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情報数学１ 第 3-2 章. 情報量と二進法での四則演算. 香川大学工学部 富永浩之 [email protected]. 概 要. ■ 情報量と単位 ビットとバイト、キロ・メガ・ギガ・テラ ■ 情報量とデータ 基底表現と整除表現 ■ 多進数への変換 多進数への変換 ■ 整数の記数法 多進数からの変換 ホーナー法 ■ 符号付二進数の あ. 第 01 節 [1] 情報量と情報量の単位. ● 情報量の単位 ・ その 情報の存在により、何通りの異なる状態を区別できるかという尺度 - PowerPoint PPT Presentation
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概 要
■ 情報量と単位 ビットとバイト、キロ・メガ・ギガ・テラ
■ 情報量とデータ 基底表現と整除表現
■ 多進数への変換 多進数への変換
■ 整数の記数法 多進数からの変換 ホーナー法
■ 符号付二進数の あ
第 01 節 [1] 情報量と情報量の単位
● 情報量の単位 ・ その情報の存在により、何通りの異なる状態を区別できるかという尺度 ・ ある状態であるかないか (1 か 0 か ) を表すのに必要な情報を最小単位 ・ これを 1 ビット [bit] といい、ビットを表す単位記号として、小文字の頭文字
b を用いる
● ビット列
○ ビット列 0 と 1 の数字の列 010010, 1011 ・ 長さ n のビット列は、 n ビットの情報を表し、 2n 通りの異なる状態が区別
される○ 自由桁二進数 通常の表記の二進数で、 0 を例外として、他は 1 から始まる
ビット列○ 固定桁二進数 二進数の先頭に 0 を追加した表記も許すことにし、桁を揃える n 桁の固定桁二進数を n ビット二進数ともいう
1011[2] ＝ 11[10] は 4 ビットの情報であり、 256 通りの中で 11 番目の状態を表している。
2 ビット二進数の 00[2] ＝ 0[10] は、 通りの中で 0 番目の状態を表している。
第 01 節 [2] ビットとバイトの単位8 b ( ビット ) ＝ 1 B ( バイト ) 現実の計算機の構造上、 8 ビット単位でデータ処理が基本
1 バイトの情報量は、 2^8 ＝ 256 通りの情報を区別する。英数字は、 1 バイトの情報量があれば区別される。ハードディスクやメモリの容量は、普通、バイト単位で表す。
8 b ＝ 1 B 256 ※ ASCII コード文字 ( 英数字 ) 8 ビットマイコン 色階調指定 16 b ＝ 2 B 65,536 ※ JIS コード文字 ( 日本語文字 ) 16 ビット DOS ハイカラー表示 24 b ＝ 3 B 16,777,216 ※ フルカラー表示 32 b ＝ 4 B 約 43 億 ※ 32 ビット OS(Windows) IP
アドレス 64 b ＝ 8 B 約 1800 京 ※ 64 ビット次世代 OS128 b ＝ 16 B 約 3.4×10^38 ※ 次世代 IP アドレス
第 01 節 [3] 情報量の上位単位
○ キロ 1KB ＝ 1024B ※ 原稿用紙 1 枚と 1/4( 約 500 字 )
○ メガ 1MB ＝ 1024KB ※ FD の容量 1.44MB( 原稿用紙 1800 枚 )
○ ギガ 1GB ＝ 1024MB ≒ 100 万 KB ≒ 10 億 B ※ CD-ROM の容量 0.65GB ＝ 650MB(FD 約 450 枚 ) ステレオ音声
70 分
○ テラ 1TB ＝ 1024GB ≒ 100 万 MB ≒ 10 億 KB ≒ 1 兆 B
※ ビデオ配信サーバなどの記憶容量 (CD 約 1600 枚 DVD 約 200枚 BD 約 )
○ ペタ 1PB ＝ 1024TB ≒ 100 万 GB ≒ 10 億 MB ≒ 1 兆 KB ≒ 1000 兆 B
※ 大規模データベースサーバの記憶容量
○ エクサ 1EB ＝ 1024PB ≒ 100 万Ｔ B ≒ 10 億 GB ≒ 1 兆 MB ≒ 1000 兆 KB
第 02 節 [1] 情報量と文字データ○ 英字 52 個 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V
W X Y Z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z○ 数字 10 個 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9○ 記号 32 個 ! ? # $ % & | \ , . ; : @ ' " ` ^ ~ _ + - * / = < >
( ) [ ] { }○ 空白 1 個
英語圏で必要な文字は、約 100 個程度これらの文字を区別するには、 27 ＝ 128 より、 7 ビット
あれば十分
これに、エラーチェック用の 1 ビットを加えると、8 ビットすなわち 1 バイトで 1 文字が表されるこれが、計算機がバイト単位が基本となっている理由
第 02 節 [2] 情報量と文字データ
