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机械与运载工程学院湖南大学
College of Mechanical & Vehicle Engineering
Hunan University
崔向阳
四边形单元-等参元
第9讲:
有限单元法 崔向阳 2
等参单元 对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造
位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚
度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对
于矩形单元，相应的计算要简单的多。
矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边
界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合
使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通
过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形
单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（
包括高次曲边四边形单元）。
引入等参单元等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际
领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的
一步。
有限单元法 崔向阳 3
等参单元
等参单元：用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示出单元的几何坐标与位移的单元，称为等参单元。
如果坐标变换节点数多于位移插值的节点数，称为超参变换。反之，如果坐标变换节点数少于位移插值的节点数，则称为亚参变换。
等参单元的插值函数用自然坐标给出。
2 (x2, y2)
y
x 1 (1, 1) 2 (1, 1)
3 (1, +1) 4 (1, +1)
3 (x3, y3) 4 (x4, y4)
1 (x1, y1)
物理坐标系 自然坐标系
( , ) ( , ) e u N d
( , ) ( , ) e x N x
( , )
( , )
x x
y y
映射关系
有限单元法 崔向阳 4
等参单元
( , )
( , )
x x
y y
1 2 3 4
1 2 3 4
x
y
( , )
( , )
i i i
i i i
x x
y y
节点条件：
1 1 2 1 3 1 4 1 1
2 1 2 2 3 2 4 2 2
3 1 2 3 3 3 4 3 3
4 1 2 4 3 4 4 4 4
x
x
x
x
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
x
x
x
x
1 1 3 3
2 2 4 4
( , ) ( 1, 1) ( , ) (1,1)
( , ) (1, 1) ( , ) ( 1,1)
2 (x2, y2)
y
x 1 (1, 1) 2 (1, 1)
3 (1, +1) 4 (1, +1)
3 (x3, y3) 4 (x4, y4)
1 (x1, y1)
有限单元法 崔向阳 5
等参单元1 1
2 2
3 3
4 4
1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1 14
1 1 1 1
x
x
x
x
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1 14
1 1 1 1
y
y
y
y
1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
x N x N x N x N x
y N y N y N y N y
同理：
1 3
2 4
1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )
4 4
1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )
4 4
N N
N N
1
1
2
21 2 3 4
31 2 3 4
3
4
4
0 0 0 0
0 0 0 0
x
y
x
yN N N Nx
xN N N Ny
y
x
y
几何坐标
( , ) ( , ) e x N x
有限单元法 崔向阳 6
等参单元
1 2 3 4
1 2 3 4
( ( , ), ( , )) ( , )
( ( , ), ( , )) ( , )
u x y u
v x y v
( , )
( , )
i i i
i i i
u u
v v
节点条件： 1 1 3 3
2 2 4 4
( , ) ( 1, 1) ( , ) (1,1)
( , ) (1, 1) ( , ) ( 1,1)
位移函数
有限单元法 崔向阳 7
等参单元
1 1 2 1 3 1 4 1 1
2 1 2 2 3 2 4 2 2
3 1 2 3 3 3 4 3 3
4 1 2 4 3 4 4 4 4
u
u
u
u
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
4 1 2 3 4
u
u
u
u
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1 14
1 1 1 1
u
u
u
u
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1 14
1 1 1 1
v
v
v
v
同理可得：
有限单元法 崔向阳 8
等参单元
1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
( ( , ), ( , ))
( ( , ), ( , ))
u x y N u N u N u N u
v x y N v N v N v N v
1 3
2 4
1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )
4 4
1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )
4 4
N N
N N
1
1
2
21 2 3 4
31 2 3 4
3
4
4
0 0 0 0( ( , ), ( , ))
0 0 0 0 ( ( , ), ( , ))
u
v
u
vN N N Nu x y
uN N N Nv x y
v
u
v
( ( , ), ( , )) ( , ) ex y u N d
有限单元法 崔向阳 9
等参单元
单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形状函数通过插
值的方式表示。形状函数用自然坐标给出。
( , ) ( , ) e x N x
( ( , ), ( , )) ( , ) ( , ) ex y u u N q
1 3
2 4
1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )
4 4
1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )
4 4
N N
N N
有限单元法 崔向阳 10
等参单元形函数性质
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
41
4
41
3
41
2
41
1
N
N
N
N
113 4at node 11
113 4at node 2
1
113 4at node 31
113 4at node 4
1
(1 )(1 ) 0
(1 )(1 ) 0
(1 )(1 ) 1
(1 )(1 ) 0
N
N
N
N
Delta 性质
4
1 2 3 4
1
14
14
[(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )]
[2(1 ) 2(1 )] 1
i
i
N N N N N
单位分解性
)1)(1(41 jjjN
1 (1, 1)
(u1, v1)
2 (1, 1)
(u2, v2)
3 (1, +1)
(u3, v3)
2a
4 (1, +1)
(u4, v4)
2b
有限单元法 崔向阳 11
等参单元
1 2 3 4
1 2 3 4
0
0 0 0 0( , ) 0
0 0 0 0
x
N N N N
N N N Ny
y x
B
( ( , ), ( , )) ( , ) ( , ) ( , )e ex y ε u N q B q
1 3
2 4
1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )
4 4
1 1(1 )(1 ) (1 )(1 )
4 4
N N
N N
i
i
N
x
N
y
?
