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8.1 平行四边形 (2). 柏林庄中心初级中学 王瑞胜. 回顾与思考. 证明命题的一般步骤 :. (1) 理解题意 : 分清命题的条件 ( 已知 ) 和结论 ( 求证 );. (2) 根据题意 , 画出图形 ;. (3) 结合图形 , 用符号语言写出“已知”和“求证” ;. (4) 分析题意 , 探索证明思路 ( 由 “ 因 ” 导 “ 果 ” , 执 “ 果 ” 索 “ 因 ” . );. (5) 依据思路 , 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 ;. (6) 检查表达过程是否正确 , 完善. M. A. A. A. D. N. D. - PowerPoint PPT Presentation
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8.1平行四边形 (2)
柏林庄中心初级中学 王瑞胜
证明命题的一般步骤 :(1)理解题意 :分清命题的条件 (已知 )和结论(求证 );(2)根据题意 ,画出图形 ;
(3)结合图形 ,用符号语言写出“已知”和“求证” ;(4)分析题意 ,探索证明思路 ( 由“因”导“果” , 执“果”索“因” .);(5)依据思路 ,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 ;
(6)检查表达过程是否正确 ,完善 .
回顾与思考
定理 : 平行四边形的对边相等 .
证明后的结论 , 以后可以直接运用 .
B
D
C
A
∵四边形 ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,BC=DA.定理 : 平行四边形的对角相等 .
∵四边形 ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C, ∠B=∠D.定理 : 平行四边形的对角线互相平分 .∵四边形 ABCD是平行四边形,∴ CO=AO,BO=DO.
B
D
C
A
O
定理 : 夹在两条平行线间的平行线段相等 .∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.
B
D
C
AM N
P Q
回顾与思考
定理 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
B
D
C
A
已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,AB=CD,BC=DA.求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形 . 可转化为证明两组对边分别平行 , 从而作辅助线 ,用全等三角形来证明相应的角相等 .证明 : 连接 AC.
∵ AB=CD,BC=DA,AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(SSS).∴∠1= 2, 3= 4.∠ ∠ ∠∴ AB∥CD,CB∥AD.∴四边形 ABCD是平行四边形 .
123
4
平行四边形的判定
定理 : 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .
已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,AB∥CD,AB=CD.求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形 . 可转化证明两组对边分别相等 , 从而作辅助线 , 用全等三角形来证明相应的边相等 .证明 : 连接 AC.
∵ AB∥CD, ∴∠1= 2.∠
∵ AB=CD,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SAS)..
∴四边形 ABCD是平行四边形 .∴ BC=DA.
B
D
C
A1
2
平行四边形的判定
你还有其它证法吗?
定理 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形的 .已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 , 对角线AC,BD相交于点 O,CO=AO,BO=DO.求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .
证明 :∵ CO=AO,BO=DO, 1= 2,∠ ∠∴△AOD≌△COB(SAS).
∴∠3= 4.∠
∴ AD∥CB.
同理 ,AB∥CD.
∴四边形 ABCD是平行四边形 .
B
D
C
A
O4
3
2
1
平行四边形判定
你还有其他证法吗?
定理 : 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 .
已知 : 如图 , 在四边形 ABCD中 ,∠A=∠C,∠B=∠D.
求证 : 四边形 ABCD是平行四边形 .分析 : 要证明四边形 ABCD是平行四边形,可转化为证明两组对边分别平行,从而转化为相关的边角关系来证明 .证明 :∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=3600.
∴∠A+∠B=1800.
∴ AD∥BC.
B
D
C
A
∴ 2∠A+2∠B=3600.
同理 ,AB∥CD. ∴四边形 ABCD是平行四边形 .
平行四边形的判定
已知 : 如图 .
求证 : 四边形MNOP是平行四边形 .分析 : 这是一道综合性题目 , 利用勾股定理 , 方程和平行四边形的判定进行计算推理可获证 .证明 : O
M
N
P
45x-3
11-x
x-5 ,453 222 xx
.8 x.5 POMN .3 ONPM
∴四边形MNPO是平行四边形 .
做一做
已知 : 如图 , 在□ ABCD中 ,BF=DE.求证 : 四边形 AFCE是平行四边形 .
分析 : 由已知的平行四边形和 BF=DE可知 ,CE=AF, 则转化为利用一组对应边平行且相等来证明 .证明 :
∴DC∥AB,DC=AB.
∵ DE=CF,
∴ CE=AF,
∴四边形 AFCE是平行四边形 .
∵四边形 ABCD是平行四边形 ,
A B
CD E
F
你还有几种不同的证法
随堂练习
已知 : 如图 , 在□ ABCD中 ,∠ABC的平分线与 AD相交于点 P. 求证 :PD+CD=BC.分析 : 要证明两条线段的和等于另一条线段 , 可以将 BC分割为两部分 , 来证明相应的线段相等 . 如将 CD平移 ( 过 P作 CD的平行线 ) 到 PE 的位置 , 则可利用等角对等边来证明 PE=BE,从而问题得证证明 : 过点 P作 PE∥CD, 交 BC于点 E.∵四边形 ABCD是平行四边形 ,
∴ PE∥CD∥AB,∴ 四边形 PDCE是平行四边形 , 1∠ =∠ 3…
∵∠1 =∠ 2.∴∠3 =∠ 2.
∴ PE=BE.
∴ AB∥CD,AD∥BC.
∴ PD+CD=BE+EC=BC.
D
B
C
A
P 3
1
E
12
∴ PD=EC,PE=CD.
随堂练习
定理 : 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
定理 : 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .
定理 :对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
定理 :两组对角分别相等的四边形是平行四边形 .
∵ AB=CD,AD=BC,∴四边形 ABCD是平行四边形 .
B
D
C
A
B
D
C
A
O
∵ AB∥CD,AB=CD,∴四边形 ABCD是平行四边形 .
∵ AO=CO,BO=DO,∴四边形 ABCD是平行四边形 .
∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形 ABCD是平行四边形 .
回顾思考
1. 已知 : 如图 , AC,BD是□ ABCD的两条对角线 , AE⊥BD,CF⊥BD垂足分别是 E,F.求证 :AE=CF.
证明 :
∴ AD=CB,AD∥BC. ∴∠1= 2.∠
∵∠AED=∠CFB=900,
∴△AED≌△CFB(AAS).
∴ AE=CF.
∵四边形 ABCD是平行四边形 ,
分析 : 要证明 AE=CF, 可转化全等三角形(△AED≌△CFB) 的对应边来证明 .
B
D
C
AF
E1
2
你还有几种不同的证法
随堂练习
独立作业
P78习题 8.2 1,2题P82习题 8.3 1,2题