A Nemeuklideszi Geometria Története - Roberto Bonola

8/8/2019 A Nemeuklideszi Geometria Trtnete - Roberto Bonola

1/128

ROBERTO BONOLA

A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA

TRTNETE

Fordtotta s magyarzatokkal, jegyzetekkel kiegsztette

dr. HACK FRIGYES, Ph.D.matematikatanr

A fordts az albbi kiads alapjn kszltRoberto Bonola: La geometria non-euclidea /Zanichelli, Bologna, 1906/

A fordtst szakmailag ellen

rizteProf. Dr. Bezdek Kroly, tanszkvezet egyetemi tanr


2/128

2

TARTALOM

A szerz elszavaA magyar kiadsrl

I. FEJEZET: AZ 5. POSZTULTUM BIZONYTI

1-5. A grg geomterek prblkozsai6. Az arabok s az 5. posztultum7-10. A prhuzamosok a renesznszban s XVII. szzadban

II. FEJEZET: A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA ELFUTRAI

11-17. Gerolamo Saccheri (1667-1733)18-22. Johann Heinrich Lambert (1728-1777)23-26. A XVIII. szzad vgnek francia geomterei27-28. Adrien Marie Legendre (1752-1833)29. Bolyai Farkas (1775-1856)30. Friedrich Ludwig Wachter (1792-1817)

III. FEJEZET: A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA MEGALAPOZI31-34. Karl Friedrich Gauss (1777-1855)35. Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859)36-38. Franz Adolf Taurinus (1794-1874)

IV. FEJEZET: A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA MEGALKOTI

39-45. Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1793-1856)46-55. Bolyai Jnos (1802-1860)56-58. Az abszolt trigonometria59. Az euklideszivel ekvivalens posztultumok60-65. A nemeuklideszi geometria elterjedse

V. FEJEZET: A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA TOVBBFEJLESZTSE

66. BevezetsDifferencil-geometriai megkzelts

67-69. A felletek geometrija70-76. A Riemann-fle skgeometria77. A tr Riemann-fle geometrija78. Helmholtz munkja s Lie vizsglatai

Projektv geometriai megalapozs79-83. A metrikus s a projektv geometria kapcsolata84-91. A Bolyai-Lobacsevszkij geometria sk-modelljei92. A Riemann geometria trbeli modellje93. A geometria megalapozsa a transzformcik tulajdonsgaival94. Az euklideszi posztultum bizonythatatlansgrl

FGGELK A MAGYAR KIADSHOZ

I. Eukleidsz s elfutraiII. A XX. szzadi kutatsok

NVMUTAT


3/128

3

A SZERZ ELSZAVA

A nemeuklideszi geometria kezdeteirl s fejldsrl, a klnbz tudomnyok trtneti-kritikai elemzsrl szl irodalom irnt tapasztalhat rdeklds ksztettek, hogy kiegszt-

sem egy hat vvel korbbi tanulmnyomnak - Sulla teoria delle parallele e sulle geometrienon-euclidee - els rszt, mely az Enriques professzor szerkesztette Questioni riguardanti lageometria elementare c. antolgiban jelent meg (Bologna, Zanichelli, 1900).

Abban a cikkben -, melyet mr a nmet fordtshoz is teljesen trtam -, fknt a geometriairendszer felptsre koncentrltam. Most ezzel ellenttben a prhuzamossgi axima vizsgla-tnak trtnete s a Lobacsevszkij-Bolyai, valamint a Riemann geometria kerlt akzppontba.

Az I. fejezetben rviden tfutok azElemekidevg rszn, az V. posztultum legrgibb antikbrlatain rmutatva arra, hogy a grg, az arab s az eurpai renesznsz geomterek hogyanakartk stabilizlni Eukleidsz rendszert. A II. fejezetben fleg Saccheri, Lambert s

Legendre munkjn mutatom be, hogyan prbltk az antik tleteket j elvekkel helyettestvetkletesteni a geometrit a XIX. szzad kezdetig. A III. s a IV. fejezetekben, ttekintveGauss, Schweikart, Taurinus vizsglatait, valamint Lobacsevszkij s Bolyai alkot munkjt,kifejtem az els, Eukleidsz 5. posztultumtl fggetlen geometriai rendszer elveit. Az V.fejezetben sszefoglalom a nemeuklideszi geometrinak tovbbi - Riemann s Helmholtzstrukturlis- s Cayley modell-vizsglataira tmaszkod - fejldst.

A knyv egszben arra trekedtem, hogy a klnbz problma-felvetseket trtnetisorrendben kzvettsem. Ezrt amikor ez a sorrend a tma egyszer kifejtst megneheztette,nem haboztam s ragaszkodtam a knyvben alkalmazott alapelv megtartshoz.(1)

Ez ht e knyv rvid ismertetse. Mieltt e csekly munkmat az olvas megtisztel figyel-mbe ajnlom, szvlyes ksznetemet kell kifejeznem nagyra becslt tanromnak, FedericoEnriques professzornak rtkes tancsairt s a kritikai szrevteleirt, amelyekkel nagysegtsgemre volt az anyag rendszerezsben; tovbb Corrado Segre professzornak, aki voltszves a nemeuklideszi geometrirl a Torini Egyetemen tartott, hat szemesztert tfogeladsnak kziratt rendelkezsemre bocstani; ugyancsak ksznet illeti bartomat,Giovanni Vailati professzort, aki rtkes felvilgostsokkal ltott el a grg geometriaterletrl s segtett a bizonytsok pontostsban.

Vgl szintn ksznm, hogy kiadm, Cesare Zanichelli, knyvemet sorozatba a tudom-nyos munkk kz felvette.

Pvia, 1906. mrcius.Roberto Bonola

1 A szerz - a trtneti ismertetstl elvlasztva - kzl mg kt tanulmnyt. A NOTA I. a geometriai axima-

rendszer s a statika kapcsolatt elemz, Genocchitl szrmaz gondolatot ismerteti. A NOTA II. Clifford sKlein elmleti vizsglatait mutatja be a prhuzamosokrl, a felletekrl s a felleti grbkrl. A Kiadvalegyeztetve gy gondoltam, hogy ezeknek, - a specialistkat rdekl s a magyar kiads megjelensekor mrms mvekben is olvashat -, kzlse nem clszer. Pl. a statisztikai geometrirl teljesebb s modernebb

lerst tallhat az rdekld olvas I.M. Jaglom: Galilei relativitsi elve s egy nemeuklideszi geometria(Gondolat,1985) munkjban, melyben az Einsten ltal is nagyra rtkelt, s Bonola letben mg nempublikus Minkowski-fle trid geometrirl is szerezhet ismereteket. (H.F.)


4/128

4

A MAGYAR KIADSRL

Bonola knyve egy dilemma trtnete, de maga m is trtnelmi ereklynek szmt. Annakellenre az, hogy tartalma, szerkezete ma is aktulis. Egy olyan korszak vgn jelent meg,amelynek mg nem mlt el a meglepdse a kolumbusz-tojs titknak megfejtse felett. Megkell azonban vallani, hogy igazn azta sem bredtnk fel. Ha ugyanis megnzzk az eurpais a belle sarjadt kultrk iskolinak tananyagt, az itt lertakbl szinte semmit sem tallunk

benne. A XXI. szzad embere teht mg mindig gy hagyja el az iskola padjait, hogy csakEukleidsz geometrijt ismeri. Olyan ez, mintha Galilei, Kepler munkja helyett csakPtolemaiosz geocentrikus vilgkpt ismertetnnk a felnvekv nemzedkkel. Mintha Newton,Einstein felfedezseirl, a vilgrl szerzett legfrissebb ismeretekrl hallgatnnk a katedrn.

A XX. szzad kzps harmadban mg intenzv volt a magyar egyetemeken a geometria - a

geometrik - oktatsa. Ma azonban tanri diplomt lehet gy szerezni, hogy birtokosa szintecsak azt tudja, amit majd tantania kell. Ezrt mondhatjuk, hogy a Bonola ltal elmeslttrtnet ma is aktulis. De nemcsak aktulis, hanem kanonikus is: mindent fellel, amit amatematikai trfogalom kialaktsnak, kialakulsnak folyamatban a XIX. szzad vgigtrtntekrl tudni lehet, tudni kell. Ami azutn trtnt, azt a szerz mr nem lhette meg, detle tudjuk, hogy mindennek Bolyai s Lobacsevszkij forradalmi tette volt a kezdete.

A magyar vltozat ezen aktualitson tlmenen is indokolt, kiadsnak idztst egszenpontosan meg tudjuk magyarzni: Bolyai Jnos, az ujj ms vilg egyik megteremtje 1802- ben, 200 ve szletett. Rla, munkjrl, a felfedezs krlmnyeirl, fogadtatsrl, el-,illetve el nem ismersrl sokat rtak. A kommentrok termszetesen kitrtek msok

tevkenysgre, hogy Bolyai szerept klcsnhatsaiban mutathassk meg. Bonola munkjams. az egsz folyamatot trja elnk, a kzdelmet, a titnok promteuszi harct az igazsgtznek megszerzsrt, de mint rt krniks az tkzet lersa mellett az egyni rdemeket is

pontosan rgzti. Hogy mennyire illik a szerzre az rt krniks jelz, az kiderl azokbl azutalsokbl, melyek sajt munkit jellik meg forrsknt. Ezen kvl ismerjk tbb olyantanulmnyt, mely a XIX. szzadvg olasz geometriai iskoljnak rtkes termse, s ezektbbsge a nemeuklideszi geometria tmakrbe tartozik. Felsorolsuk helyett egyetlen adalk:Roberto Bonola, a pdovai Scuola Normale tanra, mint a nemeuklideszi geometrianemzetkzi hr mvelje, a kolozsvri m. kir. Tudomnyegyetem Matematikai s Termszet-tudomnyi Karnak felkrsre az 1902-es vknyvben Johannis Bolyai in memoriam

cmmel tanulmnyt rt s ebben az Appendix addig megjelent fordtsainak bibliogrfijt iskzlte.

Jelen knyvnek rtkt a nemzetkzi fogadtats, a fordtsok megjelense is mutatja:

Els kiads: 1906. - Bologna.

Nmet fordts: 1908. - Lipcse-Berlin. / 1919. - uo. (Liebmann tdolgozsa)

Angol fordts: 1911. - Sydney / 1912. - Chicago / 1955. - New York.

-------------

A magyar olvast az tltets mellett nhny fordti-kommenttori jegyzet beiktatsvalszndkoztam segteni. Ezeket - nem akarvn a szerz szmokkal jelzett lbjegyzeteit

megzavarni - a fejezetek vgn helyeztem el, jelzskre betket hasznlva. (Nhny esetbenindokolt volt eltrnem ettl.) Illett volna az idegen nyelv utalsokat, hivatkozsokat


5/128

5

helyenknt magyar nyelv forrsokkal felcserlni, kiegszteni. Ehelyett a knyv vgnmegadott munkkra hvom fel az rdekldk figyelmt, olyanokra, melyek vlemnyem szerinta matematikai trfogalom kialaktshoz megadjk a szksges tjkoztatst. A ktet vgreugyancsak az rdekld olvask eligaztsa kedvrt kerlt a Fggelk kt fejezete. Az elstazrt gondolom hasznosnak, mert Bonola lt, lhetett azzal a felttelezssel, hogy a kortrsai

tisztban vannak grg tudomny legfontosabb eredmnyeivel s Eukleidsz munkival, nomeg magval Eukleidsszel, - ami a jelenkori hazai viszonyokra nem jellemz. A msodikrszben a trfogalom matematikai elmletnek a XX. szzadi kifejtsrl s az si problmamegnyugtat lezrsrl kap az olvas rvid sszefoglalst.

Bizonyos pontokon a Szerz bizonytalan nhny, akkoriban modern, ma mr - legalbbis aszakmabelieknek - mindennapos, trivilis fogalom krdsben. Ez azonban semmit nem von lea m rtkbl, st ez hozza kzel a tmt, annak minden rszlett az rdekld laikushoz.Igaz, telis-tele van matematikval, annak is a rzsabb rszvel: fknt a strbereket rdeklgeometrival. De ht a matek is ehet! Legfeljebb nem olyan knnyen emszthet, mintmondjuk a ... - de inkbb ne mondjunk semmit. A vilgot megismerni akar, nmagt

rtelmesnek tart ember szmra azonban az akadly kihvst s nem ttrhetetlen korltot jelent. Nem knny teht, mert nem banlis az elbeszlt trtnet. Az igazi tudsra vgyembernek azonban csak olyan dolgokkal szabad foglalkozni, amihez nmi szellemi erfesztsis szksges.

-------------

A ksznetnyilvntsok eltt meg kell osztanom az olvasval egy szemlyes emlket. Bonolaknyvt 50 vvel ezeltt adta kezembe Krteszi Ferenc professzor r, amikor e tma irntirdekldsem feltmadt. Elszr a gimnziumban szerzett latin tudsom alapjn prbltam aszveget megrteni. Mivel ez csak mdjval sikerlt, a jobb hatsfok biztostsra beirat-koztam a szomszdos Olasz Kultrintzet (Istituto Italiano di Cultura per Unghera) nyelv-tanfolyamra. Az ott szerzett nyelvtudst igazn csak az olasz geometriai iskola termsneklearatsra hasznltam, a dalok, operk szvegnek rtse, kapisklsa csupn kellemesrads, ajndk volt. Sajnlom, hogy nem tudtam mr korbban a kznek hasznra lenni ennekaz igazn rtkes tanulmnynak a kzvettsvel.

Ami ksett, ezttal sem mlt el. A fordts elkszlt, s most az Olvas a kiadsra vr knyvelkpt ltja ebben az elektronikus vltozatban a Magyar Elektronikus Knyvtr gyjtem-nyben.

Nem a ktelessg, de az igaz bartsg szavaival ksznm meg Bezdek Kroly professzornakazt a segtsget, melyet a szveg tnzsvel nyjtott.

Az olvasnak - dikoknak, tanroknak vagy a matematika brmilyen elktelezett szerel-mesnek - kegyes jindulatba ajnlom ezt a valban hasznos, a vilgrl alkotott kpnkettkletest olvasmnyt.

