平行线的平行公理与判定

九年制义务教育七年级几何

制作者：赵宁睿

平行线的平行公理与判定

要点回顾

课堂练习

例题解析

课业小结

平行公理

平行判定

要点回顾 平行线的定义？ 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫

做平行线。 平行线的举例？ 黑板的两条边框…… A

B C

D

P

A B

．

P 画过点直线 AB 的平行线

平行公理

平行公理：经过直线外一点 ，有且只有一条直线与这条直线平行 。

P

A

B

C D．

如图： AB∥EF, CD∥EF,想一想，直线 AB 与 CD 可能相交吗？为什么

答：不可能。假设 AB 与 CD 相交，设交点为 P ，因为 AB∥EF, CD∥EF, 于是过点 P就有两条直线 AB ， CD 都与 EF 平行，与平行公理相矛盾，所以直线 AB与 CD 不能相交，只能平行。

A B

C DE F

P

平行公理的推论1. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。2. 在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交 .

a

cb

平行线的判定如果只有 a 、 b 两条直线，如何判断它们是否平行？ 再作一条直线 c ，让 c//a ，再看 c 是否平行于 b 就行了 如何作 c ，使它与 a 平行？作出 c 后，又如何判断 c 是否与 b 平行

猜想”：如果同位角相等，那么两直线平行。 会不会有某一特定时刻，即使同位角不等两直线也平行呢 结论：当≠ α 时， a 不平行于 b ；而不论 a 取何值，只要 =α ， a 、 b 就平行。

平行线的判断公理

内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么就两条直线平行。

判定定理推论：

例题解析例 1 ：如图，已知： AD∥BC, ∠AEF=∠B, 求证：AD∥EF 。 A

B C

D

E F

证明：∵ AD BC∥ （已知）

∴ ∠A+ B∠ ＝ 180° （两直线平行，同旁内角互补）

∵∠AEF= B∠ （已知）

∴∠A ＋∠ AEF ＝ 180° （等量代换）

∴ AD EF∥ （同旁内角互补，两条直线平行）

例 2 ：如图，已知： AE 平分∠ BAC ， CE 平分∠ ACD ，且 AB CD∥ 。 求证：∠ 1 ＋∠ 2=90°

证明： ∵ AB CD∥ （已知） ∴ ∠BAC ＋∠ ACD=180°( 两条直线平行，同旁内角

互补 ) 又∵ AE 平分∠ BAC ， CE 平分∠ ACD （已知） ∴∠1 ＝∠ BAC, 2∠ ＝∠ ACD （角平分线的定义）∴∠1+ 2 ∠ ＝ ( BAC∠ ＋∠ ACD) （等式的性质）

＝ × 180o ＝ 90 o

即 ∠ 1 ＋∠ 2=90o

E1A B

C D2

课堂练习

请同学用三种不同的方法进行作答

1 、已知∠ 1=45° ，∠ 2=135° ，吗？为什么？

2 、如图，已知： AB ∥CD ， MG 平分∠ AMN ,NH 平分∠ DNM ，求证：MG∥NH 。

1A B

C D

M

F

G

E

H

N

2

课业小结1 ．概括“判定两条直线平行”的各种方法。2 ．大家回忆表达推理论证的要求，并结合判定定理的证明过程熟悉表达推理证明的要求，强调 “前因后果”。