62882504 Rotacion y Traslacion Con Matlab

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA

DE QUERÉTARO

February 16, 2011

Practica 2

Traslación y Rotación

Integrantes:

Corona Cerón Edgar

Naranjo Rojas Sahid

INTRODUCCIÓN La manipulación robótica implica que se desplazarán piezas y herramientas en el espacio

mediante algún tipo de mecanismo. Esto naturalmente conduce a una necesidad de

representar posiciones y orientaciones de piezas, herramientas y del mecanismo en si.

Marco Teórico

Una traslación desliza un punto en el espacio una distancia finita a lo largo de una

dirección vectorial dada. Con esta interpretación de trasladar el punto en el espacio, solo

necesita estar involucrado un sistema de coordenadas. Resulta que el proceso de

trasladar el punto en el espacio se logra con las mismas matemáticas utilizadas para

asignar el punto en una segunda trama. Casi siempre es muy importante comprender cuál

interpretación de las matemáticas se está utilizando. La distinción es tan simple como

esto: cuando un vector se desplaza “hacia adelante” en forma relativa a una trama,

podemos considerar bien que el vector se desplazó “hacia adelante” o que la trama se

movió “hacia atrás”. La figura 1 siguiente, indica gráficamente cómo se traslada un vector AP1 mediante un vector AQ

Figura1. Operador de traslación

El resultado de la operación es un nuevo vector AP2 que se calcula así:

(1) AP2 = AP1 + AQ

Para escribir esta operación de traslación como un operador matricial utilizamos la

notación:

(2) AP2 = AP1

En donde q es la magnitud con signo de traslación a lo largo de la dirección vectorial Ȏ. El

operador DQ puede considerarse como una transformación homogénea de una forma

especialmente simple:

(3)

DQ (q) =

1 0 0 ��0 1 0 ��0 0 1 ��0 0 0 1

En donde qx qy y qx son los componentes del vector de traslación Q y q = �� + �� + ��

También se puede interpretar a una matriz de rotación como un operador rotacional que

opera sobre un vector AP1 y convierte ese vector en uno nuevo, AP2, por medio de una

rotación R. Generalmente cuando una matriz de rotación se muestra como un operador,

no aparecen subíndices ni superíndices, ya que no se considera que este relacionando

dos tramas. Esto es:

(4) AP2 - R AP1

La matriz de rotación que gira vectores a través de cierta rotación R, es la misma que la

matriz de rotación que describe a una trama girada por R en relación con la trama de

referencia.

Aunque una matriz de rotación puede verse fácilmente como un operador, también

definiremos otra notación para un operador de rotación que indica claramente sobre que

eje se está girando:

(5) AP2 = RK () AP1

En esta notación, “RK ()” es un operador rotacional que realiza una rotación de grados

sobre la dirección del eje K. Este operador puede escribirse como una transformada

homogénea cuya parte correspondiente al vector de posición sea igual a cero.

(6)

RZ� ) = �cos − sin 0 0sin cos 0 00 0 1 00 0 0 1�

Claro que para girar un vector de posición, podríamos utilizar también la parte

correspondiente a la matriz de rotación de orden 3 x 3 de la transformación homogénea.

Por lo tanto, se puede considerar que la notación “RK” representa a una matriz 3 x 3 o de

4 x 4.

Desarrollo Aplicar a los 8 puntos de la pinza las siguientes transformaciones.

• Trasladación de 8 unidades en el eje X

• Traslación de 10 unidades en eje Y

• Traslación de 1 unidad en el eje Z

Figura 1

En esta primera parte realizamos la traslación de los ejes X, Y, Z, variando la matriz de

traslación RBA, la cual explicaremos en el siguiente código.

