7-Cap 7. Traslacion Rotacion Coord Polares

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEMatemáticas II

Luis A. Cadogan Prof. Titular Ingeniero Capítulo 7: Traslación, Rotación de ejes, Coordenadas Polares

INDICE

1. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO en X e Y..........................................2

1.1. Interpretación geométrica de B...........................................................................................................2

1.2. Análisis del discriminante ()..............................................................................................................3

2. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES.........................................................................4

2.1. Traslación de ejes...............................................................................................................................4

2.2. Rotación de ejes...................................................................................................................................6

2.3. Traslación y Rotación de ejes..............................................................................................................8

2.4. Valor del ángulo de rotación () para anular B...................................................................................9

3. CÓNICAS DEGENERADAS............................................................................................15

4. COORDENADAS POLARES...........................................................................................19

4.1. Simetría en Coordenadas Polares......................................................................................................19

4.2. Circunferencia en Coordenadas Polares............................................................................................20

4.3. Cónicas en Coordenadas Polares.......................................................................................................21

4.4. Lemniscata.........................................................................................................................................25

4.5. Espiral de Arquímedes......................................................................................................................26

4.6. Cardioide...........................................................................................................................................26

4.7. Rosa Polar – Curva de Pétalos...........................................................................................................27

4.8. Caracoles – Caracol de Pascal...........................................................................................................29

5. ECUACIONES PARAMÉTRICAS.....................................................................................31

Cap. 7- 1



TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.

1. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO EN X E Y.

Tiene la forma: . Analizamos la ecuación general de

segundo grado en X e Y según los valores de sus coeficientes:

Si B = 0; consideramos los demás coeficientes:

A = C = 0: es la Ecuación general de la línea recta.

A = C = 1: es la Ecuación general de la circunferencia.

A = 0 y C 0: es la Ecuación general de la parábola con Eje

paralelo al eje X.

A 0 y C = 0: es la Ecuación general de la parábola con Eje

paralelo al eje Y.

A 0; C 0: ,

Si A y C tienen igual signo (AC > 0): tenemos la Ecuación general de la elipse.

Si A y C tienen signos diferentes (AC < 0): tenemos la Ecuación general de la

hipérbola.

1.1. Interpretación geométrica de B.

Si B = 0 significa que la cónica está bien posicionada con relación el sistema cartesiano

X – Y normal.

Si B 0 significa que la cónica está rotada con respecto al sistema cartesiano X – Y

normal. La cónica tiene sus ejes inclinados con respecto a los ejes cartesianos X e Y.

Ejercicio 7.1. Especificar si la cónica está rotada o no.

1.1. .

B = 0, la cónica no está rotada. A = 2; C = 3; D = – 8; E = 6; F = – 7.

1.2. .

B = 6, la cónica está rotada.

Cap. 7- 2



1.2. Análisis del discriminante ().

Dada una ecuación general de 2º grado en X e Y es fácil determinar el tipo de ecuación,

esto significa si la misma es: Elíptica; Parabólica o Hiperbólica haciendo un análisis del

signo del discriminante de la misma (), el cual se define: .

Si < 0 Tenemos una Ecuación Elíptica (EE). El Lugar Geométrico puede ser

una Elipse. Si estamos en presencia de una ecuación que corresponde

a una cónica degenerada el Lugar Geométrico puede ser: una

Circunferencia; un Punto (R = 0); o una elipse imaginaria (Nada).

Si = 0 Tenemos una Ecuación Parabólica (EP). El Lugar Geométrico puede

ser una Parábola. Si estamos en presencia de una ecuación que

corresponde a una cónica degenerada el Lugar Geométrico puede ser:

Dos Rectas paralelas; o una sola recta.

Si > 0 Tenemos una Ecuación Hiperbólica (EH). Lugar Geométrico puede

ser una Hipérbola. Si estamos en presencia de una ecuación que

corresponde a una cónica degenerada el Lugar Geométrico puede ser:

Dos rectas que se cortan.

Ejercicio 7.2. Determinar el tipo de la ecuación, analizando el Discriminante, y su Lugar

Geométrico: .

A = 2; B = 0; C = 3 = – 24 < 0 Ec. Elíptica.

Para encontrar el lugar geométrico completamos cuadrado en X e Y:

;

;

; dividimos por 18:

Ecuación de una Elipse.

Ejercicio 7.3. Analizando el Discriminante determinar el tipo de la ecuación:

Cap. 7- 3



3.1. .

B = – 2, distinto de cero por lo tanto los ejes de la cónica están inclinados con respecto a

los ejes cartesianos X e Y. A = 1; C = 1; = 0 Ec. Parabólica.

3.2. .

A = 5; B = 6; C = – 5, la cónica está rotada; = 136 > 0 Ec. Hiperbólica.

3.3. 5X2 + 6XY – Y2 – 4X + 4Y – 4 = 0.

A = 5; B = 6; C = – 1, la cónica está rotada; = 56 > 0 Ec. Hiperbólica.

2. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES.

