1

732G70, 732G01Statistik A 7hp

Linda Wänström (linda.wanstrom@liu.se)

Tommy Schyman (tommy.schyman@liu.se)

Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

2

”Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av data eller information”

Wikipedia

”[Statistik är] vetenskapen om hur data med inslag av slumpmässig variation eller osäkerhet skall insamlas, utvärderas och presenteras”

Nationalencyklopedin

”Statistik – vetenskapen om metoder för insamling, bearbetning, redovisning och analys av data”

Svenska Akademiens Ordbok

2

3

Kursupplägg

§ 10 föreläsningar

§ 4 lektioner

§ 4 räknestugor

§ 3 datorövningar (labbar)

4

Kurslitteratur

§ Tillämpad statistik – en grundkurs av Karl Wahlin

§ Kurskompendium med extra övningsuppgifter

Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan senast kvällen innan föreläsningen.

5

Examination

§ Skriftlig salstentamen den 19 april kl 8-12

Hjälpmedel:

§ Räknedosa av valfri modell

§ KursbokenAnteckningar i kursboken är ej tillåtna, däremot markeringar.

6

§ Föreläsningsunderlag

§ Datorövningar

§ Kursplan

§ Löpande information

http://www.ida.liu.se/~732G70

Kurshemsida

7

Kapitel 2Populationer, stickprov och

variablerSid 11-46

8

PopulationDen samling enheter (exempelvis individer) som vi vill dra slutsatser om.

Populationen definieras på logisk väg med utgångspunkt från den frågeställning vi vill besvara.

Antalet enheter i populationen betecknas med N.

Exempel:- Studerande vid Linköpings universitet, Campus Valla- Röstberättigade i Sverige

9

Urval med och utan återläggningInom statistiken är det vanligt att man talar om ändliga respektive oändliga

populationer. En oändlig population förenklar räknearbetet, eftersom de enheter som väljs ut ur stickprovet då kan betraktas som oberoende.

Ett vanligt sätt att betrakta oändliga respektive ändliga populationer är genom dragning med eller utan återläggning. Ett exempel på dragning med återläggning är om vi lägger tillbaka kulan i skålen efter att den blivit dragen: sannolikheten för en specifik kula att dras förändras inte mellan dragningarna. En vanlig tumregel är att populationen ur statistiskt perspektiv kan betraktas som oändlig om urvalet utgör mindre än 10% av populationsstorleken.

9

Exempel:Vi har en skål med 5 kulor, vilken vi betraktar som en population. Ur populationen vill vi dra ett stickprov om 3 kulor. Sannolikheten för en specifik kula att bli utvald som den första är 1/5. Nu finns det bara fyra kulor kvar i skålen. Sannolikheten för en specifik kula av de fyra som är kvar att bli utvald som den andra är 1/4. Sannolikheten för en specifik kula av de tre resterande att bli den sista kulan är 1/3. Vi ser att sannolikheterna förändras mellan varje dragning – med statistiskt språkbruk säger vi att det råder ett beroende mellan dragningarna.Om skålen istället hade innehållit 10000 kulor och vi skulle välja 3 hade sannolikheten för en specifik kula att bli utvald som den första varit 1/10000, som den andra 1/9999 och som den tredje 1/9998. Den praktiska skillnaden i sannolikhet mellan varje dragning är så liten att den kan betraktas som försumbar, och vi kan betrakta dragningarna som oberoende.

10

Stickprov(Slumpmässigt) urval av enheter ur populationen.

Det finns många olika metoder för att dra stickprov (detta behandlas senare i kursen) men gemensamt för dem är att stickprovet ska vara så representativt för populationen som möjligt.

Antalet enheter i stickprovet betecknas med n.

VariabelVariabel = en egenskap som varierar. Vi kan göra upprepade

observationer för att mäta dess värden.

