A kockázat kezelése döntési feladatokban

A kockázat kezelése döntési feladatokban

Kockázatos döntések

Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége

ismert. Pl. ötöslottó:

1 szelvény kitöltésével • az ötös valószínűsége = 1:43 949 268 = 0.00000275%• a négyes valószínűsége = 1:103 410 = 0.000967%• a hármas valószínűsége = 1:1 231 = 0.081%• a kettes valószínűsége = 1:44 = 2.273%• egy vagy nulla találat valószínűsége = 97.65%


Példa: egy gazdálkodó, aki a következő szezonra

különböző terményfajták vetése mellett dönthet.

Jelölje a lehetséges 3 terményt a1, a2 és a3.

A döntésnél két lényeges szempontot vesz

figyelembe:

• X1 nettó hozam,

• X2 az aratásig eltelt idő


Az X1, X2 értékeit az időjárás, a piac és egyéb

véletlen események befolyásolják.

A lehetséges állapotokat jelölje:

• s1: gyenge

• s2: megfelelő

• s3: jó


A lehetséges állapotok valószínűségei:

• s1: 0.25

• s2: 0.5

• s3: 0.25


Az elmúlt évek alapján megbecsülhetők az egyes állapotokhoz tartozó kételemű vektorok:

(hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma)

Állapot Valószínűség

Terményfajták

a1 a2 a3

s1: gyenge 0.25 (-400 ; 16) (10 ; 20) (-100 ; 10)

s2: megfelelő 0.5 (80 ; 14) (20 ; 18) (0 ; 8)

s3: jó 0.25 (200 ; 12) (50 ; 16) (100 ; 8)


a1 → hozam: 0.25 valószínűséggel -400

0.5 valószínűséggel 80


hetek: 0.25 valószínűséggel 16




Kevert cselekvési lehetőségek:

Nem kizárólagosan választunk a1, a2 és a3 közül,

hanem mindegyikből valamennyit:

( λ1 · a1 ; λ2 · a2 ; λ3 · a3 )

(λ1, λ2, λ3 ≥ 0; λ1+ λ2+ λ3 = 1)

Hasznossági függvények

Szentpétervári paradoxon: egy szabályos pénzérmét ( ½ valószínűséggel fej, ½ valószínűséggel írás) addigdobálunk, amíg fej nem lesz.

Ha már az első dobásra fejet kapunk, a nyeremény 1 $, ha az eredmény írás, akkor újra dobunk.

Ha a második dobás eredménye fej, akkor a nyeremény 2 $, írás esetén újabb dobás következik. A nyeremény (fej esetén) minden dobásnál duplázódik, tehát ha k-adik dobásra lett legelőször fej az eredmény, akkor a kifizetés 2k−1 $.


A játékos nyereménye:1/2 valószínűséggel 1 $, 1/4 valószínűséggel 2 $, 1/8 valószínűséggel 4 $, és így tovább.

Kérdés: Milyen áron lehet ezt a játékot árulni, azazmekkora összeget fizessen a játékos abelépésért?


Könnyen ellenőrizhető, hogy a kifizetés várható

értéke, azaz a játék ára végtelen, ami ebben a

megfogalmazásban meglepő, hiszen senki sem

játszana olyan játékot, amelynek az ára nem

véges (pl. 4, 10 vagy 100 $).


Miért nem tükrözik a játékosok preferenciái a matematikaivárható értékből következő eredményeket?

• a nagyon kis valószínűségű eseményt (pl. 100-adik dobásra lesz először fej) az emberi gondolkodás már elhanyagolhatónak tekinti, akkor is, ha a hozzá tartozó nyeremény óriási (299 $).

• a mindennapi realitástól elrugaszkodott, csillagászati összeg kezelése. Valóban 8-szor olyan annyira csábító-e egy 2103 ≈ 1.01 · 1031 $-os nyeremény, mint a 2100 ≈ 1.27 · 1030 $-os egy olyan játékosnak, aki nem is látott még néhány száz vagy ezer $-nál többet?

A bizonyossági egyenértékes

Bináris lottó:P valószínűséggel nyerünk W összeget,(1-P) valószínűséggel L összeget.

[ P : W ; 1-P : L ]

Mi az az S összeg, amiért ezt a játékot hajlandóakvagyunk eladni? Más szóval: számunkra közömbös, hogy a biztosS összeget kapjuk meg, vagy beszállunk ajátékba: S ~ [ P : W ; 1-P : L ]


Példa: Áll az alku

A bank időnként felajánlja a játékosnak,

hogy adott összegért megvásárolja tőle a

táskáját (azaz magát a játékot).