应变矩阵
有限单元法 崔向阳 12
等参单元
i i i
i i i
N N Nx y
x y
N N Nx y
x y
求导链式法则
x y
x y
J
雅可比矩阵：
1 131 2 4
2 2
3 331 2 4
4 4
x yNN N N
x y
x yNN N N
x y
J
( , ) ( , ) e X N x
*1 1
ii
i i
NN
x
N N
y
JJ J
J
i i i
i ii
N x y N N
x x
N NN x y
y y
J
有限单元法 崔向阳 13
等参单元
1 1 1 1
1 1 1 1
( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , ))
( , ) ( , ) ( , )
T
e
T
e
Sx y x y hdxdy
h d d d d
K B DB
B DB J F J
单元刚度矩阵
二次函数
csV
V
e
t
fqNqNf dd
TT
单元载荷向量
有限单元法 崔向阳
借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。
等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算都是在自然坐标系中规格化的母单元内进行，相关运算大大简化。
不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的通用化程序。
等参单元
有限单元法 崔向阳 15
等参单元
四边形等参单元形状要求
不能有重节点
不能出现内角大于180o的情况
内角最好介于30o-150o之间（有限变形的情况）
避免出现
1
ii
i i
NN
x
N N
y
J
有限单元法 崔向阳 16
数值积分 计算刚度矩阵及等效节点载荷列阵的元素时，往往涉及到
复杂函数的定积分，在有限元分析中广泛采用数值积分方法。
一个函数的定积分可以通过n个结点的函数值的加权组合来表示
1 1
1 1
T T
e
e e e e edV hd d
K B DB B DB J
1
( ) ( )nb
i ia
i
f d A f
数值积分方法是一种近似的方法。
有限单元法 崔向阳 17
数值积分
梯形公式
( ) ( ) ( )2
b
a
b af x dx f a f b
y
xa b
线性函数得到精确积分值
有限单元法 崔向阳 18
数值积分
Simpson公式
( ) ( ) 4 ( ) ( )6 2
b
a
b a a bf x dx f a f f b
y
xa b
二次函数得到精确积分值
有限单元法 崔向阳 19
数值积分
Gauss积分
高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分。
高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式，用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分结果。
)()d(1
1
1jj
m
j
fwfI
1 1
1 11 1
( , )d d ( , )yx
nn
i j i j
i j
I f w w f
有限单元法 崔向阳 20
数值积分
m j wj Accuracy n
1 0 2 1
2 -1/3, 1/3 1, 1 3
3 -0.6, 0, 0.6 5/9, 8/9, 5/9 5
4 -0.861136, -0.339981,
0.339981, 0.861136
0.347855, 0.652145,
0.652145, 0.347855
7
5 -0.906180, -0.538469, 0,
0.538469, 0.906180
0.236927, 0.478629,
0.568889, 0.478629,
0.236927
9
6 -0.932470, -0.661209,
-0.238619, 0.238619,
0.661209, 0.932470
0.171324, 0.360762,
0.467914, 0.467914,
0.360762, 0.171324
11
有限单元法 崔向阳 21
数值积分
等参元中积分阶次的选择
积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工作量。
积分阶次的选择必须保证积分的精度。（完全精确积分）
很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分更好的精度。（减缩积分）
线性单元
完全精确积分 减缩积分
有限单元法 崔向阳 22
节点位移和约束反力
通过求解平衡方程即可解出全部未知的节点位移：
约束反力
把解出的d代入未经修改的平衡方程，即可得到约束反力：
关于上述方程的解算方法，一般不采用求逆的方法求解，而是直
接采用高斯消元法等求解线性方程组的方法求解求解。
施加边界条件后，得到修改后的平衡方程
fdK ~
(未约化的)
fKd1
~
fKd
有限单元法 崔向阳 23
应力处理
*
1 1 1 2 2 3 3 4 4
*
2 1 1 2 2 3 3 4 4
*
3 1 1 2 2 3 3 4 4
*
4 1 1 2 2 3 3 4 4
1 1, , , , , ,