Budapesten, 2002. mrciusban.

Hack Frigyes


6/128

6

I. FEJEZET

AZ 5. POSZTULTUM BIZONYTI

A grg geomterek s a prhuzamossg

1. Eukleidsz (kb. i.e. 330-275) azElemek(2) () I. Knyvben definilja az egyenesekprhuzamossgt (I. 23. definci) . Kt egyenest prhuzamosnak nevez, ha azok egy skbanfekszenek s mindkt irnyban meghosszabbtva nem metszik egymst.(a) E defincit hasznlva

bizonytja be, hogy kt egyenes prhuzamos akkor, ha egy harmadik metszvel egyenlvltszgeket alkot (I.27. ttel), de akkor is, ha a metsznek ugyanazon az oldaln a megfelel

szgek egyenlk vagy a kt bels szg sszege kt derkszg (I.28. ttel). Ennek a ttelnek amegfordtst mondja ki az I. knyvben az 5. posztultum:

Ha egy egyenes gy metsz kt egyenest, hogy az egyik oldaln keletkez bels szgek sszegekisebb kt derkszgnl, akkor e kt egyenes a metsznek ezen oldaln meghosszabbtvametszi egymst.(b)

A prhuzamosok euklideszi elmlete az els knyv nhny ttelben vlik teljess:

I.30. ttel: Ugyanazzal az egyenessel prhuzamosak egymssal is prhuzamosak.

I.31. ttel: Egy adott egyenessel egy kls ponton t (csak egy) prhuzamos hzhat.(c)

I.33. ttel: Kt prhuzamos s egyenl szakasz vgeit sszekt szakaszok is pr-

huzamosok s egyenlk.Ebbl az utbbi ttelbl levezethet, hogy a prhuzamosok ekvidistns - egyenkz -vonalak.(d) A prhuzamosok euklideszi elmletnek kvetkezmnyei kzl a legismertebb ahromszgek szgeinek sszegre vonatkoz ttel s a hasonl idomok tulajdonsgai.(e)

2. Mr Eukleidsz els kommenttorainak feltnt, hogy az 5. posztultum nem magtlrtetd, nem olyan, amit bizonyts nlkl el lehetne fogadni, s ezrt megksreltk levezetni.Feltevsket igazoland prblkoztak azzal is, hogy a prhuzamosok euklideszi defincijtms fogalmazsokkal - gyakran az ellenkezjvel - val helyettestsk. m ezek az alternatv

defincik s aximk nem vezettek ellentmondshoz.Proklosz (i.sz. 410 - 485) a Megjegyzsek Eukleidsz els knyvhez(3)c. munkjban rtkestudomnytrtneti adalkkal szolgl ezekrl az els prblkozsokrl. Pldul megemltiPoszeidoniosz (i.e. I. sz.) javaslatt, hogy nevezzk prhuzamosnak a kt egysk s egymstlegyenl tvolsgban halad egyenest. Ez a definci s az euklideszi nincsenek ugyanellentmondsban, de kln kell ket vlasztani s ehhez Proklosz (177. old.) - utalva Geminusz

2 Az EukleidszElemek-re val utalsoknl J.L.Heiberg ltal szerkesztett kritikai kiadst hasznljuk (Lipcse,

Teubner, 1883). [Bonola lbjegyzete.] - [Az tltetsben a Gondolat kiadnl 1983-ban Mayer Gyula fordt-sban megjelent magyar kiads szmozsi koncepcijt alkalmazom. - H.F.]

3 A Proklosz hivatkozsoknl a G. Friedlein gondozsban megjelent: Procli Diadochi in primum Euclidiselementorum commentari (Lipcse, Teubner, 1873) - kiadsra hivatkozunk.


7/128

7

(i.e. I. sz.) egy munkjra -, megemlti a hiperbolt s a konhoiszt. Ezek az asszimptotjukkalEukleidsz szerint prhuzamosak - sohasem metszik azt - de Poszeidoniosz felfogsa szerintnem azok - kzelednek hozz.

Proklosz megtlse szerint ez a Geminusz ltal kiemelt tny az egsz geometriban alegnagyobb paradoxon (

).

Mieltt Eukleidsz s Poszeidoniosz prhuzamosait sszevetnnk, be kell ltni, hogy ha ktegysk egyenes nem tallkozik, akkor egymstl val tvolsguk lland; vagy ami ugyanezt

jelenti, hogy azoknak a pontoknak a mrtani helye, melyek egy egyenestl egyenl tvolsgravannak szintn egyenes.(f) Ehhez a bizonytshoz Eukleidsz a sajt defincijt hasznlja (I.33.ttel).

Proklosz a vlemnynek nyomatkostshoz megjegyzi (364. old.), hogy a ttel egyikmegfordtst - a hromszg kt szgnek sszege mindig kisebb kt derkszgnl -Eukleidsz bizonytja (I. 17. ttel), ennek ellenre tartzkodik attl, hogy ezt az aximkhozsorolja. Lehetetlennek tartja ugyanis, hogy egy bebizonythat ttelnek az ellenkez je is

bizonythat legyen. Ugyanakkor rmutat, hogy az asszimptotikus egyenesek (elvi) lehetsgtnem clszer elvetni, de a magtl rtetd fogalmakat vatosan kell kezelni (191-2. old.)

1. bra

A F B

C D

G

,

,

Proklosz emlti mg (362-5. old.), hogy Ptolemaiosz(g) (i.sz. II. sz.) megksrli a krdst lezrnia kvetkez rdekes gondolatsorral.

LegyenAB, CD kt prhuzamos egyenes sFG egy ket metsz harmadik (1. bra).

Legyenek, azFG-tl balra s , a jobbra lv bels szgek.

Ekkor az + s az + sszegek egyszerre lesznek nagyobbak, egyenlk vagy kisebbek ktderkszgnl. Ha az egyik eset (pl. + >2R) igaz a bels szgekre, akkor ez minden

prhuzamosnl gy lesz.

EsetnkbenFB s GD prhuzamos, ugyangyFA s GCis az.(h) Amennyiben + >2R, akkor+ >2R, teht + + + > 4R, ami nyilvn lehetetlen.

Ugyangy lthat be, hogy + nem lehet kisebb kt derkszgnl.

Ezrt a harmadik lehetsg, az egyenlsg maradt: + = 2R. (Proklosz, 365. old.)

Ebbl az eredmnybl Eukleidsz 5. posztultuma knnyen addik.


8/128

8

3. Proklosz - Ptolemaiosz okoskodsnak brlata utn - ms ton prbl maga is ugyanerreaz eredmnyre jutni (371. old.). Bizonytsa a kvetkez, ltala magtl rtetd felttelezsenalapszik:(i) Kt metsz egyenes pontjai kztti tvolsg akrmilyen nagy lehet, ha azegyeneseket kellen meghosszabbtjuk.(4)

Ebbl a felttelbl vezeti le ezt a lemmt: Egy egyenes, mely kt prhuzamos egyikt metszi,szksgkppen metszi a msikat is.

A lemmra adott bizonytsa a kvetkez:

LegyenAB, CD kt prhuzamos sEG azAB-t azFpontban metsz (2. bra).

E

A

C

FB

G

D

2. bra

AzFG flegyenes egy vltoz pontjnak aAB egyenestl val tvolsga korltlanul nvekszik,midn a pont azF-tl minden hatron tl tvolodik. Mivel a kt prhuzamos kztt a tvolsgvges, azEG egyenesnek tallkoznia kell a CD egyenessel.

Proklosz teht bevezette s felhasznlta azt a hipotzist, hogy a prhuzamosok kzttitvolsg vges marad; ebbl a feltevsbl a Eukleidsz 5. posztultumt le lehet vezetni .

4. Azt, hogy a grgk krben vitatma volt Eukleidsz 5. posztultuma mutatja az a

paradoxon, melyet ugyancsak Proklosz emlt (369. old). Nhnyan Prokloszhoz hasonlanmegprbltk igazolni, hogy kt egyenes, melyet egy harmadik metsz sohasem tallkozik azonaz oldalon, ahol a bels szgek sszege kisebb kt derkszgnl.

3. bra

A

E

C

FK

H

G L

Legyen AC egyenes az, amelyik metszi az AB s CD egyeneseket, s legyen E az ACfelezpontja.

4 E magtl rtetd feltevs a helyessgnek igazolsra Proklosz hivatkozik Arisztotelsz De Coeli c. mvre.

A ttel szigor bizonytst a ksbb idzett Saccherinl (13.) talljuk meg.


9/128

9

Vegynk fel az AC szelnek azon az oldaln, ahol a bels szgek sszege kisebb ktderkszgnl azAB-n egyAFs a CD-n egy CG szakaszt, melyekAE-vel egyenlk. AzAB sa CD egyenesek nem tallkozhatnak az AF s a CG szakaszokon bell, mivel egyhromszgben minden oldalnak kisebbnek kell lennie a msik kett sszegnl.

Kssk ssze az F s a G pontot s az el bbi eljrst ismteljk meg: legyen e szakaszkzppontjaH, mrjk fel azFG szakasz felvel egyezFKs a GL szakaszokat azAB illetvea CD egyenesekre. Ezek nem tallkozhatnak azF,Ks a G,Kpontok kztt.

Mivel e mvelet vg nlkl folytathat, kvetkezskppenAB s CD sohasem tallkoznak.

A gondolatmenetben a hibt a vgtelen helytelen rtelmezse okozza, mivel az AF, FK,szakaszok hossza nullhoz tarthat gy is, hogy az sszegk vges marad. Ennek a para-doxonnak a szerzje ugyangy az okoskodik, mint Znon (i.e. 495-435), amikor bebizonytja,hogy Akhilleusz nem rheti utol a teknsbkt, noha ktszer gyorsabban fut annl.

Mint arra Proklosz - ms formban ugyan, de - rmutat (369-70. old.), ez az okoskods csakazt igazolja, hogy a tallkozsi pontot ezzel az eljrssal nem lehet megtallni (meghatrozni:

), de nem bizonytja, hogy az nem ltezik.Proklosz ks bb megjegyzi, hogy mivel egy hromszgben kt szg sszege kisebb ktderkszgnl (ElemekI. 17. ttel), lteznek olyan egyenes prok, melyek a szelnek azon azoldaln tallkoznak, ahol a bels szgek sszege kisebb kt derkszgnl. Eszerint ha valakiazt lltja, hogy sohasem tallkoznak, ha egy tetszleges mrtkben kisebb a szgsszeg ktderkszgnl, azt vlaszolhatjuk, hogy van olyan nagyobb eltrs, amikor tallkoznak.

De ha ltezik is bizonyos egyenes proknak metszspontja az ket metsznek azon az oldaln,ahol a bels szgek sszege kisebb kt derkszgnl, mg meg kell mutatni, hogy ez a helyzetll fenn minden egyenes pr esetn.Ezrt ha valaki megfigyeli, hogy egy bizonyos defektusnl

(a kt derkszgbl val hinynl) nem metszik egymst az egyenesek, akkor mg metszhetikegymst minden ennl nagyobb defektusnl. (371.old.) Ennek kvetkezmnye, hogy akrdsre, melyet Proklosz itt sugall, csak gy lehet vlaszolni, ha az ACtranzverzlis (3. bra)helyzett rgztjk, mikzben az egyeneseket azA illetveB pontok krl forgatjuk, hogy a kt

bels szg sszegnek a kt derkszgtl val eltrse vltozzon.(j)

5. Az 5. posztultum tovbbi nagyon rgi grg bizonytsi ksrlett reproduklja az arabkommenttor Al-Narizi(5) (i.sz. IX.sz.), akinek munkjt Gherardo da Cremona(6) (XII.sz.)ltette t latinra. Az arab m forrst a grg Aganisznak(7) tulajdontjk.

E kommentr egy rsze foglalkozik a defincikkal, posztultumokkal s aximkkal s sokathivatkozik egy bizonyos Sambeliciusra, akit knnyen lehet azonostani Simplicius-szal,Arisztotelsz VI. szzadban lt ismert kommenttorval. Ez a Simplicius rt egy BevezetstEukleidszElsKnyvhez, amelyben Geminusz s Poszidoniusz gondolathoz hasonlan azt

5 R.O. Besthorn s J.L. Heiberg, Codex Leidensis 399. 1. Euclidis Elementa ex interpretctione Al-

Hadschdschadsch cum commentariis Al-Narizi, (Koppenhga, F.Hegel, 1893-97).6 M. Curtze, Anaritii in decem libros priores elementorum Euclidis Commentarii. Ex interpretatione

Gherardi Cremonensis in Codice Cracovensi 569 servata, (Lipcse, Teubner, 1899).7 Aganisszal kapcsolatban meg kell emlteni, hogy Geminusszal azonostja Curtze s Heiberg. Ennek mond

ellent Tannery Le philosophe Aganis est-il identique Geminus? - Bibliotheca Math. (3) II. p. 9-11[1901].


10/128

10

fejti ki, hogy az 5. posztultum nem magtl rtetd s bemutatja Aganisznak - bartjnak -a bizonytst.

Ez a bizonyts arra feltevsre tmaszkodik, hogy lteznek egyenlkz egyenesek. Ezeketnevezi Aganisz prhuzamosoknak, ahogy azt Poszidoniusz is tette. Ebbl a feltevsbllevezette, hogy

- kt prhuzamos kztt a kettjk kzs merlegese a legrvidebb sszekt;

- kt egyenes, melyek merlegesek egy harmadikra, egymssal prhuzamosok;

- ha kt prhuzamost egy harmadik metsz, akkor ennek az egyik oldaln keletkez belsszgek sszege kt derkszg;

- s megfordtva: ha a bels szgek kiegszt szgek, akkor a kt egyenes prhuzamos.

A ttelek olyan egyszeren bizonythatk, hogy felesleges idzni Aganisz gondolatmenett.Megjegyezvn, hogy azElemekI.30. s I.33. ttelei ezekbl levezethetk, inkbb azt mutatjukmeg, hogyan szerkeszti meg Aganisz kt, nem egyenkz egyenes metszspontjt.