§ Kvalitativa variabler: variabler som ej mäts numeriskt (i sifferform)

§ Kvantitativa variabler: variabler som direkt mäts numeriskt§ Diskreta kvantitativa variabler: kvantitativa variabler som endast kan anta ett

ändligt antal värden, eller ett oändligt men uppräkneligt antal

§ Kontinuerliga kvantitativa variabler: kvantitativa variabler som kan anta ett oändligt antal värden

En variabel betecknas (oftast) med X (stort X), och de värden som observeras för variabeln betecknas x1, x2, … (små x)

Exempel:Nationalitet

Exempel:Antal anställda vid ett företag (diskret kvantitativ variabel)En persons längd (kontinuerlig kvantitativ variabel)

12

Nominalskala

Hos kvalitativa variabler.

När variabelns möjliga värden bara kan betraktas som ickenumeriska grupper utan inbördes ordning

Exempel: Bedömer Du att generalindex kommer att stiga under april månad?

( )Ja ( )Nej Variabelns möjliga värden

Variabeln

13

Ordinalskala

Hos kvalitativa eller kvantitativa variabler.

När variabelns möjliga värden kan betraktas som grupper, antingen numeriska eller ej, som kan rangordnas.

Exempel kvalitativ variabel på ordinalskala:Hur bedömer Du Din närmaste chefs ledaregenskaper?( ) Mycket goda ( ) Ganska goda ( ) Godkända ( ) Ganska dåliga ( ) Mycket dåliga

Exempel kvantitativ variabel på ordinalskala: Hur många anställda har Ert företag?( )0-5 ( )6-15 ( )16-50 ( )51-

14

Metrisk skalaHos kvantitativa variabler.

När avstånden mellan värdena är desamma.

Exempel: Den dagliga försäljningen i en butik.

.

.

2011-10-19 16530 kr2011-10-20 21465 kr2011-10-21 8972 kr..

15

En variabels fördelning

En variabels fördelning är en sammanställning över vilka värden variabeln kan anta och hur ofta respektive värde antas.

Fördelningar beskrivs oftast i diagramform.

Olika angreppssätt används för att beskriva fördelningar för

§ Kvalitativa variabler

§ Kvantitativa diskreta variabler

§ Kvantitativa kontinuerliga variabler

16

ExempelFöretagshälsovården vid ett företag sänder ut en enkät där de anställda bland annat får svara på frågan

Resultaten sammanställs i följande frekvenstabell

Åsikt (x) Antal (f)Mycket goda 42Ganska goda 61Varken bra eller dåliga 84Ganska dåliga 23Mycket dåliga 10Totalt 220

Hur bedömer Du Din närmaste chefs ledaregenskaper?

( ) Mycket goda ( ) Ganska goda ( ) Varken bra eller dåliga ( ) Ganska dåliga ( ) Mycket dåliga

17

Att åskådliggöra fördelningen för en kvalitativ variabel: stapeldiagram

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

Mycket goda Ganskagoda

Varken braeller dåliga

Ganskadåliga

Mycketdåliga

18

Alternativ metodik för att åskådliggöra fördelningen för en kvalitativ variabel: cirkeldiagram

19%

28%38%

10%

5%

Mycket goda Ganska godaVarken bra eller dåliga Ganska dåligaMycket dåliga

19

ExempelEn annan fråga på enkäten löd

Resultaten sammanställs enligtAntal dagar (x) Antal (f) Andel (%)0 84 381 41 192 51 233 22 104 8 45 6 36 5 27 3 1Totalt 220 100%

Hur många dagar i veckan motionerar Du?( ) Ingen ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7

20

Att åskådliggöra fördelningen för en diskret kvantitativ variabel med få värden: stolpdiagram

Stolpdiagrammet är likt stapeldiagrammet, men ritas med smalare staplar

0%5%

10%15%20%25%30%35%40%45%

0 1 2 3 4 5 6 7Antal motionsdagar per vecka

21

ExempelDygnsmedeltemperatur (grader Celsius) i centrala Linköping under

juli månad 2011.

