คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เรื่อง

โครงงานคณิตศาสตร

(ตอนที่ 5)

กระเบื้องทีย่ืดหดได

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร. ทรงเกียรติ สุเมธกิจการ

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมือระหวาง

คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)

กระทรวงศึกษาธิการ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1    

สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 5 ตอน ซึ่งประกอบดวย

1. SET50

2. ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส

3. การถอดรากที่สาม

4. เสนตรงลอมเสนโคง

5. กระเบื้องที่ยืดหดได

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับครู

และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร นอกจากนี้หากทานสนใจ

สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และ

ชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี ้

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2    

เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร

หมวด โครงงานคณิตศาสตร

ตอนที่ 5 (5/5)

หัวขอยอย -

จุดประสงคการเรียนรู

เพื่อใหผูเรียนไดเห็นตัวอยางของปญหาการมีอยูจริงของวัตถุทางคณิตศาสตร พรอมทั้งเห็นตัวอยางของ

วิธีแสดงการมีอยูจริงดังกลาว ทั้งนี้ทั้งนั้น เนื้อหาของโครงงานที่นําเสนอในสื่อตอนนี้นั้น มิใชสาระที ่

คาดหวังใหนักเรียนตองเรียนรูอยางจริงจัง หากเปนเพียงพาหนะเพื่อชวยแสดงใหเห็นตัวอยางของสถาน-

การณที่การมีอยูของวัตถุที่มีสมบัติพิเศษบางประการอาจไมใชเรื่องงาย และจําเปนตองแสดงใหเห็นอยาง

ชัดแจง

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3    

โครงงานคณิตศาสตรคืออะไร

โครงงานคณิตศาสตร คือ โครงงานที่ฝกฝนกระบวนการทําวิจัยทางคณิตศาสตร ซึ่งประกอบไปดวย หลายขั้นตอน ตั้งแตการเรียนรู สังเกต ตั้งคําถาม คนควา วิเคราะห จนถึงการคิดคนหาคําตอบ ของ ปญหาทางคณิตศาสตร

สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตร สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตรทั้ง 5 ตอนนี้ เปนตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตรที่ครอบคลุม ปญหาทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย ทั้งปญหาในเชิงประยุกตที่นําความรูทางคณิตศาสตรไปประยุกต ใชในการแกปญหาอื่น ๆ ปญหาที่ขยายหรือตอเติมขึ้นจากปญหาเดิม ปญหาในเชิงจําแนกแยกแยะ และปญหาที่เกี่ยวกับการมีอยูของวัตถุทางคณิตศาสตร ทั้งนี้ทั้งนั้นสิ่งที่ขาดไมไดในโครงงาน คณิตศาสตรคือการแสดงใหเห็นจริงโดยปราศจากขอสงสัย หรือการพิสูจนนั่นเอง

วัตถุประสงคของสื่อตอนนี ้ สื่อฯตอนนีจ้ะนำเสนอตั้งแตที่มาของกระเบื้องที่ยืดหดได คำถามของการมีอยูจริงของกระเบื้องที่ยืดหด ได ตัวอยางของกระเบื้องที่ยืดหดได รวมทั้งวิธีในการสรางกระเบื้องที่ยืดหดไดอื่น ๆ และปดทาย ดวยตัวอยางของกระเบื้องที่ยืดหดไดที่ไมสามารถสรางโดยวิธีดังกลาว

เนื้อหาที่นําเสนอในสื่อฯตอนนี้ มิไดนํามาจากโครงงานคณิตศาสตรใด ๆ แตหากเปนตัวอยางที่แสดงให เห็นวา ในบางครั้ง ปญหาแรกที่เราตองศึกษาคือปญหาของการมีอยูจริงของสิ่งที่ตองการศึกษานั่นเอง ปญหานี้เปนปญหาที่ไมอาจละเลยได และบางครั้งเปนปญหาที่คอนขางยาก แตจําเปนตองแสดงใหเห็น อยางชัดแจง ซึง่อาจนําไปสูการคนพบที่นาสนใจอยางยิ่งตอไป

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4    

เนื้อหาในสื่อการสอน สื่อการสอนตอนนี้ ประกอบดวย

1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:42) 2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:39) 3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 10:39)

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5    

1. ชวงเปดตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6    

1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:42)

