9. Poisson-ov proces · 9. Poisson-ov proces (Simeon Denis Poisson, 1781-1840) Osobine PoOsobine Poiissssonon-ovog procesa (zbog sledeovog procesa (zbog sledećihosobinaih osobina

9. Poisson-ov proces (Simeon Denis Poisson, 1781-1840)

Osobine Poisson ovog procesa (zbog sledećih osobinaOsobine Poisson-ovog procesa (zbog sledećih osobina nazivamo ga prostim protokom događaja):

a) ordinarnost – verovatnoća da se na istom intervalu Δtpojavi 2 ili vise procesa je daleko manja od verovatnoće da se na tom istom intervalu Δt pojavi jedan proces: P1(Δt)>>Pk>1(Δt)

b) odsustvo posledica – intervali između prispeća ) p p pprocesa u sistem su međusobno nezavisni. Dolazak novog procesa ne zavisi od toga kada je prethodni proces došao

c) stacionarnost – broj događaja koji se realizuju na t÷t+τc) stacionarnost – broj događaja koji se realizuju na t÷t+τne zavisi od t nego samo od τ (verovatnoća da se u intervalu t÷t+τ odigra neki događaj nije zavisna od t, nego samo od τ)

ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

1


P t liki i t l T i ti b j

x(t)x(t) brojbroj zahtevazahteva u u intervalu T obeležimo sa intervalu T obeležimo sa N(T)N(T)

Posmatramo veliki interval vremena T, i pratimo broj zahteva koji stignu u sistem, nezavisno i slučajno

1 2 3 4 … 1 2 3 4 … N(T) N(T)

l l ll ll ll t t 0 t0 t TT0 a t 0 a t TT

1, 2, 3, 4,… 1, 2, 3, 4,… prispeliprispeli zahtevizahtevi -- imaima ihih NNa a -- vremenski period između 2 zahteva

u nekomnekom manjemmanjempodintervalupodintervalu t, t, odigra se ( i ) (t)(t) ht


2

TT-- interval interval posmatranjaposmatranja (prispe) x(t) x(t) zahteva


SrednjiSrednji brojbroj prispeprispećća a SrednjeSrednje vremevreme izmeizmeđđu u zahtevazahteva: : (intenzitet prispeća zahteva): Može biti:Može biti: const. - stacionarno srednje vremeconst. - stacionaran proces a(t) - nestacionarno srednje vremeλ(t) - nestacionaran proces

λ=lim N(T)/T a =lim T/N(T)=1/λ( )T→∞

( )T→∞

Posmatramo jedan konkretan zahtev koji se pojavio u intervalu T.Posmatramo jedan konkretan zahtev koji se pojavio u intervalu T.Verovatnoća da se taj zahtev pojavio baš i podintervalu t je: :

1tp =


3

1pT


Verovatnoća da je određenih (konkretnih) i nezavisnih zahteva, koji su prispeli u vremenskom intervalu T, prispelo baš u podintervalu t iznosi:

1i

ip p=

Verovatnoća da je određenih (konkretnih) i nezavisnih zahteva, koji su prispeli u vremenskom intervalu T, prispelo baš u podintervalu t, a da su svi ostali prispeli van tog intervala iznosi :

1ip p

su svi ostali prispeli van tog intervala iznosi :

Konačno verovatnoća da je u vremensom intervalu t prispelo tačno i

1 1(1 )i N iip p p −= ⋅ −

Konačno, verovatnoća da je u vremensom intervalu t prispelo tačno izahteva iznosi (binomna raspodela):

( )![ ( ) ,0 ] 1 1

! !

i N i N ii

r i

N t t N t tP x t i t Ti T T i N i T T

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ≤ ≤ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠


4

( )! ! ii T T i N i T T⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠


T x

•• UzUz

binomnabinomna raspodelaraspodela prelaziprelazi u Poissonu Poisson ovuovu::

1

, 0

1 1lim 1 lim 1x

t

t xTT

t eT x e

−

→∞→∞ →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

binomnabinomna raspodelaraspodela prelaziprelazi u Poissonu Poisson--ovuovu::

, 0

( 1) ( 1)[ ( ) ,0 ] lim 1!

