-
6 Dinmica Relativstica
Este captulo trata da dinmica de uma partcula clssica
relativstica uti-lizando os recursos do formalismo tensorial do
espao-tempo de Minkowski.Trata-se de obter a generalizao
relativstica da segunda lei de Newton, queno limite newtoniano de
pequenas velocidades em relao velocidade da luzse reduza exatamente
segunda lei de Newton. A equao deve ser invari-ante na forma pelas
transformaes gerais de Lorentz, uma propriedade queaparece
explcitamente no formalismo tensorial.
6.1 Equao de movimento
A segunda lei de Newton,dp
dt= F ;
relaciona a taxa de variao no tempo do momento linear p = mv com
umagente extertno atuando sobre a partcula atravs da fora F.Para
procurar a equao relativstica equivalente, dene-se o
quadri-vetor
de momentop = m0U
; (1)
onde m0 ser identicado como a massa de repouso da partcula.Uma
equao covariante anloga segunda lei de Newton
f =dp
d= m0
dU
d= m0A
; (2)
desde que a ao externa sobre a partcula possa ser representada
atravsde um quadri-vetor, f, quadri-vetor fora. Para identicar o
signicadofsico destas grandezas, pode-se relacion-las com as
grandezas tradicionaisenvolvidas como a massa, o momento linear e a
fora.Se no houver nenhuma fora externa atuando sobre a
partcula,
f = 0) dp
d=dp
dt
dt
d= 0) dp
dt= 0 ; (3)
que implica na conservao do quadri-momento p.As componentes
temporal e espaciais do quadri-momento
p = (p0; pi) (4)
sop0 = m0U
0 = m0vc (5)
67
-
epi = m0U
i = m0vvi ; (6)
respectivamente, onde
vi =dxi
dt
so as componentes da velocidade e
v =1p
1 v2=c2 para v2 = v2x + v
2y + v
2z :
Dene-se a massa relativstica da partcula, dependente da
velocidade,
m = m0v ; (7)
de modo que o quadri-momento p ca
p = (mc;mv) : (8)
A equao (2) pode ser reformulada para que a derivada seja em
relaoao tempo do laboratrio, usando dt = vd ;
dp
d= f =) dp
dt
v = vF
; (9)
ou seja,dp
dt= F =) (dp
0
dt;dp
dt) = (F 0;F) :
Esta ltima equao, embora no seja explicitamente covariante,
expressaem termos de grandezas fsicas usuais. Em particular, a
parte espacial exatamente a equao de fora da segunda lei de
Newton
dp
dt= F : (10)
Para identicar a componente F 0, considere a invariante
UU = c2 ;
cuja derivada em relao ao tempo prprio
U:
U
= UA = 0 ;
indicando que o quadri-vetor de fora deve satisfazer
identidade
Uf = 0 ; (11)
68
-
ou seja,cF 0 viF i = 0 : (12)
Esta equao relaciona a componente temporal da quadri-fora f com
apotncia v F,
F 0 =v Fc
; (13)
de modo que
f = v
v Fc
;F
(14)
edp
dt=
dp0
dt;dp
dt
=
v Fc
;F
(15)
ou, mais explicitamente,
dp0
dt=v Fc
edp
dt= F : (16)
6.2 Massa e energia
O ganho de energia cintica de uma partcula, inicialmente em
repouso, ao selocomover de uma posio O para uma outra posio P dado
pelo trabalhorealizado pela fora neste percurso,
K =
Z PO
Fdr : (17)
Utilizando as equaes (8) e (10),
K =
Z PO
Fdr =Z PO
d
dt(mv)dr =
Z PO
d
dt(mv) vdt
e, fazendo uma nova mudana na varivel de integrao,
K =
Z PO
vd(mv) =Z PO