Dag 1 2 3 4 5 6 7Temp 20.9 20.7 19.1 16.6 18.7 19.8 19.1Dag 8 9 10 11 12 13 14Temp 19.2 18.6 18.4 17.3 17.8 16.0 14.7Dag 15 16 17 18 19 20 21Temp 16.1 16.7 18.2 15.6 18.7 19.0 18.6Dag 22 23 24 25 26 27 28Temp 19.7 20.1 17.0 19.1 18.4 18.4 20.8Dag 29 30 31Temp 20.1 19.0 19.9

22

Att åskådliggöra fördelningen för en kontinuerlig kvantitativ variabel eller en diskret variabel med många värden: histogram

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

-15.9 16.0-16.9 17.0-17.9 18.0-18.9 19.0-19.9 20.0-Dygnsmedeltemperatur (grader Celsius)

23

Stam- och bladdiagramVi har samlat in information om antalet timmar tio timanställda vid

ett företag arbetat under en viss vecka.

15 19 21 25 28 32 34 37 41 49

Åskådliggör fördelningen för antalet timmar de timanställda arbetade vid företaget den aktuella veckan.

1 5 9

2 1 5 8

3 2 4 7

4 1 9

23Stam Blad

24

Beskrivande mått: lägesmått

§ Stickprovsandel:

§ Populationsandel:

storlekstickprovsegenskapstuderadmedtstickproveienheterantalp =

sstorlekpopulationegenskapstuderadmedenpopulationienheterantal

=π

Exempel:Företagshälsovården vid ett företag gör en undersökning om rökvanor. För ett stickprov om 550 anställda uppgav 187 att de röker. Andelar uttrycks ofta i procent.

25

Beskrivande mått: lägesmått

Exempel:Vi studerar valet av andraspåk bland ett urval gymnasister:Franska Spanska Spanska Tyska

§ Typvärde§ Det värde som förekommer med högst frekvens i en fördelning

26

Beskrivande mått: lägesmått

§ Stickprovsmedelvärde beräknat på rådata

§ Populationsmedelvärde beräknat på rådata

Exempel:Vi har noterat längden (i cm) på ett slumpmässigt urval om fem personer ur en population.

165 188 159 170 198

∑=

=n

iix

nx

1

1

∑=

=N

iix

N 1

1µ

27

Beskrivande mått: lägesmått

§ Stickprovsmedelvärde beräknat på grupperade data

§ Populationsmedelvärde beräknat på grupperade data

där g är antalet grupper/klasser

Exempel:Vi betraktar återigen antal motionsdagar. Beräkna medelvärdet för antal motionsdagar!

n

xfx

g

iii∑

=

⋅= 1

N

xfg

iii∑

=

⋅= 1µ

Antal dagar (x) Antal (f) Andel (%)0 84 381 41 192 51 233 22 104 8 45 6 36 5 27 3 1Totalt 220 100%

28

Beskrivande mått: lägesmått§ Medianen, M, beräknat på rådata:§ Om antalet observationer i fördelningen är udda, så letar vi upp det

mittersta värdet i det storleksordnade materialet

§ Om antalet observationer i fördelningen är jämnt, så måste vi räkna ut medianen som medelvärdet av de två mittersta värdena i det storleksordnade materialet

§ Medianen ligger alltid på positioni ett storleksordnat datamaterial

Exempel:Vi har noterat längden (i cm) på ett stickprov om fem personer som dragits slumpmässigt ur en population.159 165 170 188 198 (värdena har storleksordnats)

Exempel:Vi har vägt fyra personer:53 62 70 85

21+n

29

Beskrivande mått: lägesmått§ Median beräknat på klassindelade data:

MM

M

M Bf

Fn

UM ⋅−

+=−12

n = stickprovsstorlekUM = undre klassgräns för medianklassenFM-1 = kumulativ frekvens i klassen före medianklassenfM = frekvens för medianklassenBM = klassbredd (övre – undre gräns) för medianklassen

Exempel:Följande tabell redovisar åldrarna på de 80 medlemmarna i en idrottsförening. Ålder (år) Antal personer-19 1520-24 1325-29 2430-39 1440- 14

Bestäm medianåldern i idrottsföreningen!