3 3
1 1, , , , , ,
3 3
1 1, , , , , ,
3 3
1 1, , , , , ,
3 3
N N N N
N N N N
N N N N
N N N N
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ
3σ
*
3σ
*
1σ
*
4σ
*
2σ1σ2σ
4σ
*1 1
*2 2
*3 3
*4 4
3 1 31 , , 1
2 2 2
a b c b
b a b c
c b a b
b c b a
a b c
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
有限单元法 崔向阳 24
例题
(0,0)A
(0, 2)B
(4,0)D
(4, 1)C
1F
考虑一个平面应力问题如图所示，假设厚度h=1，材料为各项同性，杨氏模量为E=1，泊松比为ν=0，相关力和位移边界条件如图中所示，问题左端为固定约束。试用一个四边形单元分析此问题，四边形单元的网格划分如图所示。试求问题各节点位移u、v和应力σx，σy和σxy。
4
1
3
2
有限单元法 崔向阳 25
例题
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
41
4
41
3
41
2
41
1
N
N
N
N
对于四边形单元，其等参元形函数的表达式为：
1
1
1(1 )
4
1(1 )
4
N
N
2
2
1(1 )
4
1(1 )
4
N
N
3
3
1(1 )
4
1(1 )
4
N
N
4
4
1(1 )
4
1(1 )
4
N
N
1 (1, 1) 2 (1, 1)
3 (1, +1) 4 (1, +1)
4
1
3
2
1
2
34
有限单元法 崔向阳 26
例题选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为
1 2 3 4 0.3943 0.3943 0.1057 0.1057N N N N
1 (1, 1) 2 (1, 1)
3 (1, +1)4 (1, +1)
对于积分点1
1 2 3 4 0.3943 0.1057 0.1057 0.3943N N N N
1 11 2 3 4
2 2
1
3 31 2 3 4
4 4
2 0.3943
0 0.8943
x yN N N N
x y
x yN N N N
x y
J
1 3, 1 3
1 3,1 3
1 3,1 3
1 3, 1 3
有限单元法 崔向阳 27
例题
1
2 0.39431.7886
0 0.8943 J
1
1
0.5 0.2205
0 1.1181
J1
ii
i i
NN
x
N N
y
J
1 2 3 4 0.1102 0.2205 0.0295 0.1398N N N N
x x x x
1 2 3 4 0.4409 0.1181 0.1181 0.4409N N N N
y y y y
1
0.1102 0 0.2205 0 0.0295 0 0.1398 0
0 0.4409 0 0.1181 0 0.1181 0 0.4409
0.4409 0.1102 0.1181 0.2205 0.1181 0.0295 0.4409 0.1398
B
有限单元法 崔向阳 28
例题选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为
1 2 3 4 0.1057 0.1057 0.3943 0.3943N N N N
1 (1, 1) 2 (1, 1)
3 (1, +1)4 (1, +1)
1 3, 1 3
1 3,1 3
1 3,1 3
对于积分点2
1 2 3 4 0.3943 0.1057 0.1057 0.3943N N N N
1 11 2 3 4
2 2
2
3 31 2 3 4
4 4
2 0.1057
0 0.8943
x yN N N N
x y
x yN N N N
x y
J
1 3, 1 3
有限单元法 崔向阳 29
例题
2
2 0.10571.7886
0 0.8943 J
1
2
0.5 0.0591
0 1.1181
J1
ii
i i
NN
x
N N
y
J
1 2 3 4 0.0295 0.0591 0.1909 0.2205N N N N
x x x x
1 2 3 4 0.4409 0.1181 0.1181 0.4409N N N N
y y y y
2
0.0295 0 0.0591 0 0.1909 0 0.2205 0
0 0.4409 0 0.1181 0 0.1181 0 0.4409
0.4409 0.0295 0.1181 0.0591 0.1181 0.1909 0.4409 0.2205
B
有限单元法 崔向阳 30
例题选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为
1 2 3 4 0.3943 0.3943 0.1057 0.1057N N N N
1 (1, 1) 2 (1, 1)
3 (1, +1)4 (1, +1)
对于积分点3
1 2 3 4 0.1057 0.3943 0.3943 0.1057N N N N
1 11 2 3 4
2 2
3
3 31 2 3 4