ผูบรรยายเริ่มดวยการกลาวถึงคณิตศาสตรวา มักเกี่ยวของกับการสรางตัวแบบทางคณิตศาสตรของปรากฏ- การณธรรมชาติดวยวัตถุทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย คําถามทีพ่บอยูบอยครั้งในการศึกษาตัวแบบทาง คณิตศาสตร คือปญหาการมีอยูของวัตถุทางคณิตศาสตรที่มีสมบัตทิี่ตองการ ปญหานี้นอกจากจะจัดวาเปน ปญหาที่ยากที่สุดปญหาหนึ่ง ยังเปนปญหาทีม่ีความสําคัญดวยเหตุผลหลายประการ บางตองการตัวอยาง ของวัตถุนามธรรมที่กําลังศึกษาอยู บางตองการตัวอยางคาน บางตองการนําไปประยุกตใชตอไป เปนตน

รูปที่ 1 ภาพชวงเปดตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7    

2. ชวงสารคด ี

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8    

2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:39)

ชวงสารคดีนี ้ เริ่มดวยการเลาที่มาโดยสังเขปของกระเบื้อง วามีกําเนิดมาตั้งแตยุคโบราณ และไดพัฒนา เรื่อยมา โดยอาจมีแรงจูงใจมาจากความเชื่อในลัทธิศาสนา และตองการประดิษฐหรือสรางกระเบื้องที่ สวยงามแปลกตา ดังแสดงในรูปที่ 2

(ก) (ข) รูปที่ 2 ภาพประกอบคําอธิบายประวัติยอของกระเบื้อง

(ก) (ข)

(ค) (ง)

รูปที่ 3 ภาพประกอบคําอธิบายเรื่องกระเบื้องแบบตาง ๆ และ wallpaper groups

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9    

รูปที่ 3 (ก-ข) แสดงตัวอยางของกระเบื้องที่อาจพัฒนาจากรูปแบบงาย ๆ ไปสูรูปแบบที่ซับซอนขึ้น รูปที่ 3 (ค) แสดง

ตัวอยางกระเบื้องที่สามารถพลิกได จนเกิดเปน wallpaper groups ที่มีทั้งหมด 17 แบบ ดังแสดงในรูปที่ 3 (ง)

แตกระเบื้องใด ๆ ตางก็มีสมบัติทางคณิตศาสตรหนึ่งรวมกันนั่นก็คือ ความสามารถในการปูปดทับพื้นที่ที่ตองการ

โดยมิใหเกิดพื้นที่วาง และไมเกิดการซอนทับกันของกระเบื้อง

อาจเปนเพราะความสวยงามของกระเบื้องแบบตาง ๆ นี้เอง ที่ทําให M.C. Escher (รูปที่ 4(ก)) ศิลปนชาวดัชตใน

คริสตศตวรรษที่ 20 ผูมีผลงานชื่อกองโลกมากมาย ดังแสดงตัวอยางหนึ่งในรูปที่ 4(ข) เกิดความสนใจอยางมาก

จนกระทั่งไดรังสรรคผลงานภาพวาดกระเบื้องอันทรงคา (รูปที่ 5) และนาตื่นตาตื่นใจ จนแมแตนักคณิตศาสตรเอง

ก็รูสึกอัศจรรยใจไปกับผลงานเหลานั้น

(ก) (ข) รูปที่ 4 ภาพประกอบคําอธิบายประวัติของ M.C. Escher

รูปที่ 5 ตัวอยางผลงานภาพวาดกระเบื้องของ M.C. Escher

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10    

รูปที่ 6 ผูชวยศาสตราจารย ประดิพัทธุ เลิศรุจิดํารงคกุล อาจารยภาควิชาเครื่องเคลือบดินเผา คณะมัณฑนศิลป มหาวิทยาลัยศิลปากร อธิบายเกร็ดความรูเกี่ยวกับกําเนิดของกระเบื้อง และผลงานของศิลปน M.C. Escher

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11    

3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12    

3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 10:39)

