PR 6 Gaussov Zakon Za Elektricno i Magnetsko Polje ZA STUDENTE

13.4.2010 13:29

1

[ J.C.Maxwell ] [ Gaussov zakon za električno polje ] [Gaussov zakon za magnetsko polje]

[Faradayev zakon indukcije] [Amperov zakon] [Maxwellove jednadžbe u integralnom obliku]

[Maxwellove jednadžbe u diferencijalnom obliku] [Energija elektromagnetskog polja]

“( Maxwellovo djelo)...najtemeljitije i najplodnije koje je fizika iskusila od vremena Newtona.”

A. Einstein

MAXWELLOVE JEDNADŽBE• teorija ujedinjenog elektromagnetskog polja ;

• temelj klasične elektrodinamike i svih proračuna koji se odnose na EM valove i njihovo širenje kroz prostor

• 4 temeljne jednadžbe elektrodinamike za mirna sredstva

(1777 - 1855)(1775 - 1836) (1791 - 1867)

13.4.2010 13:29

2




13.4.2010 13:29

3

Gaussov zakon za električno polje

MAXWELLOVE JEDNADŽBE

ELEKTRIČNO POLJE MAGNETSKO POLJEQQ

Q

Gaussov zakon za magnetsko polje

Faradayev zakon indukcije

Poopćeni Amperov zakon




PREGLED MAXWELLOVIH JEDNADŽBI:

Integralni oblik: Diferencijalni oblik:



Faradayev zakon indukcije

Amperov zakon

13.4.2010 13:29

4




Osnovna jednadžba vektora električnog pomaka

�D

Električna influencija ; influencijsko djelovanje

Električni dipol

d

vektor električnog pomaka�D

odreñuje influencijsko djelovanje električnog polja na tijelo koje se unese u to polje

max QD nS

=� �

n�- normala na pozitivnu pločicu

-najveći influencirani nabojmaxQ

S - površina pločice

Iznos vektora jednak je gustoći maksimalno influenciranog naboja na površini metala u električnom polju ; mjerna jedinica : Cm-2

- u vakuumu i dielektriku imaju isti smjer i podudaraju se za naboje u mirovanju

, � �D E

13.4.2010 13:29

8

tok električnog polja kroz površinu S

Uz poznati kut α:

[ J.C.Maxwell ] [ Gaussov zakon za elektri čno polje ] [Gaussov zakon za magnetsko polje]



�S

vektor gustoće električnog toka (vektor ELEKTRIČNOG

POMAKA)

υ

→S

→D

9

r

→D

→S

Q

Silnice okomito probadaju kuglinu plohu. Iznos vektora D jednak u svim točkama kugline plohe.

� Polje na površini kugle :

24 R

QE

πε=

�Tok električnog polja:

QRR

QRESD ==⋅⋅=⋅=Φ π

πεεπε 2

22 4

44


Koliki je tok električnog polja točkastog naboja Q kroz neku zatvorenu plohu ?

Tok električnog polja kroz neku kuglinu plohu proporcionalan je naboju unutar te kugle i ne ovisi o polumjeru kugle.

10

→D→

n

dS

ϑ

S

� Ako promatramo zatvorenu plohu proizvoljnog oblika, tok električnog polja tada je jednak:

→→→→→→∆⋅=+∆⋅+∆⋅=Φ ∑ i

ii SDSDSD ...2211

� U graničnom slučaju :

0lim d

ii iS S

D S D S∆ →

Φ= ⋅∆ = ⋅∫∫� ��

�

Gaussov zakon za električno poljeOpćenito vrijedi:Tok električnog polja kroz zatvorenu plohu proizvoljnog oblika jednak je ukupnom naboju unutar te plohe !

