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Jedem Winkel α auf dem Einheitskreis entspricht ein Punkt (x, y)auf dem Einheitskreis.
(x, y)
α
ausgehend vom Punkt (1;0)
3
Jedem Winkel � auf dem Einheitskreis entspricht ein Punkt (x; y)
auf dem Einheitskreis.
(x, y)
α
ausgehend vom Punkt (1;0)
4
Das Bogenmaß t und das Bogenmaß t+ 2π fuhren auf denselbenWinkel α
tα
wie auch die Bogenmaße t± 2kπ, k = 0,1,2, . . .
9
Fur den Punkt (x, y) auf dem Einheitskreis zum Bogenmaß t
schreiben wir
cos t
sin tt
(x, y) (x, y) = (cos t, sin t)
10
F�ur den Punkt (x; y) auf dem Einheitskreis zum Bogenma� t
schreiben wir
cos t
sin tt1
sin(t)2 + cos(t)2 = 1
nach dem Pythagoras
11
F�ur den Punkt (x; y) auf dem Einheitskreis zum Bogenma� t
schreiben wir
π/4
sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√
2
12
F�ur den Punkt (x; y) auf dem Einheitskreis zum Bogenma� t
schreiben wir
π/3
cos(π/3) = 1/2
sin(π/3) =√
3/2
13
F�ur den Punkt (x; y) auf dem Einheitskreis zum Bogenma� t
schreiben wir
π/6
sin(π/6) = 1/2
cos(π/6) =√
3/2
14
cos t und sin t sind periodisch mit Periode 2π:
cos(t+ 2π) = cos t und sin(t+ 2π) = sin t
cos t
sin t
16
Wenn man den Einheitskreis einmal durchlauft, gibt es eine Schwin-gung auf [0,2π]:
2π
sin(t) sin(2t) sin(3t)
Bei sin(nt) ist die Frequenz n und die Periode 2�=n.
17
Wenn man den Einheitskreis zweimal in doppelter Geschwindig-keit durchlauft, gibt es zwei Schwingungen auf [0,2π]:
2π
sin(t) sin(2t) sin(3t)
Bei sin(nt) ist die Frequenz n und die Periode 2�=n.
18
Wachsende Frequenz: Einheitskreis zweimal in doppelter Ge-
schwindigkeit durchl�auft, gibt es zwei Schwingungen auf [0;2�]:
2π
sin(t) sin(2t) sin(3t)
Bei sin(nt) ist die Frequenz n und die Periode 2π/n.
19
Eine eindruckliche Formel:
cos(1,05t) + cos(0,95t) = 2 · cos(0,05t) · cos(t)
Amplitude · Schwingung
22
cos t
−∆ cos t
∆ sin t
sin tt
1
∆t
∆ sin t
∆t=
cos t
1+ o(1)
∆ cos t
∆t=− sin t
1+ o(1)
fur ∆t→ 0
26
Fur ∆t→ 0 folgt
d sin
dt(t) =
∆ sin t
∆t+ o(1) =
cos t
1+ o(1)
undd cos
dt(t) =
∆ cos t
∆t+ o(1) =
− sin t
1+ o(1)
insgesamt ∣∣∣∣∣ sin′ = cos , cos′ = − sin
27
Dies fuhrt uns zu einer Formel zum Berechnen von Sinus und
Cosinus.
Wir erinnern uns: Fur die Exponentialfunktion gilt
ex = 1 + x+x2
2+x3
6+ · · · =
∞∑n=0
xn
n!
denn die unendliche Reihe f(x) =∑∞n=0
xn
n! erfullt die charakteri-
stischen Gleichungen
f ′(x) = f(x) und f(0) = 1
der Exponentialfunktion.
28
Jetzt betrachten wir die unendlichen Reihen
g(t) = t−t3
3!+t5
5!∓ · · · und h(t) = 1−
t2
2!+t4
4!∓ · · ·
Differenzieren wir wieder gliedweise, so folgt
g′(t) = h(t) und h′(t) = −g(t)
Außerdem gilt g(0) = 0 und h(0) = 1. Diese Eigenschaften cha-
rakterisieren den Sinus und Cosinus!
29
Wir halten fest:
sin t = t−t3
3!+t5
5!∓ · · · =
∞∑n=0
(−1)nt2n+1
(2n+ 1)!
cos t = 1−t2
2!+t4
4!∓ · · · =
∞∑n=0
(−1)nt2n
(2n)!
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