4 4
2 0.3943
0 0.6057
x yN N N N
x y
x yN N N N
x y
J
1 3, 1 3
1 3,1 3
1 3,1 3
1 3, 1 3
有限单元法 崔向阳 31
例题
3
2 0.39431.2114
0 0.6057 J
1
3
0.5 0.3255
0 1.6511
J1
ii
i i
NN
x
N N
y
J
1 2 3 4 0.1628 0.3255 0.0755 0.0872N N N N
x x x x
1 2 3 4 0.17445 0.6511 0.6511 0.1745N N N N
y y y y
3
0.1628 0 0.3255 0 0.0755 0 0.0872 0
0 0.1745 0 0.6511 0 0.6511 0 0.1745
0.1745 0.1628 0.6511 0.3255 0.6511 0.0755 0.1745 0.0872
B
有限单元法 崔向阳 32
例题选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为
1 2 3 4 0.1057 0.1057 0.3943 0.3943N N N N
1 (1, 1) 2 (1, 1)
3 (1, +1)4 (1, +1)
1 3, 1 3
1 3, 1 3 1 3,1 3
1 3,1 3
对于积分点4
1 11 2 3 4
2 2
4
3 31 2 3 4
4 4
2 0.1057
0 0.6057
x yN N N N
x y
x yN N N N
x y
J
1 2 3 4 0.1057 0.3943 0.3943 0.1057N N N N
有限单元法 崔向阳 33
例题
4
2 0.10571.2114
0 0.6057 J
1
4
0.5 0.0872
0 1.6511
J1
ii
i i
NN
x
N N
y
J
1 2 3 4 0.0436 0.0872 0.1628 0.2064N N N N
x x x x
1 2 3 4 0.1745 0.6511 0.6511 0.1745N N N N
y y y y
4
0.0436 0 0.0872 0 0.1628 0 0.2064 0
0 0.1745 0 0.6511 0 0.6511 0 0.1745
0.1745 0.0436 0.6511 0.0872 0.6511 0.1628 0.1745 0.2064
B
有限单元法 崔向阳 34
例题
4
1
T||
i
iiiyixi
ehww JDBBK
单元局部刚度矩阵为
1
1
1
4321
4321
h
wwww
wwww
yyyy
xxxx2
1 0 1 0 0
1 0 0 1 01
1 0 0 0.50 0
2
E
v
D
代入可得
0.8606 0.1731- 0.4038 0.1538- 0.5288- 0.1538 0.7356- 0.1731
0.1731- 0.5673 0.0962 0.1154 0.1538 0.3654- 0.0769- 0.3173-
0.4038 0.0962 1.1298 0.0577 1.0673- 0.0577- 0.4663- 0.0962-
0.1538- 0.1154 0.0577 0.6442 0.1923 0.5192- 0.0962- 0.2404-
0.5288- 0.1538 1.0673- 0.1923 1.1923 0.1923- 0.4038 0.1538-
0.1538 0.3654- 0.0577- 0.5192- 0.1923- 0.7692 0.0962 0.1154
0.7356- 0.0769- 0.4663- 0.0962- 0.4038 0.0962 0.7981 0.0769
0.1731 0.3173- 0.0962- 0.2404- 0.1538- 0.1154 0.0769 0.4423
eK
1, (1) 2, (3) 3, (4) 4, (2)
1, (1)
2, (3)
3, (4)
4, (2)
有限单元法 崔向阳 35
例题
1.1298 0.0577 1.0673- 0.0577- 0.4038 0.0962 0.4663- 0.0962-
0.0577 0.6442 0.1923 0.5192- 0.1538- 0.1154 0.0962- 0.2404-
1.0673- 0.1923 1.1923 0.1923- 0.5288- 0.1538 0.4038 0.1538-
0.0577- 0.5192- 0.1923- 0.7692 0.1538 0.3654- 0.0962 0.1154
0.4038 0.1538- 0.5288- 0.1538 0.8606 0.1731- 0.7356- 0.1731
0.0962 0.1154 0.1538 0.3654- 0.1731- 0.5673 0.0769- 0.3173-
0.4663- 0.0962- 0.4038 0.0962 0.7356- 0.0769- 0.7981 0.0769
0.0962- 0.2404- 0.1538- 0.1154 0.1731 0.3173- 0.0769 0.4423
K
(1)
(2)
(3)
(4)
(1) (2) (3) (4)
整体刚度矩阵为
T
