1

8.3 Magnetni fluks, Gaussov zakon za magnetna polja Pod pojmom magnetnog fluksa podrazumjeva se fluks vektora magnetne indukcije B, definisan u skladu sa opštom matematičkom definicijom elementarnog fluksa neke vektorske funkcije B, kroz elementarnu površ ds dФ = B · ds (8.7) Saglasno relaciji (8.7), ukupni magnetni fluks kroz površ s, za koju je površ ds samo njen elementarni dio, određuje se prema relaciji (8.8) Ф = B

s∫ d s (8.8)

Elementarna površ ds ima prirodu vektora, jer je definisana relacijom ds = no · ds, u kojoj je sa no označen vektor jedinične normale na površ ds, određen u skladu sa pravilom desnog zavrtnja (dakle granicu površi ds, neku konturu C, treba orjentisati, ili u smjeru kazaljke na satu, ili u suprotnom smjeru, a potom odabrati smjer vektora no tako da on sa tom orjentacijom konture, formira desni zavrtanj). Magnetni fluks je po svojoj prirodi skalarna veličina, za koju je jedinica mjere definisana na osnovu slijedeće relacije: Wb = T · m2 i naziva se «veber» (Wilhelm E. Weber (1804-1891 ) je bio profesor fizike na Univerzitetu u Gőttingenu i zajedno sa Johan Karl Fridrich Gaussom (1777-1855), koji je bio profesor matematike na tom istom univerzitetu, dao je značajan doprinos u objašnjavanju prirode magnetnih pojava). S obzirom da su linije vektora magnetne indukcije B neprekidne linije zatvorene same u sebe, to je fluks vektora magnetne indukcije, kroz bilo koju zatvorenu površ jednak nuli (pod pojmom zatvorene površi podrazumjeva se površ koja obuhvata – dakle zaokružuje, određeni volumen) U tom smislu se formuliše i Gaussov zakon za magnetna polja, bilo u integralnoj formi iskazanoj relacijom (8.9):

S∫ B ·ds = 0 (8.9)

bilo u lokalnoj-diferencijalnoj formi (8.10) (prevođenje Gaussovog zakona iz integralne forme u diferencijalnu formu, moguće je ostvariti uz pomoć teoreme Gauss-Ostrogradski, koja se obrađuje u matematičkoj disciplini Teoriji vektorskih polja) div B = 0 (8.10) Relacija (8.10) poznata je i kao četvrta Maxwellova jednačina, u diferencijalnoj formi, kojom se posebno naglašava bezizvorna priroda magnetnog polja (dakle ona podcrtava da nema magnetnih masa u magnetnom polju. Elementarne Ampèrove struje, raspoređene unutar cijele materijalne sredine, osnova su magnetnih pojava u smislu reakcije materijalne sredine na djelovanje stranog magnetnog polja).

