質點運動學

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質點運動學質點運動學

University Physics

Chapter 2

University Physics

Chapter 2


Key Concepts Key Concepts

2-1 直線運動 2-1 直線運動 2-2 自由落體運動 2-2 自由落體運動 2-3 向量與向量運算 2-3 向量與向量運算 2-4 平面運動 2-4 平面運動 2-5 平面拋物體運動 2-5 平面拋物體運動


2-1 直線運動 2-1 直線運動 2-1-1 　質點與位置 2-1-1 　質點與位置一般物體都具有體積，但當物體的體積或尺寸

，遠小於它的活動空間或運動所涵蓋的範圍時，我們為了簡化對物體運動的描述，通常可以將物體的內部結構忽略不計，而把這物體當成為一個幾何上的點，稱之為質點。例如，考慮行星在太陽系中的運動時，由

於太陽與行星間的距離遠大於太陽及行星的半徑，因此可以把太陽及行星均看成是質點，而使一個複雜的系統變成為簡單的雙質點運動的系統。

一般物體都具有體積，但當物體的體積或尺寸，遠小於它的活動空間或運動所涵蓋的範圍時，我們為了簡化對物體運動的描述，通常可以將物體的內部結構忽略不計，而把這物體當成為一個幾何上的點，稱之為質點。例如，考慮行星在太陽系中的運動時，由

於太陽與行星間的距離遠大於太陽及行星的半徑，因此可以把太陽及行星均看成是質點，而使一個複雜的系統變成為簡單的雙質點運動的系統。


質點的位置，可以用空間裡的一個位置點來表示，當這位置點不隨時間變動時，我們說質點是靜止的，當這個質點的位置點隨著時間變化時，我們說質點是運動的。

質點運動的情形，可以用它的位置點隨著時間

變化的數學關係來描述

質點的位置，可以用空間裡的一個位置點來表示，當這位置點不隨時間變動時，我們說質點是靜止的，當這個質點的位置點隨著時間變化時，我們說質點是運動的。

質點運動的情形，可以用它的位置點隨著時間

變化的數學關係來描述

圖 2-1 直線上的位置點



要描述一個質點在一直線上的位置，可以先在直線上固定一個點 O ，做為參考點（或稱為原點），並規定

質點若位於 O 的右方，則其位置取為正號，

質點若位於 O 的左方，則其位置取為負號。

要描述一個質點在一直線上的位置，可以先在直線上固定一個點 O ，做為參考點（或稱為原點），並規定

質點若位於 O 的右方，則其位置取為正號，

質點若位於 O 的左方，則其位置取為負號。




2-1-2 　速率與速度 2-1-2 　速率與速度速度：表達質點運動快慢及方向的物理量，稱為速

度。像這種有數值也有方向的量，稱為向量。速率：速度是一個向量，其量值稱為速率。位移：位置的改變量。設一個質點在 t1 時刻的位置 P 為 x1 單位

，在 t2 時刻，它行進到 Q 點，而 Q 點的位置則為 x2 單位，則質點從 P 點行進到 Q 點，其位置的改變量

稱為位移，以表示。

速度：表達質點運動快慢及方向的物理量，稱為速

度。像這種有數值也有方向的量，稱為向量。速率：速度是一個向量，其量值稱為速率。位移：位置的改變量。設一個質點在 t1 時刻的位置 P 為 x1 單位

，在 t2 時刻，它行進到 Q 點，而 Q 點的位置則為 x2 單位，則質點從 P 點行進到 Q 點，其位置的改變量

稱為位移，以表示。12 xx 12 xx PQ


平均速度：質點從 P 點行進到 Q 點時，其位移為

，經歷了時間，我們定義在這段時間內，質點每單位時間所行進的位移，稱為質點的平均速度，表示為

平均速度：質點從 P 點行進到 Q 點時，其位移為

，經歷了時間，我們定義在這段時間內，質點每單位時間所行進的位移，稱為質點的平均速度，表示為

12 xxx 12 xxx

12 ttt 12 ttt

t

x

tt

xxv

12

12

t

x

tt

xxv

12

12

平均速度的單位為公分／秒或公尺／秒。平均速度的單位為公分／秒或公尺／秒。


在 x-t 圖中的曲線只是表示質點的位置 x （相對於原點的距離）隨時刻 t 的變化情形，並非表示質點運動的真正軌跡（路徑）。

在 x-t 圖中的曲線只是表示質點的位置 x （相對於原點的距離）隨時刻 t 的變化情形，並非表示質點運動的真正軌跡（路徑）。

圖 2-2 質點作直線運動的 x-t 圖： (a) 等速運動，斜率即為平均速度； (b) 變速度運動。

圖 2-2 質點作直線運動的 x-t 圖： (a) 等速運動，斜率即為平均速度； (b) 變速度運動。

(a)(a) (b)(b)


等速度運動圖 2-2(a) 的 x-t 曲線為一直線，表示一個質點相對於原點 O 的距離 x 每經過一秒，就多行進同樣長的距離。這種運動，其平均速度是一個定值（設其為 v0 ），因此稱為等速度運動。

等速度運動圖 2-2(a) 的 x-t 曲線為一直線，表示一個質點相對於原點 O 的距離 x 每經過一秒，就多行進同樣長的距離。這種運動，其平均速度是一個定值（設其為 v0 ），因此稱為等速度運動。