v[mdv + vdm] =Z PO
[mvdv + v2dm] :
Da massa relativstica (7) resulta
dm =m0
(1 v2=c2) 32vdvc2
;
sendo conveniente fazer a substituio
mvdv = (c2 v2)dm
69
-
que leva a
K =
Z PO
[mvdv + v2dm] =Z mm0
c2dm = mc2 m0c2 : (18)
Este resultado associa a energia cintica variao da massa
relativstica,e a variao da energia cintica entre dois pontos
quaisquer P1 e P2 ca
K = K2 K1 = (m2 m1)c2 : (19)No limite no relativstico (v c),
usando a aproximao
1 = 1q1 v2
c2
1 ' 1 + 12
v2
c2 1 = 1
2
v2
c2;
a expresso relativstica da energia cintica assume a forma usual
da mecnicanewtoniana,
K = (mm0)c2 = ( 1)m0c2 = 12m0v
2 : (20)
O resultado (18) sugere a denio da energia total da partcula
livrecomo
E = K +m0c2 = mc2 ; (21)
ondeE0 = m0c
2 (22)
dene a energia de repouso.Pela equao (21) a variao da energia
leva variao da massa,
E = mc2 ; (23)
mostrando a equivalncia entre estas duas grandezas, a menos de
um fatorde converso c2 da unidade de massa para a unidade de
energia.Com estes resultados, cam denidas as componentes do
quadri-vetor de
energia-momento,
(p) = (p0;p) = (mc;p) =
E
c;p
; (24)
e a equao (15), nestas variveis, ca
dp
dt=
dE
cdt;dp
dt
=
v Fc
;F
: (25)
70
-
Do produto escalar
pp =
E2
c2 p2 ;
invariante relativstica, cujo valor no referencial de repouso
(onde p = 0)
pp =
E20c2
= m20c2 ;
resulta uma da relaes fundamentais da Relatividade Restrita,
E2 p2c2 = m20c4 : (26)
Para uma partcula com massa de repouso nula, (m0 = 0), como o
fton,resulta
E2 p2c2 = 0 ; (27)e, em mdulo,
E = pc : (28)
Como a energiaE = mc2 =
m0p1 v2=c2 c
2
deve ser nita, a velocidade de uma partcula sem massa deve ser
igual velocidade da luz. A energia quntica associada ao fton e a
outras partculasde massa nula dada pela relao de Planck
E = ~! (29)
que, juntamente com a relao de De Broglie
p = ~k (30)
leva relao!2 = k2c2
da fsica ondulatria.
6.3 Transformaes de Lorentz
As grandezas quadri-vetoriais, por denio, transformam-se da
mesma ma-neira que as coordenadas, por uma transformao de Lorentz.
Assim, paraa transformao geral de Lorentz
x0 = x ; (31)
71
-
os quadri-vetores energia-momento e a quadri-fora, denidos em
(1) e (2),respectivamente, transformam-se exatamente da mesma
forma,
p0 = p e f 0
0 = f : (32)
Em especial, para uma transformao de Lorentz especial entre
referen-ciais R e R0 com movimento relativo uniforme ao longo do
eixo comum xx0,8>>>:
ct0 = (ct x)x0 = (x V t)y0 = yz0 = z
()
8>>>:x00 = (x0 x1)x01 = (x1 x0)x02 = x2
x03 = x3; (33)
a transformao da energia-momento
p = m0U =
E
c;p
= (mc;mv) (34)
ca 8>>>:E 0 = (E V px) ! m0 = m (1 vxV=c2)p0x = (px
EV=c2)p0y = pyp0z = pz
(35)
e a transformao da fora, obtida a partir da quadri-vetor
f = v
v:F
c;F
;
resulta
v0 F0 = 1(1 vxV=c2) [v F V Fx]
F 0x =1
(1 vxV=c2)Fx V
c2v F
F 0y =
1
(1 vxV=c2)Fy (36)
F 0z =1
(1 vxV=c2)Fz
Na primeira das equaes (35),
m =m0p
1 v2=c2 e m0 =
m0p1 v02=c2 ; (37)
onde v e v0 so as velocidades nos referenciais R e R0,
respectivamente.
