7 8 9 Konvekcija 2013-2014

Konvekcija Prenos toplote 1

Konvekcija

Konvekcija: prenos toplote med povrino stene in

obtekajoim fluidom nad povrino

Konvekcija: prevod toplote + advekcija (prevladujoi del)


Enabe prenosa toplote

Gibanje obtekajoega fluida osnovni zakoni narave:

Ohranitev mase, momentov, energije in kemijskega potenciala (za

prenos snovi - zmesi)

Newtonovi zakoni

Potrebno upotevati ohranitev energije gibajoe mase fluida.


Masna bilanca

Vstopajoi masni tokovi

Izstopajoi masni tokovi

Tok masne

akumulacije - =

Masna bilanca: z

y

x

)(, dydzum inx dydzdxuxum outx ])([,

u

w

u


Kontinuitetna enaba

Stacionarno stanje

0)()()(

u

z

w

yx

u

Nestisljiv fluid

0

u

z

w

yx

u

0)()()(

u

z

w

yx

u

t(6.1a)

(6.1b)

(6.1c)


Ohranitev momentov

Vstopajoi

tok

momentov

Izstopajoi

tok

momentov

Tok

akumulacije

momentov - + =

Vsota sil

delujoa na

kontrolni

volumen

1. Doloitev toka momentov iz diferencialnega kontrolnega volumna

z

y

x

uuAum xx )( xAdxuux

uu

)()(


Ohranitev momentov

2. Doloitev delujoih sil na diferencialni kontrolni volumen: tlak, gravitacija, napetosti

Napetosti se nanaajo na deformacijske hitrosti (hitrostni gradienti) preko Newtonovega zakona.

y

x

z

dxx

xxxx

xx

yx

dyy

yx

yx

dyy

yy

yy

yy

xy

dxx

xy

xy


Diferencialna momentna bilanca (Navier-Stoksove enabe)

u

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

ug

x

p

z

uw

y

u

x

uu

t

ux

x-komponenta :

u

u

u

u

uu

u

u

2

2

2

2

2

2

zyx

gy

p

zw

yxu

ty

y-komponenta :

u

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

wg

z

p

z

ww

y

w

x

wu

t

wz

z-komponenta :

(6.2a)

(6.2b)

(6.2c)


Ohranitev energije

Enaba ohranitve energije stst

outgin Edt

dEEEE

z

y

x

Qx+dx Qx

Qz

Qz+dz

Qy+dy

Qy

.

. .

.

.

.


Ohranitev energije

gE

W

x

y

dyycondE ,

ycondE ,

xcondE ,

dxxcondE ,

xadvE ,

dxxadvE ,

yadvE ,

dyyadvE ,

Upotevati moramo preneseno energijo zaradi gibanja mase fluida (advekcija)

Kinetina in potencialna energija Delo zaradi tlanih sil


Enaba toplote

Stacionarno stanje, dvodimenzionalni tok nestisljivega fluida s

konstantnimi lastnostmi:

vp Qy

T

x

T

y

T

x

Tuc

u

2

2

2

2

kjer

u

u

222

2yx

u

xy

u

Izstopajoi tolpotni tok zaradi gibanja mase

fluida (advekcija)

Vstopajoi toplotni tok zaradi prevoda toplote

Generiran energijski

tok na enoto volumna

predstavlja viskozno disipacijo: nepovraljiva pretvorba mehanskega dela v toploto zaradi viskoznih efektov fluida

(6.3)

(6.4)

.


Koeficient toplotne prestopnosti

(toplotna prestopnost)

Newtonov zakon hlajenja med povrino As temperature Ts in fluidom:

q)( TTq S

V splonem se tokovni pogoji spreminjajo vzdol povrine lokalna gostota toplotnega toka in lokalni koeficient

toplotne prestopnosti

Celotni toplotni tok

)( )( TTAdATTdAqQ SSA A SSSS S

kjer je SA

SASdA

1 povpreni koeficient toplotne prestopnosti

q


Tok preko ravne ploe:

Kako lahko doloimo koeficient toplotne prestopnosti?