2.1. Traslación de ejes.

Consideramos el punto P(X; Y) visto desde el

Sistema Cartesiano X – Y (Normal)

definido por sus coordenadas, El Sistema

Cartesiano X’ – Y’ tiene su origen

desplazado con respecto al anterior,

posicionado en el punto de coordenadas (h;

k), P permanece fijo, visto desde el nuevo sistema tiene sus coordenadas P(X’; Y’),

ambas coordenadas están relacionadas por las Ecuaciones de traslación de ejes:

X = h + X’ (1)

Y = k + Y’ (2).

Cap. 7- 4

X

Y

X’

Y’P(X; Y)

h

k



Ejercicio 7.4. Dada la Ecuación: , determinar:

4.1. Determinar el tipo de ecuación.

Analizamos el discriminante: < 0 la ecuación es elíptica.

B = 0, la cónica no está rotada.

4.2. La nueva ecuación si el sistema referencial se traslada hasta el punto: (2; –1).

h = 2; k = –1, usamos las ecuaciones de traslación de ejes:

X = X’ + 2

Y = Y’ – 1.

Sustituimos X e Y en la ecuación dada:

;

;

Ecuación de una elipse.

4.3. Ahora realizamos el proceso inverso.

Agrupamos términos en X y en Y luego completando cuadrados:

2(X2 – 4 X) + 3(Y2 + 2Y) = 7 2(X – 2)2 – 8 + 3(Y + 1)2 – 3 = 7,

2(X – 2 )2 + 3(Y + 1)2 = 18

Elipse con centro en C(2; –1) a = 3 .

Completar cuadrados para encontrar h y k es equivalente a la traslación de ejes en h; k.

Cap. 7- 5



2.2. Rotación de ejes.

De la figura tenemos que:

X = ON’ (1)

OM’ = X’cos

OM’ = ON’ + N’M’ (2)

N’M’ = NM

NM = Y’sen (3)

X = OM’ – N’M’ (4) sustituyendo (2) y (3) en (4)

X = X’cos – Y’sen (5)

Y = PN + NN’ (6)

NN’ = MM’ = X’ sen

PN = Y’cos (8)

Y = X’sen + Y’cos

P(X; Y) visto desde el sistema cartesiano X – Y está definido por sus coordenadas, el

sistema cartesiano X’ – Y’ giró con respecto al anterior en un ángulo , como el punto P

permanece fijo, visto desde el nuevo sistema cartesiano X’ – Y’ tiene sus coordenadas

P(X’; Y’), ambas coordenadas están relacionadas por las ecuaciones de rotación de ejes:

(5)

Esta ecuación podemos escribirla en forma matricial:

Cap. 7- 6

X’Y’

X

YP(X; Y)

N’ M’

MN



Ejercicio 7.5. Para la ecuación: , Determinar:

5.1. El tipo de ecuación.

Discriminante: Ecuación Elíptica.

5.2. El Lugar Geométrico.

2(X2 – 4X) + 3(Y2 + 2Y) = 7.

2(X – 2)2 – 8 + 3(Y + 1)2 – 3 = 7.

2(X – 2)2 + 3(Y + 1)2 = 18 , Ecuación de una Elipse.

5.3. La ecuación resultante si la cónica gira un ángulo de 45º.

Ecuaciones de rotación:

.

.

…..x(2).

.

Ejercicio 7.6. ¿Cuantos grados debe girar el sistema cartesiano para anular el término en XY

de la cónica: .

Ecuaciones de rotación de ejes: X = X’cos – Y’sen Y = X’sen + Y’cos.

Para simplificar la escritura dejamos de escribir el apóstrofe:

Desarrollamos toda la ecuación y agrupamos el término en XY:

cuyo coeficiente debe ser igual a cero.

2= 90º 45º.

Cap. 7- 7



2.3. Traslación y Rotación de ejes.

También puede darse el caso de que se produzca una traslación y una rotación de ejes en

ese caso las ecuaciones que rigen el proceso son:

(1)

(2)

Ejercicio 7.7. Dada la Ecuación: 5X2 + 6XY + 5Y2 – 4X + 4Y – 4 = 0, reducirla a su forma

más simple por Traslación y Rotación.

Realizamos la Traslación de ejes: X = X’ + h Y = Y’ + k.

5(X’ + h)2 + 6(X’ + h)(Y’ + k) + 5(Y’ + k)2 – 4(X’ + h) + 4(Y’ + k) – 4 = 0.

No escribimos el apóstrofe para simplificar la escritura:

5X2 + 5Y2 + X(10h – 4 + 6k) +Y(10k + 4 + 6h) + 5h2 – 4h + 5k2 + 4k + 6XY+ 6hk = 4.

Para anular los términos en X e Y de primer grado:

10h + 6k = 4

6h + 10k = – 4 h = 1; k = – 1.

5X’2 + 6X’Y’+ 5Y’2 – 8 = 0.

Realizamos la Rotación: X’ = X’’cos – Y’’sen Y’ = X’’sen + Y’’cos

5(X”cos –Y”sen)2 +5(X”sen +Y”cos)2 +6(X”cos –Y”sen)(X”sen+Y”cos) = 8.

No escribimos el apóstrofe para simplificar la escritura:

5(Xcos– Ysen)2 + 5(Xsen + Ycos)2 + 6(Xcos – Ysen)(Xsen + Ycos) = 8

(5 + 6cos sen)X2 + (5 – 6cos sen)Y2 + 6XY(cos2 – sen2) = 8.