T tN ii T t

r tT

N N N i t tP x t i t Ti T T T T

⋅ ⋅ −

→∞ →

⋅ − ⋅ ⋅ − + ⎛ ⎞= ≤ ≤ = ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⎝ ⎠…

…, 0TT

→ → ⎝ ⎠

, 0

1 1lim 1 1!

T N t ii t T

tT

t N N N i t ti T T T T T T T

⋅ ⋅ −

→∞ →

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

…,

0

1 1 ( )lim 1 1! !

TT t ii it t

tT

t i t t t ei T T T T i

λλλλ λ λ

⋅ ⋅ −− ⋅

→∞ →

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

…


5

, 0 ! !TT

i T T T T i→∞ → ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9.1 Jednačina Poisson-ove raspodele i parametri

KonaKonaččanan izgledizgled PoPoiissssonon oveove raspodeleraspodele::KonaKonaččan an izgledizgled PoPoiissssonon--oveove raspodeleraspodele::

( )[ ( ) ,0 ] ( , ), .!

it

r xtP x t i t T e P i t const

iλλ λ− ⋅⋅

= ≤ ≤ = ⋅ = =

Ovaj izraz predstavlja Poissonovu raspodelu sa parametrom i govori otome kolika je verovatnoća da će slučajna promenljiva x u intervalu t imati

!i

tλ ⋅tome kolika je verovatnoća da će slučajna promenljiva x u intervalu t imativrednost i, tj. da se u intervalu t desilo i događajaOsobineOsobine PoissonovePoissonove raspodeleraspodele::

tλ- dobija se direktno iz gornje formule( )( , ) 1,x x

tP i t P i tiλ ⋅

= ⋅ −

( )1( , )i

i ix

d P i t e i t tλλ λ

− −= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅


6

( )( , )!xdt i


0.4

1tλ ⋅ =

0 2

0.25

0.3

0.35

x=i)

0.05

0.1

0.15

0.2

P(x

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i


7


2tλ ⋅ =

0.3

0.15

0.2

0.25

x=i)

0.05

0.1

P(x

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i


8


4tλ ⋅ =

0.25

0.15

0.2

=i)

0.05

0.1P(x

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i


9


Sva tri slučaja na istom grafiku

0.4

0 2

0.25

0.3

0.35

=i)

0.05

0.1

0.15

0.2

P(x

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i


10


Izjednačavanjem izvoda sa nulom, možemo dobiti maksimum funkcije Poissonove raspodele:

( )1( ) 0t

ii id iP i t e i t t i t t

λλ λ λ− −= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ = ⋅ =

Međutim, ova raspodela je diskretna po i, stoga, ako hoćemo da tražimo

( )( , ) 0 ,!xP i t e i t t i t t

dt iλ λ

λ⇒

najverovatniju vrednost i u Poissonovoj raspodeli, moramo da primenimodrugi pristup. Posmatrajući grafik funkcije, vidimo da za fiksni parametar

funkcija prvo raste, pa opada. Najverovatniju vrednost dobijamotλ ⋅rešavanjem nejednakosti:

( 1, ) ( , ), ( , ) ( 1, )x x x xP i t P i t P i t P i t− ≤ ≥ +


11


( ) ( )1

( 1)! !t t

i it te e i t

i iλ λλ λ

λ− −

−⋅ ⋅⋅ ≤ ⋅ ⇒ ≤ ⋅

−

( ) ( ) 1

( 1)! !

1! ( 1)!

t ti i

i i

t te e i t

i iλ λλ λ

λ− −

+⋅ ⋅⋅ ≥ ⋅ ⇒ + ≥ ⋅

+! ( 1)!

