везе (слика 8.3.1) одредити еквивалентне параметре редне везе:

_______________________22 =+

=BG

GRe ,

_______________________22 =+

−=BG

BXe ,

______________________22 =+= eee XRZ ,

________________=−= νϕe .

Уочити да се добијају параметри редне R, L, C везе, која је анализирана у седмој вежби.

Упоредити резултате мерења за паралелно R, L, C коло из осме вежбе и редно R, L, C коло из седме вежбе. Уочити да се добијају исте ефективне вредности напона и струје између крајева паралелне и еквивалентне редне везе, као и исте разлике фаза напона и струје, чиме је доказана еквивалентност ове две везе.

8. вежба, паралелна веза

U =_____ I =______

G =_____ B =_____ Y =_____ ν =_____

8. вежба, еквивалентни редни параметри

Re =_____ Xe =_____ Ze =_____ φe =_____

7. вежба, редна веза U =_____ I =______ R =_____ X =_____ Z =_____ φ =_____

9. РЕЗОНАНТНА КОЛА

100 1000 100000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

I/I0

f [Hz]

ЦИЉ ВЕЖБЕ Ø Циљ вежбе је да се студенти упознају са појмом резонансе

на примерима редног и паралелног RLC кола. Кроз ову вежбу студенти се упознају са појмовима резонантне фреквенције, пропусног опсега и Q фактора (фактора доброте) резонантног кола.

70

9.1. ТЕОРИЈСКА ОСНОВА Појам резонансе је широко распрострањен у природи и на њему су засновани многи процеси. Предмет ове вежбе су резонантне појаве у електричним колима, које налазе примену у електроници и телекомуникацијама. У оквиру вежбе студенти врше анализу кола простопериодичне струје, променљиве фреквенције, које се састоји од редне или паралелне везе идеалног отпорника, идеалног калема и идеалног кондензатора (сл.9.1.1). Сви елементи кола су линеарни. Побуда у колу врши се струјним или напонским генератором константне амплитуде:

( ) ( )tUtu m ωsin= , где је mU – амплитуда (максимална вредност) и она је константна, ω кружна учестаност, која узима вредности од ωmin до ωmax.

а) б)

Слика 9.1.1. а) редно и б) паралелно резонантно коло

На слици 9.1.1 приказано је паралелно и редно RLC резонантно коло. Импеданса редног RLC кола одређена је изразом:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+=C

LjRZω

ω1

Адмитанса паралелног кола одређена је изразом:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+=L

CjGYω

ω1

Резонанса кола наступа када је имагинарни део импедансе, односно адмитансе једнак нули, тј.

01=−

LC

ωω

Када је овај услов испуњен наступа резонанса у колу. Taдa je амплитуда струје редног RLC кола, односно амплитуда напона паралелног RLC кола максимална.

71

Кружна учестаност на којој наступа резонанса износи:

LC1

0 =ω

Закључак је да је резонантно коло редна или паралелна веза елемената са фреквенцијски зависном импедансом (слика 9.1.2), односно адмитансом (слика 9.1.3).

100 1000 100000

100

200

300

400

500 Zredne RLC veze

ZL

ZC

IZ [Ω

]I

f [Hz]

Слика 9.1.2. Фреквенцијска зависност импедансе редне RLC везе

100 1000 100000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10 Y

paralelne RLC veze Y

L Y

C

IY [S

]I

f [Hz]

Слика 9.1.3. Фреквенцијска зависност адмитансе паралелне RLC везе

На дијаграмима фреквенцијске зависности импедансе (слика 9.1.2) и адмитансе (слика 9.1.3) види се да у делу фреквенција импеданса, тј. адмитанса има минималну вредност. Због ове особине оваква кола се називају кола са фреквенцијском селективношћу.

72

Карактеристика резонантног кола је фактор доброте или Q фактор. Фактор доброте се одређује изразом:

RCRLQ

0

0 1ω

ω== у случају редног резонантног кола,

LRCRQ0

0 ωω == у случају паралелног резонантног кола.

Пошто су резонантна кола фреквенцијски селективна посматра се фреквенцијска зависност струје и напона у колу. Код редног резонантног кола на фреквенцији резонансе амплитуда струје у грани кола је максимална, док је код паралелног резонантног кола максимална амплитуда напона на фреквенцији резонансе.

Из тог разлога, а ради комплетне анализе кола, у случају паралелног RLC кола побудни генератор је струјни, док је код редног RLC кола побудни генератор напонски.

Код фреквенцијски селективних кола (резонантних кола и филтара) дефинише се и ширина пропусног опсега B као разлика кружних учестаности, при којима се амплитуда посматране величине (напона или струје) смањи на

21 од вредности

коју има на фреквенцији резонансе.

( )1212 2 ffB −=−= πωω .

Ради једноставности анализе дијаграм струје, односно напона, приказан је у нормализованом облику у односу на вредност при резонанси, која је уједно и максимална вредност. Овим поступком добија се вредност на резонанси која је једнака јединици, а границе пропусног опсега одређују се за вредности нормализованих величина једнаких

21 .

73

100 1000 100000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0I/I

0

f [Hz]

Слика 9.1.4. Зависност нормализоване вредности струје од фреквенције

100 1000 100000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

U/U

0

f [Hz]

Слика 9.1.5. Зависност нормализоване вредности напона од фреквенције

На сликама 9.1.4 и 9.1.5 означене су граничне фреквенције које одређују ширину пропусног опсега редног (слика 9.1.4) и паралелног (слика 9.1.5) резонантног кола.

21

π2B

f1 f2

21

В

f1 f2

74

Кружне учестаности на граници пропусног опсега одређују се изразом:

QQ 2211 0

2

02,1ω

ωω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= .

Ширина пропусног опсега износи:

QB 0

12ω

ωω =−= .

Кола са великим Q фактором имају узак пропусни опсег и обрнуто.

Паралелна резонантна кола примењују се у радио-пријемницима. Електрични сигнал индукован у антени доводи се на крајеве паралелног резонантног кола са великим Q фактором. На тај начин на крајевима овог фреквенцијски селективног кола бивају потиснуте све компоненте сигнала, осим дела у области резонантне учестаности, који се даље појачава и репродукује. Избор фреквенције резонансе се врши променљивим вредностима капацитивности или индуктивности резонантног кола.

Редна резонантна кола примењују се у случајевима када је потребно неки нежељени сигнал одстранити.

9.2. АНАЛИЗА РЕЗОНАНТНИХ КОЛА СА РЕДНОМ И ПАРАЛЕЛНОМ ВЕЗОМ ЕЛЕМЕНАТА

9.2.1. АНАЛИЗА РЕДНОГ RLC КОЛА

Отпорник отпорности R = 400 Ω, калем индуктивности L = 10 mH и

кондензатор капацитивности C = 200 nF везани су као на слици 9.1.1 под а) и прикључени на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 1 V, почетне фазе 0=θ , кружне учестаности у опсегу ωmin = 2π 103 s-1 до ωmax = 2π 104 s-1 а) Написати израз и израчунати фреквенцију резонансе ове редне везе. б) Написати комплексни израз за импедансу редне везе. в) Написати израз по коме се мења тренутна вредност струје у колу. г) Написати израз и израчунати фактор доброте овог резонантног кола. д) Написати израз и израчунати пропусни опсег овог кола. а) =0f = .