LegyenAB, GD kt egyenes, melyeket azEZtranzverzlis gy metsz, hogy azAEZs azEZDbels szgek sszege kisebb kt derkszgnl (4. bra).

Az ltalnossg megsrtse nlkl feltehetjk, hogy azAEZszg derkszg.

Vegyk fel aZD egyenesen egy tetszleges Tpontot. Ebbl a pontbl hzzuk a TL merlegestaZEegyenesre.

Jelljk ki azEZfelezpontjt:P, majd aPZszakaszt: M, majd az MZszakaszt stb. addig,menjnk, amg az jabb felezpont azLZszakaszba nem esik. Tegyk fel, hogy ez a pont azM.

lltsuk azEZ-re az MNmerlegest, mely metszi aZD egyenest egyNpontban.

Vgl mrjk fel ZD egyenesre a ZN szakaszt annyiszor, ahnyszor a ZE szakaszra ZMfelmrhet. Az gy kapott pont: C. (A 4. bra aZC= 4ZNesetet mutatja.)

Az gy kapott C pont lesz az AB s GD egyenesek metszspontja.

4. bra

A

E

B

C

D

F

S

P L M Z

G

HR

T

N

Ltnunk kell azonban, hogy ez a bizonyts felttelezi, hogy a ZD egyenesre egymsutnfelmrt egyenlZN, NS,szakaszoknak aZEegyenesre val vetletei is egyenlk. Most ezzela krdssel nem foglalkozunk, de ks bb vissza kell trnk r (l.: 6.). Az ltalnosgondolatmenet Aganisz brjbl kzvetlenl kiolvashat.

Ki kell emelnnk azonban e szerkeszts jellemz jt: hallgatlagosan felhasznlja az

arkhimdeszi aximt, (k) ami szksges ahhoz, hogy ltezzen az LZ szakasznak az ismteltfelosztsaknt olyan MZszakasz, mely kisebb azLZ-nl s amelynek tbbszrseEZ.


11/128

11

Az arabok s a prhuzamossgi posztultum

6. Az arabok, akik a grgket kvetve tvettk a vezet szerepet a matematikaikutatsokban, szintn foglalkoztak az 5. posztultummal.

Nhnyan ktkeds nlkl elfogadtk tantik felfogst s a bizonytsait. Egyikk volt az az

Al-Narizi (IX.sz.), akinek az I. Knyv definciirl, posztultumairl s aximirl szl -Simplicius Elemek cm bevezetse nyomn irt - kommentrjait az imnt mr emltettk.

Msok a sajt rveiket is hozztettk a krdshez. Pldul Naszraddn(l) (1201-1274),mikzben az 5. posztultumra adott bizonytsban ugyanazokat a kritriumokat hasznlja,mint Aganisz, eltrbe helyezve a hromszg szgeinek sszegre vonatkoz ttelt. Ez,valamint okfejtsnek alapossga rdemel figyelmet.(8)

A gondolatainak lnyege a kvetkez: Ha kt egyenes r s s kzl csak az els merleges, amsik pedig nem merleges a kzs AB szelre, akkor az s egyenesbl az r egyenesre

bocstott merleges kisebb az AB szakasznl ennek azon az oldaln, amelyiken s hegyesszgetzr be az AB szelvel s nagyobb AB-nl azon az oldalon, ahol s tompaszget zr be AB-vel.

Ebbl kzvetlen addik, hogy ha AB s AB egyenlk s merlegesek BB-re ennekugyanazon az oldaln, akkorAA egyenese is merleges mind AB, mind AB egyenesekre.Vgl pedig azt kapjuk, hogyAA=BB; teht az AABB idom egy olyan ngyszg, melynekminden szge derkszg s szemkztes oldalai egyenlk, azaz tglalap.

Ebbl Naszraddn knnyen levezeti, hogy egy hromszg szgsszege kt derkszg. Aderkszg hromszgre ez nyilvnval, mert ez egy tglalapnak a fele; ms hromszg pedigmindig felbonthat kt derkszg hromszgre.

E bevezets utn rviden megmutathatjuk, hogy az arab geomterek hogyan prbltkbizonytani az euklideszi posztultumot (v. .: Aganisz).

5. bra

O' C M' K' H' A

LHL'

K

M

OB

D

8 Euclidis elementorum libri XII studii Nassiredini (Rma, 1594). Ezt az arab nyelv munkt 1657-ben s

1801-ben ismt kiadtk, de ms nyelvre nem fordtottk le.


12/128

12

Legyen AB, CD kt egyenes kzl az egyik tetszleges, a msik viszont merleges az ACegyenesre (5. bra). Az AB-n jelljk ki az AH szakaszt s a H pontbl lltsuk a HHmerlegest AC-re. Ha a merlegesH talppontja C-be esik, vagy az A pontbl nzve C-n tl,akkor azAB s CD egyeneseknek metszenik kell egymst. Ha viszontHazA s Ckz esik,akkor vegynk fel egyAC-re egyAL=HHmerlegest. A fenti gondolatmenet kvetkezmnye,

hogy HL=AH. Vegynk fel az AH folytatsban egy HK=AH szakaszt. A K pontbl bocsssuk aKKmerlegest AC-re. Mivel KK >HH, felvehetnk az el bbin egyLpontotgy, hogy KL=HH s meghzhatjuk az LH szakaszt. A kapott KHHL s a HALHngyszgek tglalapok, ezrt azL,H,L pontok egy egyenesen vannak. Ebbl kvetkezik, hogyaz LHK s AHL szgek megegyeznek, teht az AHL s HLK hromszgek egybevgak.EzrtLH=HL, valamint a derkszg hromszgek tulajdonsgaibl kvetkezenKH=HA.

A HKfolytatsaknt hasonlan vegynk fel egy MK=HKszakaszt s ennek M vgpontjblhzzuk meg AC-re az MM merlegest. Hasonl okoskodssal, mint az imnt kapjuk, hogyMK=KH=HA.

Ezt ismtelve oda jutunk, hogy az AHszakasz valamilyen tbbszrse nagyobb lesz mint AC(arkhimdeszi axima). Pldul legyen (az brn) AO=4AHs ez legyen nagyobb mint AC.Ekkor az AB-n ngyszer felmrve AH-t kapjuk az AO=4AH szakaszt s O-bl merlegesethzvaAC-re az Opontot.

Az AOOderkszg hromszg belsejbe es CD egyenes, mely merleges AO befogranem metszheti az OObefogt, teht metszenie kell azAO tfogt.(m)

Eszerint bizonytst nyert, hogy kt egyenesnek -AB, CD - metszenie kell egymst, ha egyikkmerleges az AC tranzverzlisukra s a msik nem merleges erre. Ms szavakkal: azeuklideszi prhuzamossgi posztultum be van bizonytva arra az esetre, amikor az egyik belsszg derkszg.

Naszraddn ezutn - felhasznlva a hromszgek szgsszegnek ttelt - az ltalnos esetre iselvgzi a bizonytst. Nem mutatjuk be gondolatmenett, de ks bb (15.) egy ezzelegyenrtkt fogunk ltni egy msik rtekezsben.(9)

A prhuzamossgi posztultum a renesznszban s a XVII. szzadban

7. Az Elemeknek a XII. s XIII. szzadbl szrmaz els, arab nyelv, majd ksbb a XV.szzadban s a XVI. szzad els felben a grg szvegre tmaszkod kiadsai kemny skritikus megjegyzseket tartalmaznak az 5. posztultumrl. Ugyanilyen kritikk tnnek fel1550 utn a Proklosz fle kommentr elterjedsvel.(10) A kvetkezkben vzlatosan ismer-tetjk a legjelentsebb XVI. s XVII. szzadi kommenttorokat.

9 Naszraddn bizonytsa az 5. posztultumrl teljes egszben megtallhat J.Wallis mveinek II. ktetben s

G.Castillon egy cikkben, Mm. de lAcad. roy. de Sciences et Belles-Lettres de Berlin XVIII. p. 175-183(1788-89). Tovbbi szmos forrs kzl fknt G.S.Klgel (l.18. lbjegyzete), J.Hoffman: Kritik derParallelentheorie (Jna,1807) s V.Flauti:Nuova dimostrazione del postulato quinto (Npoly,1818).

10 ProkloszKommentr-ja eredeti grg szveggel elszr Baselben (1533) jelent meg, ksbb latin fordtsbanBarozzinl Pdovban (1560).


13/128

13

F. Commandino (1509-1575) az euklideszi prhuzamosok defincijt kiegsztette az egyenltvolsg vonal koncepcijval anlkl, hogy ennek az tletnek a kvetkezmnyeit tgondoltavolna. Vgl a Proklosz fle megfigyelseket s bizonytsokat ismtli meg.(11)

C.S. Clavio (1537-1612) Eukleidsz mvrl ksztett latin fordtsban(12) ismerteti s brljaProklosz bizonytst. St ennl tovbb is megy, amikor egy j bizonytst mutat Eukleidszhipotzisre. Ez a kvetkez ttelre tmaszkodik: Az egyenestl egyenl tvolsgra haladvonal maga is egyenes.; melyet megksrel hasonl okoskodssal igazolni. Gondolatmenetetbb ponton megegyezik Naszraddn levezetsvel.

P.A. Cataldi (?-1626) az els modern matematikus, aki egy teljes munkt szentel a prhuzamosok elmletnek.(13) Cataldi az egyenlkz s a nem-egyenlkz egyenesekkoncepcijbl indul, de az egyenlkz egyenesek ltezsnek bizonytshoz felhasznlja akvetkez hipotzist: az egyenesek, melyek nem egyenlkzek, az egyik irnyban kzeled-nek, a msikban pedig tvolodnak(v. .: Naszraddn).(14)

G.A. Borelli (1608-1679) j aximt konstrul, hogy igazolja a feltevst. Aximja szerint

ha egy egyenes (szakasz), mely mindig abban a skban marad, melyben egy msik egyenesfekszik s mozgs kzben egyik vge mindig ezen az egyenesen van s merleges r, akkormozgs kzben (a msik vge) egyenest r le.(n)

Ezt kveten megmutatja, hogy kt egyenes, melyek egy harmadikra merlegesek, egymstlegyenl tvolsgban haladnak s ennek kvetkeztben munkjban a prhuzamosokat, mint azegyenkz egyeneseket definilja. A prhuzamosok elmlett ebbl pti fel.(15)

8. Giordani Vitale (1633-1711) visszatrt a Poszeidoniosz ltal elhozott egyenlkzvonalakhoz s felismerte - miknt Proklosz is -, hogy mennyire fontosak ahhoz, hogy azeuklideszi prhuzamosok asszimptotikus voltnak lehetsgt kizrjuk. Ennek elrebocstsautn - az egyenlkz egyeneseket nevezvn prhuzamosoknak - megksrli bebizonytani,hogy egy egyenestl egyenl tvolsgra fekv pontok mrtani helye szintn egyenes.(16)

Bizonytsa gyakorlatilag a kvetkez lemmra tmaszkodik:

Ha egy konkv grbe kt - A,C - pontjt az AB szakasszal sszektjk s az AC vnekvgtelen sok pontjbl merlegest hzunk brmelyik egyenesre, akkor ezek a merlegesek nemlehetnek egymssal egyenlk

Ebben a megfogalmazsban a brmelyik egyenes valjban nem a sk tetszleges egyeneselehet, hanem csak olyan, amelyet a kvetkezkppen konstrulunk (6. bra). Az AC v egyB

pontjbl hzzunk egyBD merlegest a grbeAChrjra. Ezutn egyAG merlegest lltunkugyancsak a hrra. Vgl mrjk fel e kt merlegesre az AG=DF szakaszokat. Ezek

vgpontjait sszekt GF egyenes lesz az, melyre Giordano hivatkozik, amelytl az AB vpontjai klnbz tvolsgra helyezkednek el.

11Elementorum libri XV, (Pesaro,1572)12Euclidis elementorum libri XV, (Rma,1574).13Operetta delle linee rette equidistanti et non equidistanti, (Bologna,1603).14 Cataldi tovbbi rveket fz a krdshez egy ks bbi munkjban: Aggiunta all operetta delle linee rette

equidistanti et non equidistanti, (Bologna,1604).15 Borelli:Euclides restitutus, (Pisa,1658).16 Giordano Vitale: Euclides restituto overo gli antichi elementi geometrici ristaurati, e facilitati, Libri XV.

(Rma,1680).


14/128

14

De amikor be akarja bizonytani, hogy az egyenes tvolsgvonala ugyancsak egyenes, akkor azimnti lemmt egy olyan alakzatra alkalmazza, ahol az ABC v s a GF egyenes kztt afelttel nem teljesl. Ezrt a kvetkeztetsei, melyeket az egyenl tvolsg tulajdonsgbllevezet, nem lljk meg a helyket.

Ebbl a szempontbl megtlve Giordano bizonytsa nem haladja meg az eldk ltal elrteredmnyeket. Azonban rtekezse tovbbi rszben egy figyelmet rdeml elmletet tallunk,mely a ksbbi fejldsre komoly hatssal volt.

Legyen ABCD ngyszg, melyben az A,B szgek derk-szgek s az AD, BColdalak egyenlk (7. bra). Tovbblegyen a DColdal egy H pontjbl hzott HK merleges angyszg szemkztiAB oldalra. Giordano bebizonytja: (i) a

D,Cszgek egyenlk; (ii) ha a HKszakasz egyenl az AD-vel, akkor a D s C szgek derkszgek s CD az ABtvolsgvonala.