AQ=[8;10;1];

P1=arb*PB1+AQ;

P2=arb*PB2+AQ;

P3=arb*PB3+AQ;

P4=arb*PB4+AQ;

P5=arb*PB5+AQ;

P6=arb*PB6+AQ;

P7=arb*PB7+AQ;

P8=arb*PB8+AQ;

line([P1(1),P2(1)], [P1(2),P2(2)], [P1(3),P2(3)]);

line([P1(1),P8(1)], [P1(2),P8(2)], [P1(3),P8(3)]);

line([P8(1),P7(1)], [P8(2),P7(2)], [P8(3),P7(3)]);

line([P7(1),P6(1)], [P7(2),P6(2)], [P7(3),P6(3)]);

line([P6(1),P5(1)], [P6(2),P5(2)], [P6(3),P5(3)]);

line([P5(1),P4(1)], [P5(2),P4(2)], [P5(3),P4(3)]);

line([P4(1),P3(1)], [P4(2),P3(2)], [P4(3),P3(3)]);

line([P3(1),P2(1)], [P3(2),P2(2)], [P3(3),P2(3)]);

Rotación alrededor de X de 45°

a=pi/4; // En esta parte del código realizamos la traslación de los 45° sobre el eje X

que corresponde a pi/4

arb=[1,0,0; 0, cos(a),-sin(a); 0,sin(a),cos(a)];

text(5,0,0,'x');

text(0,5,0,'y');

text(0,0,5,'z');

origen=[0,0,0];

P1=[5,0,0];

P2=[0,5,0];

P3=[0,0,5];

line([origen(1),P1(1)], [origen(2),P1(2)], [origen(3),P1(3)]);



AQ=[8;10;1]; %realizando traslacion en los ejes X Y Z

P1=arb*PB1+AQ;

P2=arb*PB2+AQ;

P3=arb*PB3+AQ;

P4=arb*PB4+AQ;

P5=arb*PB5+AQ;

P6=arb*PB6+AQ;

P7=arb*PB7+AQ;

P8=arb*PB8+AQ;

line([P1(1),P2(1)], [P1(2),P2(2)], [P1(3),P2(3)]);

line([P1(1),P8(1)], [P1(2),P8(2)], [P1(3),P8(3)]);

line([P8(1),P7(1)], [P8(2),P7(2)], [P8(3),P7(3)]);

line([P7(1),P6(1)], [P7(2),P6(2)], [P7(3),P6(3)]);

line([P6(1),P5(1)], [P6(2),P5(2)], [P6(3),P5(3)]);

line([P5(1),P4(1)], [P5(2),P4(2)], [P5(3),P4(3)]);

line([P4(1),P3(1)], [P4(2),P3(2)], [P4(3),P3(3)]);

line([P3(1),P2(1)], [P3(2),P2(2)], [P3(3),P2(3)]);

axis([-20,20,-20,20,-20,20]);

grid on;

pause(.1);

Ver figura 2

Figura 2.

Rotación de x de 90°

Código

a=pi/2;


text(5,0,0,'x');

text(0,5,0,'y');

text(0,0,5,'z');

origen=[0,0,0];

P1=[5,0,0];

P2=[0,5,0];

P3=[0,0,5];





P1=arb*PB1+AQ;

P2=arb*PB2+AQ;

P3=arb*PB3+AQ;

P4=arb*PB4+AQ;

P5=arb*PB5+AQ;

P6=arb*PB6+AQ;

P7=arb*PB7+AQ;

P8=arb*PB8+AQ;

line([P1(1),P2(1)], [P1(2),P2(2)], [P1(3),P2(3)]);

line([P1(1),P8(1)], [P1(2),P8(2)], [P1(3),P8(3)]);

line([P8(1),P7(1)], [P8(2),P7(2)], [P8(3),P7(3)]);

line([P7(1),P6(1)], [P7(2),P6(2)], [P7(3),P6(3)]);

line([P6(1),P5(1)], [P6(2),P5(2)], [P6(3),P5(3)]);

line([P5(1),P4(1)], [P5(2),P4(2)], [P5(3),P4(3)]);

line([P4(1),P3(1)], [P4(2),P3(2)], [P4(3),P3(3)]);

line([P3(1),P2(1)], [P3(2),P2(2)], [P3(3),P2(3)]);

axis([-20,20,-20,20,-20,20]);

grid on;

pause(.1);

Ver figura 3

Figura 3

Rotación de 180° sobre X

Codigo.

a=pi/1;


text(5,0,0,'x');

text(0,5,0,'y');

text(0,0,5,'z');

origen=[0,0,0];

P1=[5,0,0];

P2=[0,5,0];

P3=[0,0,5];





P1=arb*PB1+AQ;

P2=arb*PB2+AQ;

P3=arb*PB3+AQ;