72
-
6.4 Fora e acelerao
Muitas vezes, para uma melhor viso dos processos fsicos e das
relaes entreas grandezas envolvidas, torna-se necessria ou
prefervel trabalhar com asgrandezas fsicas usuais em vez das
equivalentes quadri-vetoriais. A equaoquadri-vetorial (2) ca mais
intuitiva separando nas equaes de fora,
dp
dt= F ; (38)
e na equao de potncia,
dE
dt= F v = dm
dtc2 : (39)
Resolver estas equaes signica determinar a trajetria da
partculamovendo-se sob a ao da fora externa F. Pela denio do
momento lin-ear relativstico e, considerando a dependncia da massa
relativstica com avelocidade,
dp
dt=
d
dt(mv) = v
dm
dt+m
dv
dt: (40)
Comodm
dt=F vc2
;
resultad
dt(mv) = v
(F v)c2
+mdv
dt;
ou seja,
a =dv
dt=F
m v (F v)
mc2: (41)
Esta equao mostra que na Relatividade Restrita fora e acelerao
emgeral no tem a mesma direo, nem resulta numa equao diferencial
linear,o que pode dicultar muito a sua integrao. No entanto, h dois
casosem que a equao de movimento facilmente integrada,
respectivamentefora e velocidade paralelas e fora e velocidade
perpendiculares, para forasconstantes em mdulo, que sero tratados a
seguir.
6.5 Fora constante: movimento hiperblico
Talvez este seja o sistema relativstico mais simples, uma
partcula sujeitaa uma fora constante F0. Se a fora for aplicada na
mesma direo da
73
-
velocidade, a acelerao tambm resultar na mesma direo, e o
movimentoresultante ser unidimensional. Com efeito,
a =F0m F0m
v2
c2=
1 v
2
c2
3=2a0 ; (42)
onde a0 = F0=m0, constante, resultando
1
(1 v2=c2)3=2dv
dt= a0 ;
uma equao diferencial facilmente integrvel.Porm, para um
movimento unidimensional, h uma maneira mais sim-
ples de integrar a equao de movimento. A equao (38) ca, neste
caso,
d
dt(mv) = F0 ; (43)
ou seja,d
dt(vv) = a0 ; (44)
cuja integrao imediata. Dada a velocidade v0 no instante t0,
resulta
vv 0v0 = a0(t t0) ; (45)onde
v =1p
1 v2=c2 : (46)
Para isolar a velocidade, pode-se quadrar o resultado (45),
v2(t)
1 v2=c2 = f2(t) = [0v0 + a0(t t0)]2 ;
e resolver para v2,
v2(t) =f 2(t)
1 + f 2(t)=c2: (47)
Supondo a velocidade v0 = 0 no instante t0 = 0, resulta
v(t) =a0tp
1 + (a0t=c)2=
cp1 + c2=(a0t)2
(48)
e, para o fator v,
v =1p
1 v2=c2 =p
1 + (a0t=c)2 : (49)
74
- Figura 6.1: Velocidade em funo do tempo, 1 < t
-
Figura 6.2: Acelerao em funo do tempo no movimento
hiperblico.
A acelerao decrescente com a velocidade para uma fora aplicada
con-stante est de acordo com a existncia de uma velocidade limite
c. Estacompensao ocorre devido massa relativstica
m =m0p
1 (v=c)2 = m0p
1 + (a0t=c)2 ; (51)
crescente com o mdulo da velocidade. Na medida em que a massa
iner-cial tende ao innito quando a velocidade se aproxima de c,
nenhuma foraexterna ser suciente para aumentar a velocidade acima
de c. A gura3 mostra a dependncia temporal da massa relativstica de
um corpo emmovimento hiperblico.
Figura 6.3: Massa relativstica, m=m0, em funo do tempo, no
movimentohiperblico.
A trajetria da partcula,
x(t) = x0 +
Zv(t) dt :
76
-
considerando a condio inicial x0 = 0 em t = 0, ca
x(t) =c2
a0
24s1 + a0tc
2 135 ; (52)
ilustrada na gura 4. A equao da trajetria pode ser rearranjada
na forma
a0x2 + 2c2x a0c2t2 = 0 ; (53)
equao da hiprbole no plano xct que d nome ao movimento
hiperblico.
Figura 6.4: Trajetria hiperbolica de uma partcula sujeita a uma
foraconstante.
