BLM 6

EVRIMSEL KODLAR

Hata dzeltme kodlarndan beklenen temel zelliklerden birigereklestirme karmasklgnn dsk olmasdr. Dogrusal blok kodlarn,evrimsel kodlar olarak adlandrlan bir alt kmesi, kodlayc ve kodzcleri dogrusal baglanms geri beslemeli telemeli yazclar yardmylakolayca gereklestirilebilen kodlardan olusmaktadr.

6.1. evrimsel Kodlarn Yapsal zellikleri

x = (x1,x2, . . . ,xn) bir kod szcgn gstermek zere, xin bir sagaevrimsel telenmisi

x(1) = (xn,x1, . . . ,xn1) ,i kadar saga evrimsel telenmisi de

x(i) = (xni+1,xni+2, . . . ,xn,x1, . . . ,xni)biiminde yazlabilir.

TANIM. Bir (n,k) dogrusal blok kodu, eger her kod szcgnn tmevrimsel telenmisleri de bir kod szcg ise evrimsel koddur.

RNEK. K = {000,011,110,101} kodu bir (3,2) evrimsel kodudur.RNEK. K = {000000,110110,011011,101101} kodu bir (6,2)

evrimsel kodudur.

x kod szcgnn bilesenlerix(D) = x1+ x2D+ x3D2+ + xnDn1

biiminde bir okterimlinin katsaylar olarak dsnlerek evrimsel koduncebirsel zellikleri gelistirilebilir. x(D)nin derecesi sfrdan farkl en bykindisli bileseninin indis degerinin bir eksigidir. x(D) kod okterimlisi olarakadlandrlr. Her x kod szcg ile x(D) okterimlisi arasnda bire bir iliskivardr.

x(i) kod szcgne kars dsen kod okterimlisi

x(i)(D) = xni+1+xni+2D+ +xnDi1+x1Di+x2Di+1+ +xniDn1olup x(D) ile x(i)(D) arasnda

Dix(D) = p(D)(Dn+1)+x(i)(D)iliskisi geerlidir. Burada

p(D) = xni+1+ xni+2D+ + xnDi199

100 EVRIMSEL KODLARIN YAPISAL ZELLIKLERI

olup x(i)(D), Dix(D)nin Dn+1e blmnden kalandr.

TEOREM. Bir (n,k) evrimsel kodunun minimum dereceli sfrdan farklkod okterimlisi tektir.

KANIT. g(D) = g1 + g2D + + gmDm1 + Dm, (n,k) evrimselkodunun minimum dereceli sfrdan farkl kod okterimlisi olsun. g(D)nintek olmadgn ve

g(D) = g1+ g2D+ + gmDm1+Dmin de bir kod okterimlisi oldugunu varsayalm. Kod dogrusal oldugundan

g(D)+ g(D) = (g1+ g1)+(g2+ g2)D+ +(gm+ gm)Dm1de bir kod okterimlisidir ve derecesi mden dsktr. Bu da g(D)ninminimum dereceli kod okterimlisi oldugu varsaymna aykrdr. O haldeg(D)+ g(D) = 0 yani g(D) = g(D) olmaldr. Dolaysyla g(D) tektir.

TEOREM. g(D) = g1 + g2D + + gmDm1 + Dm, (n,k) evrimselkodunun sfrdan farkl minimum dereceli kod okterimlisi olsun. Budurumda g1 = 1 olmak zorundadr.

KANIT. g1 = 0 oldugunu varsayalm. Buna gre;

g(D) = g2D+g3D2+ +gmDm1+Dmg(n1)(D) = g2+g3D+ +gmDm2+Dm1

olup g(D) evrimsel olarak n 1 kadar saga telendiginde sfrdanfarkl, derecesi mden kk bir kod okterimlisi elde edilmektedir. Buda g(D)nin sfrdan farkl minimum dereceli kod okterimlisi olduguvarsaymna aykrdr. O halde g1 = 1 olmaldr.

m + 1,m + 2, . . . ,n 1 dereceli Dg(D),D2g(D), . . . ,Dnm1g(D)okterimlilerini ele alalm. Bu okterimliler srasyla

(0,g1,g2, . . . ,gm,0, . . . ,0,0)

(0,0,g1,g2, . . . ,gm,0, . . . ,0)...

(0, . . . ,0,g1,g2, . . . ,gm)

vektrlerine kars dser. Bu vektrler g(D)ye kars dsen kodszcgnn evrimsel telenmisleri oldugundan birer kod szcgdr.Dolaysyla Dg(D) = g(1)(D),D2g(D) = g(2)(D), . . . ,Dnm1g(D) =g(nm1)(D)ler birer kod okterimlisidir. evrimsel kod dogrusaloldugundan g(D),Dg(D), . . . ,Dnm1g(D)nin bir dogrusal birlesimi de birkod okterimlisidir. Buna gre

x(D) =a1g(D)+a2Dg(D)+ . . .+anmDnm1g(D)

=(a1+a2D+ . . .+anmDnm1

)g(D)

ailer 0 veya 1 olmak zere, bir kod okterimlisidir.

EVRIMSEL KODLARIN YAPISAL ZELLIKLERI 101

TEOREM. g(D) = 1+ g2D+ + gmDm1 +Dm bir (n,k) evrimselkodunun sfrdan farkl minimum dereceli bir kod okterimlisi olsun. n 1veya daha dsk dereceli bir okterimli ancak ve ancak g(D)nin bir katise bir kod okterimlisidir.

KANIT. 1) Yeterlilik Kant: x(D), n 1 veya daha dsk dereceli,g(D)nin kat olan bir okterimli olsun. Bu durumda,

x(D) =(a1+a2D+ . . .+anmDnm1

)g(D)

=a1g(D)+a2Dg(D)+ . . .+anmDnm1g(D)

yazlr. x(D); g(D),Dg(D), . . . ,Dnm1g(D) kod okterimlilerinin birdogrusal birlesimi oldugundan kod okterimlisidir.