Para que el término en XY se anule debemos tener:

cos2 – sen2 = 0 cos = sen = arctg(1) = 45º

4X”2 + Y”2 = 4 Ecuación de

una elipse.

Cap. 7- 8



2.4. Valor del ángulo de rotación () para anular B.

En la Ecuación general de segundo grado el término en XY (B 0) indica que la cónica

está rotada con respecto al sistema de ejes cartesianos.

Por Rotación de ejes se consigue que el Término en XY sea nulo:

X = X’cos – Y’sen Y = X’sen + Y’cos

hace que el término en XY se anule.

Ejercicio 7.8. Dada la Ecuación: X2 + 4XY – 2Y2 – 1 = 0:


Análisis del discriminante: = B2 – 4AC > 0 Ecuación Hiperbólica.

8.2. Determinar el ángulo de rotación para eliminar el término en XY.

= 26,5º.

Cat.Ady = 2; Cat.Op = 1; Hipotenusa:

.

8.3. Determinar la ecuación resultante para el valor del ángulo determinado.

Ecuaciones de rotación de ejes:

X = X’ cos – Y’ sen Y = X’ sen + Y’cos.

X2 + 4XY – 2Y2 – 1 = 0

2X’2 – 3Y’2 – 1 = 0 Ecuación de una hipérbola.

Cap. 7- 9

1

2



Ejercicio 7.9. Dada la Ecuación: X2 – 2XY + Y2 + 2X – 4Y + 3 = 0,


Análisis del discriminante: = B2 – 4AC = 0 Ecuación Parabólica.

9.2. Determinar que pasa si se rotan los ejes 45º. .

Ecuaciones de rotación de ejes:

Desarrollando y agrupando términos tenemos:

Ecuación de la parábola vinculada al nuevo sistema cartesiano X’ – Y’ que está rotado

45º con respecto al sistema normal. Agrupamos y completamos cuadrado en Y:

(Y – k)2 = 4a(X –h) Ec. Gral. Parábola con eje

paralelo al eje X, h = 0,5 k = 1,06 a = 0,17

La ecuación dada corresponde a una ecuación

parabólica donde aparece el término

en XY (B 0) lo que significa que

la cónica está rotada.

Determinar el ángulo que debe rotar el sistema X’ – Y’ para anular el término en XY:

Sustituyendo X e Y en función de X’ e Y’ en la ecuación original se verifica que el

término en XY desaparece.

.

Cap. 7- 10

X

Y

X’Y’



Ejercicio 7.10. Dada la Ecuación: 5X2 + 6XY + 5Y2 – 4X + 4Y – 4 = 0.

10.1. Determinación del tipo de ecuación.

Análisis del signo del discriminante: = B2 – 4AC = – 64 < 0 Ecuación Elíptica.

10.2. Determinar el ángulo de rotación para eliminar el término en XY.

.

Ejercicio 7.11. Dada la ecuación: 3X2 – 4Y2 + 6X + 24Y = 135.

11.1. Determinar que tipo de ecuación es y el lugar geométrico.

= B2 – 4AC = 48 > 0 La Ecuación es Hiperbólica.

11.2. Trasladar el sistema cartesiano para que los términos de primer grado sean nulos.

3(X’ + h)2 – 4(Y’ + k)2 + 6(X’ + h) + 24(Y’ + k) = 135

3X’2 – 4Y’2 + X’(6h + 6) + 3h2 – Y’(8k – 24) – 4k2 + 6h + 24k = 135

6h + 6 = 0 h = –1 8k – 24 = 0 k = 3

3X’2 – 4Y’2 = 102 Hipérbola .

11.3. Agrupar términos y completar cuadrados en X e Y.

3(X + 1)2 – 3 – 4(Y – 3)2 + 36 = 135

3(X + 1)2 – 4(Y – 3)2 = 102

X’ = X – h h = –1 Y’ = Y – k k = 3

3X’2 – 4Y’2 = 102. .

Cap. 7- 11



Ejercicio 7.12. Encontrar la ecuación de la cónica que pasa por los puntos:

A(– 3; 2); B(2; 3); C(3; – 1); D(– 2; – 1) y E(1; 1).

Método I:

Ec. de la recta AB: X – 5Y + 13 = 0.

Ec. de la recta CD: Y + 1 = 0.

Para este par de rectas tenemos la ecuación: (X – 5Y + 13)(Y + 1) = 0

XY – 5Y2 + X + 8Y + 13 = 0

Ec. de la recta AD: 3X + Y + 7 = 0.

Ec. de la recta BC: 4X + Y – 11 = 0.

Para este par de rectas tenemos la ecuación: (3X + Y + 7)( 4X + Y – 11) = 0

12X2 + 7XY + Y2 – 5X – 4Y – 77 = 0

La familia de curvas que pasan por los puntos de intersección de estas rectas son:

XY – 5Y2 + X + 8Y + 13 + K{12 X2 + 7XY + Y2 – 5X – 4Y – 77} = 0.

Ahora hay que determinar la curva de esta familia que pase por el quinto punto E(1; 1)

sustituimos los valores de X e Y y despejamos K:

1 – 5 + 1 + 8 + 13 + K{12 + 7 + 1 – 5 – 4 – 77} = 0 .