質點作等速度運動時，其x-t 圖的曲線是一條直線，這直線的斜率見圖 2-2(a)可知即為

質點作等速度運動時，其x-t 圖的曲線是一條直線，這直線的斜率見圖 2-2(a)可知即為

12

12

tt

xxv

12

12

tt

xxv

012

12 vtt

xx

012

12 vtt

xx

平均速度即為 x-t 圖曲線的斜率。平均速度即為 x-t 圖曲線的斜率。


直線的斜率。直線的斜率。

變速度運動圖 2-2(b) ，質點的

速度不是定值而是隨著時刻的增大而增多。這種速度不是固定值的運動，稱為變速度運動。質點的平均速度為

變速度運動圖 2-2(b) ，質點的

速度不是定值而是隨著時刻的增大而增多。這種速度不是固定值的運動，稱為變速度運動。質點的平均速度為

PQtt

xxv

12

12 PQtt

xxv

12

12

圖 2-2 質點作直線運動的 x-t 圖： (b) 變速度運動。

圖 2-2 質點作直線運動的 x-t 圖： (b) 變速度運動。


瞬時速度任一質點運動的 x-t

圖，在 P 點切線的斜率，即為該質點在 P 處（即在時刻 t ，位置 x ）的瞬時速度。常簡稱為速度，它的單位是公尺／秒或公分／秒。

瞬時速度任一質點運動的 x-t

圖，在 P 點切線的斜率，即為該質點在 P 處（即在時刻 t ，位置 x ）的瞬時速度。常簡稱為速度，它的單位是公尺／秒或公分／秒。圖 2-4 變速度直線運動圖 2-4 變速度直線運動

dx/dt 稱為位移 x 對時間 t 的導數（ derivative ），亦即位移 x 對時間 t 的一階微分，簡寫為。幾何意義，即為曲線在 P 處的切線的斜率。

dx/dt 稱為位移 x 對時間 t 的導數（ derivative ），亦即位移 x 對時間 t 的一階微分，簡寫為。幾何意義，即為曲線在 P 處的切線的斜率。

t

x

tt

xxv

1

1

t

x

tt

xxv

1

1

xx


2-1-3 等速度運動 2-1-3 等速度運動一個質點運動時，它速度的量值及方向均不改

變，則我們稱此質點為等速度運動，簡稱為等速運動。

質點作等速度運動時，速度保持不變，故在任何時段內的平均速度，即為質點的瞬時速度，由質點的平均速度之定義可得

一個質點運動時，它速度的量值及方向均不改變，則我們稱此質點為等速度運動，簡稱為等速運動。

質點作等速度運動時，速度保持不變，故在任何時段內的平均速度，即為質點的瞬時速度，由質點的平均速度之定義可得

由上式即可得質點在運動過程中的任何位置為由上式即可得質點在運動過程中的任何位置為

00

0

x x dxv v v

t t dt

常數0

00

x x dxv v v

t t dt

常數

)()( 00000 ttvxttvxx )()( 00000 ttvxttvxx


2-1-4 加速度運動 2-1-4 加速度運動平均加速度如一質點在 t1 時的速度為 v1 ， t2 時的速

度為 v2 ，即在時段內，質點速度的變化值為，則我們定義每單位時間內質點速度的變化值為平均加速度，表示為

(2-6)

平均加速度如一質點在 t1 時的速度為 v1 ， t2 時的速

度為 v2 ，即在時段內，質點速度的變化值為，則我們定義每單位時間內質點速度的變化值為平均加速度，表示為

(2-6)

平均加速度的單位是公尺／秒 2 或公分／秒 2

。平均加速度的單位是公尺／秒 2 或公分／秒 2

。

12 ttt 12 ttt

12 vvv 12 vvv

t

v

tt

vva

12

12

t

v

tt

vva

12

12


圖 2-5 示出三種不同的質點運動的情形。 (a)圖表示一質點的運動速度不因時刻的變化而改變者，因此為一種等速度運動，其加速度為零。

(b) 圖示出一質點運動時，其速度隨時間作直線式遞增的情形。我們很容易推知此直線上的任兩點 P 、 Q 間的平均加速度即為該直線的斜率。

圖 2-5 示出三種不同的質點運動的情形。 (a)圖表示一質點的運動速度不因時刻的變化而改變者，因此為一種等速度運動，其加速度為零。

(b) 圖示出一質點運動時，其速度隨時間作直線式遞增的情形。我們很容易推知此直線上的任兩點 P 、 Q 間的平均加速度即為該直線的斜率。

圖 2-5 質點作直線運動的 v-t 圖： (a) 等速度運動； (b) 等加速度運動； (c) 變加速度運動

圖 2-5 質點作直線運動的 v-t 圖： (a) 等速度運動； (b) 等加速度運動； (c) 變加速度運動

(a) (a) (b) (b) (c) (c)


圖 2-5(b) 直線上的任兩點 P、 Q 間的平均加速度即為該直線的斜率，即

圖 2-5(b) 直線上的任兩點 P、 Q 間的平均加速度即為該直線的斜率，即

圖 2-5 質點運動的 v-t 圖 (b) 等加速度運動； (c) 變加速度運動

圖 2-5 質點運動的 v-t 圖 (b) 等加速度運動； (c) 變加速度運動

(b) (b)

(c) (c)

(2-7a) (2-7a)定值直線的斜率

012

12 aPQtt

vva 定值直線的斜率

012

12 aPQtt

vva

運動情形，稱為等加速度運動運動情形，稱為等加速度運動圖 2-5(c) 也示出一質點的

速度隨著時刻 t 的增大而增加，但速度 v 增大的程度並不均勻，因此不是一種等加速度運動，而是一種變加速度運動。在質點作加速度運動時，其加速度可正可負。

圖 2-5(c) 也示出一質點的速度隨著時刻 t 的增大而增加，但速度 v 增大的程度並不均勻，因此不是一種等加速度運動，而是一種變加速度運動。在質點作加速度運動時，其加速度可正可負。