2) Gereklilik Kant: x(D) bir kod okterimlisi olsun. g(D)ye blerek

x(D) = a(D)g(D)+ c(D)

yazlr. c(D) ya sfrdr ya da derecesi g(D)ninkinden dsktr.

c(D) = x(D)+a(D)g(D)

yazarsak x(D) ve a(D)g(D) kod okterimlileri oldugundan c(D)de kodokterimlisi olmak zorundadr. c(D) 6= 0 ise sfrdan farkl, derecesig(D)ninkinden dsk kod okterimlisidir. Bu da g(D)nin minimumdereceli oldugu varsaymna aykrdr. O halde c(D) = 0 olmal, yani x(D),g(D)nin bir kat olmaldr.

g(D)nin kat olan n 1 veya daha dsk dereceli okterimliler 2nmtanedir. Teorem nedeniyle bu okterimliler (n,k) evrimsel kodunun tmkod okterimlilerini olusturur. (n,k) kodunda 2k tane kod okterimlisioldugundan 2nm = 2k olmaldr. Sonu olarak n m = k olmasgerektiginden g(D)nin derecesi n kdr. Buna gre bir (n,k) evrimselkodunun sfrdan farkl minimum dereceli kod okterimlisi

g(D) = 1+g2D+g3D2+ +gnkDnk1+Dnk

biimindedir.Bir (n,k) evrimsel koduna iliskin her x(D) kod okterimlisi

x(D) =a(D)g(D)

=(

a1+a2X + +akXk1)

g(D)

biiminde ifade edilebilir. Eger a(D)nin katsaylar a1,a2, . . . ,akkodlanmas istenen bilgi bitlerine kars dsyorsa x(D) iliskin kodokterimlisidir. O halde kodlama a(D) bilgi okterimlisi ile g(D) arplarakgereklestirilmektedir. Buna gre bir (n,k) evrimsel kodu, sfrdan farklminimum dereceli kod okterimlisi g(D) ile tamamen belirlenir. g(D)kodun rete okterimlisi olarak adlandrlr. g(D)nin derecesi kodun eslikdenetim bilesenleri saysna esittir.

102 EVRIMSEL KODLARIN YAPISAL ZELLIKLERI

RNEK. g(D) = 1 + D + D3 rete okterimlisince retilen (7,4)evrimsel koduna iliskin bilgi dizileri, kod szckleri ve kod okterimlileriasagda verilmistir.

Bilgi Dizisi Kod Szcg Kod okterimlisi0000 0000000 00001 0001101 D3g(D)0010 0011010 D2g(D)0011 0010111

(D2+D3

)g(D)

0100 0110100 Dg(D)0101 0111001

(D+D3

)g(D)

0110 0101110(D+D2

)g(D)

0111 0100011(D+D2+D3

)g(D)

1000 1101000 g(D)1001 1100101

(1+D3

)g(D)

1010 1110010(1+D2

)g(D)

1011 1111111(1+D2+D3

)g(D)

1100 1011100 (1+D)g(D)1101 1010001

(1+D+D3

)g(D)

1110 1000110(1+D+D2

)g(D)

1111 1001011(1+D+D2+D3

)g(D)

TEOREM. Bir (n,k) evrimsel kodunun rete okterimlisi g(D), Dn+1in bir arpandr.

KANIT. Dkg(D), Dn + 1e blndgnde blm 1 kalan1 + Dk + g2Dk+1 + + gnkDn1 olup vektrel karslg( 1 0 0 0 1 g2 gnk ) yani g(k)(D)dir. g(k)(D)debir kod okterimlisi oldugundan g(k)(D) = a(D)g(D) yazlabilir. O haldeDn + 1 = Dkg(D) + g(k)(D) =

[Dk +a(D)

]g(D) yazlr ve g(D)nin

Dn+1in bir arpan oldugu grlr.

TEOREM. g(D), Dn + 1in bir arpan ve n k dereceli bir okterimliise bir (n,k) evrimsel kodu retir.

KANIT. n 1 veya daha dsk dereceli g(D),Dg(D), . . . ,Dk1g(D)okterimlilerinin dogrusal birlesimi

x(D) =a1g(D)+a2Dg(D)+ +akDk1g(D)=(

a1+a2D+ +akDk1)

g(D)

de n 1 veya daha dsk dereceli bir okterimli olup g(D)nin birarpandr. Byle 2k farkl okterimli olup bunlar bir (n,k) dogrusal koduolusturur. x(D) = x1+ x2D+ + xnDn1 bu koda ait bir kod okterimlisi

EVRIMSEL KODU SISTEMATIK BIIME SOKMA 103

olsun.

Dx(D) =x1D+ x2D2+ + xnDn=xn (Dn+1)+

(xn+ x1D+ x2D2+ + xn1Dn1

)=xn (Dn+1)+x(1)(D)

olup hem Dx(D) hem de Dn + 1, g(D)ye blnebilir oldugundanx(D)nin bir saga evrimsel telenmisi x(1)(D)de g(D)ye blnebilir. Ohalde x(1)(D), g(D)nin bir arpandr ve g(D),Dg(D), . . . ,Dk1g(D)lerinbir dogrusal birlesimidir. Dolaysyla x(1)(D) de bir kod okterimlisidir.evrimsel kod tanmndan g(D),Dg(D), . . . ,Dk1g(D)lerin dogrusalbirlesimlerinden olusan dogrusal kod bir (n,k) evrimsel kodudur.

6.2. evrimsel Kodu Sistematik Biime Sokma

Bir (n,k) evrimsel koduna iliskin g(D) rete okterimlisi verildigindekod szckleri sistematik biimde elde edilebilir. Bylece her szcgn ensagdaki k bileseni bilgi bilesenlerinden en soldaki n k bileseni de eslikdenetim bilesenlerinden olusur.