La ecuación resultante es: 9X2 + 8XY – 13Y2 – X + 19Y – 22 = 0

Análisis del discriminante: > 0 Ec. Hiperbólica.

Ángulo de rotación: .

Método II: AX2 + BXY + CY2 + DX + EY + F = 0 Dividimos por A:

X2 + B’XY + C’Y2 + D’X + E’Y + F’ = 0

Para E(1; 1) B’ + C’ + D’ + E’ + F’ = – 1 (1)

Para B(2; 3) 6B’ + 9C’ + 2D’ + 3E’ + F’ = – 4 (2)

Para C(3; – 1) – 3B’ + C’ + 3D’ – E’ + F’ = – 9 (3)

Para A(– 3; 2) – 6B’ + 4C’ – 3D’ + 2E’ + F’ = – 9 (4)

Para D(– 2, – 1) 2B’ + C’ – 2D’ – E’ + F’ = – 4 (5)

Cap. 7- 12

A(-3;2) B(2;3)

C(3;-1)D(-2;-1)

E(1;1)



C1 = C1 – C2 C2 = C2 – C3 C3 = C3 – C4 C4 = C4 – C5

S = – 3(30) – 7(– 150) – (180) – 2(– 150) = 1080.

C1 = C1 – C2 C2 = C2 – C3 C3 = C3 – C4 C4 = C4 – C5

B = 5(30) – 7(– 120) – (150) – 2(– 60) = 962.

B = 960/1080 = 8/9 B’ = 8/9. B en (3) y (5):

Cap. 7- 13



C’ + 3D’ – E’ + F’ = – 19/3 (6)

C’ – 2D’ – E’ + F’ = – 52/9 (7)

(6) – (7): D’ = – 1/9.

B y D en (1): C’ + E’ + F’ = – 16/9 (8)

B y D en (2): 9C’ + 3E’ + F’ = – 82/9 (9)

B y D en (3): C’ – E’ + F’ = – 6 (10)

C’ = – 13/9. E’ = 19/9. F’ = – 22/9.

B’ = 8/9. C’ = – 13/9. D’ = – 1/9. E’ = 19/9. F’ = – 22/9.

Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación original y tenemos:

9X2 + 8XY – 13Y2 – X + 19Y – 22 = 0.

Cap. 7- 14



3. CÓNICAS DEGENERADAS.

Ejercicio 7.13. Para la ecuación: X2 + Y2 + 1 = 0.


Análisis del discriminante: = B2 – 4AC = < 0 Ecuación Elíptica.

13.2. Determinar el Lugar Geométrico.

Para: X2 + Y2 = –1. No existirá ningún valor real que satisfaga dicha ecuación. Elipse

imaginaria.

Ejercicio 7.14. Para la relación: X2 + Y2 – 6Y + 10 = 0.


Análisis del discriminante: = B2 – 4AC = < 0 Ecuación Elíptica.


X2 + (Y – 3)2 = – 1 (Y – 3)2 = –1 – X2 = – (1 + X2 ) .

No existe ningún par de puntos (X; Y) que satisfaga la relación dada en el plano

cartesiano real. Elipse imaginaria.

Ejercicio 7.15. Dada la ecuación: 9X2 – 12XY + 7Y2 + 4 = 0.


Análisis del discriminante: = B2 – 4AC = – 108 < 0 Ecuación Elíptica.


Tomamos la ecuación de orden 2 en Y: 7Y2 – (12X)Y + (9X2 + 4) = 0;

Resolvemos:

No se satisface para valores reales de X. LG corresponde a una Elipse imaginaria.

Cap. 7- 15



Ejercicio 7.16. Dada la Ecuación: 4X2 – 4XY + Y2 – 6X + 3Y + 2 = 0.

16.1. Analizar el discriminante para determinar el tipo de la misma.

Análisis del discriminante: = B2 – 4AC = 0 Ecuación Parabólica.

16.2. Determinar su lugar geométrico.

(4X2 – 4XY + Y2) – 3(2X – Y) + 2 = 0

{(2X)2 – 2(2X)Y + Y2) – 3(2X – Y) + 2 = 0

(2X – Y)2 – 3(2X – Y) + 2 = 0 Resolvemos la ecuación cuadrática en (2X – Y)

[(2X – Y) – 1)][(2X – Y) – 2] = 0

2X – Y – 1 = 0 Corresponde a la ecuación de una línea recta, L1, m1= 2.

2X – Y – 2 = 0 Corresponde a la ecuación de una línea recta, L2, m2= 2.

El lugar geométrico de la ecuación parabólica corresponde a dos líneas rectas paralelas

entre sí.

Ejercicio 7.17. Para la ecuación: X2 + 8XY – 9Y2 = 0.


Análisis del discriminante: = B2 – 4AC > 0 Ecuación Hiperbólica.

17.2. Encontrar el lugar geométrico.

(X – Y)(X + 9Y) = 0

X – Y = 0 Ecuación de una línea recta con m1 = 1.

X + 9Y = 0 Ecuación de una línea recta con m2 = – 1/9.

El lugar geométrico corresponde a dos líneas rectas que se cortan en el origen.

Ejercicio 7.18. Para la ecuación: 2X2 + 3XY + Y2 = 0.