б) =Z = j+ .

75

в) =)(ti .

г) =Q = .

д) =2,1ω = .

=1ω .

=2ω .

=B .

9.2.2. АНАЛИЗА ПАРАЛЕЛНОГ RLC КОЛА

Отпорник отпорности R = 200 Ω, калем индуктивности L = 3 mH и

кондензатор капацитивности C = 1 µF везани су као на слици 9.1.1 под б) и прикључени на извор простопериодичне струје ефективне вредности I = 1 A променљиве кружне учестаности у опсегу ωmin = 2π 103 s-1 до ωmax = 2π 104 s-1 а) Написати израз и израчунати фреквенцију резонансе ове паралелне везе. б) Написати израз за адмитансу. в) Написати израз по коме се мења тренутна вредност напона на отпорнику. г) Написати израз и израчунати фактор доброте овог резонантног кола. д) Написати израз и израчунати пропусни опсег овог кола.

а) =0f = .

б) =Y = j+ .

в) =)(ti .

г) =Q = .

д) =2,1ω = .

=1ω .

=2ω .

=B .

9.3. АНАЛИЗА РЕЗОНАНТНИХ RLC КОЛА ПРИМЕНОМ РАЧУНАРА

76

9.3.1. ПРОГРАМСКИ МОДУЛ ЗА ФРЕКВЕНЦИЈСКУ АНАЛИЗУ - AC frequency

Овај програмски модул се користи за фреквенцијску анализу кола. На свом

излазу у облику дијаграма даје амплитудску и фазну фреквенцијску зависност напона између изабраног чвора и нултог потенцијала. При том је чвор на потенцијалу уземљења са ознаком 0.

За ову анализу потребно је подесити и струјне и напонске генераторе у колу. Ради једноставности, и да би се избегла накнадна нормализација ових величина, изабране су вредности које према Омовом закону одговарају вредностима отпорности у колу, чиме вредности напона на дијаграму, на резонанси, узимају јединичну вредност.

Слика 9.3.1. Покретање модула за фреквенцијску анализу

Покретањем модула за фреквенцијску анализу (слика 9.3.1) добија се дијаграм као на слици 9.3.2.

Слика 9.3.2. Пример амплитудске (слика горе) и фазне (слика доле) фреквенцијске анализе напона изабраног чвора резонантног кола са очитавањем вредности на позицији курсора. 9.3.2. EWB АНАЛИЗА РЕДНОГ РЕЗОНАНТНОГ КОЛА

77

Симулирати на рачунару коло као на слици 9.3.3. У програму EWB користити AC frequency анализу за чвор који се налази између отпорника од 1 Ω и 199 Ω (на слици 9.3.3 је то чвор 1) и са добијеног дијаграма одредити резонантну фреквенцију, граничне фреквенције, пропусни опсег и фактор доброте кола. Приликом ове анализе коришћена је чињеница да према Омовом закону на отпорности од 1 Ω вредност измереног напона одговара струји кроз отпорник, па је на излазном дијаграму заправо нацртана вредност струје у колу [А].

Слика. 9.3.3.

Параметре анализе подесити према слици 9.3.4.

Слика 9.3.4. Параметри за фреквенцијску анализу редног резонантног кола

На дијаграму фреквенцијске зависности напона, који одговара струји редне RLC везе, у колу поставити маркере и одредити положаје резонансе и граничних фреквенција (фреквенција на којима вредности падају на

21 , тј. 0,707

максималне вредности). Обратити пажњу и на фазну карактеристику кола и приметити да на фреквенцији резонансе фаза пролази кроз нулу (коло има

резистиван карактер), а на граничним фреквенцијама има вредности 4π

± , па се и

на основу ових података може одредити положај тражених фреквенција.

______________0 =f , ______________1 =f ,

78

______________2 =f , ______________=B , ______________=Q .

Добијене резултате упоредити са резултатима прорачунатим у тачки 9.2.1. 9.3.3. EWB АНАЛИЗА ПАРАЛЕЛНОГ РЕЗОНАНТНОГ КОЛА Симулирати на рачунару коло као на слици 9.3.5. Користити AC frequency анализу (чвор 4 на слици 9.3.5) и са дијаграма одредити вредности резонантне фреквенције, граничне фреквенције, пропусни опсег и фактор доброте кола.

Слика 9.3.5.

Параметре анализе подесити према слици 9.3.6.

Слика 9.3.6. Параметри за фреквенцијску анализу паралелног резонантног кола

На дијаграму фреквенцијске зависности напона у колу поставити маркере и одредити положаје резонансе и граничних фреквенција (фреквенција на којима вредности падају на

21 максималне вредности).Фазна карактеристика кола на

фреквенцији резонансе пролази кроз нулу (резистиван карактер), а на граничним

фреквенцијама има вредности 4π

± , па и на основу ових података одредити

положај тражених фреквенција.

______________0 =f ,

79

______________1 =f , ______________2 =f , ______________=B , ______________=Q .

Добијене резултате упоредити са резултатима прорачунатим у тачки 9.2.2. Добијене дијаграме фреквенцијске зависности напона уцртати на слици 9.3.7. На дијаграмима означити резонантне фреквенције и фреквенције пропусног опсега.

Слика 9.3.7. Резултати анализе

Посматрати промену фреквенцијских карактеристика у зависности од вредности отпорника у колу и својим речима описати донете закључке:

ТЕСТ ПИТАЊА

83

ТЕСТ ПИТАЊА ЗА ВЕЖБУ ОМОВ ЗАКОН

2.1. Омов закон гласи:

1. UIR = ,

2. IUR ⋅= , 3. UIR ⋅= ;

4. IUR = .

2.2. Линеарни отпорник је онај отпорник код кога отпорност на константној температури: 1. не зависи од напона на његовим крајевима и струје кроз њега; 2. расте линеарно са порастом напона; 3. расте линеарно са порастом струје; 4. зависи од напона на његовим крајевима и струје кроз њега.

2.3. На отпорнику отпорности R у коме постоји стална струја јачине I, као на слици, напон на крајевима отпорника је: 1. IRU ⋅−=AB ; 2. IRU ⋅=BA ; 3. IRU ⋅=AB ; 4. 2

AB IRU ⋅= . 2.4. Снага извора приказаног на слици износи: 1. IEP ⋅= ; 2. IEP ⋅−= ;

3. IEP = ;

4. 2IEP ⋅−= . 2.5. Снага извора приказаног на слици износи:

1. 2SAB IUP ⋅= ;

2. SAB IUP ⋅−= ;

3. S

AB

IUP

2

= ;

4. SAB IUP ⋅= .

E +

А B

I

IS

А B

R А B

I

84

2.6. Генератор електромоторне силе Е и струјни генератор јачине струје IS везани су у коло као на слици. Како се понашају генератори у колу? 1. Оба генератора се понашају као генератори; 2. Оба генератора се понашају као пријемници; 3. Напонски генератор се понаша као генератор,

а струјни као пријемник; 4. Струјни генератор се понаша као генератор,

а напонски као пријемник.