L

dxL

0

1

q

Koeficient toplotne prestopnosti

(toplotna prestopnost)


Hidrodinamina mejna plast

Tok je okarakteriziran z dvema obmojema:

tanka plast fluida (mejna plast), v kateri so hitrostni gradienti in strine napetosti velike. Njena debelina d je definirana z vrednostjo y pri kateri je lokalna hitrost u = 0.99

zunanje obmoje, v katerem so hitrostni gradienti in strine napetosti zanemarljivi.

Tok fluida

preko ravne

ploe:

u

Za Newtonijeve

fluide: 0

y

Sy

u

2/2

uC Sf in

kjer je Cf lokalni

koeficient trenja


Termina mejna plast

Termina mejna plast je obmoje v kateri obstaja temperaturni gradient

Njena debelina je definirana z vrednostjo y kjer je:

Tok fluida preko

izotermalne ravne

ploe:

99.0

TT

TT

S

S

Robni pogoj na povrini ploe (y=0) ni gibanja fluida prevod toplote:

0

y

fSy

Tq in

T

yTyf

S

0

T

/


Mejne plasti

Hidrodinamina mejna plast debeline d (x) je okarakterizirana s

prisotnostjo hitrostnih gradientov in strinih napetosti Koeficient

trenja, Cf

Termina mejna plast debeline dt(x) je okarakterizirana s

temperaturnimi gradienti Koeficient toplotne prestopnosti,

Koncentracijska mejna plast debeline dc(x) je okarakterizirana s

koncentracijskim gradientom in prenosom delcev snovi Koeficient

konvektivnega prenosa snovi, m


Laminarni in turbulentni tok

Kriterij prehodnega obmoja:

5105Re

cx

xu


Aproksimacije mejne plasti

Potrebno je doloiti koeficient toplotne prestopnosti,

V splonem, =f (, cp, , , V, L)

Uporaba Buckinghamovega pi teorema ali doloitev eksaktne reitve z uporabo kontinuitetne, momentne in energijske enabe za mejno plast.

V obliki drezdimenzijskih tevil:

Pr),(ReLfNu

kjer:

xu

LNu

LNu

x

ff

Re

Pr

, lokano in povpreno Nusseltovo tevilo (temelji na lokalnem in povprenem koeficientu toplotne prestopnosti)

Prandtlovo tevilo

Reynoldsovo tevilo

(definirano z razdaljo x)

Pr),Re*,( xx xfNu (x*=x/L)


Konvekcija

Zunanji tokovi


Uvod

Brezdimenzijska oblika koeficienta toplotne prestopnosti

Nusseltovo tevilo:

Pr),(Rexx fNu

Doloitev koeficienta toplotne prestopnosti za razline tokovne oblike, zunanjega toka fluida:

Ravne ploe

krogle, valji, zrana krila, lopatice

V teh tokovih se razvijejejo mejne plasti bolj prosto

Dva pristopa:

Eksperimentalni ali empirini pristop: izmerjene vrednosti prenosa toplote so izvrednotene v obliki brezdimenzijskih paametrov

Teoretini pristop: Reitve enab mejne plasti.

Pr),Re*,( xx xfNu


Ravna ploa v vzporednem toku

Laminarni tok:

0.6Pr , PrRe664.0 3/12/1 xx

xk

xhNu

Turbulentni tok: 60Pr0.6 , PrRe0296.0 3/15/4 xxNu

Snovne lastnosti so obiajno doloene pri srednji temperaturi :

2

TT

T sf

(6.5a)

(6.6a)

(6.7)

0.6Pr , PrRe332.0 3/12/1 xx

xk

xhNu

PrRe037.0 3/15/4LLNu (6.6b)

(6.5b)

Pr)871Re037.0( 3/15/4 LLNu85 10Re105 60,Pr0.6 L

Poenostavitev: za ReL>>5x105


Tok okoli valja in krogle

Tok okoli cilindra in krogle je okarakteriziran z razvojem mejne plasti in njeno razdelitvijo.