Kodlanacak bilgi dizisi a = (a1,a2, . . . ,ak) ve iliskin bilgi okterimlisia(D) = a1+a2D+ +akDk1 olsun. a(D), Dnk ile arplarak

Dnka(D) = a1Dnk +a2Dnk+1+ +akDn1elde edilir. Dnka(D), g(D)ye blnrse

Dnka(D) = d(D)g(D)+ c(D)yazlr. Burada d(D) blm, c(D) de kalan gstermektedir. g(D)ninderecesi n k oldugundan c(D)nin derecesi n k1 veya daha dsktr:

c(D) = c1+ c2D+ + cnkDnk1.Diger yandan

c(D)+Dnka(D) = d(D)g(D)okterimlisi n 1 veya daha dsk dereceli olup g(D)nin bir katdr.Dolaysyla g(D)nin rettigi evrimsel kodun bir kod okterimlisidir. Akolarak yazlrsa,

c(D)+Dnka(D) =c1+ c2D+ + cnkDnk1+a1Dnk +a2Dnk+1+ +akDn1

olup iliskin kod szcg

(c1,c2, . . . ,cnk,a1,a2, . . . ,ak)sistematik biimdedir. Yaplanlar zetlenirse, sistematik biimde kodlamasu admdan olusmaktadr:

(1) Dnka(D) arpmn olustur,(2) c(D) kalann (eslik denetim bilesenleri) Dnka(D)yi g(D)ye

blerek elde et,

104 EVRIMSEL KODU SISTEMATIK BIIME SOKMA

(3) Kod okterimlisi c(D) + Dnka(D)yi elde etmek iin c(D) ileDnka(D)yi birlestir.

RNEK. g(D) = 1 + D + D3 rete okterimlisiyle retilen (7,4)kodunda a = (1100) bilgi dizisine kars dsen kod szcg sistematikbiimde syle elde edilir:

(1) Dnka(D) = D3 (1+D) = D3+D4(2) D4+D3 = (1+D)

(1+D+D3

)+(1+D2

), c(D) = 1+D2

(3) x(D) = c(D)+Dnka(D) =(1+D2

)+D3 (1+D)

x(D) = 1+D2+D3+D4, x = (1011100)

6.3. evrimsel Kodlarn rete ve Eslik Denetim Matrisleri

Bir (n,k) evrimsel koduna iliskin rete okterimlisi

g(D) = g1+g2D+ +gnk+1Dnk

olsun. k tane kod okterimlisi g(D),Dg(D), . . . ,Dk1g(D) yardmyla tmkod okterimlileri olusturulabilir. Buna gre rete matrisi

G =

g1 g2 gnk+1 0 00 g1 g2 gnk+1 0 00 0 g1 g2 gnk+1 0 0... . . .

...0 0 g1 g2 gnk+1

biiminde olup g1 ve gnk+1 daima 1e esittir.

Bu sekilde olusturulan rete matrisi genel olarak sistematik yapdadegildir, ancak satr islemleri yardmyla sistematik biime sokulabilir.

RNEK. g(D) = 1+D+D3 rete okterimlisiyle retilen (7,4) koduiin rete matrisi

G =

1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 0 1 00 0 0 1 1 0 1

olup sistematik yapda degildir. Bu matrisin ilk iki satr aynen alnpbirinci ve nc satrlarn toplam yardmyla nc satr, ilk iki satrntoplamna drdnc satr eklenerek drdnc satr olusturulursa, sistematikbiimdeki

GS =

1 1 00 1 11 1 11 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

rete matrisi elde edilir. GS, G ile ayn kodu retir.

EVRIMSEL KODLARIN RETE VE ESLIK DENETIM MATRISLERI 105

g(D) rete okterimlisinin Dn + 1in bir arpan oldugu gz nnealnrsa,

Dn+1 = g(D)h(D)yazlabilir. Burada

h(D) = h1+h2D+ +hk+1Dkolup h1 ve hk+1 daima 1e esittir. Simdi (n,k) evrimsel kodunun eslikdenetim matrisinin h(D) yardmyla elde edilebilecegini gsterelim.

x = (x1,x2, . . . ,xn)

bir kod szcg olsun. x(D) = a(D)g(D) oldugundan

x(D)h(D) =a(D)g(D)h(D)=a(D)(Dn+1)=a(D)+Dna(D)

yazlr. a(D)nin derecesi k1 veya daha dsk oldugundan a(D)+Dna(D)ifadesinde Dk,Dk+1, . . . ,Dn1 terimleri gzkmeyecektir. Bu nedenle sonesitligin sol tarafnda x(D)h(D)ye iliskin Dk,Dk+1, . . . ,Dn1 terimlerisfra esit olmaldr. Buradan

k+1

i=1

hixni j+2 = 0 1 j n k

biiminde n k tane esitlik elde edilir.h(D)nin tersi,

Dkh(D1) = hk+1+hkD+hk1D2+ +h1Dk

olarak tanmlanrsa, Dkh(D1) okterimlisinin de Dn + 1in bir arpanoldugu sylenebilir. Bunu grmek iin h(D)g(D) = Dn + 1 esitligindenyararlanlabilir:

h(D) =Dn+1g(D)

h(D1) = Dn+1

g(D1)

Dkh(D1) = Dn+k +Dk

g(D1) D

nk

Dnk=

Dn+1Dnkg(D1)

.

Bu nedenle, Dkh(D1) okterimlisi bir Kd(n,n k) evrimsel koduretir. Bu kodun rete matrisi

H =

hk+1 hk h1 0 0

0 hk+1 hk h1 0 00 0 hk+1 hk h1 0 0... . . .

...0 0 hk+1 hk h1

(n k)nlik bir matristir. Kd kodu K(n,k) kodunun dual kodudur.