Na dinmica relativstica, uma fora constante aplicada num corpo
noresulta numa acelerao constante, uma vez que a velocidade
limitada pelavelocidade da luz. No entanto, nos referenciais onde o
corpo est instanta-neamente em repouso, a acelerao a0, constante,
dada por
a0 =1
1 v2c2
3=2a ; (54)idntica equao (42), onde a(t) e v(t) so a acelerao e
a velocidade noreferencial de laboratrio R. No referencial prprio
R0 da partcula, noinercial, a acelerao nula, mas h um campo de
acelerao equivalente aum campo gravitacional uniforme, como rege o
Princpio da Equivalncia deEinstein entre gravitao e acelerao.Deste
modo, um observador num referencial inercial em queda livre num
campo gravitacional uniforme ver um corpo em repouso no
referencial delaboratrio como executando um movimento
hiperblico.
77
-
Se integrar a relao diferencial entre o tempo prprio e o tempo
delaboratrio t,
dt = vd ;
o fator v dado em (49)., considerando a condio = 0 quando t =
0,resulta
=
Z t0
r1 v
2
c2dt =
Z t0
1q1 +
a0tc
2dt = ca0 sinh1 a0tccuja relao inversa
t =c
a0sinh
a0c:
As coordenadas no espao-tempo de uma partcula executando
movi-mento hiperblico, com a condio x(t = 0) = c2=a0, so
x =c2
a0cosh
a0c
ct =c2
a0sinh
a0c; (55)
equaes paramtricas correspondentes ao ramo superior da equao da
hipr-bole no plano x ct.
7 Carga num campo magntico uniforme
Um campo magntico B exerce uma fora sobre uma partcula com
cargaeltrica q dada por
F =q
cv B
que, sendo perpendicular velocidade,
F v = 0 ;e, portanto,
dE
dt=
d
dt(mc2) = 0 ;
mostrando que a energia conservada e a massa relativstica
permanececonstante.Fora e acelerao resultam paralelas,
F = ma =m0p
1 v2=c2a ; (56)
78
-
e, consequentemente, acelerao perpendicular velocidade, tpica de
ummovimento circular. A equao de movimento (41) ca
a =q
mcv B : (57)
Para um campo magntico uniforme orientado na direo do eixo z, B
=B^z, e perpendicular velocidade,
v B = (vx^y + vy^x)B ;
de modo que
a =dv
dt=qB
mc(vy^x vx^y) ;
resultando num sistema de equaes diferenciais acopladas
dvxdt
=qB
mcvy ;
dvydt
= qBmc
vx ; (58)
dvzdt
= 0 :
Derivando uma vez em relao ao tempo, resulta no par de
equaesdesacopladas
d2vxdt2
+ !2vx = 0 ;
d2vydt2
+ !2vy = 0 ; (59)
para
! =qB
mc: (60)
No necessrio considerar a componente z do movimento, que pode
con-tribuir com uma velocidade vz constante, a qual pode ser tomada
como nulasem perda de generalidade.No caso de uma partcula
carregada que penetra numa regio de campo
magntico uniforme com uma velocidade v perpendicular ao campo,
por ex-emplo ao longo do eixo x, que corresponde condio inicial
v(t = 0) = (v; 0; 0) ;
79
-
as componentes x e y da velocidade cam
vx(t) = v cos!t e vy(t) = v sin!t : (61)
Integrando, resultam as coordenadas da trajetria,
x =v
!sin!t e y =
v
!cos!t ; (62)
que descreve um movimento circular uniforme no plano xy,
x2 + y2 = v!
2;
de raior =
v
!=mvc
qB=
pc
qB(63)
conhecido como o raio de giro ou raio giromagntico de Larmor.A
acelerao centrpeta
a =v2
r=qvB
mc; (64)
a frequncia angular dada pela equao (60).
