東邦大学　理学部　情報科学科2018年度　卒業論文

円分多項式の係数について

指導教員：白柳　潔

提出日：2019年 1月 30日

提出者：5515047　後藤　翔太

概要多項式 xn − 1(nは自然数)を整数の範囲内で因数分解したとき、n = 104

までは、各因子の係数は 1, 0,−1になるが、n = 105のときに初めて係数

に −2が出現する。実は、任意の整数に対して、それが係数として出現す

るような nが存在するということが、円分多項式の係数に関する鈴木の定

理から導かれる。

本研究では、多賀麻実先輩の卒業論文が掲げた課題に取り組んだ。円分

多項式において 1, 0,−1以外の例外的係数を生成する nのうち、鈴木の定

理の証明で使われた方法で求められる nを「鈴木数」と呼び、そうでない

nを「非鈴木数」と呼ぶことにする。鈴木の方法は、ある性質を満たす奇

数個の素数を利用する。まず、素数が 3個のとき、鈴木の方法によって n

は必ず例外的係数を生成されることを確認した。次に偶数の 4個のときも

鈴木の方法によって例外的係数が生成されることが判明した。それらの例

外的係数とそれが出現する項の次数と個数をMapleで計算し、例外的係数

と次数のペア、個数を表やグラフとしてまとめた。

2

目次1 序論 4

1.1 xn − 1の係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 研究の背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 復習 6

2.1 円分多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 鈴木の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 鈴木の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 例外的係数を生成する n 15

3.1 非鈴木数 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 t = 4の例外的係数・最小次数について . . . . . . . . . . . 20

4 まとめと今後の課題 30

謝辞 31

参考文献 31

3

1 序論

1.1 xn − 1の係数

多項式 xn − 1(nは自然数）を整数の範囲で因数分解すると、n = 104まで

の各因数の係数は −1,0,1になる。実際に見てみると、

x2-1=(x− 1)(x+1)

x3-1=(x− 1)(x2+x+1)

x4-1=(x− 1)(x+1)(x2+1)

x5-1=(x− 1)(x4+x3+x2+x+1)

・

・

(x104 − 1)

=(x− 1)(1+x12+x11+x10+x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x)

(1+x)(1− x+x2 − x3+x4 − x5+x6 − x7+x8 − x9+x10 − x11+x12)(1+x2)

(x24 − x22+x20 − x18+x16 − x14+x12 − x10+x8 − x6+x4 − x2+1)(1+x4)

(x48 − x44+x40 − x36+x32 − x28+x24 − x20+x16 − x12+x8 − x4+1)

しかし、n = 105のときに始めて、係数に −1,0,1以外に −2が現れる。

(x105-1)

=(x−1)(1+x6+x5+x4+x3+x2+x)(1+x4+x3+x2+x) (1−x+x5−x6+x7−x8+x10−x11+x12−x13+x14−x16 +x17−x18+x19−x23+x24)(1+x2+x)(1−x+x3−x4+x6−x8+x9−x11+x12)(1−x+x3−x4+x5−x7+x8)(1+x−x6-

x5+x2 -2x7 −x24+x12 − x8+x13+x14

+x16+x17−x9−x15 +x48−x20−x22−x26−x28+x31+x32+x33+x34+x35

+x36 − x39 − x40 -2x41 −x42 − x43+x46+x47)

任意の整数に対して、それが係数として現れるよう nが存在するというこ

とが、円分多項式の係数に関する鈴木の定理から導かれる。

※−1,0,1以外の係数を「例外的係数」と呼ぶことにする。

4

1.2 研究の背景

多賀麻実先輩は、「円分多項式の係数について」をテーマに研究し、卒業論

文 (参考文献 3)にまとめた。この卒業論文に興味に持ち、残された課題に

ついて研究することにした。多賀先輩の卒業論文は、鈴木の方法が成り立

たない「非鈴木数」を抜き出すプログラムを作成し 1～5000の範囲で求め

た。例外的係数を生成する nの中で、「非鈴木数」の割合を出すことがで

きた。また「鈴木数」「非鈴木数」の例外的係数・最小次数を調べてまとめ

た。特に、「非鈴木数」の中でも「鈴木数」の倍数 nの例外的係数・最小次

数を調べると規則性を見つけることができた。また t = 4の時も鈴木の方

法によって例外的係数を生成するか調べた結果、鈴木の方法は成り立たな

いが、例外的係数を生成することが判明した。そこで掲げられた課題は以

下の 3点である。

1. tが偶数のときでも、鈴木の方法によって例外的係数を生成するか

2. 鈴木の方法が成り立つためにはどのような条件が必要か

3. 鈴木数の倍数であり、素因数分解したとき、すべて異なる素数である

nの例外的係数の項の最小次数に規則性はあるのか

本研究では、上記の 1の課題に取り組んだ。この課題を研究する前に、研

究する上で重要な「円分多項式」、「鈴木の定理」、その定理を証明する際に

使用する「鈴木の方法」について復習する。

5

2 復習この章では「円分多項式」「鈴木の定理」、その定理を証明する際に使用す

る「鈴木の方法」について復習する。記述の大部分は、参考文献の [1] と

[2]に基づいた [3]からの引用である。

2.1 円分多項式

まず初めに、円分多項式の定義について示す。

定義 1 n乗して 1になり、(n− 1)乗以下では 1にならない複素数を

1の原始 n乗根という。

定義 2 複素数体における 1の原始 n乗根すべてを解とする複素数係

数多項式を n についての「円分多項式」（または「円周等分多項式」）

という。これを、

Φn(x)

と書く。すなわち

Φn(x) =∏

ζは 1 の原始 n 乗根

(x− ζ)

例

x2-1=(x-1)(x+1)であるから、

Φ2(x+ 1)

x3-1=(x-1)(x2+x+1)

Φ3(x2 + x+ 1)

6

x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1)

Φ4(x2 + 1)

x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)

Φ5(x4 + x3 + x2 + x+ 1)

となる。また、奇素数 pに対しては

Φp(x) =xp − 1

x− 1= xp−1 + xp−2 + ..+ x+ 1

である事がわかる。

一般の nにおいては以下が成り立つ。

命題 1

Φn(x) =∏d|n

(xd − 1)µ(n/d)

ただし、µは Nから 1, 0, 1への関数（メビウス関数）で、

µ(n) =

1 n = 1のとき

0 nが平方因子をもつとき

(−1)k nが k 個の相異なる素因数

に分解されるとき

[証明]

xn − 1 =∏ζn=1

(x− ζ)

のおいて右辺の積を ζ の位数 (何乗すると初めて 1になるか)でまとめる。

すると、

xn − 1 =∏d|n

Φd(x) (1)

となる。この式は任意の自然数 nについて成立するので、

f(m) = xm − 1, g(m) = Φm(x)

7

以下のメビウスの反転公式の乗法型を利用すると求める式が得られる。

∗メビウスの反転公式（乗法型）1からある nまでの自然数に対して定義された関数 f(x), g(x)があって、n

の任意の約数mに対いて

f(m) =∏d|m

g(d)