Giordano ennek a ttelnek a segtsgvel a tvolsgvonalkrdst visszavezeti arra, hogy ltezik-e egyetlen H pont aDCegyenesen, melynek tvolsga AB-tl megegyezik az AD s BC szakaszokkal. Meg kell jegyeznnk, hogy ez egyike a legfontosabb eredmnyeknek a prhuzamosok korabelielmletnek krben.(17)

9. J.Wallis (1616-1703) elhagyja a tvolsgvonal gondolatt s ott folytatja, ahol a korbbimatematikusok, j bizonytst ad az 5. posztultumra a kvetkez axima felhasznlsval:Minden skidomhoz van hozz hasonl, tetszleges mret idom. Rviden ismertetjk Wallisgondolatmenett:(18)

Legyen a,b kt egyenes, melyeket a c szel azA illetveB pontban metsz (8. bra). Legyenek ac szelnek ugyanazon az oldaln a bels szgek ,,melyeknek + sszege kisebb, mint kt derkszg.Hzzuk meg A pontban azt a b egyenest, mely c-velugyanolyan szget zr be, mint b. Nyilvnval, hogy ez ab egyenes kiegszt szgnek belsejben fekszik.Mozogjon a b egyenes aBA szakasz mentn gy, hogy c-vel alkotott szge lland maradjon. Mieltt a mozgegyenes a vgs b helyzetbe jut, metszenie kell az aegyenest. Ekkor olyan AB1C1 hromszget kapunk,melyben azA-nl illetveB1-nl lev szg ill. .

17 Bonola: Un teorema di Giordano Vitale de Bitono sulle rette eqguidistanti, Bollettino di Bibliografia e Strori

delle Scienze Mat. (1905).18 Wallis: De Postulato Quinto; et Definizione Quinta; Lib.6. Euclidis; disceptatio geometrica, az Opera

Math. II. (Oxford, 1693). Ebben a ktetben Wallis kt eladsnak anyaga szerepel, melyet az OxfordiEgyetemen tartott; az elst 1651-ben, a msodikat 1663-ban. Ezekben ismerteti Naszraddn bizonytsi

ksrleteit. Wallis bizonytst tartalmaz rszt Engel s Stckel nmetre fordtottk s kzltkTheorie der Parallellinien von Euclid bis auf Gauss c. munkjukban (p.21-36, Leipzif, Teubner, 1895). Erre ks bb ishivatkozunk a Th. der P. rvidts formjban.

7. bra

A K B

CHD

8. bra

b'

b

b

b

b

c

c

A BB

1

C1


15/128

15

Wallis aximja szerint viszont mindig ltezik s ezltal megszerkeszthet az AB1C1hromszghz hasonl ABC hromszg, melynekAB oldala felel meg az AB1 oldalnak. Ezviszont azt jelenti, hogy az a,b egyeneseknek az gy kapott ABC hromszg C pontjbantallkozniuk kell. s gy tovbb...

Wallis megprblja igazolni az llspontjnak helyessgt, s rmutat, hogy maga Eukleidsz,amikor posztullja az adott pont krli adott sugar kr ltezst (I.3. posztultum),tulajdonkppen kimondja a krk hasonlsgnak elvt. De ami kvetkeztets levonhat ebbla vlemnybl - t. i., hogy az alakzatok hasonlsga a mretktl fggetlen -, olyan hipotzis,ami nem sokkal nyilvnvalbb, mint Eukleidsz 5. posztultuma.

Hozztesszk, hogy Wallis mg a fentinl egyszer bben is eljut az azonos szgekkel brhromszgek ltezsnek igazolshoz, mindssze kt ilyen klnbz mret hromszgltezsnek felttelezsbl (l.: a 13. utols lbjegyzett.)

10. Az idzett geomterek munkjnak elemzse elegend ahhoz, hogy lssuk a krds

fejldst a XVI-XVII. szzadban, ezrt felesleges a tbbieknek az emltse. Nhny munkaszerzje pldul: Oliver of Bury (1604), Luca Valerio (1613), H. Savile (1621), A. Tacquet(1654), A. Arnauld (1667).(19) Nhny szt kell azonban szlni arrl, hogy az Elemekklnbz kommenttorai hogyan helyeztk el az euklideszi hipotzist a geometriarendszerben.

AzElemeklatin kiadsban (1482), melyet Campanus (XIII.sz.) az arab nyelv szveg alapjnksztett, ez a hipotzis a posztultumok kztt szerepel. Ugyanez mondhat el a grgvltozatbl kszlt latin fordtsokra, melyek B. Zamberti (1505), Luca Paciuolo (1509), N.Tartaglia (1543), F. Commandino (1572) s G.A. Borelli (1658) gondozsban jelentek meg.

Msrszt viszont azElemekels nyomtatott grg kiadsban (Basel,1533) a prhuzamossgihipotzis az aximk kztt (I.9. axima) szerepel. Ennek nyomn helyezik az aximk kzF. Candall (1556), C.S. Clavio (1574), Giordano Vitale (1680) s a leginkbb ismert Gregory(1703) Eukleidsz munkjnak latin kiadsaiban is.

Hogy helyesen rtkeljk az eltrst a grg kziratok s az idzett szerzk felfogsa kztt,helyesebb ha elemezzk a posztultum [] s az axima [] szavak

jelentst.(20) Azonban mindezek eltt meg kell emlteni, hogy maga Eukleidsz a szvegbenaz aximkra mint kzs elkpzels-re [ ] hivatkozik.

Proklosz hrom klnbz metdust alkalmaz az axima s a posztultum szavak kzttiklnbsg rzkeltetsre. Az els magyarzatban aproblma s a ttelkztti klnbsgre

utal. Aposztultum olymdon klnbzik az aximtl- mondja Proklosz -, mint ahogyan egyproblma klnbzik egy tteltl. Eszerint a posztultum kifejezetten lltja, hogy egyszerkeszts elvgezhet.

A msodik magyarzat szerint a posztultum egy geometriai tmj llts, mg az aximageometriai s aritmetikai tartalm kijelentst fogalmaz meg.

19 Errl tovbbi adatok tallhatk Riccardi: Saggio di una bibliografia euclidea. Mem. di Bologna, (5) L. p. 27-

34 (1890).20 Errl tbbet tallunk Proklosz idzett mvnek Petita et axiomata c. fejezetben. A Harmadik

Matematikai Kongresszuson (Heidelberg, 1904) G. Vailati jbl felhvta a hallgatsg figyelmt e grgszavak jelentsnek eltrseire. L.:Intorno al significato della distinzione tra gli assiomi ed i postulati nellageometria greca, Ver. des dritten Math. Kongresses, p. 575-581, (Lipcse, Teubner, 1905).


16/128

16

A harmadik fejtegetsben Proklosz, Arisztotelszre (i.e. 384-322) hivatkozik a kt sz kzttiklnbsg megmagyarzsra. Az axima s a posztultum szavak Arisztotelsznl nemfordulnak el tisztn matematikai rtelemben. Nla egy axima az, ami magtl rtetdik,vagyis azt jelenti, amit a sz kifejez; egy posztultum eszerint az, ami nem axima - az imntirtelemben - hanem olyan, amit elfogadunk bizonyts nlkl.

Teht ez a sz axima - amint Arisztotelsz az egyik legvilgosabb pldra hivatkozik: amikoregyenlkbl egyenlket vesznk el a maradkok is egyenlk - olyan rtelemben hasznlatosEukleidsznl, mint kztudott dolog; mg a posztultum sz Arisztotelsznl ettl klnbzt

jelent, ahogy az imnt kifejtettk.(21)

Akrhogyan is dntnk az egyik vagy msik rtelmezs elfogadsrl, egy konkrt meg-llaptst vagy a posztultumok vagy az aximk kz, de el kell helyezni. Ha Proklosz elsrtelmezst fogadjuk el, akkor Eukleidsz els hrom posztultuma (kt pont sszektseegyenessel, egyenes tetszleges meghosszabbtsa, kr rajzolsa adott kzpponttal ssugrral) s csak ezek rdemlik ki ezt a besorolst. A 4. posztultum (minden derkszgegyenl) s az 5. posztultum valjban az aximk kz soroland. (22)

Amennyiben viszont a msodik vagy a harmadik rtelmezs mellett dntnk, akkor Eukleidszposztultumt mindenkppen a posztultumok kz kell helyeznnk.

Ezek utn a klnbz kziratokban alkalmazott ktfle besorols eredete knnyen magyarz-hat. Nyomatkostjk ezek a magyarzatok a trtnelem sorn tapasztalt bizonytalansgot azEukleidsz I. knyvben szerepl posztultumok, aximk s defincik jellemzsben.Szemben az utbbi kettvel a posztultumok okoztk mindeddig a legtbb ktsget. Tulajdon-kppen az els hrom posztultum elegend lenne az egsz rendszer felptsre.(23) Felmerltaz a nzet, hogy a 4. s 5. posztultum nem is Eukleidsztl szrmazik. Gyantjk, hogyGeminusz s Proklosz voltak a szerzk, s a ks bbi geomterek azElemek szigor fel-ptsnek megrzsre bizonyts nlkl megtartottk azokat. Az egyik, ami megerst

bennnket ennek a nzetnek az elfogadsban az az I.29. ttelnek a bizonytsban tallhatrvid utals az 5. posztultumban megfogalmazott kijelentsre.(o) Valsznleg ez tetteszksgess, hogy Eukleidsz munkjnak tdolgozi a prhuzamossgi hipotzist tfogal-mazzk, s tsoroljk.

21 L.: Arisztotelsz Analitica Posteriora, I. 10. 8.. Idzzk azt a hrhedt rszt, amelyben a filozfus a

posztultumrl szl:

, . . , . , .

22 Megjegyezzk, hogy az 5. posztultum a kvetkezkppen is megfogalmazhat: Megszerkeszthet ktegyenes metszspontja, ha ezeket az egyeneseket egy harmadik gy metsz, hogy ennek egyik oldaln a belsszgek sszege kisebb kt derkszgnl. lymdon a posztultum az els hromhoz hasonlan egy szerkesztselvgzsnek lehetsgt mondja ki. Br ez a jellemz nem jut kifejezsre a kvetkez megfogalmazsokban: Egy ponton keresztl csak egy prhuzamos hzhat egy adott egyeneshez vagy: Ha kt egyenes egyharmadikkal prhuzamos, akkor egymssal is prhuzamosak- a mondatok ugyanazt jelentik. Eszerint a fentimegklnbztets tisztn formlisnak tekinthet. Feltnhet azonban egy lnyeges, br formlis klnbsg,amit nem szabad figyelmen kvl hagyni. Az 5. posztultum megengedi, hogy a sk egy adott egyenesnek sugyanezen sk sszes egyenesnek - egy kivtelvel - a metszspontjt megszerkesszk. Ezzel szemben azels hrom posztultum mindenfelttel nlklmondja ki a szerkeszthetsget, s ez nmi klnbsget jelent ehrom fogalmazs s az 5. posztultum kztt. E megfontols szerint Eukleidsz prhuzamossgihipotzist a posztultumok s aximk egy kztes osztlyba kellene sorolnunk.

23 P. Tannery: Sur lauthenticit des axiomes dEuclide, Bull. de Sc. Math. (2), VIII. p.162-175.(1884).


17/128

17

Gregory vlemnye szerint az I.27. ttel utn lenne a posztultum helye, mivel annak meg-fordtst fogalmazza meg.

Vgezetl meg kell jegyeznnk, hogy mikzben a kifejezsek rtelmezst akarjuk eldnteni, amodern matematikai szemllet arra hajlik, hogy ne tegyen klnbsget a posztultumok s azaximk kztt, amint azt a msodik s harmadik rtelmezs is sugallja. Az ltalnosanelfogadott nzet az, hogy fogadjunk el hipotzisknt olyan alapvet feltteleket, melyek atapasztalatra tmaszkodnak s mivel az adott defincikbl egyszeren kvetkeznek feleslegesket bizonytani.(p)

A fordt jegyzetei az I. fejezethez:a A mai felfogsunk szerint ez az Eukleidszi fogalmazs elavult: az egyenesrl Eukleidsz sokszor mint vges

vonal-darabrl szl ks bb is. Pldul a 2. posztultumban meg is fogalmazza, hogy az egyenes vonalfolytatlag meghosszabbthat legyen.

b

Bonola szvegezsben a kornak megfelelen kijelent mondat szerepel. Mayer magyar fordtsban a posztultumok (kiktsek) ilyesfle felszlt mondatok: a geometriai objektumok, amikrl beszlnklegyenek olyan tulajdonsgak, hogy ! Itt most arrl van sz, hogy Eukleidsz nem tudta (mert nem islehet) igazolni az emltett ttelek megfordtst, ezrt kellett a posztultummal a logikai rendszert teljesstenni.

c Az I.31. ttel valjban feladatknt tzi ki a prhuzamos megszerkesztst.d Szoksos elnevezse mg: tvolsgvonal. Az euklideszi geometria prhuzamosait teht kt tulajdonsg: a

nem-metszs (kzs pont hinya) s az lland tvolsg jellemzi.e Ez utbbi kevsb ismert: arrl van sz, hogy csak az euklideszi geometriban vannak hasonl idomok. Ms

rendszerekben, ahol a hromszgek szgsszege nem 2R, a szgsszeg az idom mreteitl fgg, teht ahasonlsg rtelmt veszti. Ismert plda erre a gmb.

fPontosabban a mrtani hely kt egyenes az adott egyenes kt oldaln. Itt ezek egyikrl van sz,g Ptolemaiosz Klaudiosz az i.sz.150 krl Alexandriban alkot grg, az Almageszt csillagsz- geogrfus-

matematikus szerzje.h Itt tved Ptolemaiosz: Bolyai s Lobacsevszkij szerint ugyanis a szel kt oldaln lev prhuzamos

flegyeneseknek nem kell egy egyenesbe esni akkor, ha a prhuzamossg szge < 2R.i Az axima megfogalmazsban ismt tani lehetnk a vges egyenes darab felfogsnak. Ma inkbb gy

fogalmaznnk: kt egysk metsz kz brmilyen hossz szakaszt beilleszthetnk.j Ha jl megfigyeljk itt a Bolyai fle prhuzamossgi szg fogalmnak csrjval tallkozunk.kArkhimdeszi aximnak vagy posztultumnak nevezik EukleidszElemekc. knyvben szerepl 4. definci

tfogalmazst: kt mennyisghez (a,b) mindig van olyan k egsz, hogy ka > b.l Teljes nevn Abu Dzsafar Muhammad ibn Muhammad Naszraddn at-Tszi ismert perzsa csillagsz, akinek

Halagu mongol kn csillagvizsglt pttetett Maraghaban. Sok trigonometriai sszefggs felfedezje.m Bonola itt nem mutat r a bizonyts tves pontjra, erre ksbb kert alkalmat (l.: 15.).n Az eredeti szveg egyenesrl, ennek kt vgrlbeszl. A fordti beszrs a mr emltett felfogsra utal.o Az idzett ttel arrl szl, hogy kt prhuzamosnak egy harmadikkal val metszsekor egyenl vltszgek,

ill. egymst kiegszt szgek keletkeznek. A bizonytsban pedig egy mondat arra utal, hogy a ktderkszgnl kisebb belsszgek irnyban a kt egyenes tallkozik.

p Azta a tudomny nemcsak hajlik a klnbsgek negliglsra, hanem vgrvnyesen elfogadott az a nzet,hogy definci, posztultum s axima egy geometriai rendszer kiindul hipotziseinekmegfogalmazsban

egyenrangak.