Dokaz:

0Si∆ →

Tok električnog polja kroz zatvorenu plohu S jednak je plošnom integralu skalarnog produkta preko te plohe.

dD S⋅��

prva Maxwellova jednadžba u integralnom obliku

( GAUSSOV ZAKON ELEKTROSTATIKE )

Gaussov zakon za elektrostatsko

polje

13.4.2010 13:29

11

[ J.C.Maxwell ] [ Gaussov zakon za elektri čno polje ] [Gaussov zakon za magnetsko polje]



GAUSSov ZAKON za ELEKTROSTATSKO POLJEosnovni zakon elektrostatike

Vrijedi za bilo koju zatvorenu plohu oko točkastog naboja

Ako u volumenu zatvara plohu S postoji više točkastih naboja:

dQdV

ρ =

prostorna (volumna) gustoća naboja

Tok električnog polja kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je ukupnom električnom naboju obuhvaćenom tom plohom


Elektrostatsko polje osamljene kugleCOULOMBOV ZAKON

24Q rD rrπ

= ⋅�� Električni

pomak kugle

24

d 0 ,

Q rrr

E s D E

Eπε

ε

⋅

⋅ = =∫

=�

� ��

�

�

24el

Q q rF rrπε⋅= ⋅��

Unesemo li u polje osamljene kugle probni (sitni) naboj q, na njega će djelovati električna sila:

COULOMBOV ZAKON za električne naboje

ELEKTRIČNO POLJE kugle

�DS

�d

Rr

Električna potencijalna energija1 1d

4

1 ( )4

B

ABB AA o

p pB pA AB

pBo

QQW F s r r

E E E W

QQr E r r

πε

πε

′= ⋅ =− −∫

∆ = − =−

′→∞ =

� �

d dB B

AB elA A

pB pA ABAB

QW F s E s

W E E W

′=′ = ⋅ ⋅∫ ∫

′ = − =−

� ��

( ) dA

p Ar

E r Q E s∞′= ⋅∫� �

Potencijalna energija naboja Q’ koji se nalazi u točki A električnog polja jakosti E, jednaka je radu električne sile obavljenom pri udaljavanju naboja Q’ iz točke A u beskonačnost

ELEKTRIČNI POTENCIJAL i NAPON

( )d d

( ) d d

A

A

A

A

r

r

r

r

E rp E s E sQ

r E s E s

ϕ

ϕ

∞

∞

∞

∞

= = ⋅ =− ⋅∫ ∫′

=− ⋅ = ⋅∫ ∫

� ��

� ��

Potencijal neke točke električnog polja jednak je radu elektrostatskih sila pri pomaku jediničnog pozitivno naboja iz odabrane referente točke.

Električni potencijal i napon

+

-

+ - Ekvipotencijalne plohe

Električno polje i gradijent potencijala

( ) dr

r E rϕ∞

=− ⋅∫��

Def.

Električni potencijal jednak je linijskom integralu skalarnog produkta vektora električnog polja E i dijela puta ds=dr na proizvoljnoj putanji od nekog tijela ili točke prema referentnoj točki nultog potencijala (npr. površina Zemlje)

d d

d d ,

( , , ) ( , , ) ( , , ) , ,

dd

grad

E r

E r

x y z x y z x y zE E Ezx yx y z

Er

E

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

=− ⋅

=−

∂ ∂ ∂=− =− =−∂ ∂ ∂

=−

=− =−∇

� �

� �

Prva Maxwellova jednadžba(Gaussov zakon elektrostatike) u DIFERENCIJALNOM OBLIKU

�Maxwellove jednadžbe u integralnom obliku vrijede za konačne volumene i površine u prostoru

�Za opisivanje ponašanje električnog i magnetskog polja u nekoj točki prostora jednadžbe napisane u integralnom obliku MORAJU se TRANSFORMIRATI u diferencijalni oblik.

� Što se dogaña kad se volumen i površina po kojima integriramo smanjuju, tj. kada je plohom integracije zatvoreno infinitezimalno područje, odnosno kada graničnim prijelazom :

0V∆ →

Prva Maxwellova jednadžba (Gaussov zakon elektrostatike) u DIFERENCIJALNOM OBLIKU

0 0

0

d dlim lim

V V

dlim

V

S VV V

SV

D S V

D S

ρ∆ → ∆ →

∆ →

⋅∫∫ ∫∫∫=∆ ∆

⋅∫∫ =∆ =∇⋅

��

�

�� div D D

Divergencija vektora D = tok vektora po jediničnom volumenu u infinitezimalno malom okolišu promatrane točke