圖 2-5 質點運動的 v-t 圖 (c) 變加速度運動

圖 2-5 質點運動的 v-t 圖 (c) 變加速度運動

在質點作加速度運動時，其加速度可正可負，若 a > 0 ，則質點的速度隨著時刻 t 的增

加而增大，為加速度運動；若 a < 0 ，則速度隨著時刻 t 的增加而減小

，稱為減速度或負加速度運動。

在質點作加速度運動時，其加速度可正可負，若 a > 0 ，則質點的速度隨著時刻 t 的增

加而增大，為加速度運動；若 a < 0 ，則速度隨著時刻 t 的增加而減小

，稱為減速度或負加速度運動。

P 、 Q 兩點間的平均加速度即為該直線的斜率。

P 、 Q 兩點間的平均加速度即為該直線的斜率。

割線的斜率 12

12 PQt

v

tt

vva

割線的斜率 12

12 PQt

v

tt

vva


圖 2-5 (c) 變加速度運動

圖 2-5 (c) 變加速度運動

瞬時加速度由圖 2-5(c) 可知，當 Q 點

越接近 P 點，則時段也越小，質點在此一時段的速度變化值也越小，若 Q點趨近於 P 點，則時段及速度變化值均趨近於零，但兩者之比值既不為零也

瞬時加速度由圖 2-5(c) 可知，當 Q 點

越接近 P 點，則時段也越小，質點在此一時段的速度變化值也越小，若 Q點趨近於 P 點，則時段及速度變化值均趨近於零，但兩者之比值既不為零也

瞬時加速度乃是速度 v 對時間 t 的一階微分，也是位移 x 對時間 t 的二階微分。

瞬時加速度乃是速度 v 對時間 t 的一階微分，也是位移 x 對時間 t 的二階微分。

12 ttt 12 ttt

12 ttt 12 ttt

12 vvv 12 vvv

tv / tv /

t

va

t

0

limt

va

t

0

lim 非無窮大，而是趨近一個極限值非無窮大，而是趨近一個極限值

即質點位於 P 點的瞬時加速度，簡稱加速度。乃速度 v(t) 對時間 t 的微分，寫成

即質點位於 P 點的瞬時加速度，簡稱加速度。乃速度 v(t) 對時間 t 的微分，寫成


已知質點的加速度 a(t) ，則在 t 時刻，質點的速度 v(t) 和位移 x(t) 應如何求出呢？

1.如質點係作等速度運動，質點所經的距離

已知質點的加速度 a(t) ，則在 t 時刻，質點的速度 v(t) 和位移 x(t) 應如何求出呢？

1.如質點係作等速度運動，質點所經的距離

由圖 2-6(a) 可知，在等速運動中，質點從 t = 0 至 t = t 的位移（或距離），恰等於 v-t 圖中曲線從 t = 0 至 t = t 所包圍的面積（圖中陰影部份）。

由圖 2-6(a) 可知，在等速運動中，質點從 t = 0 至 t = t 的位移（或距離），恰等於 v-t 圖中曲線從 t = 0 至 t = t 所包圍的面積（圖中陰影部份）。

tvx 0 tvx 0

圖 2-6(a) 質點運動的 v-t 圖

圖 2-6(a) 質點運動的 v-t 圖


2.考慮質點運動的速度不是常數，而是隨時刻 t 而變的情形，即 v = v(t)

2.考慮質點運動的速度不是常數，而是隨時刻 t 而變的情形，即 v = v(t)

如圖 2-6(b) 中的平滑曲線所示，今沿此平滑曲線另繪一鋸齒形的曲線，若每一鋸齒均足夠小，則圖中的鋸齒形的曲線將與平滑曲線差別甚

如圖 2-6(b) 中的平滑曲線所示，今沿此平滑曲線另繪一鋸齒形的曲線，若每一鋸齒均足夠小，則圖中的鋸齒形的曲線將與平滑曲線差別甚

圖 2-6(b) 質點運動的 v-t 圖

圖 2-6(b) 質點運動的 v-t 圖

小，鋸齒形曲線在任一鋸齒的左右兩點間所包圍的面積與平滑曲線在此兩點間所包圍的面積之差別也甚小。因為鋸齒形曲線所代表的運動過程中，每一鋸齒均為一種等速度運動，而按前述已知： v-t 圖中曲線所包圍的面積即代表質點所行的位移

小，鋸齒形曲線在任一鋸齒的左右兩點間所包圍的面積與平滑曲線在此兩點間所包圍的面積之差別也甚小。因為鋸齒形曲線所代表的運動過程中，每一鋸齒均為一種等速度運動，而按前述已知： v-t 圖中曲線所包圍的面積即代表質點所行的位移


由圖 2-6(c) 所示由圖 2-6(c) 所示

如圖 2-6(d) ，在 t 趨近零時，質點在 t – t0 的時段內所行的距離（位移）

，等於 v-t 圖中曲線在該時段所圍住的面積。

如圖 2-6(d) ，在 t 趨近零時，質點在 t – t0 的時段內所行的距離（位移）

，等於 v-t 圖中曲線在該時段所圍住的面積。

圖 2-6 質點運動的 v-t 圖圖 2-6 質點運動的 v-t 圖

(d) (d) (c) (c)

tttvtvx )]()([2

1Δ 11

tttvtvx )]()([2

1Δ 11


若已知質點運動的加速度 a(t) 隨時間變化的情形，我們如何可以求出在任何時刻，質點運動的位移（距離） x(t) 或速度 v(t) ？

若已知質點運動的加速度 a(t) 隨時間變化的情形，我們如何可以求出在任何時刻，質點運動的位移（距離） x(t) 或速度 v(t) ？

先畫出質點運動的 a-t 圖。則按上述的思考方式，此 a-t 圖中從時刻 t 至時刻 t0 所包圍的面積，即為 t-t0 時段中，質點由於作加速度運動所引起的速度變化量，即

先畫出質點運動的 a-t 圖。則按上述的思考方式，此 a-t 圖中從時刻 t 至時刻 t0 所包圍的面積，即為 t-t0 時段中，質點由於作加速度運動所引起的速度變化量，即

按微積分中積分的定義，也可表示為按微積分中積分的定義，也可表示為


2-1-5 等加速度運動公式 2-1-5 等加速度運動公式等加速度運動：在任何時刻的瞬時加速度應等

於任何時段的平均加速度等加速度運動：在任何時刻的瞬時加速度應等

於任何時段的平均加速度

0

)( 0

t

vtva

dt

dva

0

)( 0

t

vtva

dt

dva

attadttavtvt

00 )()( attadttavtv

t

00 )()(

atvtv 0)( atvtv 0)(


質點所經的位移為質點所經的位移為 2

00

00

0 2

1)()()( attvdtatvdttvxtx

tt

20

00

00 2

1)()()( attvdtatvdttvxtx

tt

2

00 2

1)( attvxtx

200 2

1)( attvxtx

a

vv

a

vtvt 00)(

a

vv

a

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vvvvtvvtvvtvxx

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1)(

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1 000000

a

vvvvtvvtvvtvxx

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2

1)(

2

1)(

2

1 000000

)(2 020

2 xxavv )(2 020

2 xxavv

代入上式，即可得代入上式，即可得


2-2 2-2

一小汽車以 v0 之速度在高速公路上等速行進，忽然看到前方距離 d 處有砂石車拋錨停在路中央，小汽車駕駛隨即踩上煞車，若想不撞上砂石車則小汽車的煞車系統提供給小汽車的等加速度最少需要多大？又需時多久才能停住車子？

