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2.2.1 2.2.1 直线和平面平行的判直线和平面平行的判定定2.2.1 2.2.1 直线和平面平行的判直线和平面平行的判定定

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（ 1 ）直线在平面内 ----- 有无数个公共点

a 如图：

（ 2 ）直线在平面外： a① 直线 a 和面 α 相交 ：a A 如图：

② 直线 a 和面 α 平行 ：

如图：

.A

a

a

a

复习：直线与平面的位置关系

有公共

点

无公共

点

// a

直线和平面平行：一条直线与一个平面没有公共点，叫做直线与平面平行。 直线 a 平行于平面α ，记作 a∥α. α

a

α

画图时通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行。

线面位置关系

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动手做做看将课本的一边 AB 紧靠桌面，并绕 AB 转动，观察 AB 的对边 CD 在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？

从中你能得出什么结论？ A B

C D

CD 是桌面外一条直线， AB 是桌面内一条直线， CD ∥ AB ，则 CD ∥ 桌面

直线 AB 、 CD 各有什么特点呢？有什么关系呢？

猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

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直线和平面平行的判定定理 定理：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。

//

//

a

ba

b

a

即   

a

b

α

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例 1. 求证：空间四边形相邻两边中点的连

线，平行于经过另外两边的平面 .已知：空间四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点 .求证： EF// 平面 BCD.

A

B C

D

EF

分析： EF 在面 BCD 外，要证明 EF∥面 BCD ，只要证明 EF 和面 BCD 内一条直线平行即可。 EF 和面 BCD 哪一条直线平行呢？连结 BD 立刻就清楚了。

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已知：空间四边形 ABCD ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点求证： EF∥ 平面 BCD证明：

∴EF ∥ BD

∴EF ∥ 平面 BCD

BD 平面 BCD ∩

A

B

C

D

E F

AB 、 AD 的中点∵ 在△ ABD 中 E 、 F 分别是

∵ EF 平面 BCD ，

连接 BD ，

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例 2 、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，试作出过 AC 且与直线 D1B 平行的截面，并说明理由。

解：

O

M

连DB交AC于点O，取

D1D的中点M，连MA，MC，

则截面MAC即为所求作的

∵截面。 MO △为 D1DB的

∴中位线， D1B∥ MO，

∵ D1B 平面MAC，

MO 平面MAC，

∴ D1B∥ 平面MAC，则截

面MAC为过AC且与D1B平

行的截面。

A B

CD

A1 B1

C1D1

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直线和平面平行的判定定理定理：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。

b

a

ba b∥

a

a ∥

注明：1 、定理三个条件缺一不可。2 、简记：线线平行，则线面平行。3、定理告诉我们：要证线面平行，得在面内找

一条线，使线线平行。

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1 、如图，长方体的六个面都是矩形，则(1) 与直线 AB 平行的平面是 :

(2) 与直线 AD 平行的平面是 :

(3) 与直线 AA1 平行的平面是 :

平面 A1C1 和 平面 DC1

平面 BC1 和 平面 A1C1

平面 BC1 和 平面 DC1

2 、判断说法是否正确 :

(1) 如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行。

(2) 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行。

(3) 如果一直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行。

╳

√╳

练习：

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2.2.2 平面与平面平行

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定义：如果两个平面没有公共点，那么这定义：如果两个平面没有公共点，那么这

两个平面互相平行，也叫做平两个平面互相平行，也叫做平行平面行平面

平面平面 αα 平行于平面平行于平面 β β ，记作，记作 α∥βα∥β

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（ 1）平面β内有一条直线与平面α平行，α， β平行吗？（ 2）平面β内有两条直线与平面α平行，α， β平行吗？

A

DC

B

D1

A1 B1

C1

F

E

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平面与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。行，则这两个平面平行。

定理的推论定理的推论 如果一个平面内有两条相交直线分别如果一个平面内有两条相交直线分别平行于平行于

另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行行

α

β

abP

cd

α. β

α bα, aP,baβ,bβ,a

∥

∥∥

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a c∥a c∥

b c∥b c∥①①

α c∥α c∥

β c∥β c∥ ③

α c∥α c∥

a c∥a c∥ ⑤ α γ∥α γ∥

a γ∥a γ∥ ⑥

11 ）） αα 、、 ββ 、、 γγ 为三个不重合的平面，为三个不重合的平面， a,b,a,b,cc 为三条不同直线，则有一下列命题，不正为三条不同直线，则有一下列命题，不正确的是确的是 a γ∥a γ∥

b γ∥b γ∥ ②

α γ∥α γ∥

β γ∥β γ∥ ④

a∥ba∥b a∥ba∥b

α∥βα∥β α∥βα∥β

α∥aα∥a a∥αa∥α

练习：练习：

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例题分析例题分析

例例 11 、如图：、如图： AA 、、 BB 、、 CC 为不在同一直线上为不在同一直线上的的

三点，三点， AA1 BB1 CC1AA1 BB1 CC1

求证：平面求证：平面 ABC//ABC// 平面平面 A1B1C1A1B1C1

=∥ =∥

B

A1

B1

C1

A

C

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例 2、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，求证：平面 AB1D1∥平面 C1BD 。

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练习：练习：

A1 B1

C1

D1

A B

CD

22 、棱长为、棱长为 aa 的正方体的正方体 AC1AC1 中中 ,, 设设 MM 、、 NN 、、 EE 、、 FF分别为棱分别为棱 A1B1A1B1 、、 A1D1A1D1 、 、 C1D1C1D1 、 、 B1C1B1C1 的中点的中点 ..

(1) 求证： E、 F、 B、 D四点共面；

(2) 求证：面 AMN∥面 EFBD.M

N

E

F

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作用：判断或证明线面平行时关键：在平面内找 ( 或作 ) 一条直线与 面外的直线平行

1 、直线和平面平行的定义 2 、直线和平面平行的判定 定理：平面外的一条直线和平面内的一 条直线平行，则该直线和这个平面平行。简记为：简记为：

小结 :

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小结小结平面与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。行，则这两个平面平行。

定理的推论定理的推论 如果一个平面内有两条相交直线分别如果一个平面内有两条相交直线分别平行于平行于

另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行行

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作业：作业：

课本课本 P68 3,P68 3,7.7. 每课一练每课一练P26P26