Koeficient toplotne prestopnosti je odvisen od narave mejne plasti

Laminarna mejna plast 5102Re

VDD


Preni tok okoli valja

1. Zhukauskasova korelacija:

6

D

4/1

10Re1 500,Pr0.7 Pr

PrPrRe

s

nm

DD CD

Nu

kjer sta C and m odvisna od Re tevila, (n=0.37 za 10Pr) in (n=0.36 za 100.2

5/48/5

4/13/2

3/12/1

000,282

Re1

Pr/4.01

PrRe62.03.0

DDDNu(6.9)

3. Hilpertova korelacija, lahko jo uporabimo za tokove okoli neokroglih oblik, Vrednosti konstant C in m

3/1PrRemDD CNu (6.10)


Preni tok okoli krogle

Whitakerjeva korelacija:

4/1

4.03/22/1 Pr)Re06.0Re4.0(2

sDDDNu 4106.7Re5.3

380Pr71.0

D

snovne lastnosti so doloene pri , razen s , ki je doloena pri Ts T

(6.11)

Ranzova in Marshallova korelacija za prosto padajoe kapljevite kapljice:

3/12/1 PrRe6.02 DDNu (6.12)

Pri ReD=0, se enabi (6.11) in (6.12) reducirata v:

2DNu Uporabno za prenos toplote

mirujoega neskonnega medija okoli povrine


Izraun

Doloitev tokovne geometrije (npr. ravna ploa, krogla, valj, ...)

Doloitev ustrezne temperature za doloitev snovnih lastnosti fluida (obiajno srednje temperature, enaba 6.7)

Izraun Reynoldsovega tevila doloitev ali je tok laminaren ali turbulenten

Kriterij prehodnega podroja:

5105Re

cx

xu

Odloitev ali potrebujemo lokalni ali povpreni koeficient toplotne prestopnosti

Uporaba ustrezne korelacije za doloitev koeficienta toplotne prestopnosti in grelnega ali hladilnega toplotnega toka

5102Re

VDDRavna ploa Valj in krogla


Druge aplikacije

Fluidiziran sloj


Povzetek

Koeficient toplotne prestopnosti pri zunanjih tokovih je odvisen od

narave razvoja mejne plasti.

tevilne korelacije


Konvekcija

Notranji tokovi


Uvod

Zunanji tok (npr. obtekanje krogle)

Izraun snovnih lastnosti pri temperaturi povrine, okoliki temperaturi ali srednji temperaturi

Notranji tok (npr. tok v cevi)

Newtonov zakon hlajenja:

Za tok v cevi ne moremo doloiti temperature fluida

Poznati moramo kako doloiti temperaturo toka v cevi in najti alternativne enabe za izraun gostote toplotnega toka zaradi konvekcije.

)( TTq ss

T


Tokovne razmere za notranji tok

Prehod v turbulentni tok 2300Re

DumD

Hidrodinamina vstopna dolina:

Laminarni tok

Turbulentni tok

Dhfd Dx Re05.0/,

10/, Dx hfd

0/ dxdu


Povprena hitrost

Hitrost v cevi se spreminja po prenem preseku. Za diferencialni del preseka dAc:

A cA dAxrumdm ),( cdAxrumd ),( Celotni masni tok v cevi preseka Ac:

cmAum in c

mA

mu

um - povprena hitrost

(8.1)

Iz enabe (8.1) sledi:

o

cr

oc

Ac

m rdrxrurA

dAxru

u0

2),(

2),(

Povpreno temperaturo lahko doloimo pri vsaki aksialni lokaciji (vzdol x-smeri) iz poznavanja hitrostnega profila

(8.2)


Hitrostni profil v cevi

Laminarni tok nestisljivega fluida, konstantne lastnosti fluida v polno razvitem toku v okrogli cevi:

2

2 14

1)(

oo

r

rr

dx

dpru

dx

dpru om

8

2

(8.3a)

(8.4)

2

12)(

om r

r

u

ru(8.3b)


Povprena temperatura Newtonov zakon hlajenja z

upotevanjem povprene temperature namesto T

)( mSx TTq

Notranja energija na enoto mase za diferencialni del preseka: ),()(),( xrTcudAxrTcmdEd c uu

Celotni preneseni toplotni tok :

u

cm

ETm

kjer je Tm povprena temperatura

Iz enabe (8.6):

u

uo

cr

om

Ac

m rdrxruTrucm

dAxrTuc

T0

2),(

2),(

Integriramo preko celotnega preseka: cAA

dAxrTucEdE u ),(

mTcmE u in

(8.5)

(8.6)

(8.7)


Popolno razviti tok

Pri notranjih tokovih se temperatura T(r), kot tudi povprena temperatura vedno spreminja vzdol x-smeri.