2.7. Oмов закон за просто електрично коло приказано на слици гласи:

1. 21

21

RREEI

+

+−= ;

2. 21

21

RREEI

+

+= ;

3. 21

21

RREEI

+

−−= ;

4. 21

21

RREEI

+

−= .

2.8. За коло приказано на слици је: Е1 = 20 V; Е2 = 10 V; R1 = 75 Ω; R2 = 25 Ω . Снага генератора електромоторне силе Е2 је: 1. P = 2 W; 2. P = -2 W; 3. P = -1 W; 4. P = 1 W.

2.9. За коло приказано на слици је: Е1 = 20 V; Е2 = 10 V; R1 = 75 Ω; R2 = 25 Ω . Џулови губици на отпорнику R1 су: 1.

1RP = 0,25 W;

2. 1R

P = -0,25 W; 3.

1RP = -0,75 W;

4. 1R

P = 0,75 W.

+

+

R1

R2E 1

E 2I

+

+

R1

R2E 1

E 2I

+

+

R1

R2E 1

E 2

+

E IS

85

2.10. Генератор електромоторне силе Е = 25 V, струјни генератор јачине струје IS = 1 A и пријемници отпорности R1 = 6 Ω; R2 = 4 Ω и R3 = 5 Ω везани су у коло као на слици. Јачина струје у колу је: 1. I = 1,67 A; 2. I = - 1,67 A; 3. I = 1 A; 4. I = -1 A. 2.11. Акумулаторска батерија и отпорник променљиве отпорности образују просто електрично коло. При отпорности променљивог отпорника R1 = 4 Ω јачина струје у колу је I1 = 1,5 A, а када је отпорност тог отпорника R2 = 7 Ω јачина струје у колу је I2 = 1 A. Јачина струје кратког споја акумулаторске батерије је: 1. I0 = 3 A; 2. I0 = 4,5 A; 3. I0 = 6 A; 4. I0 = 5 A. 2.12. Батерија електромоторне силе Е = 4,5 V и унутрашње отпорности Rg = 0,1 Ω и отпорник отпорности R = 120 Ω спојени су двема бакарним жицама свака дужине l = 30 cm и површине попречног пресека S = 0,3 mm2. Специфична електрична отпорност бакра је ρ = 1,72·10-8 Ωm. Јачина струје у колу је: 1. I ≈ 50 mA; 2. I ≈ 30 mA; 3. I ≈ 37,5 mA; 4. I ≈ 100 mA.

2.13. За колико се повећа отпорност бакарне жице ако се температура повећа за 400C? Температурни коефицијент бакра је α = 0,4% / 0C. 1. за 50%; 2. за 40%; 3. за 20%; 4. за 16%. 2.14. Генератор електромоторне силе Е = 10 V, занемарљиве унутрашње отпорности, струјни генератор струје IS = 1 A и пријемници отпорности R1 = 10 Ω , R2 = 6 Ω и R3 = 4 Ω везани су у коло као на слици. Напон на крајевима струјног генератора је: 1. UАВ = 10 V; 2. UАВ = 30 V; 3. UАВ = -10 V; 4. UАВ = -30 V. 2.15. Апарати електромоторних

+

R 2E R 1I S

I

R 3

+

R 2E R 1 I S

A B

86

+

+

R 2

E 1

E 2

R 1

сила Е1 и Е2, занемарљивих унутрашњих отпорности, и пријемници отпорности R1 и R2 везани су у просто коло као на слици. Снаге пријемника отпорности R1 и R2 услед Џуловог ефекта су PR1 = 1W и PR2 = 0,25W. Генератор емс Е1 развија снагу PE1 = 5W. Снага апарата чија је емс Е2 је: 1. PE2 = -5W, понаша се као пријемник; 2. PE2 = 5W, понаша се као генератор; 3. PE2 = -3,75W, понаша се као пријемник; 4. PE2 = 3,75W, понаша се као генератор.

87

ТЕСТ ПИТАЊА ЗА ВЕЖБУ КИРХОФОВИ ЗАКОНИ

3.1. Први Кирхофов закон гласи: 1. Aлгебарски збир јачина струја у проводницима, који се сустичу у једном чвору електричне мреже, једнак је нули; 2. Збир јачина струја у проводницима који се сустичу у једном чвору електричне мреже, једнак је нули; 3. Алгебарски збир јачина струја у проводницима који се сустичу у једном чвору електричне мреже, различит је од нуле; 4. Алгебарски збир струја у свим гранама електричне мреже једнак је нули. 3.2. Први Кирхофов закон за чвор електричне мреже приказан на слици гласи: 1. I1 + I2 + I3 + I4 = 0; 2. - I1 + I2 + I3 + I4 = 0;

3. - I1 - I2 - I3 + I4 = 0; 4. - I1 + I2 - I3 + I4 = 0.

3.3. Други Кирхофов закон гласи: 1. Збир напона дуж било ког затвореног пута у електричној мрежи једнак је нули; 2. Алгебарски збир напона дуж било ког затвореног пута у електричној мрежи једнак је нули; 3. Алгебарски збир напона дуж било ког затвореног пута у електричној мрежи различит је од нуле; 4. Збир свих напона у електричној мрежи једнак је нули. 3.4. Други Kирхофов закон за контуру електричне мреже која је приказана на слици гласи: 1. E1 + I1R1 + I2R2 + E2 + I3R3 = 0;

2. - E1 - I1R1 + I2R2 + E2 - I3R3 = 0;

3. E1 + I1R1 - I2R2 - E2 - I3R3 = 0;

4. E1 - I1R1 - I2R2 + E2 - I3R3 = 0.

+ +

R 1

E 1

R 2

E 2

R 3

A

B

C

I 1 I 2

I 3

I 6

I 5

I 4

I 1

I 3 I 4

I 2

88

3.5. Еквивалентна отпорност редне везе n отпорника је:

1. ne RRRRR ++++= ...321 ;

2. n

e RRRRR 1...111

321

++++= ;

3. ne RRRRR1...1111

321

++++= ;

4. n

e RRRRR

++++=

...1

321

.

3.6. Eквивалентна отпорност паралелне везе n отпорника је:

1. ne RRRRR ++++= ...321 ;

2. n

e RRRRR 1...111

321

++++= ;

3. ne RRRRR1...1111

321

++++= ;

4. n

e RRRRR

++++=

...1

321

.

3.7. Отпорници отпорности R1 = 10 Ω, R2 = 30 Ω, R3 = R4 = 7,5 Ω везани су

као на слици. Њихова еквивалентна отпорност је:

1. Re = 10 Ω;

2. Re = 20 Ω; 3. Re = 30 Ω;

4. Re = 40 Ω.

3.8. Отпорници отпорности R1 = 60 Ω, R2 = 50 Ω, R3 = 150 Ω, R4 = 300 Ω, R5 = 60 Ω, R6 = 100 Ω и R7 = 200 Ω везани су као на слици. Еквивалентна отпорност између тачака А и В је:

1. RАВ = 320 Ω;

2. RАВ = 220 Ω; 3. RАВ = 240 Ω;

4. RАВ = 260 Ω.

3.9. Три отпорника отпорности R = 15 Ω везани су као на слици.