となっているのならば、nの任意の約数mに対して

g(m) =∏d|m

f(d)µ(m/d)

が成り立つ。

以下では、Φn(x)は Zの既約な多項式であることを示す。

命題 2 Φn(x)は Z係数多項式である。

[証明]

命題 1から、

Φn(x) =f(x)

g(x)　 where f(x), g(x) ∈ Z[x]

と書ける。右辺は分母、分子の共通因子をすでに取り除いてあったものと

する。分子、分母は最初はともにモニックであるから共通因子を取り除い

たあともモニックである。ここで、仮に deg g(x) ≥ 1であったとすると、

左辺には分母がないのだから複素数係数で考えると、f(x), g(x)には共通

因子があることになる。すると共通解の最小多項式で両者は割り切れてし

まう。これは矛盾となる。したがって、deg g(x) = 0、つまり g(x) = 1で

あって、

Φn(x) = f(x) ∈ Z[x]

である。 □

8

命題 3 Φn(x)は Z[x]で既約である。

[証明]

ζ を 1の原始 n乗根の一つとして、以下固定して考える。f(x) ∈ Z[x]をζ の Q上の最小多項式とし、g(x) ∈ Z[x]を

f(x)g(x) = xn − 1 (1)

で定義する。f(x), g(x)は、Z係数のモニックな多項式であることを注意しておく。両辺微分すると

f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) = nxn−1 (2)

である。pを nを割り切らない任意の素数として (1)に ζp を代入すると

f(ζp)g(ζp) = 0

である。以下では f(ζp) = 0　を示したい。それには　 g(ζp) ̸= 0 を示せ

ばいい。(2)に、ζp を代入

f ′(ζp)g(ζp) + f(ζp)g′(ζp) = nζp(n−1)

を得る。一般論から

f(x)p = f(xp) + p h(x) for some h(x) ∈ Z[x]

と書ける。これに ζ を代入すれば

0 = f(ζp) + p h(ζ)

となる。これを上の微分した式に代入する。

f ′(ζp)g(ζp)− p h(ζ)g′(ζp) = nζp(n−1)

ここで、仮に g(ζp) = 0であったとすると、

−p h(ζ)g′(ζp) = nζp(n−1)

9

となる。両辺に ζp を掛けてから移項してまとめると

p ζph(ζ)g′(ζp) + n = 0

となる。ここで f(x）は、Z係数のモニックな多項式であるから、剰余の定理より

∃q(x),∃r(x) ∈ Z[x] s.t xph(x)g′(xp) = q(x)f(x) + r(x)

ここに、deg r(x) < deg f(x)

である。これに ζ を代入すれば、

ζph(ζ)g′(ζp) = r(ζ)

になる。よって

p r(ζ) + n = 0

である。f(x)の次数の最小性から、p r(x) + nは多項式として 0でなけれ

ばならない。したがって、r(x) = −n/pであるが、p は n を割り切らない

ことから、r(x)が Z係数であることに反する。g(ζp) ̸= 0となり f(ζp) = 0

である。次に、qを nを割り切らない素数 (= pでも可)として、これまでの

議題を ζ と qに対して全く同じに進めることができる。つまり、f(ζpq) = 0

これを繰り返すと nと互いに素なすべてのmについて、f(ζm) = 0になる

ことがわかる。つまり、f(x)は 1のすべての原始 n乗根を解にもつ。以上

のことから、f(x) = Φn(x)でなって、Φn(x)が既約であることが証明され

た。 □

以上、命題 1、2、3を定理にまとめると、次のようになる。

10

定理 1 任意の自然数 nに対して円分多項式 Φn(x)は、Z係数の既約多項式であって次の式で計算する。

Φn(x) =∏d|n

(xd − 1)µ(n/d)

つまり、例外的係数を調べるには、その nの円分多項式の係数を調べれば

良いことがわかる。

次に今回の論文で重要な「鈴木の定理」について述べる。

2.2 鈴木の定理

円分多項式の係数は、任意の整数になり得る。その任意の整数は、ある円

分多項式のある係数として現れる。それを定理として記述する。

定理 2 任意の s ∈ Zに対して、ある自然数 nが存在して sは Φn(x)

のある係数である。

証明には次の補題が重要となる。

補題 t ≥ 3となる任意の整数 tに対し、p1 + p2 > pt となる素数の列

p1 < p2 < · · · < pt が存在する。

[補題の証明]

t ≥ 3 を固定する。仮にどの素数列 p1 < p2 < · · · < pt に対しても、

p1 + p2 ≤ ptgが成り立つとせよ。すると、2p1 < pt となり、任意の自然数

k に対し、2k−1 と 2k の間に t個未満しか素数が存在することができない。

これより、π(2k) < ktを得る。ここに、π(s)は s以下の素数の個数であ

る。しかし、チェビシェフの定理より、π(x) >cx

lnxが成り立つ。ここに c

は正の定数である。よってc2k

ln 2k< kt、すなわち c2k < k2t ln 2となる。し

かし、十分大きな k に対し、この不等式は成り立たなくなる。

11

□[定理 2の証明]

t ≥ 3を奇数とせよ。p1 + p2 > pt となるような素数列 p1 < p2 · · · < pt

をとれ。p = pt、n = p1 · · · pt とおく。定理 1より、

Φn(x) =∏d|n

(xd − 1)µ(n/d)

tは奇数だから、メビウス関数の定義により、

Φn(x) =(xp1 − 1) · · · (xp − 1)

x− 1·∏(xpipjpk − 1)∏(xpipj − 1)

· · · ·

となる。この等式を mod xp+1 で考える。(pi − 1)(pj − 1) ≥ 2 より、

pipj ≥ pi + pj + 1 > pt + 1 = p+ 1だから、

xpipj ≡ 0 (mod xp+1),xpipjpk ≡ 0(mod xp+1),. . . .

よって、

Φn(x) ≡ ±(1− xp1) · · · (1− xp)

1− x(mod xp+1)

となる。Φn(0) = 1より、+のサインを選ぶことができる。

pi + pj ≥ p1 + p2 > p

より

(1− xp1) · · · (1− xp) ≡ (1− xp1 − · · · − xp) (mod xp+1)

また、

(1− x)−1 ≡ (1 + x+ · · ·+ xp) (mod xp+1)

であるから、

Φn(x) ≡ (1 + x+ · · ·+ xp)(1− xp1 − · · · − xp) (mod xp+1)

単項式 xpi、xpi+1、. . .、xpi+pのうち、xp = xpt はすべての iに対して現

れるのに対し、xp−1 と xp−2 は t 以外のすべての i に対して現れる。した

12

がって、Φn における xp の係数は −t+ 1であって、xp−2 の係数は

−(t− 1) + 1 = −t+ 2

となる。tが 3より始まってすべての奇数上に動くとき、−t+ 1と −t+ 2

はすべての負の整数上に動く。

次にすべての正の整数が円分多項式の係数になり得ることを示す。その

為に、p1 ≥ 3、p1+p2 > ptのとき、Φ2p1···pt を考える。ここで、n = p1 · · · ptは奇数だから、

Φ2n(x) = Φn(−x)