0,0

)(

dx

dT

dx

rdT m

Ali lahko predpostavimo

? 0)(

dx

rdT


Popolno razviti tok

Popolnoma razvito termino obmoje :

Enakomerna temperatura (Ts=konstantna)

Enakomerna gostota toplotnega toka (qx=konstantna)

Termina vstopna dolina :

10)/(

PrRe05.0)/(

,

,

turbtfd

Dlamtfd

Dx

Dx

eprav se T(r) spreminja z x, ostaja relativna oblika temperaturnega profila enaka: Tok je termino popolno razvit.

0)()(

),()(

,

tfdms

s

xTxT

xrTxT

x

.


Popolno razviti tok

Pri popolno razvitem toku predpostavimo, da je lokalni koeficient toplotne prestopnosti neodvisen od x:

)(xf


Spreminjanje povprene temperature vzdol cevi

Tm(x)

Energijska bilanca za diferencialni kontrolni volumen v cevi:

)( uu pTcdmQd mconv

P=perimeter

(8.8a)


Predpostavka idealni plin, oziroma nestisljiv fluid:

)( ,, imompconv TTcmQ

Qconv je izraena z razliko med povpreno izstopno in vstopno temperaturo.

(8.9)

mpconv dTcmQd Po integriranju dobimo:

(8.8b)

Iz enab (8.5) in (8.8b) sledi:

)( mspp

sm TTcm

P

cm

Pq

dx

dT

P= perimeter PpD za okroglo cev, P=irina za ravno ploo

Tm je funkcija x.

(8.10)

Spreminjanje povprene temperature vzdol cevi

.


Po integraciji enabe (8.10) sledi:

)( LPqAqQ ssconv

xcm

PqTxT

p

simm

,)( (8.11)

.konstqs

Primer 1: Konstantna gostota toplotnega toka


Primer 2:

Konstantna povrinska temperatura, Ts=konst.

Iz en.(8.10) ob Ts-Tm=DT: Tcm

P

dx

Td

dx

dT

p

m DD

)(

Z integracijo dobimo za poljubno lokacijo x:

pims

ms

cm

Px

TT

xTT

exp

)(

,

in za celotno dolino cevi:

D

D

pi

o

ims

oms

cm

PL

T

T

TT

TT

exp

,

,

lmsconv TAQ D Srednja logaritmina diferenca:

)/ln( io

iolm

TT

TTT

DD

DDD

(8.13)

(8.14)

(8.12)

As povrina stene cevi, As=PL=pDL


Zamenjamo Ts z in s (celotna toplotna upornost, oziroma koeficient celotne toplotne upornosti, ki vkljuuje konvekcijo na notranji in zunanji strani cevi in prevod toplote preko stene cevi)

T k

D

D

p

s

im

om

i

o

cm

Ak

TT

TT

T

T

exp

,

,

lms TAkq D(8.15) (8.16)

.konstT Primer 3: Konstantna temperatura

zunanjega obtekajoega fluida


Povzetek 1/2

Polno razvit tokovni reim notranjega toka

Povprene hitrosti in temperature

Newtonov zakon o hlajenju z uporabo povprene temperature namesto

Energijska bilanca; Koeficient toplotne prestopnosti pri konvekciji je funkcija srednje vstopne in izstopne temperature fluida.