ชวงโครงงานฯและเนื้อหานี้จะอธิบายรายละเอียดของปญหาคณิตศาสตร ตั้งแตที่มาและความสําคัญจนถึง สรุปและปญหาที่นาสนใจ ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังตอไปนี ้ พื้นฐานทาง คณิตศาสตรทีจ่ําเปนตองใชในสื่อฯตอนนี้มีเพียงเรื่องเซตและการดําเนินการของเซตเทานั้น 3.1. ที่มาของกระเบื้องที่ยืดหดได (เริ่ม ณ 11:23) ในคณิตศาสตรเกือบทุกแขนง วิธีการแกปญหาที่ทรงพลังวิธีหนึ่งคือการแตกปญหาที่ยากออกเปน ปญหายอย ๆ ที่จัดการไดงายขึ้น ปญหาการบีบอัดไฟลรูปภาพหรือไฟลดิจิตอลก็เชนกัน วิธีที่ม ีประสิทธิภาพตางตั้งอยูบนแนวคิดในการแทนรูปภาพหรือขอมูล ซึ่งก็คือฟงกชันฟงกชันหนึ่ง ดวย ผลบวกถวงน้ําหนักของฟงกชันงาย ๆ ในทฤษฎีฟูเรียร ฟงกชันงาย ๆ นี้ก็คือฟงกชันตรีโกณมิติ sin(nx) และ cos(nx) ซึ่งก็คือผลการยืดหดในแนวแกน X ของฟงกชันไซนและโคไซนนั่นเอง ในทฤษฎี ที่กอใหเกิดเปนมาตรฐานของการบีบอัดไฟลรูปภาพที่มีชื่อยอวา JPEG2000 ฟงกชันงาย ๆ คือผลการ ยืดหดและเลื่อนในแนวแกน X ที่เหมาะสมของฟงกชันตั้งตนฟงกชันหนึ่ง ดังแสดงในรูปที่ 7

รูปที่ 7 ภาพประกอบการอธิบายเรื่องการบีบอัดไฟล

3.2. สมบัติของกระเบื้องที่ยืดหดได (เริ่ม ณ 12:28) ฟงกชันตั้งตนขางตนที่มีสมบัติบางประการ (มีความถี่ที่เปนไปไดอยูในเซตที่เล็กที่สุด) จําเปนที่จะตอง สรางจากเซตในระนาบที่มสีมบัติ 2 ประการ ไดแก

1. เมื่อเลื่อนซาย ขวา บน ลาง ครั้งละ 1 หนวย จะตอกันสนิทพอด ีและคลุมทุกบริเวณในระนาบ 2. เมื่อขยาย 2 เทา หรือ หดลงครึ่งหนึ่ง เชนนี้ไปเรื่อย ๆ ตอกันสนิทพอดี และคลุมทุกบริเวณในระนาบ จะเห็นวาตัวอยางของเซตที่มีสมบัติขอ 1 เชน สี่เหลี่ยมจัตุรัส และตัวอยางของเซตที่มีสมบัติขอ 2 เชน วงแหวน เปนตน ดังแสดงในรูปที่ 8

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13    

ในทฤษฎีวิเคราะหนั้น หากเซตที่ศึกษาเปนเซตที่มีขอบเรียบเปนชวง ๆ นั้น การคลุมทุกจุดบนระนาบ และการไมทับกันของเซตที่เกิดจากการเลื่อนหรือการยืดหดนั้น ใหถือวายกเวนบริเวณที่เปนจุดจํานวน จํากัดหรือเปนเสนโคงได เชน จุดกําเนิด หรือขอบของเซตนั้น ๆ

รูปที่ 8 ภาพแสดงสมบัติของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและวงแหวน

(ก) (ข)

(ค) (ง) รูปที่ 9 ภาพแสดงตัวอยางแรกของกระเบื้องที่ยืดหดได

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14    

เรานิยามให กระเบื้องที่ยืดหดได เปนเซตที่มีสมบัติทั้งสองขอขางตน นั่นคือเซตจะตองมีสมบัติของทั้ง สี่เหลี่ยมจัตุรัส และวงแหวนในเวลาเดียวกัน รูปที่ 9 แสดงตัวอยางแรกของกระเบื้องที่ยืดหดได พรอมทั้งแสดงการเลื่อนขึ้น ลง ซาย ขวา ครั้งละ 1 หนวย (รูปที่ 9(ข-ค)) และการหด ขยาย (รูปที่ 9(ง))

3.3. ตัวอยางของกระเบื้องที่ยืดหดได (เริ่ม ณ 15:28)

(ก) (ข)