7.1 Raios csmicos
Excetuando os provenientes do Sol, os raios csmicos,
essencialmente prtonse outros ncleos leves, tem origem no espao
exterior. Alguns so de origemgalctica, da nossa Via Lctea, outros
so extra-galcticos. De onde quer queprovenham, uma vez aceleradas e
lanadas ao espao, devem ter seguido umalonga caminhada at,
eventualmente, penetrarem na atmosfera terrestre. Nointerior das
galxias as partculas carregadas esto sujeitas ao do campomagntico
que permeia o meio galctico, da ordem de G = 106gauss (ocampo
magntico da Terra na superfcie da ordem de 0; 3 gauss). Umapartcula
com carga Ze e energia E, numa regio de campo magntico uni-forme B,
executar uma rbita circular denida pelo raio de Larmor ((63),
rL =pc
Ze:B' EZe:B
: (65)
Para um prton com energia de 1018eV (eV = 1; 602 1012erg)
numcampo de 3G corresponde um raio de giro rL de aproximadamente
300pc,que ordem da espessura do disco galctico. Assim, raios
csmicos acima
80
-
1018eV tendem a ser excludos do plano galctico, sendo, portanto,
um limi-tante para a energia dos raios csmicos de origem galctica.O
pc (parsec), abreviatura de paralax per second, corresponde
distncia
de uma estrela xa tal que um observador na Terra, ao ocupar as
posiesopostas durante a sua translao em torno do Sol, v a posio
desta estreladeslocada de um segundo de arco. Equivale a 3; 262
anos-luz, um ano-luzsendo a distncia percorrida pela luz no vcuo
durante um ano, = 9; 461 1017cm.Ocorrem eventos raros, conecidos
como raios csmicos ultra-energticos,
com energias acima da ordem 1019eV , reconhecidos como de origem
extra-galctica. Suas trajetrias so pouco afetadas por campos
magnticos daordem de grandeza dos campos galcticos e
inter-galcticos, de modo que adireo de entrada na atmosfera de uma
partcula csmica ultra energticadeve apontar diretamente para a sua
fonte. No entanto, o espao csmico permeado pela radiao csmica de
fundo que, embora no tenha energiasuciente para afetar partculas
csmicas com energias abaixo da ordem de1016eV , pode-se mostrar que
interage fortemente com os raios csmicos deultra alta energia, com
energias acima da ordem de 1019eV , causando umarpida perda de
energia causada pela criao de pares partcula antipartculacomo os
pons.
7.2 Colises
Efeitos relativsticos so particularmente importantes no universo
das partcu-las elementares, que podem alcanar velocidades prximas
da luz. Infor-maes acera da natureza destas partculas e o tipo de
interaes a que estosujeitas so, em geral, obtidas em processos de
colises como as dos raioscsmicos ao incidirem sobre os ncleos dos
gases atmosfricos ou em experi-mentos realizados nos aceleradores
de partculas.Como o tempo de interao extremamente curto nestes
processos, os
experimentos se reduzem s observaes dos estados inicial e nal do
sistema,as leis de conservao sendo fundamentais na anlise dos dados
coletados.Para a energia e momento, as leis de conservao garantem
que o momento
linear total e a emergia total do sistema antes e depois do
processo so iguais,
Pi = Pf e Ei = Ef :
Os ndices i e f referem-se aos estados inicial e nal,
respectivamente.Considere, por exemplo, uma coliso e espalhamento
entre duas partcu-
las, A e B, resultando em duas outras, C e D,
A+B ! C +D :
81
-
A equao de conservao do momento linear total ca
pA + pB = pC + pD (66)
e a equao de conservao da energia,
EA + EB = EC + ED ; (67)
com a equivalente lei de conservao da massa relativstica,
mA +mB = mC +mD : (68)
Na linguagem dos quadri-vetores, resume-se na equao de
conservaoda energia-momento total do sistema,
pA + pB = p
C + p
D : (69)
As colises podem ser elsticas, inelsticas. Nas colises elsticas,
a en-ergia cintica total do sistema conservada e nas inelticas,
parte da energiacintica absorvida pelo sistema.