Spreminjanje Tm z dolino za primer

konstantne gostote toplotnega toka in konstantne temperature stene

T )( mS TTq

)( ,, imompconv TTcmQ

xcm

PqTxT

p

simm

,)(

D

D

pi

o

ims

oms

cm

PL

T

T

TT

TT

exp

,

,

(8.9)


Povzetek 2/2

Doloitev koeficienta toplotne prestopnosti

Notranji tok in konstantna temperatura stene ali konstantna temperatura zunanjega obtekajoega fluida

lmsconv TAQ D

lms TAkQ D

)/ln( io

iolm

TT

TTT

DD

DDD

(8.13-8.16)


Podobnostna teorija mejne plasti

nestisljiv tok (konstantna gostota) , konstantne snovne lastnosti,

zanemarljive volumske sile (X=Y=0), brez volumske generacije

toplote

Predpostavke iz teorije mejne plasti

Hidrodinamina mejna plast Termina mejna plast

0vQ

x

v

y

v

x

u

y

u

vu

,, x

T

y

T



kontinuitetna enaba

x-momentna enaba

energijska enaba

0

y

v

x

u

2

21

y

u

x

p

y

uv

x

uu

0

y

p

2

2

2

y

u

cy

Ta

y

Tv

x

Tu

p



brezdimenzijska kontinuitetna enaba

brezdimenzijska x-momentna enaba

brezdimenzijska energijska enaba

Reynoldsovo tevilo Prandtlovo tevilo

0*

*

*

*

y

v

x

u

* * * 2 ** *

* * * *2

u u dp uu v

x y dx VL y

* * 2 ** *

* * *2

T T Tu v

x y y

a

VL

L

yy *

L

xx *

V

uu *

V

vv *

s

s

TT

TTT

*2

*

V

pp

a

Pr

VLRe



Nusseltovo tevilo

Odvisnost Nu od Re in Pr pri dani geometrijski podobnosti

0

*

*

0

*

*

**

y

f

ys

sf

y

T

Ly

T

TT

TT

L

0

*

*

*

yfy

TLNu

Pr)(Re,fNu


Podobnostna teorija

Biotovo tevilo (razmerje med notranjo toplotno upornostjo telesa in

zunanjo toplotno uporostjo mejne plasti)

Fourierovo tevilo (brezdimenzijski as; razmerje med toplotnim tokom

prevoda toplote in toka shranjene toplotne energije v telesu)

Grashofovo tevilo (razmerje med vzgonskimi in viskoznimi silami)

Jakobovo tevilo (razmerje med senzibilno in latentno energijo shranjeno

med kapljevito parno preobrazbo)

s

LBi

2L

atFo

2

3

LTTgGr s

fg

satsp

h

TTcJa

D


Podobnostna teorija

Nusseltovo tevilo (brezdimenzijski temperaturni gradient na povrini)

Prandtlovo tevilo (razmerje med momentno in toplotno difuzivnostjo)

Reynoldsovo tevilo (razmerje med vztrajnostnimi in viskoznimi silami)

Webrovo tevilo (razmerje med vztrajnostnimi silami in silami povrinske

napetosti)

Bejanovo tevilo

f

LNu

pc

aPr

LVWe

2

VLRe

a

pLBe

2D


Podobnostna teorija

Bejanovo tevilo (razmerje med nepovraljivostjo prenosa toplote in

celotno nepovraljivostjo zaradi prenosa toplote in trenja fluida)

- generacija entropije zaradi prenosa toplote

- generacija entropije zaradi trenja fluida


Prenos toplote pri notranjem toku fluida

Koeficient toplotne prestopnosti potrebujemo za izraun toplotnega

toka oziroma temperaturnih razmer.

Obravnava prenosa toplote pri laminarnem in turbulentnem toku v

okroglih in neokroglih ceveh

Teoretini in eksperimentalni pristop

Brezdimenzijska tevila

Pr)(Re,fNu


Laminarni tok v okroglih ceveh

1. Polno razvito obmoje

energijska enaba, polno razvit tok, enodimenzionalna obravnava, vkljuitev poznanega hitrostnega profila v ceveh

r

Tr

rr

a

r

T

x

Tu u

kjer je u=0 in

2

12)(

om r

r

u

ru

Za konstantno gostoto toplotnega toka je reitev diferencialne enabe:

konst. 48

11)()( s

ssm q

qxTxT

Z uporabo Newtonega zakona

o hlajenju sledi:

)( mSx TTq

D/11

48



Za primere konstantne gostote toplotnega toka:

. 36.4 konstqD

Nu sD

Za primere konstantne povrinske temperature:

. 66.3 s konstTNuD

(8.17)

(8.18)