106 EVRIMSEL KODLARIN RETE VE ESLIK DENETIM MATRISLERI

RNEK. g(D) = 1 + D + D3 rete okterimlisiyle retilen (7,4)evrimsel kodu iin

h(D) =D7+1g(D)

= 1+D+D2+D4

olup h(D)nin tersi

D4h(D1) =D4(1+D1+D2+D4

)=1+D2+D3+D4

olarak bulunur. D4h(D1) bir (7,3) evrimsel kodu retir.

k+1

i=1

hixni j+2 = 0 1 j n k

esitlikleri, (n,k) evrimsel koduna ait her x kod szcgnn, Hnn hersatrna dik oldugu anlamna gelmektedir. O halde, H, K(n,k) evrimselkodunun eslik denetim matrisidir. H matrisi h(D) okterimlisindenelde edildiginden h(D), K evrimsel kodunun eslik okterimlisi olarakadlandrlr ve bir evrimsel kod eslik okterimlisince tamamen belirlenir.

rete matrisi sistematik biime syle sokulabilir:Dnk+i1, i = 1,2, . . . ,k iin g(D)ye blnrse

Dnk+i1 = ai(D)g(D)+ ci(D)

yazlr. Burada ci(D) = ci1 + ci2D + + ci,nkDnk1 biimindedir.ci(D) + Dnk+i1 okterimlileri, i = 1,2, . . . ,k iin g(D)nin katdr vedolaysyla kod okterimlileridir. Bu k tane kod okterimlisi k nlikmatrisin satrlar olarak alnrsa,

G =

c11 c12 c13 c1,nk 1 0 0c21 c22 c23 c2,nk 0 1 0... . . .

...ck,1 ck,2 ck,3 ck,nk 0 0 1

K kodunun sistematik biimde rete matrisidir. Kars dsen eslik denetimmatrisi de

H =

1 0 0 c11 c21 ck,10 1 0 c12 c22 ck,2... . . .

...... . . .

...0 0 1 c1,nk c2,nk ck,nk

biimindedir.

RNEK. g(D) = 1 + D + D3 rete okterimlisiyle retilen (7,4)evrimsel kodu iin

Dnk+i1 = ai(D)g(D)+ ci(D) i = 1,2, . . . ,k

EVRIMSEL KODLAYICILAR 107

esitlikleri

D3 =g(D)+(1+D)

D4 =Dg(D)+(D+D2

)D5 =

(1+D2

)g(D)+

(1+D+D2

)D6 =

(1+D+D3

)g(D)+

(1+D2

)olup buradan drt kod okterimlisi, 1+D+D3, D+D2+D4, 1+D+D2+D5 ve 1+D2 +D6 olarak elde edilir. Bu okterimliler yardmyla retematrisi sistematik biimde

G =

1 1 00 1 11 1 11 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

olarak elde edilir. Kars dsen eslik denetim matrisi de

H =

1 0 00 1 00 0 1

1 0 1 11 1 1 00 1 1 1

biimindedir.

6.4. evrimsel Kodlayclar

Daha nce bir (n,k) evrimsel kodunun su adm yardmylasistematik biimde elde edilebildigini grdk:

(1) a(D) bilgi okterimlisini Dnk ile arp,(2) Dnka(D)yi g(D)ye blerek c(D) kalann bul,(3) c(D)+Dnka(D) kod okterimlisini olustur.

Bu admlar, (n k) basamakl dogrusal bir telemeli yazcdan olusanSekil 6.1deki blme devresi yardmyla gereklestirilebilir. Kodlama islemisu admlar kapsar:

(1) Kap aldgnda k bilgi bileseni a1,a2, . . . ,ak ayn anda devreyeve kanala girer. Bilgi bitlerini devreye sagdan sokmak a(D)yi

1x 2x 3x

2g 3g

n kx

n kg

Kap

( )Da

SEKIL 6.1. (n,k) evrimsel kodlayc.

108 EVRIMSEL KODLAYICILAR

Kap

(0)aBilgi bitleri

Elik bitleri

Kanal

SEKIL 6.2. (7,4) evrimsel kodlayc.

Dnk ile arpmaya esdegerdir. Tm bilgi bitleri devreyegirdiginde yazcdaki n k bilesen kod szcgnn eslik denetimbilesenlerini olusturur.

(2) Kap kapatlarak geri besleme baglants kesilir.(3) Eslik denetim bilesenleri dsar atlarak kanaldan gnderilir.

RNEK. g(D) = 1 + D + D3 okterimlisi tarafndan retilen (7,4)evrimsel kodunun kodlayc devresi Sekil 6.2deki gibidir. Bu kodlaycile a = (1101) bilgi dizisinin kodlanmas durumunda bilgi bitlerinin hertelenmesi iin telemeli yazc ierigi

Bilgi biti telemeli yazcBaslang 0001. teleme 1 1102. teleme 0 0113. teleme 1 0014. teleme 1 000

biiminde degisir ve sonu olarak x= (0001101) kod szcg olusur. Karsdsen kod okterimlisi de x(D) = D3+D4+D6dr.

Bir evrimsel kodlayc, kodun eslik okterimlisinden yararlanarak datasarlanabilir.

h(D) = 1+h2D+ +hkDk1+Dk

olmak zere bir kod szcg x = (x1,x2, . . . ,xn) ile gsterilsin. Daha nceverilen

k+1

i=1

hixni j+2 = 0 1 j n k

esitlikleri toplamdaki i = k+1e iliskin terim ayrlarak,

xnk j+1 =k

i=1

hixni j+2 1 j n k

EVRIMSEL KODLAYICILAR 109

Kap 1Giri

k

Kap 2

N

kh 1kh 2h

SEKIL 6.3. h(D)ye dayal (n,k) evrimsel kodlayc.

biiminde yazlabilir. j = 1,2, . . . ,n k iin bu esitlikler ak olarak,xnk =h1xn+h2xn1+ +hkxnk+1

xnk1 =h1xn1+h2xn2+ +hkxnk...

x1 =h1xk+1+h2xk + +hkx2biiminde ifade edilirse, sol tarafta n k tane eslik denetim bileseninin ktane bilgi bileseni ve bir nceki admda elde edilmis eslik denetim bitiyardmyla elde edilebilecegi grlr. Bu esitliklere dayal kodlayc devresiSekil 6.3te verilmistir.