Еквивалентна отпорност између тачака А и В је:

R 1 R 3

R 4

R 2

A

B

A

B

CD

FR 3 R 4 R 5

R 7

R 2R 1

R 6

89

1. RАВ = 45 Ω; 2. RАВ = 15 Ω; 3. RАВ = 22,5 Ω; 4. RАВ = 5 Ω.

3.10. Пет отпорника отпорности R = 10 Ω везани су као на слици. Еквивалентна отпорност између тачака А и В је: 1. RАВ = 50 Ω; 2. RАВ = 25 Ω; 3. RАВ = 10 Ω; 4. RАВ = 6 Ω.

3.11. За део кола приказан на слици напон UAB је:

R1

R1

R3

А

I1

I

I2

B

C

R2

R1

1. IRRU ⋅+= )( 21AB ;

2. IRRU ⋅+−= )( 21AB ;

3. IRRRRRR

U321

321AB

)(++

+= ;

4. IRRRRRR

U321

321AB

)(++

+−= .

3.12. За напонски разделник приказан на слици важи:

1. ERRU1

2BC = ;

2. ERRU1

2BC −= ;

3. ERR

RU21

2BC +

−= ;

4. ERRRRU

21

21BC +

−= .

R2 E +

R1 B А

C

A BR R R

A BR R

R R

R

90

3.13. За струјни разделник приказан на слици важи:

1. SIRRI1

21 = ;

2. SIRRRI

21

21 +−= ;

3. SIRRRI

21

11 += ;

4. SIRRRI

21

21 += .

R2 IS

R1

B

А

I1 I2

91

ТЕСТ ПИТАЊА ЗА ВЕЖБУ ТЕОРЕМА СУПЕРПОЗИЦИЈЕ

4.1. Искључивање напонских генератора врши се: 1. тако што се поништава дејство њихових електромоторних сила

(прикључци извора напона се кратко спајају), а унутрашње отпорности остају;

2. поништавањем његових струја, односно прекидањем (одстрањивањем) грана у којима се они налазе;

3. тако што се поништава дејство њихових електромоторних сила (прикључци извора напона се кратко спајају) и унутрашње отпорности кратко спајају;

4. тако што се поништава дејство њихових електромоторних сила (прикључци извора напона се кратко спајају), а унутрашње отпорности ваде из кола.

4.2. Искључивање идеалних струјних генератора врши се: 1. тако што се поништава дејство њихових електромоторних сила

(прикључци извора напона се кратко спајају), а унутрашње отпорности остају;

2. поништавањем њихових струја, односно прекидањем (одстрањивањем) грана у којима се они налазе;

3. поништавањем њихових струја, тако што се кратко спајају крајеви струјног генератора;

4. тако што се поништава дејство њихових електромоторних сила (прикључци извора напона се кратко спајају), а унутрашње отпорности ваде из кола.

4.3. На слици је приказано коло сталне једносмерне струје. На којој слици је правилно приказано искључивање генератора:

R1

E

a

R

b

IS

+

R1

a

R

b

R1

a

R

b

R1

a

R

b

R1

a

R

b 1. 2. 3. 4.

4.4. Јачина струје у колу на слици је:

92

+

R1

E2 I

a

R

b

R2

+ E2

E1

1) ;2121

1221

RRRRRRREREI

++

+=

2) ;2121

1221

RRRRRRREREI

++

−=

3) ;21

1221

RRRREREI

++

+=

4) .21

1221

RRRREREI

++

−=

4.5. Напон Uab у колу на слици је:

+

R1

E2

a

R

b

R2

+ E2

E1

1) 2121

1221ab RRRRRR

RRERREU++

+= ;

2) ;2121

1221ab RRRRRR

RRERREU++

−=

3) ;21

1221ab RRR

RRERREU++

+=

4) .21

1221ab RRR

RRERREU++

−=

4.6. У колу приказаном на слици јачина струје I је:

1) ;

321

31

RRRIREI S

++

−=

2) ;321

31

RRRIREI S

++

+=

3) ;4321

31

RRRRIREI S

+++

−=

4) ;4321

31

RRRRIREI S

+++

+=

Is

R3

I +

E1

R1

R2

R4

93

Is2

R2 R1 Is1

1 2

R

4.7. У колу приказаном на слици јачина струје I12 је: 1) ;

21

221112 RRR

IRIRI SS

++

+=

2) ;21

221112 RRR

IRIRI SS

++

−=

3) ;)(

21

2112 RRR

IIRI SS

++

+=

4) ;)(

21

2112 RRR

IIRI SS

++

−=

4.8. У колу приказаном на слици је: Е1 =24 V; IS = 0,5 А, R1 = 10 Ω , R2 = 20 Ω , R3 = 30 Ω . Снага струјног генератора је:

1) PIs = 2,25W;

2) PIs = -2,25W; 3) PIs = 9,75W;

4) PIs = -9,75W.

4.9. У колу приказаном на слици снага идеалног струјног генератора јачине струје IS1 је:

1) ( );211S1I SSS IIRIP +⋅=

2) ( );211S1I SSS IIRIP −⋅=

3) ( );2121S1I SSS IIRIP +⋅=

4) ( );2121S1I SSS IIRIP −⋅=

4.10. У колу приказаном на слици је: IS1 =2 А; IS2 =1 А R1 = 200 Ω , R2 = 100 Ω , R = 200 Ω . Снага струјног генератора IS1 је:

1) PIs1 = 200 W;

2) PIs1 = 400 W; 3) PIs1 = -200 W;

4) PIs1 = -400 W.

Is2

R2 R1 Is1

1 2

R

Is

R3

I +

E1

R1

R2

Is2

R R2

Is1

a

b

94

R 1

+ E 1

R 2 R 3 I g

A B

R T

A

B

+

E T

R 4

R 4

TЕСТ ПИТАЊА ЗА ВЕЖБУ ТЕВЕНЕНОВА ТЕОРЕМА

5.1. За коло приказано на слици познато је Ig1 = 3 A, Ig2 = 4 A, R1 = 4 Ω , R2 = 2 Ω , R = 6 Ω . Електромоторна сила ЕТ еквивалентног Тевененовог генератора између тачака А и B је: 1. ET = 20V; 2. ET = -4V; 3. ET = 4V; 4. ET = -20V.

5.2. За коло приказано на слици познато је Ig1 = 2 A, Ig2 = 1 A, R1 = 200 Ω , R2 = 100 Ω , R = 250 Ω . Електромоторна сила ЕТ еквивалентног Тевененовог генератора између тачака А и B је: 1. ET = 300V; 2. ET = 500V; 3. ET = -300V; 4. ET = -500V

5.3. За коло приказано на слици познато је Е1 = 12 V, Ig2 = 0.1 A, R1 = 200 Ω , R2 = 300 Ω . Електромоторна сила ЕТ еквивалентног Тевененовог генератора између тачака А и B је: 1. ET = 12V; 2. ET = -30V; 3. ET = 24V; 4. ET = 32V.

