Šabanović Sabahudin, 08.02.2010.godine

Drugi dio seminarskog rada iz Kvantitativnih metoda,

PDS-Travnik, Menadžment u upravljanju

Zadaća 1:

Djeca u igri bacaju pravilnu šesterostranu kockicu sa brojevima 1 - 6. Kolika je vjerojatnost u svakom od tri uzastopna bacanja da će baciti broj 6, kao i kolika je vjerojatnost da će pasti 6-ica dva i tri puta uzastopno? Objasniti. Rješenje

Kako bacanjem kocke može nastati 6 različitih jednako mogućih događaja i kako je broj povoljnih događaja jedan to

ćemo, označavajući nastajanje očekivanog događaja „ šestice“ sa A, imati :

Što predstavlja pojavu broja „6“ na kocki u jednom bacanju.

Pri tri uzastopna bacanja vjerovatnoća pojave „šestice“ je

Pri tri uzastopna bacanja kocke, vjerovatnoća da će pasti „šestica“ dva i tri puta uzastopno računa se na sledeći

način.

Budući da se radi o varijacijama sa ponavljanjem mogući broj ishoda je

ishoda

Povoljni ishodi (pojava „šestice“ dva ili tri puta uzastopno) su: (6,6,6)(6,6,5)(6,6,4)(6,6,3)(6,6,2)(6,6,1)(5,6,6)(4,6,6)

(3,6,6)(2,6,6)(1,6,6) Broj povoljnih ishoda je 11. Ako označimo povoljan ishod uzastopne pojave „šestice“ dva i tri

puta sa B tada se vjerovatnoća izracunava:

Zadaća 2:

Ako 30 % učenika postiže ocjenu 5 iz fizike, a također i ocjenu 5 iz filozofije, kolika je a priori vjerojatnost da će u razredu sa 30 učenika biti odlikaša s obje ocjene 5 iz ta dva predmeta? Objasniti. Rješenje

Ako označimo događaje na sljedeći način, A-ocjena 5 iz fizike B-ocjena iz filozofije, P(A)=0,3=30%

P(B)=0,3=30%

Vjerovatnoće da će učenik imati istovremeno ocjenu 5 iz fizike i filozofije računamo :

1

P=P(A) x P(B), P=0,3 x 0,3=0,09=9%

Zadaća 3:

Prosječna visina populacije učenika sedmih razreda jednog grada iznosi 166.5 cm. Ukupno 120 učenika sedmih razreda naše škole izmjereno je i dobiveni su slijedeći podaci: prosječna vrijednost = 167.5 cm, uz standardnu devijaciju od 2.0 cm. Odrediti granične vrijednosti intervala pouzdanosti za 95 % sigurnosti. Objasniti. Rješenje

, odakle slijedi da je rizik α=5%=0,05

U ovom primjeru radi se o procjeni aritmetičke sredine osnovnog skupa (populacije) na osnovu rezultata iz uzorka. Interval za procjenu je :

Donja granica intervalne procjene je :

Gornja granica intervalne procjene je :

Kako je aritmetička sredina iz uzorka poznata i iznosi 167,5 cm, na osnovu površine ispod normalne krive

P(z)=(1-α)/2=0,95/2=0,4750, odkale slijedi da je teorijski z-omjer 1,96.

Obzirom da nam nije poznata standardna devijacija, niti varijansa osnovnog skupa (populacije) moramo

prvo izračunati nepristrasnu procjenu standardne devijacije koristeći standardnu devijaciju iz uzorka.

Služimo se sledećim obrascem:

(ovo vrijedi zato što je veličina uzorka veća od 50 jedinica)

2

Sada, uvrštavanjem izračunatih veličina u interval za procjene aritmetičke sredine osnovnog skupa

(populacije), možemo izračunati kritične granice

Uz 95 % pouzdanosti prosječna visina učenika sedmih razreda će se kretati od 167,14 do 167,86 cm, na osnovu rezultata iz uzorka.

P(167,14 ≤ µ ≥ 167,86) = 95 %.

Zadaća 4:

Svake godine učenici osmog razreda se mjere u skoku u dalj. Prosječne vrijednosti u školi su navedene (2000 - 180.25, 2001 - 183.25, 2002 - 190.00, 2003 - 188.75, 2004 - 190.50, 2005 - 186.75, 2006 - 187.50, 2007 - 190.25, 2008 - 190.00). Izračunati bazne i lančane indekse za pojedine godine, kao i za slijedeću 2009. godinu. Objasniti. Rješenje

Godina

Prosječne vrijednosti u školi

Verižni (lančani) indeksi

Bazni indeksi (2000=100)

2000 180,25 ---- 100,002001 183,25 101,66 101,662002 190,00 103,68 105,412003 188,75 99,34 104,722004 190,50 100,93 105,692005 186,75 98,03 103,61

3

2006 187,50 100,40 104,022007 190,25 101,47 105,552008 190,00 99,87 105,41

U gornjoj tabeli su izračunati verižni ili lančani indeksi. Tako na prm. verižni indeks u 2004.godini iznosi 100,93, znači da na 100 jedinica pojave y u 2003.godini dolazi 100,93 jedinica u 2004.godini, odnosno pojava Y u 2004.godini je za 0,93% veća nego u 2003.godini.

