2.2.1 直线与平面平行的判定

a

澄迈中学 黄梓

复习提问空间中直线与平面有什么样的位置关系？

a

a

a

直线在平面内 ----- 有无数个公共点直线与平面相交 ---- 有且只有一个公共点直线与平面平行 ---- 没有公共点

怎样判定直线与平面平行呢？

引入新课引入新课

a

探究问题，归纳结论如图，平面 外的直线 平行于平面 内的直线 b。

（ 1 ）这两条直线共面吗？

（ 3 ）直线 与平面 相交吗？

a

a

b

a

o

(2) 那么平面 与平面 β 的位置关系如何？

直线与平面平行的判定定理：

符号表示：

b

a

//

//

a

ba

b

a

归纳结论

(线线平行　　线面平行 )

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 .

定理的应用 例 1. 如图，空间四边形 ABCD 中，

E 、 F 分别是 AB ， AD 的中点 .

求证： EF∥ 平面 BCD.

A

B C

DE

F

∵AE=EB,AF=FD

∴EF∥BD （三角形中位线性质）

BCD平面EF//

FE//BD

BCD平面BD

BCD平面EF

例 1. 如图，空间四边形 ABCD 中，

E 、 F 分别是 AB ， AD 的中点 .

求证： EF∥ 平面 BCD.

A

B

DE

F

定理的应用

证明：连结 BDC

1. 如图，在空间四边形 ABCD 中， E 、 F分

别为 AB 、 AD 上的点，若 ，则 EF

与平面 BCD 的位置关系是 _____________.

AE AF

EB FD

EF// 平面 BCD

变式 1:

A

B C

DE

F

变式 2: A

B C

D

F

O

E

2. 如图 , 四棱锥 A—DBCE中 ,O为底面正方形 DBCE对角线的交点 ,F为 AE的中点 . 求证 :AB// 平面 DCF.

∵ O 为正方形 DBCE 对角线的交点 ,

∴BO=OE,

又 AF=FE,

∴AB//OF,

DCFAB//

AB//OF

DCFOF

DCFAB

平面平面平面

B

D

F

O

2. 如图 , 四棱锥 A—DBCE中 ,O为底面正方形 DBCE对角线的交点 ,F为 AE的中点 . 求证 :AB// 平面 DCF.

证明 : 连结 OF,

A

C

E

变式 2:

1. 线面平行 , 通常可以转化为线线平行来处理 .

反思 ~领悟：

2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位线、相似比、平行线的判定等来完成。

3 、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平行”，缺一不可。

D 1 C 1

B 1

A 1

D C

BA

1. 如图 , 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 , 与 AA1

平行

的平面是 ___________________ ；与 AD 平行

的平面是 ___________________;

巩固练习 :

平面ＢＣ 1 、平面 CD1

平面 BC1 、平面 B1D1

巩固练习 : 2. 如图 , 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 为 DD1

的中点，求证 :BD1// 平面 AEC.

E

D 1 C 1

B 1

A1

D C

BAO

巩固练习 : 2. 如图 , 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 为 DD1

的中点，求证 :BD1// 平面 AEC.

E

D 1 C 1

B 1

A1

D C

BAO

证明 : 连结 AC 交 DB 与点 O ，

连接 OE,

∵ O 为正方形 DBCE 对角线的交点 ,

∴BO=OD,

又 DE=ED1,

∴OE//BD1,

AECBD

EOBD

AECEO

AECBD

平面平面平面

//

//1

1

1

巩固练习 :如图 3—6 ，两个完全相等的正方形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，点 M 、 N 分别在它们的对角线 AC 、 BF 上，且 CM=BN ，求证： MN∥ 平面 BCE ．

归纳小结，理清知识体系1. 判定直线与平面平行的方法：

（ 1 ）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；

（ 2 ）判定定理：（线线平行 线面平行）；

//

//

a

ba

b

a

作业 : 课本 P62 第 3题