Kodlama islemi su admlar kapsar:(1) Baslangta 1 kaps ak olup 2 kaps kapaldr. k bilgi biti

telemeli yazc ile kanala ayn anda gnderilir.(2) k bilgi biti telemeli yazcya girer girmez 1 kaps kapanr ve 2

kaps alr. Ilk eslik biti

xnk =h1xn+h2xn1+ +hkxnk+1=ak +h2ak1+ +hka1

N noktasnda olusur.(3) telemeli yazc bir kaydrlr, ilk eslik biti kanala ve telemeli

yazcya girer. Ikinci eslik biti

xnk1 = h1xn1+h2xn2+ +hkxnkN noktasnda olusur.

(4) 3. adm n k eslik biti olusup kanala kaydrlncaya kadarsrdrlr. Sonra 1. kap alarak 2. kap kapatlr.

Bu devre k basamakl telemeli yazc kullanmaktadr. nceki kodlaycdevresi ile bu devre karslastrlrsa su yorum yaplabilir: Bilgi bilesenindenok eslik denetim biti olan kodlar iin k basamakl kodlayc devresi dahaekonomiktir. Tersi durumda n k basamakl kodlayc devresi yeglenir.

RNEK. g(D) = 1 + D + D3 okterimlisi tarafndan retilen (7,4)evrimsel kodu iin h(D) = 1+D+D2 +D4 eslik okterimlisine dayal

110 HATA BELIRTECININ BULUNMASI

Kap 1Giri

k

Kap 2

N

SEKIL 6.4. h(D)ye dayal (7,4) evrimsel kodlayc.

kodlayc devresi Sekil 6.4te verilmistir. Bu devre yardmyla a = (1001)bilgi dizisini kodlayalm.

j = 1,2,3 iin eslik denetim denklemleri

x4 j = x8 j + x7 j + x6 jolup x4 = a1 = 1, x5 = a2 = 0, x6 = a3 = 0, x7 = a4 = 1,

x3 =x7+ x6+ x5x2 =x6+ x5+ x4x1 =x5+ x4+ x3

denklemlerinde yerine konursa x3 = 1, x2 = 1, x1 = 0 bulunur ve x =(0111001) kod szcg elde edilir.

6.5. Hata Belirtecinin Bulunmas

Bir x kod szcg iletildiginde kanal ksnda alnan vektr r =(r1,r2, . . . ,rn) olsun. Dogrusal bir kodun zlmesinde ilk adm b = rHThata belirtecinin bulunmasdr. b sfrsa r bir kod szcgdr. Eger bsfrdan farklysa r bir kod szcg degildir ve hata saptanms olur. ryekars dsen okterimli

r(D) = r1+ r2D+ r3D2+ + rnDn1olmak zere r(D), g(D)ye blnrse

r(D) = c(D)g(D)+b(D)

elde edilir. b(D) kalan nk1 veya daha dsk dereceli bir okterimlidir.b(D)nin n k tane katsays b hata belirtecini olusturur. b(D) ancak veancak r(D) bir kod okterimlisi ise sfrdr. Hata belirteci Sekil 6.5tekidevre yardmyla elde edilebilir.

Kodun evrimsel yaps nedeniyle hata belirte okterimlisi b(D)asagda verilen zellige sahiptir.

TEOREM. b(D), r(D)nin hata belirte okterimlisi olsun. Db(D)ning(D)ye blmnden kalan b1(D) de r(1)(D)nin hata belirteokterimlisidir.

HATA BELIRTECININ BULUNMASI 111

1b 2b

2g 3g

n kb

n kg

Kap

r

SEKIL 6.5. (n,k) evrimsel kodu iin hata belirte devresi.

1b 2b 3b

Kap

KapGiri

1r

SEKIL 6.6. (7,4) evrimsel kodu hata belirte devresi.

KANIT. Dix(D) = p(D)(Dn+1) + x(i)(D) ve p(D) = xni+1 +xni+2D+ + xnDi1 oldugundan, i = 1 ve x r iin,

Dr(D) = rn (Dn+1)+ r(1)(D)

ve buradanr(1)(D) = rn (Dn+1)+Dr(D)

yazlr. Her iki yan g(D)ye blnp Dn+1= g(D)h(D) iliskisi kullanlrsa,

f(D)g(D)+v(D) = rng(D)h(D)+D [c(D)g(D)+b(D)]

olup burada v(D), r(1)(D)nin g(D)ye blmnden kalandr. Dolaysylar(1)(D)nin hata belirtecidir. Bu ifade dzenlenirse,

Db(D) = [f(D)+ rnh(D)+Dc(D)]g(D)+v(D)

elde edilir. Buradan v(D)nin ayn zamanda Db(D)nin g(D)yeblmnden kalan oldugu grlr.

Db(D) = d(D)g(D)+b1(D)

oldugundan v(D) = b1(D)dir. Buna gre, Dib(D)nin g(D)yeblmnden kalan bi(D)nin r(i)(D)nin hata belirteci oldugu sonucunavarlr. r(i)(D), r(D)nin i kadar saga evrimsel telenmisidir. Bu zellik,evrimsel kodlarn zlmesinde yararl olmaktadr. Burada b1(D), hatabelirte yazcsnn ierigi b(D) iken, girisi susturarak, kaydrma yoluylaelde edilir.

RNEK. g(D) = 1 + D + D3 okterimlisi yardmyla retilen (7,4)evrimsel koduna iliskin hata belirte devresi Sekil 6.6da verilmistir. Kanal

112 HATA BELIRTECININ BULUNMASI

ksnda elde edilen vektr r = 1010110 olsun. Bu durumda hata belirteyazcsnn ierigi adm adm syle degisir.

teleme Giris Yazc Ierigi 0001 0 0002 1 1003 1 1104 0 0115 1 0116 0 1117 1 001

Buna gre r alnan vektrne kars dsen hata belirteci b = 001dir.Hata belirte yazcsnn ierigi 001 iken giris susturulur ve ierikkaydrlrsa ierik b1 = 110 olur ve bu da rnin bir saga evrimseltelenmisi r(1) = 0101011in hata belirtecidir. Hata belirte yazcs bir kezdaha kaydrlrsa ierigi b2 = 011 olur ki bu da r(2) = 1010101in hatabelirtecidir.