Ako je ceo broj postoji samo jedan maksimum i=

i i

t tλ λ

+

⋅ ⋅Ako je ceo broj, postoji samo jedan maksimum i , inače postoje dva maksimuma,

t tt i t

λ λλ λ

⋅ ⋅

⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥


12


ParametriParametri PoPoiissssonon oveove raspodeleraspodeleParametriParametri PoPoiissssonon--oveove raspodeleraspodele

MatematiMatematiččkoko ooččekivanjeekivanje ((srednjasrednja vrednostvrednost brojabroja dolazakadolazaka):):∞

Dokaz:Dokaz:0

[ ( )] ( ) ( , )Xi

E x t x t i P i t tλ∞

=

= = ⋅ = ⋅∑

( ) ( ) 1

0 1 0( , )

! ( 1)!t t

i i

Xi i i

t t ti P i t i e e

i iλ λλ λ λ− −

−∞ ∞ ∞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

−∑ ∑ ∑

( )0 1 0! ( 1)!

!t t t

i i i

j

i i

tt e t e e t

jλ λ λλ

λ λ λ− −

= = =

∞ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅∑


13

0 !j j=


VarijansaVarijansa slusluččajneajne promenljivepromenljive (disperzija)(disperzija)::Varijansa Varijansa slusluččajneajne promenljivepromenljive (disperzija)(disperzija)::2 2[ ( )] { ( ) [ ( )]}XVar x t E x t E x t tδ λ= = − = ⋅

2 2

2 2

: [ ( )] { ( ) [ ( )]}

[ ( )] { [ ( )]}

XDokaz Var x t E x t E x t

E x t E x t

δ= = − =

= − =

( ) ( )2

2

! !

t ti it t

i e i ei i

λ λλ λ− −∞ ∞⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

( ) ( )

0 0

12

! !

t

i i

i

i i

t ti e t

λλ λλ

−

= =

−∞ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ − =

⎝ ⎠

∑ETF-Beograd Performanse Računarskih

Sistema14

( )1 ( 1)!i

i e ti

λ= −∑


VarijansaVarijansa slusluččajneajne promenljivepromenljive (disperzija)(disperzija)::

( ) ( )2( 1) tjt

t j tλλλ λ

−∞ ⋅+∑

Varijansa Varijansa slusluččajneajne promenljivepromenljive (disperzija)(disperzija)::

( ) ( )

( ) ( )0( 1)

!

t t

j

j j

t j e tj

t tλ λ

λ λ

λ λ

=

∞ ∞⎡ ⎤

= ⋅ + ⋅ ⋅ − =

⋅ ⋅

∑

( ) ( )0 0! !

t t

j j

t tt j e e t

j jλ λλ λ

λ λ− −

= =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − =∑ ∑

1t t t tλ λ λ λ⎡ ⎤⎣ ⎦= ⋅ + − =


15

9.2 Intervali vremena između susednih događaja i vreme opsluživanja

Verovatnoća da se u nekom vremenskom intervalu t ne dogodi (pojavi) nijedanVerovatnoća da se u nekom vremenskom intervalu t ne dogodi (pojavi) nijedan događaj (broj poslova koji su došli je 0):

( )0

(0, )0!

t tX

tP t e eλ λλ − ⋅ − ⋅⋅

= =

Verovatnoća da se u nekom vremenskom intervalu t dogodi (pojavi) bar jedan događaj:

( , )0!X

1 (0 ) 1 tP t λ− ⋅

Verovatnoća da se u nekom vremenskom intervalu t dogodi (pojavi) bar jedandogađaj zapravo predstavlja i verovatnoću da je vreme a između dolazaka manjed S l č l k č đ d d l k

1 (0, ) 1 tXP t e λ− = −

od t. Stoga, slučajna promenljiva a koja označava vreme između dva dolaska imasledeću raspodelu:

[ ] 1 (0, ) 1 ( )tr X aP a t P t e P tλ− ⋅≤ = − = − =


16

[ ] ( ) ( )r X a


Funkcija gustine raspodele verovatnoće ove slučajne promenljive a:- eksponencijalna

raspodela( ) ( ) t

a adp t P t edt

λλ − ⋅= = ⋅Važan zaključak je vreme između događaja u Poissonovomprocesu eksponencijalno raspodeljeno.