よって、xp と xp−2 の係数は、Φ2n と Φn とで、符号が異なるだけでそれぞ

れ t− 1と t− 2となる。したがって証明された。 □

2.3 鈴木の方法

最後に、「鈴木の定理」の証明に使われ、今回の論文で重要となる「鈴木の

方法」について詳しく記述する。

鈴木の方法

奇数 t(t > 3)に対し、p1 < p2 <・・< pt かつ p1 + p2 > pt を満たす

素数の列をとる。

このとき、n = p1p2・・・ptとすれば、xn-1の因子の中に、係数−t+1

が現れる。

【例】

奇数 3に対し、

p1 = 3 < p2 = 5 < p3 = 7

かつ

p1 + p2 = 3 + 5 = 8 > p3 = 7

13

を満たす素数列をとる。

このとき、n = p1p2p3 = 3・5・7 = 105とすれば、

x105 − 1の因子の中に係数 −t+ 1 = −3 + 1 = −2が現れる。

(x105 − 1)＝ (x− 1)(1+x6+x5+x4+x3+x2+x)(1+x4+x3+x2+x)

(1−x+x5 − x6+x7 − x8+x10 − x11+x12 − x13+x14 − x16 +x17 − x18+x19

−x23+x24)(1+x2+x)(1−x+x3 − x4+x6 − x8+x9 − x11+x12)(1− x+x3 −x4+x5 − x7+x8)(1+x− x6 − x5+x2 −2x7 −x24+x12 − x8+x13+x14

+x16+x17−x9−x15 +x48−x20−x22−x26−x28+x31+x32+x33+x34+x35

+x36 − x39 − x40 −2x41 −x42 − x43+x46+x47)

このように、鈴木の方法が成り立つ nを「鈴木数」、成り立たない nを

「非鈴木数」と呼ぶことにする。まず、例外的係数をもつ nを列挙し、その

なかから「非鈴木数」を求め、残された課題に取り組んでいく。

14

3 例外的係数を生成する n

まず例外的係数をもつ nを出力するプログラムを使って、1～5000の範囲

で nを求める。

with(numtheory)

A := proc(m,n);

local l, i;

l := [ ];

for i from m to n do

if exceotional([coeffs(cyclotomic(i, x))])

then l := [op(l), i];

end if;

end do;

l;

end proc;

exceptional := proc(l)

local s;

for s in l do if 1 < abs(s) then return true;

end if;

end do;

false;

end proc;

1～1000の範囲で、例外的係数をもつ nを出力すると、

165, 195, 210, 255, 273, 285, 315, 330, 345, 357, 390, 420, 455, 495, 510,

525, 546, 555, 561, 570, 585, 595, 609, 615, 627, 630, 645, 660, 665, 690,

15

705, 714, 735, 759, 765, 770, 777, 780, 795, 805, 819, 825, 840, 855, 858,

897, 910, 935, 945, 957, 975, 987, 990

105 が「鈴木数」である証明はしたので、次の 165 を素因数分解すると、

n = 3・5・11 = 165となり、t = 3である。

p1 = 3 < p2 = 5 < p3 = 11

は成り立っている。しかし、

p1 + p2 = 3 + 5 = 8 > p3 = 11

は、成り立たない。

つまり、165は「鈴木数」ではなく「非鈴木数」である。例外的係数を生

成する n はすべて「鈴木数」ではなく、「非鈴木数」も含まれることがわ

かった。

3.1 非鈴木数 n

165以外にも「非鈴木数」が存在するか調べるために、「非鈴木数」を列挙

するプログラムを作成した。

with(numtheory)

local l, i;

l := [ ];

for i from m to n do

if exceotional([coeffs(cyclotomic(i, x))])

then l := [op(l), i];

end if; end do;

l;

end proc;

exceptional := proc(l)

16

local s;

for s in l do if 1 < abs(s) then return true;

end if; end do;

false;

end proc;

suzuki := proc(n)

local i, fac;

fac := [op(ifactor(n))];

for i in fac do

if whattype(op(i))) ̸= integer then return false;

end if; end do;

if type(nops(fac), even) then false;

end if;

if op(op(1, fac)) + op(op(2, fac)) > op(op(nop(fac), fac)) then true;

else false;

end if; end proc;

suzuki-list := proc(l)

local sl, i;

sl := [ ];

for i in l do

if suzuki(i) then sl := [op(sl), i];

end if; end do;

sl :

end proc;