Terményfajták

a1 a2 a3

s1: gyenge 0.25 c1 = (-400 ; 16) c2 = (10 ; 20) c3 = (-100 ; 10)

s2: megfelelő 0.5 c4 = (80 ; 14) c5 = (20 ; 18) c6 = (0 ; 8)

s3: jó 0.25 c7 = (200 ; 12) c6 = (50 ; 16) c9 = (100 ; 8)

A gazda meg tudja mondani azokat a βi valószínűségeket,

amely mellett: ci ~ [ (1- βi) : c1 ; βi : c9 ]

A várható hasznosság maximalizálása

Kimenetel

c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9

βi 0 0.2 0.1 0.8 0.3 0.5 0.9 0.6 1


Terményfajták

a1 a2 a3

s1: gyenge 0.25 c1 = (-400 ; 16) c2 = (10 ; 20) c3 = (-100 ; 10)

s2: megfelelő 0.5 c4 = (80 ; 14) c5 = (20 ; 18) c6 = (0 ; 8)

s3: jó 0.25 c7 = (200 ; 12) c6 = (50 ; 16) c9 = (100 ; 8)U(a1) = 0.25 U(c1) + 0.5 U(c4) + 0.25 U(c4) = 0.625

U(a2) = 0.350 ; U(a3) = 0.525 ;

A hasznossági függvény előállítása

A döntéshozóval történő dialógus:E: Ha 200 $ biztos nyereségre tehet szert, vagy egy olyan játékban

vehet részt, amelyben 50% eséllyel nem nyer semmit és 50% eséllyel 1000 $ a nyereménye, akkor melyik lehetőséget választja?

D: Ekkor számomra a játék a vonzóbb lehetőség.E: Csökkentsük most a játék vonzerejét azzal, hogy a 200 $ biztos

nyeremény mellett egy olyan játékban vehet részt, ahol 90% eséllyel nem nyer, 10% eséllyel 1000 $ a nyereménye.

D: Ebben az esetben számomra a biztos 200 $ a kedvezőbb.E: Legyen egy újabb változatban a 200 $ biztos nyeremény melletti

játékban 70% annak az esélye, hogy nem nyer, 30% eséllyel pedig nyer 1000 $-t.

D: Most bármelyik opció megfelel: szívesen játszom, de a 200 $ biztos nyeremény is ugyanazt az értéket képviseli számomra.

200 ~ [ 0.7 : 0 ; 0.3 : 1000 ] → β200 = 0.3

A hasznossági függvény előállítása

Kérdezzük meg a döntéshozót az alábbiakról:

800 ~ [ 0.2 : 0 ; 0.8 : 1000 ] → β800 = 0.8

300 ~ [ 0.6 : 0 ; 0.4 : 1000 ] → β300 = 0.4

600 ~ [ 0.3 : 0 ; 0.7 : 1000 ] → β600 = 0.7

Kockázati magatartások

Semleges kockázati magatartás:

készpénz egyenértékes = várható érték

Pl. 500 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ]

Kockázatkerülő típus:

készpénz egyenértékes < várható érték

Pl. 300 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ]

Kockázatkedvelő típus:

készpénz egyenértékes > várható érték

Pl. 600 ~ [ 0.5 : 1000 $ ; 0.5 : 0 $ ]

Kockázati magatartásokVP

várhatópénzérték

CEbizonyosságiegyenértékes


Példa kockázatkedvelő magatartásra

Ötöslottó:

175 ~ [ 0.9765 : 0 ; 0.0273 : 800 ; 0.00081 : 7500 ; … ]

Pl. a múlt hétre kiszámolt várható pénzérték:

30 Ft

(Nem volt ötös, így halmozódik a főnyeremény.)


Példa kockázatkerülő magatartásra

Biztosítás:

-10000 ~ [ 0.999 : 0 ; 0.001 : -5000000 ]


Példa kockázatsemleges magatartásra

Áll az alku

Ha már csak két kis értékű táska maradt,

pl. 100000 Ft és 200000 Ft, akkor a bank

150000 Ft-ot ajánl.

A Neumann-Morgenstern

hasznosság-elmélet

XXp a kockázatos lehetőségek (lottók) halmaza

xp X Xp

xp lottó: adottak az ri valószínűségek és a hozzájuk tartozó xi értékek (nyeremény vagy veszteség) (i=1...n)

A Neumann-Morgenstern axiómarendszer

1. axióma:

a reláció gyenge rendezés a kockázatos

lehetőségek XXp halmazán.


2. axióma:

Ha xp xq, akkor

xp ( α:xp ; (1- α):xq ) xq

minden α (0,1) esetén. (0,1) esetén.


3. axióma (folytonosság):

Ha xp xq xr, akkor létezik olyan α,β (0,1), (0,1),

hogy hogy

( α:xp ; (1- α):xr ) xq (β:xp ; (1- β):xr )


4. axióma (sorrendtől való függetlenség):

( α:xp ; (1- α):xq ) ~ ( (1- α):xq ; α:xp )

minden α (0,1) esetén. (0,1) esetén.


5. axióma:

Ha xs = ( α:xp ; (1- α):xq ) , akkor

(β:xs ; (1- β):xq ) = (αβ:xp ; (1- αβ):xq )

5.1. Tétel: Az Xp-n értelmezett • xp xq akkor és csak akkor, ha U(xp) U(xq) (5.1)és • U(:xp , (1-):xq) = U(xp)+ (1-)U(xq), (0,1) (5.2)tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény akkorés csak akkor létezik, ha a NM 1-5. axiómák bármely xp, xq

és xr Xp kockázatos lehetőség együttesre teljesülnek.

Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéigegyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvényakkor és csak akkor fogja teljesíteni az (5.1) és (5.2)feltételeket, ha• U'(xp) = U(xp) + , (5.3)ahol , R és > 0.

Bernoulli-elv:

a várható hasznosság maximalizálása

(a várható érték maximalizálása helyett)

A Bernoulli-elv feloldja a szentpétervári

paradoxont (mondjuk logaritmikus

hasznossági függvénnyel.)

Documents

A kockázat kezelése döntési feladatokban