P4=arb*PB4+AQ;

P5=arb*PB5+AQ;

P6=arb*PB6+AQ;

P7=arb*PB7+AQ;

P8=arb*PB8+AQ;

line([P1(1),P2(1)], [P1(2),P2(2)], [P1(3),P2(3)]);

line([P1(1),P8(1)], [P1(2),P8(2)], [P1(3),P8(3)]);

line([P8(1),P7(1)], [P8(2),P7(2)], [P8(3),P7(3)]);

line([P7(1),P6(1)], [P7(2),P6(2)], [P7(3),P6(3)]);

line([P6(1),P5(1)], [P6(2),P5(2)], [P6(3),P5(3)]);

line([P5(1),P4(1)], [P5(2),P4(2)], [P5(3),P4(3)]);

line([P4(1),P3(1)], [P4(2),P3(2)], [P4(3),P3(3)]);

line([P3(1),P2(1)], [P3(2),P2(2)], [P3(3),P2(3)]);

axis([-20,20,-20,20,-20,20]);

grid on;

pause(.1);

Ver figura 4

Figura. 4

Rotación de 45° sobre el eje Y

a=pi/4;

arb=[cos(a),0,sin(a); 0,1,0;-sin(a),0,cos(a)];

text(5,0,0,'x');

text(0,5,0,'y');

text(0,0,5,'z');

origen=[0,0,0];

P1=[5,0,0];

P2=[0,5,0];

P3=[0,0,5];





P1=arb*PB1+AQ;

P2=arb*PB2+AQ;

P3=arb*PB3+AQ;

P4=arb*PB4+AQ;

P5=arb*PB5+AQ;

P6=arb*PB6+AQ;

P7=arb*PB7+AQ;

P8=arb*PB8+AQ;

line([P1(1),P2(1)], [P1(2),P2(2)], [P1(3),P2(3)]);

line([P1(1),P8(1)], [P1(2),P8(2)], [P1(3),P8(3)]);

line([P8(1),P7(1)], [P8(2),P7(2)], [P8(3),P7(3)]);

line([P7(1),P6(1)], [P7(2),P6(2)], [P7(3),P6(3)]);

line([P6(1),P5(1)], [P6(2),P5(2)], [P6(3),P5(3)]);

line([P5(1),P4(1)], [P5(2),P4(2)], [P5(3),P4(3)]);

line([P4(1),P3(1)], [P4(2),P3(2)], [P4(3),P3(3)]);

line([P3(1),P2(1)], [P3(2),P2(2)], [P3(3),P2(3)]);

axis([-20,20,-20,20,-20,20]);

grid on;

pause(.1);

Ver figura 5

Figura 5


a=pi/2;


text(5,0,0,'x');

text(0,5,0,'y');

text(0,0,5,'z');

origen=[0,0,0];

P1=[5,0,0];

P2=[0,5,0];

P3=[0,0,5];





P1=arb*PB1+AQ;

P2=arb*PB2+AQ;

P3=arb*PB3+AQ;

P4=arb*PB4+AQ;

P5=arb*PB5+AQ;

P6=arb*PB6+AQ;

P7=arb*PB7+AQ;

P8=arb*PB8+AQ;

line([P1(1),P2(1)], [P1(2),P2(2)], [P1(3),P2(3)]);

line([P1(1),P8(1)], [P1(2),P8(2)], [P1(3),P8(3)]);

line([P8(1),P7(1)], [P8(2),P7(2)], [P8(3),P7(3)]);

line([P7(1),P6(1)], [P7(2),P6(2)], [P7(3),P6(3)]);

line([P6(1),P5(1)], [P6(2),P5(2)], [P6(3),P5(3)]);

line([P5(1),P4(1)], [P5(2),P4(2)], [P5(3),P4(3)]);

line([P4(1),P3(1)], [P4(2),P3(2)], [P4(3),P3(3)]);

line([P3(1),P2(1)], [P3(2),P2(2)], [P3(3),P2(3)]);

axis([-20,20,-20,20,-20,20]);

grid on;

pause(.1);

Ver figura 6

Figura 6.