17

このプログラムを用いて、1～5000の範囲で「非鈴木数」を出力すると、

165, 195, 210, 255, 273, 285, 315, 330, 345, 357, 390, 420, 455, 495, 510,

525, 546, 555, 561, 570, 585, 595, 609, 615, 627, 630, 645, 660, 665, 690,

705, 714, 735, 759, 765, 770, 777, 780, 795, 805, 819, 825, 840, 855, 858,

897, 910, 935, 945, 957, 975, 987, 990, 1005, 1015, 1020, 1023, 1035, 1045,

1050, 1065, 1071, 1085, 1092, 1095, 1110, 1122, 1131, 1140, 1155, 1170,

1185, 1190, 1218, 1221, 1230, 1235, 1239, 1245, 1254, 1260, 1265, 1275,

1287, 1290, 1295, 1320, 1330, 1365, 1380, 1407, 1410, 1419, 1425, 1428,

1430, 1435, 1455, 1463, 1470, 1485, 1491, 1495, 1505, 1515, 1518, 1530,

1540, 1545, 1551, 1554, 1560, 1575, 1590, 1595, 1605, 1610, 1635, 1638,

1645, 1650, 1659, 1665, 1677, 1680, 1683, 1695, 1705, 1710, 1716, 1725,

1749, 1755, 1767, 1771, 1785, 1794, 1815, 1820, 1827, 1845, 1855, 1869,

1870, 1881, 1885, 1887, 1890, 1905, 1911, 1914, 1925, 1935, 1938, 1950,

1955, 1965, 1974, 1980, 1995, 2001, 2002, 2010, 2013, 2015, 2030, 2035,

2037, 2040, 2046, 2055, 2065, 2067, 2070, 2085, 2090, 2091, 2093, 2100,

2109, 2115, 2121, 2130, 2135, 2139, 2142, 2145, 2170, 2184, 2190, 2193,

2205, 2210, 2220, 2233, 2244, 2255, 2262, 2275, 2277, 2280, 2289, 2295,

2310, 2331, 2340, 2343, 2345, 2355, 2365, 2370, 2373, 2380, 2385, 2387,

2397, 2405, 2415, 2436, 2442, 2445, 2451, 2457, 2460, 2465, 2470, 2475,

2478, 2490, 2499, 2505, 2508, 2520, 2530, 2535, 2550, 2553, 2555, 2565,

2574, 2580, 2585, 2590, 2595, 2607, 2613, 2618, 2625, 2635, 2639, 2640,

2660, 2665, 2679, 2691, 2695, 2703, 2730, 2739, 2751, 2755, 2760, 2765,

2769, 2775, 2795, 2805, 2814, 2820, 2821, 2835, 2838, 2847, 2849, 2850,

2856, 2860, 2865, 2870, 2871, 2895, 2905, 2907, 2910, 2919, 2925, 2926,

2937, 2940, 2945, 2955, 2961, 2967, 2970, 2975, 2982, 2985, 2990, 3003,

3009, 3010, 3015, 3021, 3030, 3036, 3045, 3055, 3060, 3069, 3075, 3080,

3090, 3094, 3102, 3105, 3108, 3111, 3115, 3120, 3135, 3145, 3150, 3157,

3171, 3180, 3185, 3190, 3195, 3201, 3210, 3213, 3219, 3220, 3225, 3230,

3237, 3243, 3245, 3255, 3270, 3276, 3285, 3290, 3300, 3311, 3315, 3318,

18

3325, 3330, 3333, 3335, 3345, 3354, 3355, 3360, 3366, 3367, 3390, 3393,

3395, 3399, 3405, 3410, 3417, 3420, 3423, 3432, 3435, 3445, 3450, 3451,

3458, 3465, 3471, 3477, 3485, 3495, 3498, 3510, 3515, 3525, 3534, 3535,

3542, 3549, 3555, 3565, 3567, 3570, 3575, 3588, 3597, 3605, 3619, 3630,

3633, 3640, 3654, 3655, 3657, 3663, 3675, 3685, 3689, 3690, 3705, 3710,

3717, 3729, 3731, 3735, 3738, 3740, 3741, 3745, 3762, 3765, 3770, 3774,

3780, 3795, 3801, 3810, 3815, 3819, 3822, 3825, 3828, 3835, 3850, 3855,

3857, 3861, 3870, 3876, 3885, 3895, 3900, 3905, 3910, 3913, 3927, 3930,

3939, 3945, 3948, 3955, 3960, 3965, 3975, 3990, 3995, 3999, 4002, 4004,

4015, 4017, 4020, 4025, 4026, 4030, 4047, 4053, 4060, 4070, 4074, 4080,

4081, 4085, 4089, 4092, 4095, 4110, 4123, 4125, 4130, 4134, 4137, 4140,

4147, 4155, 4165, 4170, 4173, 4180, 4182, 4186, 4191, 4200, 4215, 4218,

4221, 4230, 4233, 4235, 4242, 4245, 4255, 4257, 4260, 4263, 4270, 4275,

4277, 4278, 4284, 4290, 4305, 4335, 4340, 4345, 4355, 4365, 4368, 4370,

4380, 4386, 4389, 4395, 4403, 4407, 4410, 4420, 4433, 4440, 4445, 4455,

4465, 4466, 4473, 4485, 4488, 4503, 4505, 4510, 4515, 4521, 4522, 4524,

4543, 4545, 4550, 4554, 4560, 4565, 4578, 4585, 4590, 4605, 4611, 4615,

4620, 4623, 4635, 4641, 4653, 4655, 4662, 4665, 4675, 4680, 4683, 4686,

4690, 4695, 4697, 4710, 4715, 4719, 4725, 4730, 4731, 4740, 4745, 4746,

4755, 4760, 4767, 4770, 4773, 4774, 4785, 4794, 4795, 4810, 4815, 4823,

4830, 4845, 4862, 4872, 4875, 4879, 4884, 4890, 4895, 4899, 4902, 4905,

4914, 4917, 4920, 4921, 4929, 4930, 4935, 4940, 4945, 4947, 4950, 4953,

4956, 4977, 4980, 4983, 4991, 4995, 4998

19

3.2 t = 4の例外的係数・最小次数について

次に、多賀先輩が残した課題（1）について調べていく。

課題（1）

tが 4以上の偶数のときでも、鈴木の方法によって nは必ず

例外的係数を生成するか。

鈴木の方法は、tは奇数であると決められているが、t = 4の偶数であると

きでは成り立つのか調べていく。まず、「鈴木数」を出力するプログラムか

ら、t = 4になる nを抜き出す。1～100000の範囲では、

[17017, 29393, 46189, 52003, 55913, 62491, 81719, 96577]