一小汽車以 v0 之速度在高速公路上等速行進，忽然看到前方距離 d 處有砂石車拋錨停在路中央，小汽車駕駛隨即踩上煞車，若想不撞上砂石車則小汽車的煞車系統提供給小汽車的等加速度最少需要多大？又需時多久才能停住車子？


：：

以開始煞車處為原點，則 x0 = 0 、 x = d 、 v = 0

以開始煞車處為原點，則 x0 = 0 、 x = d 、 v = 0

)(2 020

2 xxavv )(2 020

2 xxavv

adv 20 20 adv 20 2

0 d

va

2

20d

va

2

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0 2

v

d

a

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0

0 2

v

d

a

vt

222

0 sec/7.8362

)3600/100090(

2m

d

va

2

220 sec/7.8

362

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2m

d

va

9.23600/100090

3622

0

v

dt 9.2

3600/100090

3622

0

v

dt

停住車子所需時間為停住車子所需時間為如以高速公路限速 v0 = 90 km ／ h ，並取 d 為

36 m

如以高速公路限速 v0 = 90 km ／ h ，並取 d 為 36 m


2-2 自由落體運動 2-2 自由落體運動最常見的等加速度直線運動，就是初速度為零

的自由落體（ free-falling body ）運動。所謂自由落體運動指的是一個質點或一個物體

，在運動過程中，除了地球的引力外，沒有任何其它的力對它施加作用。

在不考慮空氣對落體施力的情況下，伽立略（ G. Galileo ）發現所有的自由落體，不論其輕重、大小如何，在地球表面附近均做等加速度的運動，且在地球上同一地點的所有落體，其加速度均相同。

最常見的等加速度直線運動，就是初速度為零的自由落體（ free-falling body ）運動。

所謂自由落體運動指的是一個質點或一個物體，在運動過程中，除了地球的引力外，沒有任何其它的力對它施加作用。

在不考慮空氣對落體施力的情況下，伽立略（ G. Galileo ）發現所有的自由落體，不論其輕重、大小如何，在地球表面附近均做等加速度的運動，且在地球上同一地點的所有落體，其加速度均相同。


重力加速度（ gravitational acceleration ）自由落體加速度的方向係沿鉛垂線向下，其

量值通常以 g 表示， g 值常稱為重力加速度（ gravitational acceleration ）。

由實驗發現在地球緯度 45 的海平面上， g 值為 9.8 公尺／秒 2 。

由赤道到南北兩極的 g 值會隨著緯度增高而增大，但改變的數值不大，大約由 9.78 公尺／秒 2 增加到 9.83 公尺／秒 2 。

因平常在探討自由落體運動時，均考慮距地表不遠處，故 g 值變化甚小，可視為一個定值， g 之值常取為 9.8 公尺／秒 2 。

重力加速度（ gravitational acceleration ）自由落體加速度的方向係沿鉛垂線向下，其

量值通常以 g 表示， g 值常稱為重力加速度（ gravitational acceleration ）。

由實驗發現在地球緯度 45 的海平面上， g 值為 9.8 公尺／秒 2 。

由赤道到南北兩極的 g 值會隨著緯度增高而增大，但改變的數值不大，大約由 9.78 公尺／秒 2 增加到 9.83 公尺／秒 2 。

因平常在探討自由落體運動時，均考慮距地表不遠處，故 g 值變化甚小，可視為一個定值， g 之值常取為 9.8 公尺／秒 2 。


因為在距地表不遠處的自由落體運動實際上為一等加速度運動，因此初速度為零的自由落體運動的公式，可利用等加速度運動公式得出。即取垂直向下為正 x 方向，令 v0=0 、 a=g 並且，即可得到在距地表 x - x0=H 高處，

初速度為零的自由落體運動公式如下：

因為在距地表不遠處的自由落體運動實際上為一等加速度運動，因此初速度為零的自由落體運動的公式，可利用等加速度運動公式得出。即取垂直向下為正 x 方向，令 v0=0 、 a=g 並且，即可得到在距地表 x - x0=H 高處，

初速度為零的自由落體運動公式如下：

gtv gtv

20 2

1gtxx

20 2

1gtxx

gHv 22 gHv 22


2-4 2-4

一冰雹在離地面 1000 公尺處形成後，即從靜止往地面落下，假設冰雹在落下過程為一自由落體運動，試問當它掉落至地面時需時若干？其掉落至地面的速度又為何？

一冰雹在離地面 1000 公尺處形成後，即從靜止往地面落下，假設冰雹在落下過程為一自由落體運動，試問當它掉落至地面時需時若干？其掉落至地面的速度又為何？


：：

令 x0=0 、 x=1000m ，代入

即得冰雹掉落至地面所需時間

再利用（ 2-14a ）式即可得冰雹掉落至地面

的速度為

令 x0=0 、 x=1000m ，代入

即得冰雹掉落至地面所需時間

再利用（ 2-14a ）式即可得冰雹掉落至地面

的速度為

；；

sec108.9

1000t sec10

8.9

1000t

sec/98108.9 mgtv sec/98108.9 mgtv

20 2

1gtxx

20 2

1gtxx


2-3 向量與向量運算2-3 向量與向量運算在討論物理問題的時候，我們常常會遇到一些

物理量，例如：溫度、質量、位移、速度、加速度、長度、體積、作用力、…等等。在這些物理量裡面，有些是只需一個數值就可

以完全描述其意義的，例如上述的溫度、質量、長度及體積等，這些物理量我們稱之為純量（ scalar ）。

另外有一些物理量，例如質點的位移、速度、加速度、作用力、…等等，這些物理量除了需要有一個數值來表現出它們的量值（數值的大小）外，還需要有一個方向才能完整的表示出它們所代表的意義，稱之為向量（ vector ）。