2

Integralni oblik Gaussovog zakona za magnetna polja, u literaturi se često naziva i zakonom o konzervaciji magnetnog fluksa. U tom smislu, slično kao što se u elektrostatici krivolinijski integral između zadatih tačaka A (x1,y1,z1) i B (x2,y2,z2), umjesto po zadatoj krivoj liniji lAB , može računati i po nekoj drugoj krivoj liniji l’AB , na kojoj je odnos vektora E i dl povoljniji za računanje, pri računanju magnetnog fluksa kroz neku površ s, koju ograničava zadata kontura C, moguće je umjesto računanja magnetnog fluksa kroz tu zadatu površ s, računati magnetni fluks i kroz neku drugu površ s’, na kojoj je odnos vektora B i no povoljniji za proračune nego na izvornoj-polaznoj-površi s. Pri tome se mora jedino poštivati ograničenje da i ta nova površ s’, za svoju granicu ima istu konturu C. 8.4 Određivanje rada elektromagnetnih sila pomoću magnetnog fluksa Ukoliko se provodna, zatvorena kruta kontura C, sa stalnom jednosmjernom strujom I, nalazi u magnetnom polju, okarakterisanom sa vektorom magnetne indukcije B , tada na svaki strujni element Idl te strujne konture, djeluje elementarna elektromagnetna sila dF, određena relacijom dF = (I dl x B ). Pod pretpostavkom da ta strujna kontura nije fiksirana u prostoru, pod djelovanjem elektromagnetne sile dF, ta kontura će poćeti da se pomjera, pa će elektromagnetna sila dF tokom pomjeraja strujnog elementa Idl , za dužinu dl1, izvršiti elementarni rad δA = dF · dl1 (8.11) Bez umanjenja opštosti, u tekućim analizama moguće je smatrati da se vektori B i dl , nalaze u xoy ravnini, zbog čega će sila dF djelovati u pravcu z ose Descartesovog pravouglog koordinatnog sistema. Lako se uočava da se relacija (8.11) može pisati i u obliku (8.12), dakle kao, δA = (I dl x B )· dl1 (8.12) Neka vektor dl1 , koji označava pravac i smjer pomjeranja strujnog elementa (I · dl) pod djelovanjem elektromagnetne sile dF, zaklapa sa vektorom te sile dF neki ugao α. S obzirom da se mješoviti vektorski proizvod (dl x B ) · dl1 lako može transformisati u oblik: ( dl1 x dl ) · B = B · (dl1 x dl ) = B · (dS) = δФ dolazi se do relacije, δФ = B · (dS), kojom se označava elementarni fluks vektora magnetne indukcije B , kroz elementarnu površ dS, koju prebriše strujni element I·dl, tokom svog prostornog pomjeranja za dužinu dl1 (u prethodnoj relaciji treba primjetiti da je vektorski proizvod: dl1 x dl = dS , ponovo vektor, ali takav da njegov intenzitet određuje površinu paralelograma, konstrisanog nad vektorima dl1 i dl kao matičnim stranicama tog paralelograma, pri čemu je smjer i pravac tog vektora, određen tako da vektori: dl1, dl i (dl1 x dl ) formiraju desni trijedar).

3

Nije teško primjetiti da je ugao α, između vektora dF i dl1 , podudaran sa uglom između vektora magnetne indukcije B i vektora jedinične normale n’o za elementarnu površ dS, prebrisanu tokom pomjeranja strujnog elementa. Vektor jedinične normale n’o za elementarnu površ dS, određen je prema pravilima vektorske algebre, relacijom: (dl1 x dl ) n’o = —————————— (dl1) (dl) sin ((dl1), (dl)) U skladu sa prethodnim zaključcima, rad elektromagnetne sile pri prostornom pomjeranju strujnog elementa Idl za dužinu dl1 , može se, umjesto na način iskazan relacijom (8.12), predstaviti i u alternativnom obliku δ A = (I dl x B ) · dl1 = (I · δФ ) (8.13) koji pokazuje da elementarni rad ima isti predznak, kao i elementarni fluks δФ. S obzirom da se razmatrana strujna kontura, može izdjeliti na vrlo veliki broj strujnih elemenata, ukupni rad elektromagnetne sile, koji se obavi tokom translatornog pomjeranja strujne konture C za dužinu dl1, jednak je zbiru elementarnih radova oblika (8.13), te se može pisati da je: d A = ∫ δA = I ∫

S

δФ = I · dФ (8.14)

gdje je simbol dФ upotrebljen za označavanje magnetnog fluksa kroz površ omotača cilindrične površi, formiranog tokom translatornog pomjeranja konture C, za dužinu dl1. Ako simbolom Ф1, označimo fluks vektora magnetne indukcije B, kroz konturu C u njenom početnom položaju, a simbolom Ф2 , fluks vektora magnetne indukcije B, kroz konturu C u njenom krajnjem položaju (dakle nakon što se ona translatorno pomjerila za odstojanje dl1), tada se na osnovu zakona o konzervaciji magnetnog fluksa, relacija (8.9), može pokazati da je: dФ = Ф2 - Ф1 (8.15) Relacije (8.13) i (8.15) omogućavaju da se izvede i nekoliko veoma važnih zaključaka koji potpomažu potpunijem razumjevanju analiziranih magnetnih pojava. U tom smislu, treba naglasiti pravilo da kada se kolo pomjera pod djelovanjem elektromagnetne sile, tada je rad tih sila pozitivan , pa je i priraštaj magnetnog fluksa dФ pozitivan, odnosno magnetni fluks se povećava. Dakle elektromagnetne sile djeluju tako da nastoje strujnu konturu postaviti u položaj u kojem ona zauzima maksimalni magnetni fluks. Tokom prethodnih analiza nijednom nismo uzeli u obzir djelovanje sopstvenog magnetnog fluksa, dakle magnetnog fluksa nastalog uslijed prolaska stalne jednosmjerne struje I, kroz zatvorenu provodnu konturu C. Zašto?