30

Beskrivande mått: spridningsmått

§ Stickprovsstandardavvikelse beräknat på rådata

§ Populationsstandardavvikelse beräknat på rådata

Exempel:Vi har noterat längden (i cm) på ett slumpmässigt urval om fem personer ur en population.

165 188 159 170 198

( )∑=

−−

=n

ii xx

ns

1

2

11

( )∑=

−=N

iix

N 1

21 µσI populationsstandardavvikelsen dividerar vi med N istället för n – 1. Det kommer sig av att populationsmedelvärdet är en konstant och inte en variabel såsom stickprovsmedelvärdet

31

Beskrivande mått: spridningsmått§ Stickprovsstandardavvikelse beräknat på grupperade data:

§ Populationsstandardavvikelse beräknat på grupperade data:

( )11

1 1

2

12

1

2

−

⋅

−⋅=−

−=

∑∑

∑ =

=

= nn

xfxf

xxfn

s

g

i

g

iii

iig

iii

( )N

N

xfxf

xfN

g

i

g

iii

iig

iii

∑∑

∑ =

=

=

⋅

−⋅=−= 1

2

12

1

21 µσ

Exempel:Vi betraktar återigen antalet motionsdagar.

Antal dagar (x)

Antal (f)

Andel (%)

0 84 381 41 192 51 233 22 104 8 45 6 36 5 27 3 1Totalt 220 100%

32

Beskrivande mått§ Kvartiler§ första kvartil (q1) = mittersta värdet i första halvan av det storleksordnade materialet

§ tredje kvartil (q3) = mittersta värdet i andra halvan av det storleksordnade materialet

§ Kvartilavstånd§ q3 – q1

§ Lådagram§ Ett diagram som konstrueras som en låda som begränsas av första och tredje

kvartilen. I lådan markeras medianen och streck dras från lådan ned till den minsta och upp till den största observationen.

§ Percentiler§ Delar upp data i hundra lika stora delar.

Exempel:Vi har noterat längden (i cm) på ett stickprov om fem personer som dragits slumpmässigt ur en population.159 165 170 188 198 (värdena har storleksordnats)

33

När bör vi använda vilka beskrivande mått?

Kvalitativ variabel Diskret kvantitativvariabel

Kontinuerlig kvantitativ variabel

Typvärde Median MedelvärdeMedian Kvartiler StandardavvikelseKvartiler MedelvärdeAndelar Standardavvikelse

Andelar

34

Standardvägning

34

Bolag A Bolag BBefattning Antal

personerMedellön(tkr)

Antal personer

Medellön (tkr)

Mellanchef/chef 6 36.6 15 34.5Tjänstemän 77 20.4 34 19.8Administrativpersonal

89 17.2 21 17.1

Exempel:Ett fackförbund önskar jämföra medellönen vid två företag inom samma verksamhetsområde. Följande information samlas in.

Jämför medellönen vid de två bolagen!

Standardvägning: metod för att kompensera för att fördelningen av enheter är olika över kategorierna i de grupper som undersöks. Räkna som med vägda medeltal men välj vikter enligt totalantalet personer i respektive radkategori.

35

Kapitel 3Sannolikhetsteori

Sid 47-78

3636

MängdläraInom statistiken använt som en metod för att hantera och

åskådliggöra sannolikheter, men ur ett bredare perspektiv en viktig byggsten inom matematik.

S = utfallsrum = samtliga möjliga utfall vid ett experiment.

Varje beståndsdel i utfallsrummet kallas för ett element.

Låt A = händelsen udda antal ögon upp vid tärningskast

B = händelsen högst 3 ögon upp vid tärningskast

Om mängden A ingår i S säger vi att A är en delmängd av S och tecknar detta som A ∈ S.

Exempel:När vi kastar en tärning finns det 6 möjliga utfall: vi definierar utfallsrummet S somS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

37

Snitt och union

Låt A och B vara två delmängder av S.