(ค) (ง)

(จ) (ฉ)

รูปที่ 10 ภาพจากสื่อฯแสดงตัวอยางการสรางกระเบื้องที่ยืดหดไดจากกระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัส

จากการคนควาวิจัย เรามีวิธีในการสรางกระเบื้องที่ยืดหดได ไดอีกมากมาย วิธีหนึ่งเริ่มจากรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัส [-0.5,0.5]2 (รูปที่ 10(ก)) หดรูปสี่เหลี่ยมนี้ลงครึ่งหนึ่ง และเลื่อนออกไปสองขาง ขางละ 1 หนวย

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15    

(รูปที่ 10(ข)) หลังจากนั้นจึงทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ โดยหดลงครึ่งหนึ่ง และเลื่อนสวนที่ซอนกันออกไปสอง ขาง ขางละ 1 หนวย (รูปที่ 10(ค-ง)) เซตที่ไดหลังจากทํากระบวนการนี้ไปเรื่อย ๆ ไมจํากดัจํานวนครั้ง จะเปนกระเบื้องที่ยืดหดได ซึ่งสามารถประมาณไดดวยเซตในรูปที่ 10(ฉ)

รูปที่ 11 ตัวอยางของกระเบื้องที่ยืดหดได

รูปที่ 11-13 แสดงตัวอยางของกระเบื้องที่ยืดหดได ที่สามารถสรางไดจากวิธีขางตน พรอมการเลื่อน และ หด ขยาย เพื่อยืนยันความสอดคลองกับสมบัติของกระเบื้องที่ยืดหดไดทั้งสองขอ จะเห็นวาเซตทั้ง สามประกอบดวยรูปหลายเหลี่ยมจํานวนอนันตรูป จึงเปนธรรมชาติที่จะสงสัยตอไปวามีกระเบื้องที่ ยืดหดได อื่นหรือไม ที่ประกอบดวยรูปหลายเหลี่ยมจํานวนจํากัด ไมมีใครทราบคําตอบจนกระทัง่มีผู แสดงในป พ.ศ. 2549 วา เซตในรูปที่ 14 เปนกระเบื้องที่ยืดหดไดเชนกัน และยังเปนเซตที่ประกอบ ดวยรูปหลายเหลี่ยมจํานวนจํากัดเทานั้น

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16    

รูปที่ 12 ตัวอยางของกระเบื้องที่ยืดหดได

รูปที่ 13 เซตเคกแตงงาน (wedding cake set)

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17    

รูปที่ 14 ตัวอยางของกระเบื้องที่ยืดหดไดที่เกิดจากรูปหลายเหลี่ยมจํานวนจํากัด

3.4. สรุป+ปญหาที่นาสนใจ (เริ่ม ณ 21:34) ปญหาคณิตศาสตรที่ไดพิจารณาในสื่อฯตอนนี้ เปนตัวอยางของปญหาการมีอยูของวัตถุทางคณิต-ศาสตรที่มีสมบัติพิเศษบางประการ และยังเปนตัวอยางของปญหาที่มีที่มาจากคณิตศาสตรประยุกต จากแนวคิดของกระเบื้องที่ยืดหดไดในสองมิตินี้ เราอาจนําปญหามาดัดแปลงเปนปญหาลักษณะ เดียวกันสําหรับเซตในหนึ่งมิต ิ อยางไรก็ตาม เราจะยังคงเรียกเซตในหนึ่งมิติที่มีสมบัตทิั้งสองประการ วา กระเบื้องที่ยืดหดได ดังนั้นตัวอยางของคําถาม เชน 1. มีชวง [a,b] ที่เปนกระเบื้องที่ยืดหดไดหรือไม ถาไมมี เพราะเหตุใด 2. มียูเนียนของชวง 2 ชวง หรือ 3 ชวง ที่เปนกระเบื้องที่ยืดหดไดหรือไม ถามี อยูในรูปใดไดบาง 3. หากเปลี่ยนการเลื่อน และ/หรือ การหด ขยาย เปนการกระทํากับเซตอยางอื่น แลวจะมี กระเบื้องที่ยืดหดไดหรือไม ถามี อยูในรูปใดไดบาง

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18    

รูปที่ 15 ภาพจากสื่อฯขณะอธิบายเรื่องการมีอยูจริง

3.5. ปดตอน (เริ่ม ณ 24:30)