英数字と記号および空白は、 ASCII コード文字と呼ばれる。俗に、半角文字ということがある。日本語をには、漢字、ひらがな、カタカナと文字種が多く、1 文字に 2 バイトが必要である。これらは、 JIS コード文字と呼ばれる。俗に、全角文字ということがあ
る。他の言語でも、 2 バイト以上必要な文字をマルチバイト文字という。
● 情報量の概算日本人約 1 億 2000 万人分の電話番号の情報量を概算しよう。電話番号は最大 11 桁であり、各桁は BDC では 4 ビットで表されるから、 44
ビットとなる。よって、 120,000,000×44÷8 ＝ 660,000,000B ≒ 660MB であり、 CD
1 枚程度となる。
電話番号 DB として活用するには、氏名と電話番号の組として収録する必要がある。
氏名の長さは不定であるが、漢字 10 字以内と仮定すれば、 1 人につき 20 バイトとなる。
よって、 120,000,000×20 ＝ 2,400,000,000B ≒ 2.4GB であり、 DVD 1 枚程度である。
● モノクロ画像データ ‥ 各画素 ( 画面上のドット ) の輝度情報
○ VGA 640 × 480 ＝ 307,200○ SVGA 800 × 600 ＝ 480,000○ XGA 1024 × 768 ＝ ○ SXGA 1280 × 1024 ＝
計算機のディスプレイ上の画像は、ドット ( 画素 ) から構成されている。各画素に白 / 黒の 1 ビットの情報量を割り当てれば、モノクロ二値の画像が表現
される。1 画素に 8 ビットを割り当てれば、黒から白への輝度を 256 段階の階調として表現することができる。これをモノクロ階調という。
第 02 節 [3] 情報量と画像データ
● カラー画像データ ‥ 光の三原色 (RGB) の輝度情報の組合せ
○ フルカラー 24 ビット (RGB 8,8,8) 約 1677 万色○ ハイカラー 16 ビット (RGB 5,6,5) 65536 色○ 8 ビット (RGB 3,3,2) 256 色色彩を表すために用いるビット数を色深度という。
第 02 節 [4] 情報量と画像データ
人間の視覚は 緑に対する感度が高く青に対する感度が低い
● 第 02-06 節 スキャナ画像の情報量 [展開 ]
スキャナでは、解像度の単位として、 dpi が使われている。これは、 dot per inch の略であり、 1 インチ (2.54cm) 当たりのドット数を意味している。例えば、スナップ写真 E判 (11.7cm×8.3cm) を 300dpi の解像度、フルカラー 24 ビット
で取り込むと、(11.7÷2.54×300)×(8.3÷2.54×300)×24÷8÷1024÷1024 ＝ 3.88 より、約 4MB の情報量が必要になる。
第 02 節 [5] 情報量と画像データ
第 03 節 [1] 情報量と音声データ● 音声 ( 音波 ) ‥ 空気の振動 ( 各時刻の振幅 )
○ A/D 変換 アナログ波形 (振幅量 ) ⇒ 離散近似 ⇒ デジタル信号○ D/A 変換 デジタル信号 ( ビット列 ) ⇒ 連続補間 ⇒ アナログ波形
● 音声データの標本化と量子化
○ 標本化 (時間的 ) 一定時間ごとに振幅量を記録 標本化周波数○ 量子化 ( 空間的 ) 振幅量を離散値で近似 量子化ビット数
● 音声データの情報量
○ CD の音質 標本化 44,100Hz 量子化 16bit (65536 段階 ) ステレオ 2ch （左右）
○ 1 秒間 44,100×16×2 ＝ 1,411,200 bit (÷8÷1024) ＝ 172.2 KB
○ 記録容量 650MB 650×1024÷172.2 ＝ 3865.‥ 秒 ≒ 約 64分
○ 通信容量 1,411,200÷1024÷1024 ＝ 1.34‥ ≒ 1.4 Mbps 100Mbp の通信回線で 74 人まで
第 03 節 [2] 情報量と映像データ● 動画データの情報量 動画は、定期的な間隔で再生される静止画の列である。動画の構成要素として再生される静止画をフレームという。動画データが、アナログかデジタルかは、個々の静止画がアナログかデジタルかによる。したがって、 LD はアナログであり、 DVD はデジタルである。フレームを再生していく間隔すなわち標本化の周波数をフレームレートという。
人間の視覚の残像効果により、 1秒間に 30 コマの割合で、連続的にフレームを再生すれば、滑らかな動画として認識される。例えば、 320×240 サイズで 16 ビットカラーの静止画データを1秒間に 30 コマの割合で再生するとすれば、1秒間に 320×240×16×30 ＝ 73,728,000 ビットで、 73,728,000÷8÷1024 ＝ 9 すなわち 9MB の情報量が必要となる。動画の場合、実用的には、人間の視覚特性を考慮した大幅なデータ圧縮が必要となる。