§ Snitt

Snittet ger de element som tillhör både A och B: tecknas A ∩ B

§ Union

Unionen ger de element som tillhör A eller B (eller båda): tecknas A ∪ B

37

Snitt av A och B Union av A och B

S S

38

Disjunkta (oförenliga) händelser

38

Händelser som inte har någon gemensam mängd

♣ ♦ ♠

S

♥

Exempel:Vi drar ett kort ur en kortlek. Låt A = händelsen att kortet är ett hjärterB = händelsen att kortet är ett spader

Disjunkta händelser framträder i Venndiagrammet som områden som inte har någon överlappande yta

39

Oberoende händelserAtt händelser är oberoende innebär att sannolikheten för att en händelse ska inträffa inte påverkas av att en annan händelse redan inträffat eller inte inträffat. Att händelser är oberoende kan man inte se i Venndiagrammet, utan här får vi göra ett teoretiskt övervägande (senare ska vi dock studera matematiska metoder) för att bestämma om händelserna är oberoende eller ej.

§ Om händelserna A och B är disjunkta så är de inte oberoende!

§ Detta stämmer därför att när A inträffat så vet vi att B inte kan inträffa. Alltså påverkar de varandra, och följaktligen är de inte oberoende.

39

Exempel: Kasta tärning två gånger och definiera händelserna A = händelsen att första kastet ger 6 ögon uppB = händelsen att andra kastet ger 6 ögon uppDå är händelserna A och B oberoende, eftersom de två tärningskasten inte kan påverka varandra.

40

Kombinatorik: Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen används när vi i tur och ordning ska utföra k operationer, och vill veta på hur många sätt operationerna totalt kan utföras på.

Multiplikationsprincipen åskådliggörs ofta i träddiagram.

40

knnn ⋅⋅⋅ ...21

Exempel:Antag att en bilfabrikant låter kunderna välja på röd, svart, blå eller grön lack, svart, grå eller beige inredning och stora eller små fälgar. På hur många sätt kan en bilspekulant komponera sin bil?

41

Permutationer när alla element är olika

När vi har en mängd bestående av n element och ur denna vill välja ut k element i en viss ordningsföljd då varje element endast får användas en gång, så talar vi om permutationer när alla element är olika. Antalet permutationer när alla element är olika beräknas enligt

41

Exempel:En förening har fyra medlemmar. Två medlemmar ska väljas ut och dessutom rangordnas. På hur många sätt kan det ske?

( )!!kn

nPkn −

=

42

Permutationer när vissa element är lika

Antalet permutationer av n element när k1 är av en typ, k2 är av en annan typ, osv, är

{B,I,L,L} {B,L,I,L} {B,L,L,I} {I,B,L,L} {I,L,B,L} {I,L,L,B}

{L,B,L,I} {L,B,I,L} {L,I,B,L} {L,I,L,B} {L,L,B,I} {L,L,I,B}

42

Exempel:Vi har namnetBILLPå hur många sätt kan bokstäverna i namnet arrangeras?

...!!!

21

,..., 21

⋅⋅=

kknP kk

n

43

Kombinationer utan upprepning

När vi utan hänsyn till ordningen bland totalt n element väljer ut en delmängd om k element. Varje element kan bara väljas ut en gång varför situationen kan betraktas som dragning utan återläggning.

Antalet kombinationer utan upprepning när k element väljs ut bland n är

43

Exempel:En skål innehåller 4 alfapetbrickor, med bokstäverna A D O SVi drar slumpmässigt och utan återläggning 2 brickor ur skålen.Hur många kombinationer av två bokstäver kan vi få?

( )!!!

knkn

kn

C kn −

=

=

44

Kombinationer vid upprepning

En kombination vid upprepning fås när vi utan hänsyn till ordningen bland totalt n element väljer ut en delmängd om kelement och där varje element kan väljas ut mer än en gång (dragning med återläggning). Låt n vara antalet element vi väljer bland och k antalet element vi väljer ut. Antalet kombinationer vid upprepning är då

44

Exempel:Vi tar tre skopor glass och vid varje skopa kan vi välja mellan 5 smaker. På hur många sätt kan en glass konstrueras?

( )( )!1!

!11'

−−+

=

−+=

nkkn

kkn

C kn