2. Vstopno obmoje: hitrost in temperatura sta funkciji x

Termina vstopna dolina: predpostavimo popolno razvit hitrostni profil toka

Kombinirana vstopna dolina (termina in hidrodinamina vstopna dolina): temperaturni in hitrostni profil toka se razvijata istoasno



Za pogoje konstantne povrinske temperature:

Primer termine vstopne doline

3/2Pr]Re)/[(04.01

PrRe)/(0668.066.3

D

D

LD

LDNu

D

14.03/1

/

PrRe86.1

s

D

DLNu

D

Primer kombinirane vstopne doline

75.90044.0

700,16Pr48.0

.

s

s konstT

Vse snovne lastnosti, razen s , so doloene pri srednji vrednosti povprene temperature:

2

,, omimm

TTT

(8.19)

(8.20)


Turbulentni tok v okroglih ceveh

Dittus Boelterjeva enaba

za gladke cevi in polno razviti turbuletni tok pri majhnih in srednjih

temperaturnih razlikah Ts-Tm:

nDDNu PrRe023.0

5/410/

000,10Re

160Pr7.0

DL

D

n=0.4 za gretje (Ts>Tm)

n= 0.3 za hlajenje (Ts


Turbulentni tok v okroglih ceveh

Petukhova enaba

vpliv hrapavosti povrine stene:

)1(Pr)8/(7.1207.1

PrRe)8/(3/22/1

f

fNu DD 64 105Re10

2000Pr5.0

D

Gnielinskijeva enaba

za obmoje manjih Reynoldsovih tevil:

)1(Pr)8/(7.121

Pr)1000)(Re8/(3/22/1

f

fNu DD 6105Re3000

2000Pr5.0

D

f koeficient trenja (dobimo ga npr. iz Moody-jevega diagrama)

(8.22a)

(8.22b)

45/1

44/1

D

102Re Re184.0

102Re Re316.0

2300Re tok laminarni Re/64

DD

DD

D

f

f

f


Neokrogle cevi

Uporaba koncepta hidravljinega premera:

P

AD ch

4

Ac is prerez preno na tok in P je omoen perimeter


Povzetek

Obstajajo tevilne enabe za doloitev koeficienta toplotne prestopnosti, za razline situacije tokov, za lamini in turbulentni tok.

Preveri pogoje veljavnosti enab in preveri ali ustrezajo obravnavanemu problemu.


Vizualizacija tokov

obtekanje ploe


Vizualizacija tokov

obtekanje valja


Vizualizacija tokov

obtekanje krogle


Naravna konvekcija

Vertikalna ploa

Podobnostni parameter

Lokalno Grashofovo tevilo

Gostota toplotnega toka na povrini

4/1

4

x

Gr

x

y

2

3

xTTgGr sx

0

*4/1

04

d

dTGrTT

xy

Tq xs

y

s


Naravna konvekcija

Vertikalna ploa

Lokalno Nusseltovo tevilo

Vpliv snovnih lastnosti g(Pr)

Povpreno Nusseltovo tevilo

)(43

44/1

PrgGrL

Nu xL

4/12/12/1

238.1221.1609.0

75.0)(

PrPr

PrPrg

)(44

4/1

0

*4/1

PrgGr

d

dTGrxNu xxx

Ls

L

x

dxPrg

TTg

Ldx

L 0 4/1

4/1

20)(

4

1

LL NuNuLxpri3

4 :


Naravna konvekcija

Vertikalna ploa

Rayleighovo tevilo

n je obiajno 1/4 za laminarni

in 1/3 za turbuletni tok

Churchill in Chujeva enaba za celotno obmoje RaL

n

LL CRaL

Nu

a

LTTgPrGrRa sLL

3

2

27/816/9

6/1

/492.01

387.0825.0

Pr

RaLNu LL


Naravna konvekcija

Dolg horizontalni valj

krogla

2

27/816/9

6/1

/559.01

387.060.0

Pr

RaDNu DD

DNuD

2

27/816/9

6/1

/559.01

387.060.0

Pr

RaNu DD

125 1010 DRa

9/416/94/1

/469.01

589.02

Pr

RaNu DD

Prehod pri

Mejna

plast

Okoliki

zrak Q

Q

Documents

7 8 9 Konvekcija 2013-2014