t = 4が成り立つ最小 nは、「17017」である。

まず、素因数分解すると、

17017 = 7・11・13・17

また、

7 < 11 < 13 < 17

かつ

p1 + p2 = 7 + 11 = 18 > p4 = 17

が成り立っている。鈴木の方法によって例外的係数を生成するならば、次

数 p4 = 17に係数 −t+ 1 = −3が現れるはずである。

しかし、実際に因数分解すると、次数 17 のとき係数 1 が現れる。そして

なにより、例外的係数をもつ最小次数は 17ではなく、次数 36のときに係

数 −2を持つことが分かった。

これをMapleを用いて確認すると

20

11484, 11412, 11388, 11377, 11364, 11357, 11353, 11344, 11340, 11329,

11327, 11322, 11320, 11312, 11294, 11278, 11260, 11255, 11254, 11253,

11250, 11248, 11243, 11240, 11231, 11224, 11207, 11206, 11203, 11202,

11179, 11175, 11171, 11155, 11131, 11126, 11109, 11103, 11096, 11093,

11089, 11083, 11069, 11058, 11021, 10997, 10986, 10976, 10973, 10965,

10958, 10941, 10932, 10928, 10925, 10921, 10919, 10917, 10904, 10901,

10891, 10877, 10863, 10860, 10856, 10842, 10838, 10835, 10825, 10821,

10818, 10814, 10801, 10753, 10483, 10411, 10387, 10376, 10363, 10356,

10352, 10343, 10339, 10328, 10326, 10321, 10319, 10311, 10293, 10277,

10259, 10254, 10253, 10252, 10249, 10247, 10242, 10239, 10230, 10223,

10206, 10205, 10202, 10201, 10198, 10191, 10186, 10182, 10167, 10154,

10143, 10130, 10125, 10112, 10110, 10086, 10082, 10079, 10071, 10051,

10047, 10044, 10037, 10000, 9989, 9986, 9976, 9952, 9927, 9922, 9917,

9904, 9898, 9894, 9893, 9889, 9866, 9821, 9815, 9813, 9811, 9806, 9802,

9797, 9795, 9787, 9778, 9741, 9734, 9717, 9715, 9701, 9697, 9695, 9680,

9671, 9667, 9663, 9647, 9645, 9643, 9640, 9638, 9612, 9603, 9594, 9592,

9579, 9575, 9562, 9560, 9557, 9549, 9546, 9542, 9533, 9518, 9505, 9501,

9477, 9444, 9433, 9422, 9372, 9368, 9361, 9355, 9340, 9337, 9333, 9331,

9327, 9316, 9314, 9310, 9297, 9292, 9283, 9281, 9276, 9273, 9259, 9252,

9251, 9248, 9245, 9238, 9235, 9234, 9232, 9231, 9228, 9221, 9218, 9215,

9214, 9207, 9204, 9202, 9200, 9194, 9185, 9183, 9181, 9166, 9153, 9142,

9129, 9124, 9111, 9109, 9085, 9057, 9056, 9053, 9006, 8999, 8989, 8975,

8968, 8964, 8958, 8956, 8939, 8937, 8934, 8929, 8916, 8912, 8910, 8900,

8896, 8865, 8862, 8850, 8848, 8822, 8801, 8786, 8759, 8740, 8738, 8733,

8730, 8711, 8707, 8706, 8693, 8685, 8674, 8669, 8656, 8631, 8626, 8621,

8611, 8610, 8607, 8596, 8580, 8560, 8552, 8538, 8534, 8517, 8514, 8504,

8495, 8484, 8473, 8464, 8447, 8419, 8414, 8410, 8384, 8368, 8360, 8354,

8326, 8323, 8320, 8319, 8301, 8299, 8288, 8275, 8266, 8251, 8241, 8229,

8223, 8218, 8205, 8203, 8202, 8200, 8198, 8192, 8187, 8185, 8176, 8162,

8161, 8135, 8130, 8124, 8117, 8100, 8095, 8089, 8087, 8076, 8073, 8043,

21

8038, 8035, 8021, 8017, 8011, 8004, 7998, 7988, 7967, 7942, 7938, 7916,

7912, 7905, 7901, 7884, 7882, 7881, 7878, 7875, 7853, 7819, 7811, 7800,

7798, 7793, 7791, 7774, 7757, 7736, 7729, 7727, 7712, 7710, 7705, 7690,

7677, 7671, 7666, 7654, 7641, 7637, 7619, 7614, 7610, 7605, 7603, 7586,

7582, 7565, 7552, 7517, 7510, 7500, 7492, 7487, 7485, 7483, 7481, 7472,

7441, 7418, 7413, 7407, 7397, 7386, 7380, 7336, 7334, 7330, 7315, 7279,

7277, 7264, 7253, 7234, 7230, 7227, 7222, 7221, 7215, 7193, 7179, 7159,

7157, 7153, 7103, 7090, 7048, 7033, 7016, 7003, 7000, 6998, 6970, 6965,

6950, 6946, 6931, 6883, 6882, 6872, 6869, 6854, 6850, 6849, 6848, 6836,

6831, 6830, 6825, 6815, 6808, 6801, 6799, 6791, 6790, 6782, 6778, 6777,

6769, 6754, 6753, 6728, 6718, 6704, 6684, 6671, 6664, 6660, 6654, 6646,

6644, 6643, 6636, 6615, 6611, 6609, 6592, 6588, 6585, 6579, 6568, 6554,

6548, 6544, 6513, 6495, 6488, 6480, 6469, 6462, 6458, 6454, 6452, 6438,

6437, 6402, 6392, 6381, 6378, 6368, 6355, 6349, 6341, 6321, 6318, 6314,

6306, 6290, 6271, 6270, 6266, 6260, 6259, 6253, 6245, 6241, 6190, 6186,

6183, 6154, 6139, 6136, 6128, 6121, 6111, 6084, 6076, 6052, 6047, 6032,

6030, 6015, 5999, 5997, 5995, 5981, 5975, 5970, 5931, 5920, 5910, 5895,

5870, 5833, 5811, 5779, 5768, 5767, 5753, 5752, 5741, 5709, 5687, 5650,

5625, 5610, 5600, 5589, 5550, 5545, 5539, 5525, 5523, 5521, 5505, 5490,

5488, 5473, 5468, 5444, 5436, 5409, 5399, 5392, 5384, 5381, 5366, 5337,

5334, 5330, 5279, 5275, 5267, 5261, 5260, 5254, 5250, 5249, 5230, 5214,

5206, 5202, 5199, 5179, 5171, 5165, 5152, 5142, 5139, 5128, 5118, 5083,

5082, 5068, 5066, 5062, 5058, 5051, 5040, 5032, 5025, 5007, 4976, 4972,

4966, 4952, 4941, 4935, 4932, 4928, 4911, 4909, 4905, 4884, 4877, 4876,

4874, 4866, 4860, 4856, 4849, 4836, 4816, 4802, 4792, 4767, 4766, 4751,

4743, 4742, 4738, 4730, 4729, 4721, 4719, 4712, 4705, 4695, 4690, 4689,

4684, 4672, 4671, 4670, 4666, 4651, 4648, 4638, 4637, 4589, 4574, 4570,

4555, 4550, 4522, 4520, 4517, 4504, 4487, 4472, 4430, 4417, 4367, 4363,

4361, 4341, 4327, 4305, 4299, 4298, 4293, 4290, 4286, 4267, 4256, 4243,

4241, 4205, 4190, 4186, 4184, 4140, 4134, 4123, 4113, 4107, 4102, 4079,

22

4048, 4039, 4037, 4035, 4033, 4028, 4020, 4010, 4003, 3968, 3955, 3938,

3934, 3917, 3915, 3910, 3906, 3901, 3883, 3879, 3866, 3854, 3849, 3843,