第 03 節 [3] 情報量と映像データ● 第 03-05 節 マルチメディアデータの標準規格 [参考 ] ○ MPEG-2 DVD の動画データの記録形式 高品位を保ちながら高圧縮 圧縮と解凍に高性能の処理装置を要求 ( 現在は普通の PC でも OK)ハイビジョンのデジタルテレビ放送では、 MPEG-2 が用いられている。なお、インターネット上での音声データの標準規格となっている MP3 は、MPEG-2 Layer-3 の略である。すなわち、 MPEG-2 規格の音声部分のみを利用している。やや古いメディアであるビデオ CD では、 MPEG-1 という規格を用いている。これは、 MPEG-2 より画質が劣る。また、インターネットテレビなど、通信容量が低くてもある程度の品質を保ち、ユーザからの操作を受け付ける双方向的な映像通信では、 MPEG-4 が採用されている。なお、 Windows や各種のソフトでは、独自のデータ形式を用いている場合がある。
二進法での加減算は、各桁同士の計算結果を表す加法表および減法表に基づき、筆算の形で行う。
加法表・減法表においては、0－ 1 ＝ -1 のような 1 桁の数同士の単独の計算結果ではな
く、筆算の途中の各桁において、計算結果として現れる数字と、繰上り、繰下りの有無を記入しておく。
第 04 節 [1] 二進法での加法と減法
1 1 1 0 1 1 被加数
＋ 1 1 0 0 1 1 加数
↑ 1 1 1 1 繰上り
1 1 0 1 1 1 0 和
1 1 0 1 1 1 0 被減数
＋ 1 1 0 0 1 1 減数
↓ 1 1 1 1 繰下り
1 1 1 0 1 1 和
第 05 節 [1] 二進法での乗法
1 0 1 0 1 1 被乗数
× 1 1 1 0 1 乗数
1 0 1 0 1 1
0 乗数の桁が 0 なら 0
1 0 1 0 1 1 左シフトしながらコピー
1 0 1 0 1 1
＋ 1 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 積
二進法の乗法 ＝ 乗法表 (論理積 ) ＋ 左桁シフト
× 0 1
0 0 0
1 0 1
∧ 0 1
0 0 0
1 0 1
∨ 0 1
0 0 1
1 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
第 05 節 [1] 二進法での除法
1 0 1 整商
1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 被除数
1 0 1 1 1111 1011 ≧ より商 1 を立てる
1 0 0 0 差を求める
0 1000<1011 より商 0 を立てる
1 0 0 0 0
1 0 1 1 除数より小となるまで
1 1 0 剰余
43×29 ＝ 43 × 1 1 1 0 1 [2] ＝ 43 × (1＋ 4＋ 8＋ 16) ＝ 43 ＋ (43×2)×2 ＋ (43×4)×2 ＋ (43×8)×2 ＝ 43 ＋ 172 ＋ 344 ＋ 688 ＝ 1247
第 06 節 ロシア乗算法と二分累乗法
＋ 43 29 1 101011 1
86 14 0
＋ 172 7 1 101011__ 100
＋ 344 3 1 101011___ 1000
＋ 688 1 1 101011____ 10000
1247 10011011111 11101
43 × 29 101011 × 11101
2倍 半分 奇偶 二進数での乗算
第 07 節 整数の記数法● 符号付二進数 ‥ 符号桁 ＋ 数値桁 in 固定桁
・ 整数の記数法には、符号と数値が必要 ・ 符号付二進数では、符号も含め、ビット列 (0/1 のみ ) として整数を
表記
・ 上位桁の 0 を省略しない、固定長のビット列で考える ・ 最上位での繰上りは、桁溢れ ( オーバーフロー ) となる ・ 固定桁の最上位桁を符号桁に使う (0 正 1 負 ) 0 0 0 0 0 0 0 1 正数 1 0 0 0 0 0 0 1 負数
・ 数値部分は、符号無二進数より 1 ビット減 (絶対値での範囲が縮小 )
・ 正負を含めた範囲は同じ
・ 数値桁の解釈の相違で 2 通りの方式がある (絶対値表示 / 補数表示 )
・ どの方式も自然数の表記は、符号無二進数と同じ ・ 符号付二進数として、通常は補数表示を採用
第 08 節 符号付二進数の方式
● 絶対値表示
・ 数値桁は絶対値 ・ 変換は簡単 ・ 加減算には別の算法が必要 ・ 0 に +0 と -0 の 2 つの表記
が存在 ・ 範囲は 8 ビットで -127 ～
+127
+107 ＝ 0110 1011 [A]-107 ＝ 1110 1011 [A]
1100 1010 [U] ＝ +202 1100 1010 [A] ＝ -74 ＝ -
(202-128)
● 補数表示
・ 数値桁は補数 ・ 変換には手順が必要 ・ 加算は符号無と全く同様 ・ 減算は反数の加算として実行 ・ 範囲は 8 ビットで -128 ～
+127
+107 ＝ 0100 1011 [S]-107 ＝ 1011 0101 [S]
1100 1010 [U] ＝ +2021100 1010 [S] ＝ -54 ＝
202-256
○ 符号無 [U] 、絶対値表示 [A] 、補数表示 [S] の相互変換○ ビット列の各方式での解釈○ 十進数からの各方式への変換
第 09 節 符号付二進数の変換と桁
第 10 節 [1] 符号付二進数の加減算