0 0 0 0 0 0 0 1 f
载荷向量
有限单元法 崔向阳 36
例题
Ku = f系统方程可表示为：
1
0
0
0
0
0
0
0
1.1298 0.0577 1.0673- 0.0577- 0.4038 0.0962 0.4663- 0.0962-
0.0577 0.6442 0.1923 0.5192- 0.1538- 0.1154 0.0962- 0.2404-
1.0673- 0.1923 1.1923 0.1923- 0.5288- 0.1538 0.4038 0.1538-
0.0577- 0.5192- 0.1923- 0.7692 0.1538 0.3654- 0.0962 0.1154
0.4038 0.1538- 0.5288- 0.1538 0.8606 0.1731- 0.7356- 0.1731
0.0962 0.1154 0.1538 0.3654- 0.1731- 0.5673 0.0769- 0.3173-
0.4663- 0.0962- 0.4038 0.0962 0.7356- 0.0769- 0.7981 0.0769
0.0962- 0.2404- 0.1538- 0.1154 0.1731 0.3173- 0.0769 0.4423
4
4
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
v
u
有限单元法 崔向阳 37
例题
Ku = f
施加 BCs: 2 22( 0, 0)u v
3 33( , )u v
4 44( , )u v
1 11( 0, 0)u v
1
0
0
0
0
0
0
0
1.1298 0.0577 1.0673- 0.0577- 0.4038 0.0962 0.4663- 0.0962-
0.0577 0.6442 0.1923 0.5192- 0.1538- 0.1154 0.0962- 0.2404-
1.0673- 0.1923 1.1923 0.1923- 0.5288- 0.1538 0.4038 0.1538-
0.0577- 0.5192- 0.1923- 0.7692 0.1538 0.3654- 0.0962 0.1154
0.4038 0.1538- 0.5288- 0.1538 0.8606 0.1731- 0.7356- 0.1731
0.0962 0.1154 0.1538 0.3654- 0.1731- 0.5673 0.0769- 0.3173-
0.4663- 0.0962- 0.4038 0.0962 0.7356- 0.0769- 0.7981 0.0769
0.0962- 0.2404- 0.1538- 0.1154 0.1731 0.3173- 0.0769 0.4423
4
4
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
v
u
3
3
4
4
1.6353
11.7120
3.2706
12.1997
u
v
u
v
有限单元法 崔向阳 38
例题
积分点处的应力: 1
1
3
3*
1 1
4
4
2
2
0.2639
0.0576
1.1814
u
v
u
v
u
v
u
v
σ DB
1
1
3
3*
2 2
4
4
2
2
0.5278
0.0576
1.2208
u
v
u
v
u
v
u
v
σ DB
1
1
3
3*
3 3
4
4
2
2
0.7794
0.3175
0.1515
u
v
u
v
u
v
u
v
σ DB
1
1
3
3*
4 4
4
4
2
2
0.3897
0.3175
0.0934
u
v
u
v
u
v
u
v
σ DB
有限单元法 崔向阳 39
例题
各节点处的应力: *1 1
*2 2
*3 3
*4 4
3 1 31 , , 1
2 2 2
a b c b
b a b c
c b a b
b c b a
a b c
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
1
1.0557
0.0375
1.6205
σ 2
1.5589
0.0375
1.7505
σ 3
1.9486
0.4127
0.6881
σ 4
1.3196
0.4127
0.5256
σ 单元局部的
1
1.0557
0.0375
1.6205
σ 3
1.5589
0.0375
1.7505
σ 4
1.9486
0.4127
0.6881
σ 2
1.3196
0.4127
0.5256
σ 整体的
有限单元法 崔向阳 40
例题
结果比较
1
1.0557
0.0375
1.6205
σ 3
1.5589
0.0375
1.7505
σ 4
1.9486
0.4127
0.6881
σ2
1.3196
0.4127
0.5256
σ 四边形
3
3
4
4
1.6353
11.7120
3.2706
12.1997
u
v
u
v
3
3
4
4
0.6282
7.6859
1.2564
8.1663
u
v
u
v
三角形 四边形
2
0.1570
0
0.9607
σ4
0.3141
0.4804
0.0785
σ1
0.0785
0.2402
0.5196
σ 3
0.0785
0.2402
0.5196
σ 三角形
有限单元法 崔向阳 41