4

Odgovor na ovo pitanje relativno je jednostavan. Naime, ako kontura C, tokom svog prostornog pomjeranja ne mijenja oblik, što se i podrazumjeva zbog polazne pretpostavke da je ona kruta, tada taj sopstveni magnetni fluks ostaje konstantan u odnosu na strujnu konturu i tokom ostvarenog njenog translatornog pomjeranja (tokom pomjeranja ne mijenja se položaj između strujne konture i sopstvenog magnetnog fluksa jer on prati konturu - dakle pomjera se sa njom). Rad sila uzrokovan sopstvenim magnetnim fluksom jedank je nuli, jer tako nastale elektromagnetne sile ne nastoje pomjeriti konturu. Međutim ukoliko bi razmatrana kontura bila elastična, tada bi ona mogla mijenjati i svoj oblik, pod djelovanjem elektromagnetnih sila, pri čemu bi njihovo djelovanje bilo tako da bi one nastojale konturi obezbjediti oblik, pri kojem ona obuhvata maksimalanu površinu odnosno maksimalni magnetni fluks. U skladu sa matematičkim normama, moguće je dokazati da zatvorena kontura ograničava maksimalnu površinu, kada ta kontura poprimi kružni oblik. Ukoliko strujna kontura ima već kružni oblik, ili je pak pod djelovanjem elektromagnetnih sila poprimila kružni oblik, tada elektromagnetne sile i dalje naprežu tu strujnu konturu, nastojeći da je raskinu i da na taj način još više povećaju iznos obuhvaćenog magnetnog fluksa. 8.4.1 Određivanje elektromagnetnih sila pomoću magnetnog fluksa Pri translatornom pomjeranju strujne konture, unutar stranog magnetnog polja, rezultantna sila, F , pod čijim uticajem se ostvaruje pomjeranje te strujne konture u nekom pravcu l1 za dužinu dl1, obavlja mehanički rad dAF , određen relacijom: dAF = F ·dl1 = F · dl1 · cos ( Fo ,dl1o ) = Fl · dl1 (8.16) Pod pretpostavkom da je tokom ovog pomjeranja u strujnoj konturi bila uspostavljena stalna jednosmjerna struja I, te da je ostvareni priraštaj magnetnog fluksa, kroz prebrisanu površ, tokom predmetnog translatornog pomjeranja, dФ , tada je moguće na osnovu relacija (8.14) i (8.16) uspostaviti i relaciju: Fl · dl1 = I · dФ (8.17) Ova relacija otvara mogućnost za određivanje komponente elektromagnetne sile Fl , u pravcu generalizirane koordinate l1 . dФ Fl = I · ——— (8.18) dl1 Korisno je napomenuti da posljednja relacija ima i opštu važnost, pa se može koristiti i pri računanju elektromagnetne sile, koja nastaje i u uslovima kada se promjena magnetnog fluksa dešava uslijed nehomogene prirode magnetnog polja, odnosno kada je intenzitet vektora magnetne indukcije, funkcija prostornih koordinata, dakle B = B (x,y,z).