18/128

18

II. FEJEZET

A NEMEUKLIDESZI GEOMETRIA ELFUTRAI

Gerolamo Saccheri (1667-1733)

11. Gerolamo Saccheri a Milnban (1733) megjelent mvnek - Euclides ab omni naevovindicatus: sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae GeometriaePrincipis (a) - legnagyobb rszt az 5. posztultum bizonytsnak szenteli. Saccheri geometriaimdszernek sajtsga mr fiatalkori mvben - Logica demonstrativa (Torin, 1697) -kimutathat. Ez lnyegben annak az Eukleidsz ltal is hasznlt (IX.12.ttel)(b) bizonytsi

mdszernek az alkalmazsa, melynek sorn feltesszk, hogy amit bizonytani akarunk hamis sebbl arra a kvetkeztetsre jutunk, hogy igaz.(24)

E mdszert alkalmazva Saccheri elfogadja Eukleidsz els huszonhrom felttelt shozzveszi az 5. posztultum tagadst. Ebbl vezet le nhny felttelezsre vonatkozanolyan kvetkeztetseket, melyek igazoljk azok helyessgt, azaz kiktsk, posztullsuk

jogossgt.

Mieltt Saccheri munkjnak elemzsbe mlyednnk meg kell jegyeznnk, hogy Eukleidszaz I.16. ttel bizonytsban (a hromszg kls szge nagyobb, mint a szemkzti belsszgek brmelyike) kimondatlanul felhasznlja, hogy az egyenes vgtelen, ami gyakorlatilagazon a felttelezsen alapszik, hogy mindig ltezik olyan szakasz, mely egy adott szakasznak a

ktszerese.E felttel elhagysnak lehetsgrl ks bb szlunk, most megjegyezzk, hogy Saccherimunkjban hallgatlagosan elfogadja ezt s a kls szgek ttelt.

Vgezetl mg utalunk arra, hogy a szerz ugyancsak kihasznlja az arkhimdesziposztultumot s az egyenes folytonossgnak hipotzist,(25) amikor bizonyos felttelekhelyessgt kiterjeszti egy adott alakzatrl minden azonos tpusra. (c)

12. A ngyszg - mely Saccheri vizsglatainak kzppontjban ll - kt derkszget s ezekmellett kt egyenl oldalt tartalmaz; vagyis e ngyszg kt szemkztes oldala egyenl s

mindkett merleges a ngyszg harmadik oldalra, az alapra (9. bra).(d) E ngyszgtulajdonsgai kvetkeznek az egyszeren bizonythat 1. lemmbl:

Ha az ABCD ngyszg A-nl s B-nl lev szgei derkszgek, tovbb az AD s BC oldalakegyenlek, akkor a C-nl s a D-nl lev szgei is egyenlek [Saccheri I. ttelnek specilisesete]; de ha az AD s BC oldalak klnbzek, akkor a C s D szgek sem egyenlk skzlk a nagyobb fekszik a kisebb oldalnl s megfordtva.

24 G. Vailati:Di un opera dimenticata del P. Gerolamo Saccheri, Rivista Filosofica (1903).25 Ennek a felttelnek a Saccheri ltal hasznlt intuitv alakja a kvetkezkppen fogalmazhat: egy szakasz,

melynek hossza folytonosan vltozika-tl s b-ig, ekzben minden a s b kztti rtket felvesz.


19/128

19

Eukleidsz felttelezse szerint azAD=BCesetn e ngyszg CsD szgei derkszgek. Hateht felttelezzk, hogy mindketten tompa- vagy hegyesszgek lehetnek, implicite tagadjuk az5. posztultumot. Saccheri elemezte mindhrom lehetsget, s gy nevezte ket:

A derkszg hipotzis: C = D = R. (Az R a derkszget - rectus - jelli.)

A tompaszg hipotzis: C = D > R.A hegyesszg hipotzis: C = D < R.

Az els eredmnyei kzl az egyik fontos megllapts:

Ha elfogadjuk a derkszg, a tompaszg vagy a hegyesszg hipotzist, akkor a megfelelesetben az AB=CD, az AB>CD illetve ABA, az I. lemmbl kvetkezenAO>DO. Ezrt ateljes idombanAB>CD.

D O' C

BOA

9. bra

10. bra

A B

K

C

N

QP

M

D

H

Hasonlan kaphat az ellenkezAB


20/128

20

E kt egyenltlensg azonban ellentmond egymsnak, hiszen az ABCD ngyszgben afelttelezsnk szerint teljesl a derkszg hipotzis, ezrt itt AB = CD. Teht az AHKnemlehet hegyesszg; hasonl gondolatmenettel zrhat ki az, hogy azAHKtompaszg, s ebbl azkvetkezik, hogy azABKHngyszgben szintn a derkszghipotzis teljesl.

Vegynk most fl azAD s aBCszakaszok meghosszabbtsn egy-egy Mill.Npontot azABalaptl egyenl tvolsgra. Azt kell beltnunk, hogy ekkor is a derkszg hipotzis fogrvnyeslni az j, azABNMngyszgben. Ha az AMszakasz egsz szm tbbszrse AD-nek, akkor ez nyilvnval. Ha viszont nem ilyen az j ngyszg oldala, akkor vegyk fl [azarkhimdeszi posztultum alkalmazsval] azt az AP szakaszt, mely tbbszrse AD-nek snagyobb, mintAM. Hasonlan kapjuk a ngyszg szemkztes szrn aBQ szakaszt, melyBC-nek tbbszrse s nagyobb, mint BN. Az j, ABQP ngyszgben az elz okoskodssalkapjuk, hogy csak a derkszg hipotzis teljeslhet, s majd ebbl, hogy az ABNM-ben isennek kell rvnyeslnie.

Vgl megllapthatjuk, hogy a kiindul hipotzis rvnyben marad a 10. brn lthatngyszgek kzl mindazokban, melynek alapja azAB oldalra merleges.

Megjegyzs: Saccherinek ezt a ttelt gyakorlatilag mr Giordano Vitale eredmnye istartalmazta (L.: 8..). A 7. bra jellsvel ugyanis azAD = HK = CB felttel ekvivalens azzal,hogyD= H= C= derkszg. Eszerint aDCs azAB egyenesek tvolsga lland(26) sgy a derkszg hipotzis teljesl minden olyan kt derkszget s ezekhez csatlakozegyenl szrakat tartalmaz ngyszgben, melynek alapja aDA szakasszal egyenl. De mindenmret ngyszgben ugyanaz a hipotzis teljesl, hiszen mint mondtuk, brmelyik oldalattekinthetjk a ngyszg alapjnak.

Ha a tompaszg hipotzis igaz egyetlen ngyszgben, akkor igaz minden ngyszgben. [VI.ttel.]

11. bra

A O B

K

K'

CO'D

H'

H

A bizonytsnl a szoksosABCD ngyszgre utalunk (11. bra) s feltesszk, hogy a C-nl sa D-nl tompaszgek vannak. Az AD s a BC oldalakon felvesszk az AB alaptl egyenltvolsgra levHs Kpontokat. Elssorban meg kell jegyeznnk, hogy a HKszakasz nem

26 Igaz, hogy Giordano aDCszakasz egy belsHpontjra igazolja lltst, de ugyangy igazolhat a DCmeg-

hosszabbtsn felvett pontra is. L.: Bonola 8.-hoz fztt lbjegyzett.


21/128

21

lehet merleges a ngyszg kt szrra, AD-re s BC-re, mert akkor az ABKHngyszgbenteljeslne a derkszg hipotzis, s ennek kvetkeztben az eredeti ngyszgben is - amiellentmond a kiindulsi felttelnek.

Tegyk fel, hogy az AHK hegyesszg. Ekkor a hegyesszg hipotzisbl a HK >ABegyenltlensg kvetkezik. Ugyanakkor azABDCngyszgben a tompaszghipotzis szerint

AB > CD. A kt egyenltlensgblHK > AB > CD kvetkezik.

Mozgassuk folyamatosan a HK szakaszt a DC irnyban gy, hogy kzben merlegesmaradjon a ngyszg OO kzpvonalra s vgpontjai az AD illetve a BC egyenesekenmaradjanak. Mivel a szakasz kezdeti hossza nagyobb, mint AB, a vghelyzetben viszont annlkisebb, van egy olyan kzbens szakasz, melyreHK =AB.

Az gy kapottABKHngyszgben teht a derkszghipotzis rvnyes, mely tulajdonsg azeredeti ngyszgben is igaz kell legyen [III. ttel]. Ezrt az indul felttel, a tompaszghipotzis azABCD ngyszgben nem teljeslhetne.

Az rvels ugyangy vgezhet, ha azAH, BKszakaszok nagyobbak, mintAD. Eszerint ekkor

is lehetetlen, hogy az AHK hegyesszg legyen, vagyis a tompaszg hipotzis az ABCDngyszgbl azABKHngyszgre is rkldik.

12. bra

A N B

KH

M

Rtrhetnk a ttel bizonytsra tetszleges alap ngyszgben. Pldul vlasszuk alapnak aBK oldalt (12. bra). Mivel a K s a H tompaszgek, a K pontban a BK-ra emeltmerleges metszi az AH oldalt egy M pontban s az itt keletkez szg AMKtompaszg (ahromszg kls szgnek ttele rtelmben).

Az I. lemma kvetkeztben az ABKM ngyszgben az AB >KM, ezrt kijellhetnk az ABoldalon egy BN = MK szakaszt. Ezltal kaptunk egy olyan egyenl szr, az alapnl ktderkszget tartalmaz BKMN ngyszget, melyben MNB tompaszg, lvn ez az ANMhromszg egyik kls szge. Ebbl kvetkezik, hogy a tompaszg hipotzis az jngyszgben is teljesl.

Ezzel a ttelt a tompaszgek esetre bebizonytottuk.

Ha a hegyesszg hipotzis igaz egyetlen ngyszgben, akkor igaz minden ngyszgben. [VII.ttel.]

Ez a ttel ugyanazzal az indirekt gondolatmenettel bizonythat, mint az elbbi.


22/128

22

13. Az idzett ttelek segtsgvel Saccheri a hromszgek szgsszegre vonatkoz fontosmegllaptsra jut:

Aszerint, hogy a derkszg, a tompaszg vagy a hegyesszg hipotzist fogadjuk el, a

hromszgek bels szgeinek sszege egyenl, nagyobb vagy kisebb mint kt derkszg.[IX.ttel]

13. bra

A B

CD

Legyen az ABC hromszg B-nl lev szge derkszg (13. bra). Egsztsk ki ahromszget ngyszgg gy, hogy egy AD =BC merlegest lltunk az AB oldalra smegrajzoljuk a CD szakaszt.

A derkszg hipotzis esetn az ABCs az ADChromszgek egybevgak, teht az ABChromszgben a szgek sszege:

A + B + C = 2R.

A tompaszg hipotzisbl - amikorAB > DC - kapjuk, hogy ACB >DAC .(27) Ezrt ahromszgben

A + B + C > 2R.

A hegyesszghipotzistfogadva el az elbbi egyenltlensgek helybe a kvetkezk lpnek:AB < DCamibl kvetkezikACB


23/128

23

Ezt a ttelt - melyet Saccheri tnylegesen nem mondott ki -, mintegy szz vvel ksbbLegendre publiklta s elemezte az els s a harmadik hipotzis esetre.

14. A derkszg-egyenlszr ngyszgek (trapzek) imnt megismert tteleit Saccheri,majd ksbb ms geomterek az arkhimdeszi s a folytonossgi axima felhasznlsval (l.:az V. s VI. ttel) bizonytjk. M. Dehn(29) megmutatta, hogy a ttelek fggetlenek ezektl ahipotzisektl. A krdst a kvetkez elemi mdszerrel is tisztzni lehet.(30)

Az regyenes rgztett aB sDpontjaiban (14. bra) lltsunk egyenl hosszsg AB sDCmerlegeseket s kssk ssze az A s C pontokat az s egyenessel. Az gy kapott alakzat,melybenBAC= DCA, az rvelsnkben alapvet, ezrt a tovbbiakban erre hivatkozunk.

Vegyk fel az s egyenesen kt pontot: EsE, melyek kzl az elbbiA s Ckztt van, amsik nem; s legyenek F illetve F az elbbiekbl az r egyenesre hzott merlegesektalppontjai.

A kvetkezket lltjuk:

1.) HaEF = AB vagyEF = AB, akkor aBAC,DCAszgek derkszgek.2.) HaEF > AB vagyEF < AB, akkor aBAC,DCAszgek tompaszgek.

3.) HaEF < AB vagyEF > AB, akkor aBAC,DCAszgek hegyesszgek.

Az 1.) ttelt bizonytjuk (l.:14. bra):

AzEF=AB felttelbl kvetkeznek a BAE=FEA s FEC=DCE relcik.(f) Ezekblmr kzvetlenl addik az alapvet egyenlsg: BAC= DCA, s ez mr elegend annakmegllaptsra, hogy az egymst kiegszt szgek - FEA s FEC - egymssal s azelbbiekkel egyenlk, vagyis a mondott szgek derkszgek.

