多項式方程式

第四組 蔡瑋倫，吳柏萱，張哲誌

網頁設計規劃書

教學內容大綱

1.何謂多項式方程式2.如何求一元二次方程式的根 3.有理根判定法4.勘根定理5.實係數多項式的代數基本定理6.實係數多項式虛根成對定理

1. 何謂多項式方程式？

定義： f (x) = a0 + a1x +…+an-1xn-1+ an xn ＝ 0

n Є N ， a0 , a1 , … , an Є C( 複數 )

例子： 3x4 + x2 - 7 = 0

反例： |x| + x2 + 3= 0

2. 如何求一元二次方程式的根

1.因式分解法將一元二次方程式整理成ax2 + bx + c = 0(a,b,c Є R 且 a≠ 0)

如果我們能將等號左邊因式分解成兩個一次多項式的乘積，就可得此方程式的解。下面的例子來說明這種解法。

2. 如何求一元二次方程式的根1.因式分解法Example: 求 2x2 + 1 = 5x – 1 的解。

Sol: 利用移項可把原方程式改寫為 2x2 - 5x + 2 = 0

因式分解後可得 2x2 - 5x + 2 = (2x – 1)(x-2)因此，原方程式可改寫為 (2x – 1)(x-2) = 0

可知 2x – 1 =0 或 x-2 =0

即 x = 或 x =2 。

2. 如何求一元二次方程式的根2.配方法我們也可以利用平方根的概念來解方程式，例如將 x2 - 4x + 2 = 0

改寫為 (x-2)2 = 2 的形式進而解得 x = 。

2. 如何求一元二次方程式的根3.公式解雖然利用配方法解一元二次方程式的程序較為複雜，但觀察其過程，若避開繁複的運算過程，直接將方程式的係數代入這個解的通式，即可得到方程式的解，稱為公式解。

3. 有理根判定法設一方程式 f (x) = a0 + a1x +…+an-1xn-1+ an xn ＝ 0

n Є N ， a0 , a1 , … , an Є C( 複數 ) ， an ≠ 0

則(1)若 x = c 為 f (x) = 0 的整數根→ c∣ a0

(2)若 x = 為 f (x) = 0 的有理根 → a∣an 、 b∣a 0

3. 有理根判定法Example:

2x3 - 11x2 - 20x –7= 0 有幾個有理根？Sol ：所有有理根有可能的值為 　 ± 1, ± 7, ± 1/2, ± 7/2

　 全部代入，發現只有 -1/2 為其根 故此方程式只有一個有理根

4. 勘根定理 一元 n 次方程式，當 n ≥ 3時，其解不容易求，但是我們可以利用勘根定理來判別其實數根之範圍。

4. 勘根定理 設 f (x) 為一個實係數 n 次多項式，

a 、 b Є R 且 a < b 。

若 f (a) × f (b) < 0，則 f (x) = 0 在 (a,b) 之間至少有一實根。

4. 勘根定理S(-0.1) > 0 且 S(-0.2) < 0 S(0.1) > 0 且 S(0.3) < 0 S(0.3) < 0 且 S(0.7) > 0

則 S(x) 三次多項式有三個實數解 x1 ， x2 ， x3 分別在-0.1 < x1 < -0.2

0.1 < x2 < 0.3

0.3 < x3 < 0.7

5. 代數基本定理 設 n Є N ，對任意複係數 n 次多項式方程式必至少有一複數根。

推論：設 n Є N ，對任意複係數 n 次多項式方程式必恰有 n 個根。 ( 含重根與複數根 )

6. 實係數多項式虛根成對定理 若 f (x) 為一實係數 n 次多項式方程式，則 f (x) ＝ 0 的虛根必成對出現，即：

若 f (a+bi ) = 0 , a 、 b Є R , b ≠ 0

則 f (a-bi ) = 0

6. 實係數多項式虛根成對定理

6. 實係數多項式虛根成對定理例題

已知 5 及 1 2i 為實係數方程式x3 ax2 bx c 0 之二根，則(A)另一根為 1 2i 　(B) a b c 10

(C) a 7

(D) b 15

(E) c 25 。【解答】 (A)(D)

6. 實係數多項式虛根成對定理詳解

實係數方程式有一根 1 2i ，則有一根 1 2i

故 x3 ax2 bx c 0 三根為 5 ， 1 2i ， 1 2i

∴ x3 ax2 bx c

(x 5)[x (1 2i)][x (1 2i)]

(x 5)(x2 2x 5)

x3 7x2 15x 25

∴ a 7 ， b 15 ， c 25 ，另一根為 1 2i

7. 網頁設計想法與理念 簡單明瞭，不拖泥帶水 加深學生對概念的瞭解，而不是單純解題 將數學與生活做連結，進而引發學習興趣

8. 教學網頁教學目標 瞭解何謂多項式方程式，並知道求解的方法 學會活用勘根定理，並瞭解其原理 瞭解何謂代數基本定理，並能求出一個指定方程式所有的解

9. 網頁設計規畫與流程 第一步：蒐集資料

各組員獨立蒐集資料後，分析此章節所需要教學的目標，並深入探討彼此的關聯

9. 網頁設計規畫與流程 第二步： Do it!

著手架構網頁藍圖，並使用 Word編輯方程式，以及 GSP繪圖，再貼上至PowerPoint

9. 網頁設計規畫與流程 第三步：

著手建立網頁，並設計題目讓學生有獨立思考的空間，嘗試將互動教學融入其中。

10. 網頁教學設計流程多項式方程式定義

如何求一元二次方程式的根

勘根定理 有理根判定法

實係數多項式的代數基本定理

實係數多項式虛根成對定理

11. 參考資料 http://csm01.csu.edu.tw/0166/Math2/93.htm http://emath.kyu.edu.tw/formula/for06.html http://www.ck.tp.edu.tw/xoops/custom/resource/article9612_3.doc http://www.ck.tp.edu.tw/xoops/downloads1/98math_example.doc http://w2.smsh.tpc.edu.tw/~hmath/1/3-5.doc http://residence.educities.edu.tw/kuen/maths/roots.htm http://tw.myblog.yahoo.com/jw!oqdI9ImfGRCf52tB2q0ALQ--/article?

mid=88 98 年課程綱要 http://www.ck.tp.edu.tw/xoops/downloads1/98curriculum_math.pdf