在討論物理問題的時候，我們常常會遇到一些物理量，例如：溫度、質量、位移、速度、加速度、長度、體積、作用力、…等等。在這些物理量裡面，有些是只需一個數值就可

以完全描述其意義的，例如上述的溫度、質量、長度及體積等，這些物理量我們稱之為純量（ scalar ）。

另外有一些物理量，例如質點的位移、速度、加速度、作用力、…等等，這些物理量除了需要有一個數值來表現出它們的量值（數值的大小）外，還需要有一個方向才能完整的表示出它們所代表的意義，稱之為向量（ vector ）。


2-3-1 位移與向量 2-3-1 位移與向量圖 2-7 所示是最常用的直角坐標，兩相互垂直

的軸線為 x 、 y 軸，相交於原點 O ； x 軸亦稱橫軸， y 軸亦稱縱軸。 x 軸的右方定為正值，左方為負值； y軸向上定為正值，向下定為負值。

圖 2-7 所示是最常用的直角坐標，兩相互垂直的軸線為 x 、 y 軸，相交於原點 O ； x 軸亦稱橫軸， y 軸亦稱縱軸。 x 軸的右方定為正值，左方為負值； y軸向上定為正值，向下定為負值。

圖 2-7 平面直角坐標



在平面上任一點的位置可以用兩個數來表示，一是此點與 y 軸的距離，因為這距離是沿 x軸方向來測量計數的，因此稱為 x 坐標，另外一個是此點與 x軸的距離，它是沿 y 軸方向來測量計數的，故稱為 y 坐標。質點在平面上任一位置可用此兩個坐標表示，寫為（ x, y ）。因此原點表為（ 0, 0 ）。

在平面上任一點的位置可以用兩個數來表示，一是此點與 y 軸的距離，因為這距離是沿 x軸方向來測量計數的，因此稱為 x 坐標，另外一個是此點與 x軸的距離，它是沿 y 軸方向來測量計數的，故稱為 y 坐標。質點在平面上任一位置可用此兩個坐標表示，寫為（ x, y ）。因此原點表為（ 0, 0 ）。




位置向量如我們自原點連一線段至平面上一點

P ， P 的坐標為 (x, y) ，則線段為一有向線段，方向定義為由 O 至 P ，用符號表示為。因是表示出 P 點相對於原點 O 的位置及方向，

位置向量如我們自原點連一線段至平面上一點

P ， P 的坐標為 (x, y) ，則線段為一有向線段，方向定義為由 O 至 P ，用符號表示為。因是表示出 P 點相對於原點 O 的位置及方向，

圖 2-8 位置及位移向量，及

圖 2-8 位置及位移向量，及 OPOP PQPQ

OPOP

OPOP

OPOP

因此稱為位置向量，見圖 2-8 。因此稱為位置向量，見圖 2-8 。


位移向量當質點由 P 移至 Q ，則質點的位移可用向

量表示，這稱為質點由 P 移動至 Q 的位移向量。兩個位移向量相等時，其方向及量值都需相等。因為將一個向量平移後，不會改變它的方向及量值，因此平移後的向量與原向量相等。

位移向量當質點由 P 移至 Q ，則質點的位移可用向

量表示，這稱為質點由 P 移動至 Q 的位移向量。兩個位移向量相等時，其方向及量值都需相等。因為將一個向量平移後，不會改變它的方向及量值，因此平移後的向量與原向量相等。

PQPQ

PQPQ

圖 2-8 位置及位移向量，及

圖 2-8 位置及位移向量，及 OPOP PQPQ


2-3-2 向量的合成與分解2-3-2 向量的合成與分解 (a) 向量的合成以一個向量取代兩個向量的過程，稱為向量的合成。

(a) 向量的合成以一個向量取代兩個向量的過程，稱為向量的合成。

圖 2-9圖 2-9

圖 2-9 所示，一質點要從 A 點移至 C 點，它可以由 A 點直接移向 C 點，因此其位移為向量，但質點亦可由 A 點先移至 B 點，再由

B 點移至 C 點，也就是說 A 、 C 兩點間的有向線段，可以寫成 A 、 B 兩點間的有向線段及 B 、 C 兩點間的有向線段的和，以數學式表示即為：

圖 2-9 所示，一質點要從 A 點移至 C 點，它可以由 A 點直接移向 C 點，因此其位移為向量，但質點亦可由 A 點先移至 B 點，再由

B 點移至 C 點，也就是說 A 、 C 兩點間的有向線段，可以寫成 A 、 B 兩點間的有向線段及 B 、 C 兩點間的有向線段的和，以數學式表示即為：ACBCAB ACBCAB

ACBCAB ACBCAB ACAC

ACAC

BCBC

ABAB


求兩向量的合成有下列數種方法：三角形法

求兩向量的合成有下列數種方法：三角形法

圖 2-10 兩向量相加

圖 2-10 兩向量相加

(a) (a)

cba cba

　如圖 2-10(a) 所示，求兩向量

及的和，可將的起點連接在的箭頭上，再從

的起點畫一直線接到的箭頭上，即得及的合向量，其構成一個封閉三角形。這種求得兩向量之和的方法，稱為三角形法。

　如圖 2-10(a) 所示，求兩向量

及的和，可將的起點連接在的箭頭上，再從

的起點畫一直線接到的箭頭上，即得及的合向量，其構成一個封閉三角形。這種求得兩向量之和的方法，稱為三角形法。

aa

bb

bb

aa

aa

bb

cc

ba

ba

aa

bb


圖 2-10(b) 兩向量相加圖 2-10(b) 兩向量相加

abba abba （ b ）（ b ）

又如圖 2-10(b) 所示，兩向量相加時，我們也可由 A 點做平行且等於，因此，另由 D 點做平行等於，因此。則在 ΔABC 及 ΔADC 中，顯見。因此可知：求任何兩向量的和，與取那一個向量的先後次序是無關的。

又如圖 2-10(b) 所示，兩向量相加時，我們也可由 A 點做平行且等於，因此，另由 D 點做平行等於，因此。則在 ΔABC 及 ΔADC 中，顯見。因此可知：求任何兩向量的和，與取那一個向量的先後次序是無關的。