14. bra

E' A E C

F' B F D

s

r

15. bra

E' A E C

F' B F Dr

I

I'

s

Ugyanez a gondolatmenet alkalmazhat a vagylagosEF = AB felttel esetben is.Ezutn a 2.) ttel bizonytsra trnk (l.:15. bra):

28 Saccherinek egy msik ttele, mellyel most nem foglalkozunk azt mondja, hogy ha egyetlen ngyszgben a

szgek sszege egyenl , nagyobb vagy kisebb ngy derkszgnl, akkor minden ngyszgben ez ll fenn.Saccheri egy jegyzetben utal Wallis posztultumra (V. . 9.. lbjegyzet). Rmutat, hogy Wallisegyszeren felttelezte kt olyan hromszg ltezst, melyeknek a szgei rendre megegyeznek, de az oldalaknem. Ebbl kvetkeztetett egy olyan ngyszg ltezsre, melyben a szgsszeg ngy derkszggel egyenl.Ebbl a derkszg hipotzis s az 5. posztultum is kvetkezik.

29 L.: Die Legendreschen Stze ber die Winkelsumme im Dreieck - Math. Ann. LIII. p. 405-439.30 Bonola: I teoremi del Padre Gerolamo Saccheri sulla somma degli angoli di un triangolo e ricerche di M.

Dehn. Rend. Istituto Lombardo (2.), XXXXIII (1905).


24/128

24

Vegyk elszr az EF > AB felttelt. Vgjuk le az FE szakaszbl az FI=AB szakaszt skssk ssze ennekIvgpontjtA-val s C-vel.

A kvetkez egyenlsgek addnak:BAI =FIA sDCI =FIC.

A kls szgek ttelnek (Elemek: I.16.ttel) alkalmazsval ezekbl azt kapjuk, hogy :

FIA + FIC > FEA + FEC = 2R.

De BAC + DCA > BAI + DCI, s ezrt

BAC + DCA > FIA + FIC > 2R.

Mivel a baloldalon ll szgek egyenlk, egyenknt nagyobbak egy derkszgnl. [Ezt kellettigazolni.]

Vegyk most a 2.) ttel alternatv felttelt: EF ICE, FIA < FIC .

Ezeket az eredmnyeket felhasznlva mindenekeltt azt kapjuk, hogy

BAI < DCI.

Amelybl azIAE > ICEmegfelel oldalait kivonva arra jutunk, hogy

BAE = (BAI - IAE ) < (DCI - ICE) = DCE = BAC .

Mivel azonban a BAEs a BACszgek kiegszt szgek, a nagyobbik csak tompaszg

lehet. [Ezt kellett igazolni.]Vgl a 3. ttelt kell bizonytani, melyhez ugyanezt az utat vlaszthatjuk.

16. bra

BF' F

EAE' M

N

C

D

s

r

Ezeknek a tteleknek a megfordtsa az indirekt bizonyts segtsgvel knnyen igazolhat.Pldul ha MsNazACilletveBD szakaszok felezpontjai (16. bra), akkor az MNszakaszra- mely mind azAC, mind aBD egyenesekre merleges - azt kapjuk, hogy:

ha BAC = DCA =R, akkor MN = AB,

ha BAC = DCA >R, akkor MN > AB,

ha BAC = DCA


25/128

25

Ebbl knnyen megmutathat, hogy

Ha BAC = DCA = R, akkor FEM s FEM is derkszg.

Ha BAC = DCA > R, akkor FEM s FEM is tompaszg.

Ha BAC = DCA < R, akkor FEM s FEM is hegyesszg.

Az 1. esetben - mivel ekkor az r s az s egyenesek tvolsga lland -, a kvetkezegyenlsgek llnak fenn:

NMA = FEM = BAC = FEM = R.

A 2. s a 3. eset bizonytsa indirekt mdon trtnhet, s hasonl eredmnyre jutunk.

17. bra

K B N D

H A

R P

M C

Ezek utn vegyk fel az MN szakaszon kvl, annak meghosszabbtsn egy P pontot (17.

bra) s lltsunk egy PR merlegest MN-re, egy RK merlegest pedig BD-re. Ez utbbimerleges metsziAC-t egyHpontban. Az elz ttel rtelmben belthatk a kvetkezk:

Ha a BAM = R, akkor a KHM s a KRP mindketten derkszgek.

Ha a BAM > R, akkor a KHM s a KRP mindketten tompaszgek.

Ha a BAM < R, akkor a KHM s a KRP mindketten hegyesszgek.

Hasonlan lthatk be ezek az eredmnyek akkor is, haPpont az MsNkztt van.

Vgeredmnyben lthatjuk, hogy e hrom ttel egybevg Saccheri eredmnyeivel, melyekre azegyenlszr derkszg trapz elemzsvel jutott s ami ekvivalens a kvetkezvel, melyet azarkhimdeszi posztultum felhasznlsa nlkl kaptunk:

Ha a derkszg, a tompaszg vagy a hegyesszg hipotzis egyetlen esetben igaz, akkorminden ms esetben is az.

Ha most ttrnk a ngyszgekrl a hromszgek megfelel tteleire, akkor Saccheri mridzett bizonytst (l.: 13..) hasznlhatjuk, hiszen ez a krdses posztultumtl fggetlen.

Ezzel megkaptuk azt az eredmnyt, amelyet igazolni akartunk.(g)

15. Annak rdekben, hogy Saccheri munkjnak lnyegt tmren megmutassuk, a XI. s aXII. ttelbl a kvetkez 2. lemmt fogalmazzuk meg (18. bra):


26/128

26

Legyen ABC egy olyan hromszg, melynek C-nl lev szge derkszg. Jellje H az ABtfog felez pontjt, s K annak a merlegesnek a talppontjt, melyet H-bl az AC befogra

bocstunk. Ekkor azt kapjuk, hogy

AK = KC, ha a derkszg hipotzis teljesl;

AK < KC, ha a tompaszg hipotzis teljesl;AK > KC, ha a hegyesszg hipotzis teljesl.

Az llts nyilvnvalan igaz a derkszghipotzis teljeslsekor.

18. bra

B

L

CKA

H

19. bra

A

A1

A2

A3

A3'A

2'A

1'

A tompaszg hipotzis esetn a ngyszgek szgeinek sszege nagyobb, mint ngyderkszg, s ennek kvetkeztbenAHK< HBC. lltsuk a Hpontbl a HL merlegest a

BCbefogra. Ezzel kt olyan hromszget - AHK sHBL - kaptunk, melyeknek egyenl az

tfogja s gy a rajta fekv megfelel szgek egyenltlensge miatt azokkal szemkztesbefogik:AK < HL . Azonban aHKCL ngyszgnek hrom derkszge lvn, a negyedik - aH-nl lv szge - szksgkppen tompaszg. (A tompaszg hipotzis ll fenn.) EzrtHL < KCs gyAK , ha a hegyesszg hipotzis teljesl.

A bizonytst feleslegess teszi annak egyszersge.

A lemmk felhasznlsval Saccheri XI. s XII. ttelt a kvetkez ttelben egyestveigazolhatjuk:

A derkszg s a tompaszg hipotzis esetn egy adott egyenesre merleges egyenes s egyaz adott egyenest hegyesszgben metsz egyenes egymst is metszik.


27/128

27

20. braA

A1

An

An'A

1' B

D

Legyen azLPs azAD a kt emltett egyenes (20. bra), melyek kzlLPmerlegesAP-re sa msik ezzel aDAP hegyesszget zr be.

Miutn felmrjk az AD, DF1 egyenl szakaszokat megrajzoljuk a DB s az F1M1

merlegeseket azAPegyenesre.A fenti 3. lemmbl kvetkezenBM1 >AB, azazAM1 > 2AB mindkt hipotzis esetn.

Mrjk fel azAF1 meghosszabbtsra a vele egyezF1F2 szakaszt s jelljk ki az F2-bl azAP-re bocstott merleges M2 talppontjt. Az elzhz hasonlan kapjuk, hogy mindkthipotzis fennllsa mellettAM2 > 2AM1, s az elbbi egyenltlensggel egybevetve

AM2 > 22AB

Ez az eljrs tetszs szerint ismtelhet. gy eljutunk az AD egyenes Fn pontjhoz s az e pontbl azAP egyenesre bocstott merleges Mn talppontjhoz s a megfelel AMnszakaszhoz, melyek kielgtik a kvetkez relcit:

AMn > 2nAB .

De ha az n-et elg nagyra vlasztjuk, gy hogy 2nAB > AP legyen,(31) akkor teljesl akvetkez egyenltlensg:

AMn > AP .

Ezrt a Ppont az AMnFn hromszg AMn oldalnak bels pontja lesz. Mivel a PL merlegesnem metszheti a hromszg msik befogjt, metszi az tfogt.(32) - [Ezt kellett igazolni.]

Ezutn bebizonythatjuk Saccheri kvetkez, XIII. ttelt:

Az 5. posztultum igaz mind a derkszg, mind a tompaszg hipotzis esetn.

Legyenek (21. bra) azAB, CD egyenesek azACegyenes metszi s tegyk fel, hogy

BAC + ACD


28/128

28

21. bra

D

BHA

C

Ekkor valamelyik a kett kzl hegyesszg. Tegyk fel, hogy az els, a BAC a hegyes.Hzzuk a C pontbl a CH merlegest az AB-re. Az ACH hromszgben a felttelezetthipotzisekbl kvetkezen a szgek sszege:

A + C + H > 2R.

De feltettk, hogy BAC+ ACD HCD. Ez utbbi hegyesszg,mivel aH-nl lv szg derkszg. Ebbl s a XI.-XII. ttelbl kvetkezik, hogy az AB s aCD egyenesek metszik egymst.(33)

Ez az eredmny juttatta Saccherit arra a kvetkeztetsre, hogy a tompaszghipotzis hamis[XIV. ttel]. Tulajdonkppen ebbl a megllaptsbl mind Eukleidsz 5. posztultuma [XIII.ttel], mind a belle levezethet megszokott ttelek is kvetkeznek. A konklzi teht az,hogy a vizsglt derkszg trapzben a szgek sszege ngy derkszg, vagyis a derkszghipotzis igaz.(34)

16. m Saccheri azt is be akarta bizonytani, hogy az 5. posztultum minden esetben igaz.Ezrt nekifogott, hogy a hegyesszghipotzistmegcfolja.

Kezdsknt kimutatta, hogy ebben az esetben egy adott egyenesre lltott merleges egypontjbl hzhat e merlegessel hegyesszget bezr olyan egyenes, mely az adott egyenestnem metszi [XVII. ttel].

33 Ez a bizonyts is megtallhat Nasszraddin munkjban, s bizonyos, hogy Saccherit ez inspirlta a

vizsglataiban.34 Mr utaltunk arra a 11.-ban, hogy Saccheri az indirekt bizonyts klnleges fajtjt alkalmazza.

Lnyegben abbl a felttelezsbl, hogy a tompaszghipotzis igaz jut el ahhoz a megllaptshoz, hogy a

derkszghipotzis igaz. Ez a jellegzetes forma is szokott az indirekt bizonytsban szerepelni. [A fordtmagyarzata: a gondolatsor nem cfolja az indul felttelt, hanem egy attl klnbzmegllaptshoz jut.Ez azonban csak akkor helyes bizonyts, ha e kt felttel kizrja egymst.]


29/128

29

22. bra

D

A C

B

23. bra

A

B

A2

B2

A1

B1

a

b

Hogy egy ilyen egyenest megszerkessznk, vegynk egy olyanABChromszget, melynekC-nl lev szge derkszg (22. bra). AB ponton t hzzuk meg a BD egyenest gy, hogy az

ABD szglegyen egyenl a BAC szggel.(h) A hegyesszg hipotzis esetben viszont a

CBD hegyesszg s a CA s a BD egyenesek nem metszik egymst, holott a kzs BCszeljkre csak az egyik merleges, a msik nem [ElemekI.27.].

A tovbbiakban csak a hegyesszghipotzistvesszk figyelembe.

Legyeneka, b komplanris, de egymst nem metsz egyenesek (23. bra). Az a egyenesA1 sA2 pontjaibl lltsuk b-re az A1B1 s A2B2 merlegeseket. A ngyszg kt, A1-nl s A2-nllev szgre a kvetkezk valamelyike teljesl:1. egyik hegyesszg, msik derkszg;2. mindkett hegyesszg;3. egyik hegyesszg, msik tompaszg.

Az els esetben van az a, b egyeneseknek kzs merlegese.A msodik esetben az egyenes folytonossgnak felhasznlsval [Saccheri XXII. ttele] betudjuk bizonytanunk, hogy van ilyen merleges. Ugyanis mozgassuk az A1B1 egyenest az

A2B2-be gy, hogy kzben merleges maradjon a b egyenesre. Mivel a kezd llsban angyszg bels szge hegyesszg, a vgllsban pedig a megfelel kls szg tompaszg, kelllennie egy olyan kzbens helyzetnek amikor mindkt egyenesre merleges azAB sszekt.

Vgl a harmadik esetben nincs ilyen kzs merlegese az a, b egyeneseknek, vagy ha mgisltezik, akkor az nem eshet aB1 sB2 pontok kz.

Abbl a felttelbl, hogy lteznek komp-lanris de egymst nem metsz egyenesekSaccheri levezeti hogy ezek az egyenesekfokozatosan kzelednek egymshoz[XXIII. ttel], tovbb, hogy a kztklev tvolsg kisebb lesz akrmilyen elremegadott tvolsgnl [XXV. ttel]. Msszavakkal: ha vannak a skban egymstnem metsz s kzs merlegessel nem

br egyenesek, akkor ezek asszimpto-tikusak.(35)

35 Ezzel az eredmnnyel a grgk ltal felvetett (v. .: 2.), az asszimptotikus egyenesek ltezsnek krdsre

igenl vlasz szletett.

24. bra

A

q

p

b


30/128

30

Az asszimptotikus egyenesek ltezst Saccheri a kvetkez okoskodssal bizonytotta.Legyen adott azApont s a r nem illeszkedb egyenes skjban azA-ra illeszked sugrsor.Ennek az elemeit kt osztlyba sorolhatjuk: (1.) a b egyenest metszk s (2.) azok, melyeknekvan b-vel kzs merlegese alkotjk ezen osztlyokat. A folytonossg elve miatt van ktegyenes azA-ra illeszked sugrsorban: p,q (24. bra), melyek ezt a kt osztlyt elvlasztjk.