5

8.5 Magnetne osobine materijala Prethodna razmatranja magnetskih pojava, provođena su uglavnom u uslovima kada nije potencirana priroda medija, unutar kojih su se te pojave dešavale. S obzirom na usku povezanost kondukcionih struja i magnetnih pojava, po pravilu su analizirani primjeri, sadržavali određene provodne materijale (bakar), smještene u vazduhu, a tražene karakteristične fizičke veličine, poput magnetne sile, ili pak magnetne indukcije, računate su u pojedinim tačkama okolne vazdušne sredine. Ipak svako potpunije sagledavanje magnetnih pojava, nužno nalaže da se provjeri ima li i vrsta medija, unutar kojeg se dešava predmetni procesi, uticaj na njihove rezultate. U tom kontekstu prva saznanja, koja su trebala biti osnova za sveobuhvatan odgovor na takva pitanja, sticana su uglavnom kroz eksperimentalna istraživanja, da bi nakon toga tek uslijedili i pokušaji njihovog analitičkog opisivanja. Na slici broj 8.3 prikazan je svitak dužine 40 cm, unutrašnjeg poluprečnika 5 cm i vanjskog poluprečnika 20 cm, formiran od ravnomjerno i gusto raspoređenih zavojaka, kroz koje se usmjerava stalna jednosmjerna struja I. Zbog postavljenog cilja da se u središtu takvog svitka, obezbjedi magnetna indukcija iznosa od 3 T, potrebno je obezbjediti visoke vrijednosti stalne jednosmjerne struje, zbog čega izvori koji obezbjeđuju tu struju, trebaju raspolagati električnom snagom od oko 400 kW. U cilju odvođenja stvorene toplote, kroz uptrebljene provodnike, koji su u obliku šuplje cijevi, ostvaruje se cirkulacija od oko 2 litra vode u sekundi. Da bi se stekao osjećaj veličine uspostavljene magnetne indukcije u središtu ovakvog solenoida, treba napomenuti da je ta vrijednost oko 100 000 puta veća od intenziteta magnetnog polja Zemlje. Mada na rubovima prikazanog svitka intenzitet magnetne indukcije opadne gotovo na polovinu središnje vrijednosti, upravo na tim djelovima zavojnice djeluje najjača elektromagnetna sila, jer je tu prostorna promjena vrijednosti magnetne indukcije i najveća ( ∂ Bz / ∂ z maksimalno - pogledati izraz (8.18 )). Unošenjem u taj prostor uzoraka različitih materijala, ali jednake mase, opaža se da se materijali mogu razvrstati u tri globalne skupine: U prvoj skupini su materijali na koje elektromagnetna sila svitka djeluje ka gore, dakle nastoji da takav uzorak istjera iz unutrašnjosti svitka. Takvi su materijali voda (-0,22 N/kg), bakar (-0,026 N/kg ), olovo (- 0, 37 N/kg), grafit (-1,1 N/kg) pri čemu je u zagradi naznačen intenzitet elektromagnetne sile po jedinici mase, a znak minus naznačava da elektromagnetne sile nastoje istjerati uzorak iz solenoida. Druga grupa materijala, karakteristična je po tome što elektromagnetne sile, koje djeluju na njih, nastoje uvući uzorke tih materijala u unutrašnjost svitka. Takva svojstva opažena su kod natrija (+0,2 N/kg), aluminijuma (+0,17 N/kg), bakarnog sufata (+2,2 N/kg), a znak plus označava da je smjer djelovanja elektromagnetnoh sila suprotan u odnosu na prethodni slučaj. Treća grupa materijala ima slične osobine kao i druga grupa, ali je intenzitet djelovanja elektromagnetnih sila mnogo izraženiji. To najbolje ilustruju vrijednosti relevantnih pokazatelja koji su: za željezo (+4000 N/kg), a za magnetit (+ 1200 N/kg). Opisani efekti nisu ovisni o smjeru električne struje kroz svitak, jer se oni ponavljaju u istom obliku i ako se smjer električne struje kroz svitak promjeni.

6

Prva grupa materijal pripada klasi dijamagnetskih materijala. Kada se takvi materijali izlože djelovanju stranog magnetnog polja, tada njihova unutrašnja materijalna struktura reaguje tako, da se magnetni momenti ekvivalentnih Amperovih struja predmetnog materijala, usmjere na način da stvore vlastito magnetno polje, koje pokušava oslabiti strano magnetno polje.