x(D) iletilen kod okterimlisi olsun ve hata okterimlisi

e(D) = e1+ e2D+ e3D2+ + enDn1ile gsterilsin. Buna gre alnan okterimli

r(D) = x(D)+ e(D)

dir. x(D), rete okterimlisi g(D)nin bir kat oldugundan x(D) =a(D)g(D) iliskisini saglar. r(D) = c(D)g(D)+b(D) oldugu da gz nndebulundurulursa

e(D) =x(D)+ r(D)=[a(D)+ c(D)]g(D)+b(D)

yazlr. Buradan, hata belirtecinin, hata okterimlisinin g(D)yeblmnden kalan oldugu anlaslmaktadr. Hata belirteci, alnan rvektr yardmyla hesaplanabilir, ancak kod zc e hata vektrnbilmez. O halde kod zc b(D)ye bakarak e(D)yi kestirecektir. e(D)bir eskme ncsne kars dsyorsa ve basitlestirilmis kod zme tablosukullanlyorsa e(D), b(D) yardmyla dzeltilebilir.

6.6. evrimsel Kodlarn zlmesi

evrimsel kodlar dogrusal olduklarndan kod zme islemi admkapsar: 1) Hata belirtecinin belirlenmesi, 2) Hata belirtecine bir hatadizisinin kars dsrlmesi, 3) Hata dzeltme.

evrimsel kodlarda hata belirtecinin belirlenmesi, karmasklg eslikdenetim bitlerinin says n k ile orantl bir blme devresi ilegereklestirilir. Hata dzeltme islemi, hata dizisinin alnan vektrlemodlo-2 toplanmasdr. Bu islem seri olarak tek bir EXOR kapsyla,

EVRIMSEL KODLARIN ZLMESI 113

irtelemeli YazcKap Dzeltilmi kr

Kap

Kap

Hata Belirte Yazcs

Kap

Hata Dizisi Sezme Devresi Kap

ie

HataDzeltme

Hata Belirteci Dzeltme

SEKIL 6.7. evrimsel Kod zc Blok Diyagram.

paralel olarak n tane EXOR kapsyla gereklestirilebilir. Hata belirtecininhata dizilerine kars dsrlmesi islemi, iliskin tablonun birlesimselbir mantk devresiyle gereklestirilmesi yoluyla yaplr. Kod zckarmasklg n ile stel olarak artar. Ancak evrimsel kodlarn cebirselzellikleri uygun biimde kullanlrsa, kod zme devresinde birtakmbasitlestirmeler olanakldr. Kod zcnn genel blok diyagramSekil 6.7de verilmistir. Bu kod zc Meggitt kod zc olarakadlandrlr ve herhangi bir evrimsel koda uygulanabilir. Kod zcnnkarmasklg tamamen hata belirtecine kars dsen hata dizisini belirlemedevresinin karmasklgna bagldr. Baz durumlarda bu devre basittir.

Kod zme su admlardan olusur:

(1) Alnan vektr, hata belirte yazcsna kaydrlarak hata belirteciolusturulur. Alnan vektr ayn zamanda bir telemeli yazcdatutulur.

(2) Hata belirtecinden birlesimsel bir mantk devresi yardmyla iliskindzeltilebilir hata dizisi belirlenir. Bu devrenin ks, ancak veancak hata belirteci, en sagdaki bileseni hatal bir dzeltilebilirhata dizisine kars dstgnde 1 olacak biimde tasarlanmstr.Diger bir deyisle, hata dizisi belirleme devresinin ksnda1 grlmesi, alnan vektr yazcsnn en sagndaki bileseninhatal oldugu ve dzeltilmesi gerektigi anlamna gelmektedir.0 grlmesi ise iliskin alnan bilesenin hatasz oldugu ve hatadzeltme islemine gerek olmadg anlamna gelmektedir.

(3) Ayn anda alnan vektr ve hata belirteci, yazclar ierisindebir kaydrlr. Hatal bilesen, hata dizisi belirleme devresi ksyardmyla dzeltilir. Bu ks ayn zamanda hata belirte

114 EVRIMSEL KODLARIN ZLMESI

1s

Alnan Vektr YazcsKap

Dzeltilmi kr

Kap Kap

Kap

HataDzeltme

2s 3s

SEKIL 6.8. (7,4) evrimsel Kod zc.

yazcsna geri beslenir, bylece hata etkisi hata belirtecindentemizlenir ve yeni bir hata belirteci olusur.

(4) Yeni hata belirteci, alnan vektrn simdi en sagda olan bilesenininhatal olup olmadgn sezmede kullanlr. Kod zc, 2. ve3. admlar alnan vektrn tm bilesenleri en sagdaki konumagelene kadar srdrr.

RNEK. g(D) = 1 + D + D3 okterimlisi yardmyla retilen (7,4)evrimsel kodunu ele alalm. Bu kod iin minimum uzaklk 3 olup kod tekhata dzeltebilir. 7 tane tek hatal hata dizisi vardr ve bunlar dzeltilebilirtm hata dizilerini olustururlar. Dzeltilebilir hata okterimlileri ve iliskinhata belirte okterimlileri asagda verilmistir.

Hata okterimlisi Hata Belirte okterimlisi1 1D DD2 D2

D3 1+DD4 D+D2

D5 1+D+D2

D6 1+D2

Bu tablodan, alnan vektrn hata belirteci rnegin b = 110 isedzeltilebilir hata dizisinin e = 0001000 oldugu anlaslmaktadr. Budurumda kanal iletilen kod szcgnn tek bilesenini bozmussa hatadzeltilecek ve dogru karar verilecektir.

Sekil 6.8de g(D) = 1+D+D3 okterimlisince retilen (7,4) evrimselkoduna iliskin kod zc devresi grlmektedir.

Kodlaycnn x= (0111001) kod szcgn ilettigini ve kanal ksndar = (0110001) vektrnn alndgn varsayalm. Grldg gibi yalnzcaD3n katsays olan bilesen hataldr ve kod zc bu hatay dzeltebilir.