DCDC ABAB

bAD

bAD

abcba

abcba

ADAD BCBC

aDC

aDC


圖 2-10(c) 兩向量相加圖 2-10(c) 兩向量相加

cba cba 平行四邊形法平行四邊形法

平行四邊形法假如我們把往右平移，使其起點移至與

的起點 B重合，並以及為兩邊作一平行四邊形，如圖 2-10(c) 所示，則此時平行四邊形的對角線即係圖 2-10(a) 中的向量。這種以由圖 2-10(c) 的平行四邊形作圖法求得兩向量之和的方法，稱為平行四邊形法。

平行四邊形法假如我們把往右平移，使其起點移至與

的起點 B重合，並以及為兩邊作一平行四邊形，如圖 2-10(c) 所示，則此時平行四邊形的對角線即係圖 2-10(a) 中的向量。這種以由圖 2-10(c) 的平行四邊形作圖法求得兩向量之和的方法，稱為平行四邊形法。

bb

cc

aa

bb

aa


圖 2-11 向量相加的多邊形法

圖 2-11 向量相加的多邊形法

多邊形法考慮四個向量

的相加，則我們可以先把兩向量利用三角形相加成向量，再把與相加得向量

，最後再把與相加即得所求四個向量的合向量，見圖 2-11 。像這種利用多邊形作圖來求得多個向量之和的方法，稱為多邊形法。

多邊形法考慮四個向量

的相加，則我們可以先把兩向量利用三角形相加成向量，再把與相加得向量

，最後再把與相加即得所求四個向量的合向量，見圖 2-11 。像這種利用多邊形作圖來求得多個向量之和的方法，稱為多邊形法。

dcba

、、、 dcba

、、、

ba

、ba

、

bap

bap

pp

cc

cpq

cpq

qq

dd

RR

黃元正製作 Slide 41 黃元正製作 Slide 41 圖 2-12 向量可分解成多組分向量圖 2-12 向量可分解成多組分向量

(a)(a) (b)(b)

(c)(c)

(b) 向量的分解已知兩個向量可以合成為一個合向量。反過

來一個向量也可以分解為兩個向量的和。這種以兩個向量代替一個向量的過程稱為向量的分解。

(b) 向量的分解已知兩個向量可以合成為一個合向量。反過

來一個向量也可以分解為兩個向量的和。這種以兩個向量代替一個向量的過程稱為向量的分解。兩個向量合成只得到一個合向量，但一個向量分解成兩個向量（分量）卻可有很多種，如圖 2-12 所示，向量可分成，也可分成、…等等。通常為了方便，我們選擇兩個分向量與 x 及 y 軸重合（見圖 2-12(c) ），

兩個向量合成只得到一個合向量，但一個向量分解成兩個向量（分量）卻可有很多種，如圖 2-12 所示，向量可分成，也可分成、…等等。通常為了方便，我們選擇兩個分向量與 x 及 y 軸重合（見圖 2-12(c) ），

cc

11 ba

、 11 ba

、22 ba

、 22 ba

、


圖 2-12(c) 向量可分解成多組分向量

圖 2-12(c) 向量可分解成多組分向量

(c)(c)

直角坐標法如圖 2-12(c) 所示，自原點 O 出發，則沿

x 及 y 軸分解時，其分量 cx 、 cy 及與 x 軸的夾角 θ 可得為

直角坐標法如圖 2-12(c) 所示，自原點 O 出發，則沿

x 及 y 軸分解時，其分量 cx 、 cy 及與 x 軸的夾角 θ 可得為

cc

cc

x

y

yx

y

x

c

c

ccc

cc

cc

1

22

tan

sin

cos

，

，，

x

y

yx

y

x

c

c

ccc

cc

cc

1

22

tan

sin

cos

，

，，


圖 2-13 向量合成的直角坐標法圖 2-13 向量合成的直角坐標法

玆以兩個向量、的合成為例，說明在向量合成法中，最普遍使用的直角坐標法。

玆以兩個向量、的合成為例，說明在向量合成法中，最普遍使用的直角坐標法。

aabb

(a)(a) (b)(b) (c)(c)

先把圖 2-13(a) 中的兩向量及，經各自平移後，即如圖 2-13(b) 中所示，其起點均已與原點 O 重合。次將及各別沿 x 軸及 y 軸分解，如圖 2-13(c) 中所示，得到分量 ax 、 ay 及 bx 、 by ，則沿 x 軸的分量和即為，而沿 y 軸的分量和即為。

先把圖 2-13(a) 中的兩向量及，經各自平移後，即如圖 2-13(b) 中所示，其起點均已與原點 O 重合。次將及各別沿 x 軸及 y 軸分解，如圖 2-13(c) 中所示，得到分量 ax 、 ay 及 bx 、 by ，則沿 x 軸的分量和即為，而沿 y 軸的分量和即為。