Maguk ap s a q egyenesek egyik osztlyhoz sem tartoznak.Ezt bizonytand feltesszk indirekte, hogy p a nem metszkhz tartozik, s ebbl jutunkellentmondsra. Legyen PB a b s p felttelezett kzs merlegese. Bocsssuk b-re az AMmerlegest s vegynk fel a b egyenesen egyBpontot gy, hogy az MBszakasznak bels

pontja legyenB. lltsuk merleges b-re: BP ; BP-re egy msikat: AP. Az AP nemmetszheti b-t, hiszen van kzs merlegesk (BP), ellenben metsziPB-t egyR pontban. Az

ARBtompaszg, mert kiegszt szge aBRP hegyesszgnek, s ezrt azAR egyenes azMAPszgtartomny belsejben halad (azaz a b metszinek osztlyhoz tartozik). Azt kaptukht, hogy az AR egyenes egyrszt metszi b-t, msrszt kzs merlegesk van. Erre azellentmondsra vezetett az a feltevs, hogy p-nek s b-nek van kzs merlegese, s ezzel

igazoltuk, hogyp (hasonlkppen q) asszimptotikusak a b egyenessel.(36)

17. s ezzel Saccheri olyan pontra rkezett, ahol dntenie kellett: vagy a logikt kveti, vagyragaszkodik Eukleidsz 5. posztultumnak rvnyessghez. A hegyesszg hipotziscfolatval prblkozott - mondvn, hogy az az egyenesek termszetvel ellenttes [XXXIII.ttel]. Mintegy 16 oldalon keresztl, 5 lemmra tmaszkodva eddig jut okoskodsban: Ha eza felttel teljeslne, akkor az AP s az MB egyeneseknek(25. bra) a vgtelenben lenne kzsmerlegesk, ami ellentmond az egyenes termszetnek. Saccherinek ezek az gymondbizonytsai a vgtelenbe vettenek ki olyan tulajdonsgokat, melyek egy vges alakzatonrvnyesek.

25. bra

A P

R

M B B'

P'p

b

Saccheri - nem lvn megelgedve ezzel az eredmnnyel - visszatrt a tvolsgvonalkoncepcijhoz. Mivel ezen a terleten eldeihez kpest semmi jat nem tudott megllaptani,szksgtelen munkjnak ezt a rszt felidzni.

36 Saccheri munkjban ezt a pontot megelzen is sok rtkes megllaptst tallunk, melyek kzl a

kvetkez megjegyzsre rdemes: Ha kt egyenes mindig kzeledik egymshoz, mikzben a kztk levtvolsg mindig nagyobb marad egy elre adott tetszleges tvolsgnl, akkor a hegyesszghipotzis nemteljesl. Vagyis az asszimptotk kizrst posztullva az euklideszi prhuzamosok esett kapjuk.


31/128

31

Br Saccheri munkja nem rte el cljt, az eredmny gy is fontos: az addigi legnagyobbfigyelmet szentelte az 5. posztultumnak s br nem jutott semmilyen ellentmondsra ahegyesszg hipotzis elfogadsa esetben, nem ismerte fel, hogy egy msik geometriairendszer pthet fel ezzel a felttellel, ami egyttal azt is jelenten, hogy az 5. posztultum

bizonytsa lehetetlen.(37)

Johann Heinrich Lambert (1728-1777)

18. Hogy Saccheri munkja milyen hatssal volt a XVIII. szzad geomtereire, azt pontosannem lehet meghatrozni. Valszn, hogy a svjci geomter, Lambert ismerte,(38) mert aTheorie der Parallellinien (1766) c. munkjban idzi G.S. Klgelnek (1739-1812) azt adolgozatt,(39) melyben ez aprlkosan elemzi az olasz geomter munkjt.

Lambert munkja - mely csak a szerz halla utn, 1786-ban jelent meg J. Bernoulli s K.F.

Hindenburg gondozsban(40)

- hrom rszre oszlik. Az els rsz kritikai s filozfiai term-szet, melyben az 5. posztultum krli krdseket kt csoportra osztja: az elsben azt vizs-glja, hogy a maradk felttelekkel lehet-e bizonytani, a msodikban pedig azt, hogy milyentovbbi felttelek szksgesek az igazolshoz. A msodik rszt azoknak a ksrleteknekszenteli, melyek az 5. posztultumot visszavezetik, egyszerbb, de ugyancsak igazolsra vrfelttelekre. A harmadik, a legfontosabb rsz, tartalmazza azokat a Saccherihez hasonleredmnyeket, melyeket most rviden sszefoglalunk.

19. Lambert ngyszge, melyet vizsglataiban hasznlt, hrom derkszget tartalmaz(i) s anegyedik szgre vonatkoznak a Saccherinek megfelel hipotzisek: a derkszg, atompaszgs a hegyesszghipotzis.

Az els, a derkszghipotzis knnyen elvezet Eukleidsz rendszerhez.

37

Saccheri munki elgg sztszrdtak, rluk kt matematika-trtneti munkban tallunk adatokat: J.C.Heilbronner (Lipcse, 1742) s Montucla (Prizs, 1758). Ks bb ezeket alaposan elemezte G.S. Klgel azidzett disszertcijban. Nagy rszk feledsbe ment. Csupn E. Beltrami emlkezett meg rla 1889-ben:Un precursore italiano di Legendre e di Lobatschewsky [Rend. Acc. Lincei, (4),V. p. 441-448], amivelismt felhvta r a geomterek figyelmt. Ezt kveten jelent meg Saccheri munkja angolul (G.B. Halsted,Am. Math. Montly, 1, 1894-tl), majd nmetl (Stckel s Engel Th. der P.,1895) s olaszul (G.Boccardini,Milano, Hoepli, 1904).

38 Segre: Congetture intorno alla influenza di Girolamo Saccheri sulla formazione della geometria noneuclidea, Atti Acc. Scienze di Torino, XXXVIII. [1903].

39 Conatum praecipuorum yheoriam parallelarum demonstrandi recensio, quam publico examini submittentA.G Kaestner et auctor respondens G.S Klgel; [Gttingen, 1763].

40

Magazin fr reine und angewandte Math., 2 Stch, p.137-164, 3 Stch, p. 325-358, [1786]. - Lambertmunkjt jbl ismertette Stckel s Engel az hasonl cm munkjukban (p. 135-208), a szerzrevonatkoz trtneti adalkokkal kiegsztve.


32/128

32

26. bra

A1

A2

A3

An

B1

B2

B3

Bn

b

a

A tompaszghipotzis elvetshez Lambert egy olyan alakzatot konstrul (26. bra), melybenkt egyenes - a,b - merleges azAB egyenesre. A b egyenesen felvettB, B1,B2, ,Bn sorozat

pontjaibl merlegeseket bocst az a egyenesre: BA, B1A1, B2A2, , BnAn s elszrbebizonytja, hogy a merleges sszektk hossza cskken, amint azok az AB-tl tvolodnak.

Ezt kveten kimutatja, hogyBA - BnAn > (BA - B1A1)n .

Mivel n akrmilyen nagy lehet, az egyenltlensg jobboldalnak rtke tetszs szerint nvel-het,(41) mikzben a baloldal a rgztettBA tvolsgnl mindig kisebb. Ez az ellentmonds teszilehetv, hogy a tompaszghipotzistelvessk.

A hegyesszg hipotzis trgyalshoz az imnti alakzatot (26. bra) hasznlja, s kimutatja,hogy a merleges szakaszok hossza nvekszik s ugyanakkor az egyes szakaszoknak azelztl val eltrse is nvekszik. Noha ez a megllapts nem vezet ellentmondshoz, mgis- miknt Saccheri is - folytatta a kutatst. Azt kapta, hogy ebben az esetben a hromszgek

szgeinek sszege kisebb, mint kt derkszg, de - tovbblpve Saccherin - azt is kimutatta,hogy egy poligonban a szgsszeg defektusa - az a klnbsg, mellyel a szgek sszege a2(n - 2) derkszgnl kevesebb - arnyos a poligon terletvel. Ez az eredmny knnyenlevezethet, ha szrevesszk, hogy mind a terlet, mind a szgsszeg defektusa a poligontalkot rszidomok megfelel adatainak sszegezsvel addik.(42)

20. Lambert egy msik emltsre mlt felfedezse a geometriai mennyisgek abszoltmrtkegysgre vonatkozik. Ez konkrtan annyit jelent, hogy mg a kznsges geometribana szakaszok mrse egy szabadon vlasztott egysghez viszonytva trtnik, addig afelfedezett, a hegyesszg hipotzisre alaptott rendszerben feltehetjk egy abszolt egysgltezst.

Mindenekeltt meg kell magyarznunk, mi a klnbsg az abszolts a relatv kztt.

41 Arkhimdsz posztultuma itt is abban a formban kerl alkalmazsra, amely az egyenes vgtelensgt is

magba foglalja. (V. .: Saccherihez fztt megjegyzssel, 15..)42 Illik megjegyeznnk, hogy Saccheri implicite ugyanerre kvetkeztetsre jutott, amikor a hegyesszg

hipotzist vizsglva megllaptotta, hogy egy olyan ngyszgben, mely tbb msikbl van sszetve, adefektus az sszetevk defektusnak sszege [XXV. ttel]. Azonban a defektusok s a terletek arnynaksszevetsig nem jutott el.


33/128

33

(43) --------------

A megszokott euklideszi geometria terletn a hosszsg mrse relatv, hiszen a

szakaszok hosszt egy nknyesen - s tegyk hozz szabadon - vlasztott szakaszhoz,

mint egysghez viszonytjuk. Ezzel szemben a szgek mrsnl van egy termszetes

egysg: a teljes fordulat. Megtehetjk teht, hogy a szgszrak elfordulsnak mrtkt

ehhez viszonytsuk. Itt is viszonyszm teht a mrtk, de az egysg a prioriadott. Ebben azesetben szoktuk a mrtket abszoltnaknevezni. Meg kell jegyezni, hogy a szgmrshez

is vlaszthatunk nknyesen egysget: fok, jfok, vons s a radin. Nem szabad azonban

a mrtketsszekeverni a mrszmmal. A szg esetben pldul a derkszgnek nem az

a lnyeges tulajdonsga, hogy 90o

(fok), vagy 100g

(gon = jfok), vagy 1500v

(vons), netn1.57 radin, hanem az, hogy egynegyed fordulat. Ez utbbit a derkszg abszolt

tulajdonsgnak, az elbbieket (az egysghez viszonytott) relatv tulajdonsgnak

tekinthetjk. (H.F.)

-------------- (44)

Trjnk vissza Lamberthez s a harmadik (hegyesszg ) hipotzis alapjn tallt j geomet-

rijhoz. Megfigyelte, hogy minden szakasz megfeleltethet egy meghatrozott szgnek,amelyet knnyen meg lehet szerkeszteni. Ezrt az j, hipotetikus geometriban jogunk van aszakasz hosszsgt annak abszolt tulajdonsgaknt kezelni.

Hogy megmutassuk miknt lehet megtallni brmelyik szakaszhoz a megfelel szget, s ezzelazt a hozzrendelt rtket, amellyel a hosszt jellemezzk, kpzeljnk el egy olyan egyenloldal hromszget, melyet a szakasz fl szerkeszthetnk. Minden szakaszhoz hozzrendel-hetjk mrtkknt az gy kapott hromszg szgeinek sszegt. Ezzel klcsnsen egyrtelmmegfeleltetst ltestettnk a szakaszok s egy korltos tartomnyba es szgek kztt.

Azonban ez - a szakasz hosszsgt jellemz - szmrtk nem tesz eleget a mrtkeknlmegkvetelt disztributv tulajdonsgnak: ha ugyanis kt szakaszt sszefznk, akkor a nekikmegfelel szgek sszege nem lesz az egyestssel kapott szakaszhoz rendelt szg . Haazonban tallunk egy megfelel disztributv szgfggvnyt, akkor ennek az rtkt - br azeredetileg a szghz van rendelve - hozzrendelhetjk a szakaszhoz is. Ez az rtk lehet ahosszsg abszolt mrtke, s az abszolt egysgpedig az a szakasz, amelyhez a hozzrendeltrtk ppen 1.

Azonban ha az gy alkalmazott szgfggvny disztributv, akkor rtkt brmilyen konstanssalmegszorozva a szorzat szintn rendelkezni fog ezzel a tulajdonsggal, s ezrt mrtkkntez ishasznlhat. Megtehetjk inkbb, hogy azt a szget adjuk meg, amelyik a hosszegysgheztartozik: pldul vlaszthatjuk a derkszg felt. A hosszegysgnek az ekknt, a megfelelszg kijellsvel val megvlasztsa azonban csak akkor lehetsges, ha meg tudjuk oldani a

kvetkez feladatot: Szerkesztend adott defektus szablyos hromszg - a hegyesszghipotzist felttelezve.

Ugyangy addik a poligonok terletnek mrsre alkalmas abszolt terletmrtk: a szgeksszegnek defektusa. Hasonlan definilhatjuk a poliderektrfogatnak abszoltmrtkt.

43 A fordt ezen a ponton dilemma el kerlt. Azt kellett eldntenie, hogy a Szerz nem teljesen idevg

magyarzatt kzvettse-e, ugyanis a feladatok fix s vltoz elemeirl s nem a geometriai elemzsbenfontos szerepet jtsz mrtkrl r, s magyarz pldi is inadekvtak. Az idegen, de vilgosabb szvegltszott helyesebbnek.

44 Innen kezdve ismt a Szerz eredeti szvege olvashat.


34/128

34

Az euklideszi trszemllettl idegen az abszolt hosszegysg felttelezse. Ha teht -Lamberttel egytt - tagadjuk a hosszsg abszolt mrtknek ltezst, elvetjk ahegyesszg hipotzist.

21. Nem valszn, hogy Lambert igazolni prblta volna az 5. posztultumot, mert jl lttaannak nehzsgeit. Munkjt a hegyesszg hipotzis kvetkezmnyeinek kutatsvalfolytatta, de csupn addig jutott, hogy a krdst ms, ugyanolyan nehezen megvlaszolhatkrdsekk alaktotta.