3830, 3815, 3810, 3808, 3793, 3791, 3784, 3763, 3746, 3729, 3727, 3722,

3720, 3709, 3701, 3667, 3645, 3642, 3639, 3638, 3636, 3619, 3615, 3608,

3604, 3582, 3578, 3553, 3532, 3522, 3516, 3509, 3503, 3499, 3485, 3482,

3477, 3447, 3444, 3433, 3431, 3425, 3420, 3403, 3396, 3390, 3385, 3359,

3358, 3344, 3335, 3333, 3328, 3322, 3320, 3318, 3317, 3315, 3302, 3297,

3291, 3279, 3269, 3254, 3245, 3232, 3221, 3219, 3201, 3200, 3197, 3194,

3166, 3160, 3152, 3136, 3110, 3106, 3101, 3073, 3056, 3047, 3036, 3025,

3016, 3006, 3003, 2986, 2982, 2968, 2960, 2940, 2924, 2913, 2910, 2909,

2899, 2894, 2889, 2864, 2851, 2846, 2835, 2827, 2814, 2813, 2809, 2790,

2787, 2782, 2780, 2761, 2734, 2719, 2698, 2672, 2670, 2658, 2655, 2624,

2620, 2610, 2608, 2604, 2591, 2586, 2583, 2581, 2564, 2562, 2556, 2552,

2545, 2531, 2521, 2514, 2467, 2464, 2463, 2435, 2411, 2409, 2396, 2391,

2378, 2367, 2354, 2339, 2337, 2335, 2326, 2320, 2318, 2316, 2313, 2306,

2305, 2302, 2299, 2292, 2289, 2288, 2286, 2285, 2282, 2275, 2272, 2269,

2268, 2261, 2247, 2244, 2239, 2237, 2228, 2223, 2210, 2206, 2204, 2193,

2189, 2187, 2183, 2180, 2165, 2159, 2152, 2148, 2098, 2087, 2076, 2043,

2019, 2015, 2002, 1987, 1978, 1974, 1971, 1963, 1960, 1958, 1945, 1941,

1928, 1926, 1917, 1908, 1882, 1880, 1877, 1875, 1873, 1857, 1853, 1849,

1840, 1825, 1823, 1819, 1805, 1803, 1786, 1779, 1742, 1733, 1725, 1723,

1718, 1714, 1709, 1707, 1705, 1699, 1654, 1631, 1627, 1626, 1622, 1616,

1603, 1598, 1593, 1568, 1544, 1534, 1531, 1520, 1483, 1476, 1473, 1469,

1449, 1441, 1438, 1434, 1410, 1408, 1395, 1390, 1377, 1366, 1353, 1338,

1334, 1329, 1322, 1319, 1318, 1315, 1314, 1297, 1290, 1281, 1278, 1273,

1271, 1268, 1267, 1266, 1261, 1243, 1227, 1209, 1201, 1199, 1194, 1192,

1181, 1177, 1168, 1164, 1157, 1144, 1133, 1109, 1037, 767, 719, 706, 702,

699, 695, 685, 682, 678, 664, 660, 657, 643, 629, 619, 616, 603, 601, 599,

595, 592, 588, 579, 562, 555, 547, 544, 534, 523, 499, 462, 451, 437, 431,

427, 424, 417, 411, 394, 389, 365, 349, 345, 341, 318, 317, 314, 313, 296,

23

289, 280, 277, 272, 270, 267, 266, 265, 260, 242, 226, 208, 200, 198, 193,

191, 180, 176, 167, 163, 156, 143, 132, 108, 36

「17017」の他に「29393」でも調べてみる。

素因数分解すると、

29393 = 7・13・17・19

また、

7 < 13 < 17 < 19

かつ

p1 + p2 = 7 + 13 = 20 > p4 = 19

が成り立っている。鈴木の方法によって例外的係数を生成するならば、最

小次数 19に例外的係数 −3をもつと考えられるが、実際に円分多項式をみ

ると例外的係数 −2をもつ最小次数は 221である。これらもMappleを用

いて確かめてみると

20515, 20496, 20482, 20477, 20456, 20438, 20421, 20404, 20399, 20394,

20383, 20381, 20375, 20366, 20354, 20345, 20335, 20328, 20324, 20323,

20319, 20316, 20312, 20302, 20298, 20297, 20295, 20293, 20286, 20276,

20266, 20248, 20241, 20240, 20239, 20231, 20220, 20215, 20214, 20208,

20201, 20189, 20165, 20137, 20132, 20099, 20092, 20080, 20075, 20073,

20056, 20049, 20047, 20035, 20033, 20021, 20016, 20014, 20007, 20002,

19990, 19988, 19971, 19952, 19945, 19939, 19931, 19922, 19912, 19907,

19905, 19893, 19881, 19843, 19836, 19817, 19811, 19804, 19798, 19791,

19785, 19766, 19759, 19721, 19702, 19683, 19006, 18992, 18968, 18961,

18954, 18935, 18921, 18909, 18902, 18895, 18890, 18883, 18876, 18874,

18871, 18855, 18852, 18850, 18848, 18831, 18829, 18819, 18815, 18812,

18810, 18807, 18802, 18798, 18793, 18788, 18786, 18776, 18770, 18756,

18755, 18750, 18743, 18732, 18731, 18729, 18720, 18715, 18705, 18703,

18670, 18667, 18665, 18661, 18660, 18649, 18647, 18646, 18642, 18635,

24

18625, 18607, 18595, 18583, 18582, 18573, 18564, 18557, 18556, 18547,

18540, 18537, 18526, 18521, 18512, 18509, 18500, 18498, 18495, 18493,

18488, 18479, 18469, 18462, 18443, 18401, 18377, 18375, 18370, 18368,

18363, 18353, 18344, 18330, 18327, 18320, 18318, 18313, 18311, 18259,

18257, 18247, 18244, 18242, 18231, 18219, 18204, 18185, 18169, 18160,

18148, 18141, 18138, 18136, 18134, 18131, 18127, 18124, 18117, 18110,

18103, 18096, 18087, 18086, 18084, 18079, 18074, 18069, 18067, 18039,

18036, 18032, 18025, 18022, 18015, 18013, 17996, 17987, 17978, 17961,

17959, 17940, 17935, 17904, 17876, 17871, 17838, 17831, 17819, 17814,

17812, 17795, 17788, 17786, 17774, 17772, 17760, 17755, 17753, 17746,

17741, 17729, 17727, 17710, 17691, 17684, 17678, 17670, 17661, 17651,

17646, 17644, 17632, 17613, 17607, 17594, 17582, 17568, 17549, 17543,

17524, 17511, 17492, 17490, 17485, 17471, 17464, 17445, 17407, 17388,

17374, 17362, 17355, 17348, 17343, 17336, 17329, 17327, 17324, 17308,

17305, 17303, 17301, 17284, 17282, 17277, 17272, 17270, 17268, 17255,

17254, 17246, 17241, 17239, 17234, 17232, 17230, 17229, 17227, 17223,

17220, 17209, 17208, 17204, 17197, 17196, 17161, 17156, 17142, 17123,

17119, 17092, 17088, 17086, 17081, 17079, 17078, 17073, 17071, 17060,

17052, 17041, 17028, 17026, 17022, 17000, 16996, 16991, 16962, 16953,