Análisis del discriminante: = B2 – 4AC = 1 > 0 Ecuación Hiperbólica.

Cap. 7- 16



18.2. Encontrar el lugar geométrico de la ecuación.

Y2 + (3X)Y + 2X2 = 0

(Y + 2X)(Y + X) = 0 Esta ecuación representa dos líneas rectas

Y + 2X = 0 Y + X = 0

El lugar geométrico corresponde a dos líneas rectas que se cortan en el origen.

Ejercicio 7.19. Para la ecuación: X2 – Y2 – 4X + 3 = 0.

19.1. Determinar el tipo de la misma.

A = 1; B = 0; C = – 1 = 4 > 0 Ecuación hiperbólica.


Completamos cuadrados en X: (X – 2)2 – 4 + 3 – Y2 = 0 (X – 2)2 – Y2 = 1.

Hipérbola con centro en C(2; 0). Eje transverso paralelo al eje X.

19.3. Determinar los parámetros de la cónica.

a = 1; b = 1; ; e = 1,4142.

V(3; 0); V’(1; 0); v(2; 1) v’(2; – 1) F(3,41; 0) F’(0,58; 0) LR = 2.

Rectas Directrices: .

Ecuación de las Asíntotas: (X – 2)2 – Y2 = 0

X – 2 – Y = 0 Y = (X – 2) X – 2 + Y = 0 Y = (2 – X).

Cap. 7- 17



Ejercicio 7.20. Dada la ecuación: 25X 2 – 36Y 2 – 150X + 144Y + 981 = 0.

20.1. Determinar el tipo de ecuación. = B2 – 4AC > 0 Ec. Hiperbólica.

20.2. Encontrar el Lugar Geométrico de la misma.

25(X – 3)2 – 225 – 36 (Y – 2)2 + 144 + 981 = 0

25(X – 3)2 – 36 (Y – 2)2 = – 900 / (– 900)

Hipérbola con centro en C (3; 2); eje transversal

paralelo al eje Y; a = 5; b = 6; c = 7,81; e = 1,56 .

20.3. Especificar si corresponde a una función o a una relación y explicar por que.

Es una Relación, a cada valor de X le corresponde dos valores de Y. La recta vertical

por un punto del Dominio corta a la figura en 2 puntos.

20.4. Encontrar el DOMINIO y el RANGO. D: (– ; + ); R: (–; – 3] [7; ).

20.5. Determinar si existe simetría con respecto al eje X, al eje Y y con respecto al origen.

Simetría con respecto a X: 25X 2 – 36(– Y) 2 – 150X + 144 (– Y) + 981 = 0.

25X 2 – 36Y 2 – 150X – 144Y + 981 = 0. No existe simetría con respecto a X.

Simetría con respecto a Y: 25(– X) 2 – 36Y 2 – 150(– X) + 144 Y + 981 = 0.

25X 2 – 36Y 2 + 150X + 144Y + 981 = 0. No existe simetría con respecto a Y.

Simetría respecto al Origen: 25(–X)2 – 36(–Y)2 – 150(–X) + 144 (–Y) + 981 = 0.

25X 2 – 36Y 2 + 150X + 144Y + 981 = 0. No existe simetría con respecto al Origen.

Ejercicio 7.21. Dada la ecuación: 25X2 – 36Y2 – 150X + 144Y – 819 = 0.

21.1. Determinar el tipo de ecuación. = B2 – 4AC. > 0 Ec. Hiperbólica.

21.2. Encontrar el Lugar Geométrico de la misma.

25(X – 3) 2 – 225 – 36 (Y – 2) 2 + 144 – 819 = 0

25(X – 3) 2 – 36 (Y – 2) 2 = 900 .

21.3. Especificar si corresponde a una función o a una relación y explicar por que.

21.4. Encontrar el DOMINIO y el RANGO.

21.5. Determinar si existe simetría con respecto al eje X, al eje Y y con respecto al origen.

4. COORDENADAS POLARES.

Para una punto P(X; Y) ubicado a una distancia R del origen y dado que OP forma un

ángulo con el semi eje positivo de abcisa escribir X e Y en función de R y :

Cap. 7- 18

Eje Polar

Polo

r



X = Rcos

Y = Rsen

Podemos escribir R y en función de X e Y para definir P en Coord. Polares P(R; ).

. .

Ejercicio 7.22. Posicionar los siguientes puntos, encontrar los valores de X e Y.

22.1. A(4; 30º); ; .

22.2. B(2; 45º) = B(4; /4); ; .

22.3. C(8; 90º). X = 0; Y = 8.

Ejercicio 7.23. Las coordenadas cartesianas de un punto son: A(4; – 1) Encontrar su

equivalente en coordenadas polares.

X = 4; Y = – 1. .

4.1. Simetría en Coordenadas Polares.

Simetría con respecto al eje polar: sustituimos por (– en la ec. original si

obtenemos la misma ecuación, la gráfica es simétrica con respecto al eje polar.

X = r cos– ) = rcos

Simetría con respecto al eje Y: sustituimos por ( – ) si obtenemos la misma

ecuación, la gráfica es simétrica con respecto a la perpendicular al eje polar que pasa

por el polo ( eje Y). Y = r sen – ) = r sen .