5.4. За коло приказано на слици познато је Е1 = 40 V, Ig = 0.1 A, R1 = 200 Ω , R2 = 200 Ω , R3 = 100 Ω . Електромоторна сила ЕТ еквивалентног Тевененовог генератора између тачака А и B је: 1. ET = 10V; 2. ET = -10V; 3. ET = 40V; 4. ET = 20V.

R 2

R 1I g1

A

B

R

I g2 R T

A

B

+

E T

R

R 1I g1 R 2 I g2

R

BA

R T

A

B

+

E T

R

A

B

R T

A

B

+

E T

R 1

+

E 1 R 2

I g2

R PR P

95

A

B

R T

A

B

+

E T

R 1

+

E 1 R 2

I g2

R PR P

A

B

R T

A

B

+

E T

R 1

+

E 1 R 2

R R

+ E 2

5.5. За коло приказано на слици познато је Е1 = 20 V, E2 = 10 V, R1 = 150 Ω , R2 = 100 Ω . Електромоторна сила ЕТ еквивалентног Тевененовог генератора између тачака А и B је: 1. ET = 10V; 2. ET = 20V; 3. ET = 14V; 4. ET = 32V. 5.6. За коло приказано на слици познато је Е1 = 5 V, E2 = 5 V, E = 15 V, Ig = 1 A, R1 = 10 Ω , R2 = 10 Ω . Електромоторна сила ЕТ еквивалентног Тевененовог генератора између тачака А и B је: 1. ET = 20V; 2. ET = -20V; 3. ET = 30 V; 4. ET = -30V. 5.7. За коло приказано на слици познато је Е1 = 12 V, Ig2 = 0.1 A, R1 = 200 Ω , R2 = 300 Ω . Унутрашња отпорност RT еквивалентног Тевененовог генератора између тачака А и B је: 1. RT = 500Ω; 2. RT = 120Ω; 3. RT = 200Ω; 4. RT = 300Ω.

5.8. За коло приказано на слици познато је Е1 = 30 V, E2 = 20 V, R1 = 100 Ω , R2 = 100 Ω . Унутрашња отпорност RT еквивалентног Тевененовог генератора између тачака А и B је: 1. RT = 100Ω; 2. RT = 200Ω; 3. RT = 50Ω;

4. RT = 150Ω. 5.9. За коло приказано на слици познато је Е1 = 5 V, E2 = 5 V, E = 15 V, Ig = 1 A, R1 = 10 Ω , R2 = 10 Ω . Унутрашња отпорност RT еквивалентног Тевененовог генератора између тачака А и B је:

A

B

R T

A

B

+

E T

R 1

+

E 1 R 2

R R

+

E 2

+

+

I gR 1

+

E 1 R 2

E 2

E

R 4

B

A

R T

A

B+

E T

R 4

96

++

R P

R 1

R 2

E 1

R 3

R 4

E 2

R 5

R 6

R 7

I g

R P

R 1

R 2

R 3

R 4

+ E 1

R P

R 1

R 2

R 3

R 4

I g

1. RT = 10Ω; 2. RT = 15Ω; 3. RT = 30Ω; 4. RT = 20Ω. 5.10. За коло приказано на слици познато је Е1 = 10 V, E2 = 10 V, Ig = 1 A, R1 = 5 Ω , R2 = 10 Ω , R3 = 9 Ω , R4 = 6 Ω , R5 = 8 Ω , R6 = 5 Ω , R7 = 2 Ω ,. Отпорност отпорника Rp када се на њему развија максимална снага је: 1. Rp = 10Ω; 2. Rp = 5Ω; 3. Rp = 15Ω; 4. Rp = 30Ω.

5.11. За коло приказано на слици познато је Е = 10 V, R1 = 10 Ω , R2 = 20 Ω , R3 = 10 Ω , R4 = 20 Ω . Отпорност отпорника Rp када се на њему развија максимална снага је:

1. Rp=15Ω;

2. Rp=10Ω;

3. Rp=20Ω;

4. Rp=30Ω.

5.12. За коло приказано на слици познато је Ig = 1 A, R1 = 10 Ω , R2 = 20 Ω , R3 = 10 Ω , R4 = 20 Ω . Отпорност отпорника Rp када се на њему развија максимална снага је:

1. Rp = 30Ω;

2. Rp = 20Ω;

3. Rp = 10Ω;

4. Rp = 15Ω.

+

+

I gR 1

+

E 1 R 2

E 2

E

R 4

B

A

R T

A

B

+

E T

R 4

97

ТЕСТ ПИТАЊА ЗА ВЕЖБУ ОТПОРНИК, КОНДЕНЗАТОР И КАЛЕМ У ЕЛЕКТРИЧНИМ КОЛИМА СА ПРОСТОПЕРИОДИЧНИМ СТРУЈАМА

6.1. Фреквенција аудио сигнала је од 20 Hz до 20 kHz. Периоде ових сигнала се мењају у опсегу: 1. од 50 ms до 50 µs; 2. од 5 ms до 5 µs; 3. од 5 ms до 50 µs; 4. од 50 ms до 5 µs.

6.2. Отпорник отпорности R = 50 Ω прикључен је на простопериодичан напон V.)6sin(2100)( πω += ttu Привидна снага отпорника је:

1. S = 100 VА; 2. S = 141 VА; 3. S = 200 VА; 4. S = 0 VА.

6.3. Кроз отпорник отпорности R = 2 kΩ успостављена је простопериодична струја ефективне вредности I = 10 mА, учестаности f = 50 Hz и почетне фазе ψ = π/6. Тренутна вредност напона на отпорнику, при усаглашеном референтном смеру са струјом, је:

1. V;)6100sin(220)( ππ +⋅⋅= ttu

2. V;)6100sin(20)( ππ +⋅⋅= ttu

3. V;)650sin(220)( π+⋅= ttu

4. V.)32100sin(220)( ππ +⋅⋅= ttu

6.4. Коло приказано на слици побуђује се простопериодичним сигналом ефективне вредности 10 V, учестаности 10 kHz и почетне фазе θ = π/3. Отпорности отпорника су: R1 = 1 kΩ , R2 = 9 kΩ .

u(t)

R2 i(t)

uR(t) R1

Тренутна вредност напона на отпорнику отпорности R1 је: 1. V;)31028,6sin(210)( 4 π+⋅= ttuR

2. V;)31028,6sin(2)( 4 π+⋅= ttuR

3. V;)310sin(2)( 4 π+= ttuR

4. V.)31028,6sin(29)( 4 π+⋅= ttuR

6.5. Ако је периода простопериодичног сигнала Т = 20 ms, индуктивност калема L = 20 mH, реактанса калема је: 1. XL = 1 Ω; 2. XL = 6,28 Ω; 3. XL = 2 Ω; 4. XL = 3,14 Ω.

98

6.6. Прост калем индуктивности L = 20 mH прикључен је на простопериодичан напон V.)310sin(220)( 4 π+= ttu Тренутна вредност

струје кроз овај калем, при усаглашеним референтним смером са напоном, је: 1. A;)310sin(21,0)( 4 π+= tti

2. A;)610sin(21,0)( 4 π+= tti

3. A;)610sin(21,0)( 4 π−= tti

4. A.)610sin(220)( 4 π−= tti

6.7. Прост калем индуктивности L = 20 mH прикључен је на простопериодичан напон V.)310sin(220)( 4 π+= ttu Активна снага калема

је: 1. P = 2 W; 2. P = 4 W; 3. P = 1 W; 4. P = 0 W.