Slika broj 8.3 Svitak koji omogućava obezbjeđivanje magnetne indukcije u svom

središtu u iznosu od 3 T, a na svojim rubovima vrijednosti (∂ Bz / ∂ z) od 17 T/m Druga grupa materijal pripada klasi paramagnetskih materijala. Kada se takvi materijali izlože djelovanju stranog magnetnog polja, tada njihova unutrašnja materijalna struktura reaguje tako, da se magnetni momenti ekvivalentnih Amperovih struja predmetnog materijala, usmjere na način da stvore vlastito magnetno polje, koje pokušava podržati strano magnetno polje. Treća grupa materijala pripada klasi feromagnetnih materijala, koji se fenomenološki ponašaju čak donekle slično kao i paramagnetni materijali, ali je nivo njihove reakcije, u smislu podržavanja djelovanja stranog magnetnog polja, kud i kamo izraženiji. Kako eksperimentalni uslovi za ostvarivanje ogleda kao na slici 8.3, nisu praktični za svakodnevnu upotrebu, umjesto razvrstavanja materijala po osnovu registrovanja uspostavljene elektromagnetne sile, koja se manifestuje pri njihovom unošenju u strano magnetno polje, uvedeni su drugi parametri za iskazivanje njihovih magnetnih osobina. U tom smislu ako, se sa BoM označi intenzitet magnetne indukcije u nekoj tački M, kada se svitak nalazi u vazduhu, a simbol BmM označava intenzitet magnetne indukcije u istoj tački prostora M, ali nakon što se takav svitak postavi na jezgro od odabranog materijala, tada odnos: ( BmM / BoM ) određuje relativnu magnetnu propustljivost tog materijala.

7

Relativna magnetna propustljivost materijala je bezdimenziona veličina, koja ovisno o magnetnim osobinama testiranog materijala, ima slijedeće osobine: Za dijamagnetne materijale, relativna magnetna propustljivost ima vrijednost neznatno manju od 1, (1 - ε < μd < 1 ), za paramagnetne materijale relativna magnetna propustljivost ima vrijednost neznatno veću od 1, ( 1 < μp < 1 + ε) , dok kod feromagnetnih materijala relativna magnetna propustljivost ima vrijednost mnogo veću od 1 ( μFe >> 1). U elektrotehnici se često koristi i veličina, izvedena iz vrijednosti relativne magnetne propustljivosti, pomoću relacije: χm = μr – 1, a koja se naziva magnetna susceptibilnost. S obzirom na njenu definiciju i prethodno navedene iznose za relativnu magnetnu propustljivost različitih materijala, u tabelama 1, 2 , su date vrijednosti magnetne susceptibilnosti za neke dijamagnetne i paramagnetne materijale. Tabela broj 8.1 Dijamagnetni materijal

Magnetna susceptibilnost

bizmut -16,0·10-5

srebro -2,64·10-5 bakar -1,00·10-5 voda -0,90·10-5 Tabela broj 8.2 Paramagnetni materijal

Magnetna susceptibilnost

platina +2,70·10-4

aluminijum +1,96·10-5 kiseonik +1,81·10-6 vazduh +0,36·10-6 Za feromagnetne materijale, koji imaju poseban značaj u elektrotehnici, relativna magnetna propustljivost nije konstantna veličina. Stoga se za magnetnu susceptibilnost feromagnetnih materijala i ne može formirati odgovarajuća tablična interpretacija u formi kao što je to učinjeno za dijamagnetike i paramagnetike. S obzirom da je u prethodnim razmatranjima, više puta naglašavano da se reakcija materijalnih sredina na djelovanje stranog magnetnog polja, veoma dobro izražava preko Amperovih mikrostruja, postavlja se pitanje je li moguče takve ocjene unijeti iu analitičke izraze koji opisuju pojave u različitim materijalnim sredinama kada se iste nalaze u stranom magnetnom polju. Sam magnetni moment elementarne strujne konture je nepraktičan zbog svoje monijaturne strukture. Međutim ukoliko se uvede neki prosječni pokazatelj stanja magnetnih momenata elementarnih strujnih kontura unutar nekog volumena, onda se situacija mijenja iz korjena. U tom smislu je i definisana nova vektorska veličina, vektor magnetizacije M , kao količnik sume magnetnih momenata smještenih unutar elementarnog volumena ∆V, i upravo iznosa tog elementarnog volumena ∆V.