EVRIMSEL KODLARIN PATLAMALI HATA SEZME YETENEGI 115

Alnan r vektrne kars dsen hata belirteci daha nce anlatlan yollab = 110 olarak bulunur. Hata belirteci belirlendikten sonra hata dzeltmeislemine geilir. Bu islemin admlar asagda verilmektedir.

DzeltmeAlnan Vektr Yazcs

0 1 0 0 0 11

Hata 0

1 01

Hata BelirteYazcs

Balang

0 1 0 0 01 1

0

10 11. teleme

0 1 0 00 1 1

0

1 112. teleme

0 0 0 1 1 01

1

1 103. teleme

1 0 1 0 1 10

0

0 004. teleme

1 1 0 1 0 10

0

0 005. teleme

1 1 0 0 1 01

0

0 006. teleme

0 1 1 0 0 11

0

0 007. teleme

Hata Dzeltildi

Dzeltilmi Szck

6.7. evrimsel Kodlarn Patlamal Hata Sezme Yetenegi

Bir (n,k) evrimsel koduna iliskin bir x kod szcg kanaldaniletildiginde e hata dizisi n k veya daha dsk uzunlukta patlamal hatadizisi olsun, yani n k veya daha dsk sayda ardsl bileseni 1 iersin.Buna gre,

e = (00 . . .0 1101 . . .1 n k veya dahadsk uzunlukta

patlama

00 . . .0)

116 EVRIMSEL KODLARIN PATLAMALI HATA SEZME YETENEGI

olup eye kars dsen okterimli

e(D) = D jc(D) 0 j n1olarak ifade edilebilir. Burada c(D) n k 1 veya daha dsk dereceli birokterimlidir. c(D)nin derecesi g(D)ninkinden daha dsk oldugundanc(D), g(D)ye blnemez. g(D), Dn + 1in bir arpan oldugundan ve D,g(D)nin bir arpan olmadgndan g(D) ve D j karslkl asaldr. O haldee(D) =D jc(D), g(D)ye tam blnemez. Sonu olarak e(D)ye kars dsenhata belirteci sfrdan farkldr. Bunun anlam bir (n,k) evrimsel kodununn k veya daha dsk uzunlukta patlamal hata dizilerini sezebildigidir.

evrimsel bir kod iin

e = (101000 . . .01101)hata dizisi 7 uzunlukta patlamal hata dizisi olarak kabul edilebilir ve (n,k)evrimsel kodu bu biimdeki n k veya daha dsk uzunlukta patlamalhata dizilerini de sezer.

Gerekte n k+ 1 veya daha uzun patlamal hata dizilerinin de bykksm sezilir. ei = ei+nk = 1 olmak zere i. bilesende baslayp i+ nk. bilesende biten n k+1 uzunluklu bir hata patlamas gz nne alalm.Bu biimde 2nk1 farkl patlama vardr. Bu patlamalardan yalnzca

e(D) = Dig(D)

biiminde olan sezilemez. O halde i. bilesende baslayan nk+1 uzunluklusezilemeyen hata patlamalarnn oran 2(nk1)dir.

l > n k+ 1 iin, i. bilesende baslayan ve i+ l 1. bilesende biten luzunluklu 2l2 farkl patlama vardr. Bu patlamalardan sezilemeyenler,

e(D) = Dia(D)g(D)

biiminde olanlardr. Burada

a(D) = a1+a2D+ +al(nk)Dl(nk)1

olup a1 = al(nk) = 1dir. Dolaysyla, bu sekilde sezilemeyen 2l(nk)2farkl patlama vardr. O halde i. bilesende baslayan l uzunluklu sezilemeyenpatlamalarn oran 2l(nk)2/2l2 = 2(nk)dr.

Sonu olarak, evrimsel kodlar patlamal hatalarn sezilmesinde sonderece etkilidir.

6.8. Ksaltlms evrimsel Kodlar

l < k olmak zere k l uzunluklu bilgi dizilerini evrimsel bir (n,k)koduyla kodlamak isteyelim. Bilgi dizisi

a = (a1,a2, . . . ,akl,0,0, . . . ,0 l tane

)

KISALTILMIS EVRIMSEL KODLAR 117

biiminde gsterilsin. (n,k) kodu sistematik ise kod szcg

x = (x1,x2, . . . ,xnk,a1,a2, . . . ,ak1,0,0, . . . ,0 l tane

)

biiminde olacaktr ve sondaki l tane sfr alc bildiginden iletilmelerinegerek olmayacaktr. Bu durumda kod szck uzunlugu n ldir ve kod (nl,k l) dogrusal kodudur. Bu kod evrimsel degildir ancak en az tretildigi(n,k) kodu kadar hata dzeltme yetenegine sahiptir.

RNEK. g(D) = 1+D+D3 rete okterimlisi yardmyla retilen(7,4) evrimsel kodunu ele alalm. Bu kodun rete matrisi sistematikyapda

G =

1 1 00 1 11 1 11 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

olup l = 1 iin ksaltlms (6,3) kodunun rete matrisi G matrisinin sonsatr ve son stununu silerek

Gk =

1 1 00 1 11 1 1

1 0 00 1 00 0 1

biiminde olusturulabilir. Kars dsen eslik denetim matrisi de

Hk =

1 0 00 1 00 0 1

1 0 11 1 10 1 1

olacaktr.