6.8. У колу простопериодичне струје које садржи само идеални кондензатор амперметром је измерена струја од 50 mА, док је волтметром измерен напон од 25 V на његовим крајевима. Реактанса кондензатора је: 1. XC = -50 Ω; 2. XC = 50 Ω; 3. XC = -500 Ω; 4. XC = 500 Ω.

6.9. У колу са идеалним кондензатором капацитивности C = 5 µF успостављена је простопериодична струја ефективне вредности I = 50mА, учестаности f = 50 Hz и почетне фазе ψ = π/6. Тренутна вредност напона на кондензатору, при усаглашеном референтном смеру са струјом, је:

1. V;)3100sin(28,31)( ππ +⋅⋅= ttu

2. V;)3100sin(28,31)( ππ −⋅⋅= ttu

3. V;)6100sin(2200)( ππ +⋅⋅= ttu

4. V.)650sin(2200)( π−⋅= ttu

6.10. Идеални кондензатор капацитивности C = 5µF прикључен је на простопериодичан напон V.)310sin(220)( 3 π+= ttu Реактивна снага

кондензатора је: 1. Q = 2 VАr; 2. Q = 4 VАr; 3. Q = -2 VАr; 4. Q = 0 VАr.

99

6.11. Таласни облици струје кроз отпорник и напона на његовим крајевима, при усаглашеним референтним смеровима приказани су на следећем дијаграму:

iR(t)

u,i

0

ωt

θ

π 2π

uR(t)

u,i

ωt

ψ θ

π

uR iR

2π

а) б) u,i

ωt

ψ θ

π

iR uR

2π

u,i

ωt

ψ

θ

π

iR uR

2π

ц) д)

6.12. Таласни облици струје кроз идеални калем и напона на његовим крајевима, при усаглашеним референтним смеровима приказани су на следећем дијаграму:

iL(t)

u,i

0

ωt

θ

π 2π

uL(t)

u,i

ωt

ψ θ

π

uL iL

2π

а) б) u,i

ωt

ψ θ

π

iL uL

2π

u,i

ωt

ψ

θ

π

iL uL

2π

ц) д) 6.13. У колу са идеалним кондензатором таласни облици струје и напона на његовим крајевима, при усаглашеним референтним смеровима, приказани су на следећем дијаграму:

100

iC(t)

u,i

0

ωt

θ

π 2π

uC(t)

u,i

ωt

ψ θ

π

uC iC

2π

а) б) u,i

ωt

ψ θ

π

iC uC

2π

u,i

ωt

ψ

θ

π

iC uC

2π

ц) д)

101

ТЕСТ ПИТАЊА ЗА ВЕЖБУ ИМПЕДАНСА РЕДНЕ ВЕЗЕ ОТПОРНИКА, КАЛЕМА И КОНДЕНЗАТОРА

7.1. Kалем индуктивности L = 6,28 mH и отпорности R = 2 Ω прикључен је на простопериодичан напон V.314sin20)( ttu = Тренутна вредност струје кроз овај калем, при усаглашеном референтном смеру са напоном, је:

1. A;)4314sin(20)( π−= tti

2. A;)4314sin(07,7)( π−= tti

3. A;)4314sin(07,7)( π+= tti

4. A.)4314sin(207,7)( π−= tti

7.2. У колу са кондензатором капацитивности C = 1,6 mF и отпорником отпорности R = 2 Ω , који су везани на ред, успостављена је простопериодична струја A)4314sin(20)( π−= tti . Напон на овој редној вези, при усаглашеном

референтном смеру са струјом, је: 1. V314sin4,56)( ttu = ;

2. V)2314sin(4,56)( π−= ttu ;

3. V314sin20)( ttu = ;

4. V.)2314sin(20)( π+= ttu

7.3. У колу простопериодичне струје које садржи отпорник и кондензатор везане редно, амперметром je измерена струја од 20 mA кроз коло, док је волтмером измерен напон од 20 V на крајевима кола. Импеданса кола је: 1. Z = 1000Ω; 2. Z = 1mΩ; 3. Z = 100Ω; 4. Z = -1000Ω.

7.4. Отпорник отпорности R = 50 Ω , калем индуктивности L = 10 mH и кондензатор капацитивности C = 2 µF везани су на ред и прикључени на извор простопериодичног напона V.)310sin(220)( 4 π+= ttu Тренутна

вредност струје у овом колу, при усаглашеном референтном смеру са напоном, је:

1. A;)1210sin(22,0)( 4 π+= tti

2. A;)1210sin(4,0)( 4 π+= tti

3. A;)12710sin(22,0)( 4 π+= tti

4. A.)12710sin(4,0)( 4 π+= tti

102

7.5. Пријемник карактеристика R = 400 Ω , L = 10 mH и C = 200 nF прикључен је на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 20V, кружне учестаности ω = 104 s-1. Реактивна снага пријемника је: 1. Q = 0,5 VAr; 2. Q = 5 VAr; 3. Q = -0,5 VAr; 4. Q = 0 VAr. 7.6. Отпорник отпорности R = 400 Ω , калем индуктивности L = 10 mH и кондензатор капацитивности C = 200 nF везани су на ред и прикључени на извор простопериодичног напона V.)410sin(220)( 4 π−= ttu Таласни

облици струје у колу и напона на крајевима ове редне везе, при усаглашеним референтним смеровима, приказани су на следећем дијаграму:

i (t)

u,i

0 ωt

θ

π 2π u (t)

i u

u,i

ωt π

i u

2π

a) б) u,i

ωt π

u i

2π

u,i

ωt π

u i

2π 3π

в) г)

7.7. Пријемник карактеристика R = 400 Ω , L = 10 mH и C = 200 nF прикључен је на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 20 V, кружне учестаности ω = 104 s-1. Фактор снаге пријемника је:

1. 22− ;

2. 22 ;

3. 1; 4. 0.

103

7.8. Два пријемника карактеристика R1 = 40 Ω , L1 = 6 mH и C1 = 1 µF и R2 = 50 Ω , L2 = 10 mH и C2 = 2 µF везана су на ред и прикључена у коло простопериодичне струје кружне учестаности ω = 104 s-1. Импеданса редне везе пријемника је:

1. Zе = 90√2Ω 2. Zе = 180Ω 3. Zе = 80Ω 4. Zе = 90,5Ω . 7.9. Два пријемника карактеристика R1 = 40 Ω , L1 = 6 mH и C1 = 1 µF и R2 = 50 Ω , L2 = 10 mH и C2 = 2 µF везана су на ред и прикључена у коло простопериодичне струје кружне учестаности ω = 104 s-1. Фазна разлика између напона редне везе пријемника и струје пријемника је:

1. ϕе = π/2 ; 2. ϕе = -π/2; 3. ϕе = arc tg 1/9 4. ϕе = 0.