dt

ParametriParametri::ParametriParametri::1.Matemati1.Matematiččkoko ooččekivanjeekivanje slslučajne učajne promenljivepromenljive aa (srednje vreme između dva dolaska):(srednje vreme između dva dolaska):

1 1( ) ( ) |t t tE t a t p t dt t e dt t e e dtλ λ λλ λ∞ ∞ ∞∞

− − −⎡ ⎤= = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + =⎢ ⎥∫ ∫ ∫

00 0 0

(pretpostavka je i bila da je srednji intenzitet dolaska)

( ) ( ) |

1 10 |

a X

t

E t a t p t dt t e dt t e e dt

e λ λ

λ λλ λ

λ∞

−

= = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⋅ − =⎢ ⎥

∫ ∫ ∫


17

20

(pretpostavka je i bila da je srednji intenzitet dolaska)0 |e λλλ λ⎢ ⎥⎣ ⎦


22 Disperzija (varijansa) slučajneDisperzija (varijansa) slučajne promenljivepromenljive aa::22.. Disperzija (varijansa) slučajne Disperzija (varijansa) slučajne promenljivepromenljive aa: :

2

2 2 2 2( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )Var a E a E a t p t dt t p t dtδ∞ ∞⎛ ⎞

= = − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∫ ∫0 0

22

2

( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )

1 1...

a a a

t

Var a E a E a t p t dt t p t dt

t e dtλ

δ

λ∞

− ⋅

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫ 20 λ λ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Var δ 1a aa

Vara a

δν = = =3.3. KoeficijentKoeficijent varijacijevarijacije: :


18


Primer zaPrimer za 10 5λ −Primer zaPrimer zaλλ –– intenzitetintenzitet prispeprispeća zahteva u sistemća zahteva u sistem

( ) tp t e λλ − ⋅= ( ) [ ] 1 tPa t P a t e λ− ⋅= ≤ =

10.5sλ =

( )ap t eλ= ⋅ ( ) [ ] 1rPa t P a t e= ≤ = −

10.5 0.4 λ = 0.5 0.6320.3 0.50.20.1

2 4 6 8 t 2 4 6 8 t


19


VremeVreme opsluživanja (servisiranja zahteva)opsluživanja (servisiranja zahteva)VremeVreme opsluživanja (servisiranja zahteva)opsluživanja (servisiranja zahteva)

TTakoakođe podleže eksponencijalnoj raspodeli (identična analiza kao đe podleže eksponencijalnoj raspodeli (identična analiza kao i i ć ht )i i ć ht )i za prispeća zahteva)i za prispeća zahteva). .

Interval opsluživanja se tipično obeležava sa Interval opsluživanja se tipično obeležava sa ss..Verovatnoća da je interval opsluživanjaVerovatnoća da je interval opsluživanja ss ≤≤ tt :j jj j

Gustina raspodele vrovatnoće:

[ ] ( ) 1 tr sP s t P t e μ− ⋅≤ = = −

Gust a aspode e o at oće

( ) ( ) tS S

dp t P t edt

μμ − ⋅= = ⋅


20


Prosečno vreme opsluživanja (Prosečno vreme opsluživanja (μ ≈ λμ ≈ λ u uravnoteženom sistemuu uravnoteženom sistemu):):Prosečno vreme opsluživanja (Prosečno vreme opsluživanja (μ λμ λ u uravnoteženom sistemuu uravnoteženom sistemu):):

0

1[ ] ( )a SE s s t p t dtμ

∞

= = ⋅ =∫Disperzija slDisperzija sluučajne promenljive:čajne promenljive:

0 μ

2 1( )Var s δ

Koeficijent varijacije:Koeficijent varijacije:

2( ) SVar s δμ

= =

1SS s

δν = =


21

Documents

9. Poisson-ov proces · 9. Poisson-ov proces (Simeon Denis Poisson, 1781-1840) Osobine PoOsobine Poiissssonon-ovog procesa (zbog sledeovog procesa (zbog sledećihosobinaih osobina