aa

bb

aa

bb

xxx baR xxx baR

yyy baR yyy baR

。。


圖 2-13(c) 向量合成的直角坐標法


xxx baR xxx baR

yyy baR yyy baR

yx RR

baR

yx RR

baR

22 )()( yyxx babaR 22 )()( yyxx babaR

xx

yy

x

y

ba

ba

R

R

tan

xx

yy

x

y

ba

ba

R

R

tan )(tan 1

xx

yy

ba

ba

)(tan 1

xx

yy

ba

ba


如把與量值相等、方向相反的向量定義為的反向量，則我們即可定義兩向量及的相減為

如把與量值相等、方向相反的向量定義為的反向量，則我們即可定義兩向量及的相減為

bb

bb

b

b

aa

bb

)( baba

)( baba

引入沿平面直角坐標的 x軸及 y軸的兩個單位向量及，及的方向各沿著 x軸及 y軸，但其量值均等於 1 。

因與平行且其量值為量值的倍，故可表示成，同理，因此上式可寫成

引入沿平面直角坐標的 x軸及 y軸的兩個單位向量及，及的方向各沿著 x軸及 y軸，但其量值均等於 1 。

因與平行且其量值為量值的倍，故可表示成，同理，因此上式可寫成

ii jj ii jj

yx aaa

yx aaa

xaxa

ii ii xaxa

iaa xxˆ

iaa xxˆ

jaa yyˆ

jaa yyˆ

jaiaa yx jaiaa yx

22yx aaa

22yx aaa

x

y

a

a1tan

x

y

a

a1tan




jaiaa yx jaiaa yx

22yx aaa

22yx aaa

x

y

a

a1tan

x

y

a

a1tan

jbibb yxˆˆ

jbibb yxˆˆ

22yx bbb

22yx bbb

x

y

b

b1tan x

y

b

b1tan


jRiRjbaiba

jbibjaiabaR

yxyyxx

yxyx

ˆˆˆ)(ˆ)(

)ˆˆ()ˆˆ(

jRiRjbaiba

jbibjaiabaR

yxyyxx

yxyx

ˆˆˆ)(ˆ)(

)ˆˆ()ˆˆ(

xxx baR xxx baR

yyy baR yyy baR

22yx RRR

22yx RRR

x

y

R

R1tan

x

y

R

R1tan

jbaibaba yyxxˆ)(ˆ)(

jbaibaba yyxxˆ)(ˆ)(




2-5 2-5

質點 A 之速度為 5.0 +5.0 m/s ，質點 B 之速度為 3.0 +4.0 m/s。 (a) 試求二質點速度和及其量值。 (b) 試求質點 A 對質點 B 的相對速度及其量值。

質點 A 之速度為 5.0 +5.0 m/s ，質點 B 之速度為 3.0 +4.0 m/s。 (a) 試求二質點速度和及其量值。 (b) 試求質點 A 對質點 B 的相對速度及其量值。