7.2.1 Colises elsticas
Diz-se que uma coliso elstica quando a energia cintica total do
sistema conservada,
KA +KB = KC +KD : (70)
Como a energia cintica relativstica de uma partcula de massa m e
veloci-dade v denida como
K = (mm0)c2 ;podemos ver que a conservao da energia cintica
aliada conservao damassa relativstica implica na conservao da massa
de repouso das partcu-las,
m0A +m0B = m0C +m0D : (71)
Como exemplo de uma coliso elstica, vamos considerar uma
partculaincidente, massa m0, momento p0 e energia E0; chocando-se
com uma outrapartcula idntica, em repouso, sendo que, aps o choque,
as partculasemergem espalhadas simetricamente de um ngulo em relao
ao eixo deincidncia. Pela conservao de energia e momento,
E0 = E1 + E2 ;
0 = p1 sin p2 sin ;p0 = p1 cos + p2 cos ; (72)
82
-
de onde resultap1 = p2 = p) E1 = E2 = E ;
e portanto
E0 = 2E ;
p0 = 2p cos ; (73)
de modo que
cos =p02p
=
pE20 m20c4
2pE2 m20c4
=
pE20 m20c4
2pE20=4m20c4
Utilizando a relao entre energia e momento,
E2 p2c2 = m2c4 ;a equao anterior ca
cos =
pE20 m20c4pE20 4m20c4
=
p(E0 +m0c2) (E0 m0c2)p
(E0 + 2m0c2) [(E0 m0c2)m0c2](74)
=
p(E0 +m0c2) (E0 m0c2)p
(E0 + 2m0c2) [(E0 m0c2)m0c2]=
sE0 +mc2
E0 + 3mc2;
que dene o ngulo de espalhamente em funo da energia inicial da
partculaincidente e da massa das partculas.
7.2.2 Colises inelsticas
Uma coliso inelstica quando a energia cintica, e
consequentemente, amassa de repouso no so conservadas,
KA +KB 6= KC +KD (75)e
m0A +m0B 6= m0C +m0D: (76)Numa coliso inelstica, pode ocorrer
reaes tal que
KA +KB < KC +KD;
que caracteriza uma coliso com absoro de energia cintica, ou
KA +KB > KC +KD;
83
-
que caracteriza uma coliso explosiva, com liberao de energia
cintica.Como caso extremo, temos as colises completamente
inelsticas, quando
as partculas emergentes aps a coliso se agregam, formando um
corpo nico;neste caso, h a absoro mxima da energia cintica. O
exemplo a seguirmostra um tpico processo completamente inelstico: a
coliso frontal de duaspartculas de massas iguais movendo-se com
velocidades iguais em mdulo esentidos opostos, aps a coliso
emergindo uma nica partcula de massa derepouso M0.Da conservao da
energia e momento,
2mc2 = M0c2;
o momento inicial e o nal nulos, de modo que a partcula
resultante deveestar em repouso. A energia cintica inicial do
sistema
K = 2mc2 2m0c2;
de modo que a relao entre as massas antes e depois do evento
ca
M0c2 = 2mc2 =
2m0c2p
1 v2=c2 = 2m0c2 +K; (77)
onde K a energia cintica totalmennte absorvida e incorporada
massa derepouso M0 do sistema resultante.Em sistemas macroscpicos,
a energia pode ser absorvida como energia
de ligao do sistema., assim como ser parcial ou totalmente
convertida emenergia trmica, por exemplo. Signica que qualquer tipo
de energia contribuipara a massa total do sistema, sendo que, do
ponto de vista relativstico,massa e energia podem ser tomadas como
sinnimos, diferindo apenas porconvenincia das unidades de medida.Em
processos explosivos, o sistema libera energia em forma de
energia
cintica, como nos decaimentos expontneos e criao e aniquilao de
pares.Suponha uma partcula de massa M, inicialmente em repouso,
fragmentando-se em duas outras de igual massa de repouso m0. Nesta
reao,
M0c2 = 2mc2;
o momento nal permanecendo nulo, de modo que as duas partculas
devemser lanadas em direes opostas, com a mesma velocidade em
mdulo. Omomento linear de cada partcula, em mdulo, sendo p = mv. A
relaoentre as massas ca
M0 = 2m0 +K
c2;
84
-
onde K a energia cintica liberada, mostrando que a reao somente
podeocorrer se
M0 > 2m0 :
Em sistemas de partculas elementares, colises, aniquilaes e
produesde pares so fenmenos comuns. Na coliso e aniquilao de um par
eltron-psitron, deve resultar no mnimo dois ftons para que o
momento linearseja conservado, pois os ftons, embora de massa nula,
transportam energiae momento diferentes de zero relacionados
por
E = pc :
Se o momento inicial do sistema eltron-psitron for nulo, o
momento naltambm deve permanecer nulo, o que impossvel com a produo
de apenasum fton. Dois ftons tambm podem dar origem a um par
eltron-psitron,desde que a energia dos ftons seja suciente para, no
mnimo, fornecer asenergias de repouso do eltron e do psitron.