Ksaltlms evrimsel kodlar, tretildikleri evrimsel kodunkine benzerbir kod zc ile zlebilirler.

r(D) = r1+ r2D+ r3D2+ + rnlDnl1alnan okterimli olsun. r(D)yi zmek iin (n l,k l) ksaltlmsevrimsel kodunun tretildigi (n,k) evrimsel koduna iliskin kod zcdevresinden yararlanlabilir nk bilgi dizisi ann sonundaki l tane sfreslik denetim ve hata belirte hesaplarn etkilemez. Alnan vektrn rnlbilesenini zmek iin uygun hata belirte yazcs ierigi, Dnklr(D)ning(D)ye blmnden kalandr. r(D)yi hata belirte yazcsna sagdantelemek r(D)yi Dnk ile arpmaya denk oldugundan, r(D)yi yazcyabtnyle teledikten sonra yazc ierigi l kez evrimsel kaydrlmaldr.Bu fazladan l kez telemeden hata belirte yazcsnn baglantsndegistirerek kurtulunabilir: Dnklr(D)yi g(D)ye blerek

Dnklr(D) = a1(D)g(D)+bnkl(D)yazlabilir. Bu kez Dnklyi g(D)ye blelim ve kalan

(D) = 1+2D+ +nkDnk1

118 KISALTILMIS EVRIMSEL KODLAR

2g 3g n kg

Kap

( )Dr1 2 n k

Kap

1n kg

1n k 3

SEKIL 6.9. r(D)yi (D) ile arpma ve g(D)ye blmedevresi.

ile gsterelim. Buradan (D) = Dnkl +a2(D)g(D) yazlr ve

(D)r(D) = [a1(D)+a2(D)r(D)]g(D)+bnkl(D)

elde edilir. Bu bagntdan bnkl(D) hata belirtecinin r(D)yi (D)ile arpp, arpm g(D)ye blerek elde edilebilecegi anlaslmaktadr.bnkl(D) bu yolla hesaplandgnda hata belirte yazcsnn fazladan l keztelenmesine gerek kalmaz. Bu durumda kullanlacak devre Sekil 6.9daverilmistir.

evrimsel fazlalk denetim (CRC) kodlar ksaltlms evrimsel kodlarolup zellikle otomatik yineleme istemeli (ARQ) sistemlerde hata sezmeamal olarak kullanlrlar. CRC kodlar, hata dzeltme yetenekleriolmadgndan hata basarmn artrmak iin baska bir hata dzeltme koduylabirlikte kullanlabilirler.

RNEK. 16-bit CRC-CCITT kodu iin

g(D) = 1+D5+D12+D16

olup kod szckleri D16a(D) bilgi okterimlisini g(D)ye blerek eldeedilir. Kod szckleri k bilgi biti ve onlar izleyen 16 eslik denetim bitindenolusur. Kod bir (k+16,k) kodudur. Kodlama islemi srasnda bilgi bitlerininsonuna, CRC hesabnda kullanlmak zere iki sfr biti eklenir. Alcda, kodzc yalnzca bilgi bitleri iin CRC hesab yapar ve sonucu CRC bitlerineekler ve sonucun sfr olup olmadgna bakar.

Bir (n,k) evrimsel kodundan tretilmis CRC kodu n k veya dahadsk uzunluklu tm patlamal hatalar sezer. Sezemedigi n k + 1uzunluklu patlamal hatalarn oran 2(nk+1)dir.

Yaylms spektrumlu hcresel sistemler iin

g(D) =1+D+D2+D6+D7+D8+D11+D12+D13

+D15+D20+D21+D29+D30

PROBLEMLER 119

olan CRC kodu kullanlrken ATM protokol iin

g(D) = 1+D+D2+D8

olan CRC kodu geerlidir.

Problemler

6.1. Asagdaki okterimlilerden hangilerinin kod szck uzunlugu n 7 olan bir evrimsel kod retebilecegini belirleyiniz. Iliskin evrimselkodlarn (n,k) degerlerini belirterek kod szcklerini yaznz.

a) 1+D3+D4

b) 1+D2+D4

c) 1+D+D3+D4

d) 1+D+D2+D4

e) 1+D3+D5

6.2. g(D) = 1 + D okterimlisinin nin her degeri iin bir (n,k)evrimsel kodu retebilecegini gsteriniz. Iliskin k degerini belirtiniz.g(D)nin rettigi (n,k) evrimsel kodunun rete ve eslik denetimmatrislerini sistematik biimde olusturunuz. Kod szcklerinin agrlklarhakknda ne sylenebilir?

6.3. bitlik bilgi dizilerini kodlayan bir evrimsel kodun eslik denetimmatrisi Hnn bir satr 010010 biimindedir.

a) Kodun eslik denetim matrisini olusturunuz.b) Eslik okterimlisi h(D)yi ve rete okterimlisi g(D)yi bulunuz.c) Kodun rete matrisini olusturunuz.d) Kod okterimlilerini g(D) yardmyla elde ederek iliskin kod

szcklerini belirtiniz.

6.4. Asagda birer kod szckleri verilen C1, C2 ve C3 evrimsel kodlariin en byk dereceli rete okterimlilerini bulunuz. Her kodun (n,k)parametrelerini ve ka hata dzeltebilecegini belirtiniz.

a) 100011 C1b) 111111 C2c) 011011 C36.5.a) g(D) = (1+D+D2 +D3 +D4)(1+D+D4)(1+D+D2) rete

okterimlisi kullanlarak bir (15,5) evrimsel kodu tasarlanabileceginigsteriniz. Kodu sistematik biimde olusturarak minimum uzaklgnbelirtiniz. Bu kod ka hata sezebilir? Ka hata dzeltebilir?

b) g(D) = (1 + D15)/(1 + D + D2) rete okterimlisi yardmylaretilen (15,2) evrimsel koduna iliskin kod szcklerini kars dstkleribilgi dizileriyle birlikte yaznz. Kodun minimum uzaklgn belirtiniz.

6.6. g(D) = 1+D4 +D6 +D7 +D8 rete okterimlisi 15 uzunluklukod szcklerinden olusan bir C evrimsel kodu retiyor.

120 PROBLEMLER

a) rete ve eslik denetim matrislerini sistematik biimde olusturunuz.Bu kod ka hata dzeltebilir?

b) Kodlayc devresini minimum sayda telemeli yazc bellegikullanarak olusturunuz. a = (1010101) bilgi dizisine kars dsen kodszcgn bu devre yardmyla adm adm elde ediniz.

c) Hata belirte devresini izerek, devre yardmyla y =(111000001010001) grltl dizisine kars dsen hata belirtecinibulunuz.