16951, 16942, 16932, 16917, 16906, 16897, 16891, 16859, 16840, 16833,

16797, 16780, 16771, 16724, 16710, 16697, 16690, 16679, 16669, 16665,

16639, 16624, 16613, 16605, 16594, 16568, 16546, 16541, 16504, 16496,

16495, 16489, 16485, 16478, 16475, 16451, 16447, 16444, 16436, 16432,

16410, 16405, 16400, 16399, 16398, 16395, 16391, 16390, 16367, 16365,

16364, 16362, 16338, 16334, 16324, 16321, 16297, 16291, 16288, 16277,

16269, 16265, 16260, 16250, 16248, 16237, 16227, 16208, 16163, 16154,

16139, 16128, 16118, 16116, 16109, 16094, 16083, 16071, 16060, 16059,

16054, 16034, 16015, 16009, 15996, 15981, 15955, 15951, 15932, 15919,

15912, 15893, 15886, 15860, 15855, 15842, 15841, 15835, 15820, 15818,

15806, 15796, 15795, 15778, 15776, 15775, 15770, 15768, 15759, 15751,

25

15740, 15730, 15727, 15721, 15712, 15707, 15692, 15687, 15676, 15675,

15673, 15647, 15638, 15636, 15635, 15631, 15621, 15572, 15567, 15558,

15551, 15545, 15543, 15538, 15536, 15531, 15524, 15510, 15505, 15472,

15446, 15444, 15442, 15423, 15420, 15397, 15394, 15383, 15382, 15356,

15323, 15312, 15293, 15233, 15188, 15177, 15163, 15148, 15129, 15122,

15118, 15098, 15094, 15080, 15007, 14999, 14995, 14994, 14950, 14948,

14942, 14935, 14929, 14923, 14874, 14862, 14855, 14839, 14775, 14742,

14741, 14730, 14723, 14707, 14701, 14697, 14681, 14680, 14671, 14662,

14643, 14637, 14633, 14626, 14598, 14597, 14593, 14579, 14574, 14571,

14562, 14559, 14553, 14551, 14550, 14541, 14536, 14531, 14528, 14506,

14496, 14487, 14470, 14462, 14458, 14451, 14439, 14434, 14425, 14413,

14406, 14403, 14401, 14384, 14351, 14342, 14327, 14320, 14314, 14311,

14288, 14278, 14263, 14237, 14203, 14202, 14200, 14174, 14160, 14148,

14133, 14122, 14110, 14103, 14094, 14044, 14029, 14023, 14003, 14001,

13973, 13972, 13956, 13935, 13918, 13906, 13848, 13828, 13816, 13791,

13777, 13772, 13758, 13753, 13724, 13698, 13653, 13627, 13623, 13608,

13590, 13575, 13571, 13498, 13466, 13439, 13433, 13421, 13395, 13327,

13315, 13308, 13296, 13271, 13265, 13259, 13258, 13230, 13226, 13181,

13173, 13166, 13162, 13140, 13133, 13070, 13051, 13050, 13046, 13042,

13038, 13032, 13025, 13013, 13006, 13000, 12994, 12993, 12982, 12979,

12968, 12963, 12959, 12949, 12915, 12914, 12911, 12904, 12897, 12895,

12866, 12864, 12859, 12849, 12845, 12831, 12825, 12812, 12762, 12748,

12717, 12702, 12700, 12696, 12684, 12683, 12677, 12672, 12667, 12665,

12648, 12629, 12619, 12617, 12593, 12584, 12580, 12575, 12560, 12558,

12547, 12539, 12527, 12515, 12494, 12483, 12473, 12471, 12470, 12457,

12438, 12430, 12419, 12412, 12411, 12400, 12393, 12386, 12360, 12314,

12289, 12282, 12275, 12263, 12262, 12203, 12185, 12140, 12118, 12100,

12092, 12062, 12061, 12050, 12043, 12029, 12023, 11986, 11965, 11963,

11951, 11894, 11893, 11853, 11827, 11787, 11768, 11749, 11737, 11730,

11711, 11586, 11567, 11560, 11548, 11536, 11510, 11496, 11454, 11428,

26

11427, 11418, 11411, 11373, 11354, 11322, 11321, 11284, 11265, 11264,

11246, 11231, 11227, 11188, 11168, 11162, 11146, 11137, 11122, 11102,

11096, 11092, 11085, 11076, 11075, 11051, 11037, 11018, 11012, 11002,

10993, 10992, 10980, 10969, 10936, 10929, 10926, 10924, 10903, 10884,

10876, 10872, 10864, 10857, 10855, 10846, 10831, 10786, 10765, 10728,

10716, 10715, 10701, 10696, 10671, 10630, 10585, 10567, 10540, 10522,

10500, 10495, 10477, 10476, 10450, 10397, 10339, 10286, 10260, 10259,

10241, 10236, 10214, 10196, 10169, 10151, 10106, 10065, 10040, 10035,

10021, 10020, 10008, 9971, 9950, 9905, 9890, 9881, 9879, 9872, 9864,

9860, 9852, 9833, 9812, 9810, 9807, 9800, 9767, 9756, 9744, 9743, 9734,

9724, 9718, 9699, 9685, 9661, 9660, 9651, 9644, 9640, 9634, 9614, 9599,

9590, 9574, 9568, 9548, 9509, 9505, 9490, 9472, 9471, 9452, 9415, 9414,

9382, 9363, 9325, 9318, 9309, 9308, 9282, 9240, 9226, 9200, 9188, 9176,

9169, 9150, 9025, 9006, 8999, 8987, 8968, 8949, 8909, 8883, 8843, 8842,

8785, 8773, 8771, 8750, 8713, 8707, 8693, 8686, 8675, 8674, 8644, 8636,

8618, 8596, 8551, 8533, 8474, 8473, 8461, 8454, 8447, 8422, 8376, 8350,

8343, 8336, 8325, 8324, 8317, 8306, 8298, 8279, 8266, 8265, 8263, 8253,

8242, 8221, 8209, 8197, 8189, 8178, 8176, 8161, 8156, 8152, 8143, 8119,

8117, 8107, 8088, 8071, 8069, 8064, 8059, 8053, 8052, 8040, 8036, 8034,

8019, 7988, 7974, 7924, 7911, 7905, 7891, 7887, 7877, 7872, 7870, 7841,

7839, 7832, 7825, 7822, 7821, 7787, 7777, 7773, 7768, 7757, 7754, 7743,

7742, 7736, 7730, 7723, 7711, 7704, 7698, 7694, 7690, 7686, 7685, 7666,

7603, 7596, 7574, 7570, 7563, 7555, 7510, 7506, 7478, 7477, 7471, 7465,

7440, 7428, 7421, 7409, 7341, 7315, 7303, 7297, 7270, 7238, 7165, 7161,

7146, 7128, 7113, 7109, 7083, 7038, 7012, 6983, 6978, 6964, 6959, 6945,

6920, 6908, 6888, 6830, 6818, 6801, 6780, 6764, 6763, 6735, 6733, 6713,