Prostorna gustoća naboja ρ u promatranoj točki

div D D ρ=∇⋅ =� � �

Prva Maxwellova jednadžba u DIFERENCIJALNOM OBLIKU

Pozitivni električni naboji su IZVORI, a negativni su PONORI ELEKTRIČNOG POLJA

Izračunavanje divergencije vektora :u Cartesijevu koordinatnom sustavu

�D

�

div D

Dy+dDy

Dx+dDx

Dz+dDz

dx

dy

dz

di

d

v

dS

DD Dyx zD S Vx y z

DD Dyx zx

DD

y z

Dyx zDx y z

ρ

∂∂ ∂⋅ = + +∫∫ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂+ + =∂ ∂

∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

∂

�

�

�

�

13.4.2010 13:29

21




Magnetsko polje predočavamo silnicama Više silnica = magnetska indukcija i jakost magnetskog polja jače

Magnetsko polje električne strujeH. C. Oersted (1777.-1851.), danski fizičar, otkrio vezu izmeñu električnih i magnetskih pojava ; Oerstedov pokus, 1819. god.

B�

H�

- Magnetska indukcija (gustoća magnetskog toka)

- Jakost magnetskog polja

Biot-Savartov zakon[J. B. Biot (1774.-1862.), F. Savart (1791.-1841.)]- Zakon za izračunavanje jakosti magnetskog polja (ili magnetske indukcije) na bilo kojem mjestu i za bilo koji oblik vodiča kojim teče električna struja

3

3

dd

4

dd

4

d

o

o

I s rB

r

I s rH

r

B B

µπ

π

⋅ ×= ⋅

⋅ ×=

= ∫

� ��

� ��

� �

Vodić kojim teče struja u magnetskom polju

( )F I l B= ×�� d (d )

d

F I s B

F I s B

= ⋅ ×

= ×∫

� ��

� ��

Sila izmeñu dvaju vodiča kojima teku električne struje

1 2

2elmagF I Is r

µ π∆ ⋅=∆

Def. mj. jedinice AMPER:ona stalna struja koja tokom kroz dva beskonačno duga ravna vodića, uzrokuje u vakuumu izmñu njih silu od 0.2 µN po metru duljine kada su vodići na udaljenosti 1 m

720

N4 10 A

µ µ π −= = ⋅

26

� Tok magnetskog polja kroz površinu S,okomitu na magnetske silnice jednak je produktu magnetske indukcije (gustoća magnetskog toka) i površine.

→S →

B[ ]WbVsTmBSB ===Φ 2

→B

→→= nSS

ϑ

� Silnice nisu okomite na površinu:

ϑcosBSSBB =⋅=Φ→→


27

→B→

Sd

� Odreñivanje magnetskog toka kod plohe proizvoljnog oblika

→→⋅=Φ ∫∫ SdB

S

B

GAUSSOV zakon

Tok vektorskog polja kroz zatvorenu plohu jednak je zbroju svih izvora unutar plohe.


Tok magnetskog polja jednak je plošnom integralu vektora magnetske indukcije po površini kroz koju računamo tok !

28

� Magnetske silnice su zatvorene krivulje i broj silnica koje ulaze u neku zatvorenu plohu jednak je broju silnica koje izlaze iz te plohe odnosno magnetski tok kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je nuli.

→B

S

SN

Ukupni tok magnetskog polja kroz zatvorenu plohu


Koliki je magnetski tok kroz bilo koju zatvorenu plohu ?

N S

→B

Sferu (kuglu)valjak

Druga Maxwellova jednadžba(Gaussov zakon za magnetizam)

0S

B d S→ →

⋅ =∫∫�

Magnetski tok kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je nuli, tj. nema izoliranih magnetskih naboja

Druga Maxwellova jednadžba u integralnom obliku (GAUSSov zakon za magnetizam)

div 0B B=∇⋅ =� � �

Druga Maxwellova jednadžbau diferencijalnom obliku

Documents

PR 6 Gaussov Zakon Za Elektricno i Magnetsko Polje ZA STUDENTE