U gornjoj tabeli su izračunati i bazni indeksi sa baznom 2000.godinom (2000=100). Tako na prm. bazni indeks u 2004.godini iznosi 105,41 znači da na 100 jedinica pojave y u 2000.godini (baznoj) dolazi 105,41 jedinica u 2000.godini (baznoj), odnosno pojava Y u 2004.godini je za 5,41 % veća nego u 2000.godini (baznoj).

Na osnovu geometrijske stope rasta izračunali smo prosječnu godišnju stopu rasta

S=(G-1)*100=0,66%

Na osnovu prosječne godišnje stope rasta, odnosno geometrijske stope rasta procjenili smo nivo pojave Y-prosječne vrijednosti u školi u 2009.godini.

, što predstavlja nivo pojave Y u 2009.godini.

, što predstavlja verižni ili lančani indeks u 2009.godini.

, što predstavlja bazni indeks u 2009.godini u odnosu na baznu 2000.godinu.

Zadaća 5:

Izračunati linearnu vrijednost pojave vrhunskih učenika koji imaju iz najmanje 6 predmeta ocjenu izvrstan (2000 - 17 učenika, 2001 - 22, 2002 - 19, 2003 - 18, 2004 - 24, 2005 - 28, 2006 - 25, 2007 - 26, 2008 - 29). Prognozirati vrijednost pojave za slijedeću 2009. godinu. Objasniti. Rješenje

Godina

Broj vrhunskih učenika koji imaju iz najmanje 6 predmeta ocjenu "izvrstan"

2000 17,00 1,00 17 1,00

2001 22,00 2,00 44 4,00

4

2002 19,00 3,00 57 9,00

2003 18,00 4,00 72 16,00

2004 24,00 5,00 120 25,00

2005 28,00 6,00 168 36,00

2006 25,00 7,00 175 49,00

2007 26,00 8,00 208 64,00

2008 29,00 9,00 261 81,00

UKUPNO 208,00 45,00 1122 285,00

Kako imamo u zadatku dvije varijable, zavisnu Y- Broj vrhunskih učenika koji imaju iz najmanje 6 predmeta ocjenu "izvrstan", i nezavisnu X-Vrijeme, radi se o trend modelu odnosno linearnom trend modelu.

Jednačina linearnog trenda izgleda ovako:

X=0, 30.06.1999.godine

X=1, jedna godina

Y=1, jedan vrhunski učenik

5

U gornjem dijelu su izračunati parametri β-koeficijent koji pokazuje za koliko se mijenja vrijednost zavisne varijable Y, ako se nezavisna varijabla X-vrijeme mijenja za jednu jedinicu.

Nakon toga smo izračunali regresijsku vrijednost za 2009.godinu.

Za 2009.godinu

Vrijednost zavisne varijable Y u 2009.godini iznosi 29,98 odnosno 30 vrhunskih učenika koji imaju iz najmanje 6 predmeta ocjenu izvrstan.

Zadaća 6:

Utvrditi statističku vrijednost razlike pojave u kojoj dvije grupe studenata postižu rezultate na ispitu. Prikazati grafički. Objasniti.

Ocjene............/.............Gradovi........Travnik..............Zenica

.10.........................................................5........................6

...9.........................................................8......................15

...8.......................................................11......................24

...7.......................................................22........................9

...6.........................................................9........................7 Rješenje

OCJENE (x)

GRADOVI TRAVNIK ZENICATRAVNIK

(f1)ZENICA

(f2)10 5 6 50 500 60 6009 8 15 72 648 135 12158 11 24 88 704 192 15367 22 9 154 1078 63 4416 9 7 54 324 42 252

UKUPNO 55 61 418 3254 492 4044

Prvo izračunavamo aritmetičku sredinu i varijansu za uzorak studenata u gradu Travniku.

TRAVNIK (1)

6

U nastavku računamo aritmetičku sredinu i varijansu za uzorak studenata u gradu Zenici.

ZENICA (2)

Polazi se od pretostavke da su jednake prosječne ocjene na ispitu između studenata u gradovima Travnik i Zenica. Dakle, polazimo da nema razlike u prosječnim ocjenama između dvije skupine studenata. Testiranje provodimo na razini značajnosti (rizik) od 5 % odnosno 0,05.

Postavimo hipoteze na sledeći način:

Radi se o dvosmjernom testu o razlici aritmetičkih sredina dva skupa. Testiranje provodimo upotrebom Z-testa.

Izračunamo empirijski Z-test

7

Sada izračunavamo vrijednost standardizovane testovne veličine.

, što predsatvlja vrijednost izračunatog (emirijskog ) Z testa.

Nakon toga izračunavamo vrijednost teorijskog (tabličnog) z-omjera i to:

P(z)=0,5-α/2=0,5-0,025=0,4750, odakle slijedi da je teorijski z=1,96.

ODLUKA: Uporedimo li emirijski i teorijski z-omjer, vidimo da je izračunati (empirijski ) z-omjer (-2,09) izvan

intervala teorijskog z-omjera (±1,96) prihvatamo H1, odnosno proječne ocjene studenata u Travniku i Zenici se

međusobno razlikuju.

8