Simetría con respecto al Polo: sustituimos r por – r; o por ( + ) si obtenemos la

misma ecuación, la gráfica es simétrica con respecto al Polo.

Ejercicio 7.24. Encontrar la distancia entre los puntos: P1 (r1; 1) y P2 (r2; 2).

P1P2: es el tercer lado de un triángulo cuyos otros lados son OP1 y OP2, utilizando la Ley

del coseno tenemos: .

Ejercicio 7.25. Encontrar la distancia entre los puntos: P1 (5; 215º) y P2 (6; 75º).

.

Cap. 7- 19



4.2. Circunferencia en Coordenadas Polares.

Ejercicio 7.26. Encontrar la ecuación en coordenadas polares de la circunferencia con centro

en el punto: C(r1; 1) y radio = a.

Consideramos un punto genérico de la circunferencia: P(r; )

Aplicamos la ley del

coseno:

Ejercicio 7.27. Escribir en coordenadas polares la ecuación de la circunferencia con centro en

C(a; ) y radio = a.

.

Ejercicio 7.28. Analizar la simetría del lugar geométrico definido por la ecuación: r = 3cos.

28.1. Simetría respecto al X: Sustituimos por (– r = 3cos(– cos. Existe

simetría con respecto al eje X.

Simetría respecto al Y: por ( ): r = 3cos( )

coscos() + sen sen3cos No existe simetría con respecto al eje Y.

Simetría con respecto al Polo: Si sustituimos ( r; ) o (r; + ) por (r; )

r = 3cos( + 3{coscossen sen3cos.

No existe simetría con respecto al Polo.

Ejercicio 7.29. Encontrar el equivalente cartesiano de: r = 3cos..

X = rcos. X = 3cos2. X2 = 9cos4.

Y = rsen. Y = 3cos.sen. Y2 = 9cos2. sen2.

X2 + Y2 = 9cos4 + 9cos2. sen2 = 9cos2{cos2 + sen2}

X2 + Y2 = 9cos2 = 3X

X2 – 3X + Y2 = 0 completamos términos en X para tener cuadrado de un binomio:

Cap. 7- 20

Eje PolarPolo

C(r1; 1)

a

P(r; )



Ecuación de una circunferencia con centro en C(3/2; 0) y radio 3/2.

4.3. Cónicas en Coordenadas Polares.

Ejercicio 7.30. Hallar el Lugar Geométrico de los puntos P(r; ) para que sea

constante (excentricidad).

DD’: recta directriz y es perpendicular al eje polar, está a la izquierda del polo O (polo)

viene a ser el foco de la cónica.

PO = R PM = ON + Rcos

PO = e(ON + Rcos )

R = e(p + Rcos)

El LG es una cónica cuya forma

depende del valor de e.

Si: e < 1: Elipse.

Si e = 1: Parábola. Si e > 1 Hipérbola.

DD’ perpendicular al eje polar:

(+): DD’ a la derecha del polo. (): DD’ a la izquierda del polo.

DD’ paralela al eje polar:

(+): DD’ por encima del eje polar. () DD’ por debajo del eje polar.

Ejercicio 7.31. Encontrar la naturaleza de la cónica: .

tomamos factor común 4:

e = 3/4 < 1 ELIPSE; ep = 3 p = 4.

D’D perpendicular al Eje Polar, está a 4 un. a la derecha del polo.

Cap. 7- 21

D’

P(R; )M

D

N O



Ejercicio 7.32. Encontrar la ecuación, en coordenadas polares, de una línea recta paralela al

eje polar y que está por debajo de él a 4 unidades de distancia.

P(r, – ) es un punto genérico de la recta; rsen(– ) = 4 rsen() + 4 = 0.

Ejercicio 7.33. Para 9X2 + 4Y2 = 36. Encontrar su equivalente en C. Polares.

Elipse con Eje Mayor sobre el eje Y. X = Rcos, Y = Rsen,

9.R2cos2+ 4.R2sen2 = 36 R2(9cos2+ 4sen2) = 36

R2{9cos2+ 4(1 – cos2} = 36 R2(5cos2+ 4 ) = 36.

; DD’ debe ser paralela al eje polar escribimos cos en función de sen.

.

Ejercicio 7.34. Encontrar equivalente en C. Rectangulares de: .

e = 1 Parábola D’D perpendicular al Eje Polar; a 4 un. a la izq. del polo.

r(1 – cos ) = 4

Elevamos al cuadrado:

Parábola con vértice en V(– 2; 0) eje sobre el eje X; LR = 8.

Cap. 7- 22



Ejercicio 7.35. Encontrar equivalente en C. Rectangulares de: .

e = 1 Parábola D’D perpendicular al Eje Polar; a 4 un. a la izq. del polo.

e = 1 Parábola con vértice en V(– 1; 0).

Ejercicio 7.36. Encontrar equivalente en C. Rectangulares de: r2 – 2r(cos– sen) = 7.

X2 + Y2 – 2X + 2Y = 7.

(X – 1)2 + (Y + 1)2 = 9. Circunferencia con centro en C(1; – 1) y radio = 3.