Nhny rdekes megllaptsa tallhat a Theorie der Parallellinien-ben, mint pldul aszfrikus geometria(45) s a tompaszghipotzisen alapul skgeometria szoros hasonlatoss-gnak, tovbb annak a felismerse, hogy a szfrikus geometria fggetlen az 5. posztultumtl.Figyelmet rdemel a hegyesszg hipotzissel kapcsolatos megjegyzse: Arra kvetkeztetsre

jutottam, hogy a hegyesszghipotzis a kpzetes gmbn rvnyes.

Feltehet, hogy erre kvetkeztetsre az (A + B + C - )r2 formula elemzsvel jutott. Ez adjameg ugyanis annak a gmbhromszgnek a terlett,(j) amelynek a szgeiA,B s C. Ha itt agmb sugara helybe az 1r kpzetes sugarat helyettestjk, akkor azt a formult kapjuk,melyet Lambert a hromszgek terletre vezetett le a hegyesszghipotzisblkiindulva:(46)

r2( - A - B - C).

22. Lambert teht a krdst fggben hagyta, s noha kutatsait nem publiklta sejthet, hogymegsejtett valamit az j horizontbl.(k)

Meg kell azonban jegyeznnk, hogy a XVIII. szzad msodik felre ltalnoss kezdett vlni

az a felfogs, hogy vagy az euklideszi vagy azzal egyenrtk prhuzamossgi posztultumotbizonyts nlkl el kellene fogadni.

Nmetorszgban, a krdssel foglalkoz rsokban meglehetsen hatrozottan jelenik meg ez ameggyzds. Felismerhet ez a prhuzamosok jl ismert kutatjnak, A.G.Kstnernek stantvnynak, G.S. Klgelnek, a korbban idzett (l.: 18. lbjegyzete) rtkes elemz munkaszerzjnek rsaiban. Klgel ebben a munkban rmutat, hogy a megelz bizonytsok nemvezettek clra s ezek sugalljk a nem-metsz egyenesek lehetsgnek elfogadst.[Mglich wre es freilich, da Gerade, die sich nicht schneiden, voneinander abweichen.]Hozzteszi, hogy a felbukkan ellentmondsok nem a precz bizonytsok, sem az egyenes sa grbk defincijnak kvetkezmnyei, hanem a szemlletnk eltletei. [ Da so etwas

widersinnig ist, wissen wir nicht infolge strenger Schlusse oder vermge deutlicher Begriffevon der gereden und der krummen Linie, vielmehr durch die Erfahrung und durch das Urteilunserer Augen.]

Saccheri s Lambert vizsglatait ismerve oszthatjuk Klgel vlemnyt, de meg kellllaptanunk, hogy k nem jutottak el arra a felismersre, hogy az 5. posztultumot lehetetlen

bizonytani. Az ltaluk megnyitott ton, vagy a szmos tovbbi felttelbl indulva egyikk sem jutott olyan ellentmondshoz, mely a geometria alapjt kpez prhuzamossgi elmletetmegdnthetn.

45 Valban a gmbn a ngyszgek szgeinek sszege nagyobb, mint ngy derkszg stb.46 L.: Engel s Stckel: Th.der P.146.old.


35/128

35

Ellenben ha valaki tovbb ment volna ezen az ton, de azok nlkl az eltletek nlkl,melyek Saccherit a tves kvetkeztetsekhez vezette, trtnelmi lpst tett volna meg, de nemaz euklideszi posztultum bizonytsval, hanem felfedezte volna a nemeuklideszi geometrit.

Annak a lpsnek a megttelre, mely Saccheri s Lambert munkssgtl Lobacsevszkij sBolyai felismersig vezetett, azonban mg tbb mint fl vszzadot kellett vrni!

A XVIII. szzad vgnek francia geomterei

23. A prhuzamossg elmletnek kritikai vizsglata, mely Itliban s Nmetorszgbanmindig az rdeklds kzpontjban llt, a XVIII. sz. vgn s a XIX. sz. elejn Franciaorszg-

ban is figyelemre mlt eredmnyekhez vezetett.

DÀlembert [1717-1783], egyik geometriai trgy cikkben(47) megllaptja: La definition et le propriet de la ligne droite, ainsi que des lignes parallles sont l`cueil et pour ainsi dire le

scandale des lments de Gomtrie.(l)

gy vlte, hogy az egyenes tulajdonsgainak egy jdefincija minden nehzsget megszntetne. Azt javasolta, hogy egy adott egyenessel prhuzamosnak azt az egyenest nevezzk, mely ugyanabban a skban az adott egyenesnekugyanazon az oldaln, attl egyenl tvolsgra lv kt pontot kti ssze. Ez a defincilehetv teszi a prhuzamos direkt szerkesztst. Termszetesen errl a prhuzamosrl mg bekell bizonytani, hogy tvolsgvonal, azaz minden pontja egyenl tvolsgra van a msikegyenestl. DÀlembert ezt a ttelt kortrsai szmra, mint egy kalandot knlta fel.

24. De Morgan a paradoxonokrl szl knyvben(48) elbeszli, hogy Lagrange [1763-1813]lete vgn a prhuzamosokrl ksztett egy rtekezst. Be akarta nyjtani a Francia

Akadmihoz, de a kzirat tolvasst megszaktva felkiltott: Il faut que j`y songeencore!(m) - s visszalpett a kzlstl.

Ks bb Hoel szmolt be arrl, hogy Lagrange egy Biot-val folytatott eszmecsere sornmegjegyezte: a szfrikus geometria fggetlen a prhuzamossgi posztultumtl.(49) Ennek akzlsnek a megerstsre hozztehetjk mg, hogy Lagrange klnleges rdekldstmutatott a szfrikus geometria irnt(50) s ihlet je, hacsak nem szerz je volt a Sur les

principies fondamentaux de la Mcanique [1760-61] cm(51) tanulmnynak, melyben D.Foncenex elemzi a mechanika egy hasonl fggetlensgi krdst, mikor kimutatja, hogy azerk ered jnek analitikus kifejezse fggetlen az euklideszi, vagy brmilyen vele ekvivalens

prhuzamossgi posztultumtl.

47 L.: DÀlembert: Mlanges de Litterature, d`Histoire et de Philosophie, Tom.V. XI. [1759] - tovbb

Enczclopedie Mthodique Mathmatique, t. II. p.519.: Parallles c. tanulmnyban, [1785].48 A. de Morgan: Budget of Paradoxes, p.173. [London, 1872].49 L.: Hoel: Essai critique sur les princioes fondamentaux de la gomtrie lmentair, p.84. lbjegyzetben

[Paris, G.Villars,1883].

50 Miscellanea Taurinensia, t.II. p.299-322 [1760-61].51 L.: Lagrange: Oeuvres, t.VII., p.331-363.


36/128

36

25. A hasonlsgot, mint alapvet krdst mr Wallis felvetette 1663-ban [l.: 9.]. A XIX. sz.elejn ismt feltnt, mgpedig olyan neves geomterek rvn, mint L.N.M. Carnot [1753-1823] s Laplace [1749-1827].

Carnot a Gomtrie de Position [1803] egyik lbjegyzetben [a 481. oldalon] megjegyzi,hogy a prhuzamossg elmlete szorosan sszefgg a hasonlsg krdsvel, melynekfontossga majdnem olyan magtl rtetd, mint az egybevgsg s ha ezt egyszerelfogadjuk, akkor szigor eszkzkkel tisztzni lehet az elmletet.

Laplace [1824], megllaptja, hogy a Newton-fle trvny [t. i.: az ltalnos gravitcitrvnye] az egyszersgt, az ltalnossgt s a pontos termszet-ler voltt tekintveszigornak tekinthet, majd rmutat arra, hogy a legjellegzetesebb tulajdonsga az, hogyrvnyes a testek minden mretre, a kzttk lev tvolsgtl s viszonylagos sebessgktlfggetlen, s amennyiben a dimenzikat arnyosan cskkentjk az elkpzelhet legkisebbmrtkig, ugyanolyan plyt kapunk az gitestek mozgsra, s a szmts eredmnye nem tr elattl, amit a megfigyelsekbl ismernk. Ez a trvny - folytatja - fggetlen a vilgmindensgmrettl s egyszersge azt bizonytja, hogy a termszet engedi felfedezni, megismernimagt. Tbbszr visszatr ehhez az kozmogniai elvhez s egy lbjegyzetben megjegyzi: A

geomtereknek azok a ksrletei, melyekkel Eukleidsz prhuzamossgi aximjt bizonytaniakartk mindeddig hasztalannak bizonyultak. Ezek szerint a trszemllet olyan magtlrtetdtulajdonsgot tartalmaz, melyet a prhuzamosok tulajdonsgainak szigor vizsglatanlkl nem lehet tisztzni. A korltos tartomnyok, mint pldul egy kr belseje, nemtartalmaz semmi olyan viszonyt, mely fgg a kiterjedstl. Ellenkezleg, ha cskkentjk a

sugart akr a szemmel mr nem lthat mretig, akkor ugyanolyan arnyban cskken akerlete s a bert idomok oldala. Ez az arnyossg azt sugallja nekem, hogy ltezik egy, az

Eukleidsznl lnyegesen egyszerbb axima, mely az ltalnos tmegvonzs eredmnyeinekfigyelemre mlt kvetkezmnyeknt kerl majd felismersre. (52)

26. Az imnt emltett geomterek mellett szlni kell mg J.B. Fourier-rl [1768-183], akiMonge-zsal egytt vizsglta az egyenes tulajdonsgait.(53) Hogy mirt kerlt eltrbe ez akrds, arra vonatkozan elg ha utalunk D`Alembert korbbi gondolatra (l.: 23.), miszerinta prhuzamossgi axima bizonytsa kapcsoldik az egyenes defincijhoz.

Fourier, aki a kt pont kztti tvolsgot alapfogalomnak tekintette, azt javasolta, hogyelsknt a gmbt (a felletet) kell definilni; majd a skot, mint a tr kt pontjtl egyenltvolsgra lev pontok mrtani helyt;(54) ezt kveten az egyenest, mint a tr hrom pontjtlegyenl tvolsgra fekv pontok mrtani helyt. Ezt a mdszert, a geometria alapjainaktisztzst, alkalmaztk azok a ksbbi geomterek - Bolyai F., Lobacsevszkij, de Tilly -, akik

a prhuzamosok vizsglatval foglalkoztak. Ebben az rtelemben Fourier s Monge dolgozataitekinthetk az els olyan dokumentumoknak, amelyek a nemeuklideszi geometrivalfoglalkoztak.(55)

52 L. Laplace: Oeuvres, t. VI. Livre V.,Ch.V., p472.53 L. Sances de l`cole normale: Dbats, T.L.p. 28-33 [1795]. Ezt a tanulmny ismt kzlte a Mathsis,

T.IX. p. 139-141, [1883].54 A sknak ez a mintegy szz vvel korbbi defincija Leibnitztl szrmazik. L.: Opuscules et fragments

indits, Couturat szerkesztsben, p. 554-555. [Prizs, Alcan, 1903].55 Ehhez mg hozz kel tennnk, hogy ksbbi jegyzetek, kutatsok azt mutatjk, hogy Fourier defincija sem

elegend a prhuzamossgi elmlet felptshez az 5. posztultum vagy azzal ekvivalens alapelv nlkl.


37/128

37

Adrien Marie Legendre [1752-1833]

27. Az geomterek korbban elhatroltk magukat attl, hogy rmutassanak a nehzsgekre

s kifejtsk vlemnyket az 5. posztultumrl. Ezzel szemben Legendre megksrelte, hogyelmletbe, rendszerbe foglalja ezeket. Vizsglatai, melyek az Elments de Gomtrie [1794-1823] klnbz kiadsaiban elszrtan tallhatk egybegyjtve is olvashatk a Reflxions surdiffrentes manires de dmontrer la thorie des parallles ou le thorme sur la somme destrois angles du triangle [Mm. Ac. Sc., XIII. Prizs, 1833] lapjain.

A prblkozsaiban az az rdekes, hogy Saccherihez hasonlan a krdst a hromszgekszgeinek sszege irnybl kzeltette meg, s azt akarta bizonytani, hogy ez az sszeg ktderkszggel egyezik. Eredmnye is az eldhez hasonl, amikor kizrja a tompaszghipotzist, amikor a szgsszeg nagyobb kt derkszgnl, - s megllaptja, hogy az sszegminden hromszgben vagy kisebb (hegyesszg hipotzis) vagy egyenl (derkszg

hipotzis) kt derkszggel.Bemutatjuk azt az egyszer s elegns bizonytst, mellyel ehhez az eredmnyhez eljutott:

Vegynk fl egy egyenesen n darab egyenl s egymshoz csatlakoz szakaszt: A1A2, A2A3,A3A4, , AnAn+1. [27. bra] Az egyenesnek ugyanazon az oldaln szerkessznk a szakaszokfl egybevg hromszgeket, melyeknek harmadik cscsa B1, B2, B3, Bn. Az gy kapott

B1B2,B2B3,B3B4, ,Bn-1Bn szakaszok egyenlk s a velk alkotottB1A2B2,B2A3B3,Bn-1AnBnhromszgek egybevgk. Az brt egsztsk ki egy tovbbi, ezekkel egybevg BnAn+1Bn+1hromszggel.

27. bra

A1

A2

A3

A4

A5

B1

B2

B3

B4

B5

Jelljk azA1B1A2 hromszgB1-nl fekv szgt -val, s a hozz csatlakoz hromszgA2-nl fekv szgt -val. Azt lltjuk, hogy

.

Tegyk fel ugyanis ennek ellenkezjt: > . Ekkor az A1B1A2 s B1A2B2 hromszgekbl,melyeknek kt oldala megegyezik azt kapjuk, hogy

A1A2 > B1B2.

Msrszt, mivel azA1B1B2 B n+1An+1 trttvonal hosszabb mint azA1An+1 szakasz,

A1B1 + nB1B2 + An+1Bn+1 > n A1A2,vagyis 2A1B1 > n(A

Documents

A Nemeuklideszi Geometria Története - Roberto Bonola