7.10. Два пријемника карактеристика R1 = 40 Ω , L1 = 6 mH и C1 = 1 µF и R2 = 50 Ω , L2 = 10 mH и C2 = 2 µF везана су на ред и прикључена на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 20 V, кружне учестаности ω = 104 s-1 и почетне фазе θ = π/12. Привидна снага редне везе пријемника је: 1. Sе = 6,2 VA; 2. Sе = 4,88 VA; 3. Sе = 3,9 VA; 4. Sе = 4,4 VA.

7.11. Два пријемника везана су на ред и укључена у коло наизменичне струје. Под овим околностима привидне снаге пријемника су S1 = 4 VA и S2 = 5 VA. Напон између крајева првог пријемника фазно предњачи струји пријемника за 5π/12, а струја фазно предњачи напону између крајева другог пријемника за π/3, при чему су референтни смерови за напоне и струју усаглашени. Привидна снага редне везе пријемника је: 1. Sе = 9 VA; 2. Sе = -1 VA; 3. Sе = 3,57 VA; 4. Sе = 1 VA. 7.12. Калем је везан на ред са идеалним кондензатором и прикључен на простопериодичан напон ефективне вредности U = 80 mV. При датој

104

учестаности напона импеданса и фактор снаге калема су Z1 = 20 Ω и cos ϕ = 0,8 а капацитивна отпорност кондензатора је XC = 12 Ω . Ефективна вредност струје у колу је : 1. I = 40 mA; 2. I = 2,6 mA; 3. I = 5 mA; 4. I = 2,5 mA.

7.13. Отпорник отпорности R везан је редно са елементом непознатих карактеристика. Ова редна веза прикључена је на простопериодичан напон интензитета V.)64000sin(120)( π−= ttu Интензитет струје је

A,)64000sin(6)( π+= tti при чему су референтни смерови за струју и напон

усаглашени. Непознати елемент је:

1. Кондензатор капацитивности C = 14,4 µF; 2. Кондензатор капацитивности C = 10,82 µF; 3. Калем индуктивности L = 2,5 mH; 4. Калем индуктивности L = 4,3 mH.

105

ТЕСТ ПИТАЊА ЗА ВЕЖБУ АДМИТАНСА ПАРАЛЕЛНЕ ВЕЗЕ ОТПОРНИКА, КАЛЕМА И КОНДЕНЗАТОРА

8.1. Кондензатор капацитивности C = 2,5 mF и отпорник отпорности R = 2 Ω везани су паралелно и прикључени су на простопериодичан напон

V200sin20)( ttu = . Тренутна вредност струје кроз напојну грану, при усаглашеном референтном смеру са напоном, је:

1. A;)4200sin(3,28)( π−= tti

2. A;)4200sin(21,14)( π+= tti

3. A;)4200sin(1,14)( π−= tti

4. A;)4200sin(1,14)( π+= tti

8.2. Кроз напојну грану паралелне везе калема индуктивности L = 10 mH и отпорника отпорности R = 2 Ω тече простопериодична струја

A)4200sin(20)( π−= tti . Напон на овој паралелној вези, при усаглашеном

референтном смеру са струјом кроз напојну грану, је: 1. V314sin3,28)( ttu = ;

2. V)2314sin(3,28)( π−= ttu ;

3. V314sin1,14)( ttu = ;

4. V.)2314sin(1,14)( π−= ttu

8.3. У колу простопериодичне струје, које садржи отпорник и калем везане паралелно, амперметром je измерена струја од 20 mA кроз напојну грану, док је волтмером измерен напон од 50 V на крајевима везе. Адмитанса кола је: 1. Y = 250 S; 2. Y = -0,4 mS; 3. Y = 0,4 mS; 4. Y = 2,5 kS. 8.4. Отпорник отпорности R = 100 Ω , калем индуктивности L = 10 mH и кондензатор капацитивности C = 2 µF везани су паралелно и прикључени на извор простопериодичне струје mA)410sin(80)( 4 π+= tti . Тренутна вредност

напона на крајевима ове паралелне везе, при усаглашеном референтном смеру са струјом кроз напојну грану, је:

1. V;)210sin(24)( 4 π+= ttu

2. V;)10sin(4)( 4 ttu = 3. V;)10sin(24)( 4 ttu =

4. V)410sin(8)( 4 π+= ttu .

106

8.5. Отпорник отпорности R = 100 Ω , калем индуктивности L = 10 mH и кондензатор капацитивности C = 2 µF везани су паралелно и прикључени на извор простопериодичног напона V.)410sin(220)( 4 π+= ttu Таласни

облици струје у колу и напона на крајевима ове паралелне везе, при усаглашеним референтним смеровима, приказани су на следећем дијаграму:

i (t)

u,i

0 ωt

θ

π 2π u (t)

i u

u,i

ωt π

i u

2π

a) б) u,i

ωt π

u i

2π

u,i

ωt π

u i

2π 3π

в) г) 8.6. Пријемник, који се састоји од паралелне везе елемената R = 125 Ω , L = 10 mH и C = 200 nF, прикључен је на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 20 V, кружне учестаности ω = 104 s-1 и почетне фазе θ = π/12. Активна снага пријемника је: 1. P = -6,4 W; 2. P = 6,4 W; 3. P = 3,2 W; 4. P = -3,2 W. 8.7. Пријемник, који се састоји од паралелне везе елемената R = 125 Ω , L = 10 mH и C = 200 nF, прикључен је на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 20 V, кружне учестаности ω = 104 s-1 и почетне фазе θ = π/12. Фактор снаге је:

1. 22− ;

2. 22 ;

3. 1; 4. 0.

107

8.8. Два пријемника, од којих се сваки састоји од паралелне везе R, L, C елемената, везана су паралелно и прикључена у коло простопериодичне струје кружне учестаности ω = 104 s-1. Елементи првог пријемника су R1 = 150 Ω , L1 = 6 mH и C1 = 1 µF, а елементи другог пријемника су R2 = 100 Ω , L2 = 10 mH и C2 = 2 µF. Адмитанса паралелне везе пријемника је: 1. Yе = 20mS; 2. Yе = 17mS; 3. Yе = 16,7√2mS; 4. Yе = 13,4mS. 8.9. Два пријемника, од којих се сваки састоји од паралелне везе R, L, C елемената, везана су паралелно и прикључена на извор простопериодичног напона ефективне вредности U = 30V, кружне учестаности ω = 104 s-1 и почетне фазе θ = π/12. Елементи првог пријемника су R1 = 150 Ω , L1 = 6 mH и C1 = 1 µF, а елементи другог пријемника су R2 = 100 Ω , L2 = 10 mH и C2 = 2 µF. Реактивна снага паралелне везе пријемника је: 1. Qе = 15 VAr; 2. Qе = 3 VAr; 3. Qе = -3 VAr; 4. Qе = -15 VAr. 8.10. Два пријемника везана су паралелно и укључена у коло наизменичне струје. Под овим околностима привидне снаге пријемника су S1 = 4 VA и S2 = 5 VA. Напон између крајева првог пријемника фазно предњачи струји пријемника за 5π/12, а струја фазно предњачи напону између крајева другог пријемника за π/3, при чему су референтни смерови за напоне и струју усаглашени. Укупна активна снага ове паралелне везе пријемника је: 1. Pе = -1,46W; 2. Pе = 2,7W; 3. Pе = 3,54W; 4. Pе = 1,46W. 8.11. Резистанса једног пријемника је R = 30 Ω , а његова реактанса је X = 40 Ω . Кондуктанса овог пријемника је: 1. G = 16 mS; 2. G = 33,3 mS; 3. G = 12 mS; 4. G = -12 mS. 8.12. Koндуктанса једног пријемника је G = 15 mS, а његова сусцептанса је B = -5 mS. Реактанса овог пријемника је:

1. X = 20 Ω; 2. X = -20 Ω; 3. X = -60Ω; 4. X = 60 Ω.

108

8.13. Пријемник се састоји од редне везе отпорника отпорности R = 400 Ω, калема индуктивности L = 10 mH и кондензатора капацитивности C = 200 nF. Kружнa учестаност je ω = 104 s-1. Сусцептанса овог пријемника је: 1. B = -2,5 mS; 2. B = 2,5 mS; 3. B = 1,25 mS; 4. B = -1,25 mS. 8.14. Пријемник се састоји од паралелне везе отпорника проводности G = 20 mS, калема индуктивности L = 10 mH и кондензатора капацитивности C = 2 µF. Kружнa учестаност je ω = 5000 s-1. Резистанса овог пријемника је:

1. R = 40 Ω; 2. R = 50 Ω; 3. R = 20Ω; 4. R = -20 Ω.

109

ТЕСТ ПИТАЊА ЗА ВЕЖБУ РЕЗОНАНТНА КОЛА 9.1. Отпорник отпорности R = 10 Ω , калем индуктивности L = 10 mH и кондензатор капацитивности C = 330 nF везани су паралелно. Резонантна фреквенција ове везе је: 1. f0 = 1740,8 Hz; 2. f0 = 17,4 kHz; 3. f0 = 2,77 kHz; 4. f0 = 2,77 Hz.

9.2. Отпорник отпорности R = 200 Ω , калем индуктивности L = 1,5 mH и кондензатор капацитивности C = 3,3 µF везани су паралелно. Q фактор овог резонантног кола износи: 1. Q = 1,49; 2. Q = 4,69; 3. Q = 9,38; 4. Q = 11,3.

9.3. Отпорник отпорности R = 200 Ω , калем индуктивности L = 1,5 mH и кондензатор капацитивности C = 3,3 µF везани су паралелно. Ширина пропусног опсега В овог резонантног кола износи: 1. В = 1500 Hz; 2. В = 4760 Hz; 3. В = 1500 rad/s; 4. В = 4760 rad/s.

9.4. Резонантна кружна учестаност неког кола износи ω0 = 3 · 103 rad/s, а граничне кружне учестаности износе ω1 = 2,85 · 103 rad/s и ω2 = 3,15 · 103 rad/s. Q фактор овог резонантног кола износи: 1. Q = 1; 2. Q = 1,59; 3. Q = 10; 4. Q = 62,8.

9.5. Идеално резонантно коло садржи: 1. R, L и C; 2. R и L; 3. R и C; 4. L и C.

9.6. Резонантна фреквенција кола може се променити: 1. само променом R; 2. само променом L; 3. само променом C; 4. променом L или C.

110

9.7. Резонантна кружна учестаност неког кола износи ω0 = 2 krad/s, а ширина пропусног опсега износи B = 800 rad/s. Граничне кружне учестаности износе: 1. ω1 = 1,54 · 103 rad/s, ω2 = 2,34 · 103 rad/s; 2. ω1 = 1,6 · 103 rad/s, ω2 = 2,4 · 103 rad/s; 3. ω1 = 1,74 · 103 rad/s, ω2 = 2,54 · 103 rad/s; 4. ω1 = 1,64 · 103 rad/s, ω2 = 2,44 · 103 rad/s.

9.8. На основу дијаграма зависности струје од фреквенције датог на слици, Q фактор овог резонантног кола износи:

100 1000 100000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

I/I0

f [Hz]

1. Q = 0,15; 2. Q = 0,3; 3. Q = 0,6; 4. Q = 1,2.

9.9. У резонантном колу константне резонантне кружне учестаности ω0 = const, са повећањем фактора доброте кола ширина пропусног опсега се: 1. повећава; 2. смањује; 3. не мења; 4. зависи од других параметара.

9.10. Код паралелног резонантног кола константне отпорности и индуктивности R,L = const, са повећањем капацитивности фактор доброте кола се: 1. повећава; 2. смањује; 3. не мења; 4. зависи од других параметара.

111

9.11. У пријемницима сигнала за избор фреквенције пријема користи се: 1. редно RLC коло; 2. паралелно RLC коло; 3. и редно и паралелно RLC коло; 4. не користи се ни редно ни паралелно RLC коло.

9.12. Резонантна кружна учестаност редног резонантног кола износи ω0 = 3,14 krad/s, ширина пропусног опсега износи В = 448,6 rad/s, а отпорност R = 200 Ω. Капацитивност резонантног кола износи: 1. С = 0,11 µF; 2. С = 0,22 µF; 3. С = 1,43 µF; 4. С = 9 µF.

9.13. Отпорник отпорности R = 100 Ω , калем индуктивности L = 3 mH и кондензатор капацитивности C = 1 µF везани су паралелно. Граничне кружне учестаности овог резонантног кола износе: 1. ω1 = 1,54 krad/s, ω2 = 2,34 krad/s; 2. ω1 = 2,32 krad/s, ω2 = 3,91 krad/s; 3. ω1 = 1,46 krad/s, ω2 = 2,46 krad/s; 4. ω1 = 14,6 krad/s, ω2 = 24,6 krad/s.

9.14. Код редног резонантног кола на фреквенцији резонансе амплитуда напона на отпорнику је: 1. минимална; 2. максимална; 3. једнака је нули; 4. фреквенцијски независна.

113

Л и т е р а т у р а

1. Сурутка, Ј. Основи електротехнике-електростатика, сталне једносмерне струје, Академска мисао, Београд, 2005.

2. Сурутка, Ј. Основи електротехнике-електромагнетизам, Академска мисао, Београд, 2003.

3. Сурутка, Ј., Ђекић, М. Основи електротехнике-наизменичне електричне струје, Технички факултет, Чачак, 2000.

4. Поповић, Б. Основи електротехнике I и II, Академска мисао, Београд, 2004.

5. Гавриловић, А. Основи електротехнике – приручник за вежбе на рачунару, Виша електротехничка школа, Београд, 2003.

6. Божиловић, Х., Спасојевић, Ж., Божиловић, Г.: Збирка задатака из Основа електротехнике-електромагнетизам, наизменичне струје, Електротехнички факултет, Београд 1998.

7. Божиловић, Х., Спасојевић, Ж., Божиловић, Г.: Збирка задатака из Основа електротехнике-електростатика, сталне једносмерне струје, Академска мисао, Београд 2002.

8. Митић, Д. Основи електротехнике – лабораторијске вежбе, Научна књига, Београд, 1988.

9. Стојић, Р. Приручник за лабораторијске вежбе из Основа електротехнике, Електротехнички факултет, Београд, 1991.