Ejercicio 7.37. Dada la ecuación r(1 – 2cos) = 1 identificar a que figura corresponde.

e > 1 Hipérbola. DD’ al eje polar a la derecha del polo.

.

X2 + Y2 = 1 + 4X + 4 X2. 3X2 – Y2 + 4X + 1 = 0.

Ecuación de la hipérbola.

Ejercicio 7.38. Dada la ecuación r(1 – 2sen) = 1 identificar a que figura corresponde.

e > 1 Hipérbola. DD’ paralela al eje polar y por debajo del mismo.

X2 + Y2 = 1 + 4Y + 4Y2. 3Y2 + 4Y – X2 + 1 = 0

Ejercicio 7.39. Determinar la naturaleza de la cada cónica:

39.1. ;

Cap. 7- 23



Hipérbola, DD’ eje polar a del foco.

39.2. e = 1 Parábola, DD’ eje polar a 2 un a la izq. del foco.

39.3.

< 1 Elipse, DD’ // eje polar a 6 un debajo del polo.

Ejercicio 7.40. Hallar las C. Polares de los puntos de intersección de las curvas:

r = 1 – cos. (1)

r = sen(/2) (2)

Si: cos(2 = cos2 – sen2

(3)

Igualamos las ecuaciones (1) y (2): (4)

De (3) y (4) tenemos:

0º

y 150º = 60º y 300º

Puntos de intersección: P1(0; 0º) P2(1/2; 60º) P3(1/2; 300º).

4.4. Lemniscata.

Descripta por Jakob Bernoulli como la modificación de una Elipse, la llamó lemniscus

(cinta colgante). Es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las

distancias de los mismos a puntos fijos (focos) es constante. La representación gráfica

Cap. 7- 24



genera una curva similar a . La curva se ha convertido en

el símbolo del infinito.

Ecuación cartesiana de la Lemnicasta:

.

Ejercicio 7.41. Encontrar el Lugar Geométrico de los puntos P(R; ) tal que el producto de su

distancia a dos puntos fijos A(– a; 0º) y B(a; 0º) sea igual a: a2 .

AP va desde – a hasta P. R va desde 0 hasta P. BP va desde a hasta P

Aplicamos la ley del coseno:

.

R2 = 2a2(2cos22a2cos(2) Ecuación de la Lemniscata.

Ejercicio 7.42. Encontrar el Lugar Geométrico de la Lemniscata de ecuación: r2 = 9cos2.

si sustituimos r por – r y por – ; la ecuación no se modifica, existe

simetría con respecto al eje polar y con respecto al polo. Si = 0º r = 3 (Valor

máximo); si = 45º r = 0; 45º < < 135º r es imaginario.

2 cos(2) r

0º 0º 1 3

15º 30º 0,866 2,8

30º 60º 0,5 2,1

45º 90º 0 0

4.5. Espiral de Arquímedes.

El radio vector es proporcional al ángulo de rotación. Su ecuación es: r = k.

Cap. 7- 25



Ejercicio 7.43. Encontrar el lugar geométrico de los puntos cuyo radio sea proporcional al

ángulo. R = K.

0º 30º 60º 90º 180º 270º 360º

R 0 0,52K K 1,6 K 3,1K 4,7K 6,3K

4.6. Cardioide.

Su ecuación es de la forma: R = a[1 cos()] o R = a[1 sen()].

Ejercicio 7.44. Analizar la ecuación de la cardioide R = 5(1 + cos).

cos 1 por lo tanto R no puede asumir valores negativos.

Si cambiamos por (- ), la ecuación no varía; la misma tiene simetría con respecto al

eje polar.

Para = 0º R = 10, Para = 180º R = 0

Si 0º 180º R varia de 10 a 0.

0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º

R 10 9,3 8,5 7,5 5 2,5 1,5 0,67 0

4.7. Rosa Polar – Curva de Pétalos.

En matemáticas, Rosa Polar o Curva de Pétalos es el nombre que recibe cualquier

miembro de una familia de curvas que se asemejan a una flor de pétalos. Su ecuación es

de la forma: R() = asen(n) o R() = acos(n).

Si n es par: habrá 2n pétalos.

Si n es impar: habrá n pétalos.

Cap. 7- 26



Si n = 1 se tiene un pétalo que es circular.

Ejercicio 7.45. La ecuación: R() = 2sen(3) representa la Rosa Polar de 3 hojas –Trébol.

0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º

R 0 2 0 - 2 0 2 0 - 2 0 2 0 - 2

Acá tenemos: n = 3 (impar) 3 hojas. La función

sen() > 0 en los cuadrantes 1 y 2 y

sen() < 0 en los cuadrantes 3 y 4, el trebol de 3 hojas

es simétrico a la recta perpendicular al Eje

Polar que pasa por el Polo.

Su ecuación cartesiana: .

Cap. 7- 27



Ejercicio 7.46. Rosa Polar de cuatro pétalos: R() = sen(2).

Al cambiar () por (– ) la ecuación no cambia y

existe simetría con respecto al eje X.

n = 2 (par) 2n = 4 hojas.

Su ecuación cartesiana: .

Ejercicio 7.47. Rosa Polar de 8 pétalos: R() = 2cos(4).