Código.

a=pi/1;


text(5,0,0,'x');

text(0,5,0,'y');

text(0,0,5,'z');

origen=[0,0,0];

P1=[5,0,0];

P2=[0,5,0];

P3=[0,0,5];





P1=arb*PB1+AQ;

P2=arb*PB2+AQ;

P3=arb*PB3+AQ;

P4=arb*PB4+AQ;

P5=arb*PB5+AQ;

P6=arb*PB6+AQ;

P7=arb*PB7+AQ;

P8=arb*PB8+AQ;

line([P1(1),P2(1)], [P1(2),P2(2)], [P1(3),P2(3)]);

line([P1(1),P8(1)], [P1(2),P8(2)], [P1(3),P8(3)]);

line([P8(1),P7(1)], [P8(2),P7(2)], [P8(3),P7(3)]);

line([P7(1),P6(1)], [P7(2),P6(2)], [P7(3),P6(3)]);

line([P6(1),P5(1)], [P6(2),P5(2)], [P6(3),P5(3)]);

line([P5(1),P4(1)], [P5(2),P4(2)], [P5(3),P4(3)]);

line([P4(1),P3(1)], [P4(2),P3(2)], [P4(3),P3(3)]);

line([P3(1),P2(1)], [P3(2),P2(2)], [P3(3),P2(3)]);

axis([-20,20,-20,20,-20,20]);

grid on;

pause(.1);

Ver figura 7

Figura 7.

Rotación de 45° sobre el eje Z

Código

a=pi/4;

arb=[cos(a),-sin(a),0;sin(a),cos(a),0;0,0,1];

text(5,0,0,'x');

text(0,5,0,'y');

text(0,0,5,'z');

origen=[0,0,0];

P1=[5,0,0];

P2=[0,5,0];

P3=[0,0,5];





P1=arb*PB1+AQ;

P2=arb*PB2+AQ;

P3=arb*PB3+AQ;

P4=arb*PB4+AQ;

P5=arb*PB5+AQ;

P6=arb*PB6+AQ;

P7=arb*PB7+AQ;

P8=arb*PB8+AQ;

line([P1(1),P2(1)], [P1(2),P2(2)], [P1(3),P2(3)]);

line([P1(1),P8(1)], [P1(2),P8(2)], [P1(3),P8(3)]);

line([P8(1),P7(1)], [P8(2),P7(2)], [P8(3),P7(3)]);

line([P7(1),P6(1)], [P7(2),P6(2)], [P7(3),P6(3)]);

line([P6(1),P5(1)], [P6(2),P5(2)], [P6(3),P5(3)]);

line([P5(1),P4(1)], [P5(2),P4(2)], [P5(3),P4(3)]);

line([P4(1),P3(1)], [P4(2),P3(2)], [P4(3),P3(3)]);

line([P3(1),P2(1)], [P3(2),P2(2)], [P3(3),P2(3)]);

axis([-20,20,-20,20,-20,20]);

grid on;

pause(.1);

Ver figura 8

Figura 8

Rotación de 90° sobre el eje Z

a=pi/2;


text(5,0,0,'x');

text(0,5,0,'y');

text(0,0,5,'z');

origen=[0,0,0];

P1=[5,0,0];

P2=[0,5,0];

P3=[0,0,5];





P1=arb*PB1+AQ;

P2=arb*PB2+AQ;

P3=arb*PB3+AQ;

P4=arb*PB4+AQ;

P5=arb*PB5+AQ;

P6=arb*PB6+AQ;

P7=arb*PB7+AQ;

P8=arb*PB8+AQ;

line([P1(1),P2(1)], [P1(2),P2(2)], [P1(3),P2(3)]);

line([P1(1),P8(1)], [P1(2),P8(2)], [P1(3),P8(3)]);

line([P8(1),P7(1)], [P8(2),P7(2)], [P8(3),P7(3)]);

line([P7(1),P6(1)], [P7(2),P6(2)], [P7(3),P6(3)]);

line([P6(1),P5(1)], [P6(2),P5(2)], [P6(3),P5(3)]);

line([P5(1),P4(1)], [P5(2),P4(2)], [P5(3),P4(3)]);

line([P4(1),P3(1)], [P4(2),P3(2)], [P4(3),P3(3)]);

line([P3(1),P2(1)], [P3(2),P2(2)], [P3(3),P2(3)]);

axis([-20,20,-20,20,-20,20]);

grid on;

pause(.1);

Ver figura 9

Figura 9.