8

( Σ m )u ∆V M = ————— (8.19) ∆V Jedinica mjere za intenzitet vektora magnetizacije je ( A/m ).Vektor magnetizacije se može tumačiti i kao zapreminska gustina magnetnih momenata. U tom smislu moguće je pokazati da se algebarska suma Amperovih struja, ΣimA , obuhvaćenih zatvorenom konturom C, unutar koje se našla i neka materijalna sredina, može povezati sa vektorom magnetizacije M , pomoću relacije: ΣimA = ∫

C

M · dl (8.20)

Slika broj 8.4 Tanak sloj jednoliko namagnećenog materijala, sa vektorom magnetizacije

koji je okomit na gornju površinu tog materijala, u smislu stvaranja vanjskog magnetnog polja ponaša se isto kao i strujna traka koja ograničava tu površinu

9

Posljednja relacija otvara prostor da se pristupi poopštenju Amperovog zakona tako da on važi ne samo za vakum (odnosno vazduh) nego za bilo koju materijalnu sredinu. Na slici broj 8.4 prikazana je geneza formiranja relacije (8.20). Nije teško uočiti da važi relacija M · dl = M dz, jer je u važnosti i relacija dz = dl (cos (Mo, dlo )). U skladu sa tretmanom tankog sloja jednoliko namagnećene materije, koji je ilustrovan na lijevom dijelu slike 8.4, moguće je uvažavati i znatno deblji sloj istog materijala poput onog što je prikazan na desnom dijelu slike 8.4. Relacija (8.20) otvara također i prostor da se pristupi poopštenju Amperovog zakona, sa ciljem da on važi ne samo za vakum (odnosno vazduh) nego i za bilo koju drugu materijalnu sredinu. 8.6 Uopšteni oblik Ampèrovog zakona Prema osnovnom obliku Ampèrovog zakona, čija važnost je ograničena na vakum, odnosno vazduh, uspostavljena je veza između cirkulacije (kruženja) vektora magnetne indukcije B, po zatvorenoj konturi C i algebarske sume konduktivnih struja, usmjerenih kroz provodnike, koji su obuhvaćeni tom istom konturom C. ∫

C

B · dl = μo ( Σ i )unutar C (8.21)

Kada se analizira naznačena veza u nekoj drugoj materijalnoj sredini, tada je neophodno uzeti u obzir i reakciju te sredine, na postojeće okolnosti. Reakciju sredine na djelovanje stranog magnetnog polja najpšovoljnije je uvažavati preko Ampèrovih mikro struja, obuhvaćenih tom istom konturom ( ΣimA )unutar C . Proširivanjem relacije (8.21) sa tim Ampèrovim mikro strujama, formira se relacija (8.22). ∫

C

B · dl = μo (( Σ i )unutar C + ( ΣimA )unutar C ) (8.22)

Kombinovanjem relacija (8.20) i (8.22) dobijaju se relacije (8.23) i (8.24): ∫

C

B · dl = μo (( Σ i )unutar C + ∫C

M · dl ) (8.23 )

∫

C

(B / μo – M )· dl = (( Σ i )unutar C (8.24)

Uvede li se novi vektor , vektor jačine magnetnog polja H, H = (B / μo – M ) , tada se relacija (8.24) može pisati i u obliku (8.25) koji se naziva Ampèrov zakon u uopštenom obliku, jer važi za bilo koju materijalnu sredinu. ∫

C

H· dl = (( Σ i )unutar C (8.25)

10

Na osnovu prethodno izloženog rasuđivanja proizilazi da je i u magnetnom polju, za sveobuhvatnije sagledavanje tehnički interesantnih problema, povoljno uvesti tri vektora , vektore B, M i H međusobno povezane relacijom H = (B / μo – M ) ( slično kao što su u elektrostatici uvedeni vektori E, D i P i povezani relacijom D = εo E + P ) . 8.7 Karakteristike feromagnetnih materijala