6707, 6692, 6642, 6633, 6626, 6614, 6603, 6588, 6576, 6562, 6536, 6534,

6533, 6499, 6473, 6458, 6448, 6425, 6422, 6416, 6409, 6394, 6385, 6352,

6335, 6333, 6330, 6323, 6311, 6302, 6297, 6285, 6278, 6274, 6266, 6249,

6240, 6230, 6208, 6205, 6200, 6195, 6186, 6185, 6183, 6177, 6174, 6165,

27

6162, 6157, 6143, 6139, 6138, 6110, 6103, 6099, 6093, 6074, 6065, 6056,

6055, 6039, 6035, 6029, 6013, 6006, 5995, 5994, 5961, 5897, 5881, 5874,

5862, 5813, 5807, 5801, 5794, 5788, 5786, 5742, 5741, 5737, 5729, 5656,

5642, 5638, 5618, 5614, 5607, 5588, 5573, 5559, 5548, 5503, 5443, 5424,

5413, 5380, 5354, 5353, 5342, 5339, 5316, 5313, 5294, 5292, 5290, 5264,

5231, 5226, 5212, 5205, 5200, 5198, 5193, 5191, 5185, 5178, 5169, 5164,

5115, 5105, 5101, 5100, 5098, 5089, 5063, 5061, 5060, 5049, 5044, 5029,

5024, 5015, 5009, 5006, 4996, 4985, 4977, 4968, 4966, 4961, 4960, 4958,

4941, 4940, 4930, 4918, 4916, 4901, 4895, 4894, 4881, 4876, 4850, 4843,

4824, 4817, 4804, 4785, 4781, 4755, 4740, 4727, 4721, 4702, 4682, 4677,

4676, 4665, 4653, 4642, 4627, 4620, 4618, 4608, 4597, 4582, 4573, 4528,

4509, 4499, 4488, 4486, 4476, 4471, 4467, 4459, 4448, 4445, 4439, 4415,

4412, 4402, 4398, 4374, 4372, 4371, 4369, 4346, 4345, 4341, 4338, 4337,

4336, 4331, 4326, 4304, 4300, 4292, 4289, 4285, 4261, 4258, 4251, 4247,

4241, 4240, 4232, 4195, 4190, 4168, 4142, 4131, 4123, 4112, 4097, 4071,

4067, 4057, 4046, 4039, 4026, 4012, 3965, 3956, 3939, 3903, 3896, 3877,

3845, 3839, 3830, 3819, 3804, 3794, 3785, 3783, 3774, 3745, 3740, 3736,

3714, 3710, 3708, 3695, 3684, 3676, 3665, 3663, 3658, 3657, 3655, 3650,

3648, 3644, 3617, 3613, 3594, 3580, 3575, 3540, 3539, 3532, 3528, 3527,

3516, 3513, 3509, 3507, 3506, 3504, 3502, 3497, 3495, 3490, 3482, 3481,

3468, 3466, 3464, 3459, 3454, 3452, 3435, 3433, 3431, 3428, 3412, 3409,

3407, 3400, 3393, 3388, 3381, 3374, 3362, 3348, 3329, 3291, 3272, 3265,

3251, 3246, 3244, 3225, 3212, 3193, 3187, 3168, 3154, 3142, 3129, 3123,

3104, 3092, 3090, 3085, 3075, 3066, 3058, 3052, 3045, 3026, 3009, 3007,

2995, 2990, 2983, 2981, 2976, 2964, 2962, 2950, 2948, 2941, 2924, 2922,

2917, 2905, 2898, 2865, 2860, 2832, 2801, 2796, 2777, 2775, 2758, 2749,

2740, 2723, 2721, 2714, 2711, 2704, 2700, 2697, 2669, 2667, 2662, 2657,

2652, 2650, 2649, 2640, 2633, 2626, 2619, 2612, 2609, 2605, 2602, 2600,

2598, 2595, 2588, 2576, 2567, 2551, 2532, 2517, 2505, 2494, 2492, 2489,

2479, 2477, 2425, 2423, 2418, 2416, 2409, 2406, 2392, 2383, 2373, 2368,

28

2366, 2361, 2359, 2335, 2293, 2274, 2267, 2257, 2248, 2243, 2241, 2238,

2236, 2227, 2224, 2215, 2210, 2199, 2196, 2189, 2180, 2179, 2172, 2163,

2154, 2153, 2141, 2129, 2111, 2101, 2094, 2090, 2089, 2087, 2076, 2075,

2071, 2069, 2066, 2033, 2031, 2021, 2016, 2007, 2005, 2004, 1993, 1986,

1981, 1980, 1966, 1960, 1950, 1948, 1943, 1938, 1934, 1929, 1926, 1924,

1921, 1917, 1907, 1905, 1888, 1886, 1884, 1881, 1865, 1862, 1860, 1853,

1846, 1841, 1834, 1827, 1815, 1801, 1782, 1775, 1768, 1744, 1730, 1053,

1034, 1015, 977, 970, 951, 945, 938, 932, 925, 919, 900, 893, 855, 843, 831,

829, 824, 814, 805, 797, 791, 784, 765, 748, 746, 734, 729, 722, 720, 715,

703, 701, 689, 687, 680, 663, 661, 656, 644, 637, 604, 599, 571, 547, 535,

528, 522, 521, 516, 505, 497, 496, 495, 488, 470, 460, 450, 443, 441, 439,

438, 434, 424, 420, 417, 413, 412, 408, 401, 391, 382, 370, 361, 355, 353,

342, 337, 332, 315, 298, 280, 259, 254, 240, 221

鈴木の方法は成り立っていないが、例外的係数は現れた。すなわち、鈴木

の方法によって例外的係数を生成したわけではないことがわかる。また、

これらをグラフ化したものは最後のページの付録に記載する。

また、次の表は多賀麻実先輩の表を引用したものだが、誤りがあったので

訂正して記す。

表 1 t = 4の例外的係数・最小次数

n　 例外的係数　 最小次数 t（因数）

17017 −2 36 4(7, 11, 13, 17)

29393 −2 221 4(7, 13, 17, 19)

46189 −2 31 4(11, 13, 17, 19)

52003 −2 39 4(7, 17, 19, 23)

55913 2 277 4(11, 13, 17, 23)

62491 2 211 4(11, 13, 19, 23)

81719 −2 35 4(11, 17, 19, 23)

96577 2 37 4(13, 17, 19, 23)

29

4 まとめと今後の課題t = 4の時も鈴木の方法によって例外的係数を生成するか調べた結果、鈴木

の方法は成り立たないが、例外的係数を生成することが判明した。このこ

とから t = 4の時ならず、偶数のときであっても鈴木の方法は成り立たな

いが、例外的係数を生成するのではないかと考えることができる。しかし、

必ずしも生成するとは限らないため課題として残ってしまった。しかし、

「係数と次数の個数の関係」のグラフを参照すると、放物線や双曲線、円錐

を平面で切ったようなｙ軸に対して対称的なグラフとなっていた。「係数

と最低次数の関係」のグラフを参照しても二次関数のようにｙ軸に対して

対称的なグラフとなっていた。しかし、t が偶数のときもこのようにきれ

いなグラフになるのかは課題として残ってしまった。

今後の課題は以下である。

1. t = 4のとき、p1 + p2 > pt が成り立てば例外的係数が必ず生成する

のか。

2. t = 6以上の偶数のときでも、鈴木の方法によって例外的係数を生成

するか。

3. 鈴木の方法が成り立つための必要十分条件は何か。

4. 円分多項式の係数と次数の個数の関係や係数と最低次数の関係には

どのような関係があるのか。

30

謝辞卒業論文を作成する上で、多くのご指導していただいた白柳潔教授に感謝

申し上げます。

参考文献1. 木田祐司,「初等整数論」,株式会社朝倉書店

2. J.Suzuki. On Coefficients of Cyclotomic Polynomials. Proc. Japan

Acad.,63,Ser.A 279-280 1987.

3. 多賀麻実,東邦大学理学部情報科学科 2017年度卒業論文

「円分多項式の係数について」

4. Patrick Corn・Aareyan Manzoor・Yao Liu,

Cyclotomic Polynomials,

https://brilliant.org/wiki/cyclotomic-polynomials/

31

付録n=17017のとき

32

33

n=29393のとき

34

35