Aplicando rotación en el eje X de 0° a 360°

Para realizar esta rotación aplicando los puntos anteriores se utilizó un una sentencia

“for” y una “if” esta para cuando cumpla mi primer sentencia pase a la segunda y de esta

forma recorrer los tres ejes de nuestro plano, X, Y, Z, aplicando las fórmulas de rotación

para dichos ejes.

Código.

for m=0:1:2,

for a=0:0.0174:pi*2

if m==0 %x


end

Ver figura 10.

Figura 10.

Rotación en el eje Y de 0° a 360°

Código.

for m=0:1:2,

for a=0:0.0174:pi*2 if m==1 %y arb=[cos(a),0,sin(a); 0,1,0;-sin(a),0,cos(a)]; end

Ver figura 11

Figura 11

Rotación en el eje Z de 0° a 360°

Código

for m=0:1:2,

for a=0:0.0174:pi*2

if m==1


end

Ver figura 12

Figura 12.

Código completo.

% Practica 1 Robotica

% Edgar Corona Ceron

% Sahid Naranjo Rojas

clear all; clc; clf;

%cordenadas de la pinza

PB1= [0;3;9];

PB2= [0;3;4];

PB3= [0;13;4];

PB4= [0;13;9];

PB5= [0;11;9];

PB6= [0;11;7];

PB7= [0;5;7];

PB8= [0;5;9];

RBA= [1,0,0;0,1,0;0,0,1];%matriz de traslación

line ([PB1(1),PB2(1)],[PB1(2),PB2(2)],[PB1(3),PB2(3)]);








axis([0,20,0,20,0,20]);%cordenadas donde se imprimira en el plano

text(5,0,0,'x');%cordenadas para X

text(0,5,0,'y');%cordenadas para Y

text(0,0,5,'z');%cordenadas para Z

origen=[0,0,0];%cordenadas de nuestro origen de los ejes X, Y, Z

P1=[5,0,0];%cordenadas para el eje X

P2=[0,5,0];%cordenadas para el eje Y

P3=[0,0,5];%cordenadas para el eje Z

grid on;%funcion que da matlab para el enmallado.




pause;

%donde se inizializa nuestro ciclo for para el cumplimiento de nuestros

%objetivos

for m=0:1:2,

for a=0:0.0174:pi*2%equivalencia de 1° en radianes

if m==0 %x


end

if m==1 %y


end

if m==2 %z


end

text(5,0,0,'x');

text(0,5,0,'y');

text(0,0,5,'z');

origen=[0,0,0];

P1=[5,0,0];

P2=[0,5,0];

P3=[0,0,5];





P1=arb*PB1+AQ;

P2=arb*PB2+AQ;

P3=arb*PB3+AQ;

P4=arb*PB4+AQ;

P5=arb*PB5+AQ;

P6=arb*PB6+AQ;

P7=arb*PB7+AQ;

P8=arb*PB8+AQ;

line([P1(1),P2(1)], [P1(2),P2(2)], [P1(3),P2(3)]);

line([P1(1),P8(1)], [P1(2),P8(2)], [P1(3),P8(3)]);

line([P8(1),P7(1)], [P8(2),P7(2)], [P8(3),P7(3)]);

line([P7(1),P6(1)], [P7(2),P6(2)], [P7(3),P6(3)]);

line([P6(1),P5(1)], [P6(2),P5(2)], [P6(3),P5(3)]);

line([P5(1),P4(1)], [P5(2),P4(2)], [P5(3),P4(3)]);

line([P4(1),P3(1)], [P4(2),P3(2)], [P4(3),P3(3)]);

line([P3(1),P2(1)], [P3(2),P2(2)], [P3(3),P2(3)]);

axis([-20,20,-20,20,-20,20]);

grid on;

pause(.1)

clf;

end

end

Conclusiones

Se aprendió a utilizar la herramienta de software Matlab, para poder trasladar, rotar y

simular un elemento en el espacio dentro de los tres ejes (x,y,z) correspondiente a una

pinza mecánica, utilizando las matrices de transformación y traslación.

Bibliografía

“Introducción a la Robótica” 3ra Edición. Craig John. Editorial Pearson Education, México

2006.

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