7.3 Referencial de Centro de Massa
Considere um sistema de N partculas cujo momento linear
total
P =NXi=1
pi :
Dene-se o referencial do Centro de Massa R como o referencial
onde omomento linear total nulo, P = 0. Considerando a energia e o
momentototais, as transformaes relativsticas, equao (35), entre os
referenciais Re R (em movimento relativo uniforme V ao longo do
eixo x) resultam
E = (E V Px) ;P x = (Px
EV
c2) ; (78)
P y = Py; Pz = Pz;
Se o eixo x for escolhido tal que Px = P e Py = Pz = 0, a condio
denulidade, P = 0, do momento linear total em R leva a
E = (E V Px) ;P = (P EV
c2) = 0 :
Deste modo,
V =Pc2
E(79)
85
-
dene a velocidade do referencial do centro de massa R em relao
ao ref-erencial de R , e a relao
E =1q
1 V 2c2
E ; (80)
para E = Mc2 e E = M0c2 dene a relao entre a massa relativstica
totaldo sistema e a massa no referencial de Centro de Massa,
M =1q
1 V 2c2
M0 : (81)
Para um sistema de partculas que no interagem entre si, a posio
doCentro de Massa pode ser denida pela frmula usual
R =
PimiriPimi
: (82)
Como as massas relativsticas das partculas assim como a massa
relativsticatotal do sistema so constantes,
dR
dt= V =
PimiviPimi
=Pc2
E(83)
resulta na velocidade uniforme do Centro de Massa, j denida pela
equao(79).O referencial do Centro de Massa o referencial de repouso
do sistema
como um todo. Neste sentido, verica-se, tambm, a relao
relativsticaentre a energia e o momento do sistema,
E2 P 2c2 = M20 c4 : como se uma nica partcula com massa de
repousoM0 estivesse localizadanas coordenadas do Centro de Massa do
sistema, movendo-se com velocidadeuniforme V , aproximao usada
quando os graus de liberdade internos aosistema no so
perceptveis.
Exerccios
1. Para um quadri-vetor A o produto escalar AA uma
invarianterelativstica. Determine estas invariantes para os
quadri-vetores deposio, x, e do momento, p.
86
-
2. Demonstre que, assim como
m =m0p
1 v2=c2
dene a massa relativstica de uma partcula de massa de repouso m0
evelocidade v num referencialR, num outro referencialR0
emmovimentouniforme com velocidade V em relao a R, ao longo do eixo
comumxx0, a massa relativstica ser
m0 =m0p
1 v02=c2 :
3. Como variam no tempo a massa e a energia de uma partcula
submetidaa uma fora constante? Esboce grcos destas variaes em funo
davelocidade e do tempo.
4. Obtenha o movimento de uma partcula sujeita a uma fora
constante,integrando a equao de movimento diretamente na sua forma
tensorial.
5. As estrlas obtem parte da energia pela fuso de trs partculas
, ouH42 , formando um ncleo de Carbono, C
126 . Quanta energia liberada
nesta reao?Dados: massas em unidade de massa atmica, u:m:a: =
1:661027kg =931:1MeV ,
nutron 1:008665prton 1:007825
Hlio () 4:002603Carbono C126 12:000000
6. Considere a reaoH2 + Li6 ! 2He4 :
a) Supondo que toda a energia excedente desta reao
transforme-seem energia trmica, qual o ganho em temperatura aps a
reao?b) Qual a energia cintica ganha por cada molcula de hlio,
con-siderando que um mol contm 6:025 1023 molculas?Os pesos de um
mol de cada uma das substncias abaixo so:
H2 (deutrio) 2:014102gLi6 (ltio) 6:015126gHe4 (hlio)
4:002603g
:
87
-
Bibliograa
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Fundamentais daFsica Moderna, I volume - O Princpio da Relatividade
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88