iiii


：：

（ a ） + = 8.0 + 9.0 m/s 其量值為

（ a ） + = 8.0 + 9.0 m/s 其量值為

)0.30.5( BA vv )0.30.5( BA vv )0.40.5( )0.40.5(

12)0.9()0.8( 22 12)0.9()0.8( 22

iiii

m/sm/s


：：

(b) + = 2.0 + m/s

其量值為 m/s

(b) + = 2.0 + m/s

其量值為 m/s

ii

)0.30.5( BA vv )0.30.5( BA vv j)0.40.5( j)0.40.5(

j0.1 j0.1

2.2)0.1()0.2( 22 2.2)0.1()0.2( 22

ii


2-4 平面運動 2-4 平面運動2-4-1 位移圖 2-14 示出質點作平面運動時 P 、 Q 兩個

位置的位置向量及，以及質點從位置 P 移動至位置 Q 的位移向量，從圖中三個向量的關係可得

2-4-1 位移圖 2-14 示出質點作平面運動時 P 、 Q 兩個

位置的位置向量及，以及質點從位置 P 移動至位置 Q 的位移向量，從圖中三個向量的關係可得

1r1r

2r2r

rr

rrr

12rrr

12

xxx 12xxx 12

yyy 12yyy 12

212

212

22 )()()()( yyxxyxr 2

122

1222 )()()()( yyxxyxr 圖 2-14 質點的

位置向量圖 2-14 質點的

位置向量

PQPQ 故位移向量的量值為

故位移向量的量值為


2-4-2 速度與加速度向量 2-4-2 速度與加速度向量在平面上的質點，如其位置向量不隨時刻變化

者稱為靜止。如其位置向量之量值或方向會隨時刻 t 變化者，則稱此質點在此平面上運動。

在平面上的質點，如其位置向量不隨時刻變化者稱為靜止。如其位置向量之量值或方向會隨時刻 t 變化者，則稱此質點在此平面上運動。

圖 2-15 質點由 A 點移至 B 點的位移向量為


速度向量速度向量

r

r

dt

dy

t

y

tt

yytv

ttty

0

12

12 limlim)(12 dt

dy

t

y

tt

yytv

ttty

0

12

12 limlim)(12

dt

dx

t

x

tt

xxtv

tttx

0

12

12 limlim)(12 dt

dx

t

x

tt

xxtv

tttx

0

12

12 limlim)(12




在平面上運動的質點，如其速度向量的量值及方向均不變，則稱此質點作等速度運動。如速度向量的量值或方向會隨時間而變，則稱為變速度運動

在平面上運動的質點，如其速度向量的量值及方向均不變，則稱此質點作等速度運動。如速度向量的量值或方向會隨時間而變，則稱為變速度運動

r

r


加速度向量加速度向量

一質點在平面上的運動，可看成為沿 x 及 y 軸方向的兩個直線運動所組成。此兩個直線運動各自獨立而不互相牽涉，這種性質稱為運動的獨立性。

一質點在平面上的運動，可看成為沿 x 及 y 軸方向的兩個直線運動所組成。此兩個直線運動各自獨立而不互相牽涉，這種性質稱為運動的獨立性。

dt

dv

t

v

tt

vva xx

t

xx

ttx

0

12

12 limlim12 dt

dv

t

v

tt

vva xx

t

xx

ttx

0

12

12 limlim12

dt

dv

t

v

tt

vva yy

t

yy

tty

012

12 limlim12 dt

dv

t

v

tt

vva yy

t

yy

tty

012

12 limlim12


2-4-3 等加速度運動 2-4-3 等加速度運動當質點在平面上的運動，其加速度向量的量值

及方向均固定不變時，則稱此質點作等加速度運動。質點作等加速度運動時，其加速度的 x 及 y 方向的分量均須為常數，即

當質點在平面上的運動，其加速度向量的量值及方向均固定不變時，則稱此質點作等加速度運動。質點作等加速度運動時，其加速度的 x 及 y 方向的分量均須為常數，即

質點位移、速度及加速度向量之間的關係可表示為

質點位移、速度及加速度向量之間的關係可表示為

常數 xx aa 0常數 xx aa 0 常數 yy aa 0

常數 yy aa 0

t

dttvrtr

0 0 )()(

t

dttvrtr

0 0 )()(

t

dttavtv

0 0 )()(

t

dttavtv

0 0 )()(


等加速度運動公式等加速度運動公式

tavtv 00)(

tavtv 00)(

2000 2

1)( tatvrtr

2000 2

1)( tatvrtr

jyixr ˆˆ jyixr ˆˆ

jvivv yxˆˆ

jvivv yxˆˆ

jyixr ˆˆ000

jyixr ˆˆ000

jvivv yxˆˆ

000 jvivv yx

ˆˆ000


2-7 2-7

一質點的位置與時間可表為，，試求其速度與加速度。

一質點的位置與時間可表為，，試求其速度與加速度。

tvx 0 tvx 0

2

2

1gty 2

2

1gty


：：

x 及 y 方向的速度分量為

又加速度的分量為

故，且方向為，即

沿 y 方向。

x 及 y 方向的速度分量為

又加速度的分量為

故，且方向為，即

沿 y 方向。

0vdt

dxvx 0vdt

dxvx gt

dt

dyv y gt

dt

dyv y

2220

22 tgvvvv yx 222

022 tgvvvv yx

0

1tanv

gt0

1tanv

gt

0dt

dva xx

0dt

dva xx g

dt

dva yy g

dt

dva yy

ga ga 2

tan0

tan 11 g2

tan0

tan 11 g


2-5 平面拋物體運動 2-5 平面拋物體運動考慮圖 2-16 中以拋體的出發點 O 為直角坐標的原點，作水平及鉛垂兩坐標軸，分別表為 x 軸及 y 軸。沿水平（即 x 軸）方向的運動，因與地心引力相垂直，由運動的獨立性，可知質點在水平方向並不受力，因此為一等速度運動

考慮圖 2-16 中以拋體的出發點 O 為直角坐標的原點，作水平及鉛垂兩坐標軸，分別表為 x 軸及 y 軸。沿水平（即 x 軸）方向的運動，因與地心引力相垂直，由運動的獨立性，可知質點在水平方向並不受力，因此為一等速度運動

圖 2-16 　拋體運動圖 2-16 　拋體運動


水平為一等速度運動及鉛垂作等加速運動，因此

水平為一等速度運動及鉛垂作等加速運動，因此

圖 2-16拋體運動圖 2-16拋體運動

cos0vvx cos0vvx gtvv y sin0gtvv y sin0

tvx )cos( 0 tvx )cos( 0 20 2

1)sin( tgtvy

20 2

1)sin( tgtvy

cos0v

xt cos0v

xt

空間運動時的軌跡空間運動時的軌跡 2

20 )cos(2

1)(tan x

v

gxy

22

0 )cos(2

1)(tan x

v

gxy

曲線為一拋物線。曲線為一拋物線。


水平射程（簡稱射程），通常以 R 表示鉛垂位移 y 為零

水平射程（簡稱射程），通常以 R 表示鉛垂位移 y 為零


02

1)sin( 2

0 tgtvy 02

1)sin( 2

0 tgtvy

0)cos(2

1)(tan 2

20

xv

gxy

0

)cos(2

1)(tan 2

20

xv

gxy

2sin

cossin2 20

20

g

v

g

vRx

2sincossin2 2

020

g

v

g

vRx

g

vT

sin2 0 g

vT

sin2 0 質點（或拋體）的總飛行時間質點（或拋體）的總飛行時間


拋體再次回到地面時的末速度拋體再次回到地面時的末速度


因在無空氣阻力的情形下，拋體剛被拋出時的初速度與剛掉回同一水平面的末速度量值相同，而方向則對水平面形成對稱。如圖 2-16 所示。

因在無空氣阻力的情形下，拋體剛被拋出時的初速度與剛掉回同一水平面的末速度量值相同，而方向則對水平面形成對稱。如圖 2-16 所示。

022

00

0

0

sinsin2

sin

cos

vvvv

vg

vgvv

vv

yx

y

x

022

00

0

0

sinsin2

sin

cos

vvvv

vg

vgvv

vv

yx

y

x


2-8 2-8

試證如以同一初速率 v0 ，將一拋體以仰角 θ 及拋射而出，則所得的水平射程相同。

試證如以同一初速率 v0 ，將一拋體以仰角 θ 及拋射而出，則所得的水平射程相同。

2

2


：：

由（ 2-26a ）式，拋體具相同的初速率 v0 ，又因，因此以初速率 v0、仰角 θ 拋射出去的拋體，其水平射程

，與以相同初速率 v0、仰

角為 π/2 － θ 所得的水平射程

相同。

由（ 2-26a ）式，拋體具相同的初速率 v0 ，又因，因此以初速率 v0、仰角 θ 拋射出去的拋體，其水平射程

，與以相同初速率 v0、仰

角為 π/2 － θ 所得的水平射程

相同。

)2

(2sin2sin )2

(2sin2sin

g

vR

2sin20g

vR

2sin20

g

vR

)2

(2sin20

g

vR

)2

(2sin20


2-9 2-9

試證拋體如以同一初速率拋出，則以仰角 45° 拋出者之射程為最大。

試證拋體如以同一初速率拋出，則以仰角 45° 拋出者之射程為最大。


：：

故如 sin2θ最大時，射程即為最大。而當時 sin2θ 之值為最大值 1 ，

亦即以 θ＝ 45 ° 之仰角拋射出的拋體，能飛行最遠。

故如 sin2θ最大時，射程即為最大。而當時 sin2θ 之值為最大值 1 ，

亦即以 θ＝ 45 ° 之仰角拋射出的拋體，能飛行最遠。

g

vR

2sin20g

vR

2sin20

22

2

2


2-10 2-10

如以仰角 θ 、初速率 v0 作拋射運動，則質點可達到的最大高度為何？

如以仰角 θ 、初速率 v0 作拋射運動，則質點可達到的最大高度為何？


：：

因質點達到最大高度所需的時間，恰為飛行一半射程之時間。因此由（ 2-26b ）式可得質點飛行到最大高度所需的時間為

因質點達到最大高度所需的時間，恰為飛行一半射程之時間。因此由（ 2-26b ）式可得質點飛行到最大高度所需的時間為

g

vt

sin0 g

vt

sin0

g

v

g

vg

g

vvH

2

)sin()

sin(

2

1sinsin

20200

0

g

v

g

vg

g

vvH

2

)sin()

sin(

2

1sinsin

20200

0

以此值代入

即可得最大高度 H 為

以此值代入

即可得最大高度 H 為

20 2

1)sin( tgtvy

20 2

1)sin( tgtvy

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質點運動學