จุดประสงคหลักของสื่อฯตอนนี้คือ การแสดงใหเห็นตัวอยางของปญหาการมีอยูของวัตถุทางคณิต-ศาสตรที่อาจนํามาทําเปนโครงงานคณิตศาสตรได โดยสวนใหญแลว ปญหาการมอียูของวัตถุทาง คณิตศาสตรจัดวาเปนปญหาพื้นฐานที่สําคัญที่สุดและตอบยากที่สุด การแสดงการมีอยูจริงของวัตถุ ทางคณิตศาสตรสามารถทําไดหลายวิธี วิธีแรกคือการสรางวัตถุนั้น ๆ ขึ้นมา ซึ่งเปนวิธีที่ควรทํา หากทําได แตหากทําไมได อาจจะมีวิธีอีกมากมายที่สามารถยืนยันการมีอยูจริงไดโดยที่ไมมีตัวอยาง ดังเชนตัวอยางเรื่องความสูงที่กลาวไวในสื่อฯ (รูปที่ 15)

. คณิตศาสตรอยูรอบตัวเรา จงหมั่นหาตัวอยาง .

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19    

เอกสารอางอิง

1. J.J. Benedetto and M.T. Leon, The construction of single wavelets in D-dimensions, J. Geom.

Analysis 11(1) (2001) 1–15. 2. J.J. Benedetto and S. Sumetkijakan, Tight frames and geometric properties of wavelet sets,

Adv. Comp. Math. 24(1-4) (2006) 35–56. 3. X. Dai and D.R. Larson, Wandering vectors for unitary systems and orthogonal wavelets, Mem.

Amer. Math. Soc. 134(640) (1998) viii+68. 4. X. Dai, D.R. Larson and D.M. Speegle, Wavelet sets in Rn, J. Fourier Anal. Appl. 3(4) (1997)

451–456. 5. K.D. Merrill, Simple wavelet sets for integral dilations in R2, Representations, Wavelets, and

Frames: A Celebration of the Mathematical Work of Lawrence W. Baggett, Birkhauser, Boston, MA, (2008) 177–192.

6. P.M. Soardi and D. Weiland, Single wavelets in n-dimensions, J. Fourier Anal. Appl. 4 (1998) 299–315.

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20    

กิตติกรรมประกาศ

ผูจัดทําสื่อการสอนตอนนี้ตองขอขอบพระคุณ ผูชวยศาสตราจารย ประดิพัทธุ เลิศรุจิดํารงคกุล อาจารยภาควิชา เครื่องเคลือบดินเผา คณะมัณฑนศิลป มหาวิทยาลัยศิลปากร ที่กรุณาสละเวลามาใหเกร็ดความรูเกี่ยวกับ

ประวัติของกระเบื้องและผลงานของ M.C. Escher ขอขอบพระคุณ อาจารย ดร.รตินันท บุญเคลือบ และอาจารย

ดร. จิณดิษฐ ละออปกษิณ ที่ชวยทําใหเนื้อหาในชวงสารคดีมีความสมบูรณและสอดคลองกลมกลืนกันมากยิ่งขึ้น

และคุณกันตพชญ ธีระจันทเศรษฐ ที่เปนสวนสําคัญในการเสนอแนวคิดจนกอใหเกิดสื่อในรูปแบบนี้ขึ้น

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21    

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร

จํานวน 92 ตอน

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

22    

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

เซต บทนํา เรื่อง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง

จํานวนจริง

บทนํา เรื่อง จํานวนจริง

สมบัติของจํานวนจริง

การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ

เทคนิคการแกอสมการ

คาสัมบูรณ

การแกอสมการคาสัมบูรณ

กราฟคาสัมบูรณ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ

ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ

(การหารลงตัวและตัวหารรวมมาก) ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย

ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

23    

เรื่อง ตอน

ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ

อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชัน

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ฟงกชันประกอบ

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

อสมการลอการิทึม

ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ

อัตราสวนตรีโกณมิติ

เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย

ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ส่ือปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน

กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร

การหาคาสุดขีด

ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย

อนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

24    

เรื่อง ตอน

การนับและความนาจะเปน

บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู

ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2

โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย

ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส

การถอดรากที่สาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบื้องที่ยืดหดได