Cap. 7- 28



4.8. Caracoles – Caracol de Pascal.

Limaçon, del latín limax: significa caracol. El caracol de Pascal, descubierto por

Etienne Pascal padre de Blaise Pascal, primera mitad del siglo XVII, y el nombre se lo

dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar

tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en

coordenadas polares con la forma: R() = a bcos() o R() = a bsen().

Ejercicio 7.48. Caracol de Pascal que apunta hacia la derecha y tiene un lazo interior.

Su ecuación polar es la siguiente:

.

Ejercicio 7.49. Caracol de Pascal con hendidura o concavidad, no tiene lazo, y está dirigido

hacia la izquierda.


.

Cap. 7- 29



Ejercicio 7.50. Caracol de Pascal lazo interior que apunta hacia abajo.


.

Ejercicio 7.51. Cicloide, es la curva que traza un punto situado en el borde de un círculo que

rueda sin resbalarse sobre una recta.

51.1. Ecuaciones: X() = R( – sen); Y() = R(1 – cos) 0 .

51.2. Lugar Geométrico.

Ejercicio 7.52. Encontrar el equivalente cartesiano de las ecuaciones en C. Polares:

52.1. R2 = a2sen(2.

X = Rcos, Y = Rsen,

.

52.2. R2 = a2cos(2.

Cap. 7- 30



Ejercicio 7.53. Encontrar el equivalente polar de las ecuaciones Cartesianas:

53.1. .

.

53.2. .

53.3. X – 3Y = 0 .

5. ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

En la ecuaciones paramétricas además de las variables X e Y entra una tercera variable

que es el parámetro, el cual al variar nos da los valores correspondientes de X e Y.

Ejercicio 7.54. Encontrar la ec. cartesiana para las ec. paramétricas: X = 8T + 3 e Y = 4T + 2.

; ; 2Y = X – 3 + 4 X – 2Y + 1 = 0. Recta con m = 1/2.

Ejercicio 7.55. Ecuación paramétrica de una circunferencia con centro en el origen y radio R.

X = Rcos Y = Rsen 0 2.

55.1. Graficar.

0º 45º 90º 135º 180º 225º 270º 315º 360º

X R 0,7R 0 – 0,7R – R – 0,7R 0 0,7R R

Y 0 0,7R R 0,7R 0 – 0,7R – R – 0,7R 0

55.2. Encontrar la correspondiente ecuación cartesiana.

Elevamos al cuadrado ambas ecuaciones y luego sumamos miembro a miembro:

X2 = R2cos2 Y2 = R2sen2

X2 + Y2 = R2 Ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio R.

Cap. 7- 31



Ejercicio 7.56. Encontrar la ecuación cartesiana para las ecuaciones paramétricas dadas, que

corresponden a una circunferencia con centro en C(h; k) y radio R.

X = h + Rcos Y = k + Rsen 0 2.

Despejamos X e Y; elevamos al cuadrado y luego sumamos miembro a miembro:

(X – h)2 = R2cos2 (Y – k)2 = R2sen2

(X – h)2 + (Y – k)2 = R2 Circunferencia con centro en C(h; k) y radio R.

Ejercicio 7.57. Encontrar la ecuación cartesiana de la curva, dada por las ecuaciones

paramétricas, y dibujarla: X = 3 cos e Y = 3sen.

X2 + Y2 = 9 Ec. de una circunferencia con centro en el origen y radio r = 3.

Ejercicio 7.58. Encontrar la ecuación cartesiana para las ecuaciones: X = acos e Y = bsen.

Despejamos las funciones trigonométricas; elevamos al cuadrado y sumamos:

; Ecuación de una Elipse.

Ejercicio 7.59. Encontrar el Lugar Geométrico definido por las ecuaciones paramétricas:

X = 2cos e Y = 3sen.

.

Ejercicio 7.60. Encontrar el Lugar Geométrico definido por las ecuaciones paramétricas:

X = 6cos e Y = 4sen.

.

Ejercicio 7.61. Encontrar la ecuación cartesiana que corresponde al lugar geométrico definido

por las ecuaciones paramétricas: X = h + acos Y = k + bsen.

Ecuación de una elipse con centro en C(h; k) y eje paralelo al eje X.

Cap. 7- 32



Ejercicio 7.62. Hallar Lugar Geométrico para las ec. paramétricas:

Y = 2a.cotg y X =a.cotag2.

; Ec. de la parábola, eje sobre X.


X = 2a.cotg y Y =a.cotag2.

; Ec. de la parábola, eje sobre Y.

Ejercicio 7.64. Para: X = T + 1; Y = T2 – 4. Encontrar la ec. cartesiana de la curva.

Y = (X – 1)2 – 4 (X – 1)2 = (Y + 4) Parábola vertical, con V(1; – 4).


X = h + a.sec e Y = k + b.tg.

X – h = a.sec e Y – k = b.tg.

;

Ec. de la Hipérbola, eje real paralelo a X.


X = h + a.tg e Y = k + b.sec.

X – h = a.tg e Y – k = b.sec.

;

Ec. de la Hipérbola, eje real paralelo a Y.

Ejercicio 7.67. Hallar LG definido ecuaciones paramétricas: X = 2T; .

XY = 4 Hipérbola Equilátera.

Cap. 7- 33

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7-Cap 